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武汉市第四十九中学 2024 届高三九月调考
数学模拟试题（一）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1. 已知集合 ， ，则 有（ ）个真子集.
A. 3 B. 16 C. 15 D. 4
2. 若复数 满足 ，则 的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量 、 满足 ，则 与 的夹角是（ ）
A. B. C. D.
4. 函数 在区间 上是减函数，则 的取值范围是（ ）
A. B. ， C. ， D.
5. 已知 ， 是椭圆C 的两个焦点，过 且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且 ，
则椭圆C的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知 是函数 的一个零点，若 ， ，则（ ）
.
A ， B. ，
C. ， D. ，
7. 已知数列 的前n项和为 ，则“数列 是等比数列”为“存在 ，使得 ”的（）
A. 既不充分也不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 充分不必要条件
8. 已知 ，且 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分）
9. 如图为某市某年国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，某同学根据折线图对这7天的认购量
（单位；套）与成交量（单位，套）作出如下判断，则判断正确的是（ ）
A. 日成交量的中位数是16
B. 日成交量超过平均成交量的只有1天
C. 10月7日认购量的增长率大于10月7日成交量的增长率
D. 认购量的方差大于成交量的方差
10. 如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球的大小），它在 时刻相对于平衡位置的高度
可以田 确定，则下列说法正确的是（ ）A. 小球运动的最高点与最低点的距离为
.
B 小球经过 往复运动一次
C. 时小球是自下往上运动
D. 当 时，小球到达最低点
11. 已知直线 与圆O： 交于点M，N，若过点M和 的直线与y轴交于点C，
过点M和 的直线与x轴交于点D，则（ ）
的
A. 面积 最大值为2 B. 的最小值为4
C. D. 若 ，则
12. 已知函数 及其导函数 的定义域均为R，若 为奇函数， 的图象关于y
轴对称，则下列结论中一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 某校有4名同学到三个社区参加新时代文明实践宣传活动，要求每名同学只去1个社区，每个社区至少
安排1名同学，则甲、乙2人被分配到同一个社区的概率________．
14. 设 ，若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是________
15. 点 P 是双曲线 ： （ ， ）和圆 ： 的一个交点，且
，其中 ， 是双曲线 的两个焦点，则双曲线 的离心率为________．
16. 已知正三棱锥 的所有棱长均为1， ， ， 分别为棱 ， ， 上靠近点 的三等分点，则该正三棱锥的外接球被平面 所截的截面圆的周长为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 如图，在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ， ， ，
且 为 边上的中线， 为 的角平分线．
（1）求 及线段 的长；
（2）求 的面积．
18. 如图，四棱锥 中，底面 为菱形， 底面 ， ， ，
的
是 上 一点， ．
（1）证明 平面 ；
（2）设二面角 为 ，求 与平面 所成角的大小
19. 设l为曲线C： 在点(1，0)处的切线.
(I)求l的方程；
(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方20. 已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ， 是 的等比中项， .
（1）求 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求 .
21. 人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理
论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后
通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，
我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲
袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等
可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的
概率均为 （先验概率）.
（1）求首次试验结束的概率；
（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.
①求选到的袋子为甲袋的概率，
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中
摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.
22. 已知双曲线W： 的左、右焦点分别为 、 ，点 ，右顶点是M，且
， ．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过点 的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点
在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．
