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专题 02 数轴上的动点问题
点的往返运动
1．一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P，第2次
1
向右移动2个单位长度到达点P，第3次向左移动3个单位长度到达点P，第4次向左移动4个单
2 3
位长度到达点P，第5次向右移动5个单位长度到达点P…，点P按此规律移动，则移动第158次
4 5
后到达的点在数轴上表示的数为（ ）
A．159 B．-156 C．158 D．1
【答案】A
【分析】根据数轴，按题目叙述的移动方法即可得到点前五次移动后在数轴上表示的数；根据移动
的规律即可得移动第158次后到达的点在数轴上表示的数．
【详解】解：设向右为正，向左为负，则
表示的数为+1，
表示的数为+3
表示的数为0
表示的数为-4表示的数为+1……
由以上规律可得，每移动四次相当于向左移动4个单位长度．所以当移动156次时，156=39×4相
当于向左移动了39次四个单位长度．此时表示的数为 ．则第157次向右移动157个
单位长度， ；第158次还是向右，移动了158个单位长度，所以 ．
故 在数轴上表示的数为159．
故选A．
【点睛】本题考查了数轴上点的运动规律，正确理解题意，找出点在数轴上的运动次数与对应点所
表示的数的规律是解题的关键．
2．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人
每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度， 表示第n秒时机器人在数轴上的位置
所对应的数．给出下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中，正确结论的
序号是 ．
【答案】①②④
【分析】“前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，先根据题意列出几组数据，从数据找寻
规律：第一个循环节结束的数即x=1，第二个循环节结束的数即x =2，第三个循环节结束的数即
5 10
x =3，…，第m个循环节结束的数就是第5m个数，即x =m．然后再根据“前进3步后退2步”
15 5m
的运动规律来求取对应的数值．
【详解】根据题意可知：
x=1，x=2，x=3，x=2，x=1，
1 2 3 4 5
x=2，x=3，x=4，x=3，x =2，
6 7 8 9 10
x =3，x =4，x =5，x =4，x =3，
11 12 13 14 15
…
由上列举知①②正确，符合题意；
由上可知：第一个循环节结束的数即x=1，第二个循环节结束的数即x =2，第三个循环节结束的
5 10
数即x =3，…，即第m个循环节结束的数即x =m．
15 5m∵x =20，
100
∴x =21，x =22，x =23，x =22，
101 102 103 104
∵x =21，
105
∴x =22，x =23，x =24
106 107 108
故x ＞x ，故③错误，不合题意；
108 104
∵x =403，
2015
∴x =404，x =405，x =406，x =405，x =404，
2016 2017 2018 2019 2020
故x ＞x ，故④正确．符合题意．
2019 2020
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类，主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是
“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来．前进3步后退2步”这5
秒组成一个循环结构，让n÷5看余数，余数是几，那么第n秒时就是循环节中对应的第几个数．
运动时间问题
3．已知多项式 的常数项是a，次数是 在数轴上分别表示的点是
（如图），点A与点B之间的距离记作 ．
(1)求 的值；
(2)求 的长；
(3)动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，B在数轴上运动，
点A，B的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒．若点A向右运动，
点B向左运动， ，求t的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据多项式的次数和常数项的定义，即可进行解答；
（2）用点A到原点的距离加上点B到原点的距离即可；（3）根据数轴上两点之间的距离，将 和 的长度表示出来，进行分类讨论即可．
【详解】（1）解：∵多项式 ，次数为30，常数项为 ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴点A表示 ，点B表示30，
∴ ．
（3）∵经过t秒后，点P运动到数 对应的点，
点A运动到数 对应的点，
点B运动到数 对应的点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
或 ，
则 ，
解得： ．
综上： 或 ．
【点睛】本题主要考查了用数轴上点表示数，数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴
上两点之间距离的表示方法．
4．已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数 ，4，6．
(1)画出数轴，并用数轴上的点表示点A，点B，点C；
(2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴返回到点C，到达点C后停止运动，设运动时间为t秒．
①当 时， 的长为__________个单位长度， 的长为__________个单位长度， 的长为
____________个单位长度；
②在点P的运动过程中，若 个单位长度，则请直接写出t的值为___________
【答案】(1)见解析；
(2)①4 ，2 ，4；② 或 或 或
【分析】（1）根据题意画出数轴即可；
（2）①先求出当 时，P点表示的数为6-4=2，然后根据数轴上两点距离公式求解即可；②分当
P从C向A运动和当P从A向C运动两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：①当 时，P点表示的数为6-4=2，
∴ ， ， ，
故答案为：4、2、4；
②当P从C向A运动， 时，
， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
当P从C向A运动， 时，
， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
当P从A向C运动时，当 时，
， ， ，
∵ ，∴ ，解得 ；
当P从A向C运动时，当 时，
， ， ，
∵ ，∴ ，解得 ；
综上所述，t的值为 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，解题的关键
在于能够正确理解题意，利用分类讨论的思想求解．
5．如图，在数轴上点A表示的数为﹣6，点B表示的数为10，点M、N分别从原点O、点B同时
出发，都向左运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，运动时
间为t秒．
（1）求点M、点N分别所对应的数（用含t的式子表示）；
（2）若点M、点N均位于点A右侧，且AN＝2AM，求运动时间t；
（3）若点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，点M、N在整个运动过程中，当PQ+AM
＝17时，求运动时间t．
【答案】（1）点M、点N分别所对应的数分别为 ， ；（2） ；（3）t=1或18
【分析】（1）根据题意进行求解即可；
（2）由（1）所求，根据数轴上两点距离公式可得 ，
，再由 ，得到 ，由此即可得到答案；
（3）分当M、N均在A点右侧时，当N在A点左侧，M在A点右侧时，当M、N都在A点左侧时，
三种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：点M、点N分别所对应的数分别为 ， ；
（2）∵点A表示的数为-6，点M、点N分别所对应的数分别为 ， ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ；
（3）如图1所示，当M、N均在A点右侧时，
由（1）（2）得点M、点N分别所对应的数分别为 ， ，
∵点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，
∴点P和点Q表示的数分别为 ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ；
如图2所示，当N在A点左侧，M在A点右侧时，
同图1可知点P和点Q表示的数分别为 ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，不符合题意；
如图3所示，当M、N都在A点左侧时，
同图1可得点P和点Q表示的数分别为 ， ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，此时方程无解；
如图4所示，当M、N都在A点左侧时，
同理可得点P和点Q表示的数分别为 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴综上所述，当 ，t=1或18．
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，熟知数轴的
相关知识是解题的关键．
点表示的数
6．已知A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，
B两点之间的距离 ．已知数轴上A，B两点对应的数分别为－1，3，P为数轴上一动点．
(1)若点P到A，B两点之间的距离相等，则点P对应的数为______．
(2)若点P到A，B两点的距离之和为6，则点P对应的数为______．
(3)现在点A以2个单位长度/秒的速度运动，同时点B以0.5个单位长度/秒的速度运动，A和B的运动方向不限，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点B所对应的数是多少？
【答案】(1)1；
(2)4或 ；
(3)点 表示的数为 或 或 或 ．
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离计算方法进行计算即可得出答案；
（2）设点 对应的数为 ，根据题意可得 ；分类讨论，当 时，②当
时，③当 时，计算即可得出答案；
（3）设经过 秒，分情况讨论①当点 点 相向而行时，经过 秒，点 表示的数为 ，点
表示的数为 ，即可得出 ，②当点 点 同向向右运动时，经过 秒，点
表示的数为 ，点 表示的数为 ，则 ，③当点 点 同向向左运
动时，求出 的值，即可算出点 对应的数．
【详解】（1）解：根据题意可得，
，
因为点 到 ， 两点之间的距离相等，所以点 到点 和点3的距离为2，
则点 对应的数为：1；
故答案为：1；
（2）解：设点 对应的数为 ，
则 ；
①当 时，最大值为4，不满足题意；
②当 时，解得： ；
③当 时，解得： ，
点 对应的数为4或 ；
故答案为：4或 ；
（3）解：设经过 秒，
①当点 点 相向而行时，
经过 秒，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，
则 ，
解得 或 ，点 对应的数为 或 ；
②当点 点 同向向右运动时，
经过 秒，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，
则 ，
解得： 或 ，
点 表示的数为 或 ；
③当点 点 同向向左运动时，
因为 ，点 的运动速度大于点 的运动速度，
不能满足题意．
综上：点 表示的数为 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离的计算方
法进行求解．
7．平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题：
(1)平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．
①把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度，这时笔尖的位
置表示的数是______；
②一个机器人从数轴上表示﹣1的点出发，并在数轴上移动2次，每次移动3个单位后到达B点，
则B点表示的数是______；
③数轴上点A表示的数为m．则点A向左移动n个单位长度所表示的数为______；
(2)翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动．
①若折叠纸条，表示﹣2的点与表示1的点重合，则表示﹣4的点与表示______的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为8，点A在点B的左侧，A、B两点经折叠后重合，折痕与数轴
相交于表示﹣2的点，则A点表示的数为______；
③在数轴上，点P表示的数为4，点Q表示的数为x，将点P、Q两点重合后折叠，折痕与数轴交
于M点；将点P与点M重合后折叠，新的折痕与数轴交于N点，若此时点P与点N的距离为3，
数x的值为______．
【答案】(1)① ；② 或5或 ；③ ；
(2)①3；② ；③16或 ．
【分析】（1）平移：①根据右加左减的平移规律即可求解；
②分四种情况：①两次向左移动；②两次向右移动；③第一次向左移动，第二次向右移动；④第一
次向右移动，第二次向左移动．根据右加左减的平移规律分别求解即可；
③设需将点 向左移动 个单位，根据 ， 两点的距离是 ， 两点距离的2倍列出方程，解方
程即可；
（2）翻折：
①设所求数为 ，根据重合点相同列出方程，解方程即可；
②设 点表示的数为 ，根据 与表示 的点之间的距离等于4列出方程，解方程即可；
③根据中点坐标公式得出点 、 表示的数，根据点 与点 的距离为3列出方程，解方程即可．
【详解】（1）①由题意可得，笔尖的位置表示的数是： ．
故答案为： ；
②分四种情况：
①如果两次向左移动，那么 点表示的数是： ；
②如果两次向右移动，那么 点表示的数是： ；
③如果第一次向左移动，第二次向右移动，那么 点表示的数是： ；
④如果是第一次向右移动，第二次向左移动，那么 点表示的数是： ．
综上所述， 点表示的数是 或6或0．
故答案为： 或5或 ；
③数轴上点A表示的数为m．则点A向左移动n个单位长度所表示的数： ．
故答案为： ；
（2）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动．
①设所求数为 ，根据题意得
，解得 ．
故答案为：3；
②设 点表示的数为 ，根据题意得
，解得 ．
故答案为： ；
③根据题意可得，
点 表示的数为 ，点 表示的数为 ．点 与点 的距离为2，
，即 ，
，或 ，
或 ．
故答案为：16或 ．
【点睛】本题考查了数轴、列代数式，解决本题的关键是掌握数轴上两点之间的距离公式．
定值问题
8．如图，记数轴上A、B两点之间线段长为 ， （单位长度）， （单位长度），在
数轴上，点A在数轴上表示的数是 ，点D在数轴上表示的数是15．
(1)点B在数轴上表示的数是_____，点C在数轴上表示的数是_____，线段BC的长＝_____．
(2)若线段 以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段 以2个单位长度/秒的速度向左
匀速运动，当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？
(3)若线段 以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段 以2个单位长度/秒的速度也向
左匀速运动，设运动时间为t秒，当 时，M为 中点，N为 中点．
①若数轴上两个数为a、b，则它们的中点可表示为 ．则点M表示的数为_____，点N表示的
数为______．（用代数式表示）
②线段MN的长是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1) ，14，24
(2)当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是﹣2
(3)① ； ；②MN的长是定值，
【分析】（1）数轴上点A右边的点B表示的数是点A表示的数加上这两个点的距离，数轴上点D
左边的点C表示的数是点D表示的数减去这两个点的距离，依此方法可求出点B和点C表示的数，
因为点C在点B的右边，所以用点C表示的数减去点B表示的数即得到线段 的长；
（2）设运动的时间为t秒，先确定点B表示的数为 ，点B与点C相距24个单位长度，两个点相向运动，则点B与点C重合时，点B与点C运动的距离和为24，列方程求出t的值再求出点B
表示的数即可；
（3）①先用t的代数式表示出A、B、C、D四点对应的数，再根据中点公式即可求解；
②用两点间距离公式即可求解．
【详解】（1）解：因为点A表示的数是 ，点B在点A右侧，且 ，
所以 ，
所以点B表示的数是 ；
因为点D表示的数是15，点C在点D的左侧，且 ，
所以 ，
所以点C表示的数是14，
点B与点C的距离是 （单位长度），
所以线段BC的长为24个单位长度，
故答案为： ，14，24．
（2）设运动的时间为t秒，则点B表示的数是 ，
根据题意得 ，
解得 ，
所以 ，
答：当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是 ．
（3）①根据题意得，t秒后点A对应的数为： ，点C对应的数为： ，
∵M为 中点，
∴点M对应的数为： ，
t秒后点B对应的数为： ，点D对应的数为： ，
∵N为 中点，
∴点N对应的数为： ，
故答案为： ； ；
②线段 的长为定值，
∵点M对应的数为 ，点N对应的数为 ；∴ ，
∴线段 的长为定值．
【点睛】此题考查数轴上两点的距离的求法、解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与
方法，解题的关键是正确理解行程问题中相遇问题和追及问题的数量关系并且用代数式和等式表示
这些关系．
9．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动 到达A点，再向右移动 到达B点，然
后再向右移动 到达C点，数轴上一个单位长度表示 ．
（1）请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置；
（2）把点C到点A的距离记为 ，则 _______ ．
（3）若点A沿数轴以每秒 匀速向右运动，经过多少秒后点A到点C的距离为 ？
（4）若点A以每秒 的速度匀速向左移动，同时点B、点C分别以每秒 、 的速度匀速
向右移动。设移动时间为t秒，试探索： 的值是否会随着t的变化而改变？若变化，请说
明理由，若无变化，请直接写出 的值．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3） 秒或 秒；（4）不变化，值为 ．
【分析】（1）根据题意，在数轴上表示点A、B、C的位置即可；
（2）利用数轴上两点间的距离公式解题；
（3）分两种情况讨论：点A在点C的左侧或点A在点C的右侧；
（4）表示出 ，再相减即可解题．
【详解】解：（1）如图，
（2）
故答案为： ；（3）①当点A在点C的左侧时：
②点A在点C的右侧时：
所以，经过 或 秒后点A到点C的距离为3cm，
（4）BA= ，CB=
的值不会随着 的变化而变化，BA-CB = ．
【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
12．根据数轴和绝对值的知识回答下列问题
(1)一般地，数轴上表示数m和数n两点之间的距离我们可用│m-n│表示．
例如，数轴上4和1两点之间的距离是________.数轴上-3和2两点之间的距离是________.
(2) 数轴上表示数a的点位于-4与2之间，则│a+4│+│a-2│的值为_____________.
(3) 当a为何值时，│a+5│+│a-1│+│a-4│有最小值？最小值为多少？
【答案】(1)3；5；（2）6；（3）当a=1时，原式有最小值9.
【分析】(1)根据题意，结合数轴即可得到结果
(2)由a的范围，利用绝对值的代数意义化简即可
(3) 根据|a＋5|＋|a−1|＋|a−4|表示一点到−5，1，4三点的距离的和．即可求解．
【详解】(1)数轴上表示1和4的两点之间的距离是3；表示-3和2的两点之间的距离是5；
(2)根据题意得:-4＜a＜2，即a+4＞0，a-2＜0
则原式=a+4+2-a＝6
(3) 根据|a＋5|＋|a−1|＋|a−4|表示一点到−5，1，4三点的距离的和．
所以当a＝1时，式子的值最小，
此时|a＋5|＋|a−1|＋|a−4|的最小值是9．
故答案为:(1)3；5；（2）6；（3）当a＝1时，原式有最小值9.【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，就是表示两点之间的距离，熟练掌握绝对值的代数意义是
解本题的关键.
10．已知数轴上两点 A、B 所表示的数分别为 a 和 b，且满足|a＋3|＋(b－9)2018＝0，O 为原点.
(1) 试求 a 和 b 的值
(2) 点 C 从 O 点出发向右运动，经过 3 秒后点 C 到 A 点的距离是点 C 到 B 点距离的 3 倍，
求点 C 的运动速 度？
(3) 点 D 以 1 个单位每秒的速度从点 O 向右运动，同时点 P 从点 A 出发以 5 个单位每秒的
速度向左运动， 点 Q 从点 B 出发，以 20 个单位每秒的速度向右运动．在运动过程中，M、N
分别为 PD、OQ 的中点，问 的值是否发生变化，请说明理由.
【答案】（1）a=-3，b=9；（2）2或5.（3）不发生变化；理由见解析.
【分析】（1）根据非负数的性质求得a、b的值即可；（2）设C速度为x，则3秒后C点所表示
的数为3x，根据数轴上两点之间的距离列方程即可得出答案；（3）设运动时间为t，根据速度可
求出t秒时P、D、Q、M、N的位置，求出PQ、OD、MN的距离，进而求出 的值即可得
答案.
【详解】（1）∵|a＋3|＋(b－9)2018＝0，
∴a+3=0，b-9=0，
解得：a=-3，b=9；
（2）设C速度为x，则3秒后C点所表示的数为3x，
∴∣AC∣=3∣BC∣，即∣3x-(-3)∣=3∣9-3x∣，
解得：x=2或x=5，
故C的速度为：2或5.
（3）不发生变化；理由如下：
设运动时间为t，根据题意得：
P点的位置为：-3-5t ，
D点的位置为：t ，
Q点的位置为：9+20t，
M点的位置为：t- = ，
N点的位置为： ，∴PQ=9+20t-(-3-5t)=12+25t；OD =t；MN= - =6+12t；
∴ = =2，
故 的值不发生变化.
【点睛】此题考查是列代数式，数轴上两点之间的距离，掌握两地之间的距离求法是解决问题的关
键
