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专题 06 三角函数中的网格问题
类型一、作垂线构造直角三角形求解
例．如图，点A、B、C均在4x4的正方形网格的格点上，则tan∠BAC＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，取格点D，连接BD，
由格点图可以得出，BD⊥AC，
由格点三角形可得： ， ，
∴ ，
故选：A
【变式训练1】如图， 的顶点都是正方形网格中的格点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【详解】解：过A作AD⊥BC于D，
∴AD=2，BD=4，
∴ ．
∴ ．
故选：B．
【变式训练2】如图，在9×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是
∠ABC的平分线，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题可知， ， ， ，
，
又 平分 ，
，且 ,即三角形ABD是直角三角形，
．
故选：A．
【变式训练3】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA=（ ）A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
【详解】解：如图，延长AP交格点于D，连接BD，
则 ， ，
∴ ，
∴∠PDB=90°，则△DPB为等腰直角三角形，
∴∠DPB=45°，
∴∠PAB+∠PBA=∠DPB=45°，
故选：B．
【变式训练4】如图在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，则 到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图， 为 边上的高，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 ．
故选：B．
类型二、平移+作垂线构造直角三角形
例1．如图，在边长1正网格中，A、B、C都在网格线上，AB与CD相交于点D，则 是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】延长CD交正方形的另一个顶点为E，连接BE，如下图所示：
由题意可知：∠BED=90°，∠ADC=∠BDE，
根据正方形小格的边长及勾股定理可得：BE= ，BD= ，∴在Rt△BDE中， ，
∴ ，
故选D．
例2．如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，点A，B，C，D都在格点处，AB与
CD相交于点O，则tan∠BOD的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【详解】解：如图，连接格点EF、FG，
EF= ，FG= ，EG= ，
∵ ，
∴ ，
则 EFG是直角三角形．
∵A△B∥EF，
∴∠FEG=∠DOB．
在Rt EFG中，∵EG= ，FG = ，
△∴tan∠DOB=tan∠FEG= 3．
故选：A．
【变式训练1】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的格点
上，AB，CD相交于点E，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，过点A作AF⊥CD于F，
在Rt ADB中，BD＝3，AD＝3，
△
由勾股定理得：AB＝
在Rt CAD中，AC＝1，AD＝3，
△
由勾股定理得：CD＝ ，
∵ ，
∴ ，解得：AF＝∵AC BD，∴∠ACE＝∠BDE，∠CAE＝∠DBE
∴△CEA∽△DEB，
∴
∴
∴AE＝
∴sin∠AEC＝
故选：A．
【变式训练2】如图，在网格中，小正方形的边长为1，点 都在格点上，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：过点B作 于点D，连接BC，如下图，
∵小正方形的边长为1，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【变式训练3】如图中的每个小正方形的边长均相等，则 的值为（ ）
A．1 B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，
， ，
是等腰三角形过点 作
在 中，
故选D
【变式训练4】如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则 的
值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【详解】如图，连接 ，
∵每个小正方形的边长均为1，
∴由勾股定理得， ， ，
∵ ，∴△ABC是直角三角形，∴ ．
故选：B．
