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专题 06 整式的加减规律题专项训练
代数字类规律性探索
1．对于正数x，规定 ，例如： ， ， ，
，计算：
（ ）
A．199 B．200 C．201 D．202
【答案】C
【分析】通过计算 ， 可以推出
结果．
【详解】解：…
， ， ，
故选：C．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．
2．我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成 部分，2条直线将平面最多分成 部
分，3条直线将平面最多分成 部分，4条直线将平面形多分成 部分……，n条直线将平
面最多分成 部分，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，抽象概括出相应的数字规律，n条直线将平面最多分成
部分，进而得到 ，再进行
求解即可．
【详解】解：∵1条直线将平面分成 部分，2条直线将平面最多分成 部分，
3条直线将平面最多分成 部分，
4条直线将平面形多分成 部分……，
∴n条直线将平面最多分成 部分，
∴ ，
∴
．
故选B．
【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是得到 ．
3．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如 ， ，
，…若 分裂后，其中有一个奇数是1005，则m的值是（ ）
A．31 B．32 C．33 D．34
【答案】B
【分析】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，求出到 的所有奇数的个数的表达式，在
求出1005是从3开始的第502个奇数，然后确定502所在范围即可得出结论．
【详解】∵底数是2的分裂成2个奇数，底数是3的分裂成3个奇数，底数是4的分裂成4个奇数，
∴ 分裂成 个奇数，
∴到 的奇数个数为： ，
∵ ，∴奇数1005是从3开始的第502个奇数，
∵ ， ，
∴第1005个奇数是底数为32的数的立方分裂的奇数的其中一个，即
故选：B．
【点睛】本题考查数字的变化规律．解题的关键是观察出分裂的奇数的个数与底数的特点．
4．观察下列按一定规律排成的一组数：
，从左起第 个数记 ，则
， ．
【答案】
【分析】由题意知， 为奇数时， 为负， 为偶数时， 为正，由 ，可知 ，由
题意知 ，则 ；
其中 ； ， ；其中 ； ， ， ；其中
； ， ， ， ；其中 ； ，记分母为 ，可
推导一般性规律：分母相同的一组数中最后的一个的 中的 满足 ，由
，可得 ，则 ，根据 ，计算求解即
可．
【详解】解：由题意知， 为奇数时， 为负， 为偶数时， 为正，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ；其中 ；
， ；其中 ；
， ， ；其中 ；
， ， ， ；其中 ；
记分母为 ，可推导一般性规律：分母相同的一组数中最后的一个的 中的 满足 ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了数字变化的规律探究．解题的关键在于推导一般性规律．
5．在一次数学活动课上，李老师将一副扑克牌中的红桃 共 张牌挑出，打乱顺序随机发给
了甲、乙、丙三名同学，每人三张牌．已知甲的三张牌数字之和是 ，乙的三张牌数字之和与丙
的三张牌数字之和相同，且乙的三张牌上的数字都是奇数．写出甲的三张牌上的数字是 ，丙
的三张牌上的数字是 ．
【答案】
【分析】根据题意先分析出甲的可能结果，然后结合乙的三个奇数，筛选出合适的，最后再按照乙
丙的三张牌数字和相同进行分配即可．
【详解】解：已知红桃 有数字 共计 张牌
甲的三张牌数字之和为 的情况有 、 、 三种组合，
张牌中共有 个奇数，乙的三张牌上的数字都是奇数，
甲最多只能有一个奇数，只有 符合，
乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同，乙的三张牌数字为 ，丙的三张牌数字为 ，
故答案为： ；
【点睛】本题考查了数字类组合运算，按照题目进行逐步筛选和分析是解题关键．
6．观察下列等式，并解下列各题．
， ， ，
讲以上三个等式两边分别相加得：
(1)猜想并写出： __________；
(2)直接写出下列各式得计算结果： __________．
(3)探究并利用以上规律计算： ．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【分析】（1）根据题中给出的例子即可找出规律；
（2）根据（1）中得出的规律进行计算即可；
（3）根据得出的规律进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解： ， ， ，
，故答案为： ；
（2）解：根据题意可得：
，故答案为： ；
（3）解：根据题意可得：．
【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，根据题意找出规律是解答此题的关键．
图形、图表类规律性探索
7．正整数按如图的规律排列，则2022位于哪一行，哪一列（ ）
A．第45行 第4列 B．第4行 第45列
C．第46行 第3列 D．第3行 第46列
【答案】B
【分析】观察图形可知这些数字排成的是一个正方形，则由 ，即可判
断2022的位置．
【详解】解：观察图形可知这些数字排成的是一个正方形，
∵ ，
∴2022在第45列，
∵ ，
∴2022在第4行，即2022位于第4行，第45列．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，由所给的数字得出存在的规律是解答的关键．
8．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一．如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方，从1
开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，用 表示这个数列的第n个数，则 ．
【答案】1327
【分析】分奇数和偶数计算．
【详解】当序号为偶数时， ，
∴ ，
∴ ；
当序号为奇数时， ，
∴ ，
∴ ；
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了规律探索，正确运用分类思想分成偶数列，奇数列计算是解题的关键．
9．我国南宋数学家杨辉 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表（图①），即
杨辉三角．现在将所有的奇数记“ ”，所有的偶数记为“ ”，则前 行如图②，前 行如图③，
求前 行“ ”的个数为 ．【答案】
【分析】先根据给出的图②和图③找出出现“ ”规律，然后根据规律即可得解．
【详解】观察图②和图③可知，前 行中包含 个前 行的图形，中间三角形中的数字均为 ，
前 行中“ ”的个数是前 行中“ ”的个数的 倍，
即前 行中“ ”的个数为 （个），
同理可知前 行中“ ”的个数是前 行中“ ”的个数的 倍，即前 行中“ ”的个数为
（个），
前 行中“ ”的个数是前 行中“ ”的个数的 倍，即前 行中“ ”的个数为
（个），
故答案为： ．
【点睛】本题考查了数字规律探究计算，根据给出的图②和图③找出出现“ ”规律是解题关键．
10．有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成
两行，排列规则如下：
①左至右，按数字从小到大的顺序排列；
②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字
1摆在了标注字母 的位置，标注字母e的卡片写有数字 ．
【答案】 B 4
【分析】根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．
【详解】解：第一行中B与第二行中c肯定有一张为白1，若第二行中c为白1，则左边不可能有2张黑卡片，
白卡片数字1摆在了标注字母B的位置，
黑卡片数字1摆在了标注字母A的位置，；
第一行中C与第二行中c肯定有一张为白2，若第二行中c为白2，则a，b只能是黑1，黑2，而A
为黑1，矛盾，
第一行中C为白2；
第一行中F与第二行中c肯定有一张为白3，若第一行中F为白3，则D，E只能是黑2，黑3，此
时黑2在白2右边，与规则②矛盾，
第二行中c为白3，
第二行中a为黑2，b为黑3；
第一行中F与第二行中e肯定有一张为白4，若第一行中F为白4，则D，E只能是黑3，黑4，与
b为黑3矛盾，
第二行中e为白4．
故答案为：①B，②4．
【点睛】本题考查图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白
2，白3，白4的位置．
11．如图，四边形 是矩形，点 是 边的三等分点， ，点 是 边的中点，连
接 ， ，得到 ；点 是 的中点，连接 ， 得到 ；点 是 的
中点，连接 ， ，得到 ；…按照此规律继续进行下去，若矩形 的面积等于
6，则 的面积是 ．
【答案】【分析】由题意得： ， ，
，
， ，整理可得， ，从而得解．
【详解】 四边形ABCD是矩形，
，
，
，点 是CB边的中点，
，
，
，
，
，
，
，
是 的中点，
， ，
，
整理得： ，
同理可得： ，，
．
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查三角形的面积，规律型图形的变化类，解答的关键是通过整理归纳出其规律．
12．下列图形都是由相同大小的 按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗 ，
第②个图形中一共有11颗 ，第③个图形中一共有21颗 ，……按此规律排列下去．
第⑩个图形中的 颗数为 ．
【答案】175
【分析】根据题意将每个图形都看作两部分，一部分是上面的构成规则的矩形，另一部分是构成下
面的近似金字塔的形状，然后根据递增关系即可得到答案．
【详解】第①个图形中 的颗数 ；第②个图形中 的颗数 ；
第③个图形中 的颗数 ；
第④个图形中 的颗数 ；
……
∴第n个图形中 的颗数
∴当 时， ，
∴第⑩个图形中的 颗数为 颗，
故答案为：
【点睛】本题考查了图形变化规律，正确地得到每个图形中小星星的数字变化情况是解题的关键．
13．我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别叫做“平行四边形数”和“正六边形数”．设
第n个“平行四边形数”和“正六边形数”的和为 ．
【答案】【分析】根据图形变化规律，列出“平行四边形数”和“正六边形数”前三个满足的等式，即可推
出第n个满足的等式，最后求和即可．
【详解】由图可知，第1个“平行四边形数”为 ，
第2个“平行四边形数”为 ，
第3个“平行四边形数”为 ，
，
第n个“平行四边形数”为 ；
由图可知，第1个“正六边形数”为 ，
第2个“正六边形数”为 ，
第3个“正六边形数”为 ，
，
第n个“正六边形数”为 ，
其和为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查规律型：图形变化类，解题的关键是学会从一般到特殊的探究方法，找到规律后
即可解决问题，属于中考常考题型．
14．（1）为了计算 的值，我们构造图形（图 ），共 行，每行依次比上一行多一
个点．此图形共有 个点．如图2，添出图形的另一半，此时共 行 列，有 个
点，由此可得 ．
用此方法，可求得 （直接写结果）．
（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：
填空：① ；
② ．
（3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）．【答案】（1） ；（2）① ，② ；（3） ，图和过程见解析
【分析】（1）根据给定的计算方法，进行计算即可；
（2）①根据已有点阵图，得到第 个点阵图中点的个数为 ，再进行计算即可；②根据规律进行
计算即可；
（3）将一个面积为1的正方形分割为 和 两部分，再将正方形的 分割为 和 两部分， ，
依次进行分割，再进行计算即可．
【详解】解：（1） ；
故答案为： ；
（2）由点阵图可知： 个数时和为 ，
个数时和为 ，
个数时和为 ，
，
个数时和为 ．
∵ 中有 个数，
∴ ．
∵ 中有 个数，
∴ ．
故答案为： ； ；
（3）由题意画出图形如下：假定正方形的面积为 ，第 次将正方形分割为 和 两部分，
第 次将正方形的 分割为 和 两部分，
•••，以此类推，
第 次分割后，剩余的面积为 ，
那么除了剩余部分的面积，前面所有分割留下的面积应该是： ，
∴ ．
【点睛】本题考查图形的规律探究，有理数的混合运算，数形结合思想．解题的关键是将代数问题
转化为几何图形，利用数形结合的思想，进行简便运算．
15．（1）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图
1，在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰
子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是
（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2
（2）如图，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字．电子跳蚤每跳一次，可以从一
个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了
2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是______．【答案】（1）B；（2）6
【分析】（1）先向右翻滚，然后再逆时针旋转叫做一次变换，那么连续3次变换是一个循环．本
题先要找出3次变换是一个循环，然后再求10被3整除后余数是1，从而确定第1次变换的第1步
变换，即可得出答案；
（2）由题意知12个数一循环，然后再求2010被12整除后余数是多少来决定是哪个数即可．
【详解】解：（1）根据题意可知连续3次变换是一循环，
∵ ，
∴是第1次变换后的图形，即按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是5，故B正
确．
故选：B．
（2）根据题意可知是0，1，2，3，4，…，11即12个数是一个循环，
∵ ，
∴该圆圈所标的数字是6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了数字变化规律和图形变换规律，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常
出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
16．认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：
． ． ．……；
下面我们依次对 展开式的各项系数进一步研究发现，当 取正整数时可以单独列成表中的
形式：…………………………………………………1 1
………………………………………………1 2 1
……………………………………………1 3 3 1
…………………………………………1 4 6 4 1
………………………………………1 5 10 10 5 1
……………………………………1 6 15 20 15 6 1
……………………………………
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下
列问题：
(1)多项式 的第三项的系数 ______；
(2)请你预测一下多项式 展开式的各项系数之和 ______；
(3)拓展：①写出 展开式中含 项的系数为______；
② 展开式按 的升幂排列为： ，若 ，求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)① ；②
【分析】（1）由题意可求得当 时，多项式 的第三项的系数是多少，找到规律，
即可得出答案；（2）求得当 时，多项式 展开式的各项系数之和，找到规律，即可求得答案；
（3）①首先确定 是展开式中第几项，再根据杨辉三角即可解决问题；②将 代入求解即可．
【详解】（1）解：当 时，多项式 的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：
；
当 时，多项式 的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为： ；
当 时，多项式 的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为： ；
当 时，多项式 的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为： ；
……
多项式 的展开式是一个 次 项式，第三项的系数为： ；
故答案为： ；
（2）解：当 时，多项式 的展开式的各项系数之和为： ；
当 时，多项式 的展开式的各项系数之和为： ；
当 时，多项式 的展开式的各项系数之和为： ；
当 时，多项式 的展开式的各项系数之和为： ；
……
多项式 展开式的各项系数之和为 ，
故答案为： ；
（3）解：① ，
展开式中含 项是其展开式的第二项，，
故答案为： ；
② ，
当 时，令 ，
则 ，
．
【点睛】本题考查了杨辉三角，数字的规律，解题的关键是根据图形中数字找出相应的规律，再表
示展开式．
17．【问题提出】
在由 个小正方形（边长为1）组成的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小
正方形个数与m，n有何关系？
【问题探究】
为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，通过分类讨论，先从最简单的情形入手，再逐次递
进，从中找出解决问题的方法．
探究一：
当m，n互质（m，n除1外无其他公因数）时，观察图1并完成下表：
图1
矩形横长m 2 3 3 5 4 5 …
公矩形纵长n 1 1 2 2 3 3 …
矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f 2 3 4 6 6 …
结论：当m，n互质时，在 的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与
m，n之间的关系式是________．探究二：
当m，n不互质时，不妨设 ， （a，b，k为正整数，且a，b互质），观察图2并完成
下表：
图2
a 2 3 3 5 2 3 …
b 1 1 2 2 1 1 …
k 2 2 2 2 3 …
矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f 4 6 8 6 …
结论：当m，n不互质时，若 ， （a，b，k为正整数，且a，b互质）．在 的矩形
网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与a，b，k之间的关系式是________．
【模型应用】
一个由边长为1的小正方形组成的长为630，宽为490的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过
的小正方形个数是________个．
图3【模型拓展】
如图3，在一个由48个棱长为1的小正方体组成的长方体中，经过顶点A，B的直线穿过的小正方
体的个数是________个．
【答案】探究一：7， ；探究二：12，9， ； 【模型应用】1050 ；
【模型拓展】6
【分析】探究一：通过观察即可得出当m、n互质时，根据m与n的值计算f，即可得到规律求解；
探究二：当m、n不互质时，根据a、b、k的值求出m、n的值，计算f的值，即可得到规律；
[模型应用]利用630与490求出a、b、k的值，根据公式计算得出f即可；
[模型拓展] 如图，连接长方体上下两个底面的对角线，得到矩形ACBD，利用勾股定理求出AC=
，由每个小正方体的对角线长为 ，得到AC的长是4个小长方体的对角线，
根据BC=3，且4与3互质，利用公式求出答案．
【详解】探究一：当m、n互质时，根据表格可得：
当m=2，n=1时，f =2+1-1=2；
当m=3，n=1时，f=3+1-1=3；
当m=3，n=2时，f=3+2-1=4，
；
∴当m=5，n=3时，f=5+3-1=7，
该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m，n之间的关系式是f=m+n-1，
故答案为：7， ．
探究二：当m、n不互质时，根据图2表格可得：
当a=2，b=1，k=2，m=ka=4，n=kb=2时，f= ，
当a=3，b=1，k=2，m=ka=6，n=kb=2时，f= ，
当a=3，b=2，k=2，m=ka=6，n=kb=4时，f= ，
；
∴当a=5，b=2，k=2，m=ka=10，n=kb=4时，f= ，当a=3，b=1，k=3，m=ka=3，n=kb=3时，f= ，
∴当m，n不互质时，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与a，b，k之间的关系式是
，
故答案为：12，9， ；
[模型应用]∵630与490不互质，
∴ka=630= ，kb=490= ，
∴a=9，b=7，k=70，
∴该矩形的一条对角线所穿过的小正方形个数是f= ，
故答案为：1050；
[模型拓展]
如图，连接长方体上下两个底面的对角线，得到矩形ACBD，
∵AE=4，CE=4，∠AEC= ，
∴AC= ，
∵每个小正方体的对角线长为 ，
∴AC的长是4个小长方体的对角线，
∵BC=3，且4与3互质，
∴经过顶点A，B的直线穿过的小正方体的个数是4+3-1=6个，
故答案为：6．
【点睛】此题考查了图形规律探究，关键是通过观察表格，总结出一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n及f与a、b、k的关系式，要注意m、n互质及不互质的条件，掌握有理数的加减计
算，有理数的混合运算，列代数式，总结规律并运用解决问题是解题的关键．
