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专题 11 一元一次方程的的概念和解法
【思维导图】
◎考点题型1 从算式到方程
方程概念：含有未知数的等式叫做方程.
备注：判断式子是否为方程，两点缺一不可：①是等式；②是含有未知数．
例．（2022·四川资阳·七年级期末）下列各式中：① ；② ；③ ；④ ；⑤
；⑥ ，是方程的是（ ）
A．①④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤
【答案】C
【解析】
【分析】
根据方程的定义即可一一判定．
【详解】
解：含有未知数的等式叫做方程，① 是方程；
② ，不含有未知数，故不是方程；
③ 不是等式，故不是方程；
④ 是方程；
⑤ 是方程；
⑥ 不是等式，故不是方程；
故方程有：①④⑤，
故选：C．
【点睛】
本题考查了方程的定义，熟练掌握和运用方程的定义是解决本题的关键．
变式1．（2022·吉林·长春外国语学校七年级阶段练习）下列四个式子中，是方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据方程的定义即可求出答案．
【详解】
解：∵方程是指含有未知数的等式，
∴只有B选项是方程，
故选B．
【点睛】
本题考查方程的定义，解题的关键是熟练运用方程的定义．
变式2．（2022·江苏·苏州中学二模）根据“x与5的和的4倍比x的 少2”列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】仔细审题，x与5的和的4倍即是4（x+5），x的 即是 x，由此根据可列出方程．
【详解】
解：由题意列方程式为： ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系．
变式3．（2022·浙江杭州·一模）在地球表面以下，每下降1km温度就上升约10℃．某日地表温度是
18℃，地下某处A的温度是25℃．设A处在地表以下x千米，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意列出方程即可．
【详解】
解：∵A处在地表以下x千米，每下降1km温度就上升约10℃
∴从地表到地下x千米要增加10x℃．
∵地表温度是18℃，地下某处A的温度是25℃，
∴ ．
故选：A．
【点睛】
本题考查列方程，正确理解题意是解题关键．
◎考点题型2 方程的解
方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
备注：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；
②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．
例．（2022·河北沧州·七年级期末）若关于 的方程 的解是 ，则 的值是（ ）
A．1 B．5 C．-1 D．-5
【答案】C【解析】
【分析】
把 代入方程 ，得到关于a的方程，求解即可．
【详解】
解：把 代入方程 ，得
a+3=2，解得：a=-1，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查方程的解的定义，解一元一次方程，能使方程左右两边相等的未知数值叫做方程的解．
变式1．（2022·浙江金华·七年级期末）小亮在解方程 时，由于粗心，错把 看成了 ，结果
解得 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将 代入方程 即可得出 的值．
【详解】
解：∵ 解方程 时把 看成了 ，结果解得 ，
∴ 是方程 的解，
将 代入 得： ，
解得： ．
故选B．
【点睛】
本题考查一元一次方程的解及解一元一次方程，解题的关键是掌握方程的解的概念，即使方程左右两边相
等的未知数的值，叫方程的解．
变式2．（2022·广东惠州·七年级期末）方程 的解是 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据方程的解代入方程满足等式关系，把x=3代入再解关于a的一元一次方程即可；
【详解】
解：把 代入方程 得：
，
-3a=6，
a=-2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了方程的解、解一元一次方程，掌握方程的解代入方程满足等式关系是解题关键．
变式3．（2022·湖南湘西·七年级期末） 是下列哪个方程的解（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
把 代入各个方程计算求解即可．
【详解】
把 代入，可得：
，故A选项不符合题意；
，故B选项不符合题意；
，故C选项不符合题意；
，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了方程的解的判定，准确计算分析是解题的关键．
◎考点题型3 一元一次方程
一元一次方程概念：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是 1，这样的方程叫做一元一次方
程.
备注：（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有
未知数．（2）一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中a≠0，a,b是已知数) .
（3）一元一次方程的最简形式是： ax＝b（其中a≠0，a,b是已知数）.
例．（2022·江苏·七年级专题练习）下列是一元一次方程的是（ ）
A．x＝﹣1 B．2x＋y＝5 C． 1 D．x2﹣2x﹣3＝0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次
方程，依次判断即可得出正确选项．
【详解】
解：A选项是一元一次方程，故该选项符合题意；
B选项中含有两个未知数，故该选项不符合题意；
C选项中的方程是分式方程，故该选项不符合题意；
D选项最高次数是2次，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的识别，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
变式1．（2022·四川省遂宁市第二中学校七年级期中）已知方程 是关于x的一元一次方程，
则m的值是（ ）
A．0 B．1 C． 1 D．0或1
【答案】B
【解析】
【分析】
一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为0，则这个方程是一
元一次方程，根据定义可得关于m的方程，求解即可．
【详解】
解：由题意得： 且 ，
∴m=1，
故选：B．【点睛】
本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是确定未知数的次数是1且系数不为0．
变式2．（2022·广东江门·七年级期末）若 是关于x的一元一次方程，则m的值是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元一次方程的定义可得|m|−1=1，且x的系数m−2≠0，求解关于m的方程，继而可求出m的值．
【详解】
解：根据题意，得|m|−1=1，
解得m=±2，
且m−2≠0，
∴m=−2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元一次方程的定义并准确理解其含义进行判断与求
解．
变式3．（2022·四川·威远中学校七年级期中）方程（a+2）x2+5xm﹣3﹣2＝3是一元一次方程，则a+m＝（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元一次方程的定义，分别得到关于a和关于m的一元一次方程，解之，代入a+m，计算求值即可．
【详解】
解：根据题意得：a+2=0，m−3=1，
解得：a=−2，m=4，
a+m=−2+4=2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的定义，正确掌握一元一次方程的定义是解题的关键．◎考点题型4等式的性质
1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.
2．等式的性质：
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：
如果 ，那么 (c为一个数或一个式子) .
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：
如果 ，那么 ；如果 ，那么 .
备注：
（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；
(2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，
如x＝0中，两边加上 得x＋ ，这个等式不成立;
(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．
(4)
例．（2022·河南郑州·七年级期末）已知等式 ，则下列式子中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等式的性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一
个不为零的数，结果仍得等式进行分析即可．
【详解】
解：A、若a=b，则 ，故原题说法正确，不符合题意；
B、若 ，则 ，故原题说法正确，不符合题意；
C、若 ，则 ，故原题说法错误，符合题意；
D、若 ，则 ，故原题说法正确，不符合题意；
故选：C【点睛】
此题主要考查了等式的性质，关键是注意等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
变式1．（2022·河北邢台·七年级期末）设“●”“▲”“■”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，
情况如图所示，则下列天平中，状态不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据天平的状态，可知■=▲=●+●，由此可得出答案．
【详解】
解：由已知天平的状态可得：■=▲=●+●，
∴A，B，C状态正确，不符合题意；D状态不准确，符合题意；
故选D
【点睛】
本题主要考查了等式的基本性质．掌握“等式两边减去同一个数（或整式），所得的结果仍然是等式”是
解题的关键．
变式2．（2022·河北保定·七年级期末）已知 是有理数（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等式的性质，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 如果 ，那么 ，故该选项不正确，不符合题意；
B. 如果 ，那么 ，故该选项正确，符合题意；
C. 如果 ，当 时，那么 ，故该选项不正确，不符合题意；
D. 如果 ，当 时，那么 ，故该选项不正确，不符合题意；
故选B
【点睛】
本题考查了等式的性质，熟练等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式
子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．
变式3．（2022·湖北十堰·七年级期末）设x，y，c是有理数，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等式的性质一一判断即可．
【详解】
解：A、错误．c≠0时，等式不成立；
B、正确；
C、错误．c＝0时，不成立；
D、错误．应该是：若 ，则3x＝2y；
故选：B．
【点睛】
本题考查等式的性质，记住：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘
同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
◎考点题型5 解一元一次方程
解一元一次方程的一般步骤
变形名称 具体做法 注意事项
在方程两边都乘以各分母的最小公倍 (1)不要漏乘不含分母的项
去分母
数
(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号
(1)不要漏乘括号里的项
先去小括号，再去中括号，最后去大
去括号
括号
(2)不要弄错符号
把含有未知数的项都移到方程的一 (1)移项要变号
移项 边，其他项都移到方程的另一边(记住
移项要变号) (2)不要丢项
合并同类
把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 字母及其指数不变
项
在方程两边都除以未知数的系数a，
系数化成
不要把分子、分母写颠倒
1
得到方程的解 ．
备注：
（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合
并简化．
(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.
（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意
去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
例．（2022·河南信阳·七年级期末）解方程：
【答案】
【解析】
【分析】
运用解一元一次方程的一般方法解答，解一元一次方程的一般方法步骤包括：去分母， 去括号， 移项，
合并同类项，系数化为1，原方程式的解为 ．
【详解】
解：去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ，
所以原方程式的解为 ．
【点睛】
本题主要考查了解一元一次方程，解决问题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般方法．
变式1．（2022·河南信阳·七年级期末）解方程：(1) ；
(2) ．
【答案】(1)x=
(2)
【解析】
【分析】
（1）方程去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解．
（1）解：去括号得：4x-6x+4=2x-2，移项得：4x-6x-2x=-2-4，合并得：-4x=-6，系数化为1得：x= ；
（2）解：去分母得：18x+3（x-1）=18-2（2x-1），去括号得：18x+3x-3=18-4x+2，移项得：
18x+3x+4x=18+2+3，合并得：25x=23，系数化为1得：x= ．
【点睛】
此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并，把未知数系数化为1，求出解．
变式2．（2022·山东潍坊·七年级期末）解方程：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】（1）按去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；
（2）按去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；
（3）按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可．
（1）解： ， ， ， ；
（2）解： ， ， ， ；
（3）解： ， ， ，
， ．
【点睛】
本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
变式3．（2022·河北衡水·七年级期末）（1）计算： ；
（2）解方程： ；
（3）化简求值： 的值，其中 .
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；－9
【解析】
【分析】
（1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可；
（2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后将未知数的系数化为1；
（3）先根据整式加减混合运算法则进行化简，然后根据 求出 ， ，再代入数
据求值即可．
【详解】
解：（1）；
（2） ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
未知数的系数化为1得： ；
（3）
，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴原式 ．
【点睛】
本题主要考查了有理数的混合运算，解一元一次方程和整式的化简求值，准确进行计算，熟练掌握二次方
的非负性和绝对值的非负性，是解题的关键．
◎考点题型6 拓展
1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．备注：此类问题一般先把方程化为 的形式，分类讨论：
(1)当 时，无解；（2）当 时，原方程化为： ；（3）当 时，原方程可化为：
或 .
2.含字母的一元一次方程
此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：
（1）当a≠0时， ；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．
例．（2022·湖南·长沙市华益中学七年级阶段练习）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2) 或
【解析】
【分析】
（1）先将原方程化简为 ，在通过一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类
项，系数化为1，即可求出答案 ．
（2）原方程可变化为： ．由平方根的概念可得： 或 ．所以 或 ．
(1)
解：(2)
解：
或
或
【点睛】
本题主要考查知识点为：一元一次方程的解法和平方根的定义．本题第（2）小问，需把 当成整体来看
待，根据平方根的定义可得： ，继而求出答案．所以熟练掌握一元一次方程的解法，能够灵活运
用平方根的定义，是解决本题的关键．
变式1．（2020·江西·新余四中七年级期中）若方程 的解与关于 的方程
的解相同，求 的值．
【答案】
【解析】
【分析】
先解方程 得 ，根据同解方程的定义把 代入 得 ，然后
解关于 的一元一次方程即可．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得：
，
∴ ，
∴ 的值为 ．
【点睛】本题考查了同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．
变式2．（2022·贵州六盘水·七年级期末）对于任意的有理数 ， ， ， 定义新运算：
．例如： ．
(1)计算： __________
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)24
(2)-5
【解析】
【分析】
（1）根据新定义求解即可；
（2）根据新定义列方程求解即可．
(1)
解：根据题意得：
2×6-（-3）×4
=12+12
=24
故答案为：24；
(2)
解：根据题意得：
(a-3)(a+3)-(a+1)2=0
a2-9-a2-2a-1=0
-2a=10
a=-5．
【点睛】
本题考查新定义，解方程，理解并运用新定义是解题的关键．
变式3．（2022·江苏·七年级专题练习）已知整式 ，其中“■”处的系数被墨水污染了．当 ， 时，该整式的值为16．
(1)则■所表示的数字是多少？
(2)小红说该代数式的值是非负数，你认为小红的说法对吗？说明理由．
【答案】(1)■所表示的数字是2；
(2)小红的说法是正确的，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）直接把 ， 代入代数式其值等于16，解关于■方程即可；
（2）把（1）求得的■的结果代入代数式整理即可求解．
（1）（1）将 ， 代入 ，可得 ，解得 ；
（2）（2）由（1）求得的结果可得该整式为， ，故
小红的说法是正确的．
【点睛】
本题考查了代数式的化简求值及解一元一次方程、完全平方公式等，求得■的值是解题的关键．
