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专题13 实数、数轴、勾股定理结合
【例题讲解】
如图，Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，OA在数轴上，在OB上截取BC＝BA，以原点O为圆心，
OC为半径画弧，交数轴于点P，则OP的中点D对应的实数是_____．
解：∵Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，∴OB＝ ＝ ＝ ，
又∵BA＝BC，∴OC＝OB﹣BC＝ ﹣1＝OP，∵点D是OP的中点，
∴OD＝ OP＝ ，即点D所表示的数为： ，故答案为： ．
【综合解答】
1．如图所示，数轴上点 A 所表示的数为 a，则 a 的值是( ).
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先计算出直角三角形斜边的长，然后再确定a的值．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
故选： ．【点睛】
此题主要考查了实数与数轴，关键是利用勾股定理计算出直角三角形斜边长．
2．如图，已知 ，以点A为圆心，线段 长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则
点C的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可．
【详解】
解：∵点A，B的坐标分别为（-1，0），（0，2），
∴OA=1，OB=2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB= = ，
∴AC=AB= ，
∴OC=AC-AO= -1，
∴点C的坐标为（ -1，0），
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理，实数与数轴，解此题的关键是求出OC的长．
4．正方形ABCD中，AB＝1，AB在数轴上，点A表示的数是﹣1，若以点A为圆心，对角线AC
长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M表示的数是_____．【答案】 ﹣1
【解析】
【分析】
根据正方形性质求出∠ABC＝90 ，AB＝BC＝1，根据勾股定理求出AC，根据图形即可求出答案．
【详解】
解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，
在△ABC中，由勾股定理得：AC＝ ＝ ，
即AM＝AC＝ ，
∴点M所表示的数是AM﹣AB＝ ﹣1，
当正方形是四边形AB′C′D时，同样求出点M所表示的数是AM﹣AB＝ ﹣1，
在数轴的下方时，结果也是 ﹣1，
故答案为： ﹣1．
【点睛】
本题考查了实数在数轴上的表示，勾股定理等知识点，题目有一定的代表性，是一道比较好的题
目．
三、解答题
5．如图甲，这是由 个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为 ．（1）当魔方体积 时，求出这个魔方的棱长；
（2）①图甲中阴影部分是一个正方形 ，求出阴影部分正方形 的边长；
②把正方形 放置在数轴上，如图乙所示，使得点 与数 重合，求点 在数轴上表示的数是
多少．
【答案】（1）魔方的棱长为4cm；（2）①阴影部分正方形ABCD的边长为 ；②
【解析】
【分析】
（1）由魔方体积V＝64cm3，开立方可求出魔方的棱长；
（2）①求出每个小立方体的棱长，再根据勾股定理可求出答案；②求出点D所表示数的绝对值，
再得出点D所表示的数．
【详解】
解：（1）当魔方体积V＝64cm3时，
（1）∵43＝64，
∴ ，
所以这个魔方的棱长为4cm；
（2）①因为魔方的棱长为4cm；
所以每个小立方体的棱长为4÷2＝2（cm），
所以阴影部分正方形ABCD的边长为 （cm），
S ABCD＝ ＝8（cm2），
正方形答：阴影部分正方形ABCD的边长为 ；
②点D到原点的距离为： ，
又因为点D在原点的左侧，
所以点D所表示的数为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查认识立方体，利用数轴表示数，立方根，掌握立方根的意义以及数轴表示的方法是解决
问题的关键．
6．学习了无理数之后，我们已经把数的领域扩大到了实数的范围，下面让我们在几个具体的图形
中认识一下无理数．
（1）如图1，直径为1个单位长度的圆从原点O沿数轴向右滚动一周，圆上的一点P（开始滚动
时与点O重合）由原点到达点O′，则OO′的长度就等于圆的周长，所以数轴上点O′代表的实数就
是 ，它是一个无理数．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，根据勾股定理可以求得AB＝ ．
（3）你能在6×5的网格图中（图3）（每个小正方形边长均为1），画出一条长为 的格点线
段吗？如果能，请在图中表示出来．
（4）请你在数轴上（图4）找到表示 的点．
【答案】（1） ；（ ） ；（3）见详解；（4）见详解．
π 2【解析】
【分析】
（1）由OO′的长度就等于圆的周长，即可得到数轴上点O’代表的实数就是无理数 ；
（2）直接运用勾股定理求出AB即可； π
（3）根据 ，结合勾股定理解决问题即可．
（4）在数轴上做一个两直角边分别为2，1的直角三角形；以原点为圆心，所画直角边的斜边为
半径画弧，交数轴的正半轴于一点A，这点就是所求的表示 的点．
【详解】
解：（1）OO’＝ •1＝ ，
故答案为： ； π π
（2）∵∠Cπ＝90°，AC＝2，BC＝1，
∴AB＝ ＝ ，
故答案为： ；
（3）如图，线段AB就是长为 的线段；
（4）如图，点A即为所求．
【点睛】
本题考查的知识点是实数与数轴，关键运用勾股定理求出所表示的无理数，无理数也可以在数轴
上表示出来，一般应把它整理为直角边长为有理数的斜边的长．
7．某课外学习小组在一次活动中．对如何画出在数轴上表示“ 的整数”一类实数点的方法进行如下探讨：
A同学说：按照下图可画出表示(第 个数) (第 个数) ，（第 个数） ，(第 个数)的
点；
B同学说：我找到了表示 点的画法，如图2
C同学说：以上两位同学的方法都不能在数轴上画出，表示 等无理数点来．我可以在 同
学的基础上完美地画出表示“ 的整数)”型实数的点
问题
按 同学的画法，第 个数应是 ．第 个数是 ．
请你在图2上补画出表示 的点；
C同学说的更完美的方法你能画出吗?若能使用直尺和圆规在同一数轴上画出表示：
的点来表达其画法，若不能请说明理由，
【答案】（1） ； ；（2）见解析；（3）见解析；
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，第4个数是以4，1为直角边构成的直角三角形斜边长，根据勾股定理即可求解；
第 个数是以 ，1为直角边构成的直角三角形斜边长，勾股定理求解即可；
（2）在-2处，作垂直于x轴且长度为2的线段，再画弧即可，同理可求得 ；（3）按照（1）中的方法，做出 的点，过该点作垂直于x轴且长度为1的线段，然后画弧与x
轴正半轴交点即表示 ，同理可求 ．
【详解】
解：（1）由题意可得，第4个数是以4，1为直角边构成的直角三角形斜边长，
由勾股定理得，斜边长为 ，即第四个数应是 ，
第 个数是以 ，1为直角边构成的直角三角形斜边长，
由勾股定理得，斜边长为 ，第 个数是 ，
故答案为 ；
（2）∵
∴ 为以2，2为直角边构成的直角三角形斜边长
同理可得： 为以3，2为直角边构成的直角三角形的斜边边长，
为以4，2为直角边构成的直角三角形的斜边边长，
为以 ，2为直角边构成的直角三角形的斜边边长，
分别在-2、-3，-4， 处，作垂直于x轴且长度为2的线段，原点为圆心，以对应的斜边长为半径，
画弧，与负半轴的交点即表示 ，如下图：
（3）按照（1）中的方法做出表示 的点，过该点作垂直于x轴且长度为1的线段，以 为直角边作直角三角形，此时斜边长为 ，以原点为圆心，以 长画弧，
与x轴正半轴交点即表示 ，
同理以过 的点作垂直于x轴且长度为1的线段，
以 为直角边作直角三角形，此时斜边长为 ，以原点为圆心，以 长画弧，
与x轴正半轴交点即表示 ，如下图：
【点睛】
此题考查了勾股定理在数轴上的应用，理解题意找到无理数的平方对应的整数平方和，构造直角
三角形是解题的关键．
8．如图是 网格，每个小正方形的边长都为1个单位长度，利用这个 网格作出面积为5个
平方单位的正方形，然后在数轴上准确表示实数 和 ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据勾股定理和正方形的面积公式即可画出图形，再根据实数 和 在数轴上的位置即可画
出图形．
【详解】解：如图所示：
【点睛】
本题考查了三角形的面积，实数与数轴，用到的知识点是勾股定理，以及勾股定理的应用，在直
角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
9．作图：在数轴上作出表示﹣ 、3﹣ 的点（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
因为10＝9+1，则首先作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是 ．再以原点为
圆心，以 为半径画弧，和数轴的负半轴交于一点即可；
首先在数轴上利用勾股定理作出一条线段等于OB＝ ，再以O为圆心，BC的长为半径画弧交数
轴于E即可，则点E为所求的点．
【详解】
解：因为10＝9+1，则首先作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是 ．再以原
点为圆心，以 为半径画弧，和数轴的负半轴交于一点，这点表示的数即为 ；作出一条线段等于OB＝ ，再以O为圆心，BC的长为半径画弧交数轴于E即可，则点E为所求
的点．
【点睛】
本题考查勾股定理及实数与数轴的知识，要求能够正确运用数轴上的点来表示一个无理数，解题
关键是构造直角三角形，并灵活运用勾股定理．
10．我们在学习“实数”时，画了这样一个图，以数轴上的单位长为1的线段作一个正方形，然
后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴于点A，请根据图形回答下列问题：
（1）线段OA的长度是___________
（2）这种研究和解决问题的方式，体现了的数学思想方法（ ）．
A．数形结合B．归纳C．换元D．消元
（3）计算： ﹣ ．
【答案】（1） ；（2）A；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理求出OB，结合题意即可求出OA；
（2）根据常用的数学思想和题意即可得出结论；（3）根据算术平方根的定义、绝对值的性质和立方根的定义计算即可．
【详解】
解：（1）∵正方形的边长为1
∴OB=
∵以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴于点A，
∴OA=OB=
故答案为： ；
（2）利用勾股定理求出实数 在数轴上的位置，
故体现了的数学思想方法为：数形结合
故选A．
（3） ﹣
=4－
=
=
【点睛】
此题考查的是利用数轴表示实数、勾股定理和实数的混合运算，掌握勾股定理、数形结合思想、
算术平方根的定义、绝对值的性质和立方根的定义是解决此题的关键．
11．甲同学用如图方法作出C点，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝3，且点O、A、C在同
一数轴上，OB＝OC．
（1）请求出甲同学所做的点C表示的数；
（2）仿照小明同学的做法，请你在如下所给数轴上描出表示－ 的点D．【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）依据勾股定理求得OB的长，从而得到OC的长，故此可得点C表示的数；
（2）由17=16+1，依据勾股定理即可作出表示 的点D.
【详解】
（1）解：由勾股定理得：
∴
∴点C表示的数是
（2）
【点睛】
本题为考查勾股定理、实数与数轴的综合题，难度不大，熟练掌握勾股定理是解题关键.
12．利用勾股定理可以在数轴上画出表示 的点，请依据以下思路完成画图，并保留画图痕迹：
第一步：（计算）尝试满足 ，使其中a，b都为正整数.你取的正整数a=____，
b=________；
第二步：（画长为 的线段）以第一步中你所取的正整数a，b为两条直角边长画Rt OEF，使
△
O为原点，点E落在数轴的正半轴上， ，则斜边OF的长即为 .请在下面的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法）
第三步：（画表示 的点）在下面的数轴上画出表示 的点M，并描述第三步的画图步骤：
_______________________________________________________________.
【答案】第一步：4，2；第二步：画图见解析；第三步：以原点O为圆心，OF长为半径作弧，弧
与数轴正半轴的交点即为点M，画图见解析.
【解析】
【详解】
解：第一步： ,
∴a=4,b=2；
第二步，画图如下：
第三步，作图如上，以原点O为圆心，OF长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点即为点M．
13．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形进行拼接，可
得到一个的大正方形．若将得到的直角三角形 按如图2所示放置在数轴上，使直角顶点A与
数轴上的原点重合，（1）图1中大正方形的边长为_______．
（2）如图2，若将直角三角形 绕顶点C按顺时针方向翻转，使顶点B落在数轴上，称为第1
次翻转，将翻转所得到的的图形再绕顶点B按顺时针方向翻转，使顶点A落在数轴上，称为第2
次翻转…．以此类推．
①第1次翻转后得到的三角形顶点B在数轴上对应的数是_______．
②第2010次翻转后得到的三角形顶点C在数轴上对应的数是____________．
【答案】（1） （2）① ②
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理求出 的长即为大正方形的边长；
（2）①根据旋转以后点B的位置可判断B代表的数即为 的长度，据此计算即可；
②根据翻转规律可知每翻转三次为一个循环，每个循环点C代表的数都增加 个单位，据
此解答即可．
【详解】
解：（1）∵小正方形的边长为1，即 ,
∴ ,
则大正方形的边长为 ；
（2）①∵直角顶点A与数轴上的原点重合， ,
∴点A表示的数为0，点C表示的数为1，
第一次翻转以后点B表示的数为 的长度，
即为 ，故答案为： ；
②根据图形翻转规律，每翻转三次为一个循环，
每一个循环，点C代表的数增加 个单位，
个循环，
∵点C的初始位置为1，
∴经过2010次翻转后点C代表的数为： ，
即 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查勾股定理、实数与数轴、以及结合数轴的规律探索问题，结合图形找出翻转的规律
是解题的关键．
