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专题14 坐标系中的面积（和平移有关）
【例题讲解】
在平面直角坐标系中，已知点 ， ，连接AB，将AB向下平移5个单位得线段CD，
其中点A的对应点为点C．
(1)填空：点C的坐标为______，线段AB平移到CD扫过的面积为______；
(2)若点P是y轴上的动点，连接PD．
①如图（1），当点P在y轴正半轴时，线段PD与线段AC相交于点E，用等式表示三角形PEC
的面积与三角形ECD的面积之间的关系，并说明理由；
②当PD将四边形ACDB的面积分成2：3两部分时，求点P的坐标．
（1）解：将AB向下平移5个单位得线段CD，∴点C（2，-1），
线段AB平移到CD扫过的面积为： 故答案为：（2，-1）；20；
（2）①如图1，过P点作PF⊥AC于F，
由平移知， 轴，∵A（2，4），∴PF＝2，
由平移知，CD＝AB＝4，
∴S PEC＝ CE•PF＝ CE×2＝CE，
△
S ECD＝ CE•CD＝ CE×4＝2CE，
△
∴S ECD＝2S PEC，即：S PEC＝
△ △ △
S ECD；
△
②如图2，当PD交线段AC于E，且PD将四边形ACDB分成面积为
2：3两部分时，连接PC，延长DC交y轴于点M，则M（0，﹣1），
∴OM＝1，连接AD，则S ACD＝ S ABDC＝10，
长方形
△
∵PD将四边形ACDB的面积分成2：3两部分，
∴S CDE＝ S ABDC＝ ×20＝8，由①知，S PEC＝ S ECD＝ ×8＝4，
矩形
△ △ △
∴S PCD＝S PEC+S ECD＝4+8＝12，∵S PCD＝ CD•PM＝ ×4PM＝12，
△ △ △ △
∴PM＝6，∴PO＝PM﹣OM＝6﹣1＝5，∴P（0，5）．
如图3，当PD交AB于点E，PD将四边形ACDB分成面积为2：3两部分时，
连接PB，延长BA交y轴于点G，则G（0，4），
∴OG＝4，连接AD，则S ABD＝ S ABDC＝10，
长方形
△
∵PD将四边形ACDB的面积分成2：3两部分，
∴S BDE＝ S ABDC＝ ×20＝8，
矩形
△
∵S BDE＝ BD•BE＝ ×5BE＝8，∴BE＝
△
过P点作PH⊥BD交DB的延长线于点H，
∵B（6，4），∴PH＝6
S PDB＝ BD×PH＝ ×5×6＝15，
△
∴S PBE＝S PDB﹣S BDE＝15﹣8＝7，
△ △ △
∵S PBE＝ BE•PG＝ PG＝7，∴PG＝ ，
△
∴PO＝PG+OG＝ +4＝ ，∴P（0， ），综上可得：P（0， ）或P（0，5）．【综合解答】
1．如图，平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，3），B（﹣5，1），C（﹣2，0），P（a，b）是
△ABC的边AC上任意一点，△ABC经过平移后得到△A B C ，点P的对应点为P （a+6，b﹣2）．
1 1 1 1
（1）平移后的三个顶点坐标分别为：.A （ ），B （ ），C （ ）.
1 1 1
（2）在上图中画出平移后三角形A B C ；
1 1 1
（3）画出△AOA 并求出△AOA 的面积．
1 1
2．在同一平面内，若一个点到一条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“伴侣点”．
在平面直角坐标系中，已知点M（1，0），过点M作直线l平行于y轴，点A（﹣1，a），点B
（b，2a），点 C（﹣ ，a﹣1），将三角形ABC进行平移，平移后点A的对应点为D，点B的对
应点为E，点C的对应点为F．
（1）试判断点A是否是直线l的“伴侣点”？请说明理由；
（2）若点F刚好落在直线l上，F的纵坐标为a+b，点E落在x轴上，且三角形MFD的面积为 ，
试判断点B是否是直线l的“伴侣点”？请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，现同时将点A，B分别
向下平移3个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，
AB．(1)求点C，D的坐标；
(2)点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为 秒，问：是否存在这
样的 使得四边形OMDB的面积为12？若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由．
(3)在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从D点出发，以每秒2个单位的速度向左平
移运动，当点N到达点O时运动停止．设射线BN交 轴于点E．设运动时间为 秒，问：
的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
4．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面
直角坐标系点A（0，a），C（b，0）满足 ．D为线段AC的中点．在平面直角
坐标系中以任意两点P(x ，y）、Q（x，y）为端点的线段中点坐标为 ， ．
1 1 2 2
（1）则A点的坐标为 ；点C的坐标为 ．D点的坐标为 ．
（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒
的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点 Q 到 达 A
点 整 个 运 动 随 之 结 束 . 设 运 动 时 间 为 t （t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使
S ODP＝S ODQ，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
△ △
（3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC＝∠FCO，点G是第二象限中一点，使得∠AOG＝
∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值，若变化请说明理由．
5．如图所示， 在方格中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，三个顶点
的坐标分别是 ， ， ，先将 向上平移3个单位长度，再向右平移2个
单位长度，得到 ．
（1）在图中画出 ．
（2）写出点 的坐标．
（3）若 轴上有一点 ，使 与 面积相等，求出 点的坐标．
6．在如图所示的直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣2，5），B（﹣4，﹣1）C（2，
3），△ABC 是由△ABC平移得到，点P（x，y）是△ABC内一点，经过平移点P（x，y）变
1 1 1 1 1 1 1
成点P（x+2，y﹣1）
1 1 1(1)写出 三个顶点的坐标
(2)请画出平移后的△ABC
1 1 1
(3)求△ABC 的面积
1 1 1
7．如图1，在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，边长为2的正方形 （点 与点 重
合）和边长为4的正方形 的边 和 都在 轴上，且点 坐标为 ．正方形 以
3个单位长度/秒的速度沿 轴向右运动，记正方形 和正方形 重叠部分的面积为 ，
假设运动时间为 秒，且 ．
（1）点 的坐标为______；
（2）如图2，正方形 向右运动的同时，动点 在线段 上以1个单位长度/秒的速度从
到 运动．连接 ， ．
① 为何值时， 所在直线垂直于 轴？
② 为何值时， ？
8．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC中，点A坐标为（4，0），点B的坐标是（2，3），
点C在x轴的负半轴上，且AC=6．
（1）写出点C的坐标（ ， ）（2）在y轴上是否存在点P，使得S POB＝ S ABC，若存在，求出点P的坐标；若不存在；
△ △
（3）把点C往上平移3个单位得到点H，画射线CH，连接BH，点M在射线CH上运动（不与点
C、H重合）．试探索∠BMA、∠HBM、∠MAC之间的数量关系，并证明你的结论．
9．在如图所示的平面直角坐标系中，A（2，3），B（4，0）.
（1）将线段AB沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度至线段CD（C与A
对应），求 ABD的面积；
（2）将线段△AB平移至线段PQ（P与B对应），且点P恰好落在y轴上.
①若 ABQ的面积为3，请通过计算说明，线段AB是如何平移至线段PQ的？
②设△P（0，y），且-8≤y≤8，请用含y的式子表示 ABP的面积，并求出当y=-8时， ABP的最大面
积. △ △
10．如图，在平面直角坐标系 中，已知 ， ，将线段 平移至 ，点 在 轴
正半轴上（不与点 重合），连接 ， ， ， .
（1）写出点 的坐标；（2）当 的面积是 的面积的3倍时，求点 的坐标；
（3）设 ， ， ，判断 、 、 之间的数量关系，并说明理由.
11．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三
角形）ABC的顶点A、C的坐标分别为 、 ．
（1）请在如图所示的网格平面内画出平面直角坐标系；
（2）点 是 边BC上任意一点，三角形经过平移后得到 ，点P的对应点为
．
①直接写出点 的坐标 ；
②画出 平移后的 ．
（3）在y轴上是否存在点P，使 的面积等于 面积的 ，若存在，请求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，格点 （顶点是网格的交
点的三角形）的顶点A，C坐标分别为 ，（1）请在如图所示的网格内画出对应的平面直角坐标系；
（2）再把 先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到 ，且点 的
对应点分别为 ，请你在图中画出 ；
（3）在Y轴上是否存在点P，使 的面积等于 的面积的一半，若存在求出点P的坐标；
若不存在说明理由．
13．在平面直角坐标系中，已知点 ， ，连接AB，将AB向下平移5个单位得线段
CD，其中点A的对应点为点C．
(1)填空：点C的坐标为______，线段AB平移到CD扫过的面积为______；
(2)若点P是y轴上的动点，连接PD．
①如图（1），当点P在y轴正半轴时，线段PD与线段AC相交于点E，用等式表示三角形PEC
的面积与三角形ECD的面积之间的关系，并说明理由；
②当PD将四边形ACDB的面积分成2：3两部分时，求点P的坐标．
