文档内容
第 03 讲 乘法公式
课程标准 学习目标
1. 能推导平方差公式，了解平方差公式的几何意义，
掌握平方差公式的特点，熟练的对平方差公式进行应
①平方差公式 用。
②完全平方公式 2. 能推导完全平方公式，了解完全平方公式的几何意
义，掌握完全平方公式的特点，熟练的对完全平方公
式进行应用。
知识点01 平方差公式
1. 平方差公式的内容：
两个数的和乘以两个数的差等于这两个数 平方 的差。即 。
注意：可以是两个相等的数，也可以是两个相同的式子。用符号相同项的平方减去符号相反项的平方。
2. 式子特点分析：
：两个二项式相乘，若其中一项 相同 ，另一项 互为相反数 ，则等
于他们 相同 项的平方减去 互为相反数 项的平方。
3. 平方差公式的几何背景：
如图：将图①的蓝色部分移到图②的位置。图①的面积为：图②的面积为： 图①与图②的面积相等。所以
； ；
题型考点：①平方差公式的计算。②利用平方差公式求值。③平方差公式的几何背景应用。④利用平
方差公式简便计算。
【即学即练1】
1．下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．（﹣2x+3y）（﹣3y﹣2x）
C．（﹣2x+y）（﹣2x﹣y） D．（x﹣1）（﹣x+1）
【解答】解：A、（ +2b）（ a﹣2b）＝（ a）2﹣（2b）2＝ ﹣4b2，故能用平方差公式计算，
故选项不符合题意；
B、（﹣2x+3y）（﹣3y﹣2x）＝（﹣2x）2﹣（3y）2＝4x2﹣9y2，故能用平方差公式计算，故选项不符合
题意；
C、（﹣2x+y）（﹣2x﹣y）＝（﹣2x）2﹣y2＝4x2﹣y2，故能用平方差公式计算，故选项不符合题意；
D、（x﹣1）（﹣x+1），不能用平方差公式计算，故选项符合题意．
故选：D．
【即学即练2】
2．计算：
（1）（a+b）（a﹣2）；
（2） ；
（3）（m+n）（m﹣n）；
（4）（0.1﹣x）（0.1+x）；
（5）（x+y）（﹣y+x）．
【解答】解：（1）（a+b）（a﹣2）
＝a2+ba﹣2a﹣2b，
（2）（x﹣ ）（x+ ）
＝ ，
（3）（m+n）（m﹣n）
＝m2﹣n2，
（4）（0.1﹣x）（0.1+x）
＝0.01﹣x2，
（5）（x+y）（﹣y+x）
＝x2﹣y2．【即学即练3】
3．若x﹣y＝2，x2﹣y2＝6，则x+y＝ 3 ．
【解答】解：∵（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，
∴x+y＝（x2﹣y2）÷（x+y）＝6÷2＝3．
故答案为：3．
【即学即练4】
4．已知m﹣n＝1，则m2﹣n2﹣2n的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
【解答】解：∵m﹣n＝1，
∴原式＝（m+n）（m﹣n）﹣2n
＝m+n﹣2n
＝m﹣n
＝1，
故选：A．
【即学即练5】
5．如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长
方形，如图（2），此过程可以验证（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
【解答】解：图（1）中阴影部分的面积为：a2﹣b2，
图（2）中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：C．
【即学即练6】
6．20142﹣2013×2015的计算结果是 1 ．
【解答】解：20142﹣2013×2015
＝20142﹣（2014﹣1）×（2014+1）
＝20142﹣（20142﹣1）
＝1．
故答案为：1．知识点02 完全平方公式
1. 完全平方公式的内容：
①完全平方和公式：
两个数的和的平方，等于这两个数的 平方 的和 加上 这两个数乘积的两倍。
即： 。可以是两个数，也可以是两个式子。
②完全平方差公式：
两个数的差的平方，等于这两个数的 平方 的和 减去 这两个数的乘积的两倍。
即： 。可以是两个数，也可以是两个式子。
2. 式子特点分析：
：一个二项式的平方，等于这个二项式的两项的 平方的和 加上这两
项的 两倍 。注意每一项都包含前面的符号。
巧记：首平方加尾平方，首位两倍放中央。
3. 完全平方公式的几何背景：
图1中面积的整体表示为：
用各部分面积之和表示为：
所以
用同样的方法表示图 2 的面积即可得到：
。
4. 完全平方和公式与完全平方差公式的转化：
，
∵
∴
题型考点：①完全平方公式的计算。②利用完全平方公式求值。③完全平方公式的几何背景。
【即学即练1】
7．运用完全平方公式计算：
（1）（4m+n）2；
（2） ；
（3）（﹣a﹣b）2；
（4）（﹣a+b）2．
【解答】解：（1）（4m+n）2＝16m2+8mn+n2；
（2）
＝y2﹣y+ ；
（3）（﹣a﹣b）2；
＝a2+2ab+b2；
（4）（﹣a+b）2
＝a2﹣2ab+b2．
【即学即练2】
8．计算：
（1）（x﹣6）2．
（2）（﹣2x﹣y）2．
（3）（﹣p+3q）2．
（4）[（2m+n）（2m﹣n）]2．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣2•x•6+62
＝x2﹣12x+36；
（2）原式＝（﹣2x）2+2•（﹣2x）•（﹣y）+（﹣y）2
＝4x2+4xy+y2；
（3）原式＝（﹣p）2+2•（﹣p）•3q+（3q）2
＝p2﹣6pq+9q2；
（4）原式＝[4m2﹣n2]2
＝16m4﹣8m2n2+n4．
【即学即练3】
9．已知xy＝9，x﹣y＝﹣3，则x2+3xy+y2的值为（ ）
A．27 B．9 C．54 D．18
【解答】解：∵x﹣y＝﹣3，
∴（x﹣y）2＝9，
即x2﹣2xy+y2＝9，
∴x2+3xy+y2＝x2﹣2xy+y2+5xy＝9+45＝54．
故选：C．
【即学即练4】
10．已知：a+b＝5，ab＝3，求：
（1）a2+b2；
（2）（a﹣b）2．【解答】解：（1）∵a+b＝5，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19；
（2）∵a+b＝5，ab＝3，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×3＝13．
【即学即练5】
11．如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证了一个等式，这个等式是（ ）
A．（y+x）2＝y2+xy+x2 B．（y+x）2＝y2+2xy+x2
C．（y+x）（y﹣x）＝y2﹣x2 D．（y+x）2﹣（y﹣x）2＝4xy
【解答】解：如图，大正方形的面积＝（y+x）2，
小正方形的面积＝（y﹣x）2，
四个长方形的面积＝4xy，
则由图形知，大正方形的面积﹣小正方形的面积＝四个矩形的面积，即（y+x）2﹣（y﹣x）2＝4xy．
故选：D．
【即学即练6】
12．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成
一个正方形．
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示）
（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积．
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系．
【解答】解：（1）图2的空白部分的边长是2a﹣b
（2）由图21﹣2可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，
∵大正方形的边长＝2a+b＝7，∴大正方形的面积＝（2a+b）2＝49，
又∵4个小长方形的面积之和＝大长方形的面积＝4a×2b＝8ab＝8×3＝24，
∴小正方形的面积＝（2a﹣b）2＝49﹣24＝25（3）由图2可以看出，大正方形面积＝空白部分的正方形的面积+四个小长方形的面积
即：（2a+b）2﹣（2a﹣b）2＝8ab．
知识点03 完全平方式
1. 完全平方式的定义：
若一个整式A，可以写成另一个整式B的平方的形式，即 ，则我们称整式A是一个完全平方
式。
2. 式子特点分析：
：一个三项式，其中两项可以写成 平方 的形式，第三项是平方两项
底数乘积的 两倍 ，则可以写成 底数和 或 底数差 的平方。若第三项与平方两项的符号
相同，则是底数 和 的平方，若第三项与平方两项的符号相反，则是底数 差 的平方。
题型考点：①平方式写成平方的运算。②根据完全平方式的特点求值。
【即学即练1】
13．下列各式中，运算结果为1﹣2xy2+x2y4的是（ ）
A．（﹣1+xy2）2 B．（﹣1﹣xy2）2
C．（﹣1+x2y2）2 D．（﹣1﹣x2y2）2
【解答】解：1﹣2xy2+x2y4＝1﹣2xy2+（xy2）2＝（1﹣xy2）2
＝（﹣1+xy2）2．
故选：A．
【即学即练2】
14．已知x2+kxy+64y2是一个完全平方式，则k的值是（ ）
A．8 B．±8 C．16 D．±16
【解答】解：根据题意，原式是一个完全平方式，
∵64y2＝（±8y）2，
∴原式可化成＝（x±8y）2，
展开可得x2±16xy+64y2，
∴kxy＝±16xy，
∴k＝±16．
故选：D．
【即学即练3】
15．已知多项式x2+6x+m是一个关于x的完全平方式，则m的值是（ ）
A．9 B．﹣9 C．36 D．﹣36
【解答】解：由题意可得，
当m＝9时，x2+6x+9＝（x+3）2．故选：A．
知识点04 乘法公式的拓展应用
1. 平方差公式的拓展：
两个三项式相乘，若他们的项中只存在 相等 的项和 互为相反数 的项，则可以用平方差公
式计算。它等于 相等项 的平方减去 相反数项 的平方。把相等项或相反数项存在两项的看成一
个整体。
即： 。
2. 完全平方公式的拓展：
一个三项式的平方，可以把前两项看成首项或后两项看成尾项，然后利用完全平方公式的计算方法计
算。把其中两项看成一个整体。
即：
题型考点：①拓展应用。
【即学即练1】
16．在下列等式中，A和B应表示什么式子？
（1）（a+b+c）（a﹣b+c）＝（A+B）（A﹣B）；
（2）（x+y﹣z）（x﹣y+z）＝（A+B）（A﹣B）．
【解答】解：（1）（a+b+c）（a﹣b+c），
＝[（a+b）+c]×[（a+c）﹣b]，
＝（a+c）2﹣b2，
故A代表a+c，B代表b．
（2）（x+y﹣z）（x﹣y+z），
＝[x+（y﹣z ）]×[x﹣（y﹣z）]，
＝x2﹣（y﹣z）2，
A代表x，B代表y﹣z．
【即学即练2】
17．（a+b﹣c）（a﹣b+c）＝ a 2 ﹣ b 2 + 2 b c ﹣ c 2 ．
【解答】解：原式＝[a+（b+c）][a﹣（b﹣c）]
＝a2﹣（b﹣c）2
＝a2﹣b2+2bc﹣c2，
故答案为：a2﹣b2+2bc﹣c2．
【即学即练3】
18．计算：（m+2n﹣p）2．
【解答】解：原式＝[（m+2n）﹣p]2，
＝（m+2n）2﹣2p（m+2n）+p2，＝m2+4mn+4n2﹣2pm﹣4pn+p2．
【即学即练4】
19．计算题：
（1）（a﹣2b﹣3c）2；
（2）（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）﹣（x+y﹣z）2．
【解答】解：（1）原式＝（a﹣2b）2﹣2×（a﹣2b）×3c+9c2
＝a2+4b2﹣4ab﹣6ac+12bc+9c2
＝a2+4b2+9c2﹣4ab﹣6ac+12bc；
（2）原式＝[（x﹣z）+2y][（x﹣z）﹣2y]﹣[（x﹣z）+y]2
＝（x﹣z）2﹣4y2﹣（x﹣z）2﹣2（x﹣z）y﹣y2
＝﹣5y2﹣2xy+2yz．
题型01 平方差公式与完全平方公式的计算
【典例1】
利用乘法公式计算：
（1）（2x﹣3y）2﹣（y+3x）（3x﹣y）
（2）（a﹣2b+3）（a+2b﹣3）．
【解答】解：（1）原式＝4x2﹣12xy+9y2﹣（9x2﹣y2）
＝4x2﹣12xy+9y2﹣9x2+y2
＝﹣5x2﹣12xy+10y2；
（2）原式＝[a﹣（2b﹣3）][a+（2b﹣3）]
＝a2﹣（2b﹣3）2
＝a2﹣4b2+12b﹣9．
【典例2】计算下列各题：
（1）（a﹣2b）2﹣（2a+b）（b﹣2a）﹣4a（a﹣b）
（2）（2x+3y）2﹣（4x﹣9y）（4x+9y）+（3x﹣2y）2．
【解答】解：（1）原式＝a2﹣4ab+4b2﹣b2+4a2﹣4a2+4ab
＝a2+3b2；
（2）原式＝4x2+9y2+12xy﹣16x2+81y2+9x2+4y2﹣12xy
＝﹣3x2+94y2．
【典例3】
计算：
（1）（ x+2y）2+（ x﹣2y）2；
（2）（a﹣b+c）2．
【解答】解：（1）原式＝ x2+2xy+4y2+ x2﹣2xy+4y2＝ x2+8y2；
（2）原式＝（a﹣b）2+2c（a﹣b）+c2＝a2+b2+c2﹣2ab+2ac﹣2bc．
【典例4】
求（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数字．
【解答】解：原式＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
＝264﹣1+1
＝264；
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，个位数按照2，4，8，6依次循环，
而64＝16×4，
∴原式的个位数为6．
题型02 利用乘法公式简便运算
【典例1】
利用乘法公式简便计算．
（1）2020×2022﹣20212．
（2）3.6722+6.3282+6.328×7.344．
【解答】解：（1）原式＝（2021﹣1）×（2021+1）﹣20212．
＝20212﹣1﹣20212
＝﹣1；
（2）原式＝3.6722+6.3282+2×3.672×6.328
＝（2.672+6.328）2＝102
＝100．
【典例2】
计算：
（1）20232﹣2022×2024；
（2）112+13×66+392．
【解答】解：（1）原式＝20232﹣（2023﹣1）×（2023+1）
＝20232﹣（20232﹣1）
＝20232﹣20232+1
＝1；
（2）原式＝112+2×11×39+392
＝（11+39）2
＝502
＝2500．
【典例3】
利用乘法公式计算：
（1）3252﹣2752；
（2）295×305﹣2982．
【解答】解：（1）原式＝（325+275）×（325﹣275）
＝600×50
＝30000；
（2）原式＝（300﹣5）×（300+5）﹣2982
＝3002﹣25﹣2982
＝（300+298）×（300﹣298）﹣25
＝598×2﹣25
＝（600﹣2）×2﹣25
＝1200﹣4﹣29
＝1200﹣29
＝1271．
【典例4】
用因式分解的相关方法，进行简便计算：
（1）20232﹣20222．
（2）9992+2×999+12．
【解答】解：（1）20232﹣20222
＝（2023+2022）（2023﹣2022）＝4045×1
＝4045；
（2）9992+2×999+12．
＝（999+1）2
＝10002
＝1000000．
题型03 利用乘法公式求值
【典例1】
已知x2﹣y2＝﹣1，x+y＝ ，则x﹣y＝ ﹣ 2 ．
【解答】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝﹣1，x+y＝ ，
∴x﹣y＝ ＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【典例2】
若a2﹣b2＝ ，a+b＝ ，则a﹣b的值为（ ）
A． B． C． D．2
【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
∴ ×（a﹣b）＝ ，
∴a﹣b＝ ．
故选：B．
【典例3】
已知x+y＝8，xy＝12，则x2﹣xy+y2的值为（ ）
A．42 B．28 C．54 D．66
【解答】解：∵x+y＝8，xy＝12，
∴原式＝（x+y）2﹣3xy＝82﹣3×12＝64﹣36＝28．
故选：B．
【典例4】
若有理数a、b满足a2+b2＝5，（a+b）2＝9，则﹣4ab的值为（ ）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
【解答】解：∵a2+b2＝5，（a+b）2＝9，
∴a2+b2+2ab＝9，
∴5+2ab＝9，
解得：2ab＝4，
则ab＝2，
故﹣4ab＝﹣8．
故选：D．
【典例5】
已知a+b＝3，ab＝﹣10．求：
（1）a2+b2的值；
（2）（a﹣b）2的值．
【解答】解：（1）将a+b＝3两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝9，
把ab＝﹣10代入得：a2+b2＝29；
（2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝29+20＝49．
【典例6】
已知：x+y＝5，xy＝3．
求：①x2+5xy+y2；
②x4+y4．
【解答】解：①∵x+y＝5，xy＝3，
∴x2+5xy+y2＝（x+y）2+3xy＝52+3×3＝34；
②∵x+y＝5，xy＝3，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝52﹣2×3＝19，
∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝192﹣2×32＝343．
题型04 乘法公式与几何
【典例1】
图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成
一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．
方法1： （ m + n ） 2 ﹣ 4 m n ；方法2： （ m ﹣ n ） 2 ；
（2）观察图②请你写出下列三个代数式；（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a﹣b＝3，ab＝﹣2，求：（a+b）2的值；②已知：a ＝1，求：（a ）2的值．
【解答】解：（1）方法1：（m+n）2﹣4mn，
方法2：（m﹣n）2；
故答案为：（m+n）2﹣4mn，（m﹣n）2；
（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；
（3）①∵a﹣b＝3，ab＝﹣2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝32+4×（﹣2）＝1；
②（a+ ）2＝（a﹣ ）2+4×a× ＝12+8＝9．
【典例2】
如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形
拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
①图2中的阴影部分的边长为 （ b ﹣ a ） 2 ；
②观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 （ a + b ） 2 ﹣（ a ﹣ b ） 2 ＝ 4 a b ；
③根据（2）中的结论，若x+y＝5，x•y＝4，则（x﹣y）2＝ 9 ；
④实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你发现的等式是 （ a + b ）•（ 3 a + b ）＝
3 a 2 +4 ab + b 2 ．
【解答】解：①（b﹣a）2；
故答案为：（b﹣a）2；
②（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
③当x+y＝5，x•y＝4时，
（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy
＝52﹣4×4＝9；
故答案为：9；
④（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2．
故答案为：（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2．
【典例3】
如图，大小两个正方形边长分别为a、b．
（1）用含a、b的代数式表示阴影部分的面积S；
（2）如果a+b＝8，ab＝14，求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）∵大小两个正方形边长分别为a、b，
∴阴影部分的面积S＝a2+b2﹣ a2﹣ （a+b）b＝ a2+ b2﹣ ab；
（2）∵a+b＝8，ab＝14，
∴S＝ a2+ b2﹣ ab
＝ （a+b）2﹣ ab
＝ ×82﹣ ×14
＝11；
1．下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是（ ）
A．（a﹣2b）（2a﹣b） B．（﹣a+2b）（﹣a﹣2b）
C．（a+2b）（﹣2a+b） D．（2a﹣b）（﹣2a+b）
【解答】解：A、不是两个相同数的和与差的积，不能使用平方差公式，不符合题意；
B、是两个相同数的和与差的积，能使用平方差公式，符合题意；
C、不是两个相同数的和与差的积，不能使用平方差公式，不符合题意；
D、不是两个相同数的和与差的积，不能使用平方差公式，不符合题意．
故选：B．
2．已知m+n＝3，m﹣n＝4，则m2﹣n2的值为（ ）A．12 B．﹣12 C．25 D．﹣25
【解答】解：∵m+n＝3，m﹣n＝4，
∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）
＝3×4
＝12，
故选：A．
3．若多项式x2+（k﹣3）xy+4y2是完全平方式，则k的值为（ ）
A．±7 B．7或﹣1 C．7 D．﹣1
【解答】解：∵x2+（k﹣3）xy+4y2＝x2+（k﹣3）xy+（2y）2，
∴（k﹣3）xy＝±2x×2y，
解得k＝7或﹣1．
故选：B．
4．王大爷家有一块边长为m米的正方形菜地，现需将其进行改造，具体措施为：南北向增加2米，东西
向减少2米．则改造后的菜地与原来的菜地相比（ ）
A．面积相等 B．面积增加了4平方米
C．面积减少了4平方米 D．无法确定
【解答】解：由于改造前，这块地的面积为m2平方米，
改造后是长为（m+2）米，宽为（m﹣2）米，面积为（m+2）（m﹣2）＝（m2﹣4）平方米，
所以改造后的菜地与原来的菜地相比减少了4平方米，
故选：C．
5．如图，两个正方形边长分别为a，b，已知a+b＝7，ab＝9，则阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【解答】解：根据题意可得，
S阴 ＝a2﹣ ﹣
＝ （a2﹣ab+b2）
＝ [（a+b）2﹣3ab]，
把a+b＝7，ab＝9代入上式，则S阴 ＝ ×（72﹣3×9）＝11．
故选：B．
6．有两个正方形A、B，将A，B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、
图乙中阴影的面积分别为14与36，则正方形B的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由题意得，a（a+b）﹣a2﹣b2＝14，（a+b）2﹣a2﹣b2＝36，
即ab﹣b2＝14，ab＝18，
∴b2＝18﹣14＝4，
即正方形B的面积为4，
故选：B．
7．当x＝1时，ax+b+1的值为﹣2，则（a+b﹣1）（1﹣a﹣b）的值为（ ）
A．16 B．8 C．﹣8 D．﹣16
【解答】解：∵当x＝1时，ax+b+1的值为﹣2，
∴a+b+1＝﹣2，
∴a+b＝﹣3，
∴（a+b﹣1）（1﹣a﹣b）＝（﹣3﹣1）×（1+3）＝﹣16．
故选：D．
8．计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）...（264+1），结果是（ ）
A．264﹣1 B．264 C．232﹣1 D．2128﹣1
【解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）•••（264+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）•••（264+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）•••（264+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）•••（264+1）
＝（28﹣1）（28+1）•••（264+1）
＝（264﹣1）（264+1）
＝2128﹣1，
故选：D．9．已知（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝7，ab＝3，则（a+b）2＝ 1 0 ．
【解答】解：∵（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝7，ab＝3，
即（a2+b2）2﹣32＝7，
∴（a2+b2）2＝7+9＝16，
∴a2+b2＝4，
∴（a+b）2
＝a2+b2+2ab
＝4+2×3
＝4+6
＝10．
故答案为：10．
10．如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边在AB的两侧作正方形，设AB＝8，两个正方形的面积
和为40，即S +S ＝40，则图中阴影部分的面积为 6 ．
1 2
【解答】解：设AC＝a，BC＝b，由题意可知，a+b＝AC+BC＝AB＝8，a2+b2＝S +S ＝40，
1 2
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴ab＝
＝
＝12，
∴S阴影部分 ＝ ab＝6，
故答案为：6．
11．若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为 c
＜ b ＜ a ．
【解答】解：a＝20180＝1，
b＝2017×2019﹣20182
＝（2018﹣1）×（2018+1）﹣20182＝20182﹣1﹣20182
＝﹣1，
c＝（﹣ ）2017×（ ）2018
＝
＝
＝ ，
∵ ，
∴c＜b＜a．
故答案为：c＜b＜a
12．若（x﹣2022）2+（x﹣2024）2＝100，则（x﹣2023）2＝ 4 9 ．
【解答】解：∵（x﹣2022）2+（x﹣2024）2＝100，
∴[（x﹣2023）+1]2+[（x﹣2023）﹣1]2＝100，
∴（x﹣2023）2+2（x﹣2023）+1+（x﹣2023）2﹣2（x﹣2023）+1＝100，
∴2（x﹣2023）2+2＝100，即（x﹣2023）2＝49，
故答案为：49．
13．如图，某区有一块长为（3a+4b）米，宽为（2a+3b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行
绿化，中间的边长为（a+b）米的空白的正方形地块将修建一个凉亭．
（1）用含有a，b的式子表示绿化总面积．
（2）若a＝4，b＝3，求出此时的绿化总面积．
【解答】解：（1）由题意得：长方形地块的面积＝（3a+4b）（2a+3b）＝（6a2+17ab+12b2）（平方
米），
正方形凉亭的面积为：（a+b）2＝（a2+2ab+b2）（平方米），
则绿化面积S＝（6a2+17ab+12b2）﹣（a2+2ab+b2）＝（5a2+15ab+11b2）（平方米）；
（2）∵a＝4，b＝3，∴绿化总面积S＝5a2+15ab+11b2＝5×42+15×4×3+11×32＝359（平方米）．
14．从边长为a的正方形减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图
2）．
（1）上述过程所揭示的乘法公式是 a 2 ﹣ b 2 ＝（ a + b ）（ a ﹣ b ） ．
（2）若9x2﹣16y2＝30，3x+4y＝6，求3x﹣4y的值．
（3）计算： ．
【解答】解：（1）上述过程所揭示的乘法公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
（2）9x2﹣16y2＝30
∴（3x+4y）（3x﹣4y）＝30
∵3x+4y＝6
∴3x﹣4y＝5
（3）原式＝
＝
＝
＝
15．如图，将边长为（a+b）的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．观察图形，解答
下列问题：
（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．
方法1： a 2 + b 2 ，
方法2： （ a + b ） 2 ﹣ 2 a b ；
（2）从中你得到什么等式？ a 2 + b 2 ＝（ a + b ） 2 ﹣ 2 a b ；
（3）运用你发现的结论，解决下列问题：
①已知x+y＝6， ，求x2+y2的值；
②已知（2019﹣x）2+（x﹣2022）2＝49，求（2019﹣x）（x﹣2022）的值．【解答】解：（1）方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即a2+b2，
方法2，从边长为（a+b）的大正方形面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，
即（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab；
（2）在（1）两种方法表示面积相等可得，
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（3）①∵ ，
∴xy＝6，
又∵x+y＝6，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
＝62﹣2×6
＝36﹣12
＝24；
②设a＝2019﹣x，b＝x﹣2022，则a2+b2＝49，a+b＝﹣3，
∴
＝
＝﹣20，
答：（2019﹣x）（x﹣2022）的值为﹣20．
