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2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】
专题2.2二次根式的应用及探究材料大题专练（培优强化30题）
A 卷 基础过关卷
（限时30分钟，每题10分，满分100分）
1．（2022秋•西安月考）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，
也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间 t（单位：s）和高度h（单
位：m）近似满足公式t＝ （不考虑风速的影响，g≈10m/s2）．
（1）求从60m高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）
（2）已知高空坠物动能（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.2kg
的玩具被抛出后经过3s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：
伤害无防护人体只需要65J的动能）
【分析】（1）把60m代入公式t＝ 即可；
（2）先根据公式t＝ 求出h，再代入动能计算公式求出这个玩具产生的动能，即可判断．
【解答】解：（1）由题意知h＝60m，
∴t＝ ＝ ＝2 （s），
故从60m高空抛物到落地的时间为2 s；
（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，
理由：当t＝3s时，3＝ ，
∴h＝45，
经检验，h＝45是原方程的根，
∴这个玩具产生的动能＝10×0.2×45＝90（J）＞65J，
∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
【点评】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决
本题的关键．
2．（2022春•赣州期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为 18dm2和
32dm2的正方形木板．（1）截出的两块正方形木料的边长分别为 3 dm ， 4 dm ；
（2）求剩余木料的面积；
（3）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出 2 块这样
的木条．
【分析】（1）由正方形的面积可得边长分别为 dm和 dm，再对二次根式进行化简即可；
（2）矩形的长为7 dm，宽为4 dm，再求面积即可；
（3）剩余木条的长为3 dm，宽为 dm，再由题意进行截取即可．
【解答】解：（1） ＝3 dm， ＝4 dm，
故答案为：3 dm，4 dm；
（2）矩形的长为3 +4 ＝7 （dm），宽为4 dm，
∴剩余木料的面积＝（7 ×4 ）﹣18﹣32＝56﹣18﹣32＝6（dm2）；
（3）剩余木条的长为3 dm，宽为4 ﹣3 ＝ （dm），
∵3 ＜3×1.5， ＞1，
∴能截出2×1＝2个木条，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简和运算，矩形的面积公式是解题的关键．
3．（2019春•沂水县期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间 t
（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝ （不考虑风速的影响）
（1）从50m高空抛物到落地所需时间t 是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t 是多少s；
1 2
（2）t 是t 的多少倍？
2 1
（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？【分析】（1）将h＝50代入t ＝ 进行计算即可；将h＝100代入t ＝ 进行计算即可；
1 2
（2）计算t 与t 的比值即可得出结论；
2 1
（3）将t＝1.5代入公式t＝ 进行计算即可．
【解答】解：（1）当h＝50时，t ＝ ＝ （秒）；
1
当h＝100时，t ＝ ＝ ＝2 （秒）；
2
（2）∵ ＝ ＝ ，
∴t 是t 的 倍．
2 1
（3）当t＝1.5时，1.5＝ ，
解得h＝11.25，
∴下落的高度是11.25米．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二
次根式的概念、性质和运算的方法．
4．（2019秋•二道区期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为 18dm2
和32dm2的正方形木板．
（1）求剩余木料的面积．
（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出 2 块这样的
木条．【分析】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；
（2）求出3 和 范围，根据题意解答．
【解答】解：（1）∵两个正方形的面积分别为18dm2和32dm2，
∴这两个正方形的边长分别为3 dm和4 dm，
∴剩余木料的面积为（4 ﹣3 ）×3 ＝6（dm2）；
（2）4＜3 ＜4.5，1＜ ＜2，
∴从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是二次根式的应用，掌握二次根式的性质、无理数的估算是解题的关键．
5．（2018秋•太仓市期末）若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p＝ （a+b+c）．
记：Q＝ ．
（1）当a＝4，b＝5，c＝6时，求Q的值；
（2）当a＝b时，设三角形面积为S，求证：S＝Q．
【分析】（1）先根据△ABC的三边长求出p的值，然后再代入三角形面积公式中计算；
（2）设底边 c 上的高为 h，根据三角形的面积公式得到 S＝ c•h＝ c ，代入 Q＝
得到Q＝ c ，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵a＝4，b＝5，c＝6，
∴p＝ （a+b+c）＝ ，
∴Q＝ ＝ ＝ ；
（2）∵a＝b，
∴设底边c上的高为h，∴h＝ ，
∴S＝ c•h＝ c ，
∵a＝b，
∴p＝ （a+b+c）＝a+ c，
∴Q＝ ＝ ＝ c ，
∴S＝Q．
【点评】本题考查了二次根式的应用，三角形的面积公式，正确的化简二次根式是解题的关键．
6．（2019秋•会同县期末）已知长方形的长a＝ ，宽b＝ ．
（1）求长方形的周长；
（2）求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系．
【分析】首先化简a＝ ＝2 ，b＝ ＝ ．
（1）代入周长计算公式解决问题；
（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可．
【解答】解：a＝ ＝2 ，b＝ ＝ ．
（1）长方形的周长＝（2 + ）×2＝6 ；
（2）正方形的周长＝4 ＝8，
∵6 ＝ .8＝ ，
∵ ＞
∴6 ＞8．
【点评】此题考查二次根式的实际运用，掌握二次根式的化简方法以及长方形、正方形的周长与面积计
算方法是解决问题的关键．
7．（2021春•广陵区校级月考）一个三角形的三边长分别为10 、x 和 ．
（1）求它的周长（要求结果化简）（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
【分析】（1）利用二次根式的性质进行化简，进而求值计算即可；
（2）如果一个二次根式化简后为整数，则被开方数就是一个能开得尽方的数，适当取值即可．
【解答】解：（1）因为x＞0，所以三角形的周长为：
10 +x +
＝10× + +2
＝2 + +2
＝5 ；
（2）当x＝5时， ＝5，为整数，
此时，三角形的周长为5 ＝5×5＝25．
【点评】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质．
8．（2021秋•长安区校级期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为8
米，宽AB为 米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长
为 +1米，宽为 ﹣1米．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个
通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可
得；
（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，
【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2×（ ）＝2（8 +7 ）＝16 +14 （米），
答：长方形ABCD的周长是16 +14 （米），
（2）通道的面积＝
＝56 ﹣（13﹣1）＝56 （平方米），
购买地砖需要花费＝6×（56 ）＝336 ﹣72（元）．
答：购买地砖需要花费336 ﹣72元；
【点评】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及
其性质．
9．（2022春•海沧区校级期末）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为
12dm2和27dm2的正方形木板．
（1）求原矩形木板的面积；
（2）如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，估计最多能
裁出多少块这样的木条，请你计算说明理由．
【分析】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；
（2）求出2 和 的范围，根据题意解答．
【解答】解：（1）∵两个正方形的面积分别为12dm2和27dm2，
∴这两个正方形的边长分别为2 dm和3 dm，
∴原矩形木板的面积为3 （2 +3 ）＝45（dm2）；
（2）最多能裁出3块这样的木条．理由如下：
∵2 ≈3.464， ≈1.732，
3.46÷1≈3（块），
1.73÷1.5≈1（块），
3×1＝3（块）．
∴从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能裁出3块这样的木条．
【点评】本题考查的是二次根式的应用，掌握二次根式的性质、无理数的估算是解题的关键．
10．（2022 春•沂水县期中）座钟的钟摆摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为
，其中r表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m），g为重力加速度且g＝9.8m/s2，假
如一台座钟的钟摆长为0.5m，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在 1min内，该座钟发出多少次滴答声？（ ≈3.16， 取3.14，结果保留整数）
【分析】由给出的公式先计算出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到滴答次数．
π
【解答】解：当l＝0.5m，g＝9.8m/s2 时，
r＝2
π
＝2
π
＝2
π
＝ ，
≈ （s），
∴在1min内，该座钟发出滴答声的次数为：60÷1.42≈42，
答：在1min内，该座钟发出约42次滴答声．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用，计算出钟摆的周期是解决本题的关键．
B 卷 能力提升卷
（限时50分钟，每题10分，满分100分）
11．（2022春•伊宁市校级期末）已知矩形的长为a，宽为b且 ， ．
（1）求矩形的周长；
（2）当S矩形 ＝S正方形 时，求正方形的边长m的值．（注：S表示面积）
【分析】（1）根据矩形的周长＝2×（长+宽），列式计算即可；
（2）设正方形的边长为m，根据S矩形 ＝S正方形 ，列出方程6 ×4 ＝72，解方程求出m的值．
【解答】解：（1）∵矩形的长为a，宽为b且 ＝6 ， ＝4 ．
∴矩形的周长＝2（a+b）＝2（6 +4 ）＝20 ；
（2）设正方形的边长为x，则m＞0．
∵S矩形 ＝S正方形 ，
∴m2＝ab＝6 ×4 ＝72，
∴m＝6 （负值舍去），
∴正方形的边长m为6 ．
【点评】本题考查了二次根式的应用，掌握矩形、正方形的周长与面积公式是解题的关键．12．（2022秋•攸县期末）已知长方形长a＝ ，宽b＝ ．
①求长方形的周长；
②求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长大小关系．
【分析】①根据周长公式列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
②先求出正方形的边长，再由周长公式求解可得．
【解答】解：①长方形的周长为2×（ + ）＝2×（2 + ）＝6 ；
②长方形的面积为 × ＝2 × ＝6，
则正方形的边长为 ，
∴此正方形的周长为4 ，
∵6 ＝ ，4 ＝ ，且 ＜ ，
∴6 ＞4 ，
则长方形的周长大于正方形的周长．
【点评】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及
其性质．
13．（2022秋•南昌期末）如图，长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
（1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积；
（2）当a＝20+2 ，b＝20﹣2 ，x＝ ，求剩余部分的面积．
【分析】（1）用长方形的面积减去四周四个小正方形的面积列式即可；
（2）根据（1）所列出的式子，再把a＝20+2 ，b＝20﹣2 ，x＝ 代入即可求出答案．
【解答】解：（1）剩余部分的面积为：ab﹣4x2；
（2）把a＝20+2 ，b＝20﹣2 ，x＝ 代入ab﹣4x2得：（20+2 ）（20﹣2 ）﹣4×（ ）2
＝400﹣8﹣4×2
＝400﹣8﹣8
＝384．
【点评】此题主要考查二次根式的应用，用代数式表示正方形、矩形的面积，需熟记公式，且认真观察
图形，得出等量关系．
14．（2023•源城区开学）如图，B地在A地的正东方向，两地相距 km．A，B两地之间有一条东北
走向的高速公路，且A，B两地到这条高速公路的距离相等．上午8：00测得一辆在高速公路上行驶的
汽车位于A地的正南方向P处，至上午8：20，B地发现该车在它的西北方向Q处，该段高速公路限速
为110km/h．问：该车是否超速行驶？
【分析】根据题意得到AB＝28 ，∠P＝45°，∠PAC＝90°，∠ABQ＝45°，则∠ACP＝45°，∠BCQ＝
45°，作AH⊥PQ于H，根据题意有AH＝BQ，再证明△ACH≌△BCQ，
得到AC＝BC＝ AB＝14 ，根据等腰直角三角形的性质得PC＝ AC＝28，CQ＝ ＝14，所以
PQ＝PC+CQ＝42，然后根据速度公式计算出该车的速度＝126（km/h），再与110km/h比较即可判断该
车超速行驶了．
【解答】解：如图，AB＝28 ，∠P＝45°，∠PAC＝90°，∠ABQ＝45°，
∴∠ACP＝45°，
∴∠BCQ＝45°，
作AH⊥PQ于H，则AH＝BQ，
在△ACH和△BCQ中
，
∴△ACH≌△BCQ（AAS），
∴AC＝BC，∴AC＝BC＝ AB＝14 ，
∴PC＝ AC＝28，CQ＝ ＝14，
∴PQ＝PC+CQ＝42，
∴该车的速度＝ ＝126（km/h）
∵126km/h＞110km/h，
∴该车超速行驶了．
【点评】本题考查了二次根式的应用：二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根
式的概念、性质和运算的方法．
15．（2022春•江都区期末）请阅读下列材料：
问题：已知 ，求代数式x2﹣4x﹣7的值．
小明的做法是：根据 得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入，
得：x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
仿照上述方法解决问题：
（1）已知 ，求代数式x2+6x﹣8的值；
（2）已知 ，求代数式x3+2x2的值．
【分析】（1）根据x＝ ﹣3求出x+3＝ ，两边平方后求出x2+6x+9＝10，求出x2+6x＝1，再代
入求出答案即可；
（2）根据x＝ 求出2x+1＝ ，两边平方求出4x2+4x+1＝5，求出x2+x＝1，再变形后代入，即可
求出答案．【解答】解：（1）∵x＝ ﹣3，
∴x+3＝ ，
两边平方得：（x+3）2＝10，
即x2+6x+9＝10，
∴x2+6x＝1，
∴x2+6x﹣8＝1﹣8＝﹣7；
（2）∵x＝ ，
∴2x＝ ﹣1，
∴2x+1＝ ，
两边平方，得（2x+1）2＝5，
即4x2+4x+1＝5，
∴4x2+4x＝4，
即x2+x＝1，
∴x3+2x2
＝x3+x2+x2
＝x（x2+x）+x2
＝x×1+x2
＝x+x2
＝1．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，整式的加减等知识点，能够整体代入是解此
题的关键．
16．（2016春•泰州校级期末）（1）阅读：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设 ，
则这个三角形的面积为 ．
（2）应用：如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC＝4，求△ABC面积．
（3）引申：如图2，在（2）的条件下，AD、BE分别为△ABC的角平分线，它们的交点为I，求：I到
AB的距离．【分析】（2）先根据三边长度求出p的值，再代入公式计算可得；
（3）过点 I 作 IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，由角平分线性质可得 IF＝IH＝IG，再根据 S△ABC ＝
S△ABI +S△ACI +S△BCI 即可求得IF的长．
【解答】解：（1）如图：
在△ABC中，过A作高AD交BC于D，
设BD＝x，那么DC＝a﹣x，
由于AD是△ABD、△ACD的公共边h2＝c2﹣x2＝b2﹣（a﹣x）2，
解出x得x＝ ，
于是h＝ ，
△ABC的面积S＝ ah＝ a
即S＝ ，
令p＝ （a+b+c），
对被开方数分解因式，并整理得到 ；（2）由题意，得：a＝4，b＝5，c＝6；
∴p＝ ＝ ；
∴S＝ ＝ ＝ ，
故△ABC的面积是 ；
（3）如图，过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分别为点F、G、H，
∵AD、BE分别为△ABC的角平分线，
∴IF＝IH＝IG，
∵S△ABC ＝S△ABI +S△ACI +S△BCI ，
即 ＝ ×6•IF+ ×5•IG+ ×4•IH，
∴3•IF+ •IF+2•IF＝ ，
解得IF＝ ，
故I到AB的距离为 ．
【点评】本题主要考查三角形面积的计算和角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
17．（2022春•武江区校级期末）请阅读下列材料：
问题：已知x＝ +2，求代数式x2﹣4x﹣7的值．小敏的做法是：根据x＝ +2得（x﹣2）2＝5，∴x2
﹣4x+4＝5，得：
x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代
入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：（1）已知x＝ ﹣2，求代数式x2+4x﹣10的值；
（2）已知x＝ ，求代数式x3+x2+1的值．
【分析】（1）根据完全平方公式求出x2+4x＝1，代入计算即可；
（2）根据二次根式的乘法法则、完全平方公式计算，答案．
【解答】解：（1）∵x＝ ﹣2，
∴（x+2）2＝5，
∴x2+4x+4＝5，
∴x2+4x＝1，
∴x2+4x﹣10＝1﹣10＝﹣9；
（2）∵x＝ ，
∴x2＝（ ）2＝ ，
则x3＝x•x2＝ × ＝ ﹣2，
∴x3+x2+1＝ ﹣2+ +1＝ ．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、二次根式的乘法法则是解题的关键．
18．（2021春•石城县期末）在二次根式中如： ， ＝3，它
们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二
次根式除法可以这样理解：如： ， ．像这
样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）4﹣ 的有理化因式可以是 4+ ， 分母有理化得 ．
（2）计算：
①已知x＝ ，求x2+y2的值；
② ．【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；
（2）①将x与y分母有理化后代入原式计算即可得到结果．
②原式各项分母有理化，合并即可得到结果．
【解答】解：（1）4﹣ 的有理化因式可以是4+ ，
＝ ＝ ．
故答案为：4+ ， ；
（2）①当x＝ ＝ ＝ ＝2+ ，
y＝ ＝ ＝ ＝2﹣ 时，
x2+y2
＝（x+y）2﹣2xy
＝（2+ +2﹣ ）2﹣2×（2+ ）×（2﹣ ）
＝16﹣2×1
＝14．
②原式＝ ﹣1+ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ＝ ﹣1．
【点评】此题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方
差公式是解答问题的关键．
19．（2021秋•洪江市期末）阅读并解答问题：
＝ ＝ ；
＝ ＝ ；
＝ ＝2﹣ ；
……
上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题：（1）将 的分母有理化；
（2）已知a＝ ，b＝ ，求a+b的值；
（3）计算 +…+ + ．
【分析】（1）利用平方差公式进行二次根式分母有理化计算；
（2）先利用平方差公式进行分母有理化计算，从而化简a和b的值，然后代入求值；
（3）利用平方差公式进行分母有理化计算，然后通过观察数字变化的规律进行分析计算．
【解答】解：（1）原式＝
＝ ﹣2；
（2）a＝ ＝ ﹣ ，
b＝ ＝ ，
∴a+b＝ ＝2 ；
（ 3 ） 原 式 ＝ + +...+ +
＝ ﹣1+ ﹣ +...+ ﹣ + ﹣
＝ ﹣1
＝10﹣1
＝9．
【点评】本题考查二次根式的分母有理化计算，理解二次根式的性质，掌握平方差公式（a+b）（a﹣
b）＝a2﹣b2是解题关键．
20．（2022秋•昌平区期中）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是
一个整式时，求得的商就会出现类似 的形式，我们把形如 的式子称为根分式，例如 ，
都是根分式．（1）下列式子中① ，② ，③ ， ③ 是根分式（填写序号即可）；
（2）写出根分式 中x的取值范围 x ≥ 1 且 x ≠ 2 ；
（3）已知两个根分式 ， ．
①若M2﹣N2＝1，求x的值；
②若M2+N2是一个整数，且x为整数，请直接写出x的值： 1 ．
【分析】（1）根据根分式的定义进行判断即可；
（2）根据二次根式的定义，分式有意义的条件进行分析即可；
（3）①对式子进行化简，再进行求解即可；
②对式子进行化简，结合分式有意义的条件及二次根式的定义进行求解即可．
【解答】解：（1）① 不是根分式，
② 不是根分式，
③ 是根分式，
故答案为：③；
（2）由题意得：x﹣1≥0，x﹣2≠0，
解得：x≥1，x≠2，
故x的取值范围是：x≥1且x≠2；
故答案为：x≥1且x≠2；
（3）当 ， 时，
①M2﹣N2＝1，
（ ）2﹣（ ）2＝1，，
，
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解；
②M2+N2
＝（ ）2+（ ）2
＝ +
＝
＝
＝1+ ，
∵M2+N2是一个整数，且x为整数，
∴ 是一个整数，
∴x﹣2＝±1，
解得：x＝3或1，
经检验，x＝1符合题意，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，分式有意义的条件，二次根式的定义，解答的关键是对相
应的知识的掌握与运用．
C 卷 培优压轴卷（限时80分钟，每题10分，满分100分）
21．（2022•南京模拟）请阅读下面材料，并解决问题：
海伦——秦九韶公式
海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》
一书中证明了一个利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三
条边长分别为a，b，c，记 那么三角形的面积 ．这个公式称为海
伦公式．秦九韶（约1202﹣1261年），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边长求面积的
秦九韶公式 ．它填补了中国数学史中的一个空白，从中可以看出中
国古代已经具有很高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一个公式，
所以海伦公式也称海伦﹣秦九韶公式．
问题：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝7，BC＝8，请用海伦一秦九韶公式求△ABC的面积．
【分析】已知三角形ABC的三边为整数，直接将其带入海伦公式求面积即可．
【解答】解：根据材料，得a＝6，b＝7，c＝8，
∴ ，
∴
＝
＝
＝ ．
【点评】本题考查二次根式的应用，解题的关键是通过阅读理解材料中所给的定义以及概念，再运用材料中的知识点解决对应的问题即可．
22．（2021秋•叙州区期末）已知△ABC三条边的长度分别是 ， ， ，记
△ABC的周长为C△ABC ．
（1）当x＝2时，△ABC的最长边的长度是（请直接写出答案）；
（2）请求出C△ABC （用含x的代数式表示，结果要求化简）；
（3）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S＝
．其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S．若x为整数，
当C△ABC 取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．
【分析】（1）把x＝2代入三角形的三边中，分别计算，比较后即可求解；
（2）把三角形的三边求和，利用二次根式的性质化简即可求解；
（3）先根据x的取值范围，确定三角形周长的最大值及三角形各边的长，代入公式求出三角形的面积．
【解答】解：（1）当x＝2时， ＝ ， ， ，
∴△ABC的最长边的长度是3；
（2）由题知： ，解得﹣1≤x≤4．
∴ ， ，
∴C△ABC ＝ + + ＝ +5−x+x＝ +5；
（3）∵C△ABC ＝ +5，﹣1≤x≤4，且x为整数，
∴x越大C△ABC 越大，
∴当x＝4时，C△ABC 取得最大值，此时三边为 ，1，4，
∵ +1＜4，
∴不合题意舍去．
当x＝3时，三边为2，2，3，∴S＝
＝
＝
＝ ．
【点评】本题主要考查了二次根式，掌握三角形的三边关系和二次根式的化简和性质是解决本题的关键．
23．（2022秋•南山区校级期中）著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，
这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼
睛．请先阅读下列材料，再解决问题：
数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．
例如： ＝ ＝ ＝ ＝1+ ．
解决问题：
（1）在括号内填上适当的数： ＝ ＝③
①： 5 ，②： ，③ 3+ ．
（2）根据上述思路，化简并求出 + 的值．
【分析】（1）模仿样例进行解答便可；
（2）把28看成 ，7看成 ，借助完全平方公式将每个根号内化成完全平方数的
形式，便可开方计算得结果．
【解答】解：（1）由题意得， ＝ ＝3+ ，
则①＝5，②＝ ，③＝3+ ，
故答案为：①5；② ；③3+ ；（2） +
＝
＝
＝5﹣
＝7．
【点评】本题考查了二次根式的性质，完全平方式的应用，关键是把被开方数化成完全平方数．
24．（2022秋•临汾期中）阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应的任务：
法国数学家爱德华•卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第 n项的表达式，
创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题．
“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用．卢卡斯数列中的第n个数F
（n）可以表示为 + ，其中n≥1．（说明：按照一定顺序排列着的一列数称
为数列）
任务：
（1）卢卡斯数列中的第1个数F（1）＝ 2 ，第2个数F（2）＝ 1 ；
（2）卢卡斯数列有一个重要特征：当n≥3时，满足F（n）＝F（n﹣﹣1）+F（n﹣2）．请根据这一规
律写出卢卡斯数列中的第6个数F（6）．
【分析】（1）根据F（n）＝ + ，将n＝1，2分别代入计算即可求解；
（2）根据当n≥3时，满足F（n） ＝F（n﹣1）+F（n﹣2） ，先求出F（4） ，F（5） ，再进一步求出F（6）．
【解答】解：（1）F（1） ＝1+1＝2，第2个数F（2） ＝ + ＝1．
故答案为：2；1；
（2）∵F（n） ＝F（n﹣1）+F（n﹣2） ，
∴F（3） ＝F（2）+F（1） ＝1+2＝3；
F（4） ＝F（3）+F（2） ＝3+1＝4，
F（5） ＝F（4）+F（3） ＝4+3＝7，
∴F（6）＝F（5）+F（4） ＝7+4＝11．【点评】本题考查了二次根式的应用，关键是掌握“卢卡斯数列”．
25 ． （ 2022 春 • 南 城 县 校 级 月 考 ） 观 察 下 列 等 式 ： ；
；…你根据观察得到的结论，解答下列各题：
（1）猜想： ＝ ；
（2）解方程： ．
【分析】（1）根据阅读部分提供的方法直接可得答案；
（2）根据阅读部分的方法把方程化为 x＝3，再解方程即可．
【解答】解：（1）由题意可得： ．
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ x＝3，
解得：x＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题属于阅读题，考查分母有理化，二次根式的化简，理解题意，根据阅读部分提供的信息解
题是关键．
26．（2022秋•杏花岭区校级月考）小明在解决问题：已知 a＝ ．求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析
与解的：
∵a＝ ＝ ＝2﹣ ∴a﹣2＝﹣
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简 + + +…+ ；
（2）比较 ﹣ ＞ ﹣ ；（填“＞”或“＜”）
（3）A题：若a＝ +1，则a2﹣2a+3＝ 4 ．
B题：若a＝ ，则4a2﹣4 a+7＝ 5 ．
【分析】（1）根据分母有理化的方法化简即可；
（2）先将 和 化简，比较大小，从而可比较 ﹣ 和 ﹣ ；
（3）A题：由a＝ +1，可得a﹣1＝ ，（a﹣1）2＝2，从而可得a2﹣2a＝1，进一步求解即可；
B题：由a＝ ，可得a＝ ，从而可得2a﹣ ＝1，两边同时作平方，可得 ，
进一步求解即可．
【解答】解：（1） + + +…+
＝ …+
＝
＝ ；
（2） ＝ ，
＝ ，
∵ ＜ ，
∴ ﹣ ＞ ﹣ ，
故答案为：＞；
（3）A题：∵a＝ +1，
∴a﹣1＝ ，
∴（a﹣1）2＝2，
即a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴a2﹣2a+3＝4，
故答案为：4；B题：∵a＝ ，
∴a＝ ，
∴2a﹣ ＝1，
∴ ＝1，
即 ，
∴ ，
∴4a2﹣4 a+7＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，规律型，完全平方公式和平方差公式等，熟练掌握分母有理
化的方法是解题的关键．
27．（2022春•赤坎区校级期末）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因
式，例如 与 ， +1与 ﹣1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同
乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如： ， ＝
＝ ＝ ＝ ．
（1）请你写出3+ 的有理化因式： 3 ﹣ ；
（2）请仿照上面的方法化简 （b≥0且b≠1）；
（3）已知a＝ ，b＝ ，求 的值．
【分析】（1）根据有理化因式的定义即可解答；
（2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简；
（3）通过分母有理化可化简a、b，从而求出a+b、ab，根据 ＝ ，将
a+b，ab的值代入即可求解．【解答】解：（1）∵（3+ ）（3﹣ ）＝9﹣11＝﹣2，
∴3﹣ 是3+ 的有理化因式，
故答案为：3﹣ ；
（2）
＝
＝
＝1+ ；
（3）∵a＝ ＝﹣ ﹣2，b＝ ＝2﹣ ，
∴a+b＝﹣2 ，ab＝﹣1，
∴
＝
＝
＝
＝4．
【点评】本题主要考查了二次根式分母有理化的知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法．
28．（2022秋•皇姑区校级期中）阅读理解：已知x＝ +1，求代数式x2﹣2x﹣5的值．王红的做法是：
根据x＝ +1得（x﹣1）2＝2，∴x2﹣2x+1＝2，得：x2﹣2x＝1．把x2﹣2x作为整体代入：得x2﹣2x﹣
5＝1﹣5＝﹣4．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知x＝ ﹣2，求代数式x2+4x﹣5的值；
（2）已知x＝ ，求代数式x3+x2+1的值．
【分析】（1）仿照阅读材料解答即可；
（2）把已知变形可得x2+x＝1，代入即可求出答案．【解答】解：（1）∵x＝ ﹣2，
∴x+2＝ ，
∴（x+2）2＝（ ）2，
∴x2+4x＝﹣1，
∴x2+4x﹣5＝﹣6；
（2）∵x＝ ，
∴2x+1＝ ，
∴（2x+1）2＝（ ）2，
变形整理得：x2+x＝1，
∴x3+x2+1
＝x（x2+x）+1
＝x+1
＝ +1
＝ ．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是读懂题意，能将已知式子适当变形．
29．（2022春•南部县校级月考）在《九章算术》中有求三角形面积公式“底乘高的一半”，但是在实际
丈量土地面积时，量出高并非易事，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋著
名的数学家秦九韶（1208年﹣1261年）提出了“三斜求积术”，阐述了利用三角形三边长求三角形面
积方法，简称秦九韶公式．在海伦（公元62年左右，生平不详）的著作《测地术》中也记录了利用三
角形三边长求三角形面积的方法，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前287年﹣公元
前212年）得出的，故我国称这个公式为海伦﹣秦九韶公式．它的表述为：三角形三边长分别为a、b、
c，则三角形的面积 ．（公式里的p为半周长即周长的一半）
请利用海伦﹣秦九韶公式解决以下问题：
（1）三边长分别为3、6、7的三角形面积为 ．
（2）四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝7，AD＝6，∠B＝90°，四边形ABCD的面积为
．
（3）五边形ABCDE中，AB＝BC＝ ，CD＝6，DE＝8，AE＝12，∠B＝120°，∠D＝90°，求出五边形ABCDE的面积．
【分析】（1）根据题意应用二次根式的计算解答即可；
（2）根据二次根式的计算解答即可；
（3）根据二次根式的混合计算解答即可．
【解答】解：（1）三边长分别为3、6、7的三角形面积为 ；
故答案为： ；
（2）∵四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，
∴AC＝5，
∴△ABC的面积＝ ，
∴△ACD的面积＝ ，
∴四边形ABCD的面积为： ，
故答案为： ；
（3）∵五边形ABCDE中，AB＝BC＝ ，CD＝6，DE＝8，AE＝12，∠B＝120°，∠D＝90°，
∴AC＝6，
∴△ABC的面积＝ ，
∴CE＝10，
∴△CDE的面积为： ，
∴AC＝6，AE＝12，CE＝10，
∴△ACE的面积＝ ，
∴五边形ABCDE的面积为 ．
【点评】此题考查二次根式的应用，关键是根据三角形的面积公式解答．
30．（2020•太原三模）阅读下列材料，完成相应任务：
卢卡斯数列
法国数学家爱德华•卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第n项的表达式，
创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题．
“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用．卢卡斯数列中的第n个数F
（n）
可以表示为 ，其中n≥1．
（说明：按照一定顺序排列着的一列数称为数列．）
任务：
（1）卢卡斯数列中的第1个数F（1） ＝ 2 ，第2个数F（2） ＝ 1 ；（2）求卢卡斯数列中的第3个数F（3） ；
（3）卢卡斯数列有一个重要特征：当n≥3时，满足F（n） ＝F（n﹣1）+F（n﹣2） ．请根据这一规律直接写
出卢卡斯数列中的第5个数：F（5） ＝ 7 ．
【分析】（1）代入计算即可求解；
（2）代入计算，再根据完全平方公式即可求解；
（3）根据当n≥3时，满足F（n） ＝F（n﹣1）+F（n﹣2） ，先求出F（4） ，进一步求出F（5） ．
【解答】解：（1）F（1） ＝1+1＝2，第2个数F（2） ＝ + ＝1．
故答案为：2；1；
（2） ＝ ＝ ＝3；
（3）∵F（4） ＝F（3）+F（2） ＝3+1＝4，
∴F（5） ＝F（4）+F（3） ＝4+3＝7．
故答案为：7．
【点评】考查了二次根式的应用，关键是熟练掌握“卢卡斯数列”．
