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跟踪训练 01 计数原理、排列组合
一．选择题（共15小题）
1．重庆八中五四颁奖典礼上有 ， ， ， ， ， 共6个节目，在排演出顺序时，
要求 ， 相邻， ， 不相邻，则该典礼节目演出顺序的不同排法种数为
A．288种 B．144种 C．72种 D．36种
【解答】解：先将两个节目 ， 捆绑成一个元素，与节目 ， 进行全排列，
再将节目 ， 插入四个空档中，所以共有 种不同的结果．
故选： ．
2．四名师范生从 ， ， 三所学校中任选一所进行实习教学，其中 学校必有师范生
去，则不同的选法方案有
A．65种 B．37种 C．24种 D．12种
【解答】解：当4个人去1个学校时只能选择 学校，只有1种方案；
当4个人去2个学校时共有 种方案；
当4个人去3个学校时共有 种方案，
所以不同的选法方案共有 （种 ．
故选： ．
3．某公司将包括2名女员工在内的5名员工派往3个不同的地方学习，要求每人去一个
地方，每个地方至少去一人，则2名女员工必须在一起学习的不同的分配方案有
A．24 B．32 C．36 D．48
【解答】解：如果5人分成1，1，3三组，则分配方法有： 种，
如果5人分成1，2，2三组，则分配方法有： 种，由加法原理可得：不同分配方法数为 种．
故选： ．
4．将6名志愿者分配到两个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到1个社区，每个社区
至少分配两名志愿者，则有 种分配方式．
A．35 B．50 C．60 D．70
【解答】解：由题意可知：志愿者的人数分配有两种可能： 和 ，
则相应的分配方式分别有 种和 种，
所以不同的分配方式共有 种．
故选： ．
5．在万州二中八十周年校庆期间，有甲、乙、丙、丁 4名同学参加 ， ， 三项工作，
则下列说法正确的是
A．不同的安排方法共有 种
B．若恰有一项工作无人去参加，则不同的安排方法共有 种
C．若甲，乙两人都不能去参加 项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共
有44种
D．学校为了表扬先进，现将25个三好学生名额分配给高二年级22个班，每个班至少
一个名额，则不同的分配方法共有2024种
【解答】解：不同的安排方法共有 种，故选项 错误；
若恰有一项工作无人去参加，则不同的安排方法共有 种，故选项 错误；
若甲，乙两人都不能去参加 项工作，且每项工作都有人去，
则不同的安排方法共有 种，故选项 错误；
学校为了表扬先进，现将25个三好学生名额分配给高二年级22个班，每个班至少一个名
额，
则不同的分配方法共有 种；故选项 正确；故选： ．
6．第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．
甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者
工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的
项目，则不同的选择方案共有
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
【解答】解：先从除甲外的3人中选1人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，
若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有 种．
故选： ．
7．某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区
域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有 种
A．36 B．48 C．54 D．72
【解答】解：依题意显然不能用少于2种颜色涂色，
若利用3种不同的颜色涂色，首先选出3种颜色有 种选法，
先涂区域①有3种涂法，再涂②有2种涂法，则⑤只有1种涂法，④也只有1种涂法，则
③也只有1种涂法，
故一共有 种涂法；
若利用4种不同的颜色涂色，根据题意，分2步进行涂色：
当区域①、②、⑤这三个区域两两相邻，有 种涂色的方法；
当区域③、④，必须有1个区域选第4种颜色，有2种选法，选好后，剩下的区域有1种
选法，则区域③、④有2种涂色方法，故共有 种涂色的方法；
综上可得一共有 种涂法；
故选： ．
8．近年来喜欢养宠物猫的人越来越多．某猫舍只有5个不同的猫笼，金渐层猫3只（猫妈
妈和2只小猫崽）、银渐层猫4只、布偶猫1只．该猫舍计划将3只金渐层猫放在同一个
猫笼里，4只银渐层猫每2只放在一个猫笼里，布偶猫单独放在一个猫笼里，则不同的安
排有
A．8种 B．30种 C．360种 D．1440种
【解答】解：根据题意，将3只金渐层猫放在同一个猫笼里，则把3只金渐层猫看成是1
个整体，
4只银渐层猫每2只放在一个猫笼里，则分组方法有 （种 ，
一共有4个整体进行排列放在5个不同的猫笼，
则一共可以安排的方法有： （种 ．
故选： ．
9．佳木斯市第一中学校为了做好疫情防控工作，组织了 6名教师组成志愿服务小组，分配
到东门、西门、中门3个楼门进行志愿服务．由于中门学生出入量较大，要求中门志愿者
人数不少于另两个门志愿者人数，若每个楼门至少分配 1个志愿服务小组，每个志愿服务
小组只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为
A．240 B．180 C．690 D．150
【解答】解：由题意，6人需分成三组，且其中一组的人数不少于另外两组每一组的人数，
有以下几种情况：①每组2人：共有 ；
②三组人数分别为3，2，1：共有 ；
③三组人数分别为4，1，1：共有 ，
故共有 （种 ．
故选： ．
10．为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，我市教育系统选派了3名男教师和2名
女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个
学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方
法有
A．18种 B．36种 C．68种 D．84种
【解答】解： 名女教师分派到同一个学校，
若只有2位女老师分在一个学校，则3名男教师分成两组，有 ，然后3组再进行排列
即可，此时 种，
若还有1名男老师和2位女老师分子一个学校，则有 ，然后3组再进行排列即可，此时
种，
则共有 种，
故选： ．
11．如图所示， ， ， ， 是海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，
则不同的建桥方案共有
A．48种 B．32种 C．24种 D．16种【解答】解：分为以下两类：
第一类，从一个岛出发向其他三岛各建一桥，共有4种方法；
第二类，一个岛最多建两座桥，但是下面这样的两个排列对应一种建桥方法，
， ，要去掉重复的这样，因此共有 种方法．
根据分类计数原理，知道共有 种．
故选： ．
12．由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有
个．
A．360 B．192 C．312 D．240
【解答】解：根据题意可分为两类：个位数字为0和个位数数字为2或4，
当个位数字为0时，小于50000的偶数有 个；
当个位数字为2或4时，小于50000的偶数有 个，
所以小于50000的偶数共有 个．
故选： ．
13．某中学举行夏季运动会，共有3类比赛9个项目：集体赛2项，田赛3项，径赛4项．
要求参赛者每人至多报3项，且集体赛至少报1项，则每人有 种报名方式．
A．49 B．64 C．66 D．73
【解答】解：由题可知，若每人报集体赛1项，则报名方式有 种，
若每人报集体赛2项，则报名方式有 种，
所以每人共有报名方式 种．
故选： ．
14．为了迎接2023年五四青年节，厦门一中计划在两个校区各布置一个优秀青年校友的事
迹展板，由甲、乙在内的5名学生志愿者协助布置，每人参与且只参与一个展板的布置，
每个展板都至少由两人安装，若甲和乙必须安装不同的展板，则不同的分配方案种数为A．8 B．10 C．12 D．14
【解答】解：所有分组的方式 种，其中有4种不合题意，
故共有 种分配方式
故选： ．
15．若六位老师前去某三位学生（同学1，同学2，同学 家中家访，每一位学生至少有一
位老师家访，每一位老师都要前去家访且仅能家访一位同学，由于就近考虑，老师甲不去
家访同学1，则有 种安排方法
A．335 B．100 C．360 D．340
【解答】解：把6位老师按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人数分为三组；
①把6为老师平均分为3组的不同的安排方法数有 ，
再把这三组老师安排给三位不同学生家访的不同安排方案数为： ，
根据分步计数原理可得共有不同安排方案为： ，
如果把甲老师安排去家访同学1的方法数为： ，
所以把 6 位老师平均安排给三位学生家访且甲老师不安排去家访同学 1 的方法数为
；
②把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生家访的方法数为：若1同学只安排了一位
家访老师则 ，
若1同学安排了四位辅导老师币则 ，
所以把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生家访，甲老师不安排去家访同学1的方
法数为60；③把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生家访的方法数为：
若1同学只安排了一位辅导老师则 ，
若1同学只安排了两位辅导老师则 ，
若1同学只安排了三位辅导老师则 ，
所以把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生家访，甲老师不安排去家访同学1的方
法数为 ，
综上把 6 位老师安排给三位学生家访，甲老师不安排去家访同学 1 的方法数为
．
故选： ．
二．多选题（共5小题）
16．小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件 为“恰有两人
所去景点相同”，事件 为“只有小张去甲景点”，则
A．这四人不同的旅游方案共有64种
B．“每个景点都有人去”的方案共有72种
C．
D．“四个人只去了两个景点”的概率是
【解答】解： 选项，每个人都有3种选择，故共有 种旅游方案， 错误；
选项，每个景点都有人去，则必有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，
故有 种方案， 错误；
选项，恰有两人所去景点相同，即有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，
由 选项可知， （A） ，
又事件 ，即小张去甲景点，另外3人有两人去了同一个景点，其余1人去另一个景点，
故 ，所以 ， 正确；
选项，“四个人只去了两个景点”，分为2种情况，
第一，有3人去了同一个景点，另外一个去另外一个景点，则有 种方案，
第二，2人去了同一个景点，另外2人去了另一个景点，故有 种方案，
由 选项可知，这四人不同的旅游方案共有81种，
故“四个人只去了两个景点”的概率为 ， 正确．
故选： ．
17．如图，在某城市中， 、 两地之间有整齐的正方形道路网，其中 、 、 、
是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网 、 处的甲、乙两人分别要到
、 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达
、 处为止．则下列说法正确的是
A．甲从 到达 处的方法有20种
B．甲从 必须经过 到达 处的方法有9种
C．甲、乙两人在 处相遇的概率为
D．甲、乙两人相遇的概率为
【解答】解：对于 ，甲由道路网 处出发随机地选择一条沿街的最短路径到达 处需
走6步，
共有 种方法，故 正确．对于 ，甲经过 到达 ，可分为两步：
第一步：甲从 经过 的方法数： 种，
第二步：甲从 到 的方法数： 种，
所以：甲经过 的方法数为 种，故 正确；
对于 ，由 知：甲从 到达 处的方法有 种，甲经过 的方法数为1种，
同理，乙从 到达 处的方法有 种，乙经过 的方法数也为：1种，
甲、乙两人相遇经 点的方法数为：1种，
甲、乙两人相遇经 点的概率 ，故 不正确，
对于 ．甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在 、 、 、 处相遇，
他们在 ，2，3， 相遇的走法有 种方法；
，
甲、乙两人相遇的概率 ，故 正确；
故选： ．
18． 、 、 、 、 、 六个人并排站在一起，则下列说法正确的是
A．若 、 相邻，有120种排法 B．若 、 相邻，有240种排法
C．若 、 不相邻，有480种排法 D．若 、 不相邻，有960种排法
【解答】解： ， ， ， ， ， 五个人并排站在一起，若 ， 相邻，
则将 ， “捆绑”在一起，视为一个整体，与 ， ， ， 自由排列即可，
则方法总数为 （种 ．则选项 判断正确；选项 判断错误；
， ， ， ， ， 五个人并排站在一起，若 ， 不相邻，
则先让 ， ， ， 自由排列，再让 ， 去插空即可，则方法总数为 （种 ．则选项 判断正确；选项 判断错误．
故选： ．
19．现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球
全部放进盒子中，则下列结论正确的有
A．没有空盒子的方法共有24种
B．可以有空盒子的方法共有128种
C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种
D．恰有1个小球放入自己编号的盒中的方法共8种
【解答】解：对于 项，没有空盒子即每个盒子放一个球，共 种放法，故 正确；
对于 项，不考虑是否空盒子的放法为 种，减去 得 种，故 错误；
对于 项，先选不放球的盒子有4种，再把四个球分成三组（有一个盒子放 2个球）放入
三个盒子有： 种放法，故有 种放法，故 正确；
对于 项，恰有一个球放入自己编号有4种，余下3个球放入不同编号的盒子只有2种放
法．
比如1号球放入1号盒子，则2号球可放入3号盒子或4号盒子．若2号球放入3号盒子，
3号球只能放入4号盒子，4号球放入2号盒子；
若2号球放入4号盒子，则3号球只能放入2号盒子，4号球放入3号盒子．故 正确；
综上 三项正确．
故选： ．
20．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选
考科目，下列说法正确的是
A．若任意选择三门课程，选法总数为
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为D．若政治必须选，选法总数为
【解答】解：对于 ，任意选择三门课程，选法总数为 ， 正确；
对于 ，物理和化学至少选一门，分两类，
第一类：物理和化学选一门，有 种方法，其余两门从剩余的五门中选两门，有 种方
法，共有 种选法；
第二类：物理和化学都选有 种方法，其余一门从剩余的五门中选一门，有 种方法，
共有 种选法，
由分类加法计数原理知，选法总数为 ， 错误；
对于 ，物理和历史不能同时选，选法总数为 ， 正确；
对于 ，政治必须选，另两门从余下六门中任选两门，选法总数为 ， 错误．
故选： ．
三．填空题（共5小题）
21．某单位安排 、 、 、 人去甲、乙、丙三地出差，每人仅出差一个地方，每个
地方都要安排人出差，若 不安排去甲地，则不同的安排方法有 2 4 种．
【解答】解：①若有两人到甲地出差，
则不同的安排方法有 种，
②若只有1人到甲地出差，
则不同的安排方法有 种，
综合①②可得不同的安排方法有 种．
故答案为：24．
22．某地区高考改革，实行“ ”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，
“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了
必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有 1 6 （用数字作答）
【解答】解：若在物理、历史两门科目中只选一门，则有 种，
若在物理、历史两门科目中选两门，则有 种，
根据分类计数原理可得，共有 种，
故答案为：16．
23．由0，1，2，3，4，5，6这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到
大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有 9 0 个．
【解答】解：因偶数排列顺序固定且0只能在6，5，4位，奇数可任意排列，则
当0排在第6位时，共有 （个 数；
当0排在第5位时，共有 （个 数；
当0排在第4位时，共有 （个 数，
故这样的七位数共有 （个 ．
故答案为：90．
24．已知 ， ， 均为正整数，则满足 的一组解为 ， ， ， 4 ，
或 ， 1 ， （写一个即可） ．
【解答】解：当 时， 的尾数为0，而 尾数为5， ， ，
然后取 ， ， 一一检验可得， ， ， ，4， 或 ，1， ．
故答案为： ，4， 或 ，1， （写一个即可）．
25．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、
戊五位同学参加 、 、 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约
定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有 3 6 （用数字作答）
【解答】解：将5人分成3组，有：1，2，2和1，1，3这两种情况，甲、乙两人去同一个贫困县：（1）另外3人中的两人去同一个贫困县，有 种分法；
（2）另外3人中有1人与甲、乙两人一组去同一个贫困县，有 种分法；
将分好的三组全排列，对应3个贫困县，有 种情况，
所以有 种不同的派遣方案．
故答案为：36．
四．解答题（共3小题）
26．（1）从含有3件次品的40件产品中，任意抽取3件产品进行检验，抽出的产品中恰
好含有2件次品的抽法有多少种？
（2）从0，2中任取1个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重
复数字的三位数？
【解答】解：（1）由题意，抽出的产品中恰好含有2件次品的抽法有 ．
（2）当抽到0时，再从1，3，5中抽2个，有 种，
所以共有 种，
当取到2时，再从1，3，5中抽2个，有 种，
所以共有 种．
27．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，
（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取
法有多少种？
【解答】解（1）由题意知本题是一个分类计数问题，
将取出4个球分成三类情况
取4个红球，没有白球，有 种
取3个红球1个白球，有 种；取2个红球2个白球，有 ，
种
（2）设取 个红球， 个白球，则
符合题意的取法种数有 种
28．已知集合 ， ， ，0，1， ， ， ， ，1，2， ，从 ，
这两个集合中先后选取一个元素依次作为平面直角坐标系中点的横、纵坐标．
（1）求位于第二象限的不同点的个数；
（2）求在圆 内部（不含边界）的不同点的个数．
【解答】解：（1）位于第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，
从集合 ， ， ，0，1， 选横坐标，有3种方法，
再从集合 ， ， ，1，2， 选纵坐标，也有3种方法，
故根据分步乘法计数原理，位于第二象限的不同点的个数为 ；
（2）因为这个点在圆 的内部（不含边界），所以，该点到原点的距离
，
若 ，则 或 ，共2种情况；
若 ，则 或 ，共2种情况；
若 ，则 或 ，共2种情况．
根据分类加法计数原理，则满足条件的不同点的个数为6．
