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双中点模型和双角平分线模型（20题）
一．解答题（共20小题）
1．如图所示，线段AB＝8cm，点M在线段AB上，且AM：BM＝1：3，P、Q分别是线段AM和AB的中
点．
（1）AP＝ cm；
（2）求MQ的长．
【分析】（1）根据线段中点的性质计算即可；
（2）结合图形、根据线段中点的性质计算．
【解答】解：（1）∵线段AB＝8cm，AM：BM＝1：3，
∴AM＝2cm，BM＝6cm，
∵P是线段AM的中点，
∴AP＝ AM＝1cm．
故答案为：1；
（2）∵AB＝8cm，Q为AB的中点，
∴AQ＝ AB＝4cm，
∴MQ＝AQ﹣AM＝4﹣2＝2cm．
【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段的中点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的
关键．
2．已知一条直线上从左到右依次有A、B、C三个点．
（1）若BC＝10，AC＝3AB，直接写出AB的长度为 ．
（2）若D是射线BC上一点，M是BD的中点，N是CD的中点，求 的值．
【分析】（1）根据题意画出图形，结合题目的已知即可解决；
（2）分三种情况讨论，点D在BC之间，点D在AB之间，点D在点A的左侧．
【解答】解：（1）如图：
∵AC＝AB+BC，AC＝3AB，∴3AB＝AB+BC
∵BC＝10，
∴2AB＝10，
∴AB＝5，
故答案为：5；
（2）∵点M为BD的中点，点N为CD的中点，
∴BD＝2BM＝2DM，CD＝2DN＝2CN，
若点D在BC之间时，如图：
∴BC＝BD+CD＝2MD+2DN＝2MN，
∴ ＝2，
②若点D在AB之间时，如图：
∴BC＝DC﹣DB
＝2DN﹣2DM
＝2（DN﹣DM）
＝2MN，
∴ ＝2；
③若点D在A点左侧时，如图：
∴BC＝CD﹣BD
＝2DN﹣2DM
＝2（DN﹣DM）
＝2MN，
∴ ＝2，
综上所述， ＝2．【点评】本题考查了直线，射线，线段，两点间距离，借助图形分析是解题的关键，同时渗透了分类讨
论的数学思想．
3．如图，AC＝14cm，已知B为线段AC延长线上一点，CB＝ AC，若D，E分别为AC，AB的中点，求
DE的长．
【分析】根据题目的已知先求出AB的长再利用线段的中点性质求出AE，AD即可．
【解答】解：∵AC＝14cm，CB＝ AC，
∴BC＝8cm，
∴AB＝AC+BC＝22cm，
∵D，E分别为AC，AB的中点，
∴AE＝ AB＝11cm，AD＝ AC＝7cm，
∴DE＝AE﹣AD＝4cm．
【点评】本题考查了两点间距离，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
4．如图，点C是线段AB上一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．
（1）若AB＝10cm，则MN＝ cm；若MN＝6cm，则AB＝ cm．
（2）若AC＝5，CP＝2，求线段PN的长．
【分析】（1）利用线段中点的性质得到MC，CN的长度，则MN＝MC+CN，反过来同样的思路可得
AB的长；
（2）由已知条件可以求得AP＝AC+CP＝7，因为P是AB的中点，所以AB＝2AP＝14，BC＝AB﹣AC＝
9，根据N为BC的中点，可求得CN，所以PN＝CN﹣CP．
【解答】解：（1）∵M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC＝ AC，CN＝ BC，
MN＝MC+CN＝ （AC+BC）＝ AB＝ ×10＝5cm；
若MN＝6cm，∴MN＝MC+CN＝ （AC+BC）＝ AB＝6cm，
∴AB＝12cm；
故答案为：5，12；
（2）∵AC＝5，CP＝2，
∴AP＝AC+CP＝7，
∵P是线段AB的中点，
∴AB＝2AP＝14，
∴CB＝AB﹣AC＝9，
∵N是线段CB的中点，CN＝ CB＝4.5，
∴PN＝CN﹣CP＝4.5−2＝2.5．
【点评】本题主要考查两点间的距离，正确理解线段中点的定义是解题的关键．
5．如图已知点C为AB上一点，AC＝12，CB＝ AC，D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．
【分析】根据AC＝12，CB＝ AC，得到CB＝4，求得AB＝16，根据D、E分别为AC、AB的中点，分
别求得AD，AE的长，利用线段的差，即可解答．
【解答】解：∵AC＝12，CB＝ AC，
∴CB＝4，
∴AB＝AC+BC＝12+4＝16，
∵D为AC的中点，
∴DC＝AD＝6，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE＝8，
∴DE＝AE﹣AD＝2．
【点评】本题考查了两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
6．如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点，若AC＝6cm，CB＝4cm，求线段MN的长．【分析】根据线段中点的性质，可得MC、CN，再根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：由M、N分别是AC、BC的中点，
得MC＝ AC，CN＝ BC．
由线段的和差，得MN＝MC+CN＝ AC+ BC＝ ×6+ ×4＝5cm．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差．
7．如图，已知线段AB＝28，AC＝12，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点，求CN，MN的
长．
【分析】由线段中点定义，即可求解．
【解答】解：∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM＝ AC，CN＝ BC，
∵AC＝12，AB＝28，
∴BC＝AB﹣AC＝16，
∴CN＝ ×16＝8；
∵MN＝MC+CN，
∴MN＝ （AC+BC）＝ AB＝14．
【点评】本题考查线段中点的概念，关键是掌握此概念，并由线段中点的概念，得出有关等式．
8．如图所示，点C、D在线段AB上，点E、F分别是AC、DB的中点．
（1）设EF＝7cm，CD＝4cm，求线段AB的长；
（2）设AB＝a，EF＝b，用a，b表示线段CD的长．
【分析】（1）根据线段的中点求出AE＝EC，DF＝FB，根据线段的和差求出AE+FB，即可求出AB长；
（2）根据线段的中点求出EC+DF，即可求出CD的长．
【解答】解：（1）∵点E、F分别是AC、DB的中点，
∴AE＝EC，DF＝FB，
∵EF＝7cm，CD＝4cm，而EF＝EC+CD+DF，∴EC+DF＝3cm，
∴AE+FB＝3cm，
∴AB＝AE+EF+FB＝3+7＝10cm，
即AB＝10cm；
（2）∵AB＝a，EF＝b，AB＝AE+EF+FB，
∴AE+FB＝a﹣b，
∴EC+DF＝a﹣b，
∵EF＝EC+CD+DF＝b，
∴CD＝b﹣（a﹣b）＝2b﹣a，
即CD＝2b﹣a．
【点评】本题考查了求两点之间的距离和线段的中点，能求出AE+FB的长是解此题的关键．
9．如图，C是线段AB上一点，线段AB＝25cm， ，D是AC的中点，E是AB的中点．
（1）求线段CE的长；
（2）求线段DE的长．
【分析】（1）根据线段的和差倍分即可得到结论；
（2）根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝25cm，BC＝ AC，
∴BC＝ AB＝ ×25＝10（cm），
∵E是AB的中点，
∴BE＝ AB＝12.5cm，
∴EC＝12.5﹣10＝2.5（cm）；
（2）由（1）得，AC＝AB﹣CB＝25﹣10＝15（cm），
∵点D、E分别是AC、AB的中点，
∴AE＝ AB＝ ＝12.5（cm），AD＝ AC＝ ＝7.5（cm），
∴DE＝AE﹣AD＝12.5﹣7.5＝5（cm）．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质．10．如图，已知线段AB＝10，点O在线段AB上，点C，D分别是AO，BO的中点．
（1）AO＝ CO；BO＝ DO；
（2）求线段CD的长度；
（3）小明在反思过程中突发奇想：若点O在线段AB的延长线上，点C，D分别是AO，BO的中点，请
帮小明画出图形分析，并求线段CD的长度．
【分析】（1）根据线段中点的性质，可得答案；
（2）根据线段中点的性质，可得CO＝ AO，DO＝ BO，根据线段的和差，可得答案；
（3）O是AB延长线上的一点，由C、D分别是线段AO，BO的中点可得出CO，DO分别是AO，BO
的一半，因此，CO，DO的差的一半就等于AO，BO差的一半，因为CD＝CO﹣DO，AB＝AO﹣BO，
根据上面的分析可得出CD＝ AB．因此结论是成立的．
【解答】解：（1）∵点C、D分别是AO、BO的中点
∴AO＝2CO；BO＝2DO；
故答案为：2；2．
（2）∵点C、D分别是AO、BO的中点，
∴CO＝ AO，DO＝ BO，
∴CD＝CO+DO＝ AO+ BO＝ AB＝5；
（3）仍然成立，
如图：
理由：∵点C、D分别是AO、BO的中点，
∴CO＝ AO，DO＝ BO，
∴CD＝CO﹣DO＝ AO﹣ BO＝ （AO﹣BO）＝ AB＝ ×10＝5．
【点评】本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是利用了线段中点的性质，线段的和差得出答案．
11．如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠COB和∠AOC的度数．【分析】先根据角平分线，求得∠BOE的度数，再根据角的和差关系，求得∠BOF的度数，最后根据
角平分线，求得∠BOC、∠AOC的度数．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，OE平分∠AOB
∴∠BOE＝45°
又∵∠EOF＝60°
∴∠FOB＝60°﹣45°＝15°
∵OF平分∠BOC
∴∠COB＝2×15°＝30°
∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝30°+90°＝120°
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，根据角的和差关系进行计算是解题的关键．注意：也可以根
据∠AOC的度数是∠EOF度数的2倍进行求解．
12．如图，O在直线AB上，射线OD平分∠AOC，射线OE在∠BOC内．
（1）若∠DOE＝90°，求证：射线OE是∠BOC的平分线；
（2）若∠COE＝ ∠EOB，∠DOE＝72°，求∠EOB的度数．
【分析】（1）因为∠DOC与∠COE互余，根据已知求出∠DOA与∠BOE互余，然后利用等角的余角
相等求出即可；
（2）根据已知设∠COE＝x，则∠EOB＝3x，然后表示出∠DOC，再利用角平分线表示出∠AOC，最后
列出方程即可解答．
【解答】（1）证明：∵∠DOE＝90°，
∴∠DOC+∠COE＝90°，
∵∠AOB＝180°，
∴∠DOA+∠BOE＝180°﹣∠DOE＝90°，
∵射线OD平分∠AOC，∴∠DOA＝∠DOC，
∴∠COE＝∠BOE，
∴射线OE是∠BOC的平分线；
（2）解：∵∠COE＝ ∠EOB，
∴设∠COE＝x，则∠EOB＝3x，
∵∠DOE＝72°，
∴∠DOC＝∠DOE﹣∠COE＝72°﹣x，
∵射线OD平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠DOC＝2（72°﹣x），
∵∠AOC+∠COE+∠BOE＝180°，
∴2（72°﹣x）+x+3x＝180°，
解得：x＝18°，
∴∠EOB＝54°．
【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
13．如图，OC是∠AOB内的一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．
（1）若∠BOC＝80°，∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；
（2）若∠BOC＝ ，∠AOC＝ ，试猜想∠DOE与 、 的数量关系并说明理由．
α β α β
【分析】（1）由OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．可得出∠AOE＝∠EOC＝ ∠AOC，∠AOB＝
2∠AOD＝2∠DOB，进而求出∠COD，再求出∠DOE即可；
（2）与（1）方法相同，用 、 表示，同理可得到∠DOE＝ ∠BOC．
【解答】解：（1）∵∠BOCα＝8β0°，∠AOC＝40°，
∴∠AOB＝120°，
∵OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，∠AOC＝40°，
∴∠AOE＝∠EOC＝ ∠AOC＝20°，∠AOD＝ ∠AOB＝60°，
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝60°﹣20°＝40°；
（2）∵∠BOC＝ ，∠AOC＝ ，
∴∠AOB＝ + ，α β
∵OD、OEα分别β 平分∠AOB、∠AOC，
∴∠AOE＝∠EOC＝ ∠AOC＝ ，
β
∠AOD＝ ∠AOB＝ （ + ），
α β
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝ （ + ）﹣ ＝ ．
【点评】考查角平分线的意义，角α的和β 与差的β意义，α 等量代换是找出两个角之间关系常用的方法．
14．如图，OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，∠COD＝20°，∠AOB＝140°．
（1）求∠BOC的度数．
（2）求∠DOE的度数．
【分析】（1）由角平分线的定义得∠DOB＝ ∠AOB＝70°，再由∠BOC＝∠BOD﹣∠COD，即可得出
结果；
（2）由角平分线的定义得∠COE＝ ∠BOC＝25°，再由∠DOE＝∠COE+∠COD，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵OD平分∠AOB，
∴∠DOB＝ ∠AOB＝ ×140°＝70°，
∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝70°﹣20°＝50°；
（2）∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝ ∠BOC＝ ×50°＝25°，
∴∠DOE＝∠COE+∠COD＝25°+20°＝45°．
【点评】本题考查了角平分线的定义、角的计算等知识；熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．15．如图，∠AOB＝90°，OE、OF分别平分∠BOC、∠AOB，如果∠EOF＝60°．
（1）求∠BOE的度数；
（2）求∠AOC的度数．
【分析】（1）由已知可得， ，∠BOE＝60°﹣45°＝15°；
（2）由已知可得，∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，OF平分∠AOB，
∴
又∵∠EOF＝60°，
∴∠BOE＝60°﹣45°＝15°；
（2）∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠BOE＝30°．
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°．
【点评】本题考查角平分线的定义；熟练掌握角平分线的定义，能准确求角的和与差是解题的关键．
16．如图，∠AOB是平角，∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
（1）求∠EOF的度数．
（2）若∠COE＝70°，求∠DOF的度数．
【分析】（1）根据平角和角平分线的定义求得；
（2）根据角平分线的定义可得∠AOC＝2∠COE＝140°，进而得出∠BOC＝40°，根据角平分线的定义
可得∠COF＝20°，再根据角的和差关系计算即可．
【解答】解：（1）∵点A、O、B在一条直线上，即∠AOB＝180°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COE＝ ∠AOC，∠COF＝ ∠BOC，
∴∠COE+∠COF＝ （∠AOC+∠BOC）＝ ；
（2）∵∠COE＝70°，OE平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠COE＝140°，
∵OF平分∠BOC，
∴∠COF＝ ＝20°，
∴∠DOF＝∠COD+∠COF＝90°+20°＝110°．
【点评】此题考查了角的计算与角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的
应用．
17．如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF平分∠COA，OG⊥OC．
（1）求证：∠COF＝∠EOG；
（2）若∠BOD＝42°，求∠FOG的度数．
【分析】（1）利用余角的关系推理即得；
（2）利用对顶角相等推理即得．
【解答】解：（1）∵∠EOC＝ ， ，
∴∠EOC+∠COF＝
＝
＝
＝90°，
∵OG⊥CD，
∴∠EOC+∠GOE＝90°，∴∠COF＝∠EOG；
（2）∵∠AOC＝∠BOD＝42°，
∴∠COF＝ ＝21°，
∵∠COG＝90°
∴∠FOG＝∠GOE+∠COE
＝90°+21°
＝111°．
【点评】本题考查的是余角、对顶角等计算，解题的关键是熟练找到余角和对顶角，利用它们的对应关
系解决问题．
18．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
（1）如果∠AOC＝70°，∠COE＝50°，求∠BOD的度数；
（2）如果∠AOE＝160°，求∠BOD的度数；
（3）如果OM平分∠AOE，∠COD：∠BOC＝2：3，∠COM＝15°，求∠BOD的度数．
【分析】（1）利用角平分线的定义求出∠BOC和∠∠COD的度数即可解答；
（2）利用双角平分线的定义求出∠BOD＝ ∠AOE，即可解答；
（3）根据已知设∠COD＝2x，则∠BOC＝3x，利用角平分线的定义求出∠COE＝4x，∠AOC＝6x，从
而求出∠AOE，再根据OM平分∠AOE，求出∠EOM，最后利用∠COM＝15°，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵OB平分∠AOC，∠AOC＝70°，
∴∠BOC＝ ∠AOC＝35°，
∵OD平分∠COE，∠COE＝50°，
∴∠COD＝ ∠COE＝25°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝35°+25°＝60°；
（2）∵OB平分∠AOC，OD平分∠COE，∴∠COD＝ ∠COE，∠BOC＝ ∠AOC，
∴∠BOD＝∠COD+∠BOC
＝ ∠COE+ ∠AOC
＝ （∠COE+∠AOC）
＝ ∠AOE＝80°；
（3）∵∠COD：∠BOC＝2：3，
∴设∠COD＝2x，则∠BOC＝3x，
∵OB平分∠AOC，OD平分∠COE，
∴∠COE＝2∠COD＝4x，∠AOC＝2∠BOC＝6x，
∴∠AOE＝∠COE+∠AOC＝10x，
∵OM平分∠AOE，
∴∠EOM＝ ∠AOE＝5x，
∵∠EOM﹣∠COE＝∠COM＝15°，
∴5x﹣4x＝15°，
∴x＝15°，
∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝2x+3x＝75°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握双角平分线是解题的关键．
19．如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠COB的平分线，OE⊥OF，
（1）若∠COF＝2∠COE，求∠AOD的度数；
（2）试判断OF是否平分∠AOC，并说明理由．
【分析】（1）根据垂直的定义可得答案；
（2）由垂直的定义及补角的性质可得结论．
【解答】解：（1）∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，即∠COF+∠COE＝90°，
∵∠COF＝2∠COE，
∴∠COF＝60°，∠COE＝30°，
∵OE是∠COB的平分线，
∴∠COB＝2∠COE＝60°．
∴∠AOD＝∠COB＝60°．
（2）OF平分∠AOC，理由如下：
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，即∠COF+∠COE＝90°，∠AOF+∠BOE＝90°，
∵OE是∠COB的平分线，
∴∠EOB＝∠COE，
∴∠AOF＝∠COF，即OF平分∠AOC．
【点评】此题考查的是角平分线的定义、垂直的定义、余角与补角，掌握它们的概念与性质是解决此题
关键．
20．如图，已知OB是∠AOC内一条射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
（1）若AO⊥BO，∠BOC＝60°，求∠EOF的度数；
（2）试判断∠AOB＝2∠EOF是否成立．并请说明理由．
【分析】（1）求出∠AOC，根据角平分线性质求出∠EOC＝ ∠AOC＝75°，∠FOC＝ ∠BOC＝
30°，根据∠EOF＝∠EOC﹣∠FOC代入求出即可；
（2）根据角平分线性质求出∠EOC＝ ∠AOC，∠FOC＝ ∠BOC，根据∠EOF＝∠EOC﹣∠FOC代
入求出即可．
【解答】解：（1）∵AO⊥BO，∴∠AOB＝90°，
∵∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝150°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠EOC＝ ∠AOC＝75°，∠FOC＝ ∠BOC＝30°，
∴∠EOF＝∠EOC﹣∠FOC＝75°﹣30°＝45°；
（2）成立，理由如下：
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠EOC＝ ∠AOC，∠FOC＝ ∠BOC，
∴∠EOF＝∠EOC﹣∠FOC＝ （∠AOC﹣∠BOC）＝ ∠AOB，
即∠AOB＝2∠EOF．
【点评】本题考查了角的计算，主要利用了角的平分线的定义，对识图能力有一定要求，快速准确识图
是解题的关键．
