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培优专题 11 五种特殊图形的旋转
（部分内容有人教版九下内容，适情况而做）
◎类型一：直角三角形
1．（2022·全国·八年级专题练习）把直角三角形OAB与直角三角形O'CD如图1放置，直角顶点O与O′重
合在一起，点D在OB上，∠B＝30°，∠C＝45°．现将 O'CD固定， OAB绕点O顺时针旋转，旋转角α
（0°≤α＜90°），OB与DC交于点E． △ △
(1)如图2，在旋转过程中，若OA CD时，则α＝ ；若AB OC时，则α＝ ；
(2)如图2，在旋转过程中，当 ODE有两个角相等时，α＝ ；
(3)如图3，连结AC，在旋转过△程中，猜想∠DOB与∠CAB＋∠ACD的大小关系，并说明理由．
2．（2022·江西萍乡·八年级期末）在某次数学兴趣小组延时服务课上，李老师要求学生探究如下问题：(1)如图①，在等边 内有一点 ， ， ， ．试求 的度数．小亮同学一时没
有思路，当他认真分析题目信息后，发现以 ， ， 的长为边的三角形是直角三角形，他突然有了
正确的思路：如图②，将 绕点 逆时针旋转60°，得到 ，连接 ，可求出 的度数，
请你替小亮写出求解过程；
(2)如图③，在正方形 内有一点 ， ， ， ．试求 的度数；
(3)在图③中，若正方形 内有另一点 ， ， ， （ ， ）．请你探究：当
， ， 满足什么条件时， 的度数与第（2）问中 的度数相等，并说明理由．（友情提示：
正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
◎类型二：矩形
3．（2022·湖南娄底·八年级期末）问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的
旋转问题”，如图，在平面直角坐标系中，四边形 是矩形， ，点 ，点 ．
操作发现：以点 为中心，顺时针旋转矩形 ，得到矩形 ，点 ， ， 的对应点分别为 ，
， ．
(1)如图，当点 落在 边上时，求点 的坐标；(2)继续探究：如图，当点 落在线段 上时， 与 交于点 ，求证： ；
(3)拓展探究：如图，点 是 轴上任意一点，点 是平面内任意一点，是否存在点 使以 、 、 、
为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2022·上海市张江集团中学八年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形ABCD绕点
A逆时针旋转得到矩形AEFG．
(1)当点E落在对角线AC上时，AF、EF分别交DC于点M、N．①求证：MA＝MC；
②求MN的长；
(2)在旋转过程中，若直线AE经过线段BG的中点P，请直接写出线段PE的长度．
◎类型三：等腰三角形
5．（2021·吉林·四平市铁西区教师进修学校九年级期末）已知 是等腰三角形， ，将
绕点 逆时针旋转得到 ，点 、点 的对应点分别是点 、点 ．
感知：（1）如图①，当 落在 边上时， 与 之间的数量关系是___________（不需要证
明）；
探究：（2）如图②，当 不落在 边上时， 与 是否相等？如果相等，请证明；如果不
相等，请说明理由；
应用：（3）如图③，若 ， 、 交于点 ，则 __________度．
6．（2021·浙江·义乌市稠州中学教育集团八年级期中）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，
点P在直线OA上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．
（1）若AP＝AB，则点P到直线AB的距离是 ；
（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，
是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，请直接写出OP的长；若不存在，请说明理由．◎类型四：正方形
7．（2022·全国·九年级专题练习）【问题情境】如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将
Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到 ．延长AE交 于点F，连接DE．
(1)【猜想证明】试判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)如图2，若DA＝DE，猜想线段CF与 的数量关系并加以证明；
(3)【解决问题】如图1，若AB＝13，CF＝7，请直接写出DE的长度．
8．（2021·山西临汾·三模）综合与实践背景阅读：
“旋转”即物体绕一个点或一个轴做圆周运动．在中国古典专著《百喻经·口诵乘船法而不解用喻》中记载：
“船盘回旋转，不能前进．”而图形旋转即：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．综合实践课上，“睿智”小组
专门探究了正方形的旋转，情况如下：在正方形 中，点 是线段 上的一个动点，将正方形
绕点 顺时针旋转得到正方形 （点 ， ， ， 分别是点 ， ， ， 的对应点）．
设旋转角为 （ ）．
操作猜想：
（1）如图1，若点 是 中点，在正方形 绕点旋转过程中，连接 ， ， ，则线段 与
的数量关系是_______；线段 与 的数量关系是________．
探究验证：
（2）如图2，在（1）的条件下，在正方形 绕点 旋转过程中，顺次连接点 ， ， ， ， ．
判断四边形 的形状，并说明理由．
拓展延伸：
（3）如图3，若 ，在正方形 绕点 顺时针旋转的过程中，设直线 交线段 于点 ．
连接 ，并过点 作 于点 ．请你补全图形，并直接写出 的值．
◎类型五：等边三角形
9．（2022·江西九江·八年级期中）（1）问题发现：如图1， 和 均为等边三角形，当 旋
转至点A，D，E在同一直线上时，连接 ．
① 的度数为___________；②线段 ， 与 之间的数量关系是___________．
（2）拓展研究：如图2， 和 均为等腰直角三角形， ，点A，D，E在同
一直线上．若 ， ，求 的长度．
（3）探究发现：图1中的 和 ，在 的旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，
设直线 与 相交于点 ，试在备用图中探索 的度数，直接写出结果，不必说明理由．
10．（2022·辽宁·沈阳市第四十三中学八年级期中）（1）发现：如图1，点 是线段 上的一点，分别
以 ， 为边向外作等边三角形 和等边三角形 ，连接 ， ，相交于点 ．
结论：①线段 与 的数量关系为：________；② 的度数为________；
（2）应用：如图2，若点 ， ， 不在一条直线上，（1）中的结论①还成立吗？请说明理由；
（3）拓展：在四边形 中， ， ， ，若 ， ，请直接
写出 ， 两点之间的距离．
