文档内容
第二十三章 旋转（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列现象属于旋转的是（ ）
A．电梯的上下移动 B．飞机起飞后冲向空中的过程
C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车
【答案】C
【分析】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的定义是解题的关键；因此此题可根据旋转的定义“把一个平
面图形绕着平面内某一点转动一个角度”进行求解即可．
【详解】解：A、B、D选项都不符合旋转的定义，而C选项符合旋转的定义，故C选项属于旋转现象；
故选C．
2．下列图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查中心对称图形的定义，掌握中心对称图形的概念是解决的关键．在平面内，一个图形绕
某个点旋转 ，如果旋转前后的图形能完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、不是中心对称图形，故不符合题意；
C、是中心对称图形，故符合题意；
D、不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：C．
3．八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知 以及
外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点 ，得到 ，如图， 则下列结论不成
立的是（ ）A．点A与点 是对称点 B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；根据中心对称的性质判断即可，掌握
中心对称的性质是求解本题的关键．
【详解】解： 、 关于点O成中心对称，A，B，C关于O的对称点分别为 ，则
；
故选项A、B正确；
而 是对顶角，
则 ，
故选项C正确；
的对应角是 ，不是 ，
故选项D错误；
故选：D．
4．对于题目“把 的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以 ，画出得到的三角形”，嘉嘉和淇淇的答
案如图所示，对于这两个答案，其中说法正确的是（ ）
A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．嘉嘉、淇淇均对 D．嘉嘉、淇淇均不对
【答案】B
【分析】本题考查中心对称，根据题意得到 的三个顶点与对应三角形的三个顶点关于原点对称，即可得出结果．
【详解】解：把 的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以 ，则： 的三个顶点与对应三角形的三
个顶点关于原点对称，
故只有淇淇对；
故选B．
5．如图， 中， ，将 沿射线 的方向平移，得到 ，再将
绕点 逆时针旋转一定角度后，点 恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为
（ ）
A．4， B．2， C．2， D．3，
【答案】B
【分析】利用旋转和平移的性质得出， ， ，进而得出 是等边三角
形，即可得出 以及 的度数．
【详解】解：∵ ，将 沿射线 的方向平移，得到 ，再将 绕点 逆时针旋
转一定角度后，点 恰好与点C重合，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2， ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出 是等边三角形是
解题关键．
6．如图，在 中， ， ，将斜边 绕点 顺时针旋转 至 ，连接 ，则
的面积为（ ）A．6 B．12 C．18 D．36
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，旋转的性质，掌握证明三角形全等，得出边的长度是解
题的关键．根据题意，过点 作 于 （图示见详解），因为 ，即可求得
，所以得到 ，则有 ，由此即可求解．
【详解】解：将 绕点 顺时针旋转 到 ，
∴ ， ，
过点 作 于 ，如图所示，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 ， 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故选： ．
7．如图，小好同学用计算机软件绘制函数 的图象，发现它关于点 中心对称．若点
， ， ，……， ， 都在函数图象上，这 个点的横坐
标从 开始依次增加 ，则 的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出 ，
进而转化为求 ，根据题意可得 ， ，即可求解．
【详解】解：∵这 个点的横坐标从 开始依次增加 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，而 即 ，
∵ ，
当 时， ，即 ，
∵ 关于点 中心对称的点为 ，
即当 时， ，
∴ ，故选：D．
8．在平面直角坐标系 中，有一个等腰 ， ，直角边 在x轴上，且 ．将
绕原点O顺时针旋转 并放大得到等腰 ，且 ，再将 绕原点O顺时
针旋转 并放大得到 ，且 ，依此规律，得到等腰 ，则点 的坐标
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出 点坐标变化规律是解题关键．
根据题意得出 点坐标变化规律，进而得出点 的坐标位置，进而得出答案．
【详解】解：∵ 是等腰直角三角形， ，
，
，
将 绕原点 顺时针旋转 得到等腰直角三角形 ，且 ，再将 绕原点 顺时
针旋转 得到等腰三角形 ，且 ，依此规律，
∴每4次循环一周， ，
，
∴点 与 同在一个象限内，，
，
故选：D．
9．如图，点 为线段 的中点， 为直线 上方的一点，且满足 ，连接 ，以 为腰，
为直角顶点作等腰 ，连接 ，当 最大，且最大值为2时， 的长为（ ）．
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式
的混合运算等知识，构造全等三角形是解题的关键．将线段 绕点A逆时针旋转 得到线段 ，连接
， ，利用 证明 ，得 ，当C、H、D三点共线时， 最大，从而求出
的长，即可解决问题．
【详解】解：如图1中，将线段 绕点A逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ．
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 定值，∵ ，
∴当D，C，H共线时， 的值最大，如图2中，
设 ，
∵点C为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选B．
10．对于题目：“如图 ，平面上，正方形内有一长为 、宽为 的矩形，它可以在正方形的内部及边界
通过移转 即平移或旋转 的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数 ”甲、乙作了自
认为边长最小的正方形，先求出该边长 ，再取最小整数 ．
甲：如图 ，思路是当 为矩形对角线长时就可移转过去；结果取 ．
乙：如图 ，思路是当 为矩形的长与宽之和的 倍时就可移转过去：结果取 ．
下列正确的是（ ）A．甲的思路对，他的 值错 B．乙的思路错，他的 值对
C．甲和乙的思路都对 D．甲和乙的 值都对
【答案】A
【分析】据矩形长为 宽为 ，可得矩形的对角线长为 ，由矩形在该正方形的内部及边界通过平移或
旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，可得该正方形的边长不小于 ，进而可得正方形边长的最小整
数 的值．
【详解】解： 矩形长为 宽为 ，
矩形的对角线长为： ，
矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，
该正方形的边长不小于 ，
，
该正方形边长的最小正数 为 ．
故甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以， ；
乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；
故选： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，正方形网格中， 绕某一点逆时针旋转n度后得到 ．在A、B、C、D等4个格点中，
是旋转中心的为 ．【答案】B点
【分析】本题主要考查图形旋转的性质，牢记旋转中心的确定方法（对应点连线的垂直平分线的交点即为
旋转中心）是解题的关键．
根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心的距离相等，则对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】如图，连接 ， ，分别作线段 ， 的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点 ，点
即为旋转中心．
故答案为： 点．
12．二次函数 的图像关于原点中心对称的图像表达式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据题意，
二次函数的对称轴为 ，顶点坐标为 ，根据关于原点中心对称即可得到答案．
【详解】解：二次函数 的对称轴为 ，顶点坐标为 ，过点
关于原点中心对称的图像表达式的对称轴为 ，顶点坐标为 ，开口向上
，
故答案为： ；13．正八边形绕着它的中心旋转，若旋转后的正八边形能与自身重合，则旋转角的度数最小是 ．
【答案】45
【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这
种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．根据旋转角及旋转对称
图形的定义结合图形特点作答．
【详解】解：∵ ，
∴该图形绕中心至少旋转45度后能与自身重合．
故答案为：45
14．如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ．将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，则
点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形变化 旋转，全等三角形的性质与判定；分别过点 和点 作 轴的垂线，
利用全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：分别过点 和点 作 轴的垂线，垂足分别为 和 ，
由旋转可知，
， ，
，
．
在 和 中，，
， ．
又 ， ，
， ，
，
点 的坐标为 ．
故答案为： ．
15．如图，等边三角形 ，边长为6，点D为 边上一点， ，以D为顶点作边长为6的正方形
，连接 ， ．将正方形 绕点D旋转，当 取最小值时， 的长为 ．
【答案】8
【分析】过点A作 于M，由等边三角形的性质得出 ， ，得出
，在 中，由勾股定理得出 ，当正方形 绕点D旋转到点E、
A、D在同一条直线上时， ，即此时 取最小值，在 中，由勾股定理得出
，在 中，由正方形的边长及勾股定理即可得出 ．
【详解】解：过点A作 于M，是等边三角形，边长为6，
，
，
，
，
，
在 中， ，
当点E在DA延长线上时， ，此时 取最小值，
在 中， ，
正方形 的边长为6，
，
在 中， ，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最小值问题；熟练掌
握正方形的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
16．如图，边长为6的等边三角形 中， 是高 所在直线上的一个动点，连接 ，将线段 绕
点 逆时针旋转 得到 ，连接 ．则在点 运动过程中，线段 长度的最小值是 ．【答案】
【分析】取 的中点，连接 ，根据等边三角形的性质和旋转可以证明 ，可得
，根据垂线段最短，当 时， 最短，即 最短，进而根据30度角所对直角边等于
斜边的一半即可求得线段 长度的最小值．本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的
判定与性质、垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
【详解】解：如图，
取 的中点，连接 ，
线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，
，
又 是等边三角形，
，
即 ，
，
是等边三角形的高，
，
，
又 旋转到 ，
，
，
，
根据垂线段最短，当 时， 最短，即 最短，
此时 ，，
，
．
线段 长度的最小值是 ．
故答案为：
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．如图， 是等边 内一点，连接 ， ， ，且 ， ， ，将 绕点
顺时针旋转后得到 ，连接 ．
求：
(1)旋转角的度数________；
(2)线段 的长_________；
(3)求 的度数．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】本题主要考查了旋转图形的性质、等边三角形的判定及性质，勾股定理的逆定理等知识，熟练掌
握等边三角形的判定及性质是解题的关键．
（1）由旋转的性质及等边三角形的性质得 ，从而可得解；
（2）根据旋转的性质得 ， ，从而 为等边三角形，再利用等边三角形的性质即
可得解；
（3）先由勾股定理的逆定理证明 是直角三角形， ，再由 是等边三角形得，即可求得 ．
【详解】（1）解：∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ 绕点 顺时针旋转后得到 ， ，旋转用的度数为 ．
故答案为： ；
（2）解：∵ 绕点 顺时针旋转后得到 ，
∴ ，
而
∴ 为等边三角形；
∴ ．
（3）解：∵ 为等边三角形，
∴
∵ 绕点 顺时针旋转后得到 ，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形， ，
∴
18．如图，D是等边三角形 内一点，将线段 绕点A顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ，
， ，
(1)依题意补全图形
(2)求证： ；
(3)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质及全等三角形的判定与性质．
（1）依据题意画图即可；
（2）由等边三角形的性质知 ， ，由旋转的性质知 ， ，从而得
，再证 可得答案；
（3）由 ， 知 为等边三角形，即 ，继而由 ，得到
，再利用 即可得解．
【详解】（1）补全图形如下：
（2）证明： 是等边三角形，
， ．
线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，
， ．
．
．
在 和 中，
，
．
（3）解：如图，， ，
为等边三角形．
，
，
．
．
19．在长度均为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知点A、B、C的坐标分别为 、
、 ．
(1)将 沿着x轴向左平移5个单位后得到 ，请在图中画出平移后的 ；
(2)将 绕着O顺时针旋转 后得到 ，请在图中画出旋转后的 ，并直接写出 的坐标；
(3)将线段 绕着某个定点旋转 后得到 （其中点A的对应点为点 ，点B的对应点为点 ）则这
个定点的坐标是______．
【答案】(1)见解析
(2)图见解析，
(3)
【分析】此题主要考查了平移，旋转的性质，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义和性质．
（1）根据平移变换的定义作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可；（2）根据旋转变换的定义作出旋转后的对应点，再首尾顺次连接即可；
（3）连接 ， 相交于点D，即可判断出点D是旋转中心，由网格线即可得出点D的坐标；
【详解】（1）解：如图1， 即为所画；
（2）解：如图2， 即为所画，
由图可知 ；
（3）解： 线段 可以看成是线段 绕着某个定点旋转 后得到的图形，
点 与点B是对应点，点 与点A是对应点，连接 ， 相交于点D（定点），
由图形知， ，
即旋转中心为点 ，
故答案为 ．
20．在 和 中， ， ， ，将 绕点 旋转任
意角度，连接 ， ．
(1)完成填空：如图①，当点 恰好在线段 上时，线段 与 的数量关系是______，位置关系是
_______．
(2)如图②，直线 与直线 交于点 ．①（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．
②若 ， ，请直接写出在 旋转过程中，线段 长度的取值范围______
【答案】(1) ；
(2)①（1）中的两个结论仍然成立，理由见解析；②
【分析】（1）线段 与 的数量关系是 ，位置关系是 ．证明 ，
根据全等三角形的性质及三角形内角和定理即可得出结论；
（2）①（1）中的两个结论仍然成立．证明 ，根据全等三角形的性质及三角形内角和
定理即可得出结论；
②分两种情况：当点 恰好在线段 上时；当点 恰好在线段 上时，分别求出线段 长度即可．
【详解】（1）解：线段 与 的数量关系是 ，位置关系是 ,
理由：设 交 于点 ，
∵ ， ， ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ； ；
（2）①（1）中的两个结论仍然成立．
理由：∵ ， ， ，
∴ ，
，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
②如图，当点 恰好在线段 上时，过点 作 于点 ，
由①知： ，即 ，此时点 与点 重合，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，设 ，
∵ ， ， ， ，
∴ ，即 ，
解得： 或 （负值不符合题意，舍去），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图，当点 恰好在线段 上时，
由①知： ，
∵ ， ， ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴线段 长度的取值范围是 ．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等
边对等角，勾股定理等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握全等三角形的判定和性质、通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．如图所示的是某台阶的一部分，并且每级台阶的宽等于高，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
(1)根据 、 两点的坐标，
①补画出x轴、y轴，并标出原点O的位置；
②点P的坐标为 ，点 关于原点对称的点的坐标为 ；
(2)若台阶有k级（每个台阶凸出的角的顶点记作 且k为正整数）．
①直接用含k的代数式表示点 的坐标；
②判断点 是否在台阶上？说明理由；
(3)把台阶上点 到x轴的距离与点 到y轴距离中的较小值称为 的“短距”，若台阶中某一点 的“短
距”为1，直接写出该点的坐标．
【答案】(1)①图象见解析；② ，
(2)① ；②不在，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标、坐标确定位置，发现点的坐标规律是关键．
（1）①根据点的坐标画出直角坐标系即可；
②根据坐标系直接写出点P和点 关于原点对称的点的坐标即可；
（2）①根据点的坐标规律，直接写出点P的坐标即可；②将点 坐标代入 验证即可；
（3）根据点的坐标规律直接写出“短距”为1的点的坐标即可．
【详解】（1）①补画出x轴、y轴，并标出原点O的位置如图所示：
②根据坐标系可得 ，
点 关于原点对称的点的坐标为
故答案为： ， ．
（2）①
②当 时，解得 ，
则 ，
点 不在台阶上．
（3） 点 的“短距”为1，
故该点的坐标为 ．
22．如图，抛物线 经过点 和点 ，与 轴交于点 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)点 是第四象限内抛物线上的动点，求四边形 的面积的最大值和此时点 的坐标；
(3)点 是 轴上的一个动点，将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，若线段 与抛物
线有一个公共点，结合函数图像，请直接写出 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2)6， ；
(3) 或 ．
【分析】（1）将 、 代入 ，列方程组并且解该方程组求出 、 的值，
即得到抛物线的解析式为 ；
（2）连接 ，作 轴于点 ，设 ，则 ，由 ，
求得 ，则四边形 的面积的最大值为 ，此时 ；
（3）先由线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，得 ， ，再分两种
情况讨论，一是 ，即点 在 轴的正半轴上，将 、 分别代入 ，
求出线段 与抛物线有一个公共点时， 的最小值和最大值，即得到此时 的取值范围；二是 ，即点 在 轴的负半轴上，将 、 分别代入 ，求出线段 与抛物线有
一个公共点时， 的最小值和最大值，即得到此时 的取值范围．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 、点 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）如图 ，连接 ，作 轴于点 ，设 ，则 ，
当 时，由 ，得 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵点 在第四象限内抛物线上，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴当 时，四边形 的面积最大，最大值为 ，此时 ．（3）∵将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，
∴ ， ，
当 时，如图 ，
当点 在抛物线 上，则 ，
解得 ， （不符合题意，舍去），
当点 在抛物线 上，则 ，
解得 ， （不符合题意，舍去），
∴当 时，线段 与抛物线有一个公共点；
当 时，如图 ，
当点 在抛物线 上，则 ，
解得 ， （不符合题意，舍去），当点 在抛物线 上，则 ，
解得 ， （不符合题意，舍去），
∴当 时，线段 与抛物线有一个公共点，
综上所述， 的取值范围是 或 ．
【点睛】此题重点考查二次函数的图像与性质、用待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解法、旋转
的性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，第（2）小问关键在于运用函数解析式，第
（3）小问关键在于确定 ， 点的位置和坐标．
23．如图1，矩形 中， ， ，将矩形 绕着点B顺时针旋转，得到矩形 ．
(1)当点E落在 上时，则线段 的长度等于 ；
(2)如图2，当点E落在 上时，求 的面积；
(3)如图3，连接 、 、 、 ，判断线段 与 的位置关系且说明理由；
(4)在旋转过程中，请直接写出 的最大值．
【答案】(1)2
(2)
(3) ，理由见解析
(4) 的最大为12
【分析】（1）求出 的长度，利用旋转的性质得出 ，进而求出 的长度即可；
（2）过点B作 于点M，利用等面积法求出 的长度，利用勾股定理求出 、 的长度，
进而求出 的长度，从而求出 的面积；
（3）连接 、 ，设 与 相交于点N， 与 相交于点P，利用 和 是等腰三角形，且 从而得出 ，然后利用 得出 ，从而得出
；
（4）过点C作 直线 于点H，过点G作 直线 于点Q， ，
，利用 得出：当 最大时， 最大，从而得出当A、B、E三
点共线时， 最大，从而得出 的最大值．
【详解】（1）解：当 落在 上时，如图所示：
∵四边形 是矩形，
∴每个内角都等于 ，
∵ ，由勾股定理得：
，
由旋转的性质可知： ，
∴ ，
故答案为：2；
（2）解：当点E落在 上时，过点B作 于点M，
在 中，由勾股定理得：
,
∵ 是直角三角形， ，∴ ,
∴ ，
在 中，由勾股定理得：
，
在 中，由勾股定理得：
，
∴ ，
∴ ；
（3）解： ，理由如下：
证明：连接 、 ，设 与 相交于点N， 与 相交于点P，
由旋转的性质知： ， ，
∴在等腰 和等腰 中得到： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ；
（4）解：过点C作 直线 于点H，过点G作 直线 于点Q，∴ ， ，
∵
∴ ，
∴当 最大时， 最大，
在旋转过程中， ，
∴ ，
∴当点 三点共线时， ，此时最大，
∴ 的最大值为： ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理以及面积的计算，属于中考压轴题，难度较
大，在旋转的过程中，找到变化的量和不变的量，通过分析得出三点共线时． 最大是解题的突破
口．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．在平面直角坐标系 中，已知点 ，A为坐标系中任意一点．现定义如下两种运动：P运动：
将点A向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，得到点 ，再将点 绕点O逆时针旋转 ，
得到点 ；Q运动：将点A绕点O逆时针旋转 ，得到点 ，再将点 向右平移 个单位长度，再向上平移 个
单位长度，得到点 ．
(1)如图，已知点 ， ，点A分别经过P运动与Q运动后，得到点 ， ．
①若 ，请你在下图中画出点 ， 的位置；
②若 ，求m的值．
(2)已知 ，点A，B分别经过P运动与Q运动后，得到点 ， 与点 ， ，连接 ， ．若
线段 与 存在公共点，请直接写出此时线段 长度的取值范围（用含有t的式子表示）．
【答案】(1)①见详解；②
(2)
【分析】本题考查了旋转的性质，平移的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）①根据P运动和Q运动的运动方式求解即可;
②首先表示出点 的坐标为 ， 的坐标为 ，然后根据 得到 ，进
而求解即可；
（2）由题意得： ， 设 ，经过P运动，则 ，则
；Q运动后， ， ，则 即可求解．【详解】（1）①作图如图所示：
由P运动知 ，由旋转得 ， ，
而 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
由Q运动同理可求 ，再向右平移1个单位，向上平移0个单位得到 ．
②∵ ，
∴点A经过P运动后得到的点 的坐标为
点A经过Q运动后得到的点 的坐标为
∵∴ ，
∴ ．
（2）由题意可得：
由旋转的不变性和平移的性质得： ， ，
设 ，经过P运动，则 ，则 ；
Q运动后， ， ，
则 ，
∴当 时，线段 与 存在公共点，
∴ ，
∴ ．
25．（1）问题发现：
如图1，等边 内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求 的度数．为了
解决本题，我们可以将 绕顶点A逆时针旋转 到 处，这样就可以将三条线段 转
化到一个三角形中，从而求出 的度数．请按此方法求 的度数，写出求解过程；
（2）拓展研究：
请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题：
①如图2， 中， , ，点E，F为 边上的点，且 ，判断
之间的数量关系并证明；
②如图3，在 中， ， ， ，在 内部有一点P，连接 ，直接
写出 的最小值．【答案】（1） ，见解析；（2）① ，见解析；②
【分析】（1）连接 ，根据题意得到 ， ， ，进而
得到 '为等边三角形， ，根据勾股定理逆定理证明 是直角三角形，
且 ，即可求出 ；
（2）①证明 ，将 绕点A逆时针旋转 ， 得到 ， 连接 ，得到
， ， ， ，进而得到 ，根据勾股定理得到
，证明 ，得到 ，即可得到 ；
②将 绕点B逆时针旋转 ，得到 ， 连接 ， ，即可得到 ，
， ， ，从而得到 为等边三角形， ， 根据两点
之间线段最短得到 ，即可得到当且仅当 ， ，P，C四点共线时，
的值最小为 的长，根据勾股定理求出 ，即可得到 的最小值为
【详解】解： （1）连接 ，
∵将 绕顶点 A 逆时针 旋转60°到 ，∴ ， ，
∴ '为等边三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， 且 ，
∴ ，
∴ ；
（2）① ．
证明： ∵ , ，
∴ ，
如图，将 绕点A逆时针旋转 ， 得到 ， 连接 ，
则： ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵
∴ ，
∴ ，
∴ ；
② 的最小值为
如图，将 绕点B逆时针旋转 ，得到 ， 连接 ， ，
则： ， ， ， ，∴ 为等边三角形， ，
∴
∴ ，
∴当且仅当 ， ，P，C四点共线时， 的值最小为 的长，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与
性质等知识，综合性较强，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．
