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2023-2024 学年九年级上册 第二单元二次函数
A 卷•达标检测卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．（2023•仓山区校级开学）下列函数关系中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．
C．y＝50+x2 D．y＝（x+2）（x﹣3）﹣x2
【答案】C
【解答】解：A、当a＝0时，不是二次函数，故此选项不合题意；
B、不是二次函数，故此选项不合题意；
C、是二次函数，故此选项符合题意；
D、化简后，不是二次函数，故此选项不合题意；
故选：C．
2．（2023•广西）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛
物线是（ ）
A．y＝（x﹣3）2+4B．y＝（x+3）2+4 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣4
【答案】A
【解答】解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物
线是
y＝（x﹣3）2+4．
故选：A．
3．（2023•怀宁县一模）抛物线y＝2（x+3）2+4的顶点坐标是（ ）
A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（﹣3，﹣4）
【答案】B
【解答】解：抛物线y＝2（x+3）2+4的顶点坐标（﹣3，4），
故选：B．
4．（2022秋•平度市期末）关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）C．图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（4，0）
D．函数的最小值为﹣9
【答案】D
【解答】解：A、∵二次函数y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，∴图象的对称轴x＝﹣1，故
A不正确，不符合题意；
B、∵图象与y轴的交点坐标为（0，﹣8），∴B不正确，不符合题意；
C、∵y＝x2+2x﹣8＝（x+4）（x﹣2），∴图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（﹣4，
0），故C不正确，不符合题意；
D、∵二次函数y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，顶点坐标为（﹣1，﹣9），a＝1＞0，∴
函数值有最小值为﹣9，故D正确，符合题意；
故选：D．
5．（2022秋•未央区校级期末）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象如图所示，则关
于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为（ ）
A．3或1 B．﹣3或1 C．3或﹣3 D．﹣3或﹣1
【答案】B
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+m＝﹣（x+1）2+m+1，
∴该函数的对称轴为直线x＝﹣1，
由图象可知：二次函数y＝﹣x2﹣2x+m与x轴的一个交点为（﹣3，0），
∴该函数与x轴的另一个交点为（1，0），
∴当y＝0时，0＝﹣x2﹣2x+m对应的x的值为﹣3或1，
故选：B．
6．（2023•营口一模）抛物线y＝x2+4x﹣c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ）
A．c＝4 B．c＝﹣4 C．c≤4 D．c≥﹣4
【答案】B【解答】解：∵抛物线y＝x2+4x﹣c与x轴只有一个公共点，
∴方程x2+4x﹣c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×1•（﹣c）＝0，
∴c＝﹣4．
故选：B．
7．（2023•婺城区校级模拟）抛物线y＝x2﹣2x+1的对称轴是（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2
【答案】A
【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x+1的对称轴为x＝﹣ ＝1，
故选：A．
8．（2023春•东营期末）如表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的一些对应值，则
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x 的范围是（ ）
1
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣11 ﹣5 ﹣1 1 1 …
A．﹣3＜x ＜﹣2 B．﹣2＜x ＜﹣1 C．﹣1＜x ＜0 D．0＜x ＜1
1 1 1 1
【答案】C
【解答】解：当x＝﹣1时，y＝﹣1，x＝1时，y＝1，函数在[﹣1，0]上y随x的增大而
增大，得
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解在
﹣1＜x ＜0，
1
故选：C．
9．（2023•怀集县一模）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+c，点A（﹣2，y ），B（4，y ）是抛
1 2
物线上两点，若a＜0，则y ，y 的大小关系是（ ）
1 2
A．y ＞y B．y ＜y C．y ＝y D．无法比较
1 2 1 2 1 2
【答案】B
【解答】解：∵y＝ax2﹣4ax+c＝a（x﹣2）2﹣4a+c，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，对应的函数值越大，∵点A（﹣2，y ）到对称轴的距离为2﹣（﹣2）＝4，点B（4，y ）到对称轴的距离为
1 2
4﹣2＝2，
又∵2＜4，
∴点B（4，y ）到对称轴的距离近．
2
∴y ＜y ，
1 2
故选：B．
10．（2023•太平区二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣2，0），对
称轴为直线x＝1，下列结论中正确的是（ ）
A．abc＞0 B．b＝2a C．9a+3b+c＜0 D．8a+c＝0
【答案】D
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故A、B错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣2，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（4，0），
∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，故C错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），∴4a﹣2b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴4a+4a+c＝0，即8a+c＝0，故D正确，
故选：D．
二、填空题(本题共6题,每小题3分，共18分）。
11．（2022秋•河北区校级期末）二次函数 的图象开口向下，则m＝
﹣ 2 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：二次函数y＝（m+1） 的图象的开口向下，
∴m2﹣2＝2，且m+1＜0，
解得：m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
12．（2022秋•河西区校级期末）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，
﹣1），请你写出一个满足条件的二次函数的解析式 y ＝ 2 x 2 ﹣ 1 （答案不唯一） ．
【答案】y＝2x2﹣1（答案不唯一）．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），
∴该抛武线的解析式为y＝ax2﹣1，
又∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∴这个二次函数的解析式可以是y＝2x2﹣1，
故答案为：y＝2x2﹣1（答案不唯一）．
13．（2022秋•延边州期末）若二次函数y＝x2﹣2x+k的图象与x轴只有一个公共点，则k
＝ 1 ．
【答案】1．
【解答】解：令x2﹣2x+k＝0，
∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4k＝0，
解得k＝1，
故答案为：1．14．（2023•长岭县三模）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t
（单位：s）之间具有的关系为h＝24t﹣4t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 6 s．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：依题意，令h＝0得：0＝24t﹣4t2，
解得t＝0或t＝6，
小球从飞出到落地所用的时间为6﹣0＝6s．
15．（2023•东洲区模拟）已A（﹣4，y ），B（﹣3，y ），C（3，y ）三点都在二次函
1 2 3
数y＝﹣2（x+2）2的图象上，则y ，y ，y 的大小关系为 y ＜ y ＜ y ．
1 2 3 3 1 2
【答案】见试题解答内容
【解答】解：把A（﹣4，y ），B（﹣3，y ），C（3，y ）分别代入y＝﹣2（x+2）2得
1 2 3
y ＝﹣2（x+2）2＝﹣8，y ＝2（x+2）2＝﹣2，y ＝﹣2（x+2）2＝﹣50，
1 2 3
所以y ＜y ＜y ．
3 1 2
故答案为y ＜y ＜y ．
3 1 2
16．（2022秋•雁塔区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，与y轴交
于（0，﹣1），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；② ；③对于任意实
数m，都有m（am+b）＞a+b成立；④若（﹣2，y ）， ，（2，y ）在该函
1 3
数图象上，y ＜y ＜y ，其中正确结论有 ①②④ ．（填序号）
2 3 1
【答案】①②④．
【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线与y轴交于点（0，﹣1），
∴c＝﹣1，
∵ ，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵y＝ax2﹣2ax﹣1，
当x＝﹣1时，y＞0，
∴a+2a﹣1＞0，
∴ ，故②正确，
由图象可得，对于任意m都有am2+bm+c≥a+b+c，
即am2+bm≥a+b，
∴m（am+b）≥a+b，
故③不正确，
∵点（﹣2，y ）到对称轴的距离大于点（2，y ）到对称轴的距离，
1 3
∴y ＞y ，
1 3
∵点 到对称轴的距离小于点（2，y ）到对称轴的距离，
3
∴y ＞y ，
3 2
∴y ＜y ＜y ，故④正确，
2 3 1
故答案为：①②④．
三、解答题（本题共5题，共52分）。
17．（10分）（2022秋•郸城县期末）已知二次函数y＝﹣2x2+4x+3．
（1）求开口方向、对称轴及顶点坐标；
（2）当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大．
【答案】（1）开口向下，对称轴为：直线x＝1，顶点坐标为：（1，5）；
（2）x＞1时，y随x增大而减小，x＜1时，y随x增大而增大．
【解答】解：（1）y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5，
∵﹣2＜0，∴抛物线的开口向下，
对称轴为：直线x＝1，顶点坐标为：（1，5）；
（2）∵抛物线的开口向下，
∴x＞1时，y随x增大而减小，x＜1时，y随x增大而增大．
18．（10分）（2023•泸县校级模拟）已知一个抛物线经过点（3，0），（﹣1，0）和
（2，﹣6）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
【答案】（1）y＝2x2﹣4x﹣6；
（2）顶点坐标为（1，﹣8）；对称轴为直线x＝1．
【解答】解：（1）设y＝a（x﹣3）（x+1），
将（2，﹣6）代入，则a＝2，
∴y＝2（x﹣3）（x+1）＝2x2﹣4x﹣6，
（2）∵ ， ，
∴顶点坐标为（1，﹣8）；对称轴为直线x＝1．
19．（10分）（2023•唐河县模拟）“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的
水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），
水柱的最高点为P，AB＝2m，BP＝10m，水嘴高AD＝6m．
（1）以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐
标系，求图中抛物线的解析式；
（2）求水柱落点C与水嘴底部A的距离AC．
【答案】（1）y＝﹣（x﹣2）2+10；（2）（ ）m．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
∴y＝a（x﹣2）2+10，
把D（0，6）代入y＝a（x﹣2）2+10得，
4a＝﹣4．
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣2）2+10．
（2）当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+10．
解得x ＝2+ ，x ＝ （舍去）．
1 2
所以C（ ，0）．
答：水柱落点C与水嘴底部A的距离AC为（ ）m．
20．（10分）（2022秋•海陵区校级期末）某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，
在销售过程中发现销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系（其中
10≤x≤21，且x为整数），当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每
瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶；
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，
药店销售该消毒液每天销售利润最大．
【答案】（1）y＝﹣5x+150（10≤x≤21，且x为整数）．（2）当每瓶消毒液售价为
20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是500元．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（12，90），（15，75）代入y＝kx+b，
，解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣5x+150（10≤x≤21，且x为整数）．
（2）依题意得：w＝（x﹣10）（﹣5x+150）＝﹣5x2+200x﹣1500＝﹣5（x﹣20）2+500．
∵﹣5＜0，
∴当x＝20时，w取得最大值，最大值为500．
答：当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是
500元．
21．（12分）（2023•中宁县二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A点坐标为（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点M（a，0）是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求a的值．
【答案】（1）y＝x2﹣4x﹣5；D（2，﹣9）；
（2） ．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，
∴ ，
∴b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x+c，
∵y＝x2﹣4x+c经过点A（﹣1，0），
∴0＝1+4+c，
∴c＝﹣5，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5，
∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
∴抛物线的顶点D的坐标为（2，﹣9）；
（2）作点C关于x轴的对称点C'，连接C'D交x轴于点M，此时C'D最小，即
CM+DM的值最小，
令x＝0，则y＝﹣5，
∴点C的坐标为（0，﹣5），
∴点C'的坐标为（0，5），
设直线C'D的解析式为y＝mx+n，
∴ ，解得： ，
∴直线C'D的解析式为y＝﹣7x+5，
令y＝0，则﹣7x+5＝0，
解得： ，
即直线C'D与x轴的交点坐标为 ，
∴ ．
