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第13章 轴对称 B 卷
一、单选题
1. ( 3分 ) 下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A
【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A.即是轴对称图形，又是中心对称图形.故该选项正确；
B.是轴对称图形，但不是中心对称图形.故该选项错误；
C.是中心对称图形，但不是轴对称图形.故该选项错误；
D.是中心对称图形，但不是轴对称图形.故该选项错误.
故答案为：A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可判断.
2. ( 3分 ) 如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长为
18，则AC的长等于（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】 C
【考点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】由已知条件，利用线段垂直平分线的性质得AE+CE=BE+CE，再利用给出的周长即可求
出AC的长．
∵△BCE 的周长等于18cm，BC=8cm
∴ BE+EC=10cm
∵DE垂直平分AB
∴AE＝BE
∴ AE+EC=10cm ，即 AC=10cm
【分析】由△BCE的周长及BC的长可求出BE与EC的和，根据相段的垂直平分线的性质可求出AE=BE,
1进而求出AC的长。
3. ( 3分 ) 点P（2，﹣3）关于x轴的对称点是（ ）
A. （﹣2，3） B. （2，3）
C. （﹣2，-3） D. （2，﹣
3）
【答案】 B
【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点P（2，﹣3）关于x轴的对称点坐标为：（2，3）．
故选：B．
【分析】根据平面直角坐标系中对称点的规律解答．
4. ( 3分 ) 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B
【考点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这
个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．进行分析即可．
5. ( 3分 ) 用两个完全相同的直角三角形拼下列图形：(1)平行四边形，(2)矩形，(3)菱形，(4)正方形，(5)等
腰三角形，(6)等边三角形，一定可以拼成的图形是（ ）
A. (1)(4)(5); B. (2)(5)(6); C. (1)(2)(3); D. (1)(2)(5).
【答案】 D
【考点】三角形全等及其性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定
【解析】【解答】解：根据题意，用形状和大小完全相同的直角三角形一定能拼出平行四边形、矩形和等
腰三角形，共3种图形.
2画出图形如下所示：
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的性质、平行四边形的判定方法、矩形的判定方法、菱形的判定方法、正方形的
判定方法、等腰三角形的判定方法、等边三角形的判定方法，动手操作或画图即可判断.
6. ( 3分 ) 等腰三角形的一个内角是70°,则它顶角的度数是( )
A. 70° B. 70° 或 40°
C. 70° 或 50°
D. 40°
【答案】 B
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： 本题可分两种情况：
①当 70° 角为底角时， 顶角为 180°−2×70°=40° ；
② 70° 角为等腰三角形的顶角；
因此这个等腰三角形的顶角为 40° 或 70° ．
故答案为：B．
【分析】首先要进行分析题意， “等腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角， 所以要分两种情况
进行讨论 ．
7. ( 3分 ) 下列与防疫有关的图案中不是轴对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】 B
3【考点】轴对称图形
【解析】【解答】解：AB、为轴对称图形，对称轴为等边三角形的高，符合题意；
CD、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形特点分析判断，轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合.
8. ( 3分 ) 若a、b、c为△ABC的三条边，且满足条件：点（a+c，a）与点（2b，﹣b）关于x轴对称，则
△ABC的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】 B
【考点】等边三角形的判定，关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】∵点（a+c，a）与点（2b，﹣b）关于x轴对称，
∴a+c=2b，a=b，
∴a=b=c，
∴△ABC的形状是等边三角形．
故答案为：B
【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同、纵坐标互为相反数的特征，可得a+c=2b，a=b，可得a=b=c，
判定△ABC的形状是等边三角形。
9. ( 3分 ) 在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，∠B的度数
为（ ）
A. 20°或70° B. 30°或60° C. 25°或65° D. 35°或65°
【答案】 C
【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当AB的中垂线MN与AC相交时，如图：
∵∠AMD=90°
∴∠A=90°－40°=50°
4∵AB=AC
∴∠B=∠C==65°；
当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时，如图：
∴∠DAB=90°－40°=50°
∵AB=AC
∴∠B=∠C=∠DAB=25°.
故答案为：C.
【分析】分情况讨论：当AB的中垂线MN与AC相交时，利用三角形的内角和定理求出∠A的度数，再
利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠B的度数；当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时，
利用三角形的内角和定理求出∠DAB的度数，然后求出∠B的度数。
10. ( 3分 ) 如图，□ABCD 中，AE 平分∠BAD，交BC 于E，DE⊥AE，下列结论：①DE平分∠ADC；
②E 是BC 的中点；③AD=2CD；④四边形ADCE 的面积与△ABE的面积比是3：1，其中正确的结论的
个数有（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】 A
【考点】等腰三角形的判定，平行四边形的性质
【解析】【解答】①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AE平分∠BAD，
51
∴∠EAD=∠BAE= ∠BAD，
2
∵DE⊥AE，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠BAE+∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠CDE，
∴DE平分∠ADC，故①正确；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠EAD=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=EB，
同理EC=DC，
∴EB=EC，
∴E是BC的中点，故②正确；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∵BE=EC，
∴AD=2CD，故③正确；
④∵四边形ABCD是平行四边形
1
∴S = S平行四边形ABCD ，
△AED 2
1
∴S +S ═ S平行四边形ABCD ，
△ABE △EDC 2
∵EB=EC，
∴S =S ，
△ABE △EDC
∴四边形ADCE的面积与△ABE的面积比是3：1，故④正确，
故选：A
【分析】①根据平行四边形的性质得到平行线，再根所平行线的性质及角平分线的性质即可得到；
6②根据等腰三角形的判定得到边之前的关系；
③根据②推得；
④根据平行线间的距离相等证明，
二、填空题
11. ( 4分 ) 如图，在 RtΔABC 中，角 A=90°，AB=3,AC=4,P 是 BC 边上的一点，作 PE 垂直
AB , PF 垂直 AC ,垂足分别为 E、F ,则 EF 的最小值是________.
12
【答案】
5
【考点】垂线段最短，矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接AP,
∵∠BAC=90°,PE⊥AB,PF⊥AC,
∴∠BAC=∠AEP=∠AFP=90°,
∴ 四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP,
要使EF最小，只要AP最小即可，
过点A作 AP⊥BC 于P，此时AP最小，
在直角三角形 △BAC 中， ∠BAC=90°,AC=4, AB=3,
由勾股定理得：BC=5，
1 1
由三角形面积公式得： ×4×3= ×5×AP,
2 2
12
∴AP= ,
5
12
即 EF= ，
5
712
故答案为： .
5
【分析】根据已知条件得出四边形AEPF为矩形，得出EF=AP,要使EF最小，只要AP最小即可，根据垂
线段最短得出即可.
12. ( 4分 ) 如图，三角形纸片ABC，AB=11cm，BC=7cm，AC=6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，
使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为________cm．
【答案】 10
【考点】轴对称的性质
【解析】【解答】由△BDE由△BDC折叠得到，
∴△BDE≌△BDC
CD=ED BC=BE=7cm
∴C△ =AD+DE+AE=AD+CD+AB-BE=6+11-7=10(cm)
ADE
【分析】折叠即为轴对称，易得△BDE≌△BDC，利用等量代换可得周长为10cm.
13. ( 4分 ) 在 △ ABC中，AB＝AC ， AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E ， 垂足为D
3
， 连接BE ． 若AE＝5，tan∠AED＝ ，则CE＝________．
4
【答案】 1或11
【考点】线段垂直平分线的性质，解直角三角形
【解析】【解答】解：分两种情形：
当DE与AC边相交时，如图，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD ， AD⊥DE ．
AD
在Rt△ADE中，tan∠AED＝ ．
DE
83
∵tan∠AED＝ ，
4
AD 3
∴ = ．
DE 4
设AD＝3k ， 则DE＝4k ．
∴ AE=√AD2+DE2=5k ．
∵AE＝5，
∴5k＝5．
∴k＝1．
∴AD＝3k＝3．
∴AB＝2AD＝6．
∵AB＝AC ，
∴AC＝6．
∴CE＝AC﹣AE＝6﹣5＝1．
当DE与CA的延长线相交时，如图，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD ， AD⊥DE ．
AD
在Rt△ADE中，tan∠AED＝ ．
DE
3
∵tan∠AED＝ ，
4
AD 3
∴ = ．
DE 4
设AD＝3k ， 则DE＝4k ．
∴ AE=√AD2+DE2=5k ．
∵AE＝5，
∴5k＝5．
9∴k＝1．
∴AD＝3k＝3．
∴AB＝2AD＝6．
∵AB＝AC ，
∴AC＝6．
∴CE＝AC+AE＝6+5＝11．
综上，CE的长为1或11．
故答案为：1或11．
【分析】分两种情况讨论：当DE与AC边相交时，当DE与CA的延长线相交时，即可得出。
14. ( 4分 ) 如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长
线于点F，连接EF交CD于点G.若G是CD的中点，则BC的长是________
【答案】 7
【考点】全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，矩形的性质
【解析】【解答】解：∵FH垂直平分BE，
∴BF=EF，
1
∴∠D=∠BCD=∠GCF=90°，CG=DG= ×8=4，
2
在△DEG和△CFG中，
{
∠D=∠DCF
)
CG=DG
∠DGE=∠CGF
∴△DEG≌△CFG(ASA)，
∴DE=CF，EG=FG，
设DE=x，
则BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x，
在Rt△DEG中，
10EG=√DE2+DG2=√x2+16
∴EF=2EG=2√x2+16
∴4+2x=2√x2+16
解之：x=3
经检验x=3是原方程的解
即DE=3
∴BC=AE+ED=4+3=7
故答案为：7
【分析】利用线段垂直平分线的性质，可知BF=EF，再利用矩形的性质，可证∠D=∠BCD=∠GCF，
CG=DG，利用ASA证明△DEG≌△CFG，利用全等三角形的性质易证DE=CF，EG=FG，设DE=x，用含x
的代数式分别表示出EF、BF的长，
∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB=8，好友EF=BF，建立关于x的方程，解方程求出x的值，继而
可求出BC的长。
15. ( 4分 ) 在矩形 ABCD 中， AB=3,AD=9 ， P 是矩形 ABCD 边上的点，且 PB=PD ，则
AP 的长是________.
【答案】 4或 √34
【考点】勾股定理，线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】∵PB=PD，
∴点P在BD的垂直平分线上，
作BD的垂直平分线，分别交A
D、BC于P、P′，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，DC=AB=3，BC=AD=9，
11设AP为x，则PB=PD=9-x，
根据勾股定理得：AB2+AP2=PB2 ，
即32+x2=(9-x)2 ，
解得：x=4，
∴AP=4；
同理CP′=4，
∴P′B=5，
∴AP′= √AB2+P'B2=√32+52=√34 ，
故答案为：4或 √34 ．
【分析】由PD=PB可知点P在BD的中垂线上，由此作BD的中垂线分别交AD、BC于P、P′，继而根据
勾股定理进行求解即可.
16. ( 4分 ) 如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的
周长是________ cm．
【答案】 19
【考点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，DE是AC的中垂线，
1
∴AD=CD，AE=CE= AC=3cm，
2
∴△ABD得周长=AB+AD+BD=AB+BC=13 ①
则△ABC的周长为AB+BC+AC=AB+BC+6 ②
把②代入①得△ABC的周长=13+6=19cm
故答案为：19．
【分析】由已知条件，根据垂直平分线的性质得到线段相等，进行线段的等量代换后可得到答案．
17. ( 4分 ) 等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是________．
【答案】 50°或80°
【考点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，
12则此顶角为：180°﹣100°=80°，
则其底角为：（180°﹣80°）÷2=50°；
②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角，
则此底角为：180°﹣100°=80°；
故这个等腰三角形的底角为：50°或80°．
故答案为：50°或80°．
【分析】由等腰三角形的一个外角是100°，可分别从①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角；②若
100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角去分析求解，即可求得答案．
18. ( 4分 ) 如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PQ⊥OA，若PC=4，则PQ=________
【答案】 2
【考点】角平分线的性质，含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点P作PM⊥OB于M，
∵PC∥OA，
∴∠COP=∠CPO=∠POQ=15°，
∴∠BCP=30°，
1
∴PM= PC=2，
2
∵PQ=PM，
∴PQ=2．
故答案为：2．
【分析】过点P作PM⊥OB于M，根据平行线的性质可得到∠BCP的度数，再根据直角三角形的性质可求
得PM的长，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到PM=PQ，从而求得PQ的长．
三、作图题
19. ( 8分 ) 如图，在平面直角坐标系中， ΔABC 的顶点 A(0,1) ， B(3,2) ， C(1,4) 均在正方形
13网格的格点上.
（ 1 ）画出 ΔABC 关于x轴的对称图形 ΔA B C ；
1 1 1
( 2 )将 ΔA B C ，沿 x 轴方向向左平移3个单位、再沿 y 轴向下平移1个单位后得到 ΔA B C ，
1 1 1 2 2 2
写出 A ， B ， C 顶点的坐标.
2 2 2
【答案】 解：如图所示：△AB C 、△AB C ， 即为所求；
1 1 1 2 2 2
点A（﹣3，﹣2），B （0，﹣3），C （﹣2，﹣5）
2 2 2
【考点】作图﹣轴对称，坐标与图形变化﹣平移，作图﹣平移
【解析】【分析】(1)关于x轴的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，分别画出各点，然后顺次进行连接
得出图形；(2)根据平移的法则画出图形，得出各点的坐标.
20. ( 8分 ) 图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M、N均落在
格点上，在图①、图②给定的网格中按要求作图．
14（1）在图①中的格线MN上确定一点P，使PA与PB的长度之和最小
（2）在图②中的格线MN上确定一点Q，使∠AQM＝∠BQM．
要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法．
【答案】 （1）解：如图①，作A关于MN的对称点A′，连接BA′，交MN于P，此时PA+PB＝PA′+PB＝
BA′，根据两点之间线段最短，此时PA+PB最小；
（2）解：如图②，作B关于MN的对称点B′，连接AB′并延长交MN于Q，此时∠AQM＝∠BQM．
【考点】勾股定理，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】 (1) 如图 ① ，作A关于MN的对称点A′，连接 BA' ，交MN于P，P点即为所求；
(2) 如图 ③ ，作B关于MN的对称点B′，连接 AB' 并延长交MN于Q，Q点即为所求．
四、解答题
21. ( 15分 ) 已知：如图，△ABC，分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△AB C 和△AB C ．
1 1 1 2 2 2
【答案】 解：如图所示：
15【考点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】根据题意作出△ABC关于x轴、y轴对称的图形△AB C 和△AB C 即可．
1 1 1 2 2 2
22. ( 10分 ) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C
（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
①请画出△AB C ， 使△AB C 与△ABC关于x轴对称；
1 1 1 1 1 1
②将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB C ， 并直接写出点B旋转到点B 所经过
2 2 2 2
的路径长．
【答案】 解：如图所示，△AB C △AB C 即为所求；
1 1 1、 2 2 2
16∵OB= √42+22=2√5 ，∠BOB =90°，
2
90⋅π⋅2√5
∴点B旋转到点B 所经过的路径长为 =√5π ．
2 180
【考点】扇形面积的计算，作图﹣轴对称，作图﹣旋转
【解析】【分析】根据轴对称的性质及旋转的性质按要求画出图形即可；点B旋转到点B 所经过的路径长
2
是以O为圆心，圆心角为90°，OB的长为半径的弧，因此先利用勾股定理求出OB的长，再根据扇形的面
积公式求出弧BB 的长即可。
2
23. ( 5分 ) 如图是某区部分街道示意图，其中 CE 垂直平分 AF,AB//DC,BC//DF .从 B 站乘车
到 E 站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是 B⇒D⇒A⇔E ，且长度为5公里，路线2是
B⇒C⇒F⇒E ，求路线2的长度.
【答案】 解：如图，延长FD交AB于点G，
17∵BC∥DF，AB∥DC，
∴四边形BCDG是平行四边形，
∴DG＝BC，
∵CE垂直平分AF，
∴FE＝AE，DE∥AG，
∴FD＝DG，
∴CB＝FD，
又∵BC∥DF，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴CF＝BD，
∵CE垂直平分AF，
∴AE＝FE，FD＝DA，
∴BC＝DA，
∴路线2的长度：BC＋CF＋FE＝AD＋BD＋AE＝5（公里）.
【考点】线段垂直平分线的性质，平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】延长FD交AB于点G，易得四边形BCDG是平行四边形，根据平行四边形的性质以及
垂直平分线的性质可推出BC=DA，FE=AE，CF=BD，然后根据路线2的长度为BC＋CF＋FE进行计算即
可.
24. ( 6分 ) 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB分别交BC、AB于点D、E，且CD=DE，
求∠B的度数．
18【答案】 解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠A=∠ABE，
∵DE=CE，∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠A=∠ABE=∠CBE，
∵∠C=90°，
∴3∠CBE=90°，
∴∠CBE=30°，
即∠A=30°
【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得AE=BE，再根据等腰三角形的性质和判定可求出∠B
的度数。
25. ( 6分 ) 如图，已知AB=AC ， D是AB上一点，DE⊥BC于E ， ED的延长线交CA的延长线于F
， △ADF是等腰三角形吗？请说明理由。
【答案】 证明：∵AB=AC, ∴∠B=∠C（等边对等角）, ∵DE⊥BC于E, ∴∠FEB=∠FEC=90°,
∴∠B+∠EDB=∠C+∠EFC=90°,
∴∠EFC=∠EDB（等角的余角相等）,
∵∠EDB=∠ADF（对顶角相等）,
∴∠EFC=∠ADF,
∴△ADF是等腰三角形．
【考点】余角、补角及其性质，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C,再根据等角的余角相等得到∠EFC=∠EDB,再由
∠EDB=∠ADF ， 根据等角对等边判定△ADF是等腰三角形．
19
