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第17章勾股定理单元测试卷
一．选择题
1．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（ ）
A．6 B．8 C． D．
【分析】首先根据勾股定理，得：斜边＝ ＝13．再根据直角三角形的面积公
式，求出斜边上的高．
【解答】解：由题意得，斜边为 ＝13．所以斜边上的高＝12×5÷13＝ ．
故选：D．
2．如图，一架2.5m长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙底端0.7m，如
果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子的底部将平滑（ ）
A．0.9m B．1.5m C．0.5m D．0.8m
【分析】先根据梯子的顶端下滑了0.4米求出A′C的长，再根据勾股定理求出B′C的
长，进而可得出结论．
【解答】解：∵梯子的顶端下滑了0.4米，
∴A′C＝2m，
∵在Rt△A′B′C中，A′B′＝2.5m，A′C＝2m，
∴B′C＝ ＝ ＝1.5m，
∴BB′＝B′C﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8m．
故选：D．
3．如图，AB＝AC，则数轴上点C所表示的数为（ ）
A． +1 B． ﹣1 C．﹣ +1 D．﹣ ﹣1
【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，即为AC的长，再根据数轴上的点的表示解
答．
【解答】解：由勾股定理得，AB＝ ＝ ，
∴AC＝ ，∵点A表示的数是﹣1，
∴点C表示的数是 ﹣1．
故选：B．
4．由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树
在折断前（不包括树根）长度是（ ）
A．8m B．10m C．16m D．18m
【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．
【解答】解：由题意得BC＝8m，AC＝6m，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB＝ ＝10米．
所以大树的高度是10+6＝16米．
故选：C．
5．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1， ，3
【分析】根据勾股定理的逆定理求出两小边的平方和和大边的平方，看看是否相等即可．
【解答】解：A、1.52+22＝2.52，即三角形是直角三角形，故本选项正确；
B、42+52≠62，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
C、22+32≠42，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
D、12+（ ）2≠32，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
故选：A．
6．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．12，8，5 B．30，40，50 C．9，13，15 D． ， ，
【分析】根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案．
【解答】解：A、∵52+82≠122，∴此选项不符合题意；
B、∵302+402＝502，∴此选项符合题意；
C、∵92+132≠152，∴此选项不符合题意；
D、∵（ ）2+（ ）2≠（ ）2，∴此选项不符合题意．故选：B．
7．下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是（ ）
A．3，5，7 B．6，8，10 C．5，12，13 D．1，√3，2
【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段是否能构成直角三角
形，从而可以解答本题．
【解答】解：32+52≠72，故选项A符合题意；
62+82＝102，故选项B不符合题意；
52+122＝132，故选项C不符合题意；
12+（ ）2＝22，故选项D不符合题意；
故选：A．
8．如图中的古印度的“无字证明”直观的证明一个重要定理，这个定理早在三千多年前就
被周朝的数学家商高提出，它被记载于我国古代著名的数学著作是（ ）
A．《周髀算经》 B．《九章算术》 C．《几何原本》 D．《海岛算经》
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：勾股定理被记载于我国古代著名的数学著作是《周髀算经》，
故选：A．
9．下列各组数据不是勾股数的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，12，13 D．6，8，10
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方
和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A、12+32≠42 ，不能构成直角三角形，所以不是勾股数，故符合题意；
B、32+42＝52，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；
C、52+122＝132，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；
D、62+82＝102，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；
故选：A．
10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所
示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设
直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝26，大正方形的面积
为17，则小正方形的面积为（ ）A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，
利用已知（a+b）2＝26，大正方形的面积为17，可以得出直角三角形的面积，进而求出
答案．
【解答】解：如图所示：
∵（a+b）2＝26，
∴a2+2ab+b2＝26，
∵大正方形的面积为17，
∴2ab＝26﹣17＝9，
∴小正方形的面积为17﹣9＝8，
故选：C．
二．填空题
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝ ．
【分析】设BC＝3x，AC＝4x，又其斜边AB＝15，再根据勾股定理即可得出答案．
【解答】解：设BC＝3x，AC＝4x，又其斜边AB＝15，
∴9x2+16x2＝152，
解得：x＝3或﹣3（舍去），∴BC＝3x＝9．
故答案为：9．
12．课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出 ， ，…线段（如图所示）．”
即：OA＝1，过A作AA ⊥OA且AA ＝1，根据勾股定理，得 OA ＝ ；再过A 作
1 1 1 1
A A ⊥OA 且A A ＝1，得OA ＝ ；…以此类推，得OA ＝ ．
1 2 1 1 2 2 2018
【分析】利用勾股定理计算出OA 、OA 、OA ，然后根据计算的结果出现的规律可写出
1 2 3OA ．
2019
【解答】解：OA ＝ ＝ ，
1
OA ＝ ＝ ，
2
OA ＝ ＝ ，
3
…，
所以OA ＝ ．
2018
故答案为 ．
13．在△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝6，则AB边上的高为 ．
【分析】利用勾股定理的逆定理推出∠ACB＝90°，由三角形ABC的面积可得出答案．
【解答】解：在△ABC中，BC＝8，AC＝6，AB＝10，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
设AB边上的高为h，
∵S△ABC ＝ BC•AC，
∴h＝ ＝ ，
即AB边上的高为 ．
故答案为 ．
14．如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面 2米处折断，树的另一部分倒地后与地
面成30°角，那么这棵树折断之前的高度是 米．
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了短直角边和一锐角为30度，运用直角三
角形30度角的性质，从而得出这棵树折断之前的高度．
【解答】解：∵一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30°角，
如图，可知：∠ACB＝90°，AC＝2米，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝4米，
∴折断前高度为2+4＝6（米）．故答案为6．
15．如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，
滑梯的高度BC＝4m，BE＝1m．则滑道AC的长度为 m．
【分析】设AC＝xm，则AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣1）m，在Rt△ABC中利用
勾股定理列出方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：设AC＝xm，则AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣1）m，
由题意得：∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
即（x﹣1）2+42＝x2，
解得x＝8.5，
∴AC＝8.5m．
故答案为：8.5．
16．由线段a＝4，b＝5，c＝6组成的三角形 直角三角形（填“是”或“不是”）．
【分析】求出两小边的平方，再求它们的和，看是否等于长边6的平方，等于就说明能
构成直角三角形，否则不能构成．
【解答】解：∵42＝16，52＝25，62＝36，
∴42+52＝41≠36＝62，
∴不能组成直角三角形．
17．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所
示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方
形的面积是100，小正方形面积是20，则（sin +cos ）2＝ ．
θ θ
【分析】先由两个正方形的面积分别得出其边长，设AC＝BD＝a，由勾股定理解得a的
值，后按照正弦函数和余弦函数的定义得出sin 和cos 的值，最后代入要求的式子计
算即可．
θ θ
【解答】解：∵大正方形的面积是100，小正方形面积是20，∴大正方形的边长是10，小正方形的边长是2 ，
设AC＝BD＝a，如图，
△ABD中，由勾股定理得：
a2+（2 +a）2＝102，
解得a＝2 （负值舍去），
∴sin ＝ ＝ ，则cos ＝ ，
θ θ
∴（sin +cos ）2＝（ + ）2＝ ．
θ θ
故答案为： ．
三．解答题
18．如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷，若绳子的长度为
5.5米，固定点C到帐篷支撑杆底部B的距离是4.5米，现有一根高为3.2米的竿，它能
否做帐篷的支撑竿，请说明理由．
【分析】在△ABC中，已知了边AC、BC、AB的值，利用勾股定理逆定理判断即可．
【解答】解：∵△ABC中，AC＝5.5米，BC＝4.5米，AB＝3.2米；
∴AC2＝30.25，BC2＝20.25，AB2＝10.24；
∵30.25≠20.25+10.24，
∴不能做帐篷的支撑竿．
19．在我区“五水绕城”生态环境提升项目中，有一块三角形空地将进行绿化，如图，
△ABC中，AB＝AC，E是AC上的一点，CE＝50，BC＝130，BE＝120．
（1）判断△ABE的形状，并说明理由．
（2）求△ABC的周长．【分析】（1）直接利用勾股定理逆定理进而分析得出答案．
（2）设AB＝AC＝x，则AE＝x﹣50，利用勾股定理得出AB的长，则可求出答案．
【解答】解：（1）△ABE是直角三角形，
理由：∵BC2＝1302＝16900，BE2＝1202＝14400，CE2＝502＝2500，
∴BE2+CE2＝BC2＝16900，
∴∠BEC＝90°，
∴BE⊥AC，
∴△ABE是直角三角形．
（2）设AB＝AC＝x，则AE＝x﹣50，
由（1）可知△ABE是直角三角形，
∴BE2+AE2＝AB2，
∴1202+（x﹣50）2＝x2，
解得x＝169．
∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝169+169+130＝468．
20．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，BC＝1，∠BAC＝30°，CD＝2，AD＝2 ．
求（1）∠ACD的度数；
（2）四边形ABCD的面积．
【分析】（1）利用含30°角的直角三角形的性质求出AC的长，再利用勾股定理逆定理
证明△ACD是直角三角形即可；
（2）计算出△ABC和△ACD的面积，再求和即可．
【解答】（1）解：∵∠B＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AC＝2BC＝2，
又CD＝2，AD＝2 ，
∴AC2+CD2＝8，AD2＝8，∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形．
∴∠ACD＝90°；
（2）解：∵AC＝2，BC＝1，
∴AB＝ ＝ ，
∴ 四 边 形 ABCD 的 面 积 ＝ 三 角 形 ABC 的 面 积 + 三 角 形 ADC 的 面 积 ＝
＝ ．
21．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立
即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C处将其拦截．已知甲
巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西23°．
（1）求甲巡逻艇的航行方向；
（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两
艘巡逻艇相距多少海里？
【分析】（1）先用路程等于速度乘以时间计算出AC，BC的长，利用勾股定理的逆定
理得出三角形ABC为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解；
（2）分别求得甲、乙航行3分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离．
【解答】解：（1）由题意得：∠CBA＝90°﹣23°＝67°，
AC＝120× ＝12（海里），BC＝50× ＝5（海里），
∵AB＝13（海里），
∵AC 2+BC 2＝AB 2，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠CBA＝67°，
∴∠CAB＝23°，
∴甲的航向为北偏东67°；
（2）甲巡逻船航行3分钟的路程为：120× ＝6（海里），
乙巡逻船航行3分钟的路程为：50× ＝2.5（海里），3分钟后，甲乙两巡逻船相距为： ＝6.5（海里）．
22．如图，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13．
（1）求AB的长；
（2）试判断△ABD的形状，并说明理由．
【分析】（1）在△ABC中，根据勾股定理求出AB2的值；
（2）再在△ABD中根据勾股定理的逆定理，判断出AD⊥AB．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠C＝90°，
∴AB2＝CB2+AC2＝42+32＝52，
∴AB＝5；
（2）△ABD为直角三角形，
理由：在△ABD中，AB2+AD2＝52+122＝132，
∴AB2+AD2＝BD2，
∴∠BAD＝90°，
即△ABD为直角三角形．
23．如图，边长为m的正方形中有一个边长为n的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一
个长方形，如图3，利用图1和图3的阴影部分的面积．
（1）你能得到的公式是 ；
（2）爱思考的小聪看到三边为a，b，c的直角三角形（如图4），四个这样全等的直角
三角形与中间小正方形组成大正方形，他想利用大正方形的两种不同的面积表示方法得
到等式．请你代替小聪来表示这个大正方形的面积：
方法一： ；（用a，b，c来表示）
方法二： ；（用a，b，c来表示）
（3）你能得出一个关于a，b，c的等式： ；
（4）若a＝6，b＝8，求c的值．
【分析】（1）根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积和长方形的面积两种方法列式即可；
（2）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个直角三角形的面积和正方形的
面积公式列式即可；
（3）根据两种方法表示出的大正方形的面积相等整理即可得解；
（4）把a、b、c的值代入关系式进行计算即可得解．
【解答】解：（1）得到公式是：m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）；
（2）方法一：（a+b）2，
方法二： ab×4+c2＝2ab+c2；
（3）（a+b）2＝2ab+c2，
整理得，a2+b2＝c2；
（4）当a＝6，b＝8时，62+82＝c2，
解得c＝10．
故答案为：（1）m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）；（2）（a+b）2，2ab+c2；（3）a2+b2＝
c2；．
24．学校的一棵大树被风吹断了，如图，距地面6m处折断，折断的树梢顶部落在距树干
底部8m处，求此树原高是多少米？（图1）
有两棵大树，一棵高8m，另一棵高2m，BC＝6，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢，
至少飞多少米？（图2）
一架长10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面8m，现将梯子顶端沿墙面下滑2m，则
梯子底端与墙面距离是否也增长2m？请说明理由（图3）
【分析】解决本题的关键是找出合适的直角三角形，并且运用勾股定理求解．
（1）△ABC为直角三角形，可以运用勾股定理；
（2）将BC向上平移2m，可以得到直角三角形，在三角形中已知2边，求第3边．
（3）在直角三角形ABC中求AB，在直角三角形中求BE．
【解答】（1）在直角三角形ABC中，AC2＝AB2+BC2，
所以AC＝ ＝10m；∴此树原高＝10+6＝16m．
（2）两点之间，直线最短，所以最短距离为直接从D点飞到A点，所以最短距离为：
AD＝ ＝ m；
（3）在直角三角形ABC中，AB＝8m，AC＝10m，则BC＝ ＝6m，
现将梯子顶端下移至D点，则BD＝6m，DE＝10m，所以在直角三角形BDE中，
BE＝ ＝8m，8m﹣6m＝2m，因此梯子底端与墙面的距离增加了2m．
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