文档内容
第 22 单元 二次函数单元测试卷（B 卷）
满分：100分 时间：45分钟
一、选择题（每小题4分，共24分）
1．将二次函数y＝x2﹣4x+2化为顶点式，正确的是（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣2 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝（x+2）2﹣2 D．y＝（x﹣2）2+2
2．二次函数y＝2x2+x﹣1的图象与x轴的交点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）
A．y＝3（x﹣2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1
C．y＝3（x+2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1
4．对于抛物线y＝（x﹣1）2+2的说法错误的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．抛物线的顶点坐标是（1，2）
C．抛物线与x轴无交点
D．当x＜1时，y随x的增大而增大
5．如图，已知二次函数y ＝ x2﹣ x的图象与正比例函数y ＝ x的图象交于点A（3，
1 2
2），与x轴交于点B（2，0），若y ＜y ，则x的取值范围是（ ）
1 2
A．0＜x＜2 B．0＜x＜3 C．2＜x＜3 D．x＜0或x＞3
6．如图，函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的
图象可能是（ ）
A． B．C． D．
二、填空题（每空4，共40分）
7．抛物线y＝x2﹣8x+3顶点坐标 ，对称轴直线x＝ ．
8．若二次函数y＝﹣x2﹣2x+k的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
9．若函数y＝（m+2）x2+2x﹣3的图象是抛物线，则m的值为 ，该抛物线的开口方
向 ．
10．已知直线y＝2x﹣1与抛物线y＝5x2+k交点的横坐标为2，则k＝ ，交点坐标为
．
11．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤24，且x
为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若利润为y，则y关于x的解析式 ，若
利润最大，则最大利润为 元．
12．（2021•吉安模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列
结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实
数）．其中结论正确的个数为有 （填写所有正确结论得序号）
四、解答题（共36分）
12．已知点A（1，1）在二次函数y＝x2﹣2ax+b图象上．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．
13．如图，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴交于点B，对称轴是直线x＝2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在抛物线上存在一点D，使△ACD的面积为8，请求出点D的坐标．
（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
14．为响应“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建
绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．
设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝xm，面积为ym2（如图）．
甲 乙 丙
单价 14 16 28
（元/棵）
合理用地 0.4 1 0.4
（m2/棵）
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值；
（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和
每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可
以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．第 22 单元 二次函数单元测试卷（B 卷）
满分：100分 时间：45分钟
三、选择题（每小题4分，共24分）
1．将二次函数y＝x2﹣4x+2化为顶点式，正确的是（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣2 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝（x+2）2﹣2 D．y＝（x﹣2）2+2
【答案】A
【解答】解：y＝x2﹣4x+2
＝x2﹣4x+4﹣2
＝（x﹣2）2﹣2．
故选：A．
2．二次函数y＝2x2+x﹣1的图象与x轴的交点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解答】解：△＝12﹣4×2×（﹣1）＝9＞0，
则二次函数y＝2x2+x﹣1的图象与x轴的交点的个数是2，
故选：C．
3．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）
A．y＝3（x﹣2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1
C．y＝3（x+2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1
【答案】C
【解答】解：抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的抛物线顶点坐
标为（﹣2，﹣1），
所得抛物线为y＝3（x+2）2﹣1．
故选：C．
4．对于抛物线y＝（x﹣1）2+2的说法错误的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．抛物线的顶点坐标是（1，2）
C．抛物线与x轴无交点
D．当x＜1时，y随x的增大而增大
【答案】D【解答】解：∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，
∵二次函数为y＝a（x﹣h）2+k顶点坐标是（h，k），
∴二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标是（1，2），
∵抛物线顶点（1，2），开口向上，
∴抛物线与x轴没有交点，
故A、B、C正确
故选：D
5．如图，已知二次函数y ＝ x2﹣ x的图象与正比例函数y ＝ x的图象交于点A（3，
1 2
2），与x轴交于点B（2，0），若y ＜y ，则x的取值范围是（ ）
1 2
A．0＜x＜2 B．0＜x＜3 C．2＜x＜3 D．x＜0或x＞3
【答案】B
【解答】解：如图所示：若y ＜y ，则二次函数图象在一次函数图象的下面，
1 2
此时x的取值范围是：0＜x＜3．
故选：B．
6．如图，函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的
图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开
口向上，对称轴x＝﹣ ＞0，故选项正确；
C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开
口向上，对称轴x＝﹣ ＞0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；
D、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开
口向上，故选项错误．
故选：B．
四、填空题（每空4，共44分）
7．抛物线y＝x2﹣8x+3顶点坐标 ，对称轴直线x＝ ．
【答案】（4，﹣13）；4．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣8x+3可化为：y＝（x﹣4）2﹣13，
∴顶点坐标为（4，﹣13），对称轴为直线x＝4，
故答案为：（4，﹣13）；4．
8．若二次函数y＝﹣x2﹣2x+k的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
【答案】 k ≥﹣ 1
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+k的图象与x轴有交点，
∴（﹣2）2﹣4×（﹣1）•k≥0，
解得k≥﹣1，
故答案为：k≥﹣1．
9．若函数y＝（m+2）x2+2x﹣3的图象是抛物线，则m的值为 ，该抛物线的开口方
向 ．
【答案】m≠﹣2，当m＞﹣2开口向上；当m＜﹣2开口向下．
【解答】解：∵若函数y＝（m+2）x2+2x﹣3的图象是抛物线，
∴m的值为m≠﹣2，
该抛物线的开口方向：
当m＞﹣2开口向上；
当m＜﹣2开口向下．故填空答案：m≠﹣2，当m＞﹣2开口向上；当m＜﹣2开口向下．
10．已知直线y＝2x﹣1与抛物线y＝5x2+k交点的横坐标为2，则k＝ ，交点坐标为
．
【答案】﹣17，（2，3）．
【解答】解：将x＝2代入直线y＝2x﹣1得，y＝2×2﹣1＝3，
则交点坐标为（2，3），
将（2，3）代入y＝5x2+k得，
3＝5×22+k，
解得k＝﹣17．
故答案为：﹣17，（2，3）
11．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤24，且x
为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若利润为y，则y关于x的解析式 ，若
利润最大，则最大利润为 元．
【答案】y＝﹣（x﹣25）2+25；24．
【解答】解：设最大利润为y元，
则y＝（x﹣20）（30﹣x）＝﹣（x﹣25）2+25，
∵20≤x≤24，
∴当x＝24时，二次函数有最大值24，
故答案是：y＝﹣（x﹣25）2+25；24．
12．（2021•吉安模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列
结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实
数）．其中结论正确的个数为有 （填写所有正确结论得序号）
【答案】①③
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＞0
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
②当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∵﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a，
把b＝﹣2a代入a﹣b+c＜0中得3a+c＜0，所以②错误；
③当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，
当x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∴a+c＞﹣b，
∴|a+c|＜|b|
∴（a+c）2＜b2，即（a+c）2﹣b2＜0，所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+mb+c，
即a+b≥m（am+b），所以④错误．
故选：B．
四、解答题（共36分）
12．已知点A（1，1）在二次函数y＝x2﹣2ax+b图象上．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．
【答案】（1）b＝2a（ （2）（0，0）或（2，0）．
【解答】解：（1）∵点A（1，1）在二次函数y＝x2﹣2ax+b的图象上，
∴把A点代入y＝x2﹣2ax+b中 得b＝2a，
∴b＝2a（2）∵方程x2﹣2ax+b＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即4a2﹣4b＝4a2﹣8a＝0
解得a＝0，或a＝2，
当a＝0时，函数解析式为y＝x2，这个二次函数的图象的顶点坐标为（0，0），
当a＝2时，函数解析式为y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，这个二次函数的图象的顶点坐标为
（2，0），
故这个二次函数的图象的顶点坐标为（0，0）或（2，0）．
13．如图，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴交于点B，对称轴是直线x＝
2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在抛物线上存在一点D，使△ACD的面积为8，请求出点D的坐标．
（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）．y＝x2﹣4x+3； （2） D（5，8）或（﹣1，8）． （3）（2，1）
【解答】解：（1）由题意得， ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为．y＝x2﹣4x+3；
（2）设D（m，n），
由题意 ×2×|n|＝8，
∴n＝±8
当n＝8时，x2﹣4x+3＝8，解得x＝5或﹣1，∴D（5，8）或（﹣1，8），
当n＝﹣8时，x2﹣4x+3＝﹣8，方程无解，
综上所述，D（5，8）或（﹣1，8）．
（3）∵点A与点C关于x＝2对称，
∴连接BC与x＝2交于点P，则点P即为所求，
根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），
y＝x2﹣4x+3与y轴的交点为（0，3），
∴设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
，
解得 ，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
则直线BC与x＝2的交点坐标为：（2，1）
∴点P的坐标为：（2，1）．
14．为响应“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建
绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．
设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝xm，面积为ym2（如图）．
甲 乙 丙
单价 14 16 28
（元/棵）
合理用地 0.4 1 0.4
（m2/棵）
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值；（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和
每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可
以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣2x2+36x（9≤x＜18） （2）10（3）最多可以购买214棵
【解答】解：（1）∵AB＝x，
∴BC＝36﹣2x，
y＝x（36﹣2x），
∵0＜36﹣2x≤18，
∴9≤x＜18．
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+36x（9≤x＜18）．
（2）由题意：﹣2x2+36x＝160，
解得x ＝10，x ＝8，
1 2
∵x ＝8时，36﹣2×8＝20＞18，不符合题意，舍去，
2
∴x的值为10．
（3）∵y＝﹣2x2+36x＝﹣2（x﹣9）2+162，
∴x＝9时，y有最大值162（m2），
设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵，
由题意：14（400﹣a﹣b）+16a+28b＝8600，
∴a+7b＝1500，
∴b的最大值为214，此时a＝2．
需要种植的面积＝0.4×（400﹣214﹣2）+1×2+0.4×214＝161.2（m2）＜162m2，
∴丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上．
