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2022—2023 学年九年级上学期第一单元过关检测（1）
一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑）
1．（4分）以下各方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x+2＝0 B．x2﹣5x＝2020
C．3x3+6x＝1 D． ﹣5x﹣2021＝0
【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是
2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行
验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A．x+2＝0，是一元一次方程，故选项不合题意；
B．x2﹣5x＝2020，符合一元二次方程的定义，选项符合题意；
C．3x3+6x＝1，未知数最高次数是3，不是一元二次方程，故选项不合题意．
D． ﹣5x﹣2021＝0，不是整式方程，故选项不合题意；
故选：B．
2．（4分）用配方法解一元二次方程x2﹣10x+11＝0，此方程可化为（ ）
A．（x﹣5）2＝14 B．（x+5）2＝14 C．（x﹣5）2＝36 D．（x+5）2＝36
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣10x+11＝0，
∴x2﹣10x＝﹣11，
则x2﹣10x+25＝﹣11+25，即（x﹣5）2＝14，
故选：A．
3．（4分）已知a，b，c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（
）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判断
【分析】先利用第二象限点的坐标特征得到ac＜0，则判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的
情况．
【解答】解：∵点P（a，c）在第二象限，
∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，
∴方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
故选：C．
4．（4分）一个等腰三角形两边的长分别等于一元二次方程 x2﹣16x+55＝0的两个实数根，则这个等腰三
角形周长为（ ）
A．11 B．27 C．5或11 D．21或27
【分析】可先解出x的值，然后根据等腰可知三角形三边为5，5，11或11，11，5，然后看两组数是否
符合三角形的性质，最后解出周长的值．
【解答】解：x2﹣16x+55＝0，
解得：x ＝11，x ＝5，
1 2
如果11是等腰三角形的底边，5为腰长，此时根据三角形三边关系，不合题意；
如果11是等腰三角形的腰长，5为底边，则三角形的周长为27．
故选：B．
5．（4分）小兵在暑假调查了某工厂得知，该工厂2020年全年某产品的产量为234万吨，经该厂的技术
人员预计2022年全年该产品的产量为345万吨，设2020年至2022年该产品的预计年平均增长率为x，
根据题意列出方程得（ ）
A．234（1+x）2＝345 B．234（1﹣2x）＝345
C．234（1+2x）＝345 D．234（1﹣x）2＝345
【分析】根据该工厂2020年全年某产品的产量为234万吨，经该厂的技术人员预计2022年全年该产品
的产量为345万吨，列方程即可．
【解答】解：根据题意，得234（1+x）2＝345，
故选：A．
6．（4分）已知（a2+b2）2﹣8（a2+b2）﹣48＝0，则a2+b2的值为（ ）
A．12 B．4 C．﹣4 D．12或﹣4
【分析】设a2+b2＝m，则原方程化为：m2﹣8m﹣48＝0，解出m的值即可确定a2+b2的值．
【解答】解：设a2+b2＝m，
则原方程化为：m2﹣8m﹣48＝0，
解得m＝﹣4（不符合题意，舍去）或m＝12，
∴a2+b2＝12，
故选：A．7．（4分）已知m，n是方程x2+2016x+7＝0的两个根，则（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）＝（ ）
A．2008 B．8002 C．2009 D．2020
【分析】根据m，n是方程x2+2016x+7＝0的两个根，可得m2+2016m+7＝0，n2+2016n+7＝0，m+n＝﹣
2016，mn＝7，化简（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）＝﹣mn﹣m﹣n﹣1，根据根与系数的关系进一步计
算即可．
【解答】解：∵m，n是方程x2+2016x+7＝0的两个根，
∴m2+2016m+7＝0，n2+2016n+7＝0，m+n＝﹣2016，mn＝7，
∴m2+2015m+m+7＝0，n2+2017n﹣n+7＝0，
∴m2+2015m＝﹣m﹣7，n2+2017n＝n﹣7，
∴（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）
＝（﹣m﹣7+6）（n﹣7+8）
＝（﹣m﹣1）（n+1）
＝﹣mn﹣m﹣n﹣1
＝﹣7+2016﹣1
＝2008，
故选：A．
8．（4分）如图，在宽为20m，长为38m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分
种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是
（ ）
A．（20﹣x）（38﹣x）＝540
B．（20﹣x）（38﹣x）＝38×20﹣540
C．（20﹣2x）（38﹣2x）＝540
D．（20﹣2x）（38﹣2x）＝38×20﹣540
【分析】由小路的宽为xm，可得出种植草坪的部分可合成长为（38﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，
再利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵小路宽为xm，
∴种植草坪的部分可合成长为（38﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形．
依题意得：（20﹣x）（38﹣x）＝540．
故选：A．
9．（4分）已知a、b是一元二次方程x2+5x+3＝0的两个根，则 的值是（ ）A．﹣2 B．﹣3 C．3 D．2
【分析】利用根与系数的关系求得ab＝3，然后将其代入整理后的代数式求值即可．
【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2+5x+3＝0的两个根，
∴a+b＝﹣5＜0，ab＝3＞0．
∴a、b同为负数．
∴
＝﹣ ﹣
＝﹣2
＝﹣2 ．
故选：A．
10．（4分）不论x、y取何有理数，x2+y2﹣10x+8y+41的值均为（ ）
A．正数 B．零 C．负数 D．非负数
【分析】根据完全平方公式对代数式整理，然后再根据平方数非负数的性质进行判断．
【解答】解：x2+y2﹣10x+8y+41
＝x2﹣10x+25+y2+8y+16
＝（x﹣5）2+（y+4）2，
∵（x﹣5）2≥0，（y+4）2≥0，
∴（x﹣5）2+（y+4）2≥0．
故选：D．
11．（4分）关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根x ，x 满足x ＝2x +3，且x ＞x ，则m的值为（
1 2 1 2 1 2
）
A．﹣3 B．1 C．3 D．9
【分析】因式分解法可求x ＝m+2，x ＝m﹣2，再根据x ＝2x +3，可得关于m的方程，解方程可求m
1 2 1 2
的值．
【解答】解：∵x2﹣2mx+m2﹣4＝0，
∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0，
∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0，
∵x ＞x ，
1 2∴x ＝m+2，x ＝m﹣2，
1 2
∵x ＝2x +3，
1 2
∴m+2＝2（m﹣2）+3，
解得m＝3．
故选：C．
12．（4分）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如 x（x+5）＝24的方程的正数解，方法为：如
图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方
形，于是大正方形的面积为：24×4+25＝121，边长为11，故得x（x+5）＝24
的正数解为x＝ ＝3．小明按此方法解关于 x的方程x2+mx﹣n＝0时，
构造出同样的图形．已知大正方形的面积为12，小正方形的面积为4，则方程的正数解为（ ）
A． ﹣1 B． +1 C． D． ﹣1
【分析】把方程变形得到x（x+m）＝n，设图中长方形的长为（x+m），宽为x，则图中小正方形的边
长为x+m﹣x ＝m＝2，大正方形的边长为x+m+x ＝2x+m＝ ，解得x＝2，然后计算x（x+2）即可．
【解答】解：∵x2+mx﹣n＝0，
∴x（x+m）＝n，
∴图中长方形的长为（x+m），宽为x，
∴图中小正方形的边长为x+m﹣x ＝m＝ ＝2，
大正方形的边长为x+m+x ＝2x+m＝ ，
∴x＝ ＝ ﹣1，
故选：A．
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应
的位置上）
13．（4分）已知关于x的方程（m﹣1） +2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为 ．
【分析】根据一元二次方程定义可得：m2+1＝2且m﹣1≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：m2+1＝2且m﹣1≠0，
解得m≠﹣1，
故答案为：﹣1．
14．（4分）若|b﹣1|+|a﹣4|＝0，且关于x的一元二次方程kx2+ax+b＝0（k≠0）有实数根，则k的取值范
围是 ．
【分析】根据非负数的性质求出a、b的值，转化成关于k的不等式即可解答．
【解答】解：∵|b﹣1|+|a﹣4|＝0，
∴b＝1，a＝4，
∴原方程为kx2+4x+1＝0，
∵该一元二次方程有实数根，
∴Δ＝16﹣4k≥0，
解得：k≤4，
∵方程kx2+ax+b＝0是一元二次方程，
∴k≠0，
k的取值范围是：k≤4且k≠0，
故答案为：k≤4且k≠0．
15．（4分）已知x 、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且 ＝x 2+2x ﹣1，则k的值
1 2 1 2
为 ．
【分析】根据x 、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，可得x +x ＝2，x •x ＝k﹣1，x 2﹣
1 2 1 2 1 2 1
2x +k﹣1＝0，把 + ＝x 2+2x ﹣1变形再整体代入可得 ＝4﹣k，解出k的值，并检验
1 1 2
即可得k＝2．
【解答】解：∵x 、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
1 2
∴x +x ＝2，x •x ＝k﹣1，x 2﹣2x +k﹣1＝0，
1 2 1 2 1 1
∴x 2＝2x ﹣k+1，
1 1
∵ + ＝x 2+2x ﹣1，
1 2∴ ＝2（x +x ）﹣k，
1 2
∴ ＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，
故答案为：2．
16．（4分）欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折
纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC
的中点E，F，再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF上，点D的对应点为点H，折痕为AG，点G
在边CD上，连接GH，GF，线段BF、DG、CG和GF中，长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根的线
段为 ．
【分析】首先根据方程x2+x﹣1＝0解出正根为 ，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线
段BF＝0.5排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角
形的面积和，列等量关系．设DG＝m，则GC＝1﹣m，从而可以用m表示等式．
【解答】解：设DG＝m，则GC＝1﹣m．
由题意可知：△ADG≌△AHG，F是BC的中点，
∴DG＝GH＝m，FC＝0.5，
根据勾股定理得AF＝ ．
∵S正方形 ＝S△ABF +S△ADG +S△CGF +S△AGF ，∴1×1＝ ×1× + ×1×m+ × ×（1﹣m）+ × ×m，
∴m＝ ．
∵x2+x﹣1＝0的解为：x＝ ，
∴取正值为x＝ ．
∴这条线段是线段DG．
故答案为：DG．
三、解答题（本题共8个小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解
答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.）
17．（8分）解下列方程．
（1）（2x+3）2﹣25＝0． （2）2x2﹣7x﹣2＝0（公式法）．
（3）（x+2）2＝3（x+2）． （4）x2+8x﹣9＝0（配方法）．
【分析】（1）根据方程特点，应采用直接开平方法解答即可．
（2）根据方程的系数特点，应准确确定各个项系数，利用求根公式求得即可．
（3）可以先移项，然后利用提取公因式法将方程的左边分解因式，利用因式分解法解答即可．
（4）利用配方法解答即可．
【解答】解：（1）（2x+3）2﹣25＝0，
移项得，（2x+3）2＝25，
∴2x+3＝5或2x+3＝﹣5，
解得：x ＝1，x ＝﹣4；
1 2
（2）2x2﹣7x﹣2＝0，
a＝2，b＝﹣7，c＝﹣2，
Δ＝b2﹣4ac＝49+16＝65，
x＝ ＝ ，
所以x ＝ ，x ＝ ；
1 2
（3）（x+2）2＝3（x+2），
移项得，（x+2）2﹣3（x+2）＝0，
因式分解得，（x+2）（x+2﹣3）＝0，∴x+2＝0或x+2﹣3＝0，
解得：x ＝﹣2，x ＝1；
1 2
（4）x2+8x﹣9＝0，
x2+8x＝9，
x2+8x+16＝9+16，
（x+4）2＝25，
∴x+4＝5或x+4＝﹣5，
解得：x ＝1，x ＝﹣9．
1 2
18．（8分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了
某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6
月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此
基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾
客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可
得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即
可求出结论．
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：150（1+x）2＝216，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
1 2
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，
整理，得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y ＝80（不合题意，舍去），y ＝50，
1 2
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
19．（10分）关于x的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于12？若存在，求k；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）显然k≠0，用一元二次方程根的判别式Δ＞0，即可求出实数k的取值范围；
（2）存在．我们知道关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0（a≠0，Δ＞0），它们对应的
根是倒数关系，即若 ax2+bx+c＝0 的两根为 x .x ，则 cx2+bx+a＝0 的两根为 ， ．
1 2
，与 kx2﹣（k﹣2）x+k＝0的根互为倒数关系，根据题意，﹣ ＝12，
即可求出k的值．
【解答】解：（1）∵关于x的方程 有两个不相等的实数根，
∴k≠0，Δ＝[﹣（k﹣2）]2﹣4k• ＝k2﹣4k+4﹣k2＞0，
∴k＜1且k≠0，
∴实数k的取值范围为k＜1且k≠0；
（2）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0（a≠0，Δ＞0），它们对应的根是倒数关系，
即若ax2+bx+c＝0的两根为x .x ，则cx2+bx+a＝0的两根为 ， ，
1 2
∵方程的两个实数根的倒数和等于12，
∴关于x的方程 kx2﹣（k﹣2）x+k＝0，
根据题意有，﹣ ＝12，
∴ ，
∴k＝﹣1，显然k＜1且k≠0，
∴存在实数k，k＝﹣1．
20．（10分）某新建公园需要绿化的面积为24000m2，施工队在绿化了12000m2后将每天的工作量增加为
原来的1.2倍，结果提前5天完成了该项目的绿化工程．
（1）求该公园绿化工程原计划每天完成多少平方米？（2）如图所示，该公园内有一块长30米，宽20米的矩形空地，准备将其修建成一个矩形花坛，要求
在花坛中修建三条等宽的矩形小道（图中阴影部分），剩余地方种植花草，要使得种植花草的面积为
468m2，那么小道的宽应为多少米？
【分析】（1）设该公园绿化工程原计划每天完成x平方米，则增加工作效率后每天完成1.2x平方米，
利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合结果提前5天完成了该项目的绿化工程，即可得出关于 x的
分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设小道的宽为y米，则种植花草部分可合成长为（30﹣2y）米，宽为（20﹣y）米的矩形，根据种
植花草的面积为468m2，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该公园绿化工程原计划每天完成x平方米，则增加工作效率后每天完成1.2x平方
米，
依题意得： ﹣ ＝5，
解得：x＝400，
经检验，x＝400是原方程的解，且符合题意．
答：该公园绿化工程原计划每天完成400平方米．
（2）设小道的宽为y米，则种植花草部分可合成长为（30﹣2y）米，宽为（20﹣y）米的矩形，
依题意得：（30﹣2y）（20﹣y）＝468，
整理得：y2﹣35y+66＝0，
解得：y ＝2，y ＝33（不符合题意，舍去）．
1 2
答：小道的宽应为2米．
21．（12分）超市销售某种商品，每件盈利50元，平均每天可达到30件．为尽快减少库存，现准备降价
以促进销售，经调查发现：一件商品每降价1元平均每天可多售出2件．
（1）当一件商品降价5元时，每天销售量可达到 件，每天共盈利 元；
（2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到2100元？
（3）在上述条件不变，销售正常情况下，超市每天盈利最高可以达到k元，请你利用学过的Δ判别式，
或利用暑假预习函数配方法，求出k的值？【分析】（1）降价1元，可多售出2件，降价5元，可多售出2×5件，盈利的钱数＝原来的盈利﹣降
低的钱数；
（2）根据日盈利＝每件商品盈利的钱数×（原来每天销售的商品件数30+2×降价的钱数），列出方程求
解即可；
（3）根据题意列出方程，利用根的判别式进行判断即可．
【解答】解：（1）降价5元，销售量达到30+2×5＝40件，
当天盈利：（50﹣5）×40＝1800（元）；
故答案为：40，1800；
（2）根据题意，得：（50﹣x）×（30+2x）＝2100，
解得：x＝15或x＝20，
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴选x＝20，
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元；
（3）根据题意可得（30+2x）（50﹣x）＝k，
整理得到：2x2﹣70x+k﹣1500＝0．
则Δ＝b2﹣4ac＝4900﹣4×2（k﹣1500）＝16900﹣8k≥0，
解得k≤2112.5．
故超市每天盈利最高可以达到2112.5元．
22．（12分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根
大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 x2+x＝0的两个根是x ＝0，x ＝﹣1则
1 2
方程x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）（2分）通过计算，判断下面的方程是否为“邻根方程”：
①x2﹣x﹣6＝0；
②2x2﹣2 x+1＝0．
（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
【分析】（1）①解一元二次方程，由两根之差不为1，即可得出一元二次方程x2﹣x﹣6＝0不是“邻
根方程”；
②解一元二次方程，由两根之差为1，即可得出一元二次方程2x2﹣2 x+1＝0是“邻根方程”；
（2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出方程 x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0的两根，由该方程是“邻根方程”，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可求出m的值．
【解答】解：（1）①x2﹣x﹣6＝0，
即（x﹣3）（x+2）＝0，
解得：x ＝3，x ＝﹣2，
1 2
∵3﹣（﹣2）＝5≠1，
∴一元二次方程x2﹣x﹣6＝0不是“邻根方程”；
② 方 程 2x2﹣ 2 x+1 ＝ 0 的 两 个 根 是 x ＝ ， x ＝
1 2
，
即x ＝ ，x ＝ ，
1 2
∵ ﹣ ＝1，
∴一元二次方程2x2﹣2 x+1＝0是“邻根方程”；
（2）x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0，
即（x+1）（x﹣m）＝0，
解得：x ＝﹣1，x ＝m．
1 2
∵关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，
∴﹣1﹣m＝1或m﹣（﹣1）＝1，
∴m＝﹣2或m＝0，
∴m的值为﹣2或0．
23．（12分）阅读材料：a2﹣2ab+2b2﹣8b+16＝0，求a，b的值．
解：∵a2﹣2ab+2b2﹣8b+16＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣8b+16）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣4）2＝0，
∴（a﹣b）2＝0，（b﹣4）2＝0，
∴a＝4，b＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）若m2+n2﹣4m+4＝0，则m＝ ，n＝ ；（2）已知x2+2y2+10y+25﹣2xy＝0，求x y的值；
（3）已知Rt△ABC的三边长a，b，c，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据m2+n2﹣4m+4＝0，，应用因式分解的方法，判断出（m﹣2）2+n2＝0，应用非负数
的性质便可求得结果；
（2）对已知方程左边多项式进行因式分解，再根据非负数性质求得求解便可；
（3）对已知方程左边多项式进行因式分解，再根据非负数性质求得求得a、b的值，最后分两种情况求
得三角形的周长．
【解答】解：（1）∵m2+n2﹣4m+4＝0，
∴（m2﹣4m+4）+n2＝0，
∴（m﹣2）2+n2＝0，
∴m﹣2＝0，n＝0，
∴m＝2，n＝0，
故答案为：2；0；
（2）∵x2+2y2+10y+25﹣2xy＝0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+10y+25）＝0，
∴（x﹣y）2+（y+5）2＝0，
∴x﹣y＝0，y+5＝0，
∴x＝﹣5，y＝﹣5，
∴xy＝25；
（3）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，
∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝4，
当∠C＝90°时，c＝ ，
此时△ABC的周长为3+4+5＝12，
当∠B＝90°时，c＝ ，
此时△ABC的周长为3+4+ ＝7+ ，综上，△ABC的周长为12或7+ ．
24．（14分）如图，菱形ABCD中，m、n、t分别是菱形ABCD的两条对角线和边长，这时我们把关于x
的形如mx2+2 t x+n＝0的一元二次方程称为“菱系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）填空：①当m＝2，n＝4时，t＝ ；
②用含m、n的代数式表示t2＝ ；
（2）求证：关于x的“菱系一元二次方程”mx2+2tx+ n＝0必有实数根．
【分析】（1）由菱形的对角线互相垂直平分得出
AO、DO的长，再利用勾股定理可得AD，从而得出
答案；
（2）此方程的判别式 Δ＝（2t）2﹣2mn＝4t2﹣
2mn，结合t2＝ m2+ n2可得答案．
【解答】（1）解：①菱形ABCD中，m、n、t分别是菱形ABCD的两条对角线和边长，
当m＝2，n＝4时，则AO＝2，DO＝1，
则AD＝ ＝ ＝ ，即t＝ ，
故答案为： ；
②由题意知AO＝ AC＝ m，DO＝ BD＝ n，
则AD＝ ＝ ＝ ，
∴t2＝ m2+ n2，
故答案为： m2+ n2；
（2）证明：mx2+2tx+ n＝0，这里，a＝m，b＝2t，c＝ n，
∴Δ＝（2t）2﹣4m• n＝4t2﹣2mn，
∵t2＝ m2+ n2，
∴Δ＝m2+n2﹣2mn＝（m﹣n）2≥0，
∴关于x的“菱系一元二次方程”mx2+2tx+ n＝0必有实数根．
