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七年级下册数学《第五章 相交线与平行线》
本章知识综合运用
六个概念
●●1、相交线：
两条直线相交所成的四个角中，有4对邻补角，2对对顶角.
(1)◆邻补角 ： 只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补
角．
◆邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
(2)◆对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位
置关系的两个角，互为对顶角．
◆对顶角的性质：对顶角相等．
●●2、垂线：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一
条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
【注意】垂直是相交的一种特殊位置.
●●3、“三线八角 ”：
①两条直线被第三条直线所截形成的8个角中，有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.
②同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
●●4、平行线
平行线定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
◆在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.
◆过直线外一点画已知直线的平行线的方法：
一“落”把三角尺一边落在已知直线上；
二“靠”把直尺紧靠三角尺的另一边；
三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；
四“画”沿三角尺过已知点的边画直线．●●5、平移：
在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
◆作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次
连接对应点即可得到平移后的图形．
●●6、命题：
◆命题：判断一件事情的语句，叫做命题．
◆定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据．
◆证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理
过程叫做证
一个公理
●●平行公理及推论
1、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
2、推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
即：如果b∥a，c∥a，那么b∥c..
一个判定
●●平行线的判定方法
判定方法一：平行线的定义
判定方法二：判定定理1：同位角相等，两直线平行．
判定方法三：判定定理2：内错角相等，两直线平行．
判定方法四：判定定理3：同旁内角互补，两直线平行．
判定方法五：平行公理的推论．
判定方法六：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线垂直.
三个性质
●●1、垂线的性质①在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
②连接直线外一点与这条直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短．
●●2、平行线的性质
性质定理1：两直线平行，同位角相等．
性质定理2：两直线平行，同位角相等．
性质定理3：两直线平行，同旁内角互补．
【注意】 平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．
平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
●●3、平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线
段平行（或在同一条直线上）且相等．
一个方法
●●过拐点作平行线解决平行线中的折线问题
几何中常通过添加适当的辅助线建立已知和未知之间的“桥梁”，遇到平行线中折线
问题，通常过拐点作一条平行线，利用平行公理的推论得出三条直线互相平行题型一 相交线的有关概念与性质
【例题1】（2022秋•青龙县月考）如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOF＝90°，OF平分∠AOE，若
∠BOD＝32°，则∠BOE的度数为（ ）
A．32° B．48° C．58° D．64°
【分析】直接利用邻补角的定义得出∠AOF的度数，进而利用角平分线的定义得出答案．
【解答】解：∵∠DOF＝90°，∠BOD＝32°，
∴∠AOF＝90°﹣32°＝58°，
∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝58°．
∴∠DOE＝90°﹣∠EOF＝32°，
∴∠BOE＝∠DOE+∠BOD＝32°+32°＝64°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了角平分线的定义，对顶角、邻补角，余角的性质，正确得出∠AOF度数是解
题关键．
解题技巧提炼
在求角的度数时经常要用到邻补角和对顶角的性质，解决此类的问题是观
察、分析、找出所求角与已知角之间的关系，并理清各角之间的关系，特别是
相等关系.
【变式1-1】（2022秋•香坊区校级期中）图中∠1与∠2是同位角的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-2】（2022春•莲湖区期末）如图，当剪刀口∠AOB的度数减小5°时，∠COD的度数（ ）
A．不变 B．减少5° C．增大5° D．增大10°
【变式1-3】（2022春•景谷县期末）如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到达公路边去接从外地回
来的外婆，他选择沿线段PC去公路边，他的这一选择用到的数学知识是（ ）A．两点确定一条直线 B．两点之间直线最短
C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
【变式1-4】（2022•南京模拟）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，
∠APC＝90°，则下列结论中正确的是（ ）
①线段BP的长度是点P到直线l的距离；②线段AP是A点到直线PC的距离；③在PA，PB，PC三
条线段中，PB最短；④线段PC的长度是点P到直线l的距离.
A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④
【变式1-5】（2021春•娄底月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1＝20°，∠2＝20°，则∠DON＝ ；
（2）若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理由；
1
（3）若∠1= ∠BOC，求∠AOC和∠MOD的度数．
4
【变式1-6】已知直线AB和CD相交于O，∠AOC为锐角．（1）填空：如图1图中有 对相等的角（平角除外）．分别是
，判断的依据是 ；
（2）如图2，作∠COE＝90°，OF平分∠COB，求∠AOF﹣∠EOF的度数．
（3）在（2）的条件下，∠AOC：∠COF＝2：5，计算∠DOF的度数．
题型二 同位角、内错角、同旁内角的识别
【例题2】（2022春•法库县期中）如图，下列说法正确的是（ ）
A．∠1与∠2是同位角 B．∠1与∠2是内错角C．∠1与∠3是同位角 D．∠2与∠3是同旁内角
解题技巧提炼
本题主要是考查“三线八角”的识别，熟练掌握三类角的特征是关键，同位角的
边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．学会在复
杂图形中进行判断.
【变式2-1】（2022春•仪征市校级月考）如图，直线AD、BE被直线BF和AC所截，下列说法正确的是（
）
A．∠3与∠4是同旁内角 B．∠2与∠5是同位角
C．∠6与∠1是内错角 D．∠2与∠6是同旁内角
【变式2-2】（2021春•江西月考）如图，∠ABD的同旁内角共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-3】指出图中各对角的位置关系：
（1）∠C和∠D是 角；
（2）∠B和∠GEF是 角；
（3）∠A和∠D是 角；
（4）∠AGE和∠BGE是 角；
（5）∠CFD和∠AFB是 角．【变式2-4】如图，填空．
（1）若直线ED，BC被直线AB所截，则∠1与 是同位角；
（2）若直线ED，BC被直线AF所截，则∠3与 是内错角；
（3）∠1与∠3是直线AB和直线AF被直线 所截构成的 角；
（4）∠2与∠4是直线 和直线 被直线BC所截构成的 角；
（5）图中∠5的同旁内角有 个，它们是 ．
题型三 平行线判定方法的综合运用
【例题3】如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠B C．∠A＝∠3 D．∠A＝∠1+∠2解题技巧提炼
正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角，结合平行线的几种判
定综合论证.
【变式3-1】（2022秋•宛城区期末）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）个
（1）∠1＝∠2；（2）∠3＝∠4；（3）∠B＝∠5；（4）∠B+∠BCD＝180°．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式 3-2】（2022春•青龙县期末）如图所示，添加一个条件，使 AB∥CE，则添加的条件为
．
【变式3-3】如图，已知∠C＝∠1，∠1和∠D互余，∠2和∠D互余．求证：AB∥CD．
【变式3-4】（2022春•定南县期末）如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，∠1＝∠2
（1）证明：AB∥CD；
（2）试判断BM与DN是否平行？为什么？【变式3-5】如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分∠AED，过E点作EB⊥EF，G为射线EC上一
点，连接BG，且∠EBG+∠BEG＝90°．
（1）求证：∠DEF＝∠EBG；
（2）若∠EBG＝∠A，求证：AB∥EF．
题型四 平行线性质的综合运用
【例题4】（2022秋•东方期末）如图，已知DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠AEB的度数为
．解题技巧提炼
综合利用平行线的性质，正确探究出“三线八角”中同位角、内错角、同旁内
角之间的关系.
【变式 4-1】（2021春•铜梁区校级期末）如图，已知点 D为∠EAB内一点，CD∥AB，DF∥AE，
DH⊥AB交AB于点H，若∠A＝40°，则∠FDH的度数为（ ）
A．120° B．130° C．135° D．140°
【变式4-2】（2022•太康县校级开学）如图，OP∥QR∥ST，若∠2＝105°，∠1＝43°，则∠3＝ ．
【变式4-3】（2021春•定陶区期中）如图，已知AB∥CD，∠B＝40°，点E在DC的延长线上，CN是
∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的度数．【变式4-4】（2022春•温岭市期中）如图，AB∥CD，MP∥AB，MN平分∠AMD，∠A＝40°，∠D＝
30°，则∠NMP等于（ ）
A．10° B．15° C．5° D．7.5°
【变式4-5】（2021春•固始县期末）如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的 4倍少
30°，那么这两个角是（ ）
A．42°、138° B．都是10°
C．42°、138°或10°、10° D．以上都不对
题型五 平行线判定与性质的综合运用
【例题5】（2021春•夏邑县期末）如图直线a，b分别被直线c，d所截，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝
108°，则∠4的度数等于（ ）
A．72° B．80° C．82° D．108°解题技巧提炼
平行线的判定和性质在解题中经常反复使用，看到角相等或互补就应该想到能
否判定两直线平行，看到直线平行就应该想到能否证明相关的角相等或互补.
【变式5-1】（2021春•鄂州期末）如图，下面推理过程正确的是（ ）
A．因为∠B＝∠BCD，所以AB∥CD B．因为AB∥CD，所以∠1＝∠2
C．因为∠BAD+∠B＝180°，所以AD∥BC D．因为∠1＝∠B，所以AD∥BC
【变式5-2】（2022春•新田县期末）如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠3，试说明DE∥BC．
【变式5-3】（2021春•荔湾区校级月考）如图，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q，则∠1与∠2是
否相等？说说你的理由．
【变式5-4】已知A、B、C不在同一直线上，顺次连接AB、BC、CA．
（1）如图①，点D在线段BC上，DE∥AB交AC于点E，∠EDF＝∠A．求证：DF∥AC．（2）如图②，若点D在BC的延长线上，DE∥AB交AC的延长线于点E，DF∥AC交BA的延长线于
点F．问∠EDF与∠BAC有怎样的关系，说明理由．
题型六 利用平行线的性质解决学具操作及折叠问题
【例题6】（2022•日照三模）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点
C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（ ）
A．77° B．64° C．26° D．87°
解题技巧提炼
本题是给出了一个长方形的折叠问题或是把三角尺与直尺之间的夹角放到平行
线中，利用折叠的特征和平行线的性质求解是解题的关键.
【变式6-1】如图，长方形ABCD沿AE折叠，使点B落在CD边上的点F处，如果∠EFC＝65°，那么
∠BAE＝ °．【变式 6-2】（2022•黔东南州）一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若∠1＝
28°，则∠2的度数为（ ）
A．28° B．56° C．36° D．62°
【变式6-3】（2022•路南区二模）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置
（∠ABC＝30°），并且顶点A，B分别落在直线m，n上，若∠1＝38°，则∠2的度数是（ ）
A．20° B．22° C．28° D．38°
【变式6-4】 （2022春•孝南区期末）如图1，∠DEF＝24°，将长方形纸片ABCD沿直线EF折叠成图
2，再沿直线GF折叠成图3，则图3中∠CFE＝ ．
题型七 利用平行线的性质和判定解决生活实际问题【例题7】（2022春•齐齐哈尔期末）一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，前进的方向仍与原
来相同，那么这两次转弯的角度可以是（ ）
A．先右转80°，再左转100° B．先左转80°，再右转80°
C．先左转80°，再左转100° D．先右转80°，再右转80°
解题技巧提炼
本题是给出了一个生活中的实际问题，分析题意，选择适当的判定方法或者是
平线的性质来求解.
【变式7-1】（2022春•淮滨县期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角
∠A＝120°，第二次拐的角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路
平行，则∠C是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【变式7-2】（2022春•二七区校级期中）如图，A、B之间是一座山，一条铁路要通过A、B两地，在A
地测得铁路的走向是北偏东68°，如果A、B两地同时开工，那么在B地按 方向施工，才能
使铁路在山腹中准确接通．
【变式7-3】（2022春•中山市期末）如图，两面平面镜OA、OB形成∠AOB，从OB上一点E射出的一
条光线经OA上一点D反射后的光线DC恰好与OB平行，已知∠AOB＝35°，∠ODE＝∠ADC，则
∠DEB的度数是 ．【变式7-4】（2022春•洪山区期中）一个长方形台球桌面ABCD（AB∥CD，AD∥BC，∠A＝90°）如图
1所示，已知台球在与台球桌边缘碰撞的过程中，撞击线路与桌边的夹角等于反弹线路与桌边的夹角，
即图1中的∠1＝∠2．
（1）台球经过如图2所示的两次碰撞后，第二次的反弹线路为GH．若开始时的撞击线路为EF，求证：
EF∥GH；
（2）台球经过如图3所示的四次碰撞后（台球从点E出发，碰撞点依次为点F，G，H，I），落入点K
处的球袋内．若∠IKC＝55°，则∠GHI+∠AFE＝ ．
题型八 真假命题的判断
【例题8】（2022春•海淀区月考）下列四个命题：①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角
互补，那么这两条直线平行；④从直线外一点作这条直线的垂线段叫点到直线的距离．其中是真命题
的是 ．
解题技巧提炼
判断命题的真假时，真命题需说明理由；假命题只需举一个反例即可；举反例
是说明一个命题是假命题的常用方法.
【变式 8-1】判断命题“如果x2＞0，那么x＞0“是假命题，只需举出一个反例．反例中的x可以为
（ ）
1
A．2 B． C．0 D．﹣2
2
【变式8-2】（2022秋•阿图什市校级月考）下列命题是真命题的是（ ）
A．内错角相等
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．相等的角是对顶角
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【变式8-3】（2022春•仓山区期末）如图，从①∠1+∠2＝180°，②∠3＝∠A，③∠B＝∠C，三个条
件中选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成3个命题．从中选择一个真命题，写出已知求证，并
证明．
如图，已知 ，求证： ．（填“①”，“②”，“③”）
证明：【变式8-4】（2022春•钦北区期中）如图，直线AB，CD被直线AE所截，直线AM，EN被MN所截．
请你从以下三个条件：①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM＝∠CEN中选出两个作为已知条件，另一个
作为结论，得出一个正确的命题．
（1）请按照：“∵ ， ；∴ ”的形式，写出所有正确的命题；
（2）在（1）所写的命题中选择一个加以证明，写出推理过程．
题型九 通过阅读填写推理过程
【例题9】（2022春•宁安市期末）推理填空
如图，已知∠BCD+∠B＝180˚，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E．求证：AD∥BC．
证明∵AE平分∠BAD（已知），
∴∠1＝∠2 （ ），
∵∠BCD+∠B＝180˚，
∴AB∥CD （ ），
∴∠1＝（ ），
∵∠CFE＝∠E（已知），
∴∠1＝∠E（ ），
∴∠2＝ ，∴AD∥BC（ ）．
解题技巧提炼
给出一个平行线判定问题的求解过程，要求填写理由，对于这种题型要认真分
析题意，然后联系上下文求解.
【变式9-1】 已知某品牌遮阳伞如图①所示，图②是其剖面图，若AG同时平分∠BAC与∠EDF，且
AB∥ED，则AC∥DF吗？请在下面括号内填写理由．
解：∵AB∥DE
∴∠ ＝∠ （ ）
∵AG同时平分∠BAC与∠EDF（已知）
∴∠DAC＝∠DAB，∠GDF＝∠GDE（ ）
∴∠DAC＝∠GDF（ ）
∴AC∥DF（ ）【变式9-2】（2021春•静安区期中）如图，已知：∠A＝∠C，DF平分∠BDC，BE平分∠ABD，说明：
BE∥DF的理由．
解：因为∠A＝∠C( )．
所以 ．
所以∠ABO＝∠CDO( )．
因为DF平分∠CDO，BE平分∠ABO，
1 1
所以∠1= ∠ ，∠2= ∠ ，
2 2
所以∠1＝∠2 ( )，
所以BE∥DF( )．
【变式9-3】（2022春•湖北期末）如图，EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°，试说明∠ADC＝90°．请
完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：∵∠1＝∠C，（已知）
∴GD∥ ． （ ）
∴∠2＝∠DAC． （ ）
∵∠2+∠3＝180°，（已知）
∴∠DAC+∠3＝180°．（等量代换）
∴AD∥EF． （ ）
∴∠ADC＝∠ ． （ ）
∵EF⊥BC，（已知）
∴∠EFC＝90°． （ ）
∴∠ADC＝90°．（等量代换）【变式9-4】（2022秋•德惠市期末）填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）
如图，已知：CD平分∠ACB，AC∥DE，CD∥EF，那么EF平分∠DEB吗？
解：∵CD平分∠ACB（已知），
∴ （ ）．
∵AC∥DE（已知），
∴∠1＝∠ ，
∴∠2＝∠3（等量代换）．
∵ （已知），
∴∠3＝∠4（ ）
∠2＝∠5（ ）
∴ （等量代换），
∴EF平分∠DEB．
题型十 通过添加辅助线解决拐点问题
【例题10】阅读下列解题过程：
如图，已知AB∥CD，∠B＝35°，∠D＝32°，求∠BED的度数．
解：过E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF（平行的传递性）
AB∥EF ∠B＝∠1＝35°
⇒又因为CD∥EF ∠D＝∠2＝32°
所以∠BED＝∠⇒BED＝∠1+∠235°+32°＝67°（等量代换）
然后解答下列问题：
如图，是明明设计的智力拼图玩具的一部分，现在明明遇到两个问题，请你帮他解决：
问题（1）：∠D＝30°，∠ACD＝65°，为了保证AB∥DE，∠A＝ ；
问题（2）：∠G+∠F+∠H＝ °时，GP∥HQ．
解题技巧提炼
当两条平行线不是被第三条直线所截，而是被一条折线所截时，平行线的性质
则不能直接应用，因此需过折线的“转折点”作一条平行线，利用平行公理的推
论得出三条直线互相平行，从而多次利用平行线的性质解决问题.
【变式10-1】（2021秋•雅安期末）如图，AB∥EF，∠BCD＝90°，探索图中角α，β，γ之间的关系式正
确的是（ ）
A．α+β+γ＝360° B．α+β＝γ+90° C．α+γ＝β D．α+β+γ＝180°【变式10-2】（2022•皇姑区一模）如图所示，AB∥EF，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠C+∠D的值为
．
【变式10-3】如图，AB∥CD．
（1）如图①，若∠CMN＝90°，点B在射线MN上，∠ABM＝120°，求∠C的度数；
（2）如图②，若∠CMN＝150°，请直接写出∠ABM与∠C的数量关系．
【变式10-4】（2021春•怀化期末）如图，MN∥OP，点A为直线MN上一定点，B为直线OP上的动点，
在直线MN与OP之间且在线段AB的右方作点D，使得AD⊥BD．设∠DAB＝α（α为锐角）．
（1）求∠NAD与∠PBD的和；（提示过点D作EF∥MN）
（2）当点B在直线OP上运动时，试说明∠OBD﹣∠NAD＝90°；
（3）当点B在直线OP上运动的过程中，若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，请求出此时α的
值【变式10-5】（2022秋•南关区校级期末）已知AM∥CN，点B在直线AM、CN之间，∠ABC＝88°．
（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系： ．
（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为 ．
题型十一 平移性质的应用
【例题11】如图是一块从一个边长为50cm的正方形材料中裁出的垫片，现测量FG＝8cm，求这个垫片
的周长．解题技巧提炼
解决这类问题时，根据平移的性质，利用平移前后的对应线段相等和平移的距
离得出图形各边的长，进而解决求图形的周长或面积问题，通过平移把不规则图
形的面积转化成规则图形的面积来求解.
【变式11-1】（2021春•滨海县月考）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位
长度，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上．
（1）将△ABC经平移后得到△A′B′C′，点A的对应点是点A′．画出平移后所得的△A′B′C′；
（2）连接AA′、CC′，则线段AA′、CC′的位置关系为 ，线段AA′、CC′的数量关系为
；
（3）四边形AA′C′C的面积为 ．
【变式11-2】（2022春•黄陂区期中）如图，一块长为am，宽为bm的长方形草地上，有一条弯曲的小
路，小路左边线向右平移tm就是它的边线．若a：b＝5：3，b：t＝6：1，则小路面积与绿地面积的比
为（ ）1 1 2 2
A． B． C． D．
9 10 11 13
【变式11-3】如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，BC＝5，将直角梯形ABCD沿AB方向平移
2个单位得到直角梯形EFGH，HG与BC交于点M，且CM＝1，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式11-4】（2022春•黄陂区月考）如图是一块长方形的草地，长为21m．宽为15m．在草地上有两条
宽为1米的小道，长方形的草地上除小道外长满青草．求长草部分的面积为多少？
【变式11-5】（2021春•庆云县期末）如图，一块边长为 8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽
都是1米，空白的部分种上各种花草．
（1）求种花草的面积；
（2）若空白的部分种植花草共花费了4620元，则每平方米种植花草的费用是多少元？题型十二 综合压轴探究题
【例题12】（2022春•罗定市期末）已知，直线l ∥l ，直线l 和l ，l 分别交于C，D点，点A，B分别
1 2 3 1 2
在直线l ，l 上，且位于直线l 的左侧，动点P在直线l 上，且不和点C，D重合．
1 2 3 3
（1）如图1，当动点P在线段CD上运动时，求证：∠APB＝∠CAP+∠DBP；
（2）如图2，当动点P在点C上方运动时（P，A，B不在同一直线上），请写出∠APB，∠CAP，
∠DBP之间的数量关系，并选择其中一种的数量关系说明理由．解题技巧提炼
解决这类问题主要是运用综合分析法，灵活运用本章节所学的知识来解决问
题，在解题过程中会用到转化思想或分类讨论的思想，得出各种情况下的结论.
【变式12-1】已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝ ，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．
（1）当 ＝30°时，则∠EOC＝ °；∠FOD＝α °．
（2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开
始以8°/秒α的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射
线OE′与射线OF′第一次重合？
（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线
OE′转动的时间为 秒．
【变式12-2】（2022春•渌口区期末）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在
∠AOE的内部．（1）当点E，F在直线AB的同侧；
①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，求∠EOF的度数；
②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；
（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
【变式12-3】（2022秋•南关区校级期末）【感知】如图①，AD∥BC，∠PAB＝125°，∠PCD＝130°，
∠APC的度数为 ．
【探究】如图②，AD∥BC，点P在射线ON上运动，∠DAP＝∠α，∠CBP＝∠β，
（1）当点P在线段CD上运动时，试探究∠APB，∠α，∠β之间的数量关系．
（2）当点P在线段C，D两点外侧运动时（点P与点C，D，O三点不重合），直接写出∠APB，
∠ α ， ∠ β 之 间 的 数 量 关 系 为
．
