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第十九章 二次根式概念清单速记表
19.1 二次根式及其性质
概念 定义或说明 相关概念
二次根式 形如 ❑√a（a≥0）的式子叫作二次根式。它表示一个 算术平方根、代
非负数 a 的算术平方根。 数式
二次根式有意义的条件 在实数范围内，❑√a 有意义当且仅当被开方数 a≥0。 实数范围
二次根式的性质1（非负性） ❑√a≥0（a≥0）。 非负数
二次根式的性质2 (❑√a) 2=a（a≥0）。 平方运算
二次根式的性质3 ❑√a2=|a|= { a, a≥0 绝对值、算术平
-a, a<0 。文档中重点强调： 方根
❑√a2=a（a≥0）。
19.2 二次根式的乘法与除法
概念 定义或说明 相关概念
二次根式的乘法法则 ❑√a⋅❑√b=❑√ab（a≥0,b≥0）。 算术平方根的运
算
积的算术平方根 ❑√ab=❑√a⋅❑√b（a≥0,b≥0）。用于化简。 二次根式的化简
二次根式的除法法则 ❑√a √a 算术平方根的运
=❑ （a≥0,b>0）。
算
❑√b b
商的算术平方根 √a ❑√a 二次根式的化简
❑ = （a≥0,b>0）。用于化简。
b ❑√b
最简二次根式 满足以下两个条件的二次根式：1. 被开方数不含分 二次根式的化
母。2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 简、分母有理化
19.3二次根式的加法与减法
概念 定义或说明 相关概念
二次根式的加减法则 二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再 最简二次根式、
将被开方数相同的二次根式进行合并。合并方法类似于 合并同类项
整式中的合并同类项。
二次根式的混合运算 运算顺序与有理数、整式的运算顺序相同。整式的乘法 整式的运算、乘
法则（如分配律）和乘法公式（如平方差公式、完全平 法公式
方公式）在二次根式的运算中仍然适用。
重要题型与易错提醒
一、概念辨析与有意义的条件
1. 二次根式的定义判断
核心要点：判断一个式子是否为二次根式，必须同时满足两个条件：
a≥0
① 含有根号“ ”；② 根号内的数（或式）必须非负（即 ）。
典型例题：判断下列式子是否为二次根式：❑√7， ❑√-2， ❑√x2+1， √3 9。
解析与易错点： ❑√7 是，因为 7>0。
❑√-2 不是，因为 -2<0，在实数范围内无意义。
❑√x2+1 是，因为 x2+1≥1>0，对任意实数 x 都成立。
√3 9 不是，因为根指数是3，属于三次根式，不符合二次根式（根指数为2）的定义。
易错提醒：最常犯的错误是忽略被开方数的非负性，以及混淆根指数（二次根式根指数为2，通常省略）。2. 二次根式有意义的条件
解题思路：直接由定义出发，令被开方数 ≥0，解不等式即可。
典型例题：求 ❑√3x-2 中 x 的取值范围。
2
解析：由 3x-2≥0，解得 x≥ 。
3
易错提醒：当二次根式出现在分母位置时，不仅要满足被开方数 ≥0，还必须要求分母整体 ≠0，即被开方数
>0。
1
例如，对于 ，需满足
4-x>0，解得 x<4。
❑√4-x
二、 性质应用与化简
1. 核心性质
❑√a2=|a|
的应用
这是二次根式最核心且最易错的性质，其结果为 a 的绝对值，化简时必须先判断 a 的符号。
典型例题：化简 ❑√(2-❑√5) 2 。
解析：因为 2<❑√5，所以 2-❑√5<0。根据性质：❑√(2-❑√5) 2=|2-❑√5|=❑√5-2。
易错提醒：学生常会错误地直接写成
2-❑√5，忽略了结果的非负性。务必牢记：❑√a2
的结果一定是非负数。
2. 最简二次根式的判断
判断标准：必须同时满足： 1. 被开方数中不含分母。 2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（即各因式
的指数小于2）。
典型例题：下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
√1
A. ❑√12 B. ❑ C. ❑√5 D. ❑√27
3
解析： A: ❑√12=2❑√3，含因数4，不是。
√1 ❑√3
B: ❑ = ，被开方数含分母，不是。
3 3
C: ❑√5 满足两个条件，是。
D: ❑√27=3❑√3，含因数9，不是。
答案：C
√1 ❑√2
易错提醒：检查时必须两个条件同时考虑，缺一不可。对于 ❑ 这类，需通过分母有理化化为 后才符
2 2
合最简形式。
三、 运算题
1. 加减运算
核心步骤：“一化简，二判断，三合并”。
1. 化简：将所有二次根式化为最简二次根式。2. 判断：找出被开方数相同的同类二次根式。
3. 合并：将同类二次根式的系数相加减，根号部分不变。
√1
典型例题：计算 ❑√18+❑ -❑√24。
2
√1 ❑√2 ❑√2 7❑√2
解析： * 化简：❑√18=3❑√2， ❑ = ， ❑√24=2❑√6。 * 合并同类项：3❑√2+ = 。 *
2 2 2 2
7❑√2
-2❑√6 与前者不同类，无法合并。 * 结果为 -2❑√6。
2
易错提醒：切勿合并非同类二次根式！例如 ❑√2+❑√3 不能合并为 ❑√5， ❑√18+❑√2 不能合并为 ❑√20。必
须在化简为最简形式后才能判断是否同类。
2. 乘除与混合运算
❑√a √a
乘除法则： * 乘法：
❑√a⋅❑√b=❑√ab(a≥0,b≥0)。
* 除法：
=❑ (a≥0,b>0)。
❑√b b
混合运算顺序：与实数运算相同，先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内。
典型例题：计算
(❑√5+2)(❑√5-2)+❑√20。
解析： * 运用平方差公式：(❑√5) 2-22=5-4=1。
* 化简：❑√20=2❑√5。 * 合并：1+2❑√5。
易错提醒： 1. 运算结果必须化为最简二次根式。
2. 进行混合运算时，要灵活运用乘法公式（如平方差、完全平方公式）简化计算。
3. 注意运算顺序，避免出错。
四、 化简求值题
解题策略：通常先对所求代数式进行变形、化简（如配方、因式分解、分母有理化等），然后再代入求值，以
简化计算。
典型例题1（配方）：已知 x=❑√3+1，求 x2-2x+2 的值。
解析：先将原式配方：x2-2x+2=(x-1) 2+1。代入 x=❑√3+1，得 (❑√3) 2+1=3+1=4。此法比直
接代入展开计算更简便。
1
典型例题2（分母有理化）：已知 a=❑√5-2，求 a+ 的值。
a
1 1 1 ❑√5+2
= = =❑√5+2
解析：先对 分母有理化： 。
a a ❑√5-2 (❑√5) 2-22
1
则
a+ =(❑√5-2)+(❑√5+2)=2❑√5。
a
易错提醒：对于含二次根式的分母，直接代入会使计算复杂，先进行分母有理化是关键步骤。同时，代入前要
检查原式在给定值下是否有意义（如分母是否为零）。五、 非负性应用
核心原理：初中阶段常见的非负数有三种： ❑√a(a≥0)， |a| ， a2n (n为自然数)。若几个非负数的和
为零，则每个非负数都必须为零。
典型例题：若 ❑√x-3+|y+2|+(z-1) 2=0，求 x+ y+z 的值。
解析：由非负数和为零可得： ❑√x-3=0⇒x=3； |y+2|=0⇒y=-2； (z-1) 2=0⇒z=1。
所以
x+ y+z=3+(-2)+1=2。
易错提醒：必须清楚识别题目中的非负数形式，并牢固掌握“和为0则每个均为0”的结论。
六、 综合与拓展
1. 整数部分问题
解题思路：确定一个无理数的整数部分 a 和小数部分 b（满足 0≤b<1），然后利用 b=原数-a 进行后
续计算。
易错提醒：小数部分 b 的取值范围的确定。
2. 复合二次根式的化简（拓展）
形式：形如 ❑√m±2❑√n 的式子。
方法：设法将其配成完全平方形式，即寻找两个正数 a,b，使得 a+b=m， ab=n，则有
❑√m±2❑√n=❑√a±❑√b （a>b）。
典型例题：化简 ❑√4+2❑√3。
解析：寻找 a,b，使 a+b=4， ab=3。解得 a=3,b=1 或 a=1,b=3。
故 ❑√4+2❑√3=❑√3+❑√1=❑√3+1。
总结与建议：解决二次根式问题，务必从概念定义和核心性质出发，运算时坚持“先化简，后运算”的原则，
时刻注意隐含的非负性条件和字母取值范围。通过分类练习上述题型，可以有效规避常见错误，提升解题能
力。
