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【赢在中考·黄金8卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（大连专用）
黄金卷 3
（满分150分，考试用时120分钟）
一、选择题：本大题共有 10 小题，每小题3分，共 30分。每小题只有一个正确选项.
1．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）如果温度上升2 ℃记作+2 ℃，那么温度下降3 ℃记作（ ）
A．+2 ℃ B．−2 ℃
C．+3 ℃ D．−3 ℃
【答案】D
【分析】根据正数与负数的表示方法，可得解．
【详解】解：上升2℃记作+2℃，下降3℃记作−3℃；
故选：D．
【点睛】本题考查正数和负数；能够根据实际问题理解正数与负数的意义和表示方法是解题的关键．
2．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）襄阳牛杂面因襄阳籍航天员聂海胜的一句“最想吃的还是我们襄阳的
牛杂面”火爆出圈，引发了全国人民的聚焦和关注．襄阳某品牌牛杂面的包装盒及对应的立体图形如图所
示，则该立体图形的主视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据主视图的意义，从正面看该立体图形所得到的图形进行判断即可．
【详解】解：从正面看，是一个矩形，
故选：A．
【点睛】本题考查简单几何体的主视图，理解三视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的关键．
3．（2022·山东菏泽·统考中考真题）2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就．主要包括：北斗全球卫星导航系统平均精度2~3米；中国高铁运营里程超40000000米；“奋斗者”号载人潜
水器最深下潜至10909米；中国嫦娥五号带回月壤重量1731克．其中数据40000000用科学记数法表示为
（ ）
A．0.4×108 B．4×107 C．4.0×108 D．4×106
【答案】B
【分析】把比较大的数写成a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数即可得出答案．
【详解】解：40000000＝4×107，
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法表示较大的数，掌握10的指数比原来的整数位数少1是解题的关键．
4．（2022·山东泰安·统考中考真题）如图，l ∥l ，点A在直线l 上，点B在直线l 上，AB=BC，
1 2 1 2
∠C=25°，∠1=60°，则∠2的度数是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
【答案】A
【分析】先根据等边对等角求出∠BAC的度数，然后根据平行线的性质求出∠ABD的度数，最后利用三角
形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵AB=BC，
∴∠BAC=∠C=25°，
∵l ∥l ，
1 2
∴∠ABD=∠1=60°，
∴∠2=180°-∠C-∠BAC-∠ABD=180°-25°-25°-60°=70°，
故选A．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确求出∠BAD和
∠ABD的度数是解题的关键．
5．（2022·广西贺州·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．x3+x3=x6 B．x6÷x3=x2 C．(3x3) 2 =6x5 D．x2 ⋅x3=x5
【答案】D
【分析】利用合并同类项，同底数幂相除，积的乘方，同底数幂相乘法则，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、x3+x3=2x3，故本选项错误，不符合题意；
B、x6÷x3=x3，故本选项错误，不符合题意；
C、(3x3) 2 =9x6，故本选项错误，不符合题意；
D、x2 ⋅x3=x5，故本选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂相除，积的乘方，同底数幂相乘法则，熟练掌握相关运算
法则是解题的关键．
6．（2022·河北·统考中考真题）五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后
来又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（ ）
A．只有平均数 B．只有中位数 C．只有众数 D．中位数和众数
【答案】D
【分析】分别计算前后数据的平均数、中位数、众数，比较即可得出答案．
1
【详解】解：追加前的平均数为： (5+3+6+5+10)=5.8；
5
从小到大排列为3，5，5，6，10，则中位数为5；
5出现次数最多，众数为5；1
追加后的平均数为： (5+3+6+5+20)=7.8；
5
从小到大排列为3，5，5，6，20，则中位数为5；
5出现次数最多，众数为5；
综上，中位数和众数都没有改变，
故选：D．
【点睛】本题为统计题，考查了平均数、众数与中位数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重
新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是一组数据中出现
次数最多的数据，注意众数可以不只一个．
7．（2022·山东潍坊·中考真题）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离
√5−1
与头顶到下巴的距离之比约为 ，下列估算正确的是（ ）
2
√5−1 2 2 √5−1 1 1 √5−1 √5−1
A．0< < B． < < C． < <1 D． >1
2 5 5 2 2 2 2 2
【答案】C
【分析】用夹逼法估算无理数即可得出答案．
【详解】解：4＜5＜9，
∴2＜√5＜3，
∴1＜√5−1＜2，
1 √5−1
∴ ＜ ＜1，
2 2
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
8．（2022·江苏苏州·统考中考真题）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的
基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追
之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人
先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，
根据题意可列出的方程是（ ）
60 60 100 100
A．x=100− x B．x=100+ x C． x=100+x D． x=100−x
100 100 60 60
【答案】B
【分析】根据题意，先令在相同时间t内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的
100 60
人的速度 ，走路慢的人的速度 ，再根据题意设未知数，列方程即可
t t
【详解】解：令在相同时间t内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的人的速度
100 60
，走路慢的人的速度 ，
t t
60 x
x=100+ ×
设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可得 t 100，
t
60
∴根据题意可列出的方程是x=100+ x，
100
故选：B．
【点睛】本题考查应用一元一次方程解决数学史问题，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键．
9．（2022·湖南常德·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕
点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B的对应点分别是D，E，点F是边AC的中点，连接BF，BE，
FD．则下列结论错误的是（ ）
A．BE=BC B．BF∥DE，BF=DE
C．∠DFC=90° D．DG=3GF
【答案】D【分析】根据旋转的性质可判断A；根据直角三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的判定方法可判
断B；根据平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质可判断C；利用等腰三角形的性质和含
30°角的直角三角形的性质可判断D．
【详解】A．∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE=BC，故A正确；
B．∵点F是边AC中点，
1
∴CF=BF=AF= AC，
2
∵∠BCA=30°，
1
∴BA= AC，
2
∴BF=AB=AF=CF，
∴∠FCB=∠FBC=30°，
延长BF交CE于点H，则∠BHE=∠HBC+∠BCH=90°，
∴∠BHE=∠DEC=90°，
∴BF//ED，
∵AB=DE，
∴BF=DE，故B正确．
C．∵BF∥ED，BF=DE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BC=BE=DF，
∵AB=CF， BC=DF，AC=CD，
∴△ABC≌△CFD，∴∠DFC=∠ABC=90°，故C正确；
D．∵∠ACB=30°， ∠BCE=60°，
∴∠FCG=30°，
1
∴FG= CG，
2
∴CG=2FG．
∵∠DCE=∠CDG=30°，
∴DG=CG，
∴DG=2FG．故D错误．
故选D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角
边等于斜边的一半，以及平行四边形的判定与性质等知识，综合性较强，正确理解旋转性质是解题的关键．
10．（2022·湖南衡阳·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=6，AB∥CD，AC
平分∠DAB．设AB=x，AD= y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先证明CD=AD= y，过D点做DE⊥AC于点E，证明△ABC∽△AED，利用相似三角形的性
质可得函数关系式，从而可得答案．
【详解】解：∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，
∵AC平分∠DAB，∴∠BAC=∠CAD，
∴∠ACD=∠CAD，则CD=AD= y，即△ACD为等腰三角形，
过D点做DE⊥AC于点E．1
则DE垂直平分AC，AE=CE= AC=3，∠AED=90°，
2
∵∠BAC=∠CAD，∠B=∠AED=90°，
∴△ABC∽△AED，
AC AB
∴ = ，
AD AE
6 x
∴ = ，
y 3
18
∴y= ，
x
∵在△ABC中，AB<AC，
∴x<6，
故选D．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函
数的图象，证明△ABC∽△AED是解本题的关键．
二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分。
11．（2022·四川南充·中考真题）若√8−x为整数，x为正整数，则x的值是_______________．
【答案】4或7或8
【分析】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据
√8−x为整数即可得x的值．
【详解】解：∵8−x≥0
∴x≤8
∵x为正整数
∴x可以为1、2、3、4、5、6、7、8
∵√8−x为整数∴x为4或7或8
故答案为：4或7或8．
【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简、解一元一次不等式等知识点，掌握二次根式的性质是解答
本题的关键．
12．（2022·山东临沂·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B的坐标分别是
A(0,2)，B(2,−1)．平移△ABC得到△A'B'C'，若点A的对应点A'的坐标为(−1,0)，则点B的对应点B'的
坐标是_____________．
【答案】(1,−3)
【分析】根据点A坐标及其对应点A'的坐标的变化规律可得平移后对应点的横坐标减小1，纵坐标减小
2，即可得到答案．
【详解】∵平移△ABC得到△A'B'C'，点A(0,2)的对应点A'的坐标为(−1,0)，
∴ △ABC向左平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度，
即平移后对应点的横坐标减小1，纵坐标减小2，
∴ B(2,−1)的对应点B'的坐标是(1,−3)，
故答案为：(1,−3)．
【点睛】本题考查了平移坐标的变化规律，即左减右加，上加下减，熟练掌握知识点是解题的关键．
13．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）不透明的袋子中装有5个球，其中有3个红球和2个黑球，它们除颜
色外都相同．从袋子中随机取出1个球，它是黑球的概率是_____．
2
【答案】
5
【分析】直接根据概率公式求解．
【详解】解：∵盒子中装有3个红球，2个黑球，共有5个球，
2
∴从中随机摸出一个小球，恰好是黑球的概率是 ；
5
2
故答案为： ．
5【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的
结果数．
14．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽
马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．” 其题意为：“良马每天行240里，劣马每
天行150里，劣马先行12天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是______．
【答案】20
【分析】设良马x天追上劣马，根据良马追上劣马所走路程相同可得：240x＝150（x＋12），即可解得良
马20天追上劣马．
【详解】解：设良马x天追上劣马，
根据题意得：240x＝150（x＋12），
解得x＝20，
答：良马20天追上劣马；
故答案为：20．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
15．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD=60°，
AD=3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值
是________．
3√6 3
【答案】 ## √6
2 2
【分析】作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则
PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出OF，
OE长，再证明△EOF是直角三角形，然后由勾股定理求出EF长即可．
【详解】解：如图，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，
则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF的长，∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AD=AB=3，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=3，∠BAO=30°，
1 3
∴OB= AB= ，
2 2
3
∴OA= √3，
2
∴点O关于AB的对称点F，
∴OF⊥AB，OG=FG，
3
∴OF=2OG=OA= √3，∠AOG=60°，
2
∵CE⊥AH于E，OA=OC，
3
∴OE=OC=OA= √3，
2
∴∠AEC=∠CAE，
∵AH平分∠BAC，
∴∠CAE=15°，
∴∠AEO=∠CAE=15°，
∴∠COE=∠AEO+∠CAE=30°，
∴∠COE+∠AOG=30°+60°=90°，
∴∠FOE=90°，∴由勾股定理，得EF=√OF2+OE2=
√ (3√3) 2
+
(3√3) 2
=
3√6
,
2 2 2
3√6
∴PO+PE最小值= ．
2
3√6
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点O关于
AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，则PO+PE最小，最
小值=EF的长是解题的关键．
16．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点
B，C重合），DE∥AB，交AC于点E，EF∥BC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为
y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 _____．
【答案】2√3
【分析】根据抛物线的对称性知，BC＝4，作FH⊥BC于H，当BD＝2时， ▱BDEF的面积为3，则此时BF
＝√3，AB＝2BF，即可解决问题．
【详解】解：∵抛物线的顶点为（2，3），过点（0，0），
∴x＝4时，y＝0，
∴BC＝4，
作FH⊥BC于H，当BD＝2时， ▱BDEF的面积为3，∵3＝2FH，
3
∴FH＝ ，
2
∵∠ABC＝60°，
3
∴BF＝ 2 ＝√3，
sin60°
∵DE∥AB，
∴AB＝2BF＝2√3，
故答案为：2√3．
【点睛】本题主要考查了动点的函数图象问题，抛物线的对称性，平行四边形的性质，特殊角的三角函数
值等知识，求出BC＝4是解题的关键．
三、解答题：本大题共有6小题，共102分。
(a+1 ) 2a
17.（9分）（2022·陕西·统考中考真题）化简： +1 ÷ ．
a−1 a2−1
【答案】a+1
【分析】分式计算先通分，再计算乘除即可．
a+1+a−1 a2−1
【详解】解：原式= ⋅
a−1 2a
2a (a+1)(a−1)
= ⋅
a−1 2a
=a+1．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，正确地计算能力是解决问题的关键．
18.（10分）（2022·辽宁大连·统考中考真题）为了解某初级中学落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，调查组从该校全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每
周劳动时间t（单位：h），并对数据进行整理，描述和分析，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部
分．
平均每周劳动时间频数统计表
平均每周劳动时间t(h) 频数 频率
1≤t<2 3
2≤t<3 a 0.12
3≤t<4 37 b
4≤t<5 0.35
5≤t<6
合计 c
根据以上信息，回答下列问题∶
(1)填空：a=______，b=______，c=_____；
(2)若该校有1000名学生，请估计平均每周劳动时间在3≤t<5范围内的学生人数．
【答案】(1)12，0.37, 100
(2)720人
【分析】（1）由频数分布直方图可得a的值，再由a除以频率0.12求解总人数c，再求解b即可；
（2）先求解样本中平均每周劳动时间在3≤t<5范围内有72人，再由1000乘以其频率即可得到答案．
【详解】（1）解：由频数分布直方图可得：a=12,
由12÷0.12=100,∴总人数为100人，
∴c=100,
37
∴b= =0.37,
100
故答案为：12，0.37, 100
（2）解：∵样本中平均每周劳动时间在3≤t<5范围内有37+100×0.35=72（人），
∴该校1000名学生，估计平均每周劳动时间在3≤t<5范围内的学生人数为：
72
1000× =720（人）．
100
【点睛】本题考查的是频数分布表与频数分布直方图，利用样本估计总体，熟记频数，频率，数据总数之
间的关系是解本题的关键．
19（10分）（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且
BE＝DF．求证：
(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，根据平行线的性质可得
∠ABE=∠CDF，结合已知条件根据SAS即可证明△ABE≌△CDF；
（2）根据△ABE≌△CDF可得AE=CF,∠AEB=∠CFD，根据邻补角的意义可得∠AEF=∠CFE，
可得AE∥CF，根据一组对边平行且相等即可得出．
【详解】（1）证明：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
又BE=DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）证明：∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF,∠AEB=∠CFD
∴∠AEF=∠CFE
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定
是解题的关键．
20．（10分）（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型
号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1
盒B种型号的颜料需用64元．
(1)求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元；
(2)绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多
少盒A种型号的颜料？
【答案】(1)每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元
(2)该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料
【分析】（1）设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元，根据题意，可列出关于x，y的二
元一次方程组，解之即可；
（2）设该中学可以购买a盒A种型号的颜料，则可以购买(200−a)盒B种型号的颜料，根据总费用不超
过3920元，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元．
根据题意得¿，
x=24
解得{
y=16
∴每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元．
（2）解：设该中学可以购买a盒A种型号的颜料，
根据题意得24a+16(200−a)≤3920
解得a≤90
∴该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，关键是（1）根据题意找出对应关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系正确列出一元一次不等式．
21．（9分）（2022·青海·统考中考真题）随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实.如图1是我国
自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一.图2是垂尾模型的轴切面，
并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC=8，CD=2，∠D=135°，∠C=60°，且AB∥CD，求出
垂尾模型ABCD的面积.（结果保留整数，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）
【答案】24
【分析】过D作DE垂直AB的延长线于E，交BC于点F，构建等直角三角形；∠C=60°，则在直角三角
形中，30°角所对的边等于斜边的一半，即可求出CF，勾股定理求出DF即可．在根据等腰直角三角形的
性质，得出△DAE的底和高即可求出面积．
【详解】解：过D作DE垂直AB的延长线于E，交BC于点F．
∵AB//CD，
∴DE⊥CD，
∴∠FEB=∠FDC=90°，
在Rt△CDF中，CD=2，∠C=60°，
∴∠CFD=30°，CF=4，DF=2√3，
∵BC=8，
∴BF=4，
∴BF=CF．
在△FEB和△FDC中，¿，
∴△FEB≌△FDC(AAS)．
∴BE=CD=2，DF=EF=2√3，
∵∠ADC=135°，∠FDC=90°，
∴∠ADE=45°，∴AE=DE=4√3，
1 1
∴S =S = AE⋅DE= ×4√3×4√3=24．
ABCD △AED 2 2
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的全等以及勾股定理，根据题意，构建直角三角形，根据
勾股定理求出三角形的各边是解题的关键．
22．（10分）（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，D
为B´E的中点，连接AE,BD并延长交于点C．连接OD，在OD的延长线上取一点F，连接BF，使
1
∠CBF= ∠BAC．
2
(1)求证：BF为⊙O的切线；
9
(2)若AE=4,OF= ，求⊙O的半径．
2
【答案】(1)证明见解析；
(2)3；
1
【分析】（1）连接AD，由圆周角定理可得∠ADB=90°，由等弧对等角可得∠BAD=∠CAD= ∠BAC，再进
2
行等量代换可得∠ABF=90°便可证明；（2）连接AD、BE，由圆周角定理可得∠AEB=90°，∠BOD=2∠BAD，于是∠BOD=∠BAC，由
△OBF∽△AEB可得OB∶AE=OF∶AB，再代入求值即可；
（1）
证明：如图，连接AD，
AB是圆的直径，则∠ADB=90°，
1
D为B´E的中点，则∠BAD=∠CAD= ∠BAC，
2
1
∵∠CBF= ∠BAC，
2
∴∠CBF=∠BAD，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABF=∠ABD+∠CBF=90°，
∴AB⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；
（2）
解：如图，连接AD、BE，
AB是圆的直径，则∠AEB=90°，
∵∠BOD=2∠BAD，∠BAC=2∠BAD，
∴∠BOD=∠BAC，
又∵∠ABF=∠AEB=90°，∴△OBF∽△AEB，
∴OB∶AE=OF∶AB，
9
∴OB∶4= ∶2OB，OB2=9，
2
OB＞0，则OB=3，
∴⊙O的半径为3；
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质；正确作出辅助线是解题关键．
23．（10分）（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．
如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，
增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75kg．在确保每棵果树平均产量不低于40kg的前提下，
设增种果树x（x>0且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为ykg，它们之间的函数关系满足如图所
示的图象．
(1)图中点P所表示的实际意义是________________________，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少
____________kg；
(2)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(kg)最大？最大产量是多少？
【答案】(1)增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg；0.5
(2)y与x的函数关系式为y=-0.5x+80(0<x≤80)
(3)增种果树50棵时，果园的总产量最大，最大产量是6050kg
【分析】(1)①根据图像可知，增种果树为x（x>0且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为ykg，可
以得出图中点P表示的实际意义；②根据增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75kg．增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg，可以得出每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少的量；
(2) 根据增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75kg．增种28棵果树时，每棵果树的平均产量
为66kg，设y与x的函数关系式为y=kx+b，将x=10，y=75；x=28，y=66代入可得y与x的函数关系式；
(3) 根据题意，果园的总产量w=每棵果树平均产量ykg×果树总棵树；可得w与x的二次函数关系式，根据
二次函数的图像和性质即可解得．
（1）
①根据图像可知，设增种果树x（x>0且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为ykg，
所以图中点P表示的实际意义是：增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg，
所以答案为：增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg，
②根据增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75kg．
增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg，
可以得出：每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少为：
(75-66)÷（28-10）=9÷18=0.5（kg）
所以答案为：0.5
（2）
根据增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75kg．增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为
66kg，设y与x的函数关系式为y=kx+b
将x=10，y=75；x=28，y=66代入可得
¿
解得¿
∴y与x的函数关系式为y=-0.5x+80(0<x≤80)
（3）
根据题意，果园的总产量w=每棵果树平均产量ykg×果树总棵树可得
w=(-0.5x+80)(60+x)
=-0.5x2+50x+4800
∵a=-0.5<0
b 50
所以当x= - =− =50 时，w有最大值
2a 2×(−0.5)
w最大=6050
所以增种果树50棵时，果园的总产量最大，最大产量是6050kg
【点睛】本题考查了一次函数，二次函数的应用，解答本题的关键是看懂图像，明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
24．（11分）（2021·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线
3
y=kx+15(k≠0)经过点C(3,6)，与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段CD平行于x轴，交直线y= x
4
于点D，连接OC，AD．
（1）填空：k= __________．点A的坐标是（__________，__________）；
（2）求证：四边形OADC是平行四边形；
（3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q
同时从点D出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动
时间均为t秒．
①当t=1时，△CPQ的面积是__________．
②当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，请直接写出此时t的值．
【答案】（1）−3，5，0；（2）见解析；（3）①12；②5−√10或5+√10．
【分析】（1）代入C点坐标即可得出k值确定直线的解析式，进而求出A点坐标即可；
（2）求出AD点坐标，根据CD=OA，CD//OA，即可证四边形OADC是平行四边形；
（3）①作CH⊥OD于H，设出H点的坐标，根据勾股定理计算出CH的长度，根据运动时间求出PQ的
长度即可确定ΔCPQ的面积；
②根据对角线相等确定PQ的长度，再根据P、Q的位置分情况计算出t值即可．
【详解】解：（1）∵直线y=kx+15(k≠0)经过点C(3,6)，
∴3k+15=6，
解得k=−3，
即直线的解析式为y=−3x+15，当y=0时，x=5，
∴A(5.0)，
（2）∵线段CD平行于x轴，
∴D点的纵坐标与C点一样，
3
又∵D点在直线y= x上，
4
当y=6时，x=8，
即D(8,6)，
∴CD=8−3=5，
∵OA=5，
∴OA=CD，
又∵OA//CD，
∴四边形OADC是平行四边形；
（3）①作CH⊥OD于H，
3
∵H点在直线y= x上，
4
3
∴设H点的坐标为(m, m)，
4
3 2 3 2
∴CH2=(m−3) 2+( m−6) ，DH2=(m−8) 2+( m−6) ，
4 4
由勾股定理，得CH2+DH2=CD2，
3 2 3 2
即(m−3) 2+( m−6) +(m−8) 2+( m−6) =52，
4 4
24
整理得m= 或8（舍去），
5
∴CH=3，∵OD=√82+62=10，
∴当t=1时，PQ=OD−t−t=10−1−1=8，
1 1
∴S = PQ⋅CH= ×8×3=12，
ΔCPQ 2 2
②∵OD=10，
当0⩽t⩽5时，PQ=10−2t，
当5⩽t⩽10时，PQ=2t−10，
当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，PQ=AC，
∵AC=√(5−3) 2+62=2√10，
当0⩽t⩽5时，10−2t=2√10，
解得t=5−√10，
当5⩽t⩽10时，2t−10=2√10，
解得t=5+√10，
综上，当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时t的值为5−√10或5+√10．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形的性质和矩形的性质
是解题的关键．
25．（11分）（2022·江苏镇江·统考中考真题）已知，点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边AB、
BC、CD、AD上．
(1)如图1，当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH=AB；
(2)如图2，已知AE=AH，CF=CG，当AE、CF的大小有_________关系时，四边形EFGH是矩形；
(3)如图3，AE=DG，EG、FH相交于点O，OE:OF=4:5，已知正方形ABCD的边长为16，FH长为
20，当△OEH的面积取最大值时，判断四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论．【答案】(1)见解析
(2)AE=CF
(3)平行四边形，证明见解析
【分析】（1）利用平行四边形的性质证得∠BEF=∠AHE，根据角角边证明△AEH≌△BFE．
（2）当AE=CF，证得△AEH≌△FCG，△EBF是等腰直角三角形，∠HEF=∠EFG=90°，即可证得四边
形EFGH是矩形．
（3）利用正方形的性质证得AEGD为平行四边形，过点H作HM⊥BC，垂足为点M，交EG于点N，由
平行线分线段成比例，设OE=4x，OF=5x，HN= ℎ，则可表示出HN，从而把△OEH的面积用x的代
数式表示出来，根据二次函数求出最大值，则可得OE=OG，OF=OH，即可证得平行四边形．
【详解】（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AEH+∠AHE=90°．
∵四边形EFGH为正方形，
∴EH=EF，∠HEF=90°，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∴∠BEF=∠AHE．
在△AEH和△BFE中，
∵∠A=∠B=90°，∠AHE=∠BEF，EH=FE，
∴△AEH≌△BFE．
∴AH=BE．
∴AE+AH=AE+BE=AB；
（2）AE=CF；证明如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=BC=AD=CD，
∵AE=AH，CF=CG，AE=CF，
∴AH=CG，
∴△AEH≌△FCG，
∴EH=FG．
∵AE=CF，
∴AB－AE=BC－CF，即BE=BF，∴△EBF是等腰直角三角形，
∴∠BEF=∠BFE=45°，
∵AE=AH，CF=CG，
∴∠AEH=∠CFG=45°，
∴∠HEF=∠EFG=90°，
∴EH∥FG，
∴四边形EFGH是矩形．
（3）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CD．
∵AE=DG，AE∥DG，
∴四边形AEGD为平行四边形．
∴AD∥EG．
∴EG∥BC．
过点H作HM⊥BC，垂足为点M，交EG于点N，
HN HO
∴ = ．
HM HF
∵OE:OF=4:5，
ℎ 20−5x
设OE=4x，OF=5x，HN= ℎ，则 = ，
16 20
∴ℎ =4(4−x)．
1 1
∴S= ⋅OE⋅HN= ⋅4x⋅4(4−x)=−8(x−2) 2+32．
2 2
∴当x=2时，△OEH的面积最大，
1 1
∴OE=4x=8= EG=OG，OF=5x=10= HF=OH，
2 2
∴四边形EFGH是平行四边形．【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的判定和平行四边形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，有一定的综合性，解题的关键是熟悉这
些知识并灵活运用．
1 2
26.（12分）（2022·河北沧州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a(x+ ) +k的图象经
2
7 1
过点A(0, )，点B(1,− )，与直线x=m交于点P．
4 4
(1)求二次函数的解析式；
(2)当0≤x≤m时，函数有最小值−3，求m的值；
(3)过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为−2m+1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而
减小．
①求m的取值范围；
1 2 1
②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y=a(x+ ) +k(−2≤x< )的图象有一个交点时m的取值
2 3
范围．
7
【答案】(1)y=−x2−x+
42√5−1
(2)
2
1 1 1 4
(3)①m< ；②− ≤m< 或−2≤m<−
3 2 3 3
7
【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的解析式为y=−x2−x+
；
4
1 2 1
（2）由抛物线y=−(x+ ) +2的对称轴为直线x=− ，根据当0≤x≤m时，函数有最小值−3，可得
2 2
2√5−1
x=m时，y=−3，即可解得m的值为 ；
2
（3）①PQ=|−2m+1−m|=|−3m+1|，根据PQ的长度随m的增大而减小，可得−3m+1>0，即可解得
1
解得m< ；
3
1 1 1 2
②由0<PQ≤7，得−2≤m< ，（Ⅰ）当m=− 时，P在二次函数y=−(x+ ) +2的图象的最高点，
3 2 2
1 1 1
PQ与抛物线只有1交点，（Ⅱ）当− <m< 时，P、Q都在直线x=− 的右侧，PQ与抛物线只有1交
2 3 2
1 1 4 4
点；（Ⅲ）直线x= 关于对称轴直线x=− 的对称直线为x=− ，当−2≤m<− 时，PQ与抛物线只有
3 2 3 3
1交点．
7 1 1 2
【详解】（1）解：将A(0, )，点B(1,− )代入y=a(x+ ) +k得：
4 4 2
¿，
解得¿，
1 2 7
∴y=−(x+ ) +2=−x2−x+ ，
2 4
7
答：二次函数的解析式为y=−x2−x+
；
4
1 2 1
（2）∵抛物线y=−(x+ ) +2的对称轴为直线x=− ，
2 2
∴在0≤x≤m时，y随x的增大而减小，
而当0≤x≤m时，函数有最小值−3，∴x=m时，y=−3，
1 2
即−3=−(m+ ) +2，
2
2√5−1 −2√5−1
解得m= 或m= （不合题意，舍去），
2 2
2√5−1
∴m的值为 ；
2
（3）①PQ=|−2m+1−m|=|−3m+1|，
当−3m+1>0时，PQ=−3m+1，PQ的长度随m的增大而减小，
当−3m+1<0时，PQ=3m−1，PQ的长度随m增大而增大，
∴−3m+1>0满足题意，
1
解得m< ；
3
②∵0<PQ≤7，
∴0<−3m+1≤7，
1
解得−2≤m< ，
3
1 1 2
（Ⅰ）当m=− 时，P在二次函数y=−(x+ ) +2的图象的最高点，PQ与抛物线只有1交点，如图：
2 2
1 1
（Ⅱ）当− <m< 时，如图：
2 31
此时P、Q都在直线x=− 的右侧，PQ与抛物线只有1交点；
2
1 1 4
（Ⅲ）直线x= 关于对称轴直线x=− 的对称直线为x=− ，
3 2 3
4
当−2≤m<− 时，如图：
3
此时PQ与抛物线只有1交点；
1 1 4 1 2 1
综上所述，当− ≤m< 或−2≤m<− 时，PQ与抛物线y=−(x+ ) +2(−2≤x< )只有一个交点．
2 3 3 2 3
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标特征，抛物线与线段的交
点等，解题的关键是数形结合思想的应用．
