文档内容
【赢在中考·黄金8卷】备战2023年中考数学全真模拟卷
（抚本铁辽葫专用）
黄金卷 3
（满分150分，考试用时120分钟）
一、选择题：本大题共有 10 小题，每小题3分，共 30分。每小题只有一个正确选项.
1．（2020·湖北省直辖县级单位·中考真题）下列各数中，比−2小的数是（ ）
A．0 B．−3 C．−1 D．|−0.6|
【答案】B
【分析】根据有理数的大小比较法则比较即可．
【详解】解：|−0.6|=0.6，
∵−3<−2<−1<0<0.6，
∴比−2小的数是−3，
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的比较大小，注意绝对值越大的负数的值越小是解题的关键．
2．（2021·辽宁鞍山·统考中考真题）下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案不是轴
对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称的定义：图形两部分沿对称轴折叠后可重合，结合各选项图案的特点即可得出答案．
【详解】A.是轴对称图形，不符合题意，
B.不是轴对称图形，符合题意，
C.是轴对称图形，不符合题意，
D.是轴对称图形，不符合题意，故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3．（2022·山东枣庄·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．3a2﹣a2＝3 B．a3÷a2＝a C．（﹣3ab2）2＝﹣6a2b4 D．（a+b）2＝a2+ab+b2
【答案】B
【分析】根据幂的运算法则以及整式的运算法则进行计算即可；
【详解】A、3a2﹣a2＝2a2，故A错误，不符合题意；
B、a3÷a2＝a，故B正确，符合题意；
C、（﹣3ab2）2＝9a2b4，故C错误，不符合题意；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故D不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了幂的运算和整式的运算，熟练地掌握合并同类项的法则，同底数幂的除法法则，
积的乘方法则，以及完全平方公式是解题的关键．
4．（2022·广西贺州·统考中考真题）下面四个几何体中，主视图为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依次分析每个选项中的主视图，找出符合题意的选项即可．
【详解】解：A选项图形的主视图为矩形，符合题意；
B选项图形的主视图为三角形，中间由一条实线，不符合题意；
C选项图形的主视图为三角形，不符合题意；
D选项图形的主视图为梯形，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了几何体的主视图，解题关键是理解主视图的定义．
5．（2022·湖北荆州·统考中考真题）从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比赛．若这
13名队员的身高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高数据的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．最大值 D．方差
【答案】B
【分析】根据题意，只要知道13名队员身高数据的中位数即可判断小明是否入选．【详解】解：入选规则是个头高则入选，则需要将13名队员的身高进行降序排序，取前7名进行参赛，根
据中位数的概念，知道第7名的成绩，即中位数即可判断小明是否入选；
故选：B．
【点睛】本题主要考查中位数的概念，掌握中位数的概念是解本题的关键．
6．（2022·四川凉山·统考中考真题）一次函数y＝3x＋b（b≥0）的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质可得其经过的象限，进而可得答案．
【详解】解：一次函数y=3x+b(b≥0)，
∵k=3＞0
∴图象一定经过一、三象限，
∴当b＞0时，函数图象一定经过一、二、三象限，
当b=0时，函数图象经过一、三象限，
∴函数图象一定不经过第四象限，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，属于基础题型，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
7．（2022·湖北十堰·统考中考真题）甲、乙两人在相同的条件下，各射击10次，经计算：甲射击成绩的
平均数是8环，方差是1.1；乙射击成绩的平均数是8环，方差是1.5．下列说法中不一定正确的是（ ）
A．甲、乙的总环数相同 B．甲的成绩比乙的成绩稳定
C．乙的成绩比甲的成绩波动大 D．甲、乙成绩的众数相同
【答案】D
【分析】根据方差、平均数的意义进行判断，平均数相同则总环数相同，方差越大，波动越大即可求出答
案．
【详解】解：∵甲射击成绩的方差是 1.1，乙射击成绩的方差是 1.5，且平均数都是8环，
∴S甲2＜S乙2，
∴甲射击成绩比乙稳定，
∴乙射击成绩的波动比甲较大，
∵甲、乙射靶 10 次，
∴甲、乙射中的总环数相同，
故A、B、C选项都正确，
但甲、乙射击成绩的众数不一定相同，故D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了平均数、方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组
数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数
据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
8．（2022·海南·统考中考真题）如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交
AB于点E，交AC于点F，若∠1=140°，则∠2的度数是（ ）
A．80° B．100° C．120° D．140°
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质可得∠A=60°，再由三角形外角的性质可得∠AEF=∠1-∠A=80°，从而得到
∠BEF=100°，然后根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵∠1=140°，
∴∠AEF=∠1-∠A=80°，
∴∠BEF=180°-∠AEF=100°，
∵m∥n，
∴∠2=∠BEF=100°．
故选：B
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的
性质，三角形外角的性质，平行线的性质是解题的关键．
9．（2022·四川广元·统考中考真题）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC1
长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于 AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，
2
作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（ ）
5 10
A． B．3 C．2√2 D．
2 3
【答案】A
AC 4
【分析】由题意易得MN垂直平分AD，AB=10，则有AD=4，AF=2，然后可得cos∠A= = ，
AB 5
进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：MN垂直平分AD，BD=BC=6，
1
∴AF= AD,∠AFE=90°，
2
∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，
∴AB=√AC2+BC2=10，
AC AF 4
∴AD=4，AF=2，cos∠A= = = ，
AB AE 5
AF 5
∴AE= = ；
cos∠A 2
故选A．
【点睛】本题主要考查勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数，熟练掌握勾股定理、垂直平分线的性质
及三角函数是解题的关键．
10．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4√3cm，
CD⊥AB，垂足为点D，动点M从点A出发沿AB方向以√3cm/s的速度匀速运动到点B，同时动点N从
点C出发沿射线DC方向以1cm/s的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接MN，设
运动时间为ts，△MND的面积为S cm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出M在AD和在BD上时△MND的面积为S关于t的解析式即可判断．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB=4√3，
1
∴∠B＝60°，BC= AB=2√3，AC=√3BC=6，
2
∵CD⊥AB，
1 1
∴CD= AC=3，AD=√3CD=3√3，BD= BC=√3，
2 2
∴当M在AD上时，0≤t≤3，
MD=AM−AD=3√3−√3t，DN=DC＋CN=3＋t，
1 1 √3 9√3
∴S= MD·DN= (3√3−√3t)(3+t)=− t2+ ，
2 2 2 2
当M在BD上时，3＜t≤4，
MD=AD−AM=√3t−3√3，
1 1 √3 9√3
∴S= MD·DN= (√3t−3√3)(3+t)= t2− ，
2 2 2 2
故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获
取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分。
1
11．（2022·山东菏泽·统考中考真题）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________．
√x−3【答案】x>3
【分析】根据分式有意义条件和二次根式有意义的条件得x-3>0，求解即可．
【详解】解：由题意，得
¿
所以x-3>0，
解得：x>3，
故答案为：x>3．
【点睛】本题考查分式有意义条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义条件：分母不等于0，
二次根式有意义的条件：被开方数为非负数是解题的关键．
12．（2022·山东临沂·统考中考真题）因式分解2x2−4x+2=______．
【答案】2(x−1) 2．
【详解】解：2x2−4x+2
=2(x2−2x+1)
=2(x−1) 2，
故答案为2(x−1) 2．
13．（2022·宁夏·中考真题）喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、
《建党伟业》、《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上
述影片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽
出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是______．
1
【答案】
4
【分析】画树状图，共有16种可能的结果，其中两人恰好抽到同一部的结果由4种，再由概率公式求解即
可．
【详解】把写有《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》的四张卡片分别记为A、
B、C、D，
画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，
4 1
∴甲、乙两人恰好抽到同一部的概率为 = ，
16 4
1
故答案为： ．
4
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率以及随机事件等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可
能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
14．（2022·江西·统考中考真题）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲
采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样
x人，则可列分式方程为__________．
160 140
【答案】 =
x x−10
【分析】先表示乙每小时采样（x-10）人，进而得出甲采样160人和乙采样140人所用的时间，再根据时
间相等列出方程即可．
【详解】根据题意可知乙每小时采样（x-10）人，根据题意，得
160 140
= ．
x x−10
160 140
故答案为： = ．
x x−10
【点睛】本题主要考查了列分式方程，确定等量关系是列方程的关键．
15．（2022·湖南岳阳·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，
则实数m的取值范围是______．
【答案】m<1
【分析】根据判别式的意义得到Δ=22−4×1×m>0，然后解不等式求出m的取值即可．
【详解】解：根据题意得Δ=22−4×1×m>0，
解得m<1，
所以实数m的取值范围是m<1．
故答案为：m<1．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
16．（2022·湖南株洲·统考中考真题）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之
“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个
圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示．问题：此图中，正方形一条对角线AB
与⊙O相交于点M、N（点N在点M的右上方），若AB的长度为10丈，⊙O的半径为2丈，则BN的长度
为_________丈．
【答案】8−2√2
1
【分析】如图，先根据正方形的性质得出∠OAC= ∠EAD=45°，再解直角三角形求出AO的长度，则
2
BN=AB−AO−ON．
【详解】解：如图，
设⊙O与AD边的切点为点C，连接OC，
则OC=2（丈），OC⊥AD，
由正方形的性质知∠EAD=90°，对角线AB平分∠EAD，
1
∴∠OAC= ∠EAD=45°，
2
OC 2 2
∴AO= = =2× =2√2（丈），
sin∠OAC sin45° √2
∴AN=ON+AO=2+2√2（丈），
∴BN=AB−AN=10−(2+2√2)=8−2√2（丈），
故答案为：8−2√2．【点睛】本题考查正方形的性质，圆的切线的定义，解直角三角形等，通过解直角三角形求出AO的长度
是解题的关键．
17．（2022·贵州毕节·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴、
k
y轴上，对角线交于点E，反比例函数y= (x>0,k>0)的图像经过点C，E．若点A(3,0)，则k的值是
x
_________．
【答案】4
【分析】作CF垂直y轴， 设点B的坐标为(0，a)，可证明△AOB≌△BFC（AAS），得到CF=OB=a，
BF=AO=3，可得C点坐标，因为E为正方形对称线交点，所以E为AC中点，可得E点坐标，将点C、E的坐
标代入反比例函数解析式中，即可求出k的值．
【详解】作CF垂直y轴于点F，如图，设点B的坐标为(0，a)，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，∵∠OBA+∠OAB=∠OBA+∠FBC=90°
∴∠OAB=∠FBC
在△BFC和△AOB中
¿
∴△AOB≌△BFC
∴BF=AO=3，CF=OB=a
∴OF=OB+BF=3+a
∴点C的坐标为(a，3+a)
∵点E是正方形对角线交点，
∴点E是AC中点，
(3+a 3+a
)
∴点E的坐标为 ,
2 2
k
∵反比例函数y= (x>0,k>0)的图象经过点C，E
x
∴¿
解得：k=4
故答案为：4
【点睛】本题考查了反比例函数与图形的综合应用，巧用正方形的性质求C、E点的坐标是解题的关键．
18．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，CE，BD交于点H，
DF⊥CE于点F，FM平分∠DFE，分别交AD，BD于点M，G，延长MF交BC于点N，连接BF．下
1
列结论：①tan∠CDF= ；②S :S =3:4；③MG:GF:FN=5:3:2；④△BEF∽△HCD．其
2 △EBH △DHF
中正确的是_________．（填序号即可）．
【答案】①③④
EB 1
【分析】设正方形ABCD的边长为2a，证明∠CDF＝∠ECB，求出tan∠ECB= = ，可得①正确；根据
CB 21 √5 4√5 4√5
平行线分线段成比例结合勾股定理求出EH= EC= a，DF= a，HF= a，进而求出
3 3 5 15
S ：S =5:8可得②错误；过点G作GQ⊥DF于点Q，GP⊥EC于点P，用a表示出GM，GF，FN可
△EBH △DHF
BE CH √5
得③正确；证明∠BEF＝∠HCD，求出 = = ，可得④正确．
EF CD 3
【详解】解：如图，过点G作GQ⊥DF于点Q，GP⊥EC于点P，设正方形ABCD的边长为2a．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵AE＝EB＝a，BC＝2a，
EB 1
∴tan∠ECB= = ，
CB 2
∵DF⊥CE，
∴∠CFD＝90°，
∴∠ECB＋∠DCF＝90°，
∵∠DCF＋∠CDF＝90°，
∴∠CDF＝∠ECB，
1
∴tan∠CDF= ，故①正确，
2
∵BE∥CD，
EH BH EB 1
∴ ＝ ＝ ＝ ，
CH DH CD 2
∵EC=√BE2＋CB2=√a2＋(2a) 2=√5a，BD=√2CB=2√2a，
1 √5 1 2√2 2 4√2
∴EH= EC= a，BH= BD= a，DH= BD= a ，
3 3 3 3 3 3
CF 1
在Rt△CDF中，tan∠CDF= = ，CD＝2a，
DF 22√5 4√5
∴CF= a，DF= a，
5 5
√5 2√5 4√5
∴HF=CE−EH−CF=√5a− a− a= a，
3 5 15
1 1 4√5 4√5 8
∴S = •FH•DF= × a× a= a2 ，
△DFH 2 2 15 5 15
1 1 1 1
∵S = S = × ×a×2a= a2 ，
△BEH 3 △ECB 3 2 3
1 8
∴S ：S = a2: a2=5:8，故②错误；
△EBH △DHF 3 15
∵FM平分∠DFE，GQ⊥DF，GP⊥EC，
∴GQ＝GP，
1
•HF•GP
S 2 GH
∵ △FGH＝ ＝ ，
S 1 DG
△FDG •DF•GQ
2
4√5
a
GH HF 15 1
∴ ＝ = = ，
DG DF 4√5 3
a
5
3
∴DG= DH=√2a，
4
∴BG＝DG，
∵DM∥BN，
GM DG
∴ = =1，
GN GB
∴GM＝GN，
∵S =S +S ，
△DFH △FGH △FGD
1 4√5 4√5 1 4√5 1 4√5
∴ × a× a= × ×GP+ × a×GQ，
2 15 5 2 15 2 5
√5
∴GP=GQ= a，
5
∵∠GPF＝∠PFQ＝∠FQG＝90°，GP＝GQ，
∴四边形GPFQ是正方形，
√10
∴FG= a，
5过点N作NJ⊥CE于点J，设FJ＝NJ＝m，则CJ＝2m，
2√5
∴3m= a，
5
2√5
∴m= a，
15
2√10
∴FN=√2m= a，
15
√10 2√10 √10
∴MG＝GN＝GF＋FN＝ a+ a= a，
5 15 3
√10 √10 2√10
∴MG：GF：FN＝ a: a: a=5:3:2，故③正确，
3 5 15
∵AB∥CD，
∴∠BEF＝∠HCD，
BE a √5 2√5
= = a
∵EF 3√5 3 ，HC 3 √5，
a = =
5 CD 2a 3
BE CH
∴ = ，
EF CD
∴△BEF∽△HCD，故④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，解直角三角
形，勾股定理，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴
题．
三、解答题：本大题共有8小题，共96分。
1 a−2 a−1
19.（10分）（2022·湖南·统考中考真题）先化简(1− )÷ + ，再从1，2，3中选一个
a−1 2 a2−2a+1
适当的数代入求值．
3 3
【答案】 ，
a−1 2
【分析】先根据分式的混合运算的法则进行化简后，再根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．
a−2 2 a−1
【详解】解：原式 = ⋅ +
a−1 a−2 (a−1) 22 1
= +
a−1 a−1
3
= ；
a−1
因为a=1，2时分式无意义，所以a=3，
3
当a=3时，原式= ．
2
【点睛】本题考查分式的化简与求值，掌握分式有意义的条件以及分式混合运算的方法是正确解答的关键．
20．（12分）（2022·河北沧州·统考二模）2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进
一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，明确要求初中书面作业每天平均完成时间
不超过90分钟．开学初某初级中学对每个学科的书面作业完成时间都做了明确的规定，一周后，为了解学
生书面作业完成时间的情况，从本校学生中随机抽取500名进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完
整的统计图．
调查问卷：
①近两周你平均每天完成书面作业的时间大约是分钟，如果你平均每天完成书面作业的时间超过90分钟，
请回答第2个问题．
②作业超时的主要原因是（单选）
A．作业难度大无法按时完成
B．作业会做，但题量大无法按时完成
C．学习效率低无法完成
D．其他
平均每天完成作业时间x（分钟）分为5组：
①50≤x<60；②60≤x<70；③70≤x<80；④80≤x<90；⑤90≤x<100．根据以上信息，解答下列问题：
(1)书面作业不少于90分钟的学生人数占被调查人数的百分比为 ；影响作业完成时间的主要原因统计
图中的m= ，补全作业完成时间统计图；
(2)本次调查中平均每天完成作业时间的中位数落在第 组；
(3)何老师准备从自己班完成作业用时最少的4名学生中选取2名在班里进行经验介绍，已知这4名同学中
有2名男生和2名女生，用列表或画树状图的方法求选中的2名同学恰好是一男一女的概率．
【答案】(1)17%，33.3，补全图形见解析
(2)③
2
(3)
3
【分析】（1）用第⑤组人数除以总人数即可，根据百分比之和为1可得m的值，根据五个小组人数之和为
500可得第④组人数，从而补全图形；
（2）根据中位数的定义可得答案；
（3）根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率．
【详解】（1）解：书面作业不少于90分钟的学生人数占被调查人数的百分比为85÷500×100%=17%，
影响作业完成时间的主要原因统计图中的m%=1−(39.1%+16.1%+11.5%)=33.3%，即m=33.3，
80≤x<90人数为500−(20+130+180+85)=85，
补全图形如下：
故答案为：17%，33.3；
（2）这组数据的中位数是第250、251个数据的平均数，而这两个数据均落在③70≤x<80，
本次调查中平均每天完成作业时间的中位数落在第③组，
故答案为：③；（3）由题意可得，树状图如下图所示，
由树状图知，共有12种等可能结果，其中选中的2名同学恰好是一男一女的有8种结果，
8 2
∴恰好选中一名男生和一名女生的概率是 = ．
12 3
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．（12分）（2022·内蒙古·中考真题）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品
10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
(1)求购进A、B两种纪念品的单价；
(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少
于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案
中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
【答案】(1)购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元
(2)共有6种进货方案
(3)当购进A种纪念品160件B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组进行求解即可；
（2）根据题意列出一元一次不等式组进行求解即可；
（3）设总利润为W元，求出W和x之间的函数关系式，利用一次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）设A种纪念品单价为a元，B种纪念品单价为b元
根据题意，得¿ 解得¿
∴购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元.
（2）设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个
根据题意，得50x+100 y=10000
1
变形得y=100− x
2由题意得：¿
由①得：x⩾150
由②得：x⩽160
∴150⩽x⩽160
∵x，y均为正整数
∴x可取的正整数值是150，152，154，156，158，160
与x相对应的y可取的正整数值是25，24，23，22，21，20
∴共有6种进货方案.
（3）设总利润为W元
则W =20x+30 y=5x+3000
∵5>0
∴W随x的增大而增大
∴当x=160时，W有最大值：5×160+3000=3800（元）
∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．
【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的实际应用．根据题意正确的列出二元
一次方程组，一元一次不等式组，根据一次函数的性质进行求解，是解题的关键．
22．（12分）（2022·河南信阳·统考模拟预测）如图，教学楼ABCD的外墙BC正前方10m处有一个竖直旗
杆MN．某同学要测量旗杆MN的高度，该同学在BN上的E点测得旗杆顶点M的仰角为60°，原地转身从
墙BC的外玻璃幕墙中观察到旗杆顶点M的虚像M'，测得虚像M'的仰角为37°．已知N'，A，B，E，N
在同一水平直线上，求MN的高度．（结果精确到0.1m，tan37°≈0.75，cos37°≈0.80，√3≈1.73）
【答案】10.5m
【分析】根据题意可得N'N=2BN=20m，设MN的高度为xm，由题意知，在Rt△EMN中，
MN √3
EN= = x，进而根据N'N=N'E+EN，解方程即可求解．
√3 3【详解】如图，由题意可知，N'N=2BN=20m．
MN √3
设MN的高度为xm，由题意知，在Rt△EMN中，EN= = x，
√3 3
M'N'
在Rt△EM'N'中，tan37°= ≈0.75．
N'E
M'N' 4
∴N'E= = x．
0.75 3
4 √3
由题意可得N'N=N'E+EN= x+ x．
3 3
4 √3
即 x+ x=20
3 3
解得x≈10.5(m)．
答：MN的高度约为10.5m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握直角三角形中边角关系是解题的关键．
23．（12分）（2022·湖北武汉·统考二模）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．冰墩墩以熊猫为原
型设计，寓意创造非凡、探索未来．某批发市场购进一批冰墩墩玩偶出售，每件进货价为50元．经市场调
查，每月的销传量y（万件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/件） 60 62 68
销售量y（万件） 40 36 24
(1)直接写出y与x之间的函数表达式为 ；
(2)批发市场销售冰墩墩玩偶希望每月获利352万元，且尽量给客户实惠，每件冰墩墩应该如何定价？
(3)批发市场规定，冰墩墩的每件利润率不低于10%，若这批玩偶每月销售量不低于20a万件，最大利润为
400万元，求a的值．
【答案】(1)y=−2x+160
(2)每件冰墩墩定价为58元(3)a=2
【分析】（1）由表可知单价为60元时，可买40万件，每上涨2元，销量就降4万件，据此有
x−60
y=40− ×4，整理即可得；
2
（2）根据题意列出一元二次方程即可求解，注意以让利给顾客为依据对根作取舍；
（3）设销售总利润为w，由题意，得w=(x−50)(−2x+160) =−2(x−65) 2+450，根据题意得出关于x
的不等式组，求出x的取值范围，根据抛物线的性质和最大利润为400万元即可求出a的值．
【详解】（1）由表可知单价为60元时，可买40万件，每上涨2元，销量就降4万件，据此有
x−60
y=40− ×4，整理即可得：y=−2x+160；
2
（2）(x−50)(−2x+160)=352
解得x =58，x =72
1 2
∵尽量给客户优惠
∴每件冰墩墩定价为58元；
（3）设销售总利润为w，由题意，
得w=(x−50)(−2x+160) =−2(x−65) 2+450，
又∵¿，则55≤x≤80−10a
∵二次项系数−2<0，抛物线开口向下，
①若80−10a≥65，则当x=65时，w =450≠400，不符合题意，舍去
最大
②若55<80−10a<65，即1.50)的图象与x轴交
于点A(−1,0)、B(2,0)，与y轴交于点C，且tan∠OAC=2．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接
PB、PC，若S =S ，求点P的坐标；
△PBC △BCD
(3)如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q．设点P的横坐标为
PQ PQ
t，试用含t的代数式表示 的值，并求 的最大值．
OQ OQ【答案】(1)y=x2−x−2；
(2)P（1+√2，√2）或（1-√2，−√2）；
1
(3)
2
【分析】（1）在Rt△AOC中求出OC的长，从而确定点C的坐标，将二次函数设为交点式，将点C的坐标
代入，进一步求得结果；
（2）可分为点P在第三象限和第一象限两种情况：当点P在第三象限时，设点P（a，a2−a−2），可表
示出△BCD的面积，作PE∥AB交BC于E，先求出直线BC，从而得到E点坐标，从而表示出△PBC的面积，
根据S△PBC=S△BCD，列出方程，进一步求得结果，当P在第一象限，同样的方法求得结果；
（3）作PN⊥AB于N，交BC于M，根据P（t，t2−t−2），M（t，t−2），表示出PM的长，根据
PQ PM PQ
PN∥OC，得出△PQM∽△OQC，从而得出 = ，从而得出 的函数表达式，进一步求得结果．
OQ OC OQ
【详解】（1）∵A（-1，0），
∴OA=1，
OC
又∵∠AOC=90°，tan∠OAC= =2，
OA
∴OC=2OA=2即点C的坐标为（0，-2），
设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-2），
将C点坐标代入得：a=1，
∴y=（x+1）（x-2）=x2−x−2；
（2）设点P（a，a2−a−2），如图所示，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，
∵B（2，0），C（0，-2），
∴直线BC的解析式为：y=x-2，∴当y=a2−a−2时，x=y+2=a2−a，
∴PE=a2−a−a=a2−2a，
1
∴S△PBC= PE·OC，
2
1
∵抛物线的对称轴为y= ，CD∥x轴，C（0，-2），
2
∴点D（1，-2），
∴CD=1，
1
∴S△BCD= CD·OC，
2
1 1
∴ PE·OC= CD·OC，
2 2
∴a2-2a=1，
解得a1=1+√2（舍去），a2=1-√2；
当x=1-√2时，y=a2−a−2=a-1=-√2，
∴P（1-√2，-√2），
如图，当点P在第一象限时，作PE⊥x轴于点E，交直线BC于F，
∴F（a，a-2），
∴PF=（a2−a−2）-（a-2）=a2−2a，
1 1
∴S△PBC= PF·OB= CD·OC，
2 2
∴a2−2a=1，
解得a1=1+√2，a2=1-√2（舍去）；
当a=1+√2时，y=a2−a−2=√2，
∴P（1+√2，√2），
综上所述，P点坐标为（1+√2，√2）或（1-√2，−√2）；（3）如图，作PN⊥AB于N，交BC于M，
由题意可知，P（t，t2−t−2），M（t，t-2），
∴PM=（t-2）-（t2−t−2）=-t2+2t，
又∵PN∥OC，
∴△PQM∽△OQC，
PQ PM −t2+2t 1 1
∴ = = =− (t−1) 2 + ，
OQ OC 2 2 2
PQ 1
∴当t=1时，( )最大= ．
OQ 2
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，三角函数的应用、二次函数的解析式、相似三角形的综合和配方
法求最值等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决此类问题的关键．
