文档内容
【赢在中考·黄金8卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（沈阳专用）
黄金卷 3
（满分120分，考试用时120分钟）
一、选择题：本大题共有 10 小题，每小题2分，共 20分。每小题只有一个正确选项.
1．（2022年新疆乌鲁木齐市高新区中考数学适应性试题）−3的绝对值是（ ）
1
A．3 B．−3 C． D．±3
3
【答案】A
【分析】根据绝对值的概念，可得−3的绝对值就是数轴上表示−3的点与原点的距离．进而得到答案．
【详解】解：−3的绝对值是3，
故选：A．
【点睛】本题考查绝对值的定义，正确理解绝对值的定义是解题的关键．
2．（2022年贵州省黔西南州中考数学真题）如图，是由6个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图
是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】C
【分析】找到从上面看，能看到的图形即可，即俯视图．【详解】该立体图形的俯视图为：
故：C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，正确确定三视图是本题的关键．
3．（2022年贵州省安顺市中考数学真题）贵州省近年来经济飞速发展，经济增长速度名列前茅，据相关
统计，2021年全省GDP约为196000000万元，则数据196000000用科学记数法表示为（ ）
A．196×106 B．19.6×107 C．1.96×108 D．0.196×109
【答案】C
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【详解】解：196000000=1.96×108．
故选C．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
确定n的值时，要看把原来的数，变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数，确定a与n的值是解题的关键．
4．（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）下列运算一定正确的是（ ）
A．(a2b3) 2 =a4b6 B．3b2+b2=4b4 C．(a4) 2 =a6 D．a3 ⋅a3=a9
【答案】A
【分析】根据积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算逐项验证即可得到结
论．
【详解】解：A、根据积的乘方运算、幂的乘方运算法则可知(a2b3) 2 =a4b6，该选项符合题意；
B、根据合并同类项运算可知3b2+b2=4b2≠4b4，该选项不符合题意；
C、根据幂的乘方运算可知(a4) 2 =a4×2=a8≠a6，该选项不符合题意；
D、根据同底数幂的乘法运算可知a3 ⋅a3=a3+3=a6≠a9，该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查整式的运算，涉及到积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法
运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．5．（2022年辽宁省朝阳市中考数学真题）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片
上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠EGC的度数为（ ）
A．100° B．80° C．70° D．60°
【答案】B
【分析】由平行四边形的性质可得AB∥DC，再根据三角形内角和定理，即可得到∠GEF的度数，依据平
行线的性质，即可得到∠EGC的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠AEG=∠EGC，
∵∠EFG=90°，∠EGF=60°，
∴∠GEF=30°，
∴∠GEA=80°，
∴∠EGC=80°．
故选：B．
【点睛】此题考查的是平行四边形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
6．（2022年湖南省衡阳市中考数学真题）为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的
意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、
剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，39，42，42，则
这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．38，39 B．35，38 C．42，39 D．42，35
【答案】C
【分析】将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
【详解】解：∵42出现了2次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是42；
把这些数从小大排列为35，38，39，42，42，
所以中位数是39，故选：C．
【点睛】本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据
的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置
的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位
数．
7．（2022年广西梧州市中考数学真题）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形
OA 1
A'B'C'D'﹐已知 = ，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A'B'C'D'的面积是（ ）
OA' 3
A．4 B．6 C．16 D．18
【答案】D
【分析】两图形位似必相似，再由相似的图形面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：由题意可知，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，
S ABCD = ( OA ) 2 = (1) 2 = 1
由两图形相似面积比等于相似比的平方可知： ，
S OA' 3 9
A'B'C'D'
又四边形ABCD的面积是2，
∴四边形A'B'C'D'的面积为18，
故选：D．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，属于基础题，熟练掌握相似图形的性质是解决本题的关键．
8．（2022年浙江省杭州市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，2)，点A(4，2)．以
点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在 ( √3 )， ， ，
M − ,0 M (−√3,−1) M (1,4)
1 3 2 3( 11)
M 2, 四个点中，直线PB经过的点是（ ）
4 2
A．M B．M C．M D．M
1 2 3 4
【答案】B
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得B（2，2+2√3），利用待定系数法可得直线PB的解析式，
依次将M，M，M，M 四个点的一个坐标代入y=√3x+2中可解答．
1 2 3 4
【详解】解：∵点A（4，2），点P（0，2），
∴PA⊥y轴，PA=4，
由旋转得：∠APB=60°，AP=PB=4，
如图，过点B作BC⊥y轴于C，
∴∠BPC=30°，
∴BC=2，PC=2√3，
∴B（2，2+2√3），
设直线PB的解析式为：y=kx+b，
则¿，
∴¿，
∴直线PB的解析式为：y=√3x+2，2√3
当y=0时，√3x+2=0，x=- ，
3
√3
∴点M（- ，0）不在直线PB上，
1 3
当x=-√3时，y=-3+2=1，
∴M（-√3，-1）在直线PB上，
2
当x=1时，y=√3+2，
∴M（1，4）不在直线PB上，
3
当x=2时，y=2√3+2，
11
∴M（2， ）不在直线PB上．
4 2
故选：B．
【点睛】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B的坐标是解本题的关键．
9．（2022年湖南省衡阳市中考数学真题）下列说法正确的是（ ）
A．“任意画一个三角形，其内角和为180°”是必然事件
B．调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式
C．抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确
1
D．十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是
3
【答案】A
【分析】由三角形的内角和定理可判断A，由抽样调查与普查的含义可判断B，C，由简单随机事件的概率
可判断D，从而可得答案．
【详解】解：“任意画一个三角形，其内角和为180°”是必然事件，表述正确，故A符合题意；
调查全国中学生的视力情况，适合采用抽样调查的方式，故B不符合题意；
抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越不准确，故C不符合题意；
1
十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率不是 ，
3
与三种灯的闪烁时间相关，故D不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是必然事件的含义，调查方式的选择，简单随机事件的概率，三角形的内角和定理的
含义，掌握“以上基础知识”是解本题的关键．
10．（2022年四川省达州市中考数学真题）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC，分别以点A，B，C为圆心，以AB长为半径作B´C，A´C，A´B，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如
果一个曲边三角形的周长为2π，则此曲边三角形的面积为（ ）
A．2π−2√3 B．2π−√3 C．2π D．π−√3
【答案】A
【分析】根据此三角形是由三段弧组成，所以根据弧长公式可得半径，即正三角形的边长，根据曲边三角
√3a2
形的面积等于三角形的面积与三个弓形的面积和，边长为a的等边三角形的面积为 ，即可求解．
4
【详解】解：设等边三角形ABC的边长为r，
60⋅π⋅r 1
∴ = ×2π,
180 3
解得r=2，即正三角形的边长为2，
√3 (60π×22 √3 )
∴此曲边三角形的面积为 ×22+3× − ×22 =2π−2√3
4 360 4
故选A
【点睛】本题考查了扇形面积的计算．此题的关键是明确曲边三角形的面积等于三角形的面积与三个弓形
的面积和，然后再根据所给的曲线三角形的周长求出三角形的边长．
二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分。
11．（2020年甘肃省兰州市中考数学一诊试题）分解因式：x3y﹣9xy=____．
【答案】xy(x+3)(x﹣3)．
【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解．
【详解】x3y﹣9xy
=xy(x2﹣9)
=xy(x+3)(x﹣3)
故答案为：xy(x+3)(x﹣3)．【点睛】此题主要考查了分解因式，根据题目选择适合的方法是解题关键．
12．（2022年四川省攀枝花市中考数学真题）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一
1
元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程 x−1=0是关于x的不等式组¿的关联方程，则n
3
的取值范围是 ___________．
【答案】1≤n<3
【分析】解一元一次方程得出方程的解x=3，代入不等式组可得答案．
1
【详解】解：解方程 x−1=0得x=3，
3
∵x=3为不等式组¿的解，
∴¿，解得1≤n<3，
即n的取值范围为：1≤n<3，
故答案为：1≤n<3．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“关联方程”的定
义和解一元一次不等式组、一元一次方程的能力．
2x 1
13．（人教版2020-2021学年八年级上册15.2分式的运算）计算： − 的结果是__．
x2−9 x−3
1 1
【答案】 ##
x+3 3+x
【分析】根据异分母分式减法法则进行计算即可求解．
2x x+3
【详解】解：原式 = −
(x+3)(x−3) (x+3)(x−3)
2x−x−3
=
(x+3)(x−3)
x−3
=
(x+3)(x−3)
1
= ．
x+3
1
故答案为： ．
x+3
【点睛】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
14．（2022年浙江省湖州市中考数学真题）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，
点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO=3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数1
的解析式是y= ，则图像经过点D的反比例函数的解析式是______．
x
3
【答案】y=−
x
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设OB=x，OA=3x，结合正方形的性质，
1
全等三角形的判定和性质，得到ΔADF≌ΔBAO≌ΔCBE，然后表示出点C和点D的坐标，求出x2=
，
2
即可求出答案．
【详解】解：过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图：
OA
∵tan∠ABO= =3，
OB
设OB=x，OA=3x，
∴点A为（−3x，0），点B为（0，−x）；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC，∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠ADF+∠DAF=∠DAF+∠BAO，
∴∠ADF=∠BAO，
同理可证：∠ADF=∠BAO=∠CBE，
∵∠AFD=∠BOA=∠CEB=90°，∴ΔADF≌ΔBAO≌ΔCBE，
∴OA=FD=EB=3x，OB=FA=EC=x，
∴OE=OF=2x，
∴点C的坐标为（x，2x），点D的坐标为（−2x，3x），
1
∵点C在函数y= 的函数图像上，
x
1
∴2x2=1，即x2=
；
2
1
∴−2x·3x=−6x2=−6× =−3，
2
3
∴经过点D的反比例函数解析式为y=− ；
x
3
故答案为：y=− ．
x
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数的性质，三角函数，余角的性
质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的表示出点C和点D的坐标，从而进行解题．
15．（2022年甘肃省武威中考数学真题）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，
小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度ℎ（单位：m）与飞行时间t（单位：
s）之间具有函数关系：
ℎ
=−5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t=_________s．
【答案】2
【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．
【详解】解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，
且-5＜0，
∴当t=2时，h取最大值20，
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．
16．（2022年贵州省安顺市中考数学真题）已知正方形ABCD的边长为4，E为CD上一点，连接AE并延
长交BC的延长线于点F，过点D作DG⊥AF，交AF于点H，交BF于点G，N为EF的中点，M为BD上S 1
一动点，分别连接MC，MN．若 △DCG= ，则MC+MN的最小值为______．
S 9
△FCE
5√17 5
【答案】 ## √17
2 2
【分析】由正方形的性质，可得A点与C点关于BD对称，则有MN+CM=MN+AM⩾AN，所以当A、
S 1 CD 1
M、N三点共线时，MN+CM的值最小为AN，先证明ΔDCG∽ΔFCE，再由 ΔDCG= ，可知 = ，
S 9 CF 3
ΔFCE
分别求出DE=1，CE=3，CF=12，即可求出AN．
【详解】解：连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴A点与C点关于BD对称，
∴CM=AM，
∴MN+CM=MN+AM⩾AN，
∴当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小，
∵AD ∥ CF，
∴∠DAE=∠F，
∵∠DAE+∠DEH=90°，∵DG⊥AF，
∴∠CDG+∠DEH=90°，
∴∠DAE=∠CDG，
∴∠CDG=∠F，
∴ΔDCG∽ΔFCE，
S 1
∵
ΔDCG=
，
S 9
ΔFCE
CD 1
∴ = ，
CF 3
∵正方形边长为4，
∴CF=12，
∵AD ∥ CF，
AD DE 1
∴ = = ，
CF CE 3
∴DE=1，CE=3，
在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2，
∴EF=√32+122=3√17，
∵N是EF的中点，
3√17
∴EN= ，
2
在Rt△ADE中，EA2=AD2+DE2，
∴AE=√42+12=√17，
5√17
∴AN=AE+EN= ，
2
5√17
∴MN+MC的最小值为 ，
2
5√17
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，用轴对称求最短距离的方法，
灵活应用三角形相似、勾股定理．三、解答题：本大题共有6小题，共63分。
17.（6分）（2022年四川省泸州市中考数学真题）计算：(√3)
0+2−1+√2cos45°− |
−
1|
．
2
【答案】2
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数、绝对值的性质化简即可．
1 √2 1
【详解】原式=1+ +√2× −
2 2 2
=2．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18.（8分）（2022年四川省广元市中考数学真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，
AB＝2CD，E为AB中点，连接CE．
(1)求证：四边形AECD为菱形；
(2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
【答案】(1)见详解
(2)△ABC的面积为2√3
【分析】（1）由题意易得CD=AE，∠DAC=∠EAC=∠DCA，则有四边形AECD是平行四边形，然后问题可求
证；
（2）由（1）及题意易得∠DAE=∠CEB=60°,CE=BE,∠CAB=30°，则有△BCE是等边三角形，然
后可得△ACB是直角三角形，则AC=2√3,BC=2，进而问题可求解．
（1）
证明：∵AB∥CD，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠EAC，∠EAC=∠DCA，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∵AB＝2CD，E为AB中点，1
∴CD=AE= AB，
2
∵CD//AE，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵DA=DC，
∴四边形AECD是菱形；
（2）
解：由（1）知：CD//AE,AD//EC,CD=AE=EC=2，
∵∠D＝120°，
1
∴∠DAE=180°−ADC=60°=∠CEB,∠CAB= ∠DAE=30°=∠ACE，
2
∵E为AB中点，
∴AE=BE=CE，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠ECB=60°，BC=CE=2，
∴∠ACB=∠ACE+∠ECB=90°，
∴AC=√3BC=2√3，
1
∴S = AC⋅BC=2√3．
△ACB 2
【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定、等边三角形的性质及含30°直角三角形的性质，熟练掌握菱形
的性质与判定、等边三角形的性质及含30°直角三角形的性质是解题的关键．
19.（8分）（2022年江西省中考数学真题）某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4
名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选．
(1)“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是__________事件；
A．不可能 B．必然 C．随机
(2)若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概
率．
【答案】(1)C
1
(2)
2【分析】（1）根据随机事件的定义即可解决问题；
（2）从甲、乙、丙、丁名护士积极报名参加，设甲是共青团员用T表示，其余3人均是共产党员用G表示，
从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，然后利用树状图即可解决问题．
（1）
解：“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是随机事件；
故答案为：C；
（2）
从甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，设甲是共青团员用T表示，其余3人均是共产党员用G表示．
从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，如图所示：
它们出现的可能性相同，所有的结果中，被抽到的两名护士都是共产党员的（记为事件A)的结果有6 种，
6 1
则P(A)= = ，
12 2
1
则被抽到的两名护士都是共产党员的概率为 ．
2
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，随机事件．解决本题的关键是掌握列表法或画树状
图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况
数与总情况数之比．
20．（8分）（2022年四川省成都市中考数学真题）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案
和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统
节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包
一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
时长：（单位：分
等级 人数 所占百分比
钟）
A 0≤t<2 4 x
B 2≤t<4 20
C 4≤t<6 36%D t≥6 16%
根据图表信息，解答下列问题：
(1)本次调查的学生总人数为_________，表中x的值为_________；
(2)该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数；
(3)本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利
用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)50，8%
(2)200
2
(3)
3
【分析】（1）利用概率计算公式先求出总人数，再求出等级为A的学生人数；
（2）利用概率计算公式先求出等级为B的学生所占的百分比，再求出等级为B的学生人数；
（3）记两名男生为a，b，记两名女生为c，d，通过列出表格列出所有可能的结果，用恰有一男一女的结
果数除以总的结果数，即可得到恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【详解】（1）解：∵D组人数为8人，所占百分比为16%，
∴总人数为8÷16%=50人，
∴x=4÷50=8%．
（2）解：等级为B的学生所占的百分比为20÷50=40%，
∴等级为B的学生人数为500×40%=200人．
（3）解：记两名男生为a，b，记两名女生为c，d，列出表格如下：∴一共有12种情况，其中恰有一男一女的有8种，
8 2
∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率P= = ．
12 3
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，概率计算公式的熟练应用是解答本题的关键．
21．（8分）（2022年江苏省无锡市中考数学真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资
源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积
为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
(1)若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】(1)x的值为2m；
10 140
(2)当x= 时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2
3 3
【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36m2，列一元二次方程，解方
程即可求解；
（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性
质求解即可．
【详解】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，1
∴BD=3x，AB=CF=DE= (24-BD)=8-x，
3
依题意得：3x(8-x)=36，
解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，
此时x的值为2m；
；
（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵墙的长度为10，
∴0＜3x＜10，
10
∴0＜x＜ ，
3
∵-3<0，
∴x＜4时，S随着x的增大而增大，
10 10 2 140
∴当x= 时，S有最大值，最大值为−3×( −4) +48= ，
3 3 3
10 140
即当x= 时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2．
3 3
【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的
性质是解题的关键．
22．（10分）（2022年四川省成都市中考数学真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直
径作⊙O，交AB边于点D，在C´D上取一点E，使B´E=C´D，连接DE，作射线CE交AB边于点F．(1)求证：∠A=∠ACF；
4
(2)若AC=8，cos∠ACF= ，求BF及DE的长．
5
【答案】(1)见解析
42
(2)BF=5，DE=
25
【分析】（1）根据Rt△ABC中，∠ACB=90°，得到∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，根据B´E=C´D，得到
∠B=∠BCF，推出∠A=∠ACF；
1
（2）根据∠B=∠BCF，∠A=∠ACF，得到AF=CF，BF=CF，推出AF=BF= AB，根据
2
AC 4
cos∠ACF=cosA= = ，AC=8，得到AB=10，得到BF=5，根据BC=√AB2−AC2=6，得到
AB 5
BC 3
sin A= = ，连接CD，根据BC是⊙O的直径，得到∠BDC=90°，推出∠B+∠BCD=90°，推出
AB 5
BD 3 18 7
∠A=∠BCD，得到sin∠BCD= = ，推出BD= ，得到DF=BF−BD= ，根据∠FDE=∠BCE，
BC 5 5 5
DE DF 42
∠B=∠BCE，得到∠FDE=∠B，推出DE∥BC，得到△FDE∽△FBC，推出 = ，得到DE= ．
BC BF 25
【详解】（1）解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，
∵B´E=C´D，
∴∠B=∠BCF，
∴∠A=∠ACF；
（2）∵∠B=∠BCF，∠A=∠ACF
∴AF=CF，BF=CF，1
∴AF=BF= AB，
2
AC 4
∵cos∠ACF=cosA= = ，AC=8，
AB 5
∴AB=10，
∴BF=5，
∵BC=√AB2−AC2=6，
BC 3
∴sin A= = ，
AB 5
连接CD，∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
BD 3
∴sin∠BCD= = ，
BC 5
18
∴BD= ，
5
7
∴DF=BF−BD= ，
5
∵∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，
∴∠FDE=∠B，
∴DE∥BC，
∴△FDE∽△FBC，
DE DF
∴ = ，
BC BF
42
∴DE= ．
25
【点睛】本题主要考查了圆周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理及推论，运用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性质．
23．（10分）（2013年初中毕业升学考试（黑龙江绥化卷）数学（带解析））如图，直线MN与x轴，y
轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长
分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根．
（1）求C点坐标；
（2）求直线MN的解析式；
（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．
【答案】（1）C（0，6）．
3
（2）y=− x+6．
4
32 54 32 6 256 42
（3）P1（4，3），P2（− ， ）P3（ ， ），P4（ ，− ）．
5 5 5 5 25 25
【详解】试题分析：
（1）通过解方程x2﹣14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．则C（0，6）；
（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．把点A、C的坐标分别代入解析式，列出关于系数k、b的方
程组，通过解方程组即可求得它们的值；
（3）需要分类讨论：PB为腰，PB为底两种情况下的点P的坐标．根据等腰三角形的性质、两点间的距离
公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答．
试题解析：
（1）解方程x2-14x+48=0得
x1=6，x2=8
∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根
∴OC=6，OA=8
∴C（0，6）
（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）由（1）知，OA=8，则A（8，0）
∵点A、C都在直线MN上
∴
解得 ，
∴直线MN的解析式为y=- x+6
（3）
∵A（8，0），C（0，6）
∴根据题意知B（8，6）
∵点P在直线MN y=- x+6上
∴设P（a，-- a+6）
当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：
①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1（4，3）；
②当PC=BC时，a2+（- a+6-6）2=64
解得，a=± ，则P2（- ， ），P3（ ， ）
③当PB=BC时，（a-8）2+（- a+6-6）2=64
解得，a= ，则- a+6=-∴P4（ ， ）
综上所述，符合条件的点P有：P1（4，3），P2(- ， )，P3( ， )，P4（ ，- ）
考点：一次函数综合题．
24．（12分）（2022年山西省中考数学真题）综合与实践
问题情境：在Rt ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶
点D放在Rt AB△C斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC
交于点M，N△，猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理
由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠B=∠MDB时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．
25 25
【答案】（1）四边形AMDN为矩形；理由见解析；（2）CN= ；（3）AN= ．
8 7
【分析】（1）由三角形中位线定理得到MD∥AC ，证明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可证明结论；
（2）证明△NDC是等腰三角形，过点N作NG⊥BC于点G，证明△CGN∽△CAB，利用相似三角形的性质
即可求解；
（3）延长ND，使DH=DN，证明△BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，证明∠MBH=90°，设
AM=AN=x，在Rt△BMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）四边形AMDN为矩形．
理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点，
∴MD∥AC，
∴∠AMD+∠A=180°，∵∠A=90°，
∴∠AMD=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，
四边形AMDN为矩形；
（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴∠B+∠C=90°，BC=√AB2+AC2=10．
∵点D是BC的中点，
1
∴CD= BC=5．
2
∵∠EDF=90°，
∴∠MDB+∠1=90°．
∵∠B=∠MDB，
∴∠1=∠C．
∴ND=NC．
过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°．
1 5
∴CG= CD= ．
2 2
∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，
∴△CGN∽△CAB．
5
CG CN
∴ = ，即2 CN，
CA CB =
8 10
25
∴CN= ；
8（3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH，
∵MD⊥HN，∴MN=MH，
∵D是BC中点，
∴BD=DC，
又∵∠BDH=∠CDN，
∴△BDH≌△CDN，
∴BH=CN，∠DBH=∠C，
∵∠BAC=90°，
∵∠C+∠ABC=90°，
∴∠DBH+∠ABC=90°，
∴∠MBH=90°，
设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=√2x，
在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，
∴(6-x)2+(8-x)2=(√2x)2，
25
解得x= ，
7
25
∴线段AN的长为 ．
7
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，解第
（3）问的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
1
25．（12分）（2022年四川省南充市中考数学试卷）抛物线y= x2+bx+c与x轴分别交于点A,B(4,0)，
3
与y轴交于点C(0,−4)．(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，▱BCPQ顶点P在抛物线上，如果▱BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求
点P的坐标．
(3)如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM=2ON，连接BN并延长到点D，使
ND=NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB=2tan∠DBE，求点M的坐标．
1 1
【答案】(1)y= x2− x−4
3 3
10 2 2
(2)（2，− ），（2+2√2，2√2− ）或（2−2√2，−2√2− ）
3 3 3
8
(3)（－4， ）
3
【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；
（2）先根据题意判断出三角形BCP面积为平行四边形BCPQ面积的一半，得出当P在直线BC下方的抛物
线上时，面积取最大值时满足题意，求出最大面积后得到直线BC下方的P点坐标，再根据△BCP的面积求
出BC上方P点坐标即可；
（3）过点N作NH⊥x轴，过D作DP⊥x轴，过M作MQ⊥x轴，根据平行线性质求出MQ=PD，证明
△MEQ≌△DEP，得PQ=2PE，设OP=x，用x表示出PB，PE的长度，再根据tan∠DEB=2tan∠DBE得出
PB=2PE，代入求出x值，进而求得Q点坐标及M点坐标．
1
【详解】（1）解：∵抛物线y= x2+bx+c与x轴分别交于点B(4,0)，与y轴交于点C(0,−4)，
3
∴¿，
解得：¿，
1 1
即抛物线解析式为y= x2− x−4．
3 3（2）解：由题意知，三角形BCP面积为平行四边形BCPQ面积的一半，
设直线BC下方抛物线上有一点P，过P作平行于BC的直线l，作直线l关于BC对称的直线MN，由图知，
直线MN与抛物线必有两个交点，根据平行线间距离处处相等知，当三角形BCP面积取最大值时即直线l
与抛物线只有一个交点时，符合题意的P点只有三个，
由B（4,0），C（0，-4）知直线BC解析式为：y=x-4，
过P作PH⊥x轴于H，交BC于E，
则S△BCP=S△PCE+S△PBE
1
= ×OB×PE
2
=2PE，
1 1
设P（m， m2− m−4），则E（m，m-4），
3 3
∴S△BCP=2
[
m−4−
(1
m2−
1
m−4
)]
3 3
2 8
=− (m−2) 2+ ，
3 3
8
∴当m=2时，△BCP面积取最大值，最大值为 ，
3
10
此时，直线BC下方抛物线上的P点坐标为（2，− ），
3
同理，设直线BC上方抛物线上P点横坐标为n，则：
[1 1 ] 8
2 n2− n−4−(n−4) = ，
3 3 3
解得：n=2+2√2或n=2−2√2，2 2
即P（2+2√2，2√2− ）或（2−2√2，−2√2− ），
3 3
10 2 2
综上所述，满足题意的P点坐标为（2，− ），（2+2√2，2√2− ）或（2−2√2，−2√2− ）．
3 3 3
（3）解：过点N作NH⊥x轴，过D作DP⊥x轴，过M作MQ⊥x轴，垂足分别为H、P、Q，如图所示，
则NH∥PD∥MQ，
OH OM HN 1 BH HN BN 1
∴ = = = ， = = = ，
OQ ON QM 2 BP PD BD 2
∴PD=2HN，QM=2HN，
即PD=QM，
∵∠MEQ=∠PED，
∴△MEQ≌△DEP，
∴QE=PE，
4−x
设OP=x，则BP=4-x，PH=BH= ，
2
4−x 4+x
∴OH=OP+PH=x+ = ，OQ=2OH=4+x，PQ=4+2x，PE=2+x，
2 2
∵tan∠DEB=2tan∠DBE，
PD PD
∴ =2× ，
PE PB
即PB=2PE，
∴4-x=2（2+x），
解得：x=0，
即P点为坐标原点，D在y轴上，∴OQ=4，即Q（－4,0），
8
∴M（－4, ）．
3
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数与三角形面积最值问题、平行线分线段成比
例性质、全等三角形证明等知识点，解题关键是利用平行线分线段成比例定理找出各线段间的关系．
