文档内容
【赢在中考·黄金8卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（包头专用）
黄金卷 5
（满分120分，考试用时120分钟）
一、选择题：本大题共有 12 小题，每小题3分，共 36分。每小题只有一个正确选项.
1．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考一模）负数的概念最早出现在《九章算术》中，把向东走2km记作
“－2km”，向西走1km应记作（ ）
A．－2km B．－1km C．1km D．＋2km
【答案】D
【分析】用正负数表示两种具有相反意义的量，具有相反意义的量都是相互依存的两个量，它包含两个要
素，一是它们的意义相反，二是他们都是数量．
【详解】向东是负，那么向西是正
则向西走1km，应该被记为+2m
故选D．
【点睛】本题考查正负的计数，掌握正负计数方法是本题关键．
2．（2022·云南文山·统考三模）下列四个交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可判断．
【详解】A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的概念，解题的关键是掌握相关概念．
3．（2022·黑龙江哈尔滨·校考二模）下列计算正确的是（ ）
A．2a+3b=5ab B．(−a3b5) 2 =a6b10C．a6÷a2=a3 D．(a+b) 2=a2+b2
【答案】B
【分析】根据合并同类项的法则、积的乘方和幂的乘方法则、同底数幂的除法法则以及完全平方公式解答
即可．
【详解】A、2a与3b不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、(−a3b5) 2 =a6b10原计算正确，故此选项符合题意；
C、a6÷a2=a4原计算错误，故此选项不符合题意；
D、(a+b) 2=a2+2ab+b2原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了幂的运算、合并同类项的法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题
的关键．
4．（2023·陕西西安·交大附中分校校考一模）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，
∠2=50°，则∠3的度数等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】A
【分析】根据平行线的性质求出∠4，根据三角形的外角的性质计算即可．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠4=∠2=50°，
∴∠3=∠4−∠1=20°，
故选：A．【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
5．（2023·广东佛山·校考一模）宋代程颢的《秋月》有四句古诗如下：
①空水澄鲜一色秋；②白云红叶两悠悠；
③清溪流过碧山头；④隔断红尘三十里
这四句古诗的顺序被打乱了，敏敏想把这四句古诗调整为正确位置，则她第一次就调整正确的可能性是（
）
1 1 1 1
A． B． C． D．
12 18 24 64
【答案】C
【分析】本题是排序古诗相当于简单随机事件中的“不放回”事件，求出总的可能为24，第一次调整可能
1
占其中一种，第一次就调整正确的可能性大小是 ．
24
【详解】解：这首诗四句随机排列的顺序共有24种情况：①②③④，①②④③，①③②④，①④②③，
①④③②，②①③④，②①④③，②③①④，②③④①，②④①③，②④③①，①②③④，④②①③，
③①②④，③①④②，③②①④，③②④①，③④①②，③④②①，④①②③，④①③②，④②①③，
④②③①，④③①②，④③②①因为这24种情况出现的可能性大小相等，正确的顺序只有一种④②①③，
1
故第一次就调整正确的可能性大小是 ．
24
故答案选：C
【点睛】本题是考查等可能概型的概率计算公式计算概率，熟练掌握简单随机事件概率的计算方法进行求
解是解决本题的关键．当出现可能结果多种时，用树状图辅助列出所有可能出现的结果．
6．（2022·浙江丽水·模拟预测）为响应承办“绿色奥运”的号召，某校计划组织七年级部分同学参加义务
植树180棵．由于同学们参与的积极性很高，实际参加植树活动的人数比原计划增加了50%，结果每人比
原计划少栽了2棵．若设原计划有x人参加这次植树活动，则根据题意可列出方程为（ ）
180 180 180 180 180 180 180 180
A． + =2 B． + =2 C． − =2 D． − =2
x 1.5x x 0.5x x 1.5x x 0.5x
【答案】C
【分析】关键描述语为：“结果每人比原计划少栽了2棵”，等量关系为：原计划每人植树的数量−实际每
人植树的数量=2．
180
【详解】解：若设原计划有x人参加这次植树活动，那么原计划每人植树的数量为： ，实际每人植树
x180 180
的数量为： = .
(1+50%)x 1.5x
180 180
方程应该表示为： − =2.
x 1.5x
故选：C．
【点睛】本题考查了列分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关
系为：工作时间=工作总量÷工作效率．
7．（2021·四川绵阳·统考二模）把边长为2+√2的正方形沿过中心的一条直线折叠，两旁重叠部分恰为正
八边形的一半，则这个正八边形的边EF的长为（ ）
A．1 B．2 C．√2 D．2√2
【答案】C
【分析】重叠部分为正八边形的一半，则△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，设CG=x，则GF=√2x，
B'F=x，从而BC=√2x+x+x=2+√2，即可解决问题．
【详解】解：如图，
∵重叠部分为正八边形的一半，
∴GF=EF=PE=HP，∠GFE=∠FEP=∠HPE=135°，
∴∠GFC=∠B'FE=∠DEP=∠A'PH=45°，
∴△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，
设CG=x，则GF=√2x，B'F=x，
∴BG=B'G=√2x+x，
∴BC=√2x+x+x=2+√2，∴x=1，
∴GF=√2，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，正八边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质、折叠性质等知
识，用参数x表示出BC的长是解题的关键．
8．（2022·浙江绍兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，
点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC折叠，使点B落在D点的位置，且交y轴交于点E，则点D
的坐标是（ ）
( 3 8) ( 3 ) ( 4 14) ( 4 12)
A． − , B． − ,2 C． − , D． − ,
5 3 5 5 5 5 5
【答案】D
【分析】过D作DF⊥AO于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到
OE=DE，OA=CD=1，设OE=m，那么CE=3-m，DE=m，利用勾股定理即可求出m，然后利用已知条件可以证
明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3,接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了点D的
坐标．
【详解】解：如图，过D作DF⊥AO于F，
∵点B的坐标为（1，3），
∴AO=1，AB=3，根据折叠可知：CD=OA，
而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，
∴△CDE≌△AOE，
∴OE=DE，OA=CD=1，
设OE=m，那么CE=3-m，DE=m，
∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，
∴(3−m) 2=m2+12，
4
解得m= ，
3
∵DF⊥AF，
∴DF∥EO，
∴△AEO∽△ADF，
而AD=AB=3，
4 5
∴AE=CE=3− = ，
3 3
AE EO AO
∴ = = ，
AD DF AF
5 4 AO
即 = = ，
3 3 DF
12 9
∴DF= ,AF= ，
5 5
9 4
∴OF= −1= ，
5 5
( 4 12)
∴D的坐标为 − , ．
5 5
故选：D．
【点睛】此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条
件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．
9．（2022·浙江宁波·校考三模）两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°，
∠C=30°，BC∥EF且EF过点A，点D为BC中点，已知BC=20，则EF的长为（ ）A．15 B．10√3 C．5√10 D．10√2
【答案】B
【分析】过点A作AH⊥BC，过点D作DG⊥EF，证明四边形AHDG为矩形，可得AH=GD=5√3，
然后利用直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：过点A作AH⊥BC，过点D作DG⊥EF，如图所示
∴∠AHB=∠DGF=90°
∵BC∥EF
∴四边形AHDG为矩形
即AH=GD
∵∠C=30°，∠BAC=90°，点D为BC中点
1
∴AD=BD= BC，∠B=60°
2
即△ABD为等边三角形
∵BC=20
∴AB=AD=BD=10
在直角△ABH中，AH=AB⋅sin60°
∴AH=GD=5√3
∵∠E=45°，∠EDF=90°
∴∠EFD=45°
∴∠FDG=∠DGF−∠EFD=90°−45°=45°
∴△FGD为等腰直角三角形
∴GD=GF=GE=5√3
即EF=GF+GE=10√3
故选：B．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三
角形的性质，灵活运用所学的知识是解本题的关键．
10．（2022·山东泰安·三模）二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0）中，x与y的部分对应值如
下表：
x … －1 0 1 2 4 …
y … －1 0.5 1 0.5 －3.5 …
有下列结论：
①函数有最大值，且最大值为1；
②b＝1；
③若x 满足ax ❑ 2+bx +c=0，则21时y随x的增大而减小，
∴函数有最大值，且最大值为1，故①正确；
∵当x=-1时y=-1，x=1时y=1，
∴a-b+c=-1，a+b+c=1,
得b=1，故②正确；由x 满足ax ❑ 2+bx +c=0得函数图象与x轴的交点坐标为（x ，0），
0 0 0 0
由抛物线的对称性可知，当x=3时y=-1，
由表格知y=0时-10，
2 2
解得m>0，故④错误；
故选：C．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴，最值问题，一元二次方程根的判别式，正确掌
握各知识点是解题的关键．
11．（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长
1
为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交
2
于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中错误的是（ ）
A．点D在AB的中垂线上
B．AD=2CD
C．点D到∠CAB两边的距离相等
D．AB=√6CD
【答案】D【分析】由作图方法可知AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质、直角三角形的性质以及线段垂直
平分线性质定理的逆定理逐项判断即可.
【详解】解：由图可知：AD是∠BAC的平分线，
∴点D到∠BAC的两边距离相等；C选项正确，不符合题意；
∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°
∴∠BAC=60°
∴∠B=∠DAB=30°
∴AD=DB
∴点D在AB的中垂线上；A选项正确，不符合题意；
∵∠C=90°，∠DAC=∠DAB=30°
∴AD=2CD；B选项正确，不符合题意；
∴AB=2AC，AC=√3CD
∴AB=2√3CD；D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图以及性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识点；
熟练掌握上述基础知识是解题的关键．
12．（2023·重庆·校考模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为边AD、BC上的点，点
2√10
G，H分别为边AB、CD上的点，线段GH与EF的夹角为45°，GH= ．则EF=（ ）
3
2√10 2√5
A．√5 B． C． D．√7
3 3
【答案】A
【分析】过点B作BK∥EF交AD于K，作BM∥GH交CD于M，则BK=EF，BM=GH，作
∠KBN=45°交DA的延长线于N，得到∠ABN=∠CBM，根据全等三角形的性质得到
BN=BM，AN=CM
，根据勾股定理得到
CM=√BM2−BC2=
√ (2√10) 2
−22=
2，过点
K
作
3 3√2 √2
KP⊥BN于P，设EF=BK=x，则BP=KP= BK= x，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．
2 2
【详解】解：如图，过点B作BK∥EF交AD于K，作BM∥GH交CD于M，
则BK=EF，BM=GH，
∵线段GH与EF的夹角为45°，
∴∠KBM=45°，
∴∠ABK+∠CBM=90°−45°=45°，
作∠KBN=45°交DA的延长线于N，
则∠ABN+∠ABK=45°，
∴∠ABN=∠CBM，
在△ABN和△CBM中，¿，
∴△ABN≌△CBM(ASA)，
∴BN=BM，AN=CM，
在Rt△BCM中，CM=√BM2−BC2=
√ (2√10) 2
−22=
2
，
3 3
过点K作KP⊥BN于P，
∵∠KBN=45°，
∴△BKP是等腰直角三角形，
√2 √2
设EF=BK=x，则BP=KP= BK= x，
2 2
AB KP
∵tanN= = ，
AN PN
√2
x
2 2
∴ = ，
2 2√10 √2
− x
3 3 2
解得x=√5，
∴EF=√5．故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的
定义，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键．
二、填空题：本大题共有7小题，每小题3分，共21分。
13．（2022·山东淄博·山东省淄博第六中学校考模拟预测）已知多项式2x2+bx+c 分解因式为
2(x−3)(x+1) ，则bc的值为______．
【答案】24
【分析】利用整式的乘法去括号合并同类项后，对比各项系数相等即可．
【详解】∵2x2+bx+c 分解因式为2(x−3)(x+1)
∴2(x−3)(x+1)=2x2−4x−6=2x2+bx+c
∴b=−4 ，c=−6
∴bc=24
故答案是24
【点睛】本题考查多项式乘以多项式，以及多项式相等时对应各项系数相等，正确利用公式计算是关键．
14．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）关于x的不等式组¿的整数解是______．
【答案】1，2
【分析】先确定不等式组的解集，再根据解集确定整数解．
【详解】解：¿，
1
解得： ＜x≤2，
2
整数解为：1、2，
故答案为：1、2．
【点睛】本题考查了不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组是解题的关键．
15．（2022·山东临沂·统考一模）已知数据x，x，…，xn的平均数是5，方差是5，则数据2x+3，2x+3，
1 2 1 2
2x+3，…，2xn+3的平均数是_____，方差是_____．
3
【答案】 13 20
【分析】根据平均数与方差公式计算即可求解．
1
【详解】解：由题意，得x= （x +x +⋅⋅⋅+x ）=5，
n 1 2 n
1
S2= [(x −x) 2+(x −x) 2+⋅⋅⋅+(x −x)]
n 1 2 n1
= [(x −5) 2+(x −5) 2+⋅⋅⋅+(x −5)]
n 1 2 n
=5
1
新数据平均数为x'= (2x +3+2x +3+⋅⋅⋅+2x +3)
n 1 2 n
1
= [2(x +x +⋅⋅⋅+x )+3n]
n 1 2 n
1
=2[ (x +x +⋅⋅⋅+x )]+3
n 1 2 n
=2x+3
=2×5+3
=13，
1
新数据方差为s'2= {[(2x +3−x' ) 2+(2x +3−x' ) 2+⋅⋅⋅+(2x +3−x' ) 2 ]}
n 1 2 n
1
= {[(2x +3−13) 2+(2x +3−13) 2+⋅⋅⋅+(2x +3−13) 2 ]}
n 1 2 n
1
=4× {(x −5) 2+(x −5) 2+⋅⋅⋅+(x −5) 2 ]}
n 1 2 n
=4×5
=20，
故答案为：13，20．
【点睛】本题考查平均数与方差，熟练掌握平均数与方差计算公式是解题的关键．
16．（2022·内蒙古通辽·模拟预测）如图，在△ABC和△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=a，
CD=CE=b，将△CDE绕点C旋转，连接AD，若点M为AD中点，△CDE绕点C旋转180°，则点M的
运动轨迹的长为______．
1
【答案】 πb
21 1
【分析】取AC的中点O，连接OM，得OM是△ACD的中位线，则OM= CD= b，可知点M的运动轨
2 2
1
迹为以点O为圆心， b长为半径的半圆，由此可解．
2
【详解】解：如图，取AC的中点O，连接OM，
∵点M为AD中点，
∴ OM是△ACD的中位线，
1 1
∴ OM= CD= b，
2 2
∵ △CDE绕点C旋转180°，
1
∴点M的运动轨迹为以点O为圆心， b长为半径的半圆，
2
1
180°×2π× b
∴点M的运动轨迹的长度为 2 1 ．
= πb
360° 2
1
故答案为： πb．
2
【点睛】本题考查旋转的性质，三角形中位线定理，点的运动轨迹，弧长公式等，解题的关键是构造中位
线，得出点M的运动轨迹．
17．（2022·江苏泰州·校联考三模）小明经探究发现：不论字母系数m取何值，函数
y=2x2+(4m−3)x+6m+5的图像恒过一定点P，则P点坐标为______．
( 3 )
【答案】 − ,14
2
【分析】根据不论字母系数m取何值图像恒过一定点P，取值与m无关，则字母m的系数为0，进而可得
答案．
【详解】解：y=2x2+(4m−3)x+6m+5y=2x2+(4x+6)m−3x+5
3
当4x+6=0，即x=− 时，y=14，
2
( 3 )
所以无论字母系数m取何值时，图像恒过一定点P − ,14 ．
2
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，知道字
母m的系数为0时，才与m的取值无关．
18．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考一模）如图，在矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿
DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点G．若BF⋅AD=12，则AF的长度为
___
【答案】2√6
【分析】由折叠的性质可知DE垂直平分AF，证明△ABF∽△DGA，得出AG⋅AF=BF⋅AD=12即可
求解．
【详解】解：由折叠的性质可得：DA=DF,AE=EF，
∴DE垂直平分AF，
∴∠AGD=90°，AG=GF，
∵∠BAF+∠FAD=90°，∠FAD+∠ADG=90°，
∴∠BAF=∠ADG，
又∵∠B=∠AGD=90°，
∴△ABF∽△DGA
BF AG
∴ = ，
AF AD
∴AG⋅AF=BF⋅AD=12，
∵AG=GF，
1
∴AG= AF
2
1
∴AG⋅AF= AF⋅AF=12，
2∴AF=2√6
故答案为：2√6．
【点睛】此题考查了三角形相似、折叠的性质，解题的关键是综合运用三角形的相似和折叠的性质．
19．（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6．矩形ABCD绕点A逆
时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'．若点B的对应点B'落在边CD上，连接DD'，则△ADD'的面积为
_____．
54
【答案】
5
【分析】过点D'作D'E⊥AD于点E，利用三角函数以及勾股定理，求得D'E的长度，即可求解．
【详解】解：如图，过点D'作D'E⊥AD于点E，
∵AB=10，AD=6，由旋转的性质可得AB'=10，
在Rt△ADB'中，由勾股定理可得DB'=√102−62=8，
又∵∠D' AB'=90°，
∴∠D' AD=90°−∠DAB'=∠DB' A，
B'D 8 4
∴cos∠D' AD=cos∠DB' A= = = ，
AB' 10 5
AE 4
=
∴ ，
AD' 5
24
∴AE= ，
5√ 24 2 18
在Rt△D'AE中，由勾股定理，得D'E=√AD'2−AE2= 62−( ) = ，
5 5
1 1 18 54
∴S = AD⋅D'E= ×6× = ．
ΔADD' 2 2 5 5
54
故答案为： ．
5
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，解直角三角形．熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
三、解答题：本大题共有6小题，共63分。
20．（8分）某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．
按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如图不完整的统计图．
(1)根据给出的信息，补全两幅统计图；
(2)该校九年级有600名男生，请估计成绩达到良好及以上等级的有多少名？
(3)某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛．预赛分别为A,B,C三
组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？
【答案】(1)图示见详解
(2)420名
1
(3)
3
【分析】（1）根据良好的人数与百分比可求出总人数，合格人数，以及合格的百分比，优秀的百分比，
由此即可求解；
（2）计算出良好及以上的百分比，由此即可求解；（3）用树状图表示出所有可能的结果，再找出甲、乙两人恰好分在同一组的结果，根据概率计算公式即
可求解．
【详解】（1）解：调查的总人数为16÷40%=40（人），
∴合格等级的人数为40−12−16−2=10（人），
10 12
∴合格等级人数所占的百分比为 ×100%=25%，优秀等级人数所占的百分比为 ×100%=30%，
40 40
∴统计图如图所示，
（2）解：600×(30%+40%)=420（名），
∴估计成绩达到良好及以上等级的有420名．
（3）解：画树状图如下所示，
共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两人恰好分在同一组的结果数为3，
3 1
∴甲、乙两人恰好分在同一组的概率为 = ．
9 3
【点睛】本题主要考查统计图，概率的计算的综合，掌握数据的统计中样本容量，样本百分比的关系，根
据概率估算总体的知识，概率的计算方法是解题的关键．
21．（8分）某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车
场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．请根据如图，求出汽车通过坡道口的限高
DF的长（结果精确到0.1m，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．【答案】4.2m
【分析】根据锐角三角函数的定义，可在Rt△ABC中解得BC的值，进而求得BD的大小，在Rt△BDF中，
利用余弦的定义，即可求得DF的值．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠A=28°，AC=10，
∴ BC=ACtan28°≈10×0.53=5.3，
∴ BD=BC−CD=5.3−0.5=4.8，
在Rt△BDF中，∠BDF=∠A=28°，BD=4.8，
∴ DF=BDcos28°≈4.8×0.88=4.224≈4.2．
答：坡道口的限高DF的长是4.2m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是构造直角三角形利用坡角的三角函数值求解．
22．（10分）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身
球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=−2x+80(20≤x≤40)，设这种健身球每天
的销售利润为w元．
(1)如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个；
(2)求w与x之间的函数关系式；
(3)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)30
(2)w=−2x2+120x−1600
(3)该种健身球销售单价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元
【分析】（1）在y=−20x+80中，令x=25，进行计算即可得；
（2）根据总利润=每个建生球的利润×销售量即可列出w与x之间的函数关系式；
（3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质即可得．
【详解】（1）解：在y=−2x+80中，令x=25得，y=−2×25+80=30，
故答案为：30；
（2）解：根据题意得，w=(x−20)(−2x+80)=−2x2+120x−1600，即w与x之间的函数关系式为：w=−2x2+120x−1600；
（3）解：w=−2x2+120x−1600=−2(x−30) 2+200，
∵−2<0，
∴当x=30时，w取最大值，最大值为200，
即该种健身球销售单价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式．
23．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过O作OD⊥AC于点E，延长OE至
点D，连结CD，使∠D=∠A．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AB=CD=2√5，求AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）连接OC，根据垂直的定义得到∠DEC=90°，求得∠D+∠DCE=90°，根据等腰三角形
的性质得到∠A=∠ACO，推出OC⊥CD，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到OD=5，根据三角形的面积公式得到CE的长，根据垂径定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵OD⊥AC，∴∠DEC=90°，
∴∠D+∠DCE=90°，
∵∠A=∠D，
∴∠A+∠DCE=90°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠ACO+∠DCE=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB=CD=2√5，
∴OC=√5，
∴OD=√CD2+OC2=√20+5=5，
1 1
∵S = OC⋅CD= OD⋅CE，
△COD 2 2
OC⋅CD √5×2√5
∴CE= = =2，
OD 5
∵OD⊥AC，
∴AC=2CE=4．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键．
24．（8分）12在△ABC中，∠B=90°，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交
点，连接EA，EC，ED．
(1)如图1，当∠BAC=40°时，则∠AED=______°；
(2)当∠BAC=60°时，
①如图2，连接AD，判断△AED的形状，并证明；②如图3，直线CF与ED交于点F，满足∠CFD=∠CAE．P为直线CF上一动点．当PE−PD的值最大
时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为______，并证明．
【答案】(1)100；
(2)①△ADE时等边三角形，证明见解析；
②PE−PD=2AB．证明见解析．
【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可；
（2）①△ADE时等边三角形，证明EA=ED，∠AED=60°即可；②结论：PE−PD=2AB．如图，作
点D关于直线CF的对称点D'，连接CD'，DD'，ED'．当点P在ED'的延长线上时，PE−PD的值最大，
此时PE−PD=ED'，利用全等三角形的性质证明ED'=AC，可得结论．
【详解】（1）解：∵点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，
∴EA=EC=ED，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠EDC，
∵∠ABC=90°，∠BAC=40°，
∴∠ACB=90°−40°=50°，
∴∠ACD=180°−50°=130°，
∴∠EAC+∠ACD+∠EDC=260°，
∴∠AED=360°−260°=100°，
故答案为：100．
（2）解：①结论：△ADE时等边三角形．
理由：∵点E是线段AC，CD的垂直平分线的交点，
∴EA=EC=ED，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠EDC，
∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，
∴∠ACB=90°−60°=30°，
∴∠ACD=180°−30°=150°，
∴∠EAC+∠ACD+∠EDC=300°，
∴∠AED=360°−300°=60°，
∴△ADE时等边三角形；
②结论：PE−PD=2AB．
理由：如图，作点D关于直线CF的对称点D'，连接CD'，DD'，ED'．∵PE−PD=PE−PD'0，
3
∴PQ=−t2+3t+4− 4 t=−t2+ 5 t+4，OQ= √ t2+ (4 t ) 2 = 5 t，
3 3 3 3
5 5
∴ t=−t2+ t+4，
3 3
解得t =2，t =−2（舍去），
1 2
∴t=2，
∴−t2+3t+4=−4+6+4=6，
∴点P的坐标为(2,6)；
( 3 19)
（3）解：存在，P(3,4)或P − , ．
4 16当x=0时，y=4，则C(0,4)，
∴OB=OC=4，则∠OBC=∠OCB=45°，
将△AOC绕点O顺时针方向旋转90°，至△A'OB，如图2所示：
则A'O=AO=1，∠ACO=∠A'BO，
∴A'(0,1)
由题意∠CBP+∠ACO=45°知，直线BP过点A'，
设直线BP的解析式为y=mx+n，
将B(4,0)，A'(0,1)，代入，得：¿，
解得：¿，
1
∴直线BP的解析式为y=− x+1，
4
联立¿，
解得：¿或¿，
( 3 19)
∴P − , ，
4 16
此时使∠CBP+∠A'BO=∠CBP+∠ACO=45°；
如图2所示，过C作CF∥x轴，过B作BF∥y轴，CF与BF交于点F，则四边形OBFC为正方形，
作A'关于BC的对称点G，则点G在CF上且CG=A'G=4−1=3，
∴G(3，4)，与点D重合，
作直线BG，则∠CBG=∠A'BC，
∴直线BG与抛物线的交点也满足条件∠CBP+∠ACO=45°，
∵点D(3,4)在抛物线上，
∴P(3,4)．( 3 19)
综上，抛物线上存在点P，使∠CBP+∠ACO=45°，点P的坐标为P(3,4)或P − , ．
4 16
【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式、坐标与图形、等腰三角形的判定
与性质、解一元二次方程、二次函数与几何变换（旋转和轴对称）、正方形的判定与性质，熟练掌握相关
知识的联系与运用，会利用数形结合思想和正确添加辅助线求解是解答的关键．
