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预测卷 02
（满分：70分 建议用时： 65 分钟）
17（10分）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求B；
(2)设 ，若点M是边 上一点， ，且 ，求 的面积．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）依题意，
由 及正弦定理得 ，
即 ，
所以 ．因为 ，所以 ，所以 ， ，所以 ．
（2）如图所示：
因为 ，所以 ， ．
又 ，所以 ．
在 中，由余弦定理得 ，
即 ．①
又 ，所以 ，
两边平方得 ，
即 ，所以 ．②
②－①得 ，所以 ，代入①得 ，
在 中， ，所以 是以 为直角的三角形，
所以 的面积为 ．
18（12分）记数列{ }的前n项和为 ，对任意正整数n，有 ＝ ，且a＝3.
2
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)对所有正整数m，若 ＜ ＜ ，则在 和 两项中插入 ，由此得到一个新数列{ }，求{ }
的前40项和.
【答案】(1) (2)1809
【详解】（1）由 ，则 ，两式相减得： ，
整理得： ，即 时， ，
所以 时， ，
又 时， ，得 ，也满足上式.
故 .
（2）由 .所以 ，
又 ，所以 前40项中有34项来自 .
故
.
19（12分）．如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 ．(1)求A到平面 的距离；
(2)设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）在直三棱柱 中，设点A到平面 的距离为h，
则 ，
解得 ，所以点A到平面 的距离为 ；
（2）取 的中点E,连接AE,如图，因为 ，所以 ,
又平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，所以 平面 ，
在直三棱柱 中， 平面 ，
由 平面 ， 平面 可得 ， ，
又 平面 且相交，所以 平面 ，所以 两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
由（1）得 ，所以 ， ，所以 ，
则 ,所以 的中点 ，
则 ， ,
设平面 的一个法向量 ，则 ，
可取 ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，
可取 ，
则 ，
所以二面角 的正弦值为 .
20（12分）．口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从
口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止.
(1)记总的抽取次数为X，求E（X）；(2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4
个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部
取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次
数为Y，求E（Y）并从实际意义解释E（Y）与（1）中的E（X）的大小关系.
【答案】(1) (2)6，答案见解析
【详解】（1）X可能取值为4，5，6，7，
，
；
（2）Y可能取值为4，5，6，7，设甲袋和乙袋抽取次数分别为 和 ，
，
，
，
，
.
在将球分装时，甲袋中的黑球取完后直接取乙袋，若此时甲袋中还有其它球，则该球的干扰作用已经消失，
所以同样是要取出4个黑球，调整后的方案总抽取次数的期望更低.
21（12分）．已知椭圆 的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l交椭圆于
两点，连接 ， 分别交直线 于 两点，过点F且垂直于 的直线交直线 于点R．
(1)求证：点R为线段 的中点；
(2)记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，试探究：是否存在实数 使得 ？
若存在，请求出实数 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析.(2)存在， .
【详解】（1）证明：由题意知 ， ，
设 ， ， ，
联立 ，得 ， ，
则 ， ，
直线 的方程为 ，
令 ，得 ，所以 ，
同理， ．
所以,
直线 ，令 得 ，所以 ，
则 ，故点R为线段 的中点．
（2）由（1）知， ，
又 ，
所以 ．
由（1）知点R为线段 的中点，
故
，
所以 ．
故存在 ，使得 ．22 （12分）．已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 有3个零点 ， ， ，其中 ．
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求证： ．
【答案】(1)单调递增区间为 ，无单调递减区间
(2)（ⅰ） （ⅱ）证明见解析
【详解】（1）当 时， ， ，
则 在 恒成立，所以 在 单调递增，
故 的单调递增区间为 ，无单调递减区间．
（2）（ⅰ） ，
， ，则 除1外还有两个零点，
，令 ，
当 时， 在 恒成立，则 ，
所以 在 单调递减，不满足，舍去；
当 时， 除1外还有两个零点，则 不单调，
所以 存在两个零点，所以 ，解得 ，当 时，设 的两个零点为 ，
则 ， ，所以 ．
当 时， ， ，则 单调递增；
当 时， ， ，则 单调递减；
当 时， ， ，则 单调递增；
又 ，所以 ， ，
而 ，且 ，
，且 ，所以存在 ， ，
使得 ，
即 有3个零点 ， ， ．
综上，实数a的取值范围为 ．
（ⅱ）证明：因为 ，
所以若 ，则 ，所以 ．
当 时，先证明不等式 恒成立，
设 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，于是 ，
即当 时，不等式 恒成立．
由 ，可得 ，
因为 ，所以 ，
即 ，两边同除以 ，
得 ，即 ，
所以 ．
