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第十八章 平行四边形（知识归纳+10 题型突破）
1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.
2.探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关
的证明和计算.
3. 掌握三角形中位线定理.
知识点一、平行四边形
1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2.性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形.
S 底高
3.面积：
平行四边形
4.判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．
边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
特别说明：平行线的性质：
（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.
知识点二、矩形
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角
线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.
S ＝长宽
3.面积：
矩形
4.判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
特别说明：由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．
知识点三、菱形
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每
一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.
对角线对角线
3.面积：S ＝底高＝
菱形 2
4.判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形.
知识点四、正方形
1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2.性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
（6）中心对称图形，轴对称图形.
1
3.面积：S =边长×边长＝ ×对角线×对角线
2
正方形
4.判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【题型一 利用平行四边形的性质求解】
例题：在平行四边形 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质即可进行解答．
【详解】解：如图：
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等．
【变式训练】
1．如图，在 中， ， ， 平分 交边 于点 ，则 （ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质，可得 ，即可求解．
【详解】解：在 中， ， ，
∴ ，
又∵ 平分
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定定
理．
2．如图，在平行四边形 中， ，E为 的中点，若 ，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质可得 ，再由直角三角形的性质可得 ，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，E为 的中点， ，
∴ ，
∴ ．
故选：C
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边
的一半是解题的关键．
3．（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）如图， 过平行四边形 对角线的交点 ，交 于点 ，
交 于点 ，则：
① ；
②图中共有6对全等三角形；
③若 ， ，则 ；
④ ；
其中正确的结论有（ ）A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质得出 ， ，证明 ，得出 ，
判断①，根据平行四边形是中心对称图形，得出6对全等三角形，进而判断②，根据三角形三边关系得出
的取值范围，判断③，根据全等三角形的性质判断④．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，故①正确，
由平行四边形的中心对称性，全等三角形有： ， ， ，
， ， 共6对，故②正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故③错误；
∵ ，
∴ ，故④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质和三边关系的应用，灵活运用所学知识
求解是解决本题的关键．
4．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平行四边形 中， ， ， 平分
交 于点 ，则 的长为______．【答案】3
【分析】先利用角平分线和平行四边形对边平行得到 ，进一步得到 ，从而可得 ．
【详解】解： 四边形 为平行四边形，
，
，
平分 ，
，
，
，
， ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出
．
【题型二 判断能否构成平行四边形】
例题：能判定四边形 是平行四边形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别
相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的
四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可．【详解】解：A、 ， ，不能判定四边形 为平行四边形；
B、 ， ，不能判定四边形 为平行四边形；
C、 ， ，能判定四边形 为平行四边形；
D、 ， ，不能判定四边形 为平行四边形；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
【变式训练】
1．如图，四边形 的对角线交于点O，下列哪组条件能判断四边形 是平行四边形（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、由 ， ，不能判定四边形 是平行四边形，故该选项不符合题意；
B、由 ， ，不能判定四边形 是平行四边形，故该选项不符合题意；
C、由 ， ，不能判定四边形 是平行四边形，故该选项不符合题意；
D、∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
2．如图，下列四组条件中，不能判定四边形 是平行四边形的是（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】解：A．∵ ，
∴四边形 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
B．∵ ，
∴四边形 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
C．由 ， 不能判定四边形 是平行四边形，故该选项符合题意；
D．∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
3．在下列给出的条件中，能判定四边形 为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】平行四边形的判定定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形．②两组对边分别相等的四
边形是平行四边形．③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．④对角线互相平分的四边形是平行四
边形．直接利用平行四边形的判定定理即可得出答案．
【详解】解：A. 当 ，四边形 是平行四边形或等腰梯形，此选项不合题意．
B. 当 ，不能得到四边形 是平行四边形，此选项不合题意．
C.当 ，不能得到四边形 是平行四边形，d此选项不合题意．
D.当 ，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．此选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，能够熟练掌握平行四边形的判定定理是解决本题的关键．【题型三 添一个条件成为平行四边形】
例题：已知：如图，AB CD，线段AC和BD交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形，还需要增加的
一个条件是：_____（填一个即可）．
【答案】AD CB（答案不惟一）．
【分析】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案．
【详解】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可增加的条件可以是：AD CB，
故答案为：AD CB（答案不惟一）．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定．
【变式训练】
1．如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，要使四边形BEDF是平行四边形，还需要增
加的一个条件是_______________．
【答案】
【分析】由平行四边形的性质可得到 ，要证明四边形BEDF是平行四边形，只需要 即可．
【详解】添加 ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴四边形BEDF是平行四边形，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
2．如图，在平行四边形 中， 是对角线，E，F是对角线上的两点，要使四边形 是平行四
边形，还需添加一个条件（只需添加一个）是__________．【答案】BF=DE（答案不唯一）
【分析】连接对角线AC，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行求解即可．
【详解】解：添加的条件为BF=DE，理由如下：
证明：连接AC交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵BF=DE，
∴BO-BF=DO-DE，
即OF=OE，
四边形AFCE为平行四边形，
故答案为：BF=DE（答案不唯一）．
【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键．
【题型四 利用平行四边形的性质与判定综合】
例题：如图，四边形 中， 垂直平分 ，垂足为点 为四边形 外一点，且
， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)如果 平分 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）分别证明 ，得出结论；
（2）利用勾股定理求出 ，再利用等积法求出 ，即可得出结论．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
（2）∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
过 作 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，则 ,
∵ ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题考查平行四边形的判定以及利用勾股定理解直角三角形，利用等积法求高是解决问题的关键．
【变式训练】
1．如图，在 中， ，M、N分别是 的中点．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 、 ，根据M、N分别是AD、BC的中点可得
，然后根据平行四边形的判定定理即可证明结论；
（2）如图：连接ND，先说明 是等边三角形的判定与性质，可得 、 ，再根据
三角形外角的性质，可得 ，最后根据勾股定理即可解答．
【详解】（1）证明：∵ 是平行四边形，
∴ ， ．
∵M、N分别是AD、BC的中点，
∴ ．
∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
（2）解：如图：连接ND，
∵ 是平行四边形，
∴ ．
∵N是BC的中点，∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ 是 的外角，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，证得
是等边三角形是解题的关键．
2．如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A＝∠F，∠1＝∠2．
(1)求证：四边形BCED是平行四边形；
(2)已知DE＝2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
【答案】(1)见解析
(2)CN=2
【分析】（1）证明DE BC，再证∠DMF=∠2，得DB EC，则四边形BCED是平行四边形，即可得出结
论；
（2）由（1）得：BC=DE=2，EC DB，再由平行线的性质得∠CNB=∠DBN，然后证∠CNB=∠CBN，则可
由CN=BC求解．
（1）证明：∵∠A=∠F，
∴DE BC，
∵∠1=∠2，∠1=∠DMF，
∴∠DMF=∠2，
∴DB EC，
∴四边形BCED是平行四边形，
（2）
解：∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN=∠CBN，
由（1）得：BC=DE=2，EC DB，
∴∠CNB=∠DBN，
∴∠CNB=∠CBN，
∴CN=BC=2．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌
握平行线的判定与性质，证明四边形BCED为平行四边形是解题的关键．
3．如图，在 中，点E是 边的中点，连接 并延长交 的延长线于点F，连接 ，
．
(1)求证： ；
(2)求证： 平分 ；
(3)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得 ，根据对顶角相等， ，再根据点
E是 边的中点，即可求证；
（2）通过证明 为等腰三角形，即可求证；
（3）由题意可得， 的面积等于 的面积，利用含 角直角三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：在 中， ，∴ ，
∵点E是 边的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）证明：由（1）可得 ，
∴ ，即 为 的中线， ，
又∵ ，
∴ 为等腰三角形，
∴ ，
∴ ，即 平分 ；
（3）解：由（2）可得 平分 ；
又∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）可得 ，则 ，
∴ ．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含 角
直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
【题型五 利用矩形的性质求角度或线段长】
例题：如图，矩形 的对角线 ， 相交于点O，过点O作 ，交 于点E，若
，则 的大小为__________．【答案】 ##50度
【分析】根据矩形的性质，得到 ，利用三角形外角求出 ，利用垂直可求出结果．
【详解】∵四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质；灵活运用矩形的性质求解是解题的关键．
【变式训练】
1．在矩形 中，作 的平分线交直线 于点E，则 是____________度．
【答案】45或135
【分析】根据题意分当 的平分线交线段 于点E和当 的平分线交线段 外于点E，然后根据矩
形的性质及角平分线的定义可进行求解．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
由题意可分：
①当 的平分线交线段 于点E，如图所示：
∴ ；②当 的平分线交线段 外于点E，如图所示：
∴ ；
综上所述： 或 ；
故答案为45或135．
【点睛】本题主要考查矩形的性质及角平分线的定义，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
2．如图，四边形 是矩形，点 在线段 的延长线上，连接 交 于点 ， ，
点 是 的中点，若 ， ，则 的长为______．
【答案】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 ，然后根据等边
对等角的性质可得 ，再结合两直线平行，内错角相等可得 ，再
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 ，从而得到
，再利用等角对等边的性质得到 ，然后利用勾股定理列式计算即可得
解．
【详解】解： 四边形 是矩形，
， ，
点 是 的中点，
，
，
∵ ，，
，
，
，
，
在 中， ，
．
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质，等角对等边的性质，以及勾股定理的应用，求出
是解题的关键．
3．如图，在平行四边形 中，点 是边 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ．连接
、 ．
(1)求证： ；
(2)当四边形 是矩形时，若 ，求 的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据平行四边形性质得出 ，推出 ，再由 即可得出结论；
（2）根据矩形的性质和等腰三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的判定与性质
等知识，熟练掌握矩形的性质、证明 是解题的关键．
4．如图，在矩形 中， 是对角线， 、 分别平分 、 ，交边 、 于点 、
．
(1)若 ， ，求 的长．
(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由已知可求得 的长及 ，由勾股定理求得 的长，再由含30度角直角三角
形的性质即可求得结果；
（2）由矩形的性质及角平分线的意义易得 ，从而问题解决．【详解】（1）解： 四边形 是矩形，
，
， ，
；
平分 ，
，
，
∴ ；
由勾股定理得 ，
；
（2）证明： 四边形 是矩形，
， ， ，
，
、 分别平分 、 ，
， ，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质等知识，
灵活运用这些知识是关键．
【题型六 矩形的性质与判定综合问题】
例题：如图，在 中， ， 平分 交 于点D，分别过点A、D作 、
， 与 相交于点E，连接 ．(1)求证： ；
(2)求证：四边形 是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据 、 证明四边形 为平行四边形，即可得出答案；
（2）由等腰三角形的性质得出 ， ，得出 ， ，先证出四边形
是平行四边形．再证明四边形 是矩形即可．
【详解】（1）证明：∵ 、 ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ；
（2）证明：∵ ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴
∴四边形 是矩形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边
形的判定与性质，由等腰三角形的性质得出 ， ，是解决问题的关键．
【变式训练】
1．如图，将 的边 延长到点E，使 ，连接 交边 于点F．(1)求证： ；
(2)若 ，判断四边形 的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)矩形，见解析
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出 ， ，再由 得出 ，根据平行
线的性质得出 ， ，根据全等三角形的判定和性质定理进而可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质可得 ， ， ，再由 ，可得 ，进
而可判定四边形 是平行四边形，然后再证明 即可得到四边形 是矩形．
【详解】（1）∵四边形 是平行四边形，
∵ ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
在 与 中，
，
∴ （ASA）；
∴ ， ，
在 与 中，
∴ （SAS）；
（2）四边形 是矩形，理由：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边
形的对边相等；对角相等；对角线互相平分．
2．如图，在平行四边形 中，点 ， 分别在边 ， 上， ， ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)连接 ，若 ， ， 平分 ，则平行四边形 的面积为______．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据已知条件先证明四边形 为平行四边形，再根据 即可得证；
（2）由 平分 ，可求得 ，在 中， ，则 ，根据含30度角
的直角三角形的性质，求得 ，再求出 ，由已知 进而即可求得 即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，又∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
四边形 为平行四边形，
又 ∵ ，
∴平行四边形 是矩形．
（2）∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为； ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的
定义，等角对等边，熟练以上知识点是解题的关键．
【题型七 利用菱形的性质求角度或线段长】
例题：如图，菱形 中，已知 ，则 的大小是____________．【答案】 ##140度
【分析】根据菱形的对角线平分一组对角，以及邻角互补，即可得解．
【详解】解：∵菱形 中， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查菱形的性质．熟练掌握菱形的对角线平分一组对角，是解题的关键．
【变式训练】
1．如图，在菱形 中， 交对角线 于点E，若 ， ，则 ________．
【答案】3
【分析】利用含30角的直角三角形的性质求出 ，利用等角对等边求出 ，即可解决问题．
【详解】解： 四边形 是菱形， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，故答案为：3．
【点睛】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等，解题的关键是综合
运用上述知识解决问题．
2．如图，在菱形 中， 与 相交于点 ， 的垂直平分线 交 于点 ，连接 ，若
，则 的度数为______．
【答案】
【分析】根据菱形的性质，得到 ， ，再根据垂直平分线性质，得到 ，从而
得到 ，最后利用三角形外角性质即可求出 的度数．
【详解】解：连接 ，
四边形 是菱形， ，
， ， ，
，
垂直平分 ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟
练掌握菱形的基本性质是解题关键．3．如图，在菱形 中， ， ， 是 中点， 交 于点 ，连接 ，则
的长为______．
【答案】
【分析】连接 ，则 为等边三角形，利用等边三角形的性质，可得出 的长，由 ，
可得出 ，进而可求出 的长．
【详解】解：连接 ，则 为等边三角形，如图所示．
是 中点， ，
， ，
．
又 ，
，
，即： ，解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质，找出 为等边三角
形是解题的关键．
4．如图，菱形 的边长为2， ，对角线 与 交于点O，E为 中点，F为 中点，
连接，则 的长为 _____．【答案】
【分析】取 的中点H，连接 ，根据菱形的性质可得 ，
从而得到 ，进而得到 ，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，取 的中点H，连接 ，
∵四边形 是菱形， ，
∴ ，
∴ ，
∵点H是 的中点，点F是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵点E是 的中点，点H是 的中点，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，
直角三角形的性质是解题的关键．
5．如图，已知四边形 是菱形，且 于点 ， 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求菱形 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据菱形的性质，得 ， ；根据 于点 ， 于点 ，则
，即可；
（2）根据菱形的性质，得 ，根据 ， ，勾股定理，求出 ，即可求出菱形的面积．
【详解】（1）证明，如下：
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ 于点 ， 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴菱形 的面积为： ．
【点睛】本题考查菱形的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，勾股定理，全等三角形的知识．
【题型八 菱形的性质与判定综合问题】
例题：如图，在四边形 中， ， ，对角线 、 交于点 ， 平分 ，
过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求 的长；
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）先证明 得到 进而证明四边形 是平行四边形，再由一组邻边相
等的平行四边形是菱形即可得到结论；
（2）先根据菱形的性质和勾股定理求出 的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求
解即可．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形 是菱形；
（2）解：∵四边形 是菱形，∴ ，
∴在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∵ ，点O为 的中点，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理，直角三角形斜
边上的中线的性质，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键．
【变式训练】
1．如图，平行四边形ABCD的对角线 ， 相交于点O，且 ， ， ．
(1)求证：四边形 是菱形．
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质和菱形的判定证明即可；
（2）由菱形的性质可得 ， ， ，可求 ， ，即可得出答案．
【详解】（1）解：证明： ， ，
四边形 是平行四边形，
四边形 是平行四边形，
．
，
平行四边形 是矩形，．
．
平行四边形 是菱形
（2）由（1）得：四边形 是矩形，四边形 是菱形，
， ， ， ，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性
质等知识；灵活运用有关性质是解题的关键．
2．如图，平行四边形 中， ， ， ，点 是 的中点，点 是边 上
的动点， 的延长线与 的延长线交于点 ，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)①直接写出：当 ______ 时，四边形 是菱形（不需要说明理由）；
②当 ______ 时，四边形 是矩形，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①4；②7，理由见解析．
【分析】（1）证明 ，推出 ，根据平行四边形的判定即可得出结论；
（2）①当四边形 是菱形时，证明 是等边三角形，可得 ，进而可得 的长度；
②过A作 于M，求出 ，可得 ，然后证明四边形 是矩形，即可得到
的长度．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵G是 的中点，
∴ ，在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：①当 时，四边形 是菱形，
理由：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
当四边形 是菱形时，有 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4；
②当 时，四边形 是矩形，
理由：过A作 于M，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
当四边形 是矩形时，有 ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，菱
形的性质，矩形的判定和性质等知识，注意：菱形的四条边都相等，矩形的四个角都是直角．【题型九 利用正方形的性质求角度或线段长】
例题：如图，在正方形 中，点 为边 上一点， 与 交于点 ．若 ，则
的大小为______度．
【答案】65
【分析】由三角形的外角性质可知：要求 ，只要求 ，由正方形的轴对称性质可知：
，即可求出 ．
【详解】解： 四边形 是正方形，具有关于对角线所在直线对称的对称性，
， ， ，
又 是 的外角，
，
故答案为：65．
【点睛】本题综合考查正方形的对称性质和三角形外角性质，解题关键是利用正方形的对称性快速得出结
论．
【变式训练】
1．如图，正方形 中， ，则 _____．
【答案】 ## 度
【分析】根据正方形的性质得出 ，根据已知条件可得 ，进而根据三角形
内角和定理即可求解．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是解题的关键．
2．如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边 ，连接PA，则
__________ ．
【答案】
【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出 是等腰三角形，从而求出 的度数，进
而求出 的度数即可．
【详解】解： ∵四边形ABCD是正方形， 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握正方形的性质
和等边三角形的性质，利用等边对等角求角的度数，是解题的关键．
3.如图，在正方形 中， 为对角线 上一点，过 作 于 ， 于 ，若 ，
，则 ___________．
【答案】
【分析】延长 、 交 、 于 、 ，由正方形的性质，得到 ，再由等腰三角形的性质及正方形的性质得到 ， ，由勾股定理即可得出结论．
【详解】解：如图，延长 、 交 、 于 、 ．
四边形 为正方形，
，
， ，
则 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理．求出 ， 的长是解答本题的关键．
4．已知在矩形ABCD中， ， ，四边形EFGH的三个顶点E、F、G、H分别在矩形ABCD
的边AB、BC、DA上， ．
(1)如图1，当四边形EFGH为正方形时，求 的面积；
(2)如图2，当四边形EFGH为菱形，且 时，求 的面积（用含a的代数式表述）；
(3)在（2）的条件下，当 的面积等于6时，求AH的长．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）过点G作 于M，，可以证明 ，就可以求出 的长，
进而就可以求出 ，求出面积．（2）证明 ．得到 的长，根据三角形的面积公式就可以求出面积．
（3）△GFC的面积等于6，根据面积就可以求出a的值，在 △BEF中根据勾股定理就可以得到 ，
进而在直角 中求出 ．
【详解】（1）解：如图1，过点G作 于M，
在正方形 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
同理可证 ．
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图2，过点G作 交 的延长线于M，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）∵当 ，则 ，
∴ ．
在 中，
．
在 中，
，
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理
等知识，解决本题的关键是证明三角形全等．
【题型十 正方形的性质与判定综合问题】
例题：如图所示，在正方形 的边 的延长线上取点 ，连接 ，在 上取点 ，使得 ，
连接 ，过点 作 ，交 于点 ．
(1)若正方形 的边长为 ，且 ，求 的长；
(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】 由正方形 的边长为 ，在 中，由 ，即可求得 的长，然后由勾股定
理求得 的长，又由 ，即可求得 的长；先在 上截取 ，然后证得 ≌ ，由全等三角形的对应角相等、同角的余角相等，
即可求得 ，进而得出 ．
（1）
解： 四边形 是正方形，且边长为 ，
， ，
在 中， ，
，
，
，
；
（2）
证明：在 上截取 ，连接 ，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
≌ ，
， ，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质
等知识的综合应用．解题时注意掌握辅助线的作法，构造全等三角形是解决问题的关键．
【变式训练】
1．如图，点 是正方形 内部的一点， ，将 绕点A按逆时针方向旋转 得到
， ， 的延长线相交于点E.若正方形 的边长为10， ．
(1)求证：四边形 是正方形；
(2)求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 的长是14．
【分析】（1）由 ，得 ，由旋转得 ， ，
即可证明四边形 是正方形；
（2）根据勾股定理列方程 ，求得符合题意的 的值，即可求得 的长为14．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴由旋转得 ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形；
（2）解：∵正方形 的边长为10， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 或 （不符合题意，舍去），
∴ ， ，
∴ ，
∴BE的长是14．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、勾股定理的应用等知识与方法，正确理解和运用旋转
的性质是解题的关键．
2．如图，点E是正方形 的边 上不同于C，D的任意一点，延长 至点F，使 ．分别
过点E，F作 的垂线，相交于点G．
(1)如图1，连接 ， 、 与 有何关系？请说明理由．
(2)如图2，连接 ．若 ．①当点E是 的中点时， ____________；
②当点E不是 的中点时， 的值与①相比，有变化吗？请说明理由．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)① ；②不变化，理由见解析
【分析】（1）证明 即可得到 ；
（2）先证明四边形 是正方形，延长 ， 相交于点H．①当点E是 的中点时，四边形
的边长等于 ，然后根据 求解即可；②设四边形 的边长为
b，根据 求解即可．
【详解】（1）∵四边形 是正方形，
∴ ．
在 和 中
，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形．
①∵E是 的中点，∴ ，
∴
．
故答案为： ．
②不变化，设四边形 的边长为b，
．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，整式的加减，数形结合是解答本题
的关键．
