文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求
的。
1．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 解得 ，所以 ，
所以 .故选：D
2．若复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】由题意 ，所以 ，所以 在复平面内对应的点为 ，它在第四象
限.故选：D.
3． 的展开式中 的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
【答案】D
【详解】 ，
令 ，解得 ，所以 ，
故选：D．
4．已知 ， ， ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，所以 ．
构造函数 ，则 恒成立，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，即 ．
构造函数 ， ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减， ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，即 ．
综上， ．
故选：B．
5．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， ， 成等差数列，则
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，所以 ．又因为 ， ， 成等差数列，则 ．
根据正弦定理可得： ，即 ，
展开得： ，
进一步得： ，
因为 ，可得 ，
又易知 为锐角，所以 ，则 ，故A正确.
故选：A．
6．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】 即 ， ；
由 ，即 ， ；
所以 是 的充要条件.
故选：C.
7．已知某比赛在 这4支队伍之间进行，且 队伍有一名主力队员缺席，导致 队伍无缘前2名，
假设剩下的3支队伍的水平相当，则 这2支队伍都进入前3名的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意，由于 队伍无缘前2名，
所以这4支队伍按排名先后的情况有：
，共12种，其中 这2支队伍排在前3位的情况有：
，共8种，
故所求概率 .
故选：C
8．如图①所示，圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，在中国主要分布于西北、华东、华南、西南等地区，
抗虫害能力强，其花序硕大，类似于圆锥形，因此得名．现将某圆锥绣球近似看作如图②所示的圆锥模型，
已知 ，直线 与圆锥底面所成角的余弦值为 ，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意直线 与圆锥底面所成角为 ，
则 ，得 ( )，
所以该圆锥的侧面积为 ( )．
故选：C．
9．已知圆C： ，P，Q是圆上的两点，O为坐标原点，且 ，则 的值为
（ ）
A． B． C．10 D．5【答案】D
【详解】由已知可知圆心为 ，半径 .
直线 过原点，显然圆与 轴不相交，即直线 斜率存在，
不妨设直线 为 ， ， ，则 ， .
将直线代入圆的方程，整理可得 ， ，解得 ，
由韦达定理可得， ，
所以 .
故选：D.
10．如图，某种地砖ABCD的图案由一个正方形和4条抛物线构成，体现了数学的对称美． ，
， ， ， ，已知正方形ABCD的面积为64，连接 ， 的焦
点 ， ，线段 分别交 ， 于点G，H，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由正方形ABCD的面积为64，得正方形ABCD的边长为8，
根据对称性可得 ， ， ， ，
将 代入 ，得 ，所以抛物线 的方程为 ．故 ，
故 ， ，设 ，直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，解得 或 （舍），
故 ， ．
由对称性可知 ， ．
故选:B．
第 II 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为 ．
【答案】
【详解】因为双曲线 的离心率为 ，
，所以 ，所以 ，
双曲线 渐近线方程为： .
故答案为：12．已知向量 ， ，则 ．
【答案】8
【详解】 ．
故答案为：8.
13．已知 的内角 的对边分别为 ，若 ， ， ，则 边上的中线AD的长为
.
【答案】
【详解】
由余弦定理可得， .
在 中，有 ， ，
由余弦定理可得
，
所以， .
故答案为： .
14．把函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象．若 的图象关于原点
对称，则 的最小值为 ；若曲线 上存在唯一一点 ， ，满足点A关于原点的对称点B也在曲线 上，则 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】函数 的图象向右平移 个单位长度，
得到函数 的图象，则 ，
若 的图象关于原点对称，则 ，
所以 ，则 的最小值为 ；
又点 关于原点的对称点 ，
由题意 ，
可得 ，
即 ，
所以 ，
由题意只有唯一一个 使得上式成立，
所以 ，且 只有一解，
由 ，则 ，
可得 ，解得 .15．已知函数 ，则下列说法正确的有
①．函数 的值域为
②．方程 有两个不等的实数解
③．不等式 的解集为
④．关于 的方程 的解的个数可能为
【答案】①③④
【详解】画出 的图象，如下图所示：
令 ，解得 或 ，
所以 的图象与 轴交于 ，
对于①，由图象可知，函数 的值域为 ①对；
对于②，由图象可知，直线 与函数 图象有三个不同的交点，故方程 有三个不等的实数
解，②错；
对于③，由图象可知，当 或 时， ，所以，由 ，可得 或 .
令 ，解得 或 ；令 ，解得 或 ，由图象可知，不等式 解集为 ③对；
对于④，令 ，则 ，则 ，
当 时， ，由图可知 与 的图象有两个交点，即方程 解的
个数为2个，
当 时，即 时， ，则 ，
故 ， ，
当 时 ，则 有两解，
当 时，若 ，则 有三解，若 ，则 有两解，
故方程 解的个数为4或5个，综上方程 解的个数可能为 个.
故选：①③④.
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（13分）已知函数 .
(1)求 的最小正周期；
(2)在 中， 分别是角 的对边，若 ， ，且 的面积为 ，求
外接圆的半径.
【答案】(1) (2)2
【详解】（1） ，
的最小正周期 ；
（2）由 ，可得 ，又 ，， ， ，
由 ，得 ，
由余弦定理得： ，得 ，
由正弦定理得 外接圆的半径 .
17．（14分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形， ．
(1)求证： ：
(2)从下面三个条件中选择一个作为已知，使五面体ABCDEF存在．求直线AE与平面BCF所成角的正弦值．
条件①：平面 平面
条件②：平面 平面
条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【详解】（1）证明：因为四边形 为矩形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又平面 平面 ， 平面 ，
所以 ；
（2）若选条件①：平面 平面 ，
则平面 平面 ， , 平面 ，
所以 平面 平面 所以 ,
但是 ，因此 不可能，所以选择条件①的五面体不存在，
若选择条件②：平面 平面取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ，
则 ，由 ，得 ，且 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，由 平面 ，得 ，
建立如图空间直角坐标系 ， ,0, , ,0, , ,4, , ,4, , ,0, , ,2, ,
则 ，
设 为平面 的一个法向量，
则 ,令 ，得 ， ，所以 ，
，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ．
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
若选择条件③：
由于 ， , 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
以下如选择条件②相同.
18．（14分）已知某足球赛事的决赛将在甲、乙两队之间进行.其规则为：每一场比赛均须决出胜负，按
主、客场制先进行两场比赛（第一场在甲队主场比赛），若某一队在前两场比赛中均获胜，则该队获得冠
军；否则，两队需在中立场进行第三场比赛，且其获胜方为冠军.已知甲队在主场、客场、中立场获胜的概率依次为 ， ， ，且每场比赛的胜负均相互独立.
(1)当甲队获得冠军时，求决赛需进行三场比赛的概率；
(2)若主办方在决赛的前两场中共投资 （千万元），则能在这两场比赛中共盈利 （千万元）.如果需进
行第三场比赛，且主办方在第三场比赛中投资 （千万元），则能在该场比赛中盈利 （千万元）.若主
办方最多能投资一千万元，请以决赛总盈利的数学期望为决策依据，则其在前两场的投资额应为多少万元？
【答案】(1)
(2)主办方在决赛的前两场的投资额应为 千万元，即 万元.
【详解】（1）记“甲队获得冠军”为事件 ，“决赛进行三场比赛”为事件 ，
由题可知 ，
，
∴当甲队获得冠军时，决赛需进行三场比赛的概率为 .
（2）设主办方在决赛前两场中共投资 （千万元）， 其中 ，
若需进行第三场比赛，则还可投资 （千万元），
记随机变量 为决赛的总盈利，则 可以取 ， ，
∴ ， ，
∴随机变量 的分布列为
∴ 的数学期望 ，
令 ，则 ，
∴当 ，即 时， 取得最大值，
∴主办方在决赛的前两场的投资额应为 千万元，即 万元.19．（14分）设动圆 与圆 外切，与圆 内切.
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)过点 且不与 轴垂直的直线 交轨迹 于 ， 两点，点 关于 轴的对称点为 ， 为 的外
心，试探究 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1) (2)是，
【详解】（1）设动圆半径为 ，
由圆 与圆 外切得： ，由圆 与圆 内切得： ，
故 ，
故点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，且 ， ，故 ，
∴点 的轨迹 的方程为： .
（2）设 ， ，
由 ，
故 ， ，
，
所以 的中点 ，故 的中垂线的方程为： ．
因为 的中垂线为 轴，故 的中垂线与 轴的交点即为外心 ，
令 得： ，故 ，
又 ，
故 （定值）．
20．（15分）已知函数 ．
(1)当 时，求 的图像在点 处的切线方程；
(2)若函数 有一个零点，求k的取值范围．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）当 时， ， ， ，
所以 ，所以切线方程为 ，即 ．
（2）由 ，得 ，所以 ．
令 ， ，所以 ，
令 得 ，当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取极小值 ，
的大致图像如图，
要使函数 有一个零点，即直线 与 的图像有一个交点，
则 或 ，解得 或 ，
所以k的取值范围为 ．
21．（15分）若数列 中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称 为“ 数列”．
(1)分别判断数列 ，与数列 是否为“ 数列”，并说明理由；
(2)已知数列 的通项公式为 ，判断 是否为“ 数列”，并说明理由.
【答案】(1)数列 是“ 数列”，数列 不是“ 数列”，理由见解析
(2) 不是“ 数列”，理由见解析
【详解】（1）解：数列1，2，3，4，是“ 数列”，数列2，6，8，12不是“ 数列”．
因为数列1，2，3，4，中“ ”构成等比数列，
所以数列1，2，3，4，是“ 数列”；
因为数列2，6，8，12中“ ”，“ ”，“ ”，“ ”均不能构成等比数列，
所以数列2，6，8，12不是“ 数列”；（2）解： 不是“ 数列”．
假设 是“ 数列”，
因为 是单调递增数列，即 中存在的 （ ）三项成等比数列，
也就是 ，即 ，
，两边时除以 得 ，
等式左边 为偶数，
等式右边 为奇数．
所以数列 中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．
综上可得 不是“ 数列”．
