文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考七省专用）
黄金卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解不等式 ，得 ，即 ，
而 ，则 ，所以 ，故选：B
2．已知 ，则 的虚部为（ ）．
A． B． C．-18 D．13
【答案】D
【解析】 ，所以 ， ， ，所以 的虚部为13.故选：D.
3．已知直线 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由 可知 ，解得 或 ，
当 时， ， ， 成立，
当 时， ， ，即 ， 与 重合，
所以若 则 ，所以“ ”是“ ”的充要条件，故选：A.
4．将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者安排到 四个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至
少安排一名志愿者，那甲恰好被安排在 社区的不同安排方法数为（ ）
A．24 B．36 C．60 D．96
【答案】C
【解析】分两种情形：① 社区只有甲，则另4人在3个社区，此时有 ；
② 社区还有另一个志愿者，此时有 ，
，甲恰好被安排在 A 社区有60种不同安排方法，故选：C.5．已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，若 ，则
（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】由题意可得 ，解得 ，
所以 .故选：A.
6．已知动点 的坐标满足方程 ，则动点 的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
【答案】C
【解析】方程 变形为 ，
表示动点 到点 和直线 的距离相等，
所以动点 的轨迹是以 为焦点的抛物线，故选：C.
7．已知函数 在区间 上恰有两个最大值，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，则 ，
所以由题意得： ，解得 .故选：D.
8．已知奇函数 在 上可导，其导函数为 ，且 恒成立，则
（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】B
【解析】设 ，则 为R上可导的奇函数， ，
由题意得 ，
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试卷第2页，共14页得 ，所以 ，
，
又 ，即 ，
所以 ，等式两边对x求导，
得 ，令 ， ，所以 .
由 ，两边对x求导， ，所以 的周期为4，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 .故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．新式茶饮是指以上等茶叶通过萃取浓缩液，再根据消费者偏好，添加牛奶、坚果、柠檬等小料调制而
成的饮料．如图为2022年我国消费者购买新式茶饮的频次扇形图及月均消费新式茶饮金额的条形图．
根据所给统计图，下列结论中正确的是（ ）
A．每周都消费新式茶饮的消费者占比不到90%
B．每天都消费新式茶饮的消费者占比超过20%
C．月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比超过50%
D．月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比超过60%
【答案】BC
【解析】每周都消费新式茶饮的消费者占比 ,A错误；
每天都消费新式茶饮的消费者占比 ，B正确；
月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比 ，C正确；
月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比 ,D错误．故选：BC
10．已知双曲线 的左、右焦点别为 ， ，过点 的直线l与双曲线 的右支相交于
两点，则（ ）A．若 的两条渐近线相互垂直，则
B．若 的离心率为 ，则 的实轴长为
C．若 ，则
D．当 变化时， 周长的最小值为
【答案】ACD
【解析】依题意， ，
A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以 ，故A正确；
B选项，若 的离心率为 ，解得 ，
所以实轴长 ，故B错误；
C选项，若 ，则 ，
整理得 ，故C正确；
D选项，根据双曲线的定义可知， ，
两式相加得 ，
所以 周长为 ，
当 时， 取得最小值 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 周长的最小值为 ，故D正确.故选：ACD
11．如图， ， 分别是正四棱柱 上，下底面的中心， 是 的中点， ，则
下列结论正确的有（ ）
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试卷第4页，共14页A．
B．
C．异面直线 与 所成角的余弦值为
D．平面 与平面 夹角的余弦值为
【答案】ACD
【解析】对于A中，因为底面 为正方形，且 分别是正四棱柱 上、下底面的中
心，
所以 ， ，
又因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，所以A正确；
对于B中，由 分别是正四棱柱 上底面的中心，
可得 是 的中点，则 平面 ，因为 平面 ，
所以 与 不平行，所以B错误；
以点 为原点，直线 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，设 ，
则 ， ， ， ， ， ， ，
可得 ，设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，
又由 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，
对于C中，由 ，所以C正确；
对于D中，由于平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，
可得 ，所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ，所以D正确．故选：
ACD．
12．已知函数 ，若 ，且 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】当 时， .
设函数 ，则有 ，所以 是偶函数；
因为 时， ，
所以 在 上单调递增， 的最小值为 ，
又 是偶函数，所以 在 上单调递减，
把 的图象向右平移一个单位长度，得到函数 的图象，
故函数 的图象关于直线 对称，
故可得到函数 在 上的图象.
又 ，故函数 的图象与 轴的交点为 .
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试卷第6页，共14页再又从 的图象可以得到 的图象，
则函数 的图象如下：
作平行于 轴的直线 ，
当 时，直线 与函数 的图象有四个交点.
由对称性可知 ，故A错误；
由 ，得 ，
又根据题意知 ，所以 ，
即 ，即 ，所以 ，故B正确；
令 ，则 ， ，得 ， ，
因此 ，故C正确；
又 ， ， ，得 ，
且函数 ， ， 时 ，所以在 上单调递增，
所以 ，故D错误.故选：BC.
第 II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知 的展开式中 项的系数为 ．
【答案】
【解析】 的展开式的通项公式为 ，
则 中 的项为 ，所以系数为 ，
14．已知正实数a，b满足 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为 ， ， ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，所以 的最小值是 ．
15．已知向量 满足， ，则 ．
【答案】
【解析】由 ，得 ，有 ，
则 ．
16．已知定义在 上的函数 满足 为 的导函数，当 时，
，则不等式 的解集为 .
【答案】
【解析】令 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
化简得 ，所以 在 上是偶函数，
因为 ，
因为当 ， ，所以 ， 在区间 上单调递增，
又因为 为偶函数，所有 在 上单调递减，
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试卷第8页，共14页由 ，得 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，解得 或 ，
所以不等式的解集为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．锐角三角形 中，角 所对的边分别为 ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， 为 的中点，求中线 长的最大值.
【答案】（1） ；（2）3
【解析】（1）因为 ，所以 ，
则 .
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
由题意知 ，所以 .
（2）因为 为 的中点，所以 ，
则 ，
又由余弦定理得， ，
即 ，所以 .
由 得， ，
则 ，当且仅当 取等号，即 ，
所以 ，即中线 长的最大值为 .18．设数列 的前 项和为 ，已知 ．
（1）证明： 为等比数列，求出 的通项公式；
（2）若 ，求 的前 项和 ．
【答案】（1）证明见解析， ；（2）
【解析】（1）∵ ∴ ，
∴ ，∴ 为等比数列；
∵ ，故 的首项为 ，公比为2，
∴ ，则 ，
当 时， ，则 ， 也满足此式，∴ ；
（2）由（1）可得 ，则 ，
故 ，
两式相减得： ，故 .
19．如图，在梯形ABCD中， ，将 沿着BD折起到 的
位置，使得平面 平面 ．
（1）证明： ；
（2）点M满足 ，若二面角 的余弦值为 ，求 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）过D作 ，垂足为N，
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试卷第10页，共14页因为平面 平面PBC，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面PBC，
因为 平面PBC，所以 ，
因为 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ．
（2）由（1）可知 平面 ，又 ，
以B为坐标原点，以 的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，
则 ，
， ，
设平面BCM的一个法向量 ，
由 得 ，令 得 ，
平面BDM的一个法向量可取 ，
因为二面角 的余弦值为 ，
所 ，解得 ，所以 ．
20．某工厂注重生产工艺创新，设计并试运行了甲、乙两条生产线．现对这两条生产线生产的产品进行评
估，在这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了300件进行测评，并将测评结果（“优”或“良”）制
成如下所示列联表：良 优 合计
甲生产线 40 80 120
乙生产线 80 100 180
合计 120 180 300
（1）通过计算判断，是否有 的把握认为产品质量与生产线有关系？
（2）现对产品进行进一步分析，在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取了6件产品．
若在这6件产品中随机抽取3件，求这3件产品中产自于甲生产线的件数 的分布列和数学期望．
附表及公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
其中 ．
【答案】（1）有 的把握认为产品质量与生产线有关系；（2） 的分布列见解析，数学期望为1
【解析】（1） ，
所以有 的把握认为产品质量与生产线有关系.
（2）在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取6件产品，
则应在甲生产线抽取 件产品，在乙生产线抽取 件产品，
由题意可知： ，则：
，
可得 的分布列为
0 1 2
所以 的数学期望 .
21．在平面直角坐标系 中，椭圆 的左，右顶点分别为 、 ，点 是椭圆的右
焦点， ， .
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试卷第12页，共14页（1）求椭圆 的方程；
（2）经过椭圆右焦点 且斜率不为零的动直线 与椭圆交于 、 两点，试问 轴上是否存在异于点
的定点 ，使 恒成立？若存在，求出 点坐标，若不存在，说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在，
【解析】（1）由题意知， ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，解得 ，从而 ，
∴椭圆 的方程为 .
（2）如图，由椭圆右焦点 ，故可设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
则 ，
设 ， ，且 ， ，
设存在点 ，设 点坐标为 ，
由 ，可得 ，
又因为 ，
所以 ，所以 ，
所以直线 和 关于 轴对称，其倾斜角互补，即有 ，
则 ，所以 ，
所以 ，整理得 ，
即 ，
即 ，解得 ，符合题意，即存在点 满足题意.
22．已知 ， 是函数 的两个零点，且 .（1）求实数 的取值范围；
（2）证明： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）令 ，则 .
令 ，则 .
因为 在 上单调递增，且当 时， ，
所以当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增.
当 和 时， .
因为函数 有两个零点，所以 ，
即实数 的取值范围为 .
（2）证明： ，则 在 上单调递增，
而 且 ，
因此 在 上存在唯一零点 ，即 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
因为 ， ,
由 的单调性,得 ，所以 .
令 ，则 ，
所以当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增，
所以 ，即 ，所以 ，
综上所述 ，证毕.
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试卷第14页，共14页
