黄金卷-赢在高考·黄金8卷备战2024年高考数学模拟卷（新高考江苏专用）（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_4.2024高考模拟预测试卷

【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考江苏专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第 I 卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要 求的。 1. 设全集 ， 或 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算即可求解. 【详解】由于 或 ， ,所以 ， 因此 ， 故选：D 2. 已知复数 是纯虚数， 是实数，则 （ ） A. － B. C. －2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由题意设 ，代入 中化简，使其虚部为零，可求出 的值，从而可求出复数 ， 进而可求得其共轭复数. 【详解】由题意设 ， 则 ，因为 是实数，所以 ，得 ， 所以 ， 所以 ， 故选：A. 3. 已知函数 ， （ 为自然对数的底数），则图象为如图的函数可能是（ ） . A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图象经过 ，且 ，排除AB，再由当 时， 排除C求解. 【详解】由图象知：图象经过 ，又 ， 所以 ， 不符合题意； 对于 ，当 时， ，不符合题意； 对于 ，是偶函数，且，当 时， ，符合题意； 故选：D 4. 若非零实数 满足 ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】通过代特殊值，或是根据做差法，判断选项. 【详解】A.当 时，不等式不成立，故A正确； B.当 时， 不成立，故B正确； C.因为 是非零实数，且满足 ，所以 一定成立，故C错误； D. ，因为 ，所以 ，但 可能是正数，负数，或零，所以 不一定成立，故D正确. 故选：ABD 5. 我国东汉数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理 的证明，后人称其为“赵爽弦 图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图所示，在“赵爽弦图”中，若 ，则 （ ） A. B.C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据 和 得到 ，最后利用 进行基底表 示，进而可解. 【详解】 ， ，则 故选：A 6. 阿基米德(公元前 年—公元前 年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家,他利用“通近法”得 到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 的对称轴为坐标轴，焦点在 轴上，且椭圆 的离心率为 ，面积为 则椭圆 的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，设出椭圆的标准方程为 ，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积 列出关于a、b的方程组，求解方程组即可得答案． 【详解】解：由题意，设椭圆C的方程为 ， 因为椭圆 的离心率为 ，面积为 ， 所以 ，解得 ， 所以椭圆C 的方程为 ， 故选：A. 7. 在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，且 ，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】由正弦定理和余弦定理求出 ，从而得到 ，由正弦定理化边为角， ，结合 ，利用正弦函数图象，求出 ，得到答案. 【详解】因为 ， 所以 ，整理得 ， 所以 ， 又 ，所以 ， 又 ，所以 ，解得 ， 所以 又 ，则 ， 所以 ， 即 的取值范围为 . 故选：C. 8. 已知函数 ，当 时， 恒成立，则实数 的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数 ，求导后可得 ，再构造 ，根据对称轴与1的关系分情 况讨论，结合 分析即可 【详解】设 ，则 ． 令 ，其图象为开口向上､对称轴为直线 的抛物线． ①当 ，即 时， 在 上单调递增，且 ， 所以 在 上恒成立，于是 恒成立； ②当 ，即 时，因为 且 ，所以存在 ，使得 时， ， 所以 在 上恒成立，即 在 上单调递减，所以 ，不满足题意． 综上，实数 的取值范围是 ． 故选： ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的 要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9. 为弘扬文明.和谐的社区文化氛围，更好地服务社区群众，武汉市某社区组织开展了“党员先锋”.“邻里互 助”两个公益服务项目，其中某个星期内两个项目的参与人数（单位：人）记录如下： 星期 星期 项目 日期 星期二 星期三 星期五 星期六 星期日 一 四 党员先锋 24 27 26 25 37 76 72 邻里互助 11 13 11 11 127 132 143 对于该星期内的公益服务情况，下列说法正确的有（ ） A. “党员先锋”项目参与人数的极差为52，中位数为25 B. “邻里互助”项目参与人数的众数为11，平均数为64 C. 用频率估计概率，“党员先锋”项目连续3天参与人数不低于25的概率为 D. 用频率估计概率，“邻里互助”项目连续2天参与人数不低于该项目平均数的概率为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据极差、中位数、众数、平均数、古典概型等知识确定正确答案. 【详解】A选项，“党员先锋”项目参与人数的极差为 ，中位数是 ，A选项错误. B选项，“邻里互助”项目参与人数的众数为11， 平均数为 ，B选项正确. C选项，“党员先锋”项目连续3天参与人数不低于25的是：（星期二，星期三，星期四）， （星期三，星期四，星期五），（星期四，星期五，星期六），（星期五，星期六），星期日）， 所以党员先锋”项目连续3天参与人数不低于25的概率为 ， C选项正确. D选项，“邻里互助”项目连续2天参与人数不低于该项目平均数的是： （星期五，星期六），（星期六，星期日），所以“邻里互助”项目连续2天参与人数不低于该项目平均数的概率为 ，D选项错误. 故选：BC 10. 已知直线 过点 且与圆 ： 相切，直线 与 轴交于点 ，点 是圆 上的 动点，则下列结论中正确的有（ ） A. 点 的坐标为 B. 面积的最大值为10 C. 当直线 与直线 垂直时， D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合直线与圆，点与圆的位置关系，以及垂直直线的斜率关系和正切的二倍角公式， 一一判断即可. 【详解】根据题意，易知点 在圆 上. 因为 ，所以直线 的斜率 ，因此直线 的方程为 ， 令 ，得 ，因此点 的坐标为 ，故A正确； 因为点 是圆 上的动点，所以点 到直线 的最大距离 ， 又因为 ，所以 面积 ，故B正确； 因为直线 ： 与直线 垂直，所以 ，解得 ，故C错误； 当直线 与圆 相切时，锐角 最大，即 最大，此时 ，因为 ，所以 ，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数 ，则（ ） A. 是以 为周期的周期函数 B. 直线 是 图象的一条对称轴 C. 的值域为 D. 在 上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】由指数函数与三角函数的性质对选项逐一判断 【详解】对于 ，因为 ，所以 是以 为周期 的周期函数，故A正确； 对于B， ，设 ，由 ，解得 ，故B错误， 对于C， 的值域为 ，则 的值域为 ，故C正确； 对于D， ，由 ，解得 ，所以 在 上单调递减，所以 在区间 上单调 递增，故D正确． 故选：ACD 12. 如图，在棱长为1的正方体 中，P为棱 的中点，Q为正方形 内一动点 （含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥 的体积为定值 B. 若 平面 ，则动点Q的轨迹是一条线段 C. 存在Q点，使得 平面 D. 若直线 与平面 所成角的正切值为 ，那么Q点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于 A.根据等体积转化，可证明体积为定值；对于 B. 取 、 中点 ，连接 、 、PF，证明平面 平面 ，则 点的轨迹为线段 ；对于C. 以 为原点， 建立空间直角坐标系，设 ，求出平面 的法向量，根据 求出 x、z即可判断；对于D.利用线面角的向量公式，得到点 的轨迹方程，即可求得点 的轨迹长度.【详解】A.三棱柱的体积 ， ，点 到平面 的距离为 ，所以三棱锥 的体积为定值，故A选项正确； B.取 、 中点 ，连接 、 、PF， 由 且 ，知 是平行四边形， ∴ ，∵ 平面 ， 平面 ， 平面 ， 同理可得 平面 ，∵ ， 平面 ， ∴平面 平面 ，则 点的轨迹为线段 ，故B选项正确； C.如图，建立空间直角坐标系， 则 ， ， ，设 ， 则 ， ，设 为平面 的一个法向量， 则 即 得 取 ，则 . 若 平面 ，则 ，即存在 ，使得 ，则 ，解得 ，故不存在点 使得 平面 ，故C选项错误； D.平面 的法向量为 ， ， 若直线 与平面 所成角的正切值为 ，则此角的正弦值是 ， 所以 ， 所以 ， 因为点Q为正方形 内一动点（含边界）， 所以点 是以 为圆心， 为半径的圆弧(正方形 内),即圆心角为 的圆弧，弧长为 ，故 D正确. 故选：ABD第 II 卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 设 的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若 ，则展开式中 的系数为_______． 【答案】150 【解析】 【分析】利用赋值法及二项式系数和公式求出 、 列出方程求得 ，利用二项展开式的通项公式求出 第 项，令 的指数为3得 进而得系数． 【详解】 中，令 得展开式的各项系数之和 ， 根据二项式系数和公式得二项式系数之和 ， ∵ ，∴ 解得 ， ∴ 的展开式的通项为 ， 令 得 ，故展开式中 的系数为 ， 故答案为150. 14. 在数列 中， ，且 ，则 __________. 【答案】1176 【解析】 【分析】对 变形得到 ，得到 是常数列，求出 ，得到答案.【详解】因为 ， 所以 ， 所以 ， 又 ， 所以 是常数列. 所以 ， 所以 ， 所以 . 故答案为：1176 15. 若函数 是偶函数，则 的最小值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用偶函数的性质可得 ，然后利用基本不等式即得. 【详解】由 为偶函数可得 ，即 ， 所以 ．因为 ，且 ， ， 所以 ， 则 ， 当且仅当 ，即 时， 取最小值4． 故答案为：4. 16. 如图，已知抛物线 及两点 和 ，其中 .过 ， 分别作 轴的垂 线，交抛物线于 ， 两点，直线 与 轴交于点 ，此时就称 ， 确定了 .依此类推， 可由 ， 确定 ，…，记 ， ，….给出下列三个结论： ①数列 是递增数列； ②对任意 ， ； ③若 ， ，则 . 其中，所有正确结论的序号是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出数列 的递推公式，结合数列 的递推公式对题中三个命题进行分析，可得出结论. 【详解】由题意知， ， ， 且 ， 直线 的斜率为 ， 则直线 的方程为 ， 令 ，则 ， ，即 ， 在等式 两边取倒数得 . ， ，由此可得出 ， ， ，命题②正确； ，则 ，由②知，对任意的 ， ， ，即数列 是单调递减数列，命题①错误； 若 ， ，则 ， ， ，命题③正确. 故答案为：②③. 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 17．（10分）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， . （1）求 的面积； （2）若 ，求b. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）通过切化弦思想、两角和的正弦以及正弦定理可得 ，根据 可得 的 值，进而可得三角形面积； （2）根据正弦定理可得 ，进而可得结果. 【小问1详解】 因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 由正弦定理得 ，所以 ， 所以 . 又 ，所以 ， ， 所以 . 【小问2详解】 由正弦定理得： ，所以 ， 所以 ， 所以 . 18（12分）已知数列 的前 项和为 ． （1）证明：数列 为等比数列，并求出 ． （2）求数列 的前 项和 ． 【答案】（1）证明见解析； ；（2） ． 【解析】 【分析】（1）根据递推关系及等比数列的定义证明； （2）由（1）可得 ，根据 关系求解通项，根据等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）由已知 ， 整理得 ， 所以 ， 令 ，得 ，所以 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列， 所以 ， 所以 ； （2）由（1）知， ， 当 时， ， 当 时， ， 所以 所以 所以 ． 19.如图，在四棱锥 中，四边形ABCD为菱形，且 ， 平面ABCD，E为BC 的中点，F为棱PC上一点． （1）求证：平面 平面PAD；（2）若G为PD的中点， ，是否存在点F，使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为 ？ 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在； 或 【解析】 【分析】（1）根据底面菱形的特点得到 ，再由线面垂直得到 ， 平面 ， 进而得到面面垂直； （2）建立空间坐标系得到线面角的表达式 ，求解即可. 【小问1详解】 证明：连接 ， 因为底面 为菱形， ， 所以 是正三角形， 是 的中点， ， 又 ， 平面 ， 平面 ， 又 平面 ， 又 平面 ， 所以平面 平面 ． 【小问2详解】由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以 为坐标原点，直线AE，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间 直角坐标系，设 ，则 ， ， ， ， ， ， 所以 ， ， ． 设平面 的法向量 ，则 即 令 ，得平面 的一个法向量 ． 设 与平面 所成的角为 ，则 ， 解得 或 ， 即存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，且 或 ． 20.（12分）（12分）某种项目的射击比赛，开始时选手在距离目标 处射击，若命中则记3分，且停止射击．若 第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但需在距离目标 处，这时命中目标记2分，且停止射击． 若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时需在距离目标 处，若第三次命中则记1分，并停 止射击．若三次都未命中则记0分，并停止射击．已知选手甲的命中率与目标的距离的平方成反比，他在 处击中目标的概率为 ，且各次射击都相互独立． （1）求选手甲在射击中得0分的概率； （2）设选手甲在比赛中的得分为 ，求 的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）先由在100m处击中目标的概率为 求出 ，进而求出 ， ，再利用 相互独立事件同时发生的概率进行求解； （2）先写出 的可能取值，求出每个变量的概率，列表得到分布列，再利用期望公式进行求解. 【小问1详解】 解：记选手甲第一、二、三次射击命中目标分别为 事件 、 、 ，三次都没有击中目标为事件 ，则 ． 设选手甲在 m处击中目标的概率为 ，则 ．由 m时 ，得 ， 所以 ， ， 所以 ， ． 由于各次射击都是相互独立的，所以选手甲在射击中得0分的概率为 ． 【小问2详解】 解：由题设知， 的可能取值为0，1，2，3． ， ， ， ． 则 的分布列为 0 1 2 3 所以数学期望为 ． 21.如图所示，已知椭圆 ： 的离心率为 ，且过点 ，（1）求椭圆 的方程； （2）设 在椭圆 上，且 与 轴平行，过 作两条直线分别交椭圆 于两点 ， ，直线 平分 ，且直线 过点 ，求四边形 的面积． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】（1）由题知 ， ，进而解得 ， ，即椭圆 的方程为 ； （2）根据题意，设 ： ， ， ，进而与椭圆联立方程得 ，再根据直线 平分 ，进而化简整理得 ，解 得 ， ，进而得 ，最后计算四边形 的面积. 【详解】解：（1）由离心率 ，得 （*）， 由于点 在椭圆 上，故 （**）， 联立（*）（**）得 ， ， 所以椭圆 的方程为 ． （2）由直线 过点 ，可设 ： ， 它与椭圆 的方程联立得 ， 设 ， ，则 ，① 因为直线 平分 ，所以 ， 即 ，整理得 ， 将①代入上式并化简得 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以四边形 的面积 ． 22.（12分） 已知函数 ， . （1）若 在 处的切线也是 的切线，求 的值； （2）若 ， 恒成立，求 的最小整数值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）先用导数法求得 在 处的切线，再根据 在 处的切线也是 的切线，将切线方程与 联立，利用判别式法求解； （2）令 ，利用 可得 ，再逐个验证即可得解. 【小问1详解】 因为函数 ， 所以 ， 则 ， 所以 在 处的切线方程为 ， 由 ，得 ， 因为 在 处的切线也是 的切线，所以 ，解得 ； 【小问2详解】 令 ，则 ，即 ， 当 时， ， ， 令 ，则 ， 则当 时， ，函数 单调递增，所以 ，不合题意； 当 时， ， ， 令 ，则 ， 当 时， ，函数 单调递减， 当 时， ，函数 单调递增， 所以 ， 因为 ，设 ， 则 ，所以 在 上单调递减， 所以 ，所以 ，，满足题意； 故 的最小整数值是3.