文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（广东专用）
黄金卷01·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C D B B C B A A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
ABC ACD BCD AC
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13 -2 14． 15．24 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）因为 ，
所以 ，整理得 ，
由正弦定理得 ，由余弦定理得 ，因为 ，所以 .
（2）
在 中，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 的取值范围为 .
18．（12分）
【答案】(1)证明见解析(2)140
【解析】（1） ， ，所以数列 为首项为 ，
公比为 等比数列.
（2）由（1）可得
，即 ∴
而 随着 的增大而增大要使 ，即 ，则 ，
∴ 的最小值为140.
19．（12分）
【答案】(1) (2)（i）需停止生产并检查设备；（ii） ，
【解析】（1）由频率分布直方图，得 ．
．
（2）（i）由（1）可知 ， ，
所以 ， ，显然抽查中的零件指标 ，故需停止生产并检查设备．
（ii）抽测一个零件关键指标在 之内的概率为 ，
所以抽测一个零件关键指标在 之外的概率为 ，
故 ，所以 ，
X的数学期望 ．
20．（12分）
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】（1）连接 ，∵ 为 中点， 为 中点，
∴ ，又 面 ， 面 ，
∴ 面 ，
在 中， ， ， ，
∴ ，即 ，
在 中， ， ，∴ ， ，
在 中， ， ， ， ，
∴ ， ，∴ ，
∵F为AB中点，∴ ， ，
∴ ，又∵ 面 ， 面 ，∴ 面 ，又∵ ，CF， 面 ，
∴平面 平面 ；
（2）解法一：延长 与 交于 ，连 ，则面 面 ，
在 中， ， ， ，所以 ，
又 ， ， ， 面 ，
∴ 面 ， 面 ，
∴面 面 ，
在面 内过 作 ，则 面 ，
∵ 面 ，∴ ，
过 作 ，连 ，∵ ， 面 ， 面 ，
∴ 面 ， 面 ，
∴ ，
∴ 即为面 与面 所成二面角的平面角，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，又 ，
∴ ， ， ，∴ .
解法二：在 中， ， ， ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
又∵ ， ，
∴ ，
以 为 轴， 为 轴，过 且垂直于面 的直线为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
设平面 的法向量 ， ， ，
，令 ，则 ，∴ ，
设平面 的法向量 ， ，令 ，则 ， ，
∴ ，
所以 ，
∴平面 与平面 所成角的余弦值为 .
21．（12分）
【答案】(1) (2) ．
【解析】（1）解：由题意，椭圆 的离心率为 ，可得 ，
又由椭圆的定义，可知 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以椭圆E的标准方程为 ．
（2）解：设 ，直线 的方程为 ，
由 ，整理得 ，
则有 ， ，
故 ，
又由直线 的方程为 ，设 ， ，联立方程组 ，整理得 ，
则有 ， ，
则 ，
所以四边形 的面积：
，
因为 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，
综上，四边形ACBD面积的最小值为 ．
22．（12分）
【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【解析】（1）∵ ，则 ，
若 是增函数，则 ，
且 ，可得 ，故原题意等价于 对 恒成立，
构建 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上递增，在 递减，故 ，
∴ 的取值范围为 .
（2）（i）由（1）可知：当 时， 单调递增，
∵ ，则 ，即 ，
整理得 ，
构建 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上递减，在 递增，
故 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
令 ，可得 ，
故 ；
（ii）∵ ，则 ，
可知 有两个不同实数根 ，由（1）知 ，
可得 ，同理可得 ，
构建 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ；
且 ，故 对 恒成立，
故 在 上单调递减，
∵ ，则 ，即 ，
且 ，则 ，故 ，
可得 ；
又∵ ，由（i）可得 ，即 ，
则 ，
且 ，则 ，
可得 ；
综上所述： .
可得 ，则
故 .
