文档内容
第二十二章 二次函数（压轴题专练）
一、填空题
1．（2023·湖北十堰·统考二模）若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若在二次函数
(m为常数）的图象上存在两个二倍点 ， ，且 ，则m的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·重庆开州·九年级统考期末）已知两个多项式 ， ，其中 为任意实数．
有下列结论：
①若 ，则 一定为正数；
②若 ，则满足条件的 的值有4个；
③若 ，则当 时，式子 取得最小值．
其中正确的结论个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2023·湖北黄冈·统考二模）已知二次函数 的图像经过 ，下列结论：①若图像
对称轴在y轴左侧，则 ；② 是方程 的一个根；③若图像与x轴的另一个交点
在 和 之间，则 ；④点 ， 在抛物线上，若 ，则
当 时， ．其中正确结论的序号为（ ）
A．①③④ B．①② C．②③ D．①②③
4．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）对于两个正整数a， ，将这两个数进行如下操作：
第一次操作：计算b与a的差的算术平方根，记作 ；第二次操作：计算b与 的差的算术平方根，记作；第三次操作：计算b与 的差的算术平方根，记作 ；……依次类推，若 ，则下
列说法
①当 时， ； ②当 时， ；
③点 一定在抛物线 上；
④当 ，2，3，…，n时，对应b的值分别为 ， ， ，…， ，若 则n的值为
42：其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023·河北沧州·统考模拟预测）如图，抛物线 经过点 、 ，则下列结论，
正确的有（ ）
①若 、 在该抛物线上，当 时，m的取值范围是 ；②若抛物线与y轴交于点
，当 时y的最大值与最小值的差为6，则n的值为 或 ；③平面直角坐标系内，
线段 的端点为 ， ，当抛物线 与线段MN有交点时，a的取值范围是
；④以 为直径的圆与x轴下方抛物线有交点，则a的取值范围是 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023·山东济南·统考一模）若点 与 分别是两个函数图象 与 上的任一点．当时，有 成立，则称这两个函数在 上是“相邻函数”．例如，点 与
分别是两个函数 与 图象上的任一点，当 时，
，它在 上， 成立，因此这两个函数在
上是“相邻函数”．若函数 与 在 上是“相邻函数”，求a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·福建泉州·统考模拟预测）定义：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，则称
这两个函数互为“关联函数”，这对对称的点称为“关联点”．例如：点 在函数 上，点
在函数 上，点 与点 关于原点对称，此时函数 和 互为“关联函数”，
点 与点 则为一对“关联点”．已知函数 和 互为“关联函数”，则n不可能
是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·湖北咸宁·统考模拟预测）二次函数 （a，b，c是常数，且 ）的自变量x与函
数值y的部分对应值如下表：
x … －1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且当 时，对应的函数值 ，有以下结论：
① ； ②当 时y随x的增大而增大；
③关于x的方程 有异号两实根的，而且负实数根在 和0之间；
④ ；其中正确的结论是（ ）
A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②③④二、填空题
9．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）如图，点 、 、 、…、 在抛物线 图象上，点
、 、 、…、 在y轴上，若 、 、…、 都为等腰直角三角形（点 是坐
标原点），则 的底边长为 ．
10．（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）二次函数 （ ， ， 是常数， ）的图象与
轴交于点 ， ．下列说法中：①一元二次方程 的根为 ， ；②
；③对于 的每一个确定的值，若一元二次方程 （ 为常数， ）的根为整数，
则 的值只有两个；④若点 ， 在该二次函数的图象上，则 ．正确结论的序号是
．
11．（2023·湖南娄底·统考一模）已知点 在二次函数 ，其中 ， ， ，
，令 ， ， ， ； 为 的个位数字 为正整数 ，则下列说法：
； ； ； 的最小值为 ，此时 ； 的个位数字为 其中正确的是 填序号 ．
12．（2023·四川巴中·统考中考真题）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为
“Y函数”．例如：函数 与 互为“Y函数”．若函数 的图象与x
轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 ．
三、解答题
13．（2023·山东·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于点 ，顶点
坐标为 ．抛物线 交 轴于点 ，顶点坐标为 ．
(1)连接 ，求线段 的长；
(2)点 在抛物线 上，点 在抛物线 上．比较大小： ___________ ；
(3)若点 在抛物线 上， ，求 的取值范围．
14．（2023秋·河北邢台·九年级统考期末）如图，抛物线 （ 为常数）与 轴和 轴的正
半轴分别交于点 和点 ．(1)当 时
①求抛物线的对称轴和顶点坐标；
②当 ，求抛物线最大值与最小值的差；
(2)直线 交 轴于点 ，交抛物线于点 （ 在 的左侧），当 时，抛物线的最高点到
直线 的距离为2，请直接写出此时 的值
15．（2022秋·浙江衢州·九年级校联考期中）定义：由两条与 轴有着相同的交点，并且开口方向相同的
抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．
(1)【概念理解】抛物线 与抛物线 ________（填“能”或“不能”）围成“月牙
线”．
(2)【尝试应用】如图，抛物线 与抛物线 组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线 与抛物线 与
轴有相同的交点 ， （点 在点 的左侧），与 轴的交点分别为 ， ，抛物线 的解析式为
，抛物线 的解析式为 ．
①求 的长和 的值；
②将抛物线 与抛物线 所围成的“月牙线”向左或向右平移，平移后的“月牙线”与 轴的交点记为
， ，与 轴的交点记为 ， ，当 时，求平移的方向及相应的距离．
16．（2023·山东日照·统考中考真题）在平面直角坐标系 内，抛物线 交y轴于
点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．(1)求点C，D的坐标；
(2)当 时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线 上方抛物
线上一点，将直线 沿直线 翻折，交x轴于点 ，求点P的坐标；
(3)坐标平面内有两点 ，以线段 为边向上作正方形 ．
①若 ，求正方形 的边与抛物线的所有交点坐标；
②当正方形 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为 时，求a的值．
17．（2022秋·吉林长春·九年级长春外国语学校校考期中）已知函数 ．
(1)①函数 的顶点坐标为_______（用含 的代数式表示）
②函数 顶点的运动轨迹是_______，在平面直角坐标系中画出顶点的运动轨迹．
(2)当 时，函数关系式为_______，在平面直角坐标系中画出此函数的图像；(3)已知点 ， ，连结 ．若抛物线 与线段AB有且只有一个交点，求 的取值
范围；
(4)把函数 的图像记为 ，当 的最低点到 轴距离为 时，直接写出 的值．
18．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级文昌中学校考期末）如图，抛物线 与 轴交于
， 两点，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 是抛物线的顶点，请画出四边形 ，并求出四边形 的面积；
(3)点 是抛物线上一动点，设点 的横坐标为 ，点 为抛物线对称轴 上一点．若 是等
腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点 的坐标，并写出其中一种情况的计算过程．
19．（2022秋·江西南昌·九年级南昌市第十九中学校考阶段练习）某数学兴趣小组在探究函数
的图象和性质时经历以下几个学习过程：
（Ⅰ）列表（完成以下表格）．
x … 0 1 2 3 4 5 …
… 12 5 0 — 0 5 12 …
… 12 5 0 — — — 0 5 12 …（Ⅱ）描点并画出函数图象草图（在备用图①中描点并画图）．
（Ⅲ）根据图象解决以下问题：
（1）数学小组探究发现直线 与函数 的图象交于点 ， ，则不等式
的解集是______．
（2）设函数 的图象与x轴交于A，B两点（B位于A的右侧），与y轴交于点C．
①求直线BC的解析式；
②探究应用：将直线BC沿y轴平移m个单位长度后与函数 的图象恰好有3个交点，求此时
m的值．
20．（2023春·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线
与直线 相交于点 ，点 是直线 上的动点，过点 作 于点 ，点 的坐标
为 ，连接 ， ．设点 的纵坐标为 ， 的面积为 ．(1)当点 的坐标为 时，直接写出 的值；
(2) 关于 的函数解析式为 其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出 与
的值；
(3)在 上是否存在点 ，使得 是直角三角形？若存在，请求出此时点 的坐标和 的面积；若
不存在，请说明理由．
21．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，菱形 的边 在x轴的负
半轴上，点B在第二象限，点C在第一象限，对角线 交y轴于点D，线段 交y轴于点E，抛物线
经过点O，A，C．已知点C的坐标为 ，点P是直线 上的一点（不与A，C重合）．
(1)求点A、D的坐标和直线 的函数关系式；
(2)当点P在线段 上时，连接 ， ．若 与 面积相等，求点P的坐标；
(3)如图2，过点P作x轴的平行线，交抛物线 于M，N两点（M在N的左侧）．直线 上是
否存在点P，使以点E，C，P，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存
在，说明理由．
22．（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）年少的岁月里，约定是令人欣喜的！我们不妨约定：关于原点
对称的一对点（不重合）称为一对“双子星”，图象至少经过一对“双子星”的函数称为“双子星函数”．
(1)若 和 是一对“双子星”，则s＝_______，t＝_______；
(2)已知关于x的函数 和 （其中k，p为常数）①求出“双子星函数” 图象上所有的“双子星”；
②关于x的函数 的图象是否存在“双子星”，如果有，指出共有多少对“双子星”，如果没有，
请说明理由；
(3)已知“双子星函数” （其中a，b，c为常数， ）的图象经过不同的两点
和 ，（其中m，n为常数）并且满足以下2个条件：① ；②当 时，该函数的
最小值为 ，求二次项系数a的值．
23．（2020秋·广东广州·九年级广州市第十三中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为
，线段 绕原点逆时针旋转后与x轴的正半轴重合，点B的对应点为点A．
(1)直接写出点A的坐标，并求出经过A、O、B三点的抛物线的解析式．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点C，使 的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说
明理由．
(3)点P是抛物线上的一个动点，且在x轴的上方，当点P运动到什么位置时， 的面积最大？求出此
时点P的坐标和 的最大面积．
24．（2023春·广东梅州·九年级统考期中）如图，抛物线 与 轴分别相交于 ， 两点（点
在点 的左侧）， 是 的中点，平行四边形 的顶点 ， 均在抛物线上．(1)直接写出点 的坐标；
(2)如图（1），若点 的横坐标是 ，点 在第二象限，平行四边形 的面积是13，
①求直线 的解析式；
②求点 的坐标；
(3)如图（2），若点 在抛物线上，连接 ，求证：直线 过一定点．
25．（2023春·吉林长春·九年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线
（ 为常数）经过点 ．点 在该抛物线上，点 的横坐标为 ，点 的坐
标是 ，以 为对角线构造矩形 ．使得 轴．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式．
(2)当抛物线在A、 之间的部分（包括A、 两点）的最高点与最低点的纵坐标差为5时，求点 的坐标．
(3)当点 在矩形 的内部时，求 的取值范围．
(4)当点 在 轴下方时，设抛物线在矩形 内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差
为 ．点 到抛物线对称轴的距离为 ，当 时，直接写出 的值．
26．（2023春·广西·八年级南宁十四中校考期末）如图1，抛物线 与x轴交于 ，
两点，与y轴交于C．(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线BC上方抛物线上的−个动点，使 的面积等于 面积的 ，求点P的坐标；
(3)过点C作直线 轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一
个新图象（如图2），请你结合新图象解答：当直线 与新图象只有一个公共点 ，且
时，求d的取值范围．
27．（2023春·湖南长沙·八年级校联考期末）如图1，抛物线 交x轴于点 和点 ，
交y轴于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点D是直线 上方拋物线上一动点，连接 ， 和 ， 交 于点M，设 的面积为
， 的面积为 ，当 时，求点D的坐标；
(3)如图2，若点P是抛物线上一动点，过点P作 轴交直线 于Q点，请问在y轴上是否存在点
E，使以P，Q，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由
28．（2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考三模）已知抛物线 ， ， 是实数，与 轴交于 ， 两点．
(1)若 ，且 ， 两点的坐标分别为 ， ，求函数 的表达式及其图象的顶点坐标；
(2)函数 的图象与 轴只有一个交点，经过点 ， ，求 的值；
(3)若抛物线 过点 ， ， ， ，求证 ．
29．（2023·河北张家口·统考三模）将小球（看作一点）以速度 竖直上抛，上升速度随时间推移逐渐减
少直至为0，此时小球达到最大高度，小球相对于抛出点的高度 与时间 的函数解析式为两部分之
和，其中一部分为速度 与时间 的积，另一部分与时间 的平方成正比．若上升的初始速度
，且当 时，小球达到最大高度．
(1)求小球上升的高度 与时间 的函数关系式（不必写范围），并写出小球上升的最大高度；
(2)如图，平面直角坐标系中， 轴表示小球相对于抛出点的高度， 轴表示小球距抛出点的水平距离，向
上拋出小球时再给小球一个水平向前的均匀速度 ，发现小球运动的路线为一抛物线，其相对于扡
出点的高度 与时间 的函数解析式与（1）中的解析式相同．
①若 ，当 时，小球的坐标为________，小球上升的最高点坐标为________；求小球上升的
高度 与小球距抛出点的水平距离 之间的函数关系式；
②在小球的正前方的墙上有一高 的小窗户 ，其上沿 的坐标为 ，若小球恰好能从窗户中穿过（不包括恰好击中点 ，墙厚度不计），请直接写出小球的水平速度 的取值范围．
30．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与x
轴交于点 ， ，与y轴交于点C，连接 ，过点A、C作直线 ．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)点P为直线 下方抛物线上一动点，过点P作 交 于点F，过点P作 交x轴于点
E，求 的最大值及此时点P的坐标．
(3)在（2）问的条件下，将抛物线 沿射线 方向平移 个单位长度得到新抛物线 ，新
抛物线 与原抛物线交于点M；连接 ，把线段 沿直线 平移，记平移后的线段为 ，当以 、
、M为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的 点的坐标．
31．（2023·江西新余·统考一模）定义：在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴的交点
坐标为 ，那么我们把经过点 且平行于 轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．
【特例感知】
(1)抛物线 的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______ ．
【深入探究】
(2)经过点 和 的抛物线 与 轴交于点 ，它的极限分割线与该抛
物线另一个交点为 ，请用含 的代数式表示点 的坐标．
【拓展运用】(3)在（2）的条件下，设抛物线 的顶点为 ，直线 垂直平分 ，垂足为 ，交该
抛物线的对称轴于点 ．
①当 时，求点 的坐标．
②若直线 与直线 关于极限分割线对称，是否存在使点 到直线 的距离与点 到直线 的距离
相等的 的值？若存在，直接写出 的值；若不存在，请说明理由．
32．（2023春·湖北武汉·九年级校考期中）如图，抛物线 与x轴于A，B两点，交y轴于点C，
．
(1)直线 过A，C两点，
①如图1，求抛物线的解析式；
②如图1，将直线 向右平移，A的对应点为B，且 ，以 为一边作等腰三角形 ，求N
的坐标；
(2)如图2，M为抛物线第一象限上任意一点，直线 交y轴于点H，若 ，求a的值．
33．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图1，一段高架桥的两墙A，B由抛物线一部分 连接，为确保
安全，在抛物线一部分 内修建了一个菱形支架 ，抛物线的最高点C到 的距离 米，
，点D，E在抛物线一部分 上，以 所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平
面直角坐标系 ，确定一个单位长度为1米．(1)求此抛物线对应的函数表达式．
(2)如图2，现在将菱形 做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形 广告牌，设边 长度为
m米，试求内接矩形 的面积S．（用含m的式子表示）；
(3)若已知矩形 广告牌的价格为80元/米2，广告牌其余部分的价格为160元/米2，试求完成菱形广告
牌所需的最低费用．
34．（2023·湖南长沙·校考二模）若三个非零实数 中有一个数的平方等于另外两个数的积，则称三个
实数 三构成“雅境三元数”．
(1)实数 可以构成“雅境三元数”吗？请说明理由；
(2)若M( ， )，M( ， )，M( ， )三点均在函数 （ 为常数且 ）的图象上且这三
1 2 3
点的纵坐标 ， ， 构成“雅境三元数”，求实数 的值；
(3)设非负实数 是“雅境三元数”且满足 ，其中 是关于 的一元二次方程
的两个根，若过点A 的二次函数 同时满足以下两个条件：①
；②当 时，函数 的最小值等于 ．求二次函数解析式．
35．（2023·浙江杭州·统考二模）在平面直角坐标系中，设二次函数 (a是常数)．
(1) 当 时，求函数图象的顶点坐标和对称轴．
(2)若函数图象经过点 ， ，求证： ．(3)已知函数图象经过点 ， ，点 ，若对于任意的 都满足 ，
求a的取值范围．
【答案】(1)顶点坐标 ，对称轴为直线
(2)见解析
(3) 或
36．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线
与 轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与 轴交于点C，且 ．
(1)直接写出 的值；
(2)如图1，点 为第一象限的抛物线上一点，且满足 ，求点 的坐标；
(3)如图2，点 为第四象限的抛物线上一点，直线 交 轴于点 ，过点 作直线 ，交 轴于
点 ，当 点运动时，线段 的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围．
37．（2023·山东青岛·统考二模）如图1，在菱形 中， 、 交于点E， 厘米，点F在
上， 厘米．点P、Q分别从A、E两点同时出发，点P以k厘米/秒的速度沿 向点E匀速运动，
用时8秒到达点E；点Q以m厘米/秒的速度沿 向点E匀速运动，设运动的时间为x秒 ，
的面积为 平方厘米， 的面积为 平方厘米．(1)图2中的线段 是 与x的函数图象，则 与x的函数关系式为________，m的值为________；
(2)图2中的抛物线是 与x的函数图象，其顶点坐标是 ，求点P的速度及对角线 的长；
(3)在图2中，点G是x轴正半轴上一点（ ，过G作 垂直于x轴，分别交抛物线和线段 于
点M、N．
①直接写出线段 的长在图1中所表示的意义；
②当 时，求线段 长的最大值．
38．（2023·河北邯郸·校考模拟预测）如图是一动画的设计示意图，水面（ 轴）上小山的最高点为A，山
后由 ， ， 三部分组成，其中 ；水面下有两点 ，
从平台 上的点 （不与点 ， 重合）向右上沿 发射带光的点 （水的影响忽略
不计），设点 的横坐标为 ．
(1)若 上最高点的纵坐标为9，
①求 的解析式并求此时 的值；②判断点 能否越过点A？并说明理由．
(2)一个 形架： 轴（ 在 上方）， 为 的中点，点 在 上（不与端点重合），
设点 到 轴的距离为 ，若 的对称轴为直线 ，点 不能落在 上，
直接写出 的取值范围．
39．（2023·广西南宁·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于点
A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且 ．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点M是线段 下方抛物线上的一个动点（不与点B，点C重合），过点M作直线 轴于点
D，交线段 于点N．是否存在点M使得线段 的长度最大，若存在，求线段 长度的最大值，若不
存在，请说明理由；
(3)当二次函数 的自变量x满足 时，此函数的最大值与最小值的差为2，求出t的
值．
40．（2023·河北石家庄·校考一模）如图，已知抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点
B的左侧），与y轴交于点M．
(1)若该抛物线过点
①求该抛物线的表达式，并求出此时A、B两点坐标；②将该抛物线进行平移，平移后的抛物线对应的函数为 ，A点的对应点为 ，求点 移动
的最短距离；
(2)点M关于 的对称轴的对称点坐标为______（用含n的代数式表示）；
(3)将抛物线 上 的一段图像记作C，若C与直线 有唯一公共点，直接写
出n的取值范围______．
