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期末考试点对点压轴题训练（四）（B卷25题）
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 交x轴于点A，交y轴于点B．以AB为边作 ，
点D在x轴正半轴，且 ．
(1)求点C，D的坐标；
(2)点P是x轴上一点，点Q是直线CD上一点，连接BP，BQ，PQ，若 是以BQ为斜边的等腰直角
三角形，求点P的坐标；
(3)已知直线 ，当 时，对x的每一个值都有 ，请直接写出a的取值范围．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3)
【分析】（1）根据直线 交x轴于点A，交y轴于点B，先求出点A和点B的坐标，再结合
求出 ，得到点D的坐标，最后利用平行四边形的性质求出点C的坐标；
（2）根据 ， 求出直线CD的解析式，设 ，分两种情况：点P在x轴正半轴和x轴负
半轴来求解；
（3）先将两条直线组成方程组得到 ，分两种情况进行求解．【解析】（1）解：∵直线 交x轴于点A，交y轴于点B，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
∴ ， ，∴ ．
又∵ ，∴ ，∴ ，∴
在 中， ， ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
设直线CD的解析式为 ，
则 ，解得 ，∴ ，
设 ，情况一：如图所示：
，
∴ ， ，
∴ ；
情况二：如图所示：∴ ， ，∴ ；
（3）解：由直线 与直线 得 ，
∴ ，∴ ，
当 时，方程组无解，两直线平行，此时总有 ，
当 时， ，∵直线 经过 ，
∴当 时，对于x的每一个值，都有 ，即是 ，
∴若 时，即 ，则 ，∴ ；
若 ，则 ，∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查了一次函数综合知识，涉及待定系数法、一次函数与一次不等式的关系，等腰直角三形，
平行四边形的性质，数形结合是解题的关键．
2．在平面直角坐标系中,直线l:y＝2x＋3与过点B（6,0）的直线l 交于点C（1,m）,与x轴交于点A,与y轴
1 2
交于点E,直线l 与y轴交于点D．
2
（1）求直线的函数解析式;
（2）如图1,点F在直线l 位于第二象限的图象上,使得 ,求点F的坐标．
2
（3）如图2,在线段BC存在点M,使得△CEM是以CM为腰的等腰三角形,求M点坐标．【答案】（1）y=-x+6;（2）F（-2,8）;（3） 或
【分析】（1）将C（1,m）代入y =2x+ 3得,C（1,5）,用待定系数法求直线l 的函数解析式;
2
（2）设F（n,-n+6）,用n表示出 , ,根据条件列方程即可求出;
（3）根据△CEM是以CM为腰的等腰三角形,分CM= CE和сM=EM,设M（a,-a+6）,表示出CM2,CE2,EM2,
分别列方程求解,即可得出答案．
【详解】解:（1）将C（1,m）代入y =2x+ 3,解得m=5,
∴点C的坐标为 ,
设直线的函数解析式为:y=kx+b ,把点B（6,0）, 代入得:
,
解得: ,
∴直线的函数解析式为:y=-x+6;
（2）∵点F在直线l 位于第二象限的图象上,
2
∴设点F的坐标为F（n,-n+6）,其中n<0,
∵直线l 与y轴交于点E,直线l 与y轴交于点D,
1 2
∴可求得点D,E的坐标为D（0,6）,E（0,3）
∵点B的坐标为B（6,0）,
∴DE=3,OE=3,
∵ ,∴ ,解得:n=-2,
∴点F的坐标为F（-2,8）,
（3）∵在线段BC存在点M,可设点M的坐标为M（a,-a+6）,其中a>0,
则 ,
,
∵△CEM是以CM为腰的等腰三角形,
∴有CM=CE或CM=EM,
当CM=CE时,有 ,
即 ,解得: , （舍去）,
∴M点坐标为
当CM=EM时,有
即 ,解得: ,
∴M点坐标为
综上所述:M点坐标为 或 ．
【点睛】本题是一次函数综合题,主要考查了待定系数法求函数解析式､用坐标表示三角形面积的表示等知
识,用方程思想,数形结合思想是解题的关键．
3．菱形 在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线 与 的交点 恰好在 轴上，过点 和
的中点 的直线交 于点 ，线段 ， 的长是方程 的两根，请解答下列问题：（1）求点 的坐标；
（2）点 在直线 上，在直线 上是否存在点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边
形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在，点 的坐标为： 或 或
【分析】（1）先解方程可得CD和DE的长，根据直角三角形的性质可得∠DCA＝30°，分别计算AC、
BD、DM的长，根据菱形面积的两种计算方法可得高OM的长，得D的坐标；
（2）分三种情况：①以CF为边时，在CF的上方，②以CF为边，在CF的下方，③以CF为对角线时，
分别根据平移规律求点P的坐标
【详解】（1） ， ， 或6，
∵ ，∴ ， ，∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ， ， 中， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ；
（2）①∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∵ 是 的中点，∴∴当 与 重合时，如图1，四边形 是平行四边形，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
中， ， ，
∴ ，∴ ；
②如图2，∵四边形 是平行四边形，
∴ ，由①知： ，∴ ， 中， ， ，
∴ ，
∴ ，连接 ，∵ ， ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，由①知： ，由 到 的平移规律可得 到 的平移规律，则 ，即 ；
③如图3，四边形 是平行四边形，
同理知： ， ， ，∴ ；
综上所述，点 的坐标为： 或 或 ．
【点睛】本题是四边形和函数的综合题，考查了菱形的性质、坐标与图形特点、平移规律、等边三边形的
判定和性质、平行四边形的判定等知识，本题有难度，综合性强，特别是（2）中，需要进行分类讨论，
通过求Q的坐标来求P的坐标，根据平移规律得出结果．
4．平面直角坐标系 中，直线 ： 分别与 轴， 轴交于点 ， ，点 在直线 上，且点 的
横坐标为3，直线 ： 经过点 ， 两点，与 轴交于点 ．
(1)求直线 的函数表达式；(2)如图 ，点 在 轴下方的直线 上，连接 ，若 的面积等于 的面积，求点 的坐标；
(3)如图 ，点 在直线 上，连接 ，将线段 绕点 顺时针方向旋转 至 ，连接 ，若
，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】 利用 ， 两点坐标代入 ，解方程组即可解决问题．
设 ，根据 ，解方程即可．
过点 作 轴的平行线，分别过 、 作该平行线的垂线，垂足分别为 、 ，证明 ≌
，可得 ， ，设 ，可得 ，求出 ， ，
由 得 ，则 ， 可得 ， ，根据勾股定理的逆定
理得 ，则 ，即可得 ．
（1）解： 直线 ： 分别与 轴， 轴交于点 ， ， ， ， 点 在直线 上，
且点 的横坐标为 ． ， 直线 ： 经过点 ， 两点，则 ，解得 ，
直线 的解析式为 ．
（2）∵直线 的解析式为 ， ， ， ， ，设
， ， ，解得 ， 点 的坐标为 ．
（3）如图，过点 作 轴的平行线，分别过 、 作该平行线的垂线，垂足分别为 、 ，
， ， ， ，
， ， ≌ ， ， ，设 ，
， ， ， ， ， ，
， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、全等三角形的判
定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属
于中考压轴题．
5．直线 ： 分别与 ， 轴交于点 ， ，线段 中点 ．(1)求 ， 的值；
(2)在 轴负半轴上有一点 ，连接 交 轴于点 ，若 ，求点 坐标；
(3)在（2）条件下， 轴上一动点 由点 出发至点 ，同时 轴上另一动点 由点 出发至点 ，两动
点均以每秒 个单位长的速度运动，设运动时间为 ，若某一动点到达终点，则另一动点同时停止运动，连
接 ，求线段 中点 的运动路程．
【答案】(1) 的值为 ， 的值是
(2)
(3)
【分析】（1）由 得 ， ，而线段 中点 ，有 ，可解得
的值为 ， 的值是 ；
（2）连接 ，根据 ， 为 的中点， ，可得 ，知 ，用待
定系数法可得直线 解析式为 ，即可得 ；
（3）根据题意得 ， ， ，因 为 的中点， ， ，得
，从而知 是直线 上的点，当 时， ， ，当 时， ，， 的路程是以 ， 为端点的线段的长，故 的路程为 ．
（1）
解：在 中，令 得 ，令 得 ，
， ，
线段 中点 ，
，
解得 ，
答： 的值为 ， 的值是 ；
（2）
解：连接 ，如图：
， 为 的中点，
，
，
，
，
，
，，
由 知 ，
，
，
设直线 解析式为 ，将 代入得：
，
解得 ，
直线 解析式为 ，
令 的 ，
；
（3）
解：根据题意知， ，
，
， ，
当 与 重合时， ，
，
，
为 的中点， ， ，
，
设 ， ，则 ，
即 是直线 上的点，
当 时， ， ，当 时， ， ，
的路程是以 ， 为端点的线段的长，
的路程为 ．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及线段中点坐标公式，等腰三角形判定与性质，待定系数法等
知识，解题的关键是求出点 是直线 上的点．
6．在学习一元一次不等式与一次函数的过程中，小新在同一个坐标系中发现直线 与坐标轴相
交于A，B两点，直线 与坐标轴相交于C，D两点，两直线相交于点E，且点E的横坐
标为2．已知 ，点P是直线 上的动点．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)过点P作x轴的垂线与直线 和x轴分别相交于M，N两点，当点N是线段PM的三等分点时，求P点的
坐标；
(3)若点Q是x轴上的动点，是否存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有
满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2) ， 或
(3) 或 或 ，
【分析】（1）先求出点 的坐标，再待定系数法求解析式即可；
（2）设点 的坐标为 ，则点 ， ，分情况讨论：当点 在点 的左侧时，当点
在点 的右侧时，分别列方程求解即可；
（3）设点 ， ，分情况讨论：①以 ， 为对角线时，②以 ， 为对角线时，
③以 ， 为对角线时，分别列二元一次方程组，求解即可．
（1）
解：将点 的横坐标2代入直线 ，
得 ，
点 ，
，
， ，
将点 和点 坐标代入直线 ，
得 ，
解得 ，
直线 ；
（2）
设点 的坐标为 ，
则点 ， ，
当点 在点 的左侧时，如图所示：则 ， ，
点 是线段 的三等分点，
或 ，
当 时， ，
解得 ，
， ，
当 时， ，
解得 （舍 ，
当点 在点 右侧时，如图所示：
， ，
点 是线段 的三等分点，或 ，
当 时， ，
解得 （舍 ，
当 时，
，
解得 ，
，
综上，点 的坐标为 ， 或 ；
（3）
存在以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，
设点 ， ，
， ，
①以 ， 为对角线时，
得 ，
解得 ，
点 ，
②以 ， 为对角线时，
得 ，
解得 ，
；
③以 ， 为对角线时，得 ，
解得 ，
， ，
综上，点 坐标为 或 或 ， ．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，线段的三等分点，平行四边形的判
定等，本题综合性较强，注意分情况讨论是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中直线l： 与直线l 交于点A（﹣2，3），直线l 与x轴交于点C
1 2 2
（4，0），与y轴交于点B，过BD中点E作直线l⊥y轴．
3
(1)求直线l 的解析式和m的值；
2
(2)点P在直线l 上，当S PBC＝6时，求点P坐标；
1
△
(3)点P是直线l 上一动点，点Q是直线l 上一动点，当以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，
1 3
求Q点坐标．
【答案】(1)y= x+2；m=6；
(2)P点坐标为（ ， ）或（ ， ）；(3)Q点坐标为（ ，4）或（ ，4）或（4，4）
【分析】（1）由待定系数法求直线的解析式即可；
（2）分点P在线段FA上和在线段DA上时，两种情况讨论，利用分割法和三角形面积公式列方程，再分
别求P点坐标即可；
（3）设P（t， t+6），Q（m，4），再分三种情况讨论：①当PQ为平行四边形的对角线时；②当PB为
平行四边形对角线时；③当PC为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质求解即
可．
【详解】（1）解：∵A（-2，3）在y= x+m上，
∴-3+m=3，∴m=6，∴y= x+6，
设直线l 的解析式为y=kx+b，∴ ，解得 ，
2
∴直线l 的解析式为y= x+2；
2
（2）解：由（1）可得B（0，2），D（0，6），F（-4，0），
∵C（4，0），
∴S DBC= ×4×4=8>6，S FBC= ×8×2=8>6，
△ △
∴点P一定在线段FD上，
当点P在线段FA上时，连接PO，设点P的坐标为（a， a+6），S PBC=S POB+S COB-S POC= ×2 + ×2×4- ×4× =6，
△ △ △ △
整理得 =- a-1，
即 =- a-1或 = a+1，
解得：a=- 或a=-5(舍去)，
∴点P的坐标为（- ， ）；
当点P在线段DA上时，连接PO，设点P的坐标为（a， a+6），
S PBC= S POC -S POB-S COB= ×4× - ×2 - ×2×4=6，
△ △ △ △
整理得 =5- a，即 =5- a或 = a-5，
解得：a=- 或a=-11(舍去)，
∴点P的坐标为（- ， ）；
综上所述：P点坐标为（- ， ）或（- ， ）；
（3）解：由（1）可得B（0，2），D（0，6），
∴E（0，4），
∴直线l 的解析式为y=4，
3
设P（t， t+6），Q（m，4），
①当PQ为平行四边形的对角线时，
，解得 ，∴Q（ ，4）；
②当PB为平行四边形对角线时，
，解得 ，∴Q（- ，4）；
③当PC为平行四边形的对角线时，
，解得 ，∴Q（4，4）；
综上所述：Q点坐标为（ ，4）或（- ，4）或（4，4）．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质、平行四边形的性质、坐标与图形，熟练掌握一次函数的图象及
性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 交于点 ，直线m、n
分别与x轴交于点B、C．(1)求 ；
(2)若线段AC上存在一点P，使得 ，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点Q，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)（-2，2）
(3)（3，-3），（5，3），（-7，7）
【分析】（1）待定系数法求出直线m和直线n的函数解析式，求出B和点C坐标，进一步即可求出 ABC
的面积； △
（2）根据 ABP的面积，可得 BCP的面积，设点P（p，3p+8），根据 BCP的面积列方程，求解即可；
（3）根据△平行四边形的判定以△及平移的性质求解即可． △
【详解】（1）解：将点 代入直线 ，
得 ，解得 ，
直线 ，
将点 代入直线 ，
得 ，
解得 ，
直线 ，
当 时， ，
点 坐标为 ，当 时， ，
点 坐标为 ， ，
，
的面积为 ；
（2） ，
的面积 ，
点 在线段 上，如图所示：
设点 ，
的面积 ，
，
点 的坐标为 ；
（3） ， ， ，
设点 ，
以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论：
①以 ， 为边，
此时 ，且 ，
则点 ，
②以 ， 为边，此时 ，且 ，
则点 ，
③以 ， 为边，
此时 ，且 ，
则点 ，
综上，以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，点 的坐标为 ， ， ．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，三角形的面积，动点问题，平行四
边形的判定等，本题综合性较强，难度较大．
9．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝ x+n分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（4，
0），点C为线段AB的中点．
（1）求点B的坐标；
（2）点P为直线AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线OC交于点Q，设点P的横坐标为m，
OPQ的面积为S，求S与m的函数解析式；
△（3）当点P在直线AB上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四
边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点B（0，3）；（2）S＝ m2﹣ m；（3）点N的坐标为（4，3）或（﹣ ， ）．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）S＝ PQ•|xP|，即可求解；
（3）分OB是矩形的边、OB是矩形的对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）将点A的坐标（4，0）代入y＝﹣ x+n
得0＝﹣ ×4+n
解得：n＝3，故直线的表达式为：y＝﹣ x+3，
令x＝0，则y＝3，故点B（0，3）；
（2）点C为线段AB的中点，
则由中点公式得，点C（2， ），则直线OC的表达式为：y＝ x，
设点P（m，﹣ m+3），则点Q（m， m），
当点P在y轴右侧时，
S＝ PQ•|x|＝ （ m+ m﹣3）•m＝ m2﹣ m；
当点P在y轴左侧时，
同理可得：S＝ m2﹣ m；
故S＝ m2﹣ m；
（3）设P（m，﹣ m+3），点N（s，t），而点O、B的坐标分别为（0，0）、（0，3）；
①当OB是矩形的边时，则点P与点A重合，故点P（4，0），故点N（4，3）；
②当OB是矩形的对角线时，
由中点公式得：m+s＝0且﹣ m+3+t＝3+0①，
由矩形的对角线相等得：OB＝PN，即（m﹣s）2+（﹣ m+3﹣t）2＝32②，
联立①②并解得： ，故点N（﹣ ， ）；
综上，点N的坐标为（4，3）或（﹣ ， ）．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、矩形的性质、面积的计算等，其中
（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．
10．如图1，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 与直线 交于点，直线 与 轴交于点 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）如图2，点 在线段 上，连接 ，过点 的直线交 轴负半轴于点 交 轴正半
轴于点 ，请问： 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
（3）当点 在直线 上运动时，平面内是否存在一点 ，使得以点 为顶点的四边形是菱形？
若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=3x+6；（2）是定值， ；（3）存在，E（1，1）
【分析】（1）将交点 代入直线 ，求出点 的坐标，利用点 ， 的坐标，用待定系数法求出直
线 的解析式；
（2）把 和 看作是等高不等底的两个三角形，则 ，即可求出点 的坐标；由问题围
绕着 、 ，点 、 恰为直线 与坐标轴的交点，则借助函数解析式，即可得出 和 长度，
从而得 的值；
（3）点 在直线 上运动时，只有在 之间时，才能得到菱形 ，因而借助菱形四边相等的性质，
利用坐标求出边长 和 的长度，令其相等，即可求出点 的坐标．【详解】解：（1）由题可将点 代入直线 ，
得： ，
解得： ，
；
设直线 的解析式为： ，将点 ， 代入得，
，解得， ，
直线 的解析式为： ．
（2） 是定值．理由如下：
，
，
和 是等高不等底的三角形，
，
， ，
的横坐标为： ，纵坐标为： ，即 ， ；
设 的函数解析式为： ，将点 代入得， ，
，则 ，
，
令 ，得 ，则 ，．
（3）存在．
如图，设 上的点 ，则 ，
点 的坐标为 ，
四边形 为菱形，
，
， ，
， ，
，解得： ，
点 在第一象限，
，则 ，点 的坐标为 ．
【点睛】本题中，（1）考查了待定系数法的应用，较简单；（2）考查了函数解析式与坐标轴交点的坐标
特点，体现数学的转化思想，本问关键在于从面积比入手，转化成线段比，从而得出 与 的长度；
（3）考查了菱形的性质、在平面直角坐标系中求线段的长度等，体现了数形结合思想，考查了几何与代
数的综合运用．
11．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），将x轴绕点A顺时针旋转60°交y轴于点B，再将点
B绕点A顺时针旋转90°得到点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点Q为平面直角坐标系中一点，且满足四边形ABCQ为平行四边形，求点Q的坐标；
（3）在直线BC和y轴上，是否分别存在点M和点N，使得以点M，N，A，C为顶点的四边形为平行四边
形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2） ， ；（3） ， 或 ， 或 ，
【分析】（1）由旋转可知 ， ， ， ，过 点作 轴于
点，求出 ， ，再由待定系数法求直线 的解析式 ；
（2）设 ，已知可知 、 为平行四边形的对角线，根据中点坐标公式可求 ， ；
（3）设 ， ， ，分三种情况讨论：①当 、 为平行四边形的对角线时，
， ；②当 、 为平行四边形的对角线时， ， ；③当 、 为平行四边形的对角线时， ， ．
【详解】解：（1） 轴绕点 顺时针旋转 交 轴于点 ，
，
点 ，
，
， ，
，
点 绕点 顺时针旋转 得到点 ，
， ，
过 点作 轴于 点，
，
， ，
， ，
设直线 的解析式为 ，
则有 ，
解得 ，
；
（2）设 ，四边形 为平行四边形，
、 为平行四边形的对角线，
的中点 ， ， 的中点 ， ，
， ，
， ，
， ；
（3） 在直线 上， 在 轴上，
设 ， ， ，
①当 、 为平行四边形的对角线时，
中点的横坐标为 ， 中点的横坐标为 ， ，
， ， ；
②当 、 为平行四边形的对角线时，
中点的横坐标为 ， 中点的横坐标为 ，
， ， ， ；
③当 、 为平行四边形的对角线时，
中点的横坐标为 ， 中点的横坐标为 ，
， ， ， ；
综上所述：点 的坐标为 ， 或 ， 或 ， ．
【点睛】本题考查一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法、灵活应用平行四边形的性
质、并能根据对角线的情况分类讨论是解题的关键．
12．如图1，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过点C的直线y＝mx＋n（m，n为常
2
数）与x轴交于点B，且OB∶OA＝1∶3．(1)求直线y 的函数表达式；
2
(2)点P是直线y 上一动点，当S PAC＝2S ABC时，求点P的坐标；
2
△ △
(3)如图2，在平面内有一点M（﹣8，2），连接CM交x轴于点N，连接AM，在平面内是否存在点Q，使
得∠ACQ＝∠MAN＋∠ACN，且AQ＝AC，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或
(3)存在， 或
【分析】（1）先求出点C，点B的坐标，代入解析式即可解答；
（2）先求出 的面积，再由三角形的面积公式解答；
（3）先求出∠ACQ=45°，由SAS可证明 ，可得 ，QN=AO=12，即可求
解．
（1）
解： 直线 与x轴交于点A，与y轴交于点C，（2）
设
或
（3）
如图，延长AM交y轴于H，
直线AM的解析式为
当x=0时，y=6，直线MC的解析式为
当y=0时，x=-6
如图，当点Q在AC上方时，连接QN，
当点 在AC下方时，
点A是 的中点，综上所述，点Q的坐标为： 或 ．
【点睛】本题考查一次函数综合题，涉及待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质、三角形的面积
公式、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA，OC的长是方程
的两个根 ，点B是y轴上一动点，以AC为对角线作平行四边形ABCD．
(1)求直线AC的函数解析式；
(2)设点 ，记平行四边形ABCD的面积为S，求S与m的函数关系式，并直接写出当BD取最小值时
S的值；
(3)当点B在y轴上运动，在使得平行四边形ABCD是菱形的同时，在x轴取一点P，使得 是等腰三角
形，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)6
(3)点P的坐标为 或 或（3，0）或
【分析】（1）先解一元二次方程，求出点A（-3，0），点C（0，4），然后利用待定系数法求AC解析式
即可；
（2）过B作BF⊥AD于F，根据两点距离公式先求 ，然后利用平行四边形面积公式可得，根据垂线段最短，得出BD≥BF，当D与点F重合时，BD最短，利用BE∥OA，截线
段成比例求出CB=OB= 即可；
（3）当点B在y轴上运动，在使得平行四边形ABCD是菱形，根据勾股定理列方程求出 ，根据两点
距离公式求出AB= ，根据 ABP为等腰三角形分类，以点A为圆心，AB长
△
为半径画弧的P，P，以点B为圆心AB长为半径画弧得出P，AB的垂直平分线以x轴交于P,利用线段和
1 2 3 4
差，勾股定理求解即可
∴点P的坐标为 或 或（3，0）或 ．
【解析】（1）解：OA，OC的长是方程 的两个根，
∴因式分解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴OA=3，OC=4，
∴点A（-3，0），点C（0，4），
设直线AC的解析式为 ．
将点 ， 代入函数 中，得 ，
解得 ，
∴直线AC的解析式为 ；
（2）解：过B作BF⊥AD于F，∵点 ，四边形ABCD是以AC为对角线的平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵BF⊥AD，
∴BD≥BF，
当D与点F重合时，BD最短，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE=CE，
∵BE在BF上，
BE∥OA，
∴ ，
∴CB=OB= ，
∴S=3×2=6，
∴当BD取得最小值时，s的值为6；
（3）解：当点B在y轴上运动，在使得平行四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，
∴AB= ，BC=|4-m|，∴ ，∴ ，解得 ，
∴AB= ，
∵点P在x轴上，△PAB为等腰三角形，
点P在点A的左侧，PA=AB= ，OP=PA+OA= ，点P（ ，0），
点P在点A右侧，PA=AB= ，OP=AB-OA= ，点P（ ，0），
点P在点A右侧，PB=AB= ，BO⊥AP，
∴OA=OP=3，点P（3，0），
当点P在AB的垂直平分线上时，AP=BP，
根据勾股定理 ，
即 ，解得OP= ，
∴点P的坐标为 或 或（3，0）或
【点睛】本题考查解一元二次方程，勾股定理，垂线段最短，平行四边形的性质，平行线截线段成比例，
菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握解一元二次方程方法，勾股定理，垂线段最短，平行四边形的性质，
平行线截线段成比例，菱形的性质，等腰三角形的性质是解题关键．
14．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x＋b(b>0)分别与x，y轴相交于A，B两点，将线段AB绕点A顺
时针旋转90°得到线段AC．(1)若b＝6，连接BC交x轴于点D．
①求点C的坐标；
②点E在直线AC上，点F在x轴上，若以B，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；
(2)P为x轴上的动点，连接PB，PC，当 的值最大时，点A到直线PC的距离为6，求此时直线
PC的函数表达式．
【答案】(1)① ；②(-17，0)或(13，0)
(2)
【分析】（1）①由题意可知直线AB的解析式为y＝3x＋6．从而可确定A(-2，0)，B(0，6)，即得出
OA=2，OB=6．过点C作 轴于点H．由旋转的性质结合题意利用“AAS”易证 ，即得出
， ，从而可求出 ，即C(4，-2)；②根据题意可求出直线AC的解析式为
，直线BC的解析式为 ，从而得出D(3，0)．设E(a， )，再分类讨论：ⅰ当
点E在x轴上方时，根据平行四边形的性质即得出 ，即 ，求出a，即可求出F点坐标；
ⅱ当点E在x轴下方时，过点E作 轴于点G．由作图可知 ，再根据平行四边形的性
质，即可利用“AAS”证明 ，得出EG=BO=6，从而得出 ，即 ，求出a，即可求出F点坐标；
（2）作点B关于x轴的对称点 ．连接 、 ，延长 交x轴于点 ．由题意可知B(0，b)，A(
，0)，C( ， )．由所作辅助线可知 ， ， (0，-b)．根据三角形三边关系可知
，即得出 ，即当点P与点 重合时， 最大．
利用待定系数法可求出直线 的解析式为y=x-b．即得出 (b，0)，从而可得出 ，进而得出
， ．最后由 结合等腰直角三角形的性质和勾股定理可列出关于b的等式，解
出b即得出答案．
（1）
①∵b＝6，
∴直线AB的解析式为y＝3x＋6．
∴A(-2，0)，B(0，6)，
∴OA=2，OB=6．
如图，过点C作 轴于点H．
∵ ， ,
∴ ．
由旋转可知AC=AB，
又∵ ，
∴ (AAS)，∴ ， ，
∴ ，
∴C(4，-2)；
②设直线AC的解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线AC的解析式为 ．
同理可得：直线BC的解析式为 ，
∴D(3，0)．
∴可设E(a， )，
分类讨论：ⅰ当点E在x轴上方时，如图，
∵四边形BDFE为平行四边形，
∴ 轴，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴E(-20，6)，
∴F(-17，0)；
ⅱ当点E在x轴下方时，如图，过点E作 轴于点G．由作图可知 ．
∵四边形BDFE为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ (AAS)，∴EG=BO=6，
∴ ，即 ，解得： ，
∴E(16，-6)，∴F(13，0)；
综上可知：点F的坐标为(-17，0)或(13，0)；
（2）如图，作点B关于x轴的对称点 ．连接 、 ，延长 交x轴于点 ．由题意可知B(0，b)，A( ，0)，
由（1）得C( ， )．
由所作辅助线可知 ， ， (0，-b)．
∵ ，∴ ，
∴当点P与点 重合时， 最大．
设直线 的解析式为y=mx+n，∴ ，解得：
∴直线 的解析式为y=x-b．
∴ (b，0)．∴ ，
∴ ， ．
∵点A到直线PC的距离为6，即 ，
∴ ，解得： ，
∴直线PC的函数表达式为 ．
【点睛】本题考查一次函数与几何的综合，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，
三角形三边关系的应用，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性强，为困难题型．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
15．在平面直角坐标系中，点A坐标为（0，4），点B坐标为（﹣3，0），连接AB，过点A作AC⊥AB交
x轴于点C，点E是线段AO上的一动点．
（1）如图1，当AE＝3OE时，
①求直线BE的函数表达式；
②设直线BE与直线AC交于点D，连接OD，点P是直线AC上的一动点（不与A，C，D重合），当
S BOD＝S PDB时，求点P的坐标；
△ △
（2）如图2，设直线BE与直线AC的交点F，在平面内是否存在点M使以点A，E，F，M为顶点的四边
形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请简述理由．
【答案】（1）①直线BE的解析式为 ；②点P坐标为（ ， ）或（ ， ）；（2）存在，
点M坐标为（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）．
【分析】（1）①先求得点E坐标为（0，1），利用待定系数法即可求解；
②过点P作PG⊥ 轴交直线BD于点G，利用勾股定理及三角形面积公式求得点C坐标为（ ，0），利
用待定系数法求得直线AC的解析式以及点D坐标，设点P坐标为（ ， ），则点G坐标为（ ，
），利用三角形面积公式即可求解；
（2）分AM为对角线、EM为对角线、FM为对角线三种情况讨论，求解即可．
【详解】解：（1）∵点A坐标为（0，4），点B坐标为（﹣3，0），
∴OA=4，
∵AE=3OE，
∴OE=1，∴点E坐标为（0，1），
①设直线BE的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线BE的解析式为 ；
②过点P作PG⊥ 轴交直线BD于点G，
∵点A坐标为（0，4），点B坐标为（﹣3，0），
∴OA=4，OB=3，
∴AB= ，
∵AC⊥AB，AO⊥BC，
由勾股定理得： ，
∴ ，
解得：OC= ，
∴点C坐标为（ ，0），
设直线AC的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，∴直线AC的解析式为 ，
解方程 ，得 ，
，
∴点D坐标为（ ， ），
设点P坐标为（ ， ），则点G坐标为（ ， ），
∴PG= ，
∵S BOD＝S PDB，
△ △
∴ ，
即 ，整理得
解得： 或 ；
当 时， ；当 时， ；
∴点P坐标为（ ， ）或（ ， ）；
（2）存在，
当AM为对角线时，
∵四边形AEMF是菱形，
∴AE=AF= ME=MF，则∠AEF=∠AFE，
∵∠ABF+∠AFE=90°，∠EBO+∠BEO=90°，∠AEF=∠BEO，
∴∠ABF=∠EBO，
过点F作FH⊥ 轴于点H，则AF= FH，
∴点H与点M重合，
∴BM=BA=5，则OM=2，
∴点M坐标为（ ， ）；
当EM为对角线时，
∵四边形AEFM是菱形，
∴AE=EF= FM=AM，则∠EAF=∠AFE，
∵∠ABF+∠AFE=90°，∠BAE+∠EAF=90°，
∴∠ABF=∠BAE，
∴BE=EA，
设BE=EA=x，
在Rt BEO中，EO=4-x，BO=3，
△
∴ ，
解得： ，
即BE=EA=EF=FM= ，
延长MF交 轴于点I，则OE∥FI，即OE是 BFI的中位线，
△
∴FI=2EO=2(4- )= ，OI=OB=3，
∴MI=
∴点M坐标为（ ， ）；
当FM为对角线时，∵四边形AFEM是菱形，
∴MF是线段 AE的垂直平分线，AF=EF= EM=AM，MF∥BC，
∴∠AFM=∠EFM，∠AFM=∠ACB，∠MFE=∠FBC，
∴∠FBC=∠FCB，
过点F作FJ⊥ 轴于点J，
∴BJ=JC，
∵BC= ，
∴OJ= ，即点F的横坐标为 ，
∴ ，∴点F的坐标为（ ， ），
根据对称性，点M坐标为（ ， ）；
综上，点M坐标为（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形中位
线定理，勾股定理等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
