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第 2 章相交线与平行线（易错 30 题专练）
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•锡山区期末）若∠1与∠2互余，∠1与∠3互补，则∠2与∠3的关系是（ ）
A．∠2＝∠3 B．∠3﹣∠2＝90° C．∠2+∠3＝90° D．∠2+∠3＝180°
【分析】根据若两角的和为90°，则两角互余；若两角的和为180°，则两角互补，解答即可．
【解答】解：∵∠1和∠2互余，∠1与∠3互补，
∴∠1+∠2＝90°，∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝90°﹣∠2＝180°﹣∠3，
∴∠3﹣∠2＝90°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了互为余角互为补角的定义，若两角的和为90°，则两角互余；若两角
的和为180°，则两角互补．
2．（2021秋•崇川区期末）一个角的度数为54°12'，则这个角的补角度数等于（ ）
A．125°48' B．125°88' C．135°48' D．136°48'
【分析】根据“和为180°的两个角互为补角”，用180°﹣54°12'即可．
【解答】解：根据题意可知，这个角的补角为180°﹣54°12'＝125°48'．
故选：A．
【点评】本题主要考查补角的定义，度分秒的换算，关键是区分清楚余角和补角的定义．
“和为180°的两个角互为补角”，“和为90°的两个角互为余角”．
3．（2021秋•宜州区期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．由两条射线组成的图形叫做角
B．一个角的余角一定比这个角大
C．钝角没有余角只有补角
D．角平分线是一条直线
【分析】依据射线和直线的特点、角的定义和分类，补角的定义进行判断即可．
【解答】解：A．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故A错误；
B．如果这个角是45°，则它的余角与之相等，故B错误；
C．钝角没有余角只有补角，故C正确；
D．角平分线是一条射线，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是直线、射线的特点、角的定义和分类，补角和余角的定义，熟练
掌握相关知识是解题的关键．
4．（2021秋•金华期末）与25°角互余的角的度数是（ ）A．55° B．65° C．75° D．155°
【分析】根据两个角的和等于90°，这两个角互为余角，列式计算．
【解答】解：根据题意得：90°﹣25°＝65°，
故选：B．
【点评】本题考查余角和补角，掌握余角定义的应用，根据题意列出算式是解题关键．
5．（2021秋•武城县期末）如图，点C，O，B在同一条直线上，∠AOB＝90°，∠AOE＝∠DOB，
下列结论：①∠EOD＝90°；②∠COE＝∠AOE；③∠AOE+∠DOC＝180°；④互余的角有
4对．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】结合图形，根据平角的定义、余角的性质和等量代换可以进行判断，注意运用角的
和差的运算．
【解答】解：如图，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD+∠BOD＝90°，∠AOC＝90°，
∴∠AOE+∠COE＝90°，
∵∠AOE＝∠DOB，
∴∠AOE+∠AOD＝90°，即∠EOD＝90°，故①正确；
∴∠COE＝∠AOD，故②错误，无法判断；
∵∠BOD+∠COD＝180°，
∴∠AOE+∠DOC＝180°；故③正确；
由上可知，∠AOE和∠COE，∠AOD互余，∠BOD和∠AOD，∠COE互余，故④正确，
∴①③④正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了余角的定义和补角的定义，解题的关键是熟悉如果两个角的和等于
90°（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互
为补角．
6．（2021秋•蚌埠期末）下列说法中正确的是（ ）
A．两点之间所有的连线中，直线最短B．射线AB和射线BA是同一条射线
C．一个角的余角一定比这个角大
D．一个锐角的补角比这个角的余角大90°
【分析】分别根据“线段最短”，“射线的定义”，“余角的定义”和“补角的定义”分别
判断即可．
【解答】解：A、两点之间所有的连线中，线段最短，原说法错误，故A不符合题意；
B、射线AB和射线BA，端点不同，不是是同一条射线，原说法错误，故B不符合题意；
C、45°的余角是45°，两个角一样大，原说法错误，故C不符合题意；
D、设这个角的余角为x°，则这个角为（90﹣x）°，这个角的补角为90°+x°，原说法正确，故
D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查线段最短，射线的定义，余角的定义和补角的定义，熟知相关定义是
解题基础．
7．（2021秋•诸暨市期末）一个角加上20°后，等于这个角的余角，则这个角的度数是（ ）
A．35° B．45° C．60° D．80°
【分析】设这个角为x度，根据题意列出方程，解出即可．
【解答】解：设这个角为x度，
根据题意得：x+20＝90﹣x，
解得x＝35，
∴这个角的度数是35°，
故选：A．
【点评】本题考查余角和补角，掌握余角定义的应用，根据题意列出方程是解题关键．
8．（2021秋•温州期末）小华准备从A地去往B地，打开导航，测距显示两地相距33.4km，但
导航提供的三条可选路线长却分别为56km，57km，58km（如图），能解释这一现象的数学知
识是（ ）
A．两点之间线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
【分析】根据线段的性质，可得答案．【解答】解：从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为33.4km，理由是两点之间线段最
短，
故选：A．
【点评】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键．
9．（2021秋•青田县期末）将一副尺子中的两个三角板按如图方式摆放，其中∠1＝∠2的有几
个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据三角板的度数为90°、30°、60°、45°，观察图形判断∠1与∠2的关系．
【解答】解：图一：∠1＝∠2＝135°；
图二：∠1＝∠2；
图三：∠1+∠2＝90°；
图四：∠1≠∠2；
故选：B．
【点评】本题考查余角和补角，掌握余角和补角定义的应用，明确三角板每一个角的度数是
解题关键．
10．（2021秋•宜兴市期末）若∠A＝53°18'，则∠A的补角的度数为（ ）
A．36°42' B．36°82' C．126°42' D．126°82'
【分析】根据两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，列式计算．
【解答】解：根据题意得：180°﹣53°18′＝126°42′，
故选：C．
【点评】本题考查余角和补角的定义及度分秒的换算，掌握在进行度、分、秒的运算时应注
意借位的方法，根据补角的定义列算式是解题关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋•隆回县期末）已知∠ ＝78°，则∠ 的补角为 10 2 o ．
【分析】根据“和为180°的两个角互为补角”，用180°﹣∠ 即可．
α α
【解答】解：∵∠ ＝78°，
α
∴180°﹣∠ ＝180°﹣78°＝102°，
α
∴∠A的补角为102°，
α
故答案为：102°．
【点评】本题主要考查补角的定义，关键是区分清楚余角和补角的定义．“和为180°的两个
角互为补角”，“和为90°的两个角互为余角”．
12．（2021秋•安庆期末）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD＝135°，
则∠BOC＝ 45 ° ．【分析】从图可以看出，∠BOC的度数正好是两直角相加减去∠AOD的度数，从而问题可解．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝135°，
∴∠BOC＝∠AOB+∠COD﹣∠AOD＝90°+90°﹣135°＝45°．
故∠BOC是45度．
故答案为：45°．
【点评】此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图
示，发现几个角之间的关系．
13．（2021秋•苍溪县期末）一个角的余角是36°18′，则这个角的补角是 126°1 8 ′ ．
【分析】设这个角的余角为x°，则这个角为（90﹣x）°，这个角的补角为（90+x）°，再把x
的值代入即可．
【解答】解：设这个角的余角为x°，则这个角为（90﹣x）°，这个角的补角为（90+x）°，
∴这个角的补角为：90°+36°18′＝126°18′．
故答案为：126°18′．
【点评】此题主要考查了余角和补角，关键是掌握余角：如果两个角的和等于90°（直角），
就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．补角：如果两个角的和等于180°
（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
14．（2021秋•无锡期末）已知∠ ＝96°24′，则∠ 的补角为 83°3 6 ′ ．
【分析】根据“和为180°的两个角互为补角”，用180°﹣∠ 即可．
α α
【解答】解：∵∠ ＝96°24′，
α
∴∠ 的补角为：180°﹣∠ ＝180°﹣96°24′＝83°36′，
α
故答案为：83°36′．
α α
【点评】本题主要考查补角的定义，度分秒的换算，关键是区分清楚余角和补角的定义．
“和为180°的两个角互为补角”，“和为90°的两个角互为余角”．
15．（2021秋•孝义市期末）已知∠A＝32°15′48″，则∠A余角的度数为 57°4 4 ′ 1 2 ′′ ．
（用度分秒形式表示）
【分析】根据“和为90°的两个角互为余角”，用90°﹣32°15′48″即可．
【解答】解：90°﹣32°15′48″＝57°44′12′′，
故答案为：57°44′12′′．
【点评】本题主要考查余角的定义，度分秒的换算，关键是区分清楚余角和补角的定义．
“和为180°的两个角互为补角”，“和为90°的两个角互为余角”．
16．（2021秋•八公山区期末）若∠ ＝48°36′，∠ 的补角是∠ 的2倍，则∠ ＝ 65°4 2 ′ ．
【分析】先根据补角的定义求出∠ 的补角，再除以2即可．
α α β β
【解答】解：由补角的定义可知，∠ 的补角为：180°﹣∠ ＝180°﹣48°36′＝131°24′，
α
α α∵∠ 的补角是∠ 的2倍，
α β
∴∠ ＝ ∠ ＝65°42′，
故答案为：65°42′．
β α
【点评】此题主要考查了补角，关键是掌握余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这
两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．补角：如果两个角的和等于180°（平
角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
17．（2021秋•闽侯县期末）若∠A＝100°，则∠A的补角的度数为 80 ° ．
【分析】根据两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，列出算式，计算即可．
【解答】解：根据题意得：180°﹣100°＝80°，
故答案为：80°．
【点评】本题考查余角和补角，掌握补角定义的应用，根据题意列出算式是解题关键．
18．（2021秋•武城县期末）若一个角比它的补角大36°，那么这个角的度数为 108 ° ．
【分析】设这个角为x°，则这个角的补角为（180﹣x）°，根据题意可得方程x﹣（180﹣x）
＝36，再解方程即可求解．
【解答】解：设这个角为x°，则这个角的补角为（180﹣x）°，
x﹣（180﹣x）＝36，
解得：x＝108．
故答案为：108°．
【点评】此题主要考查了余角和补角，关键是掌握余角：如果两个角的和等于90°（直角），
就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．补角：如果两个角的和等于180°
（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
19．（2021秋•江北区期末）一个角的度数为22°38′，则这个角的补角为 157°2 2 ′ ．
【分析】根据如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角列式，再把180°化
为179°60′进行计算．
【解答】解：根据题意得：180°﹣22°38′＝157°22′，
故答案为：157°22′．
【点评】本题考查补角定义和度分秒的换算，熟练掌握补角定义的应用，度分秒的换算是解
题的关键．
20．（2021秋•济南期末）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，若
∠AOC＝120°，则∠BOD等于 60 ° ．
【分析】根据直角三角板的特点列出式子计算即可．【解答】解：根据题意得：
∠BOD＝180°﹣120°
＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查了余角和补角，掌握余角和补角的定义，根据题意列出式子是解题关键．
三．解答题（共10小题）
21．（2021秋•浉河区期末）如图，∠AOC和∠BOD都是直角．
（1）判断∠COB与图中哪个角相等；
（2）若∠DOC＝70°，过点O作∠AOB的平分线OE，则∠AOE的度数为 55 ° ，并简单
写出求解过程．
【分析】（1）根据同角的余角相等求解即可；
（2）根据角平分线的定义以及角的和差关系求解即可．
【解答】解：（1）∠COB与图中的∠AOD相等，
∵∠AOC和∠BOD都是直角，
∴∠COB+∠DOC＝90°，∠AOD+∠DOC＝90°，
∴∠COB＝∠AOD；
（2）∠AOE的度数为55°，
∵∠BOD＝90°，∠DOC＝70°，
∴∠COB＝∠BOD﹣∠DOC＝20°，
又∵∠AOC＝90°，
∴∠AOB＝∠COB+∠AOC＝20°+90°＝110°，
∵OE平分∠AOB，
∴∠AOE＝ ∠AOB＝55°．
故答案为：55°．
【点评】此题考查了余角和补角以及角平分线定义，理清角的和差关系是解决问题的关键．
22．（2021秋•滦州市期末）如图1，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝75°．将
一个直角三角板DOE的直角顶点O放在直线AB上的点O处，边OD放在射线OB上．
（1）∠COE＝ 15 ° ；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O按逆时针方向转动，当射线OC恰好平分∠BOE时，
求∠COD的度数；
（3）如图3，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据图形得出∠COE＝∠DOE﹣∠BOC，代入求出即可；
（2）根据角平分线定义求出∠EOB＝2∠BOC＝150°，代入∠BOD＝∠BOE﹣∠DOE，求出
∠BOD，代入∠COD＝∠BOC﹣∠BOD求出即可；
（3）根据图形得出∠BOD+∠COD＝∠BOC＝75°，∠COE+∠COD＝∠DOE＝90°，相减即可
求出答案．
【解答】解（1）如图①，∠COE＝∠DOE﹣∠BOC＝90°﹣75°＝15°，
故答案为：15°；
（2）∵OC平分∠BOE，∠BOC＝75°，
∴∠EOC＝∠BOC＝75°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠COD＝∠DOE﹣∠EOC＝90°﹣75°＝15°．
（3）结论：∠EOC﹣∠BOD＝15°，
理由：
∵∠COE＝90°﹣∠COD，∠BOD＝75°﹣∠COD，
∴∠COE﹣∠BOD＝（90°﹣∠COD）﹣（ 75°﹣∠COD）＝15°．
【点评】本题考查了旋转的性质，角平分线定义，角的计算的应用，能根据图形求出各个角
的度数是解此题的关键．
23．（2021秋•闽侯县期末）直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC＝90°，∠1＝
42°，求∠2和∠3的度数．
【分析】先根据∠FOC＝90°，∠1＝42°，以及邻补角的定义可得∠2的度数，再根据邻补角
的定义，可得∠AOD的度数，最后根据角平分线的定义，可得∠3的度数．
【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，∠FOC＝90°，∠1＝42°，
∴∠2＝180°﹣∠FOC﹣∠1＝180°﹣90°﹣42°＝48°，
∴∠AOD＝180°﹣∠2＝180°﹣48°＝132°，
∵OE平分∠AOD，∴∠3＝ ∠AOD＝ ×132°＝66°．
【点评】本题考查了邻补角，角平分线．掌握角平分线的定义，以及邻补角的定义是解题的
关键．
24．（2021秋•覃塘区期末）如图，O是直线AB上一点，OC是任意一条射线，OD平分∠AOC，
OE平分∠BOC．
（1）∠BOC的补角为 ∠ AOC ；
（2）若∠BOC＝56°，求∠AOD的度数；
（3）∠COD与∠COE存在怎样的数量关系？请说明理由．
【分析】（1）根据∠BOC+∠AOC＝180°，判断∠BOC的补角；
（2）根据∠BOC+∠AOC＝180°，求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOD的
度数；
（3）根据∠BOC+∠AOC＝180°，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，这两个条件可推得
∠COD+∠COE＝90°．
【解答】解：（1）∵∠BOC+∠AOC＝180°，
∴∠BOC的补角为∠AOC；
（2）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠BOC＝56°，
∴∠AOC＝180°﹣56°＝124°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝ ∠AOC＝ ＝62°；
（3）∠COD+∠COE＝90°．
理由：∵∠AOC+∠BOC＝180°，
又∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COD＝ ∠AOC，∠COE＝ ，
∴∠COD+∠COE＝ ．
【点评】本题考查余角和补角、角平分线的定义，掌握余角和补角、角平分线的定义的应用，合理的推理过程是解题关键．
25．（2021秋•永春县期末）如图，已知AB∥CD，点E是直线AB、CD之间的任意一点．锐角
∠DCE和钝角∠ABE的平分线所在直线相交于点F．CD与FB交于点N．
（1）当∠ECD＝60°和∠ABE＝100°时，求∠F的度数；
（2）若BF∥CE，∠F＝ ，求∠ABE的度数（用含 的代数式表示）．
α α
【分析】（1）过点F作FH//CD，由角平分线的定义可得∠DCM＝∠ECM＝30°，∠ABN＝
∠EBN＝50°°，∠NCF＝30°，由平行的传递可得，FH∥AB，所以∠HFB＝∠ABN＝50°，
∠HFC＝∠FCN＝30°，则∠BFC＝20°．
（2）由BF∥CE，可得∠ECM＝∠BFM＝ ，所以∠DCE＝∠DNB＝2 ，因为AB∥CD所以
∠ABN＝∠BNC＝2 ，结合角平分线的性质可知，∠ABE＝4 ．
α α
【解答】解：如图，过点F作FH//CD，
α α
∵锐角∠DCE和钝角∠ABE的平分线所在直线相交于点F，∠ECD＝60°，∠ABE＝100°，
∴∠DCM＝∠ECM＝30°，∠ABN＝∠EBN＝50°°，
∴∠NCF＝30°，
∵AB∥CD，FH//CD，
∴FH∥AB，
∴∠HFB＝∠ABN＝50°，∠HFC＝∠FCN＝30°，
∴∠BFC＝20°．
（2）如图，
∵BF∥CE，
∴∠ECM＝∠BFM＝ ，
∴∠DCE＝∠DNB＝2 ，
α
∵AB∥CD
α
∴∠ABN＝∠BNC＝2 ，
α∴∠ABE＝4 ．
α
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
26．（2021秋•甘井子区期末）已知∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠BOC．
（1）如图，若∠AOC＝30°，则∠DOE的度数是 60 ° ；（直接写出答案）
（2）将（1）中的条件“∠AOC＝30°”改为“∠AOC是锐角”，猜想∠DOE与∠AOC的关
系，并说明理由；
（3）若∠AOC是钝角，请先画出图形，再探索∠DOE与∠AOC之间的数量关系（不用写探
索过程，将结论直接写在你画的图的下面）．
【分析】（1）根据余角的定义得到∠BOD＝∠AOC＝30°，得到∠BOC＝60°根据角平分线的
定义即可得到结论；
（2）根据余角的性质得到∠BOD＝∠AOC，根据角平分线的定义得到∠BOE＝ BOC＝
（90°﹣∠AOC），根据角的和差即可得到结论；
（3）根据余角的定义得到∠BOC＝∠AOC﹣90°，根据角平分线的定义得到∠COE＝
BOC＝ （∠AOC﹣90°），求得∠DOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣ （∠AOC﹣90°）＝135°﹣
AOC，同理得到∠D′OE＝90°+∠COE＝90°+ （∠AOC﹣90°）＝45°+ AOC．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOC＝∠BOD+∠BOC＝90°，
∴∠BOD＝∠AOC＝30°，
∵∠AOC＝30°，∠COD＝90°，
∴∠BOC＝60°∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝ BOC＝30°，
∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝60°；
故答案为：60°；
（2）∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOC＝∠BOD+∠BOC＝90°，
∴∠BOD＝∠AOC，
∵∠AOC＝30°，∠COD＝90°，
∴∠BOC＝∠COD﹣∠AOC＝90°﹣∠AOC，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝ BOC＝ （90°﹣∠AOC），
∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝∠AOC+ （90°﹣∠AOC）＝45° ∠AOC；
（3）如图，∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣90°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝ BOC＝ （∠AOC﹣90°），
∵∠DOC＝90°，
∴∠DOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣ （∠AOC﹣90°）＝135°﹣ AOC，
同理∠D′OE＝90°+∠COE＝90°+ （∠AOC﹣90°）＝45°+ AOC，
综上所述，∠DOE与∠AOC之间的数量关系为∠DOE＝135°﹣ AOC或∠D′OE＝45°+
AOC．
【点评】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，角的和差，熟练掌握余角的定义是解题的关键．
27．（2021秋•盘龙区期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠BOE＝90°，∠EOD＝
∠AOC，求∠BOC的度数．
【分析】根据∠BOE＝90°，∠EOD＝ ∠AOC，设出未知数，列出方程，解出x的值，进而
可得∠BOC的度数．
【解答】解：∵∠BOE＝90°，∠EOD＝ ∠AOC，
∴设∠AOC＝x°，则∠EOD＝ x°，
∴∠BOD＝∠AOC＝x°，
∴x+ x＝90，
解得：x＝60，
∴∠BOD＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠BOD＝180°﹣60°＝120°．
【点评】此题主要考查了对顶角以及邻补角，正确掌握对顶角的性质是解题的关键．
28．（2021秋•龙岩期末）如图，已知OE是∠AOC的平分线，OF是∠BOC的平分线．
（1）当∠AOB＝90°，∠BOC＝60°时，求∠EOF的度数；
（2）若∠AOB的度数为 ，∠BOC的度数为 ，请用 和 表示∠EOF的度数．
α β α β
【分析】（1）根据角的和差关系可得∠AOB的度数，由角平分线定义及角的和差关系可得答
案；
（2）根据角的和差关系可得∠AOB的度数，由角平分线定义及角的和差关系可得答案．
【解答】解：（1）设∠EOF＝x，∵∠BOC＝60°且OF是∠BOC的平分线，
∴∠BOF＝∠COF＝30°，
∴∠EOB＝x﹣30°，
又∵OE是∠AOC的平分线，
∴∠AOE＝∠EOC＝∠EOF+∠COF＝x+30°，
∴∠AOB＝∠AOE+∠EOB＝（x+30°）+（x﹣30°）＝2x＝90°，
解得 x＝45°．即∠EOF＝45°．
（2）设∠EOF＝y，
∵∠BOC＝ 且OF是∠BOC的平分线，
β
∴ ，
∴ ．
又∵OE是∠AOC的平分线，
∴ ，
∴ ，
解得 y＝ ．即∠EOF＝ ．
【点评】此题考查的是角的计算及角平分线的定义，掌握其定义是解决此题关键．
29．（2021秋•长沙期末）如图1，已知∠AOC＝140°，∠BOC的余角比它的补角的 少10°．
（1）求∠BOC的度数；
（2）如图1，当射线OP从OB处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，保持
射线OP始终在∠BOA的内部，当∠POC＝10°时，求旋转时间．
（3）如图2，若射线OD为∠AOC的平分线，当射线OP从OB处绕点O以4度/秒的速度逆
时针旋转，同时射线OT从射线OD处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当这两条射线重合
于射线OE处（OE在∠DOC的内部）时， ，求x的值．（注：本题中所涉
及的角都是小于180°的角）
【分析】（1）根据“∠BOC的余角比它的补角的 少10°”建立方程，求解即可．（2）根据射线OP的运动可知，需要分两种情况，和OC相遇前，和OC相遇后，分别列出方
程求解即可．
（3）当两射线重合时，可分别求出∠DOE，∠BOC，∠COE，根据给出的等式建立方程，求
解即可．
【解答】解：（1）根据题意可知，90°﹣∠BOC＝ （180°﹣∠BOC）﹣10°，
解得∠BOC＝20°；
（2）设旋转时间为t秒，
根据射线的运动可知，∠BOP＝4°t，
当OP到达OC前，∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝20°﹣4°t，
∴20°﹣4°t＝10°，解得t＝2.5；
当OP到达OC后，∠POC＝∠BOP﹣BOC＝4°t﹣20°，
∴4°t﹣20°＝10°，解得t＝7.5；
∴当∠POC＝10°时，旋转时间为2.5秒或7.5秒．
（3）∵∠AOC＝140°，OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD＝70°，
∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝90°，
设相遇时，旋转的时间为t秒，
根据射线的运动可知，∠BOP＝∠BOE＝4°t，∠TOD＝∠DOE＝x°t，
∴∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝4°t﹣20°，
∠DOE+∠BOC＝x°t+20°，
∠BOD＝4°t+x°t＝90°，
∴4°t﹣20°+x°t+20°＝90°，
∵ ，
∴（x°t+20°）：（4°t﹣20°）＝7：2，即[90°﹣（4°t﹣20°）]：（4°t﹣20°）＝7：2，
解得4°t﹣20°＝20°，即t＝10，
∴4°×10+10•x°＝90°，解得x＝5．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，角度的和差计算等知识，（3）中关键是找到等
量关系：∠DOE+∠BOC+∠COE＝90°．
30．（2021秋•沈河区期末）如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝
120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线
AB的下方．（1）将图①中的三角板绕点O逆时针方向旋转至图②，使一边OM在∠BOC的内部，恰好
平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）将图中的三角板绕点O逆时针方向旋转x°，旋转一周为止，在旋转的过程中，直线ON
恰好平分∠AOC，则x的值为 6 0 或 24 0 ；
（3）将图①中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图③的位置，使ON在∠AOC的内部，
则∠AOM与∠NOC之间的数量关系为 ∠ AOM ﹣∠ NOC ＝ 30 ° ．
【分析】（1）设ON的反向延长线为OD，由角平分线的性质和对顶角的性质可求得∠BON
＝∠AOD＝∠COD＝30°；
（2）由直线ON恰好平分锐角∠AOC可知旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC，由此可直
接解答；
（3）由∠MON＝90°，∠AOC＝60°，可知∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，最
后求得两角的差，从而可做出判断．
【解答】解：（1）直线ON平分∠AOC．
理由如下：
设ON的反向延长线为OD，
∵OM平分∠BOC，∠BOC＝120°，
∴∠MOC＝∠MOB＝ ∠BOC＝60°，
又∠MOD＝∠MON＝90°，
∴∠COD＝90°﹣∠MOC＝30°，
∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝60°，
∴∠COD＝ ∠AOC，
∴OD平分∠AOC，
即直线ON平分∠AOC，
（2）∵∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝60°．
∴∠BON＝∠COD＝30°．
即旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC．故答案为：60或240；
（3）∠AOM﹣∠NOC的差不变．
∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON．
∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．
∴∠AOM﹣∠NOC＝30°．
故答案为：∠AOM﹣∠NOC＝30°．
【点评】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义，用含∠AON的式子表示出∠AOM和
∠NOC的长是解题的关键．
