文档内容
专题突破卷 18 圆锥曲线中焦半径和焦点弦公式的应
用
题型一：圆锥曲线中焦半径的应用
1．已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，且 ，过点 作
轴于点 ，则（ ）
A． B．抛物线的准线为直线
C． D． 的面积为
【答案】AD
【分析】根据焦半径公式求得 判断A，进而利用抛物线方程求解准线及点的坐标判断
BC，利用三角形面积公式求解面积判断D.
【详解】抛物线 的准线为直线 ，设点 在第一象限，
过点 向准线作垂线垂足为 ，由抛物线的定义可知 ，解得 ，则抛物线的方程为 ，准线为直线 ，故A正确，B错误；
将 代入抛物线方程，解得 ，故C错误；
焦点 ，点 ，即 ，
所以 ，故D正确；
故选：AD．
2．已知抛物线 的焦点为 ，点 与点 关于原点对称，过点 的直线 与抛物
线 交于 两点（点 和点 在点 的两侧），则（ ）
A．若 为 的中线，则
B．若 为 的角平分线，则
C．存在直线 ，使得
D．对于任意直线 ，都有
【答案】BD
【分析】首先设直线 的方程，并联立抛物线，根据韦达定理，再根据各项描述，抛物线
的定义，即可判断选项.
【详解】设题意可得 ，则 ，设 ，不妨令 ， 都
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！在第一象限，
联立 ，则 ，且 ，即 ，
所以 ， ，则 ， ，如上图所示，
对于A：若 为 的中线，则 ，
所以 ，所以 ，故 ，
所以 ，则 ，则 ，故A错误；
对于B：若 为 的角平分线，则 ，
作 垂直准线 于 ，则 且 ，
所以 ，即 ，则 ，
将 代入整理，得 ，则 ，
所以 ，故B正确；
对于C：若 ，即 ，即 为等腰直角三角形，
此时 ，即 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，则此时 为同一点，不合题设，故C错
误；
对于D： ，而 ，
结合 ，可得 ，即 恒成立，故D正确.
故选：BD
3．已知抛物线Γ： 的焦点为F，P为Γ上一动点．过F且斜率大于0的直线与Γ交
于不同的两点A，B，且满足 ， ．则下列说法错误的是（ ）
A．直线AB的倾斜角大于60°
B．若 ，则
C．点P可能在第一象限
D．直线PB的横截距不可能是
【答案】AC
【分析】设直线 方程为 ， ，代入 找出 与 的关系
式 ，判断AC；根据抛物线的几何性质判断B；最后取 ，假设直
线 与抛物线Γ交于点 ，计算 判断D.
【详解】抛物线Γ： 的焦点为F(1,0)，
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！直线 过F且斜率大于0，设直线 方程为 ， ，
联立 ，化简得 ，
由韦达定理 ，
设 ， ，
，
代入韦达定理得 ，
又点 不在直线 上，则 ，即只有 ，
当 ，即 时，有实数解 ，
且存在点 ，
又 ，则点 在第四象限，故C错误.
设直线 的斜率为 ，则 ，直线 的倾斜角小于等于 ，故A错误.
若 ，则 ， ，
代入 ，解得 ，
，
所以 ，即 ，故B正确.
取 ，则直线 的直线方程为 ，联立 ，化简得 ，
方程其中一个根为点 纵坐标 ，则另一根为 ，
若另一根为点 纵坐标，则 ，此时 ，
代入方程 无解，所以 与 无法垂直，
则不存在这样过 的直线 ，即直线 的横截距不可能是 ，故D正确.
故选：AC.
4．抛物线 的焦点为 ， 为其上一动点，当 运动到 时， ，直线
与抛物线相交于 两点，下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为：
B．抛物线的准线方程为：
C．当直线 过焦点 时，以AF为直径的圆与 轴相切
D．
【答案】BC
【分析】根据焦半径即可求解A，根据准线方程即可求解B，求解圆心和半径即可判断
C，设出直线 方程，与抛物线方程联立，韦达定理，利用焦半径公式求出 ，即
可判断D.
【详解】对于A：当 运动到 时， ，故 ，即抛物线为 ，故
A错误；
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！对于B：由 ，故抛物线的准线方程为： ，故B正确；
对于C：当直线 过焦点 时，设 为 ，则 ，
故以 为直径的圆的半径为 ，又F(0,1)，故以 为直径的圆的圆心坐标为
，
圆心到 轴的距离与该圆半径相等，即该圆与 轴相切，故C正确；
对于D：由题意直线 斜率存在，设 的方程为 ，联立 ，
整理得 ， ，即 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
不能确定什么时候最小，则D错误.
故选：BC
5．已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ，经过点 且斜率为 的直
线 与抛物线 交于 两点（点 在第一象限），若 ，则以下结论正确的是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用倾斜角和抛物线定义，分别求出点 的横坐标即可得 ，可判断A；求出
直线方程，联立抛物线方程求出点 横坐标，利用定义即可得 ，然后可判断B；根据
点 的横坐标求出 即可判断C；将 代入直线方程，求出纵坐标，然后由
可得面积，可判断D.
【详解】选项A：过点 作 轴的垂线，垂足为 ，则 ，
所以 ，所以 ，
由抛物线定义可得， ，所以 ，
解得 ，故A正确．
选项B：由A得抛物线 的方程为 ， ，直线 的方程为 ，
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！联立直线方程与抛物线 的方程并化简，得 ，得 或 ，
所以 ，故 ，故 ，B错误．
选项C：由 ， ，得 ，故C正确．
选项D：由上知 ，得 ，
故 ，故D正确．
故选：ACD
6．设拋物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线 相交于点 ，
与 轴相交于点 ，则（ ）
A． 的准线方程为 B． 的值为2
C． D． 的面积与 的面积之比为9
【答案】BD
【分析】设直线 的方程为 ，A(x ,y ),B(x ,y )，利用根与系数的关系及抛
1 1 2 2
物线的性质进行计算，从而判定各选项.
【详解】设直线 的方程为 ，A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
联立 ，可得 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，故 ，因为 ，由抛物线定义可得， ， ，
则 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ，则 的准线方程为 ，故B正确，A错误；
又 的方程为 ， ， ，
把 代入 可得 ， ，
不妨设 ，则 ，故C错误；
设 到直线 的距离为 ，
的面积 ， 的面积 ，
则 的面积与 的面积之比 ，故D正确.
故选：BD.
7．已知抛物线 的焦点为F，准线为l且与x轴交于点Q，P是l上一点，直线PF与
抛物线交于M，N两点，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】ABC
【分析】先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线 联立，消去 得到
关于 的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求逐项判断.
【详解】对C:抛物线 的焦点为 ， ，准线为 ，易知 ，则
，C正确；
对D,设 , ， , ， ， 到准线的距离分别为 ， ，
由抛物线的定义可知 ， ，于是
． ，则
直线 的倾斜角为 或 ，斜率为 ，因为 ，故 ，D错误；
对AB: , ，
直线 的方程为 ，
将 ，代入方程 ，并化简得 ，
，
于是 ． ,故AB正确；
故选：ABC．8．已知抛物线E： 的焦点为F，点F与点C关于原点对称，过点C的直线l与抛物
线E交于A，B两点（点A和点C在点B的两侧），则下列命题正确的是（ ）
A．若BF为 的中线，则
B．若BF为 的角平分线，则
C．存在直线l，使得
D．对于任意直线l，都有
【答案】ABD
【分析】
首先设直线 的方程，并联立抛物线，根据韦达定理，再根据各项描述，抛物线的定义，
即可判断选项.
【详解】设题意，设 ，不妨令A(x ,y )，B(x ,y )都在第一象限，C(−2,0)，
1 1 2 2
，
联立 ，则 ，且 ，即 ，
所以 ， ，则 ， ，如上图所示，
A.若 为 的中线，则 ，
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 ，所以 ，故 ，
所以 ，则 ，则 ，故A正确；
B.若 为 的角平分线，则 ，
作 垂直准线 于 ，则|AF|=|AD|且 ，
所以 ，即 ，则 ，
将 代入整理，得 ，则 ，
所以 ，故B正确；
C.若 ，即 ，即 为等腰直角三角形，
此时 ，即 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，则此时 为同一点，不合题设，故C错
误；
D. ，而 ，
结合 ，可得 ，即 恒成立，故D正确.
故选：ABD
9．已知抛物线 的焦点为 ，直线 交抛物线于 ， 两点，以线段 为
直径的圆交 轴于 ， 两点，交准线 于 点，则下面结论正确的是：（ ）
A．以 为直径的圆与 轴相切 B．C． D． 的最小值为
【答案】ACD
【分析】A选项，设A(x ,y ),B(x ,y )，由焦半径公式得到 ，求出 的中
1 1 2 2
点 的横坐标为 ，得到相切关系；B选项，联立直线与抛物线方程，得到
与 ，故 ；C选项，证明出 为直径
的圆与准线 相切，故切点为 ，得到 ，结合向量数量积公式得到C正确；
D选项，由垂径定理求出 ，求出最小值.
【详解】A选项，由题意得 ，准线 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，由焦半径可得 ，
1 1 2 2
设 的中点为 ，则 ，显然 到 轴的距离等于 ，
故以 为直径的圆与 轴相切，A正确；
B选项，直线 过点 ，
联立 与 得 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，
1 1 2 2
故 ， ，
由A选项知， ，同理可得 ，
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故 ，B错误；
C选项，由B选项得 ，
设 的中点为 ，则 ，
故点 到准线 的距离为 ，
故 为直径的圆与准线 相切，故切点为 ，
故 ，则
，C正确；
D选项，点 到 轴的距离为 ，
由垂径定理得
，
故当 时，|MN|取得最小值，最小值为 ，D正确.
故选：ACD
10．已知抛物线 的准线方程为 ，焦点为 ，点 是抛物线上的两点，抛物线在 两点的切线交于点 ，则下列结论一定正确的（ ）
A．抛物线的方程为：
B．
C．当直线 过焦点时，三角形 面积的最小值为1
D．若 ，则 的最大值为
【答案】ABD
【分析】对于A，由抛物线准线列方程求出参数 即可判断；对于B，由抛物线定义即可
判断；对于C，设出直线 方程，联立抛物线方程，由韦达定理求弦长，结合点到直线距
离公式得三角形 面积表达式，进一步由基本不等式即可判断；对于D，设出直线
方程，联立抛物线方程，由韦达定理求弦长，结合已知得 或 ，进一
步由余弦定理基本不等式可得 ，由此即可判断.
【详解】对于A，抛物线 的准线方程为 ，所以 ，解得 ，所
以抛物线的方程为： ，故A正确；
对于B，因为点A(x ,y )在抛物线上，所以由抛物线定义可知 ，故B正确；
1 1
对于C，由题意抛物线焦点坐标为(0,1)，显然过焦点的直线 斜率存在，如图所示：
不妨取直线 的方程为 ，且 ，
16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！联立抛物线方程 ，得 ，
所以 ，
所以 ， ，
点O(0,0)到直线 的距离为 ，
所以三角形 面积为 ，等号成立当且仅当 ，
即三角形 面积的最小值为2，故C错误；
对于D，显然直线 斜率存在，不妨取直线 的方程为 ，且 ，如图
所示：
联立抛物线方程 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
，
因为 ，
所以 ，
解得 或 ，
即 或 ，而
，
等号成立当且仅当 ，解得 ，
此时 或 ，且此时满足 ，
即 ，所以 的最大值为 ，故D正确.
故选：ABD.
题型二：圆锥曲线中焦点弦公式的应用
11．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线相交于 ， 两
点，线段 的中点为 ．过点 ， 分别向 的准线作垂线，垂足分别为点 ， ，过
点 向 的准线作垂线，交抛物线于点 ，交准线于点 ， 为坐标原点，则（ ）
A．以 为直径的圆与直线 相切 B．
C．当 时，点 ， ， 共线 D．
【答案】ABC
【分析】设直线 ： ，代入抛物线方程，利用一元二次方程根与系数的关系，得
到各点的坐标，利用向量的方法进行判断各选项的真假.
【详解】如图：
18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！设直线 ： ，带入 ，并整理得： .
设A(x ,y )，B(x ,y )，则 ， ， .
1 1 2 2
所以 ， ， ， ， .
则 ，
.
所以 ， ，所以以 为直径的圆与直线 相切，故A正确；
又 ， ，所以 ，故B正确；
， ，因为 ，所以直线 与直线 不平
行，所以 不成立，故D错误；
对D：如图：当 时，因为 ，所以 为等边三角形，又 ，所以
或 ，
当 时， ，则 ， ， ，
所以 ， ，
因为 ,所以点 ， ， 共线；
当 时，同理可证点 ， ， 共线.
故C正确.
故选：ABC
12．已知抛物线 的焦点为 ，圆 与抛物线 交于 ， 两点，
点 为劣弧 上不同于 ， 的一个动点，过点 作平行于 轴的直线 交抛物线 于点
，则（ ）
A．点 的纵坐标的取值范围是
B． 等于点 到抛物线 的准线的距离
C．圆 的圆心到抛物线 的准线的距离为2
D． 周长的取值范围是
【答案】BCD
【分析】根据题意可知圆心C(0,1)和抛物线的焦点F(0,1)重合，联立两曲线方程可得A错
误，由抛物线的定义可得B正确，C正确，利用焦半径公式可判断D正确.
20
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】如下图所示：
∵圆 的圆心为C(0,1)，半径 ，
因此圆 与 轴正半轴的交点为 ，
∵抛物线 的焦点为F(0,1)，准线方程为 ，
由 ，得 ，故点 的纵坐标 ，故A错误；
由抛物线的定义可得 等于点 到抛物线 的准线的距离，故B正确；
易知圆 的圆心C(0,1)到抛物线 的准线 的距离为2，故C正确；
的周长为 ，故D正确.
故选：BCD
13．设抛物线 ， 为其焦点， 为抛物线上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程是
B．焦点到准线的距离为4
C．若 ，则 的最小值为3
D．以线段 为直径的圆与 轴相切
【答案】ACD
【分析】选项A，选项B，由抛物线概念即可判断，选项C： P为动点，根据几何关系，
当P、A、F三点共线时取最小值；选项D：求出圆的半径与圆心，比较圆心横坐标和半径
即可知是否与y轴相切﹒【详解】A：抛物线的准线为 ，故A正确；
B：焦点到准线距离为 ，故B错误；
C：当横坐标为2时抛物线上位于第一象限内的点为 ，此点位于点 的上面，
故A在抛物线内部，
当直线 垂直准线时 取最小值，即为 ，故C正确；
D：根据题意，可得抛物线 的焦点为F(1,0)，
设 的中点为 ，可得 ，
由抛物线的定义，得 ，则 ，即点 到 轴的距离等于以 为
直径的圆的半径，
因此，以 为直径的圆与 轴相切，故D正确﹒
故选：ACD
14．抛物线 的焦点为 为抛物线上一动点，当 运动到 时， ，
直线 与抛物线相交于 两点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为：
B．抛物线的准线方程为：
22
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！C．当直线 过焦点 时，以 为直径的圆与 轴相切
D．当直线 过焦点 时，以 为直径的圆与准线相切
【答案】ACD
【分析】对于A,B,根据抛物线的定义即可求解p,进而知道抛物线方程和准线方程；对于
C,D，由抛物线的性质易知该结论正确.证明过程见详解.
【详解】对于A，如图所示，过点 作准线 的垂线，垂足为 ，
则由抛物线的定义可知: ,
解得 .
抛物线 的方程为: ,故 正确;
对于 ，抛物线的准线方程为 ，故 错误；
对于 ,如图所示，取 的中点C,过点C作x轴的垂线，垂足为D,
易知抛物线的焦点 ，设 ，则 , ,
所以 ,所以以 为直径的圆与 轴相切，故C正确；
对于 , 当直线 过抛物线的焦点 且与抛物线相交于 两点时，直线 的斜率存在，
假设 ,设 ,AB的中点为 ,则 ，
如图所示，作 垂直于准线于点 ，则 ,
联立 ，消去 并整理可得 ，
所以 ，
所以 所以 ,
,
,
,
以 AB 为直经的圆与准线相切，故D正确.
故选：ACD.
15．（多选）设抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上， ，若
24
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！轴上存在点 ，使得 ，则 的值可以为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】AD
【分析】设点M(x,y)，由抛物线定义知 ，可得圆心横坐标为
，可得圆的半径也为 ，则点 ，代入抛物线方程，即可求出
的值.
【详解】
由题意， ，则以 为直径的圆过点(0,2)， ，
设点M(x,y)，由抛物线定义知 ，可得 ，
因为圆心是 的中点，
所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为 ，
由已知可得圆的半径也为 ，
据此可知该圆与 轴相切于点 ，
故圆心纵坐标为2，则 点纵坐标为4，即点 ，
代入抛物线方程得 ，解得 或 .故选：AD.
16．已知抛物线 的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点（A在第一象限），
O为坐标原点，则（ ）
A．
B．当 时，直线l的倾斜角为
C．以 为直径的圆与y轴相切
D．
【答案】ACD
【分析】先由直线和抛物线联立得出根与系数的关系求出数量积判断A,应用焦点弦关系得
出倾斜角判断B，应用抛物线性质判断直线和圆的位置关系判断C，根据向量夹角判断D.
【详解】由题意得，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为 ，设A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
直线与抛物线交于两点，所以直线的斜率不能为0，
设直线 的方程为 ，联立 ，整理得 ， ，
则 ，
所以 ，
则 ，故A正确；
设直线I的倾斜角为 ，由 得，
，解得 ，所以 ，故B错误；
设 中点为P，过A，P分别向y轴引垂线，垂足分别为 ， ，
则 ，所以以 为直径的圆与y轴相切，故C正确；
26
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！因为
，
所以 ，所以 ，故D正确.
故选:ACD.
17．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的动直线与 交于M，N两
点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若 ，则
C． 为定值
D． 为钝角三角形
【答案】BCD
【分析】根据题意得到抛物线方程为 ，对于A，设过点 的动直线 的方程为
，联立抛物线方程，由韦达定理有 ， ，结合弦长公式判断
即可；对于BC，由已知得 的值，结合抛物线定义、韦达定理即可判断；对于D，只需判
断 是否成立即可.【详解】由题意可知， ，所以 ，则 ，其准线方程为 .
对于A，设过点 的动直线 的方程为 ，代入 得， ，
，
设M(x ,y )，N(x ,y )，则 ， ，
1 1 2 2
则
，当且仅当 时等号成立，A错误；
对于B，由 得， ，解得 ，
所以 ，B正确；
对于C，
为定
值，C正确；
对于D，
，所以 为钝角，D正确.
故选：BCD.
28
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18．已知抛物线y2=2px(p>0)上三点A(x ,y )， ， ，F为抛物线的焦点，
1 1
则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．若 ，则
C．若 三点共线，则
D．若 ，则 的中点到 轴距离的最小值为2
【答案】ABD
【分析】将点B的坐标代入抛物线方程即可求得 ，从而求出准线方程判断A；利用向
量坐标运算得 ，进而利用焦半径公式即可判断B；设直线 ： ，与抛
物线方程联立，利用根与系数关系求解即可判断C；结合焦半径公式，利用
及焦半径公式即可判断D.
【详解】对A，把点 代入抛物线 ，得 ，
所以抛物线的准线方程为 ，故A正确；
对B，因为A(x ,y )， ， ，F(1,0)，
1 1
所以 ， ， ，
又由 ，得 ，
所以 ，故B正确；
对C，因为 三点共线，所以线段 是焦点弦，
设直线 ： ，
联立 得 ，所以 ，故C不正确；
对D，设 的中点为 ，
因为 ， ，
所以 ，得 ，
即 的中点到 轴距离的最小值为 ，故D正确.
故选：ABD
19．已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为 ，AB是经过抛物线焦点 的弦， 是线段AB
的中点，经过点 作抛物线的准线 的垂线 ，垂足分别是 ，其中
交抛物线于点 ，连接 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．Q是线段 的一个三等分点 D．
【答案】ABD
【分析】利用抛物线的定义及平面几何性质逐一判断即可.
【详解】如图，由抛物线的定义，
对于A，得 ， ，又 ，则 ，
A正确；
30
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！对于B，由 ， ，得 ，所以 .
而 ，所以 ，所以 ，
可知 ，所以 ，B正确；
对于D，在 中， ，可知 ，所以 ，D正
确；
对于C，由 ，可知 ，所以 ，即Q是 的中点，C
不正确.
故选：ABD.
20．已知抛物线 与圆 交于A，B两点，且 .过焦点
的直线 与抛物线 交于M，N两点，点 是抛物线 上异于顶点的任意一点，点 是抛
物线 的准线与坐标轴的交点，则（ ）
A．若 ，则直线 的斜率为 B． 的最小值为18
C． 为钝角 D．点 与点 的横坐标相同时， 最小
【答案】BCD
【分析】根据抛物线与圆的方程可得 ，代入抛物线方程可得 ，即可根据向量
的坐标关系求解坐标，由斜率公式即可求解A，根据焦点弦的性质 ，
结合基本不等式即可求解B，联立直线与抛物线方程，根据数量积即可求解C，根据焦半
径公式以及点点距离公式可得 ，即可结合不等式求解D.
【详解】因为抛物线C： 与圆O： 交于A，B两点，且 ，
则第一象限内的交点A的纵坐标为 ，代入圆方程得横坐标为2，即 ，所以 ， ，即抛物线方程为 ，焦点为 .
设 ，
对A，由 得 ，
则 ，又因为 ，解得 ，
所以直线l的斜率为 ，故A错误；
对B，由抛物线定义得 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
因此 的最小值为 ，故B正确；
对C，如图，不妨设 在第一象限，
32
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！设 ，设直线 ，联立抛物线的方程消 ，
得 ，又 ，
所以 ，
，
， 为钝角，故C正确；
对D， ， ，设 ，则 ，
由抛物线的定义可得 ，
，
又 ，
则 ，
，
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ，故D正确.
故选：BCD.
题型三：圆锥曲线中焦点弦中垂线的应用
21．已知椭圆 ，直线 过椭圆的左焦点 交椭圆于 两点，下列说法正确的
是（ ）
A． 的取值范围为B．以 为直径的圆与 相离
C．若 ，则 的斜率为
D．若弦 的中垂线与长轴交于点 ，则 为定值
【答案】BCD
【分析】对于A，弦长公式求出表达式进一步即可判断；对于B，只需判断点 到直线
的距离与 的大小关系即可判断；对于C，结合韦达定理即可得解；对于D，先
得点 坐标，进一步即可判断.
【详解】
由题意 ，
对于A，直线 斜率不存在时，将 代入 ，得 ，此时 ，
直线 斜率存在时，设 ，
联立椭圆方程 ，化简整理得 ，
显然 ， ，
所以
34
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，
因为 ，所以 ，所以 ，故A错误；
对于B，直线 斜率不存在时，以 为直径的圆 与 相离，满足题意；
直线 斜率存在时，设 中点为 ，则 ，即 ，
点 到直线 的距离满足 ，故B正
确；
对于C，直线 斜率不存在时，显然不满足题意，
直线 斜率存在时，若 ，则 ，又 ，
所以 ，解得 ，所以 的斜率为 ，故C正确；
对于D，直线 斜率不存在时，显然不满足题意，当 时，点 与原点重合， ，
直线 斜率存在且不为0时，弦 的中垂线方程为 ，
令 ，得 ，所以 ，即 为定
值 ，故D正确.
故选：BCD.22．已知 、 是椭圆 ： 上两个不同的动点（不关于两坐标轴及原
点 对称）， 是左焦点， 为离心率.则下列结论正确的是（ ）
A．直线 的斜率为1时， 在 轴上的截距小于
B． 周长的最大值是
C．当直线 过点 ，且 中点纵坐标的最大值为 时，则
D．当 时，线段 的中垂线与两坐标轴所围成三角形面积的取值范围是
【答案】ABD
【分析】由题意，设出直线 的方程，将直线 的方程与椭圆方程联立，结合根的判别
式以及 和 的关系即可判断选项A；设椭圆的右焦点为 ，得到 周长的表达式，
进而可判断选项B；设出 中点 的坐标，利用斜率公式以及离心率公式即可判断选项
C；设出线段 的中垂线所在的直线方程，得到三角形面积，设出直线 的方程，将直
线 的方程与椭圆方程联立，得到线段 的中点坐标，结合所求三角形面积再进行整理，
进而可判断选项D．
【详解】对于A，设 ： ，联立 ，消去 并整理得：
，由 ，
又 ， ，即 ，故A正确；
对于B，设右焦点为 ，则 周长 ，
等号当且仅当直线 过点 时取到，故B正确；
对于C，设 中点为 ，由点差法可知 ，即 ，
36
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！设M(x,y)，则 ，
，而 ，故 ，故C错误；
另解：易知 轨迹是以 为长轴，离心率为 的椭圆，
，即该椭圆的短半轴长为 ，故 ，故C错误；
对于D，显然直线 存在斜率且不为零.
设线段 的中垂线所在的直线方程为 ，则 .
设直线 的方程为 ，联立 ： ，
即 ， ，
线段 的中点坐标为 ，
代入 ，即 .
.
又仅当 、 关于原点对称时， ，故 ，
，故D正确.
另解：设线段 中点坐标为 ，易得 ，
线段 的中垂线方程为 .
令 ，得 ，令 ，得 ..又 ，
， .
显然 ， ，故D正确.
故选：ABD.
23．已知抛物线 的焦点为 ，则 ；若斜率为 的直线 过焦点 且
与抛物线交于 两点， 的中垂线交 轴于点 ，则 ．
【答案】 8 2
【分析】由抛物线的焦点坐标可得 的值；设直线 的方程与抛物线联立，可得 的中点
的坐标，进行求出 的中垂线的方程，进行求出 的值，再由抛物线的性质可得|AB|
的值，即可求解．
【详解】如图所示：
由抛物线的方程可得焦点坐标为 ，
38
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！由题意可得 ，所以 ；
所以抛物线的方程为： ，
设直线 的方程为： ，设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
联立直线与抛物线的方程： ，整理可得： ，
,
则 ，所以 的中点的横坐标为 ，
所以 的中点的纵坐标为： ，
所以 的中垂线的方程为： ，
令 ，可得 ，所以N的横坐标为： ，
所以 ，
由抛物线的性质可得， ，
所以 ，
故答案为：8，2
24．已知抛物线C： 的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于A，B两点，
的中垂线分别交l与x轴于D，E两点（D，E在 的两侧）.若四边形 为菱形，则
【答案】 /
【分析】由抛物线定义及菱形性质得 为等边三角形，联立直线与抛物线由焦点弦长
公式直接求解.
【详解】由题意，四边形 为菱形，则 ，且
由抛物线定义知： ，故 为等边三角形，
由对称性不妨设直线 ，
与 联立得 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，
1 1 2 2
故 .
故答案为：
25．已知 是椭圆 的左、右焦点， 是 上一点，线段 的
中垂线 过点 ，与椭圆 相交于 两点，且 ，则椭圆 的离心率为
．
【答案】
【分析】设直线 方程 ，然后与椭圆联立，再利用根与系数关系求出弦长 ，
再结合题中几何关系得到以 为中间元的关于 的等式，化简从而求解.
【详解】由题意得 ， ，设直线 的方程为 ， ，
40
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，
联立方程 ，得 ，
由根与系数关系得 ， ，
所以弦长
，
由题意知，设直线 与 的交点为 ，如图，所以在 中， ，
又由椭圆定义知 ，因为直线 是 的中垂线，
所以 ， ，
所以 ，
联立 得 ，所以 ，解得 或 （舍）.
故答案为： .
26．已知斜率为k的直线与椭圆 交于A、B两点，弦AB的中垂线交 轴于点，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】设直线 的方程为 ，联立方程组可得 ，根据根与系数的关系
求出设 的中点的坐标，求出直线 的方程，即可求出 ，根据 ，
即可求出 的取值范围．
【详解】当 时，弦AB的中垂线为 轴，此时 ，
当 时，设直线 的方程为 ，
联立方程组可得 ，消 可得 ，
，解得 ，
， ，
设 的中点为 ，则 ， ，
直线 的方程为
令 ，解得 ，
，
解得 ，且
42
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！综上
故答案为：
27．已知过抛物线 ： 的焦点 的直线 与 交于 、 两点，线段 的中垂线
与 的准线交于点 ，若 ，则直线 的方程为 ．
【答案】 或
【分析】根据抛物线的定义可求出中垂线的斜率，即可得到直线 的方程.
【详解】取线段 中点 ，连接 ，过点 作 准线于 ，如图，
则在 中， ，可得 ，
分别作 垂直准线于 ，
则由抛物线定义知， ，
则在 中， ，所以 ，
所以线段 的中垂线 的斜率为 ，故直线 的斜率为 ，
又直线 过抛物线焦点F ，所以直线方程为 ，
即 : 或 ．
故答案为： 或28．如图所示， 是椭圆 的右焦点，过点 作一条与坐标轴不垂直的直线交椭
圆于点 ，线段 的中垂线 交 轴于点 ，则 的值为 ．
【答案】4
【分析】
方法一：设直线AB的方程 ， ，联立方程，利用韦达定理求解
,求出 直线方程，令 ，求出 ,得到 ,得到结论.
方法二：设 ，利用椭圆的焦半径角度可得到 ， ，得到结论.
【详解】
方法一：设直线AB的方程 ， ，
则 ，得 ，则 ，
故 ， ,
所以 的直线方程 ，令 ，则 ，
44
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故 ，
，故 .
方法二：设 ，则 ，由椭圆的焦半径角度式可知
，
从而 ．
设 的中点为 ，则 ，
即 ．
在 中， ，所以 ．
故答案为：4
29．若直线 过抛物线 的焦点 且与抛物线交于 两点， 的中垂线交 轴于
点 ，则 ．
【答案】
【分析】设 ，其中点为C，将A，B两点代入抛物线方程，结合斜率公
式与 ，
可得 ，即可得 ，后由抛物线定义可得|AB|，即可得答案.
【详解】设 ，其中点为C，坐标为 .将A，B两点代入抛物线方程，有 ，
两式相减可得： ，设 ，
则 ，因 ，
则 .
又F(1,0)，则 .
又准线方程为 ，过A，B两点分别做准线垂线，垂足为 ，
则由抛物线定义，可得 .故 .
故答案为： .
30．已知抛物线 ： （ ）的焦点 与圆 的圆心重合，过
的直线 与 交于 、 两点，对于下列命题：
① ；
46
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！②以 ， 两点为切点引 的两条切线，两条切线交于一点 ， 点必在 上；
③ 的中垂线与 轴交于点 ，则 ；
④ 为坐标原点，点 、 在 上且满足 （ ， 均不与 重合）则 ，
的中点轨迹方程： .
以上说法中正确的有 .
【答案】①②④.
【分析】①选项：先求圆的标准方程得到圆心，进一步得到答案；
②选项：设直线 方程，通过与抛物线方程联立得， ，分别求出经过
A，B点的切线方程，两方程联解得到结论；
③选项：将中垂线方程写出，并求出 ，进一步求出 从而得出答案；
④选项：过M,N的直线与抛物线方程联立得 ，根据 ，即
，从而得出结论.
【详解】①选项：圆 化为标准方程得
∴圆心是 ，
∴ ，即 ，故①正确；
②选项：抛物线 ：
设直线 方程为
与抛物线方程联立得 ，
设
根据韦达定理可以得到 ，即 ，不妨设 > 0,当 > 0时， ,
所以得到经过A点的切线方程为 ，
同理求出经过B点的切线方程为 ，
两方程联解得到 ，
所以以 ， 两点为切点引 的两条切线，两条切线交于一点 ， 点必在 上，故
②正确；
③选项： 由②选项可得， 的中垂线方程为： ，
与 轴的交点 ，即
，
故 显然不成立，故③错误；
④选项：设 ，以及经过M,N的直线方程为 ，（ ）
与抛物线方程联立得 ，
根据韦达定理可以得到 ，即 ，
又∵ ， ，解得 （舍去），
∴ ，
设 ， 的中点坐标为 , 即 ，
化简得 ，故④正确.
故答案为：①②④.
48
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1．如图过抛物线 的焦点 作直线 与抛物线 交于 ， 的中垂线
交 轴于 ，且 ， ，则 .
【答案】
【分析】设 ， ，根据抛物线的定义可得 ，求出直线
的中垂线的方程，令 可得 点的横坐标为 ，从而可得 即
|AB|=4，再由 可得 ， ， ，从而可得 ，由抛
物线的定义可得 ，由此可求出 的值.
【详解】设 ， ，则 的中点坐标为
则根据抛物线的定义可得
由 ， ，可得所以 ，又直线 的斜率
所以直线 的中垂线的方程为
令 得 ，所以 点的横坐标为 ，又
所以 ，所以
所以|AB|=4，又 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以
所以 ，所以
故答案为：
2．设抛物线 ： 的焦点为 ， 、 为 上纵坐标不相等的两点，满足
，则线段 的中垂线被 轴截得的截距为 .
【答案】3
【分析】设 ， ，则 ，即可得到 ，故 的中垂
线方程为 即可求出直线在 轴上的截距.
50
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】解：设 ， ，则 ，即 ，设 、 的中点的
坐标为 ，则
则
故 的中垂线方程为
令 ，则有 ，故 的中垂线被 轴截得的截距为
故答案为：
3．过抛物线 的焦点 的直线交 于 ， 两点， ， 是 的准线 上两点，
以 为直径的圆与 切于点 ，且以 ， ， ， 为顶点的四边形的面积为64，则
直线 的斜率为 .
【答案】
【详解】
设抛物线的准线 与 轴交于一点 ，过 作 于一点 ，
过 作 于一点 ，连接 ， ，
由抛物线的定义知， ， ，
， ，
又 ， ， ，
因此， ， ，又 ，
则 ，
设 的中点为 ，则 ，因此 ，
，即 ，
因此以 为直径的圆与 切于点 ，且 为圆的半径，
而过 直线与 垂直时，在准线 只有唯一的交点，这个交点即为与 切于点 的圆的
圆心，
因此在准线 只有一个圆与 切于点 ，
故要使以 的准线 上两点 为直径的圆与 切于点 ，
则 与 重合， 与 重合，
因此四边形 为直角梯形，
由题意知，直线 的斜率存在且不为0，设直线 的方程为 ，
则 ，联立可得 ，
整理得 ，
则 ， ，
因此 ，
又 的符号相反，因此， ，
则 ，
又 ，
又梯形 的面积为64，则 ，
52
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！即 ，整理得， ，
解得 ，
因此，直线 的斜率为 .
故答案为： .
4．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线 交于 两点，
若 ，则直线 的斜率为 .
【答案】
【分析】设 ，利用弦长公式 求解．
【详解】抛物线的焦点 ，设直线l的方程为： ，
联立方程 ，消去y得， ，
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，
即 ，得 ，
故答案为：5．已知抛物线 上有两个不同的点 ，线段 的垂直平分线交 轴于
点，且 的最大值为6，则 ．
【答案】2
【分析】涉及中点弦，用 中点 的坐标以及 （点差法）表示线段 的垂直平分线
的斜率，结合题意可列方程消去参数得， ，结合三角形三边关系得|AB|的最大
值，进一步可列方程求出 .
【详解】设A(x ,y ),B(x ,y )，线段 的中点为 ，易知直线 的斜率存在
1 1 2 2
且不为0．
设直线 的斜率为 ，则 ，
故 ．
则 ．
设 的焦点为 ，连接 ，则有 ．
又因为|AB|的最大值为6，
所以根据抛物线性质和三角形三边关系知， ，等号成立当且仅
当 为焦点弦；
则 ．
54
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故答案为：2.
6．已知抛物线 ，从抛物线内一点 出发平行于 轴的光线经过抛物线上点
反射后交抛物线于点 ，直线 与 轴交点横坐标为 ； 的面积 为
.
【答案】 /0.5
【分析】根据抛物线求出交点横坐标，再结合面积公式结合抛物线的焦点弦的性质求解.
【详解】 ，
设切线与 轴交于点 ，由抛物线的光学性质可知，
过焦点 ，即 与 轴交点横坐标为 ；
，直线 的斜率为
直线 的倾斜角为60°，且 ，
即 ，
.故答案为：
7．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线 交于 两点，
分别过 作准线的垂线，垂足分别为 .若 ，四边形 的面积为 ，
则 ．
【答案】
【分析】设出 的方程，与抛物线方程联立，可得 ， 横坐标的积，结合已知向量等
式求解 ， 的坐标，即可由面积公式求解.
【详解】由题意可知直线 有斜率且不为0,设 所在直线方程为 ，
联立 ，得 ．
不妨设 在第一象限， , ， , ，
则 ，
56
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！又 ， ，即 ，
联立 ，解得 或 （舍 ，
则 ，即 ，进而可得
所以
解得 ，
故答案为：
8．已知抛物线 的焦点 到准线的距离为4，抛物线的方程为 .直线
过点 且与抛物线交于 两点，若 是线段 的中点，则
.
【答案】
【分析】借助抛物线定义可得空一；借助线段 中点纵坐标可得直线 方程，结合抛物线
焦点弦的性质计算即可得空二.
【详解】∵抛物线 的焦点 到准线的距离为4 ，∴根据抛物线定义可得 ，则抛物线方程为 ；
则有 ，又∵ 是线段 的中点，
∴ ，即 ，
由 可得， ，故直线 的方程为 ，
由 ，
则 ，故 .
故答案为： ； .
9．如图，已知过抛物线 （ ）的焦点 的直线与抛物线交于 两点，过点
A作抛物线的准线的垂线 ，垂足为 ，抛物线的准线与 轴交于点 ， 为坐标原点，
记 ， ， 分别为 ， ， 的面积.若 ，则直线 的斜率
为 .
【答案】
【分析】设直线 倾斜角为 ， ，可得，
58
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！， ，用 表示 ，结合题意运算求解即可.
【详解】设直线 倾斜角为 ， ，
可知： ，
且 ，解得 ，
则 ，
同理可得 ，
可知： ，
，
，
因为 ，则 ，
整理得 ，解得 或 ，
且 ，则 ，可得 ，
所以直线 的斜率为 .
故答案为： .
10．抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线
平行于抛物线的轴．如图所示，从抛物线 的焦点 向 轴上方发出的两条光线 分别经抛物线上的 两点反射，已知两条入射光线与 轴所成角均为 ，且
，则两条反射光线 之间的距离为 ．
【答案】
【分析】延长 交抛物线C于 ，判断 和A关于x轴对称，利用直线方程和抛物线方
程求出 的坐标的表达式，结合 可求出p的值，求出 的值，即得
答案.
【详解】如图，延长 交抛物线C于 ，
因为两条入射光线与 轴所成角均为 ，故 ，
即 和A关于x轴对称，所以 ，
则 ，
60
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！又 ，则直线 的方程为 ，
联立 ，则 ，
解得 或 ，结合图示可知 ，
将 代入 ，可得 ，同理求得 ，
则 ，即得 ，
故 ，
即两条反射光线 之间的距离为 ，
故答案为：
