文档内容
第 01 讲 两条直线的位置关系
课程标准 学习目标
1．理解对顶角、补角和余角的概念，能在图形中辨认；
①对顶角
2．掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相
②补角、余角
等，并能解决一些实际问题．
知识点01 相交线、平行线
1.相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.表示方法：如下图，直线AB与直线
CD相交于点O
2.平行线：在平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
【即学即练1】（23-24七年级下·广东揭阳·期中）在同一平面内，两条直线的位置关系是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行或相交
知识点02 对顶角
1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个
角叫做对顶角.
2.对顶角的性质：对顶角相等.
【即学即练1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图， 和 不是对顶角的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【即学即练2】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，直线 、 相交于点 ， ，
那么 ．
知识点03 余角、补角
1.互补与互余的概念
互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，
那么称这两个角互为余角，也称互余.
2.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等.
【即学即练1】（23-24七年级上·河北承德·期末）已知 ，则 的余角为 ， 的
补角为 ．
【即学即练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点O在直线 上， ．
(1)图中除 外，还有哪些角是直角？
(2)图中有哪些相等的角？
(3)指出图中与 互余的角、与 互补的角．
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学科网（北京）股份有限公司题型01 平面内两直线的位置关系
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．垂直
【变式训练】
1．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系可能是（
）
A．相交或平行 B．相交或垂直 C．平行或垂直 D．不能确定
2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，已知四条线段a，b，m，n中的一条与挡板另一侧的线段l平
行，请判断该线段是（ ）
A．a B．b C．m D．n
题型02 对顶角的定义
例题：（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图， 与 是对顶角的为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）下面四个图形中， 与 是对顶角的为（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司2．（2024七年级上·全国·专题练习）下面四个图形中， 与 互为对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
题型03 利用对顶角相等求角
例题：（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，直线a、b相交， ，则 度．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，直线 、 相交于点O， 平分 ，
， ， ， ．
2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知直线 和 相交于点 ，射线 于点 ，且
，则 的度数为 度．
题型04 求一个角的余角
例题：（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知 ，则 的余角大小是 ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知 ，那么 的余角度数为 ．
2．（24-25七年级上·北京海淀·期末）已知 在正方形网格中的位置如图所示．设 的余角为 ，
则 ．（填“>” “<”或“=”）
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学科网（北京）股份有限公司题型05 求一个角的补角
例题：（24-25七年级上·湖南郴州·期末）已知 ，那么 的补角等于 ．
【变式训练】
1．（2024七年级上·河南·专题练习）若 ，则 的补角的余角为 ．
2．（2024七年级上·吉林·专题练习）已知点 在点 的南偏西 方向上，点 在点 的北偏西 方向上，
则 的补角的度数为 ．
题型06 对顶角、余角、补角的综合
例题：（23-24七年级上·广东潮州·期末）如图， 平分 ， 平分 ．若
．
(1)求出 的度数；
(2)判断 与 是否互补，并说明理由．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线 相交于点 ．
(1)若 ，则 的余角有__________．
(2)若 ，求 和 的度数．
2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，O是直线 上一点，过点O作 、 、 三条射线，
平分 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)若 ，则 的度数为___________；
(2)若 ，求 的度数；
(3)在（2）的条件下，若过点O作射线 使得 ，求 的度数．
题型07 与对顶角、余角、补角有关的旋转综合问题
例题：（2024七年级上·黑龙江·专题练习）如图，O是直线 上的一点，将一直角三角尺如图摆放，过点
O作射线 平分 ．将直角三角尺绕点O顺时针旋转，回到图①的位置时停止旋转，探究在旋转过
程中 与 之间的数量关系．
(1)如图①，若 ，求 的度数；
(2)如图②，直角边 在直线 的上方，若 ，其他条件不变，请求出 的度数．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·全国·期末）如图，点O为直线AB上一点，过点O 作射线 ，使 ．
将一直角三角板的直角顶点放在点O处 ，一边 在射线 上，另一边 在直线 的
下方．
(1)求图①中的三角板绕点O逆时针旋转至图②，使一边 在 的内部，且恰好平分 求
的度数．
(2)将图①中的三角板绕点O 顺时针旋转至图3，使 在 的内部，请探究 与 的数量
关系，并说明理由．
2．（23-24七年级上·湖南娄底·期末）定义：如果两个角的差的绝对值等于 ，就称这两个角互为垂角，
例如： ， ，则 和 互为垂角．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，O为直线 上的一点， ，直接写出图中一对垂角；
(2)如果一个锐角的垂角等于这个角的余角的3倍，求这个角的度数；
(3)如图2，O为直线 上的一点，若 ，且射线 绕O以每秒 的速度顺时针
旋转，射线 绕点O以每秒 的速度顺时针旋转，两条射线 同时运动，运动时间为t秒（
），试求当t为何值时， 和 互为垂角？
题型08 与对顶角、余角、补角有关的新定义综合问题
例题：（北京市海淀区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题）设 ，
， 分别是 、 的角平分线，记 ．如果
， 互补，或者 ， 互补，则称 ， 是一对“分补角”．
(1)如图 ， ， 在 内， ．分别作 ， 的角平分线 ，
则 ______ ， ， ______一对“分补角”（填“是”或“不是”）；
(2)若 ， ，且 ， 是一对“分补角”，求 的值；
(3)如图 ， ．若 和 是一对“分补角”，直接写出 的所有可能值．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·北京房山·期末）已知，从 的顶点 出发，在 的内
部作一条射线 ，若射线 将 分得的两个角中有一个角与 相加和为90°，则称射线 是
的“角余分线”．
例如：如图， ，射线 在 的内部， ， ，所以射线
是 的“角余分线”．
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学科网（北京）股份有限公司(1)若 ，射线 在 的内部，且 ，则射线 ________（填“是”或“不
是”） 的“角余分线”；
(2)若射线 是 的“角余分线”，且射线 平分 ，则 ________ ；
(3)已知 ，射线 在 的内部，射线 是 的角平分线，射线 是 的
“角余分线”，若射线 是 的“角余分线”，请直接写出 的度数．
3．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）如图1，已知射线 ．
(1)若 ，且 ，求 的度数．
(2)若 是 的平分线， 是 的平分线，求 的度数．
(3)若 分别是 和
的平分线， ，求 的度数．
(4)定义：从 的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将 分得的两个角中有一
个角与 互为余角，则称该射线为 的“分余线”．
①若 平分 ，且 为 的“分余线”，则 ；
②如图2， 为 的平分线，在 的内部作射线 ，使 ，当
为 的“分余线”时，求 的度数．
一、单选题
1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列图形中 与 是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，两条直线相交于一点，如果 ，则 的度数是（
）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C．60° D．30°
3．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，直线 ， 相交于点 ，过点 作 ，若
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25七年级上·天津南开·期末）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中 与
互补的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024七年级上·全国·专题练习）如图， ，下列说法中正确的个数是（ ）
① ； ② ，依据是同角的余角相等；
③ ； ④当 时，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）如图，直线 和直线 相交于点 ， ，则 ．
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学科网（北京）股份有限公司7．（24-25七年级上·新疆吐鲁番·期末）若 ，则 的余角等于 ，补角等于 ．
8．（24-25七年级上·全国·期末）已知一个角的余角比这个角的补角的 小 ，则这个角的余角的度数是
，补角的度数是 ．
9．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）在直线 上任取一点 ，过点 作射线 ， ，使 ，
当 时， 的度数是 ．
10．（24-25七年级上·全国·期末）如图，平面内 ， ，点E，O，F在一
条直线上，下列结论：
① ；
② 与 互补；
③ 平分 ；
④ ；
⑤因为 ，所以 与 ， 互余．
其中正确的有 ．（填序号）
三、解答题
11．（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）如图，已知A，O，B三点共线， ，OD平分
， ．
(1)图中与 互余的角是________；
(2)求 的度数．
12．（2024七年级上·全国·专题练习）根据题意计算：
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学科网（北京）股份有限公司(1)一个角的余角比它的补角的 多 ，求这个角；
(2)一个角的补角加上 的和等于这个角的余角的 倍，求这个角的余角和补角．
13．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）如图，点 是直线 上一点， 平分 ，在直线 另
一侧以 为顶点作 ．
(1)若 ，那么 ______； 与 的关系是______； 与 的关系是
______；
(2)试说明 与 的关系成立的理由．
14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示， 是平角， ， ， 、
分别是 、 的平分线．
(1)猜想 与 是否互补，并说明理由；
(2)求 的度数；
(3)如果只改变 和 的度数，其他条件不变，则 与 有什么样的
数量关系？请直接写出结论．
15．（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·实践探究
【从特殊到一般思想】如图，将一副直角三角板的直角顶点 叠放在一起．
【计算与观察】
(1)若 ，则 ___________；若 ，则 ___________；
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学科网（北京）股份有限公司【猜想与证明】
(2)猜想 与 的大小有何特殊关系？并说明理由；
【拓展与运用】
(3)若 ，求 的度数．
16．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）【问题提出】
（1）如图1，点 、 、 在一条直线上， 是一条射线， 平分 ， 平分 ，则
；
【问题探究】
（2）如图2，点 、 、 不在一条直线上， 是 内的一条射线， 平分 ， 平分
，判断 与 的数量关系，并说明理由；
【问题拓展】
（3）如图3，当 是 内的一条射线时， 平分 ， 平分 ，（2）中 与
的数量关系是否仍然成立，请说明理由．
17．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知O是直线 上的一点， 是直角， 平分 ．
【猜想】
如图1，当 的两边在直线 同侧时，小明通过实验测量得到 与 的相关数量，如下表：
求 与 的数量关系．
【探究】
小明将图1中的 绕顶点 顺时针旋转至图2的位置．探究 和 的数量关系是否符合
【猜想】中的结论，并说明理由．
【拓展】
将图1中 的边 与 重合的位置开始，绕顶点 顺时针旋转，旋转的速度为每秒9度，旋转时间
秒 ， 为 的角平分线，当 时，求 的值．
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学科网（北京）股份有限公司18．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）若 ，我们则称 是 的“绝配角”．例如：若
， ，则 是 的“绝配角”，请注意：此时 不是 的“绝配角”．
．
(1)如图1，已知 ，在 内存在一条射线 ，使得 是 的“绝配角”，此时
______：（直接填写答案）
(2)如图2，已知 ，若平面内存在射线 、 （ 在直线 的上方），使得 是
的“绝配角”， 与 互补，求 大小：
(3)如图3，若 ，射线 从 出发绕点O以每秒 的速度逆时针旋转，射线 绕点O从
出发以每秒 的速度顺时针旋转， 平分 ， 平分 ，运动时间为t秒（ ）．
①当 时， 是 的“绝配角”，求出此时t的值：
②当 时， ______时， 是 的“绝配角”（直接填写答案）．
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