文档内容
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同学们好，欢迎来到状元成才路慕课堂。我是柳沐老师。
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今天我们继续学习《数学广角——鸽巢问题》。
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上节课，我们探讨了验证鸽巢问题的基本思路——正着想和反着想。正着想
一般采取枚举法，反着想除了反证法，还可以通过假设法快速找出最少的情况，
验证原题。
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在用算式表示找最少情况的过程中，我们还发现了鸽巢问题的数学规律。你
们都还记得吗？
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鸽巢问题在生活中有广泛的应用。
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运用收获的思路和规律，你一定可以快速的验证这个案例。
是的，假设每镖都不超过8环，投了5镖，最多40环。可是题目说成绩是
41环，所以假设不成立，至少有一镖不低于9环。也可以用算式找出最少的情
况，41除以5等于8环余1环，那至少有一镖有8加1也就是9环。
它和鸽巢问题有什么联系呢？对的，环数为鸽，镖数为巢。这道题和41只
鸽子飞回5个鸽巢，总有一个鸽巢至少飞进了9只鸽子是一个意思。
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除了论证既定事实，鸽巢问题也可以回答一些有趣的问题，一起来看看。
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盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，
至少要摸出几个球？
◆嗯，像这样大小相同的球，4个红色、4个蓝色。要想摸出的球一定有2
个同色的，至少要摸出几个球？谁先来猜一猜？
最少……那两个就行！你觉得呢？不对！运气最好的时候，两次就同色了，
但运气不好呢？题目要求一定，就是要考虑所有可能，两个不能保证。
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是啊，大家还记得我们在学习可能性的时候玩过的摸球游戏吗？那可不是
你想摸什么球就摸到什么球的！不信，你看！
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运气爆棚，就能保证吗？
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到底是几个？又是为什么呢？下面我们就来细细的研究。
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根据刚才的分析，题目就是要求我们找到那个刚刚好能保证两球同色的摸
球次数，不能太多，也不能太少。
两个不行，两个除了两红、两蓝，也有可能是一红一蓝，不能保证。那接
下来怎么办呢？有同学说，试试3个吧！我赞成他的想法，既然要求至少，那就从小往大
试，哪一个的所有情况都符合，就是能保证同色的那个至少。
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活动：摸出三个球，可能有哪些结果？用自己喜欢的方式梳理并整理出来。
所有情况都有两球同色吗？做出你的判断。
暂停视频，开始自己的探索吧。
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摸3个球，有这样几种情况：3红、1红2蓝、2红1蓝、3蓝。
检查有没有遗漏或重复，确定有且只有这四种情况。有没有两球同色呢？
第一种，符合。第二种，符合。第三种，符合。第四种也符合。
也就是说，摸三个球，一定有两个球是同色的。
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还要往后试吗？4个，5个？
不用了吧……既然摸3个都已经符合了，摸更多，更会符合。
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3个是其中最少的个数，所以概括起来就是：要想摸出的球一定有2个同色
的，至少要摸出3个球。
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刚才，我们盯准题目中的“至少”二字，从2开始，从小往大试。试到3
的时候，用枚举法验证了一定会有两个球同色，从而锁定答案，至少3次。
试？枚举？如果数据变大，有没有更好的方法?
嗯，有同学想到了上节课反着想的思路。一起来看看。
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至少摸几次，能保证摸出两个同色的球？
反过来想就是各不同色，最多能摸几个？
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假设每次摸的球都不同色，有两种颜色，那摸到第3个球的时候，一定会
和前两种颜色重复，即一定会有两个球同色。摸4次、5次就更不用说了，概括
起来就是要想摸出的球一定有两个同色，至少要摸三个球。
有两种颜色，摸3个球就能保证一定有两个球同色。
如果是四种颜色呢？
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把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子里。至少摸几次可以
保证取到两个颜色相同的球？请大家想一想。
假设每次摸的球都不同色，最多可以摸4个球，第5个球无论是什么颜色，
都会和前面的球重复，即一定会有两个球同色。所以，至少取5个球，可以保
证取到两个颜色相同的球。
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你还能像这样说一说吗？大家可以暂停画面，尝试自己说一说。
你有什么发现？这里面有没有什么规律？
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是的，无论有多少种颜色，保证摸出两个同色，至少需要颜色种数+1个球。
用数学语言概括就是：
盒子里有 n 种颜色的球若干个，至少摸 n+ 1 次可以保证取到两个颜色相同的球。
和鸽巢问题有什么联系？想一想。
是的摸的球相当于鸽子，各种颜色相当于巢。当鸽子数大于鸽巢数，至少
有两只鸽子会飞进同一个鸽巢。
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想一想，有什么需要提醒大家注意的？
默读发现的规律，这里的若干……是的，有时候这里会有一个无关的干扰
数据，大家要认真分析，火眼金睛，找准鸽子和巢。
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刚才我们一直在研究摸球的问题。通过正向思考的尝试和枚举解决问题后，
优化方法，通过反向思考的假设法很快找到最少的情况，并在不同颜色的案例
中找到只要摸出的球数比颜色数多1，就能保证两个球同色的规律。除了摸球，
鸽巢还有很多有趣的生活应用。
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1.向东小学六年级共有367名学生，其中六（2）班有49名学生。
六年级里至少有两人的生日是同一天。六（2）班中至少有5人是同一个月
生的。他们说的对吗？为什么？
同一天生日，反过来想就是不同日，而且是各不相同。
假设每个人的生日都不同，闰年有366天，但一共有357名学生，所以至
少有两人的生日是同一天。
同一月出生，反过来想就是不同月，而且要各不相同
假设最多只有4个人是同一个月生的，一年有12个月，最多有12*4=48人，
但题目说有49人，剩下的这名同学的月份一定会和前面某4人重复，所以至少
有5人是同一个月生的。
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上一课的鸽巢案例、今天的摸球游戏和各类生活案例中，我们都采取了反
着想的思路。怎么反着想呢？
鸽巢案例研究同巢，我们就让它们尽量不同巢，找最分散的情况。
摸球游戏问同色，我们就想不同色，而且让它们各不相同。
生活中问同月或同日，就想不同，也是尽量各不相同。
其实，在每一个案例里，都有带引号的鸽子，我们也仍然在研究最分散的
情况。为了更贴切的表达出反着想的思路，生活中，也把它称为 “最不利情
况”。
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今天我们研究了更丰富的鸽巢问题。历史上，鸽巢问题也是赫赫有名。
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像鸽巢问题这样以鸽巢为模子，把思路和规律运用到各种各样不同场景和
案例中的数学思想叫做模型思想，在以后中学乃至大学的学习中，都会经常用
到。
除此之外，我们还对鸽巢中各种不同的思路和方法进行了进一步的深入研
究，知道了“最分散情况”背后的关键是反过来思考，学会了找“最不利情
况”，并且体验了其中的一些规律。
下面，就让我们用这些思路和规律解决更多的问题吧。
32课本第71页练习十三第3题。请默读题目。
颜色相同的最不利情况是各不相同。六个面，两种颜色，根据我们上节课
发现的规律，6除以3等于2，最分散的情况下有3个面的颜色相同。所以无论
怎么涂至少有3个面涂的颜色相同。
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练习十三第5题。
三个数，分别为奇数或者偶数。一共有这样四种情况。
题目说两个数的和是偶数，我们知道奇数加奇数等于偶数，偶数加偶数也等
于偶数。
分别检验一下，发现没有情况都符合，所以结论成立。
枚举法，也能很好的解决问题。
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练习十三第5题。
把红、蓝、黄三种颜色的筷子各3根混在一起。如果让你闭上眼睛，每次最
少拿出几根才能保证一定有2根同色的筷子？
根据摸球游戏的规律。
有三个颜色，3+1=4，所以最少拿4根才能保证一定有两根同色的筷子。
如果要保证有两双筷子呢？哎呀，这是一个新问题，一起细细分析一下。
题目要求成双，我们要寻找尽量不成双的情况。
我们知道，拿4根筷子，无论怎样都会出现一双。
拿5根呢？
根据以往的经验，尽量不同色，第5根筷子只要不和前一双同色，都会出现两双。
所以答案是5根吗？
仔细琢磨题目，这次我们研究的是尽量不成双！如果和前一双放在一起呢？看！第
5根也能不成2双。
还能再多吗？试一试。可以看到第6根无论是哪一种颜色，都会有两双筷子。所以
如果要保证有两双筷子，至少要拿6根筷子。
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时间过得真快，转眼就到了说再见的时候。课后大家还可以挑战课本第71
页练习十三的第6题和状元成才路第241页的相关练习。
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谢谢观看，再见！
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