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专题21.10 一元二次方程的根与系数的关系（分层专项练习）
本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分72分，拓展培优满分48分，合计120
分；完成时间40——60分钟.
第一卷【夯实基础】
一、选择题（每小题3分，共24分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案.
1．（2025·广西南宁·模拟预测）已知一元二次方程 的两个实数根分别是 和 ，则
（ ）
A．3 B．2 C． D．
2．（24-25九年级下·湖南娄底·期中）已知m，n是一元二次方程 的两个实数根，则代数
式 的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
3．（24-25九年级下·四川广安·期中）已知 是关于 的一元二次方程 的一个实数根，则
方程的另一个根是（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）若一元二次方程 的两个实数根分别是 ，则一
次函数 的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）关于 的一元二次方程 的两根为 ，
，那么下列结论一定成立的是（ ）
A． ， B． ，
C． D．6．（2025·四川绵阳·一模）已知a，b是关于x的一元二次方程 的两个不等的实数根，则代
数式 的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
7．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，一元二次方程 的两个根对应的点分别落在数轴
上 ， 两个区域内，则 和 的值可能为（ ）
A．1， B． ， C． ， D．1，
8．（2023九年级上·四川眉山·竞赛）已知 ， 是一元二次方程 的两根，则 的
值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ，则
．
10．（2025·山东临沂·二模）已知m，n是关于x的方程 的两个根，则 ．
11．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知 ，其中 和 为方程的两个根．
，求 的值为 ．
12．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）若菱形两条对角线的长度是方程 的两根，则该
菱形的面积为 ．
13．（2025·河北唐山·二模）一元二次方程 的两根为m，n，且 ，其中“□”表示一个数，则“□”为 ．
14．（24-25九年级上·四川达州·期末）已知 是一元二次方程 的两个不相等实数根，则代
数式 的值是 ．
三、解答题（4题共计30分）
15.（6分）（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知 ， 是方程 的两个根．
（1）求 的值； （2）求 的值．
16.（8分）（24-25九年级上·广东汕头·期末）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数
根，且 是非负整数，
（1）求 的值；
（2）若 是该方程的两个实数根，则 ．
17.（8分）（24-25九年级上·湖北荆州·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 有
两个实数根 ， ．
（1）求实数 的取值范围；
（2）是否存在实数 ，使得 成立?若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
18.（8分）（22-23九年级上·四川泸州·期中）阅读材料：
【材料1】若一元二次方程 的两根为 ，则
．【材料2】已知实数m、n满足 ，且 ，求 的值．
解：由题知m、n是方程 的两个不相等的实数根，
根据材料1得： ，
∴ ．
根据上述材料解决下面问题：
（1）关于x的方程 的两个根是 和1，则 的值为 ．
（2）已知实数m、n满足 ，且 ，求 的值．
（3）若关于x的方程 的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值．
第二卷【拓展培优】
四、选择题（每小题3分，共12分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案.
19．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若关于x的一元二次方程 有两个相等的
实数根，且满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
20．（2025·河北邢台·三模）如图，点A，C在不完整的数轴上，对应的数分别为a，c，原点与点A，C均不重合．若 ，则方程 的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．两根之和为
21．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）设a，b是关于x的一元二次方程
的两个实数根，且 ，则m的值为（ ）
A． 或 B． C． D．
22．（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）已知一元二次方程 （ ）的两个实数根为 ，
，则 ， ，这个结论是法国数学家韦达最先发现并证明的，故把它称为“韦达定
理”，请利用此定理解决问题：对于一切正整数 ，关于 的一元二次方程 的两个
根记作 ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
五、填空题（每小题3分，共12分）
23．（2025·山东临沂·二模）若m，n是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为
．
24．（2024·江苏南京·模拟预测）设 ， 是关于 的方程 的两个根，且 ，则
．
25．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）设实数 ， 满足 ， 且 ，则代数式
的值是 ．26．（2025九年级下·江苏·学业考试）已知 为方程 的两根，则 的最
小值为 ．
六、解答题（12×2=24分）
27.（12分）（2025·广东惠州·一模）关于 的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）是否存在实数 ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出 的值；若 不存在，请说
明理由．
28.（12分）（2023·四川南充·一模）关于x的一元二次方程 中，a，b，c是
的三条边，其中 ．
（1）求证此方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个根是 ， ，且 ，求 ．
