2024南沙区中考一模数学试题答案解析_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_广州2024年中考一模_南沙区

2023 学年第二学期初中毕业班模拟考试（一）数学
本试卷共 6页，25小题，满分 120分．考试用时 120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号
填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内
相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改
液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
5．考试时不可使用计算器．
第一部分 选择题（共 30分）
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，满分 30分．在每小题给出的四个选项中只有
一项是符合题目要求的．）
3
-
1. 2的绝对值是（ ）
2 3 z x 2 3
A. - B. - x C. D.
3 2 k 3 2
.
c
【答案】D o
m
【解析】
【分析】本题考查了绝对值．根据绝对值的性质可得答案．正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它
的相反数，0的绝对值等于0．
3 3
【详解】解：- 的绝对值是 ．
2 2
故选：D．
2. “全民行动，共同节约”．我国14.1亿人口如果都响应国家号召每人每年节约1度电，一年可节约电
1410000000度．将“1410000000”用科学记数法表示，正确的是（ ）
A. 14.1´108 B. 1.41´109 C. 0.141´1010 D. 1.41´1010
【答案】B
【解析】
第1页/共26页
学科网（北京）股份有限公司【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．利用科学记数法的定义解决．科学记
数法的表示形式为a´10n的形式，其中1 £<a 10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a
时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：1410000000=´1.41 109．
故选：B．
3. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了几何体的三视图，根据几何体的三视图判断几何体的形状即可得到答案．
z
【详解】解：根据三视图可知几何体为x：
x
k
.
c
o
m
，
故选：D
4. 下面的计算正确的是（ ）
A. 2a+3b=5ab B. ( 3a3)2 =6a6 C. a6 ÷a2 =a4 D. 2-1 =-2
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了同底数幂的除法、积的乘方、负整数指数幂等知识，根据相应的运算法则计算后即可得
到答案．
【详解】解：A．2a与3b不是同类项，不能进行计算，故选项错误，不符合题意；
第2页/共26页
学科网（北京）股份有限公司B． ( 3a3)2 =9a6，故选项错误，不符合题意；
C．a6 ÷a2 =a4，故选项准确，符合题意；
1
D．2-1 = ，故选项错误，不符合题意．
2
故选：C．
3 2
5. 分式方程 = 的解为（ ）
x-3 x
A. x =6 B. x=-6 C. x=3 D. x=-3
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了解分式方程，按照解分式方程的步骤解方程即可．
3 2
【详解】解： =
x-3 x
去分母得到，3x=-2(x 3)
解得x=-6．
经检验，x=-6是原方程的解．
故选：B
6. 《九章算术》中曾记载：“今有牛五羊二，直金十两；牛二羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”
z
x
译文：“假设有5头牛，2只羊，值金1x0两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多
k
.
c
少两？若设每头牛值金x两，每只羊值金y两o，则可列方程组为（ ）
m
ì5x+2y =10 ì2x+5y =10 ì5x+ y =10 ìx+2y =10
A. í B. í C. í D. í
î
2x+5y =8
î
5x+2y =8
î
x+5y =8
î
2x+ y =8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是设每头牛、每只羊分别值金x两、
y两，根据“5头牛，2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两”列出方程组即可得答案．
ì5x+2y =10
【详解】解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为í ，
2x+5y =8
î
故选A．
7. 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是8cm，当重物上升2πcm时，滑轮的一条半径OA绕轴心
O按逆时针方向旋转的角度为（ ）
第3页/共26页
学科网（北京）股份有限公司A. 60° B. 90° C. 120° D. 180°
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升2πcm时，即弧长是2πcm，设旋转的角度是n°，利用弧
长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键．
【详解】解：滑轮的直径是8cm，
\滑轮的半径是4cm，
设旋转的角度是n°，
nπ´4
由题意得： =2π，
180
解得：n=90，
\滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为90°，
故选：B．
8. 如图，PA，PB是O的切线，zA，B为切点，C为圆上一定点，ÐA=PB° 60 ，OA=4时，ÐC
x
x
k
的大小和PA的长分别是（ ）
.
c
o
m
A. 60°，8 B. 45°，8 C. 60°，4 3 D. 45°，4 3
【答案】C
【解析】
【分析】连接OP，根据切线的性质得到ÐÐ=P=BO PAO 90°，利用四边形内角和计算出ÐAOB，再利
1
用圆周角定理得到ÐACB，根据切线长定理得到OP平分ÐAPB，所以ÐÐA==PO° APB 30 ，从而
2
得到PA= 3OA，即可得到答案．
ス 详解】解：如图，连接OP，
第4页/共26页
学科网（北京）股份有限公司PA，PB是O的切线，A，B为切点，
\OA^ PA，OB^ PB，
\ÐPBO=ÐPAO= 90° ，
\ÐAOB=180°-ÐAPB= 180°- 60°= 120° ，
1
\ÐACB= ÐAOB= 60° ，
2
PA，PB是O的切线，
∴OP平分ÐAPB，
1
\ÐAPO= ÐAPB= 30° ，
2
\=PA 3=OA 4 3．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，切线长定理，解直角三角形，掌握并灵活运用相关知识是解
题的关键．
9. 如图，在等边ABC中，D是边AzC 上一点，连接BD，将△BCD绕点B按逆时针方向旋转60°，得
x
x
到BAE，连接ED，若BC =10，BDk=
.
9，则四边形 ADBE的周长是（ ）
c
o
m
A. 19 B. 20 C. 28 D. 29
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了旋转的性质、等边三角形判定和性质等知识，先由 ABC 是等边三角形得出
AC = AB= BC =10，根据图形旋转的性质得出AE =CDㄑ=BÐD°= BEㄑ EBD 60 ，即可求出结果
【详解】解：∵ABC是等边三角形，
∴AC = AB= BC =10，
∵将△BCD绕点B按逆时针方向旋转60°，得到BAE，
第5页/共26页
学科网（北京）股份有限公司∴AE =CDㄑBD==ÐB°E =9ㄑ EBD 60 ，
∴AE+ AD= AD+CD= AC =10，
∵ÐE=BD° 60 ㄑ=BE =BD 9，
∴四边形ADBE的周长为AD+ AE+BD+BE =1=0´+9 2 28．
故选：C
10. 已知二次函数y=ax2 +bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a+c的图象和反比例函数
b-a
y = 的图象在同一坐标系中大致为（ ）
x
A. B. C. D.
【答案】D
z
【解析】 x
x
k
.
【分析】先根据二次函数的图象开口向上 (ac>0) 和对称轴可知b<0，由 抛 物 线交y的正半轴，可知c>0，
o
m
然后利用排除法即可得出正确答案．本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数
的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
【详解】解：二次函数的图象开口向上，
\>a 0，
b
-> 0，
2a
\<b 0，
\b-a< 0，
b-a
\ y = 的图象必在二，四象限，
x
抛物线与y轴相交于正半轴，
\>c 0，
第6页/共26页
学科网（北京）股份有限公司\+a >c 0，
\=y b+x +a c的图象经过一，二，四象限，
故A、B、C错误，D正确；
故选：D．
第二部分 非选择题（共 90分）
二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分，满分 18分．）
11. 若 x-8在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．
【答案】x≥8
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
x-8≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥8．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式 a(a³0)是解题的关键．
12. 清和四月，草长莺飞，正是踏春好时节．未来6天的每天的最低气温（单位：℃）分别为：17，16，
19，20，22，20，这组数据的中位数z为______．
x
x
【答案】19.5 k
.
c
o
【解析】 m
【分析】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最
中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，据此进行求解即可．
【详解】解：数据共6个，从小到大排列为：16，17， 19，20，20，22，
19+20
∴组数据的中位数为 =19.5．
2
故答案为：19.5
13. 如图，在ABC中，AB= AC，点D为BC边的中点，ÐB= 4°0 ，则ÐC=AD ______°．
【答案】50
第7页/共26页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理，先证明 ABC 是等腰三角形，
ÐÐB= =ACB 40°，得到ÐB=-ACа-18Ð0= B° ACB 100 ，再由等腰三角形三线合一得到答案．
【详解】解：在ABC中，AB= AC，
∴ABC是等腰三角形，ÐÐB= =ACB 40°
∴ÐB=-ACа-18Ð0= B° ACB 100
∵点D为BC边的中点，
1 1
∴°Ðд=Ð==C=A°D BAD BAC 100 50
2 2
故答案为：50
14. 如图，已知抛物线经过点 (-2,-3) 和 (3,-3) 两点，如果点 (1,y ) 与 (2,y ) 在此抛物线上，那么y
1 2 1
______y ．（ 填“＞”“＜”或“＝”）
2
z
【答案】> x
x
k
.
【解析】 c
o
m
【分析】本题考查了二次函数图像的性质，熟练运用二次函数图像的对称性和增减性是解题的关键．先求出
3+-( 2)
1
对称轴为x= = ，又由开口向下得到对称轴右侧y随x的增大而减小，即可得到答案．
2 2
【详解】解：∵抛物线经过点
(-2,-3)
和
(3,-3)
两点，，
3+-( 2)
1
∴对称轴为x= = ，
2 2
∵开口向下，
∴对称轴右侧y随x的增大而减小，
1
∴当 <1<2时， y > y ，
1 2
2
故答案为：>．
15. 如图，ABC中，E是AC 边上的中点，点D、F分别在ABキDE上，且ÐA=FB° 90 ，
第8页/共26页
学科网（北京）股份有限公司AD= DF ，若AB=10，BC=16，则EF 的长为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线性质是解题的关键． 先
证明点D是AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到DF的长，然后利用三角形
的中位线求出DE 长，进而求解即可．
【详解】解：∵AD= DF ，
∴ÐÐA=FD DAF ，
∵ÐA=FB° 90 ，
Ð=Ð∴+ÐÐ=°D+AF ABF AFD BFD 90 ，
∴ÐÐA=BF BFD，
∴BD= DF
∴AD= BD= DF,
z
x
∴点D是AB的中点， x
k
.
1 c
\=DF =AB 5， o m
2
 D，E分别是AB， AC边上的中点，
1 1
\=DE ´==BC 16 8，
2 2
\=E-F=-= DE DF 8 5 3，
故答案为：3．
16. 已知在四边形ABCD中，ÐB=AD° 75 ，ÐÐ=A=BC° ADC 90 ，AB=BC=4 2．
（1）CD的长是______；
第9页/共26页
学科网（北京）股份有限公司（2）若E是CD边上一个动点，连接AE，过点D作DF ^ AE，垂足为点F，在 AF 上截取
FP= FD，当PBC的面积最小时，点P到BC的距离是______．
【答案】 ①. 4 ②. 4 2- 6##-+6 4 2
【解析】
【分析】（1）连接AC ，根据条件易知ABC是等腰直角三角形，所以求得AC =8，再利用ÐB=AD° 75
求得ÐC=AD° 30 ，在Rt△ACD中即可求出CD的长；
（2）连接DP，过点P作PG ^ BC于点G，当点O、P、G共线时，PG的长最小，则PBC的面积最
小．
【详解】（1）解：连接AC ，
在RtアABC 中，ÐA=BC 90°，AB=BC=4 2，
( )2 ( )2
\ÐBAC= 45°ㄑAC= AB2+BC2 = 4 2 + 4 2 =8，
ÐB=AD° 75 ，
\ÐCAD= 75°- 45°= 30° ，
1 1
\在Rt△ACD中，CD== A´C = 8 4；
2 2
故答案为：4
z
x
x
k
.
c
o
m
3
（2）在Rt△ACD中，易得AD=×AC°´==cos30 8 4 3，
2
连接DP，由题意可知アPDF 是等腰直角三角形，
\ÐFPD= 45°，
\ÐAPD=135°，
\点P是△APD外接圆的 AD上的一个动点，
作△APD的外接圆O，连接OAㄑOPㄑOD，得ÐA=OD° 90 ，
\AOD是等腰直角三角形，
2 2
\=OA =AD´ = 4 3 2 6，
2 2
第10页/共26页
学科网（北京）股份有限公司过点P作PG ^ BC于点G，当点O、P、G共线时，PG的长最小，则PBC的面积最小，
当点O、P、G共线时，OG AB，
\ÐAOP=180°-ÐBAD-ÐOAD= 180°- 75°- 4°5= 6°0 ，
\アAOP是等边三角形，AP=OA=2 6，
过点P作PH ^ AB于点H，
∴四边形PGBH 是矩形，
Ð=ÐP=A°H APO 60 ，
1
\=AH =AP 6ㄑ=B-H= -AB AH 4 2 6，
2
则PG=BH =-4 2 6，
故点P到BC的距离是4 2- 6．
故答案为：4 2- 6
z
x
x
k
.
c
o
m
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和面积最小问题，解题的关键是学会添加
常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．
三、解答题（本大题共 9小题，满分 72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步
骤．）
ì2x+5>6
17. 解不等式组：í ．
3(x-<1) 2x
î
1
【答案】 < x<3
2
【解析】
【分析】此题考查了解不等式组，求出每个不等式的解集，取公共部分即可．
第11页/共26页
学科网（北京）股份有限公司ìï2x+5>6Ｒ
【详解】解：í
ïî 3(x-<1) 2xＳ
1
解不等式①得，x> ，
2
解不等式②得，x<3
1
∴原不等式组的解集为 < x<3
2
18. 如图，BD是YABCD的对角线，点E、F在BD上，BF = DE．求证：ÐBAE =ÐDCF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形! 性质得AB//CD，则可得∠ABE＝∠CDF，利用SAS可证得
△ABEＨ△CDF ，根据全等三角形的性质即可求证结论．
【详解】证明：∵BF＝DE
∴BF－EF＝DE－EF，
∴BE＝DF，
∵四边形ABCD是平行四边形， z
x
x
∴AB//CD， k
.
c
o
∴∠ABE＝∠CDF， m
在ABE和CDF中，
ìAB=CD
ï
ÐíÐA=BE CDF，
ï
BE = DF
î
∴△ABEＨ△CDF(SAS)
，
∴ÐÐB=AE DCF ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是
解题的关键．
æ 4m+4ö m+2
19. 已知A= ç m+ ÷ ÷ ．
è m ø m2
（1）化简A；
第12页/共26页
学科网（北京）股份有限公司（2）若点 (m,0) 是抛物线y= x2 +-2x 3上的一点，求A的值．
【答案】（1）m2 +2m
（2）3
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值、抛物线上的点的特征，准确掌握分式的混合运算顺序和二次函数的性
质是解题的关键．
（1）先计算括号内! 加法，再计算除法即可；
（2）把点的坐标代入得到m2 +=-2m 3 0，则m2 +2m=3，整体代入（1）中结果即可．
【小问1详解】
æ 4m+4ö m+2
解：A=
ç
m+
÷
÷
è m ø m2
æm2 4m+4ö m+2
=ç + ÷÷
m m m2
è ø
m2 +4m+4 m+2
= ÷
m m2
(m+2)2
m2
=×
m m+2 z
x
x
k
=m(m+2)
.
c
o
m
=m2 +2m；
【小问2详解】
∵点 (m,0) 是抛物线y= x2 +-2x 3上的一点，
∴m2 +=-2m 3 0
∴m2 +2m=3
∴A=m2 +2m=3
20. 小亮同学参加项目式学习主题活动，想测校园中一棵树的高度（如图AB）， 他 设计出 以 下两 种 方案 来
计算树的高度（两种方案中涉及的点均在同一平面内）．
第13页/共26页
学科网（北京）股份有限公司方案①：如图1，小亮在离B点11米的E处水平放置一个平面镜（可把平面镜看成一个点E）， 然 后 沿射
线BE方向后退2米到点D，此时从镜子中恰好看到树梢A，已知小亮的眼睛到地面的高度CD是1.6米；
方案②：如图2，小亮利用测角仪测量树的高度．已知他离树的水平距离BD为10米，测角仪的高度CD
为1.6米，从点C处测得树顶A的仰角为36°．
请从两种方案中任选一种求树的高度AB．（ 参 考数据：sin36°» 0.59，cos36°» 0.81，
tan36°» 0.72）
【答案】树的高度AB为8.8米
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，根据题目条件并结合图形添加适当的
辅助线是解题的关键．
AB BE AB 11
方案①：证明ABEＦCDE，则 = ，得到 = ，即可求出答案；
CD DE 1.6 2
AE
方案②：过点C作CE^AB，垂足为E．在RtACE 中，利用tanÐA=CE 得到AE =7.2，再利用
z
x CE
x
k
线段求和即可得到AB．
.
c
o
【详解】解：方案①：如图， m
由题意可得，ÐÐA=EB CED，AB^DB,CD^DB，
∴ÐÐ=A=BE° CDE 90 ，
∴ABEＦCDE，
AB BE
∴ = ，
CD DE
第14页/共26页
学科网（北京）股份有限公司AB 11
∴ = ，
1.6 2
解得AB =8.8，
∴树的高度AB为8.8米；
方案②：如图，过点C作CE^AB，垂足为E．
AE
在RtACE中，CE = BD=10，ÐA=CE° 36 ，tanÐA=CE ，
CE
∴AE =ÐCE·tan» A=C´E 10 0.72 7.2，
∴AB= AE+BE = AE+CD=7.2+1.6=8.8(m) ．
21. 某校开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，抽取了部分学生进行调查，调查问卷设置了“A：非
常了解”，“B：比较了解”，“C：基本了解”，“D：不太了解”四个等级，采取随机抽样的方式，要
求每个学生只能填写其中一个等级，并根据调查结果绘制成如图所示不完整的频数分布表，根据表格回答
下列问题：
z
x
等级 频数 频率 x
k
.
c
o
A（非常了解） 25 0.5 m
B（比较了解） 15 0.3
C（基本了解） 8 a
D（不太了解） b 0.04
（1）本次抽样调查的总人数为______人，频数分布表中a = ______；
（2）若该校有学生1000人，请根据抽样调查结果估计该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类的学生
的总人数；
（3）在“非常了解”垃圾分类的学生中，有1个男生2个女生来自同一班级，计划在这3个学生中随机抽
选两个加入垃圾分类宣讲队，请用列表或画树状图的方法求所选的两个学生都是女生的概率．
【答案】（1）50ㄑ0.16
第15页/共26页
学科网（北京）股份有限公司1
（2）800人； （3）
3
【解析】
【分析】本题考查频数分布表以及用树状图或列表法求概率、样本估计总体等知识，理解频率=频数÷总
数，列举出所有可能出现的结果情况是求概率的关键．
（1）根据频率=频数÷总数可计算出得出总数，进而求出a的值；
（2）根据样本中“非常了解”“比较了解”所占的百分比估计总体1000人中“非常了解”“比较了解”的人
数；
（3）用树状图表示所有可能出现的结果情况，进而求出两个学生都是女生的概率．
【小问1详解】
25÷0.5=50（人），
a =8÷50=0.16，
故答案为：50ㄑ0.16；
【小问2详解】
1000´+(0.5 =0.3) 800（人），
答：该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类的学生的总人数有800人；
【小问3详解】
用树状图法表示所有可能出现的结果情况如下：
z
x
x
k
.
c
o
m
共有6种等可能出现的结果情况，其中两个学生都是女生的情况有2种，
2 1
所以两个学生都是女生的概率为 = ．
6 3
1
答：两个学生都是女生的概率为 ．
3
22. 越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东涌的李老师决定用骑行代替开
车去天后宫．当路程一定时，李老师骑行的平均速度v（单位：千米/小时）是骑行时间t（单位：小时）
的反比例函数．根据以往的骑行两地的经验，v、t的一些对应值如下表：
t（小时） 2 1.5 1.2 1
v（千米/小时） 12 16 20 24
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学科网（北京）股份有限公司（1）根据表中! 数据，求李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式；
（2）安全起见，骑行速度一般不超过30千米/小时．李老师上午8:30从家出发，请判断李老师能否在上
午9:10之前到达天后宫，并说明理由；
（3）据统计，汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳．请计算李老师从东涌骑行到天后宫的过程中
二氧化碳的减排量．
24
【答案】（1）v =
t
（2）李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫，理由见解析
（3）4.8千克
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式．
（1）由表中数据可得vt =24，从而得出结论；
2
（2）把t = 代入（1）中解析式，求出v，从而得出结论；
3
24
（3）根据t = 得到从东涌骑行到天后宫的距离为24千米，根据汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二
v
氧化碳即可得到答案．
【小问1详解】
解：根据表中数据可知，vt =24， z
x
x
24 k
\=v ， .
t c
o
m
24
\李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式为v = ；
t
【小问2详解】
李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫，理由：
2
从上午8：30到上午9：10，李老师用时40分钟，即 小时，
3
24
2 v= =36
当t = 时， 2 （千米/时），
3
3
骑行速度一般不超过30千米/小时，
\李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫；
【小问3详解】
∵vt =24，
∴从东涌骑行到天后宫! 距离为24千米，
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学科网（北京）股份有限公司∴李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量为24´=0.2 4.8（千克）．
23. 如图，O是ABC的外接圆，AB为直径，
（1）尺规作图：在直径AB下方的半圆上找点D，使得AD=BD（保留作图痕迹，不写作法）；
10
（2）在（1）所作的图中，连接AD，BD，CD．已知AB=20，sinÐA=DC ，
10
①求四边形ACBD的面积；
②求O到弦CD的距离．
【答案】（1）见解析 （2）①160；②2 5
【解析】
【分析】（1）直接作AB的垂直平分线即可；
（2）①利用分割的思想求解面积，②作出相应辅助线，利用相似三角形的判定及性质求出OG =5，再利
用勾股定理及等面积法进行求解．
z
【小问1详解】 x
x
k
.
解：根据题意作图如下： c
o
m
【小问2详解】
解：①如下图：
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学科网（北京）股份有限公司由圆周角定理知：ÐÐA=DC ABC，
10
sinÐA=DC ，AB=20，
10
AC 10
\sinÐAB=C = ，
AB 10
解得：AC =2 10，
\=BC - =AB2 AC2 6 10，
1
\=S=× AC BC 60，
ABC 2
1 1
S ´===×´AB OD 20 10 100，
ADB 2 2
\=S + S = S 160；
梢" 囔ACBD ADB ABC
z
x
②解：过C作AB的垂线交于E，过Ox作CD的垂线交于F，取CD与 AB的交点为G，
k
.
c
o
m
根据等面积法得：AC×=B×C CE AB，
解：CE =6，
\=AE - =AC2 CE2 2，
\=O-E= OA AE 8，
ÐÐC=EÐGÐ= COG, CGE DGO，
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学科网（北京）股份有限公司\RtCGEＦRtDOG，
3
\=EG OG，
5
解得：OG =5，
\=DG O+G2 O=D2 5 5，
根据等面积法得：DG×=O×F OG OD，
OG×OD
\=OF = 2 5，
DG
O到弦CD的距离为2 5．
【点睛】本题考查了垂直平分线、圆周角定理、相似三角形的判定及性质、勾股定理、利用正弦值求边
长，解题的关键是利用等面积法建立等式求解．
24. 已知抛物线y=-x+-2 ax b a的图象过点A(1,1) ．
（1）求b与a的关系式；
（2）当a>0时，若该抛物线的顶点到x轴的距离是1，求a的值；
（3）将抛物线进行平移，若平移后的抛物线仍过点A(1,1) ，点A的对应点为点A (1-m,-+2a 1) ，当
1
3
m³ - 时，求平移后的抛物线顶点纵坐标的最大值．
2
【答案】（1）b=2a
z
x
（2）a=2或a=2+2 2 x
k
.
15 c
o
（3） m
16
【解析】
【分析】（1）把点A坐标代入即可得到答案；
1
（2）根据b=2a和该抛物线的顶点到 x 轴的距离是 1 得到 a-= a2 1，解方程后根据a>0即可得到答
4
案；
（3）根据题意可知抛物线向左平移m个单位长度，向上平移-2a个单位长度．则平移后的抛物线解析式为
y =- æ ç x+ - 1 a- m ö ÷ 2 a 1 a2．把A(1,1) 代入解得1-+ 1 a=m± æ ç + 1 a 1 ö ÷．当1-+ 1 a=m + 1 a 1时，
è 2 ø 4 2 è2 ø 2 2
1 æ1 ö
m=a ；当1-+ -a=+m ç a 1 ÷时，m=-2（不合题意，舍去）；得到平移后的抛物线解析式为
2 è2 ø
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学科网（北京）股份有限公司æ 1 ö 2 1 æ 1 1 ö 1
y = ç x+ a- ÷ -a a2 ． 即顶点 为 ç - aㄑ-a- a2 ÷ ， 设 p=-a- a2 ， 即
è 2 ø 4 è 2 4 ø 4
1 1
p=-a- a2=- (+a 2)+ 2 1．根据二次函数的性质即可得到答案．
4 4
【小问1详解】
解：∵抛物线y=-x+-2 ax b a的图象过点A(1,1) ．
∴1=-1+-2 a b a，
∴b=2a；
【小问2详解】
∵b=2a
2
æ 1 ö 1
∴y =-x+-=2-+ax=-b a+- x2 ax a x a a a2
ç ÷
è 2 ø 4
∵该抛物线的顶点到x轴的距离是1，
1
∴ a-= a2 1，
4
解得a=2或a=2+2 2或a=-2 2 2，
∵a>0
z
x
∴a=2或a=2+2 2 x
k
.
c
【小问3详解】 o
m
2
æ 1 ö 1
由平移前的抛物线y =-x+-=2-+ax=-b a+- x2 ax a x a a a2，
ç ÷
è 2 ø 4
2
æ 1 ö 1
即y =-x +- a a a2，
ç ÷
è 2 ø 4
因为平移后A(1,1) 的对应点为A (1-m,-+2a 1)
1
可知，抛物线向左平移m个单位长度，向上平移-2a个单位长度．
2
æ 1 ö 1
则平移后的抛物线解析式为y =-x+ - a- m a a2．
ç ÷
è 2 ø 4
2
把A(1,1) 代入，得1=- æ 1+ 1 -a -m ö a 1 a2．
ç ÷
è 2 ø 4
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学科网（北京）股份有限公司2
æ 1 ö 1
1-+ a m= + 1+ a a2．
ç ÷
è 2 ø 4
2 2
æ 1 ö æ1 ö
1-+ a m= + a 1 ，
ç ÷ ç ÷
è 2 ø è2 ø
1 æ1 ö
所以1-+ a=m± ç + a 1 ÷．
2 è2 ø
1 1
当1-+ a=m + a 1时，m=a；
2 2
1 æ1 ö
当1-+ -a=+m ç a 1 ÷时，m=-2（不合题意，舍去）；
2 è2 ø
3 3
因为m³ - ，所以m=³a- ．
2 2
2
æ 1 ö 1
所以平移后的抛物线解析式为y = x+ a- -a a2．
ç ÷
è 2 ø 4
æ 1 1 ö
即顶点为ç - aㄑ-a- a2 ÷，
è 2 4 ø
1 1 1
设 p=-a- a2，即 p=-a- a2=- (+a 2)+ 2 1．
4 4 4
1 3
因为-< 0，所以当a³- 时， p随a的增大而减小，
4 2
z
3 x x1æ 3 ö 2 15
所以当a =- 时， p取最大值为 p =- k- + 2 + 1= ，
ç ÷
2 4.èc 2 ø 16
o
m
15
此时，平移后的抛物线顶点纵坐标的最大值为 ．
16
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象和系数的关系，二次函数的点的坐标特征，二
次函数的图象与几何变换，也考查二次函数的性质．
25. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接BD碍DE．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求DE 的线段长；
（2）若点P是射线DE 上的动点，过点P作PQ^BD，垂足为Q．
①当P在线段DE 上运动时，求2PQ+BQ的取值范围；
②连接AE，若点B，P到直线AE的距离相等，求2PQ+BQ的值．
【答案】（1）3 5
9 2 21 2
（2）① £+£2PQ BQ 6 2，②
2 4
z
x
【解析】 x
k
.
c
【分析】本题考查了解直角三角形，解题关键o是熟练运用三角函数进行求解；
m
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）①求出当 P在线段DE 上运动时，求2PQ+BQ的最大值和最小值即可；②确定点 P的位置，再求
出2PQ+BQ的值即可．
【小问1详解】
解：边长为6的正方形ABCD中，点E是BC的中点，
∴CE =3，ÐC= 9°0 ，CD=6，
∴DE = CE2 +DC2 =3 5．
【小问2详解】
解：如图，过点E作EH ^ BD，垂足为H．
∵CE = BE =3，ÐD=BE° 45 ，
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学科网（北京）股份有限公司3 2
∴HE = BH = ，
2
∵BD= 2DC=6 2，
3 2 9 2
∴HD=-6=2 ，
2 2
EH 1
∴tanÐB=DE = ，
DH 3
设PQ= x，则DQ=3x，BQ =-6 2 3x；
3 2
①当P在线段DE 上运动时，2PQ+BQ=2x+6-= -2 3x£ 6£ 2 x(0 x )，
2
9 2
∴2PQ+BQ的最大值为6 2，最小值为 ；
2
9 2
2PQ+BQ的取值范围为 £+£2PQ BQ 6 2．
2
z
x
x
k
.
c
o
m
②如图，过点D作EK ^ AE，垂足为K，点B，P到直线AE的距离分别是BF,PG的长度，且
BF = PG，
∵点E是BC的中点，
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学科网（北京）股份有限公司5
∴sinÐÐB=A=E sin EDC ，
5
BF 5 6 5
∴ = ，BF = ，
AB 5 5
∵ÐÐ=B+ÐAÐE=°+ °DAE 90 ㄑ ADK DAE 90 ，
∴ÐÐÐ=B+AE DAE ADK ，
6 5 12 5
∴AK = ，DK = ，
5 5
DK 4
∴sinÐA=ED = ，
DE 5
PG 4
∴ = ，
PE 5
6 5
∵BF = PG = ，
5
3 5 3 5
∴PE = ，PD = ，
2 2
1
∵tanÐB=DE ，
3
10 3 5 3 2
∴PQ=´= ，
10 2 4 z
x
x
k
3 2 21 2 .
2PQ+BQ=6- =2 ． c
o
4 4 m
第25页/共26页
学科网（北京）股份有限公司z
x
x
k
.
c
o
m
第26页/共26页
学科网（北京）股份有限公司