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2024南沙区中考一模数学试题答案解析_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_广州2024年中考一模_南沙区

  • 2026-03-05 04:21:56 2026-01-30 00:19:51

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2024南沙区中考一模数学试题答案解析_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_广州2024年中考一模_南沙区
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2023 学年第二学期初中毕业班模拟考试（一）数学 本试卷共 6页，25小题，满分 120分．考试用时 120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改 液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 5．考试时不可使用计算器． 第一部分 选择题（共 30分） 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，满分 30分．在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的．） 3 - 1. 2的绝对值是（ ） 2 3 z x 2 3 A. - B. - x C. D. 3 2 k 3 2 . c 【答案】D o m 【解析】 【分析】本题考查了绝对值．根据绝对值的性质可得答案．正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它 的相反数，0的绝对值等于0． 3 3 【详解】解：- 的绝对值是 ． 2 2 故选：D． 2. “全民行动，共同节约”．我国14.1亿人口如果都响应国家号召每人每年节约1度电，一年可节约电 1410000000度．将“1410000000”用科学记数法表示，正确的是（ ） A. 14.1´108 B. 1.41´109 C. 0.141´1010 D. 1.41´1010 【答案】B 【解析】 第1页/共26页 学科网（北京）股份有限公司【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．利用科学记数法的定义解决．科学记 数法的表示形式为a´10n的形式，其中1 £0) 和对称轴可知b<0，由 抛 物 线交y的正半轴，可知c>0， o m 然后利用排除法即可得出正确答案．本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数 的性质，熟知以上知识是解答此题的关键． 【详解】解：二次函数的图象开口向上， \>a 0， b -> 0， 2a \c 0， 第6页/共26页 学科网（北京）股份有限公司\+a >c 0， \=y b+x +a c的图象经过一，二，四象限， 故A、B、C错误，D正确； 故选：D． 第二部分 非选择题（共 90分） 二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分，满分 18分．） 11. 若 x-8在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________． 【答案】x≥8 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： x-8≥0， 解得：x≥8． 故答案为：x≥8． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式 a(a³0)是解题的关键． 12. 清和四月，草长莺飞，正是踏春好时节．未来6天的每天的最低气温（单位：℃）分别为：17，16， 19，20，22，20，这组数据的中位数z为______． x x 【答案】19.5 k . c o 【解析】 m 【分析】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最 中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，据此进行求解即可． 【详解】解：数据共6个，从小到大排列为：16，17， 19，20，20，22， 19+20 ∴组数据的中位数为 =19.5． 2 故答案为：19.5 13. 如图，在ABC中，AB= AC，点D为BC边的中点，ÐB= 4°0 ，则ÐC=AD ______°． 【答案】50 第7页/共26页 学科网（北京）股份有限公司【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理，先证明 ABC 是等腰三角形， ÐÐB= =ACB 40°，得到ÐB=-ACа-18Ð0= B° ACB 100 ，再由等腰三角形三线合一得到答案． 【详解】解：在ABC中，AB= AC， ∴ABC是等腰三角形，ÐÐB= =ACB 40° ∴ÐB=-ACа-18Ð0= B° ACB 100 ∵点D为BC边的中点， 1 1 ∴°Ðд=Ð==C=A°D BAD BAC 100 50 2 2 故答案为：50 14. 如图，已知抛物线经过点 (-2,-3) 和 (3,-3) 两点，如果点 (1,y ) 与 (2,y ) 在此抛物线上，那么y 1 2 1 ______y ．（ 填“＞”“＜”或“＝”） 2 z 【答案】> x x k . 【解析】 c o m 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，熟练运用二次函数图像的对称性和增减性是解题的关键．先求出 3+-( 2) 1 对称轴为x= = ，又由开口向下得到对称轴右侧y随x的增大而减小，即可得到答案． 2 2 【详解】解：∵抛物线经过点 (-2,-3) 和 (3,-3) 两点，， 3+-( 2) 1 ∴对称轴为x= = ， 2 2 ∵开口向下， ∴对称轴右侧y随x的增大而减小， 1 ∴当 <1<2时， y > y ， 1 2 2 故答案为：>． 15. 如图，ABC中，E是AC 边上的中点，点D、F分别在ABキDE上，且ÐA=FB° 90 ， 第8页/共26页 学科网（北京）股份有限公司AD= DF ，若AB=10，BC=16，则EF 的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线性质是解题的关键． 先 证明点D是AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到DF的长，然后利用三角形 的中位线求出DE 长，进而求解即可． 【详解】解：∵AD= DF ， ∴ÐÐA=FD DAF ， ∵ÐA=FB° 90 ， Ð=Ð∴+ÐÐ=°D+AF ABF AFD BFD 90 ， ∴ÐÐA=BF BFD， ∴BD= DF ∴AD= BD= DF, z x ∴点D是AB的中点， x k . 1 c \=DF =AB 5， o m 2  D，E分别是AB， AC边上的中点， 1 1 \=DE ´==BC 16 8， 2 2 \=E-F=-= DE DF 8 5 3， 故答案为：3． 16. 已知在四边形ABCD中，ÐB=AD° 75 ，ÐÐ=A=BC° ADC 90 ，AB=BC=4 2． （1）CD的长是______； 第9页/共26页 学科网（北京）股份有限公司（2）若E是CD边上一个动点，连接AE，过点D作DF ^ AE，垂足为点F，在 AF 上截取 FP= FD，当PBC的面积最小时，点P到BC的距离是______． 【答案】 ①. 4 ②. 4 2- 6##-+6 4 2 【解析】 【分析】（1）连接AC ，根据条件易知ABC是等腰直角三角形，所以求得AC =8，再利用ÐB=AD° 75 求得ÐC=AD° 30 ，在Rt△ACD中即可求出CD的长； （2）连接DP，过点P作PG ^ BC于点G，当点O、P、G共线时，PG的长最小，则PBC的面积最 小． 【详解】（1）解：连接AC ， 在RtアABC 中，ÐA=BC 90°，AB=BC=4 2， ( )2 ( )2 \ÐBAC= 45°ㄑAC= AB2+BC2 = 4 2 + 4 2 =8， ÐB=AD° 75 ， \ÐCAD= 75°- 45°= 30° ， 1 1 \在Rt△ACD中，CD== A´C = 8 4； 2 2 故答案为：4 z x x k . c o m 3 （2）在Rt△ACD中，易得AD=×AC°´==cos30 8 4 3， 2 连接DP，由题意可知アPDF 是等腰直角三角形， \ÐFPD= 45°， \ÐAPD=135°， \点P是△APD外接圆的 AD上的一个动点， 作△APD的外接圆O，连接OAㄑOPㄑOD，得ÐA=OD° 90 ， \AOD是等腰直角三角形， 2 2 \=OA =AD´ = 4 3 2 6， 2 2 第10页/共26页 学科网（北京）股份有限公司过点P作PG ^ BC于点G，当点O、P、G共线时，PG的长最小，则PBC的面积最小， 当点O、P、G共线时，OG AB， \ÐAOP=180°-ÐBAD-ÐOAD= 180°- 75°- 4°5= 6°0 ， \アAOP是等边三角形，AP=OA=2 6， 过点P作PH ^ AB于点H， ∴四边形PGBH 是矩形， Ð=ÐP=A°H APO 60 ， 1 \=AH =AP 6ㄑ=B-H= -AB AH 4 2 6， 2 则PG=BH =-4 2 6， 故点P到BC的距离是4 2- 6． 故答案为：4 2- 6 z x x k . c o m 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和面积最小问题，解题的关键是学会添加 常用辅助线，学会用转化的思想思考问题． 三、解答题（本大题共 9小题，满分 72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步 骤．） ì2x+5>6 17. 解不等式组：í ． 3(x-<1) 2x î 1 【答案】 < x<3 2 【解析】 【分析】此题考查了解不等式组，求出每个不等式的解集，取公共部分即可． 第11页/共26页 学科网（北京）股份有限公司ìï2x+5>6Ｒ 【详解】解：í ïî 3(x-<1) 2xＳ 1 解不等式①得，x> ， 2 解不等式②得，x<3 1 ∴原不等式组的解集为 < x<3 2 18. 如图，BD是YABCD的对角线，点E、F在BD上，BF = DE．求证：ÐBAE =ÐDCF． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形! 性质得AB//CD，则可得∠ABE＝∠CDF，利用SAS可证得 △ABEＨ△CDF ，根据全等三角形的性质即可求证结论． 【详解】证明：∵BF＝DE ∴BF－EF＝DE－EF， ∴BE＝DF， ∵四边形ABCD是平行四边形， z x x ∴AB//CD， k . c o ∴∠ABE＝∠CDF， m 在ABE和CDF中， ìAB=CD ï ÐíÐA=BE CDF， ï BE = DF î ∴△ABEＨ△CDF(SAS) ， ∴ÐÐB=AE DCF ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是 解题的关键． æ 4m+4ö m+2 19. 已知A= ç m+ ÷ ÷ ． è m ø m2 （1）化简A； 第12页/共26页 学科网（北京）股份有限公司（2）若点 (m,0) 是抛物线y= x2 +-2x 3上的一点，求A的值． 【答案】（1）m2 +2m （2）3 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值、抛物线上的点的特征，准确掌握分式的混合运算顺序和二次函数的性 质是解题的关键． （1）先计算括号内! 加法，再计算除法即可； （2）把点的坐标代入得到m2 +=-2m 3 0，则m2 +2m=3，整体代入（1）中结果即可． 【小问1详解】 æ 4m+4ö m+2 解：A= ç m+ ÷ ÷ è m ø m2 æm2 4m+4ö m+2 =ç + ÷÷ m m m2 è ø m2 +4m+4 m+2 = ÷ m m2 (m+2)2 m2 =× m m+2 z x x k =m(m+2) . c o m =m2 +2m； 【小问2详解】 ∵点 (m,0) 是抛物线y= x2 +-2x 3上的一点， ∴m2 +=-2m 3 0 ∴m2 +2m=3 ∴A=m2 +2m=3 20. 小亮同学参加项目式学习主题活动，想测校园中一棵树的高度（如图AB）， 他 设计出 以 下两 种 方案 来 计算树的高度（两种方案中涉及的点均在同一平面内）． 第13页/共26页 学科网（北京）股份有限公司方案①：如图1，小亮在离B点11米的E处水平放置一个平面镜（可把平面镜看成一个点E）， 然 后 沿射 线BE方向后退2米到点D，此时从镜子中恰好看到树梢A，已知小亮的眼睛到地面的高度CD是1.6米； 方案②：如图2，小亮利用测角仪测量树的高度．已知他离树的水平距离BD为10米，测角仪的高度CD 为1.6米，从点C处测得树顶A的仰角为36°． 请从两种方案中任选一种求树的高度AB．（ 参 考数据：sin36°» 0.59，cos36°» 0.81， tan36°» 0.72） 【答案】树的高度AB为8.8米 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，根据题目条件并结合图形添加适当的 辅助线是解题的关键． AB BE AB 11 方案①：证明ABEＦCDE，则 = ，得到 = ，即可求出答案； CD DE 1.6 2 AE 方案②：过点C作CE^AB，垂足为E．在RtACE 中，利用tanÐA=CE 得到AE =7.2，再利用 z x CE x k 线段求和即可得到AB． . c o 【详解】解：方案①：如图， m 由题意可得，ÐÐA=EB CED，AB^DB,CD^DB， ∴ÐÐ=A=BE° CDE 90 ， ∴ABEＦCDE， AB BE ∴ = ， CD DE 第14页/共26页 学科网（北京）股份有限公司AB 11 ∴ = ， 1.6 2 解得AB =8.8， ∴树的高度AB为8.8米； 方案②：如图，过点C作CE^AB，垂足为E． AE 在RtACE中，CE = BD=10，ÐA=CE° 36 ，tanÐA=CE ， CE ∴AE =ÐCE·tan» A=C´E 10 0.72 7.2， ∴AB= AE+BE = AE+CD=7.2+1.6=8.8(m) ． 21. 某校开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，抽取了部分学生进行调查，调查问卷设置了“A：非 常了解”，“B：比较了解”，“C：基本了解”，“D：不太了解”四个等级，采取随机抽样的方式，要 求每个学生只能填写其中一个等级，并根据调查结果绘制成如图所示不完整的频数分布表，根据表格回答 下列问题： z x 等级 频数 频率 x k . c o A（非常了解） 25 0.5 m B（比较了解） 15 0.3 C（基本了解） 8 a D（不太了解） b 0.04 （1）本次抽样调查的总人数为______人，频数分布表中a = ______； （2）若该校有学生1000人，请根据抽样调查结果估计该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类的学生 的总人数； （3）在“非常了解”垃圾分类的学生中，有1个男生2个女生来自同一班级，计划在这3个学生中随机抽 选两个加入垃圾分类宣讲队，请用列表或画树状图的方法求所选的两个学生都是女生的概率． 【答案】（1）50ㄑ0.16 第15页/共26页 学科网（北京）股份有限公司1 （2）800人； （3） 3 【解析】 【分析】本题考查频数分布表以及用树状图或列表法求概率、样本估计总体等知识，理解频率=频数÷总 数，列举出所有可能出现的结果情况是求概率的关键． （1）根据频率=频数÷总数可计算出得出总数，进而求出a的值； （2）根据样本中“非常了解”“比较了解”所占的百分比估计总体1000人中“非常了解”“比较了解”的人 数； （3）用树状图表示所有可能出现的结果情况，进而求出两个学生都是女生的概率． 【小问1详解】 25÷0.5=50（人）， a =8÷50=0.16， 故答案为：50ㄑ0.16； 【小问2详解】 1000´+(0.5 =0.3) 800（人）， 答：该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类的学生的总人数有800人； 【小问3详解】 用树状图法表示所有可能出现的结果情况如下： z x x k . c o m 共有6种等可能出现的结果情况，其中两个学生都是女生的情况有2种， 2 1 所以两个学生都是女生的概率为 = ． 6 3 1 答：两个学生都是女生的概率为 ． 3 22. 越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东涌的李老师决定用骑行代替开 车去天后宫．当路程一定时，李老师骑行的平均速度v（单位：千米/小时）是骑行时间t（单位：小时） 的反比例函数．根据以往的骑行两地的经验，v、t的一些对应值如下表： t（小时） 2 1.5 1.2 1 v（千米/小时） 12 16 20 24 第16页/共26页 学科网（北京）股份有限公司（1）根据表中! 数据，求李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式； （2）安全起见，骑行速度一般不超过30千米/小时．李老师上午8:30从家出发，请判断李老师能否在上 午9:10之前到达天后宫，并说明理由； （3）据统计，汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳．请计算李老师从东涌骑行到天后宫的过程中 二氧化碳的减排量． 24 【答案】（1）v = t （2）李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫，理由见解析 （3）4.8千克 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式． （1）由表中数据可得vt =24，从而得出结论； 2 （2）把t = 代入（1）中解析式，求出v，从而得出结论； 3 24 （3）根据t = 得到从东涌骑行到天后宫的距离为24千米，根据汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二 v 氧化碳即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据表中数据可知，vt =24， z x x 24 k \=v ， . t c o m 24 \李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式为v = ； t 【小问2详解】 李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫，理由： 2 从上午8：30到上午9：10，李老师用时40分钟，即 小时， 3 24 2 v= =36 当t = 时， 2 （千米/时）， 3 3 骑行速度一般不超过30千米/小时， \李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫； 【小问3详解】 ∵vt =24， ∴从东涌骑行到天后宫! 距离为24千米， 第17页/共26页 学科网（北京）股份有限公司∴李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量为24´=0.2 4.8（千克）． 23. 如图，O是ABC的外接圆，AB为直径， （1）尺规作图：在直径AB下方的半圆上找点D，使得AD=BD（保留作图痕迹，不写作法）； 10 （2）在（1）所作的图中，连接AD，BD，CD．已知AB=20，sinÐA=DC ， 10 ①求四边形ACBD的面积； ②求O到弦CD的距离． 【答案】（1）见解析 （2）①160；②2 5 【解析】 【分析】（1）直接作AB的垂直平分线即可； （2）①利用分割的思想求解面积，②作出相应辅助线，利用相似三角形的判定及性质求出OG =5，再利 用勾股定理及等面积法进行求解． z 【小问1详解】 x x k . 解：根据题意作图如下： c o m 【小问2详解】 解：①如下图： 第18页/共26页 学科网（北京）股份有限公司由圆周角定理知：ÐÐA=DC ABC， 10 sinÐA=DC ，AB=20， 10 AC 10 \sinÐAB=C = ， AB 10 解得：AC =2 10， \=BC - =AB2 AC2 6 10， 1 \=S=× AC BC 60， ABC 2 1 1 S ´===×´AB OD 20 10 100， ADB 2 2 \=S + S = S 160； 梢" 囔ACBD ADB ABC z x ②解：过C作AB的垂线交于E，过Ox作CD的垂线交于F，取CD与 AB的交点为G， k . c o m 根据等面积法得：AC×=B×C CE AB， 解：CE =6， \=AE - =AC2 CE2 2， \=O-E= OA AE 8， ÐÐC=EÐGÐ= COG, CGE DGO， 第19页/共26页 学科网（北京）股份有限公司\RtCGEＦRtDOG， 3 \=EG OG， 5 解得：OG =5， \=DG O+G2 O=D2 5 5， 根据等面积法得：DG×=O×F OG OD， OG×OD \=OF = 2 5， DG O到弦CD的距离为2 5． 【点睛】本题考查了垂直平分线、圆周角定理、相似三角形的判定及性质、勾股定理、利用正弦值求边 长，解题的关键是利用等面积法建立等式求解． 24. 已知抛物线y=-x+-2 ax b a的图象过点A(1,1) ． （1）求b与a的关系式； （2）当a>0时，若该抛物线的顶点到x轴的距离是1，求a的值； （3）将抛物线进行平移，若平移后的抛物线仍过点A(1,1) ，点A的对应点为点A (1-m,-+2a 1) ，当 1 3 m³ - 时，求平移后的抛物线顶点纵坐标的最大值． 2 【答案】（1）b=2a z x （2）a=2或a=2+2 2 x k . 15 c o （3） m 16 【解析】 【分析】（1）把点A坐标代入即可得到答案； 1 （2）根据b=2a和该抛物线的顶点到 x 轴的距离是 1 得到 a-= a2 1，解方程后根据a>0即可得到答 4 案； （3）根据题意可知抛物线向左平移m个单位长度，向上平移-2a个单位长度．则平移后的抛物线解析式为 y =- æ ç x+ - 1 a- m ö ÷ 2 a 1 a2．把A(1,1) 代入解得1-+ 1 a=m± æ ç + 1 a 1 ö ÷．当1-+ 1 a=m + 1 a 1时， è 2 ø 4 2 è2 ø 2 2 1 æ1 ö m=a ；当1-+ -a=+m ç a 1 ÷时，m=-2（不合题意，舍去）；得到平移后的抛物线解析式为 2 è2 ø 第20页/共26页 学科网（北京）股份有限公司æ 1 ö 2 1 æ 1 1 ö 1 y = ç x+ a- ÷ -a a2 ． 即顶点 为 ç - aㄑ-a- a2 ÷ ， 设 p=-a- a2 ， 即 è 2 ø 4 è 2 4 ø 4 1 1 p=-a- a2=- (+a 2)+ 2 1．根据二次函数的性质即可得到答案． 4 4 【小问1详解】 解：∵抛物线y=-x+-2 ax b a的图象过点A(1,1) ． ∴1=-1+-2 a b a， ∴b=2a； 【小问2详解】 ∵b=2a 2 æ 1 ö 1 ∴y =-x+-=2-+ax=-b a+- x2 ax a x a a a2 ç ÷ è 2 ø 4 ∵该抛物线的顶点到x轴的距离是1， 1 ∴ a-= a2 1， 4 解得a=2或a=2+2 2或a=-2 2 2， ∵a>0 z x ∴a=2或a=2+2 2 x k . c 【小问3详解】 o m 2 æ 1 ö 1 由平移前的抛物线y =-x+-=2-+ax=-b a+- x2 ax a x a a a2， ç ÷ è 2 ø 4 2 æ 1 ö 1 即y =-x +- a a a2， ç ÷ è 2 ø 4 因为平移后A(1,1) 的对应点为A (1-m,-+2a 1) 1 可知，抛物线向左平移m个单位长度，向上平移-2a个单位长度． 2 æ 1 ö 1 则平移后的抛物线解析式为y =-x+ - a- m a a2． ç ÷ è 2 ø 4 2 把A(1,1) 代入，得1=- æ 1+ 1 -a -m ö a 1 a2． ç ÷ è 2 ø 4 第21页/共26页 学科网（北京）股份有限公司2 æ 1 ö 1 1-+ a m= + 1+ a a2． ç ÷ è 2 ø 4 2 2 æ 1 ö æ1 ö 1-+ a m= + a 1 ， ç ÷ ç ÷ è 2 ø è2 ø 1 æ1 ö 所以1-+ a=m± ç + a 1 ÷． 2 è2 ø 1 1 当1-+ a=m + a 1时，m=a； 2 2 1 æ1 ö 当1-+ -a=+m ç a 1 ÷时，m=-2（不合题意，舍去）； 2 è2 ø 3 3 因为m³ - ，所以m=³a- ． 2 2 2 æ 1 ö 1 所以平移后的抛物线解析式为y = x+ a- -a a2． ç ÷ è 2 ø 4 æ 1 1 ö 即顶点为ç - aㄑ-a- a2 ÷， è 2 4 ø 1 1 1 设 p=-a- a2，即 p=-a- a2=- (+a 2)+ 2 1． 4 4 4 1 3 因为-< 0，所以当a³- 时， p随a的增大而减小， 4 2 z 3 x x1æ 3 ö 2 15 所以当a =- 时， p取最大值为 p =- k- + 2 + 1= ， ç ÷ 2 4.èc 2 ø 16 o m 15 此时，平移后的抛物线顶点纵坐标的最大值为 ． 16 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象和系数的关系，二次函数的点的坐标特征，二 次函数的图象与几何变换，也考查二次函数的性质． 25. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接BD碍DE． 第22页/共26页 学科网（北京）股份有限公司（1）求DE 的线段长； （2）若点P是射线DE 上的动点，过点P作PQ^BD，垂足为Q． ①当P在线段DE 上运动时，求2PQ+BQ的取值范围； ②连接AE，若点B，P到直线AE的距离相等，求2PQ+BQ的值． 【答案】（1）3 5 9 2 21 2 （2）① £+£2PQ BQ 6 2，② 2 4 z x 【解析】 x k . c 【分析】本题考查了解直角三角形，解题关键o是熟练运用三角函数进行求解； m （1）根据勾股定理求解即可； （2）①求出当 P在线段DE 上运动时，求2PQ+BQ的最大值和最小值即可；②确定点 P的位置，再求 出2PQ+BQ的值即可． 【小问1详解】 解：边长为6的正方形ABCD中，点E是BC的中点， ∴CE =3，ÐC= 9°0 ，CD=6， ∴DE = CE2 +DC2 =3 5． 【小问2详解】 解：如图，过点E作EH ^ BD，垂足为H． ∵CE = BE =3，ÐD=BE° 45 ， 第23页/共26页 学科网（北京）股份有限公司3 2 ∴HE = BH = ， 2 ∵BD= 2DC=6 2， 3 2 9 2 ∴HD=-6=2 ， 2 2 EH 1 ∴tanÐB=DE = ， DH 3 设PQ= x，则DQ=3x，BQ =-6 2 3x； 3 2 ①当P在线段DE 上运动时，2PQ+BQ=2x+6-= -2 3x£ 6£ 2 x(0 x )， 2 9 2 ∴2PQ+BQ的最大值为6 2，最小值为 ； 2 9 2 2PQ+BQ的取值范围为 £+£2PQ BQ 6 2． 2 z x x k . c o m ②如图，过点D作EK ^ AE，垂足为K，点B，P到直线AE的距离分别是BF,PG的长度，且 BF = PG， ∵点E是BC的中点， 第24页/共26页 学科网（北京）股份有限公司5 ∴sinÐÐB=A=E sin EDC ， 5 BF 5 6 5 ∴ = ，BF = ， AB 5 5 ∵ÐÐ=B+ÐAÐE=°+ °DAE 90 ㄑ ADK DAE 90 ， ∴ÐÐÐ=B+AE DAE ADK ， 6 5 12 5 ∴AK = ，DK = ， 5 5 DK 4 ∴sinÐA=ED = ， DE 5 PG 4 ∴ = ， PE 5 6 5 ∵BF = PG = ， 5 3 5 3 5 ∴PE = ，PD = ， 2 2 1 ∵tanÐB=DE ， 3 10 3 5 3 2 ∴PQ=´= ， 10 2 4 z x x k 3 2 21 2 . 2PQ+BQ=6- =2 ． c o 4 4 m 第25页/共26页 学科网（北京）股份有限公司z x x k . c o m 第26页/共26页 学科网（北京）股份有限公司
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