宜宾市普通高中2023级高考适应性演练数学答案_2024-2027高三（6-6月题库）_2026年05月高三试卷_260503四川省宜宾市普通高中2023级高考适应性演练（宜宾三诊）（全科）

宜宾市普通高中 2023 级第三次诊断性测试
数学答案解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
B A B D D C B C
1．【详解】因为集合U=-1,1,2,3  ,A=1,2  ，所以∁ A=-1,3
U
 .故选：B.
1+i 1+i)(2+i
2．【详解】由复数的除法运算法则得： =
2-i

2-i)(2+i 
2+3⋅i+i⋅i 1+3i 1 3i
= = = +
22-i2 5 5 5
1 3
其对应的点为 ,
5 5
 ，故对应点位于第一象限.故选：A.
3．【详解】因为数列a
n

5(a +a )
为等差数列，所以a +a =2a =20，a =10,S = 1 5 =5a =5,所以a =
2 10 6 6 5 2 3 3
1，则a -a =3d,d=3，所以a =a +3d=19.故选：B.
6 3 9 6
 
4．【详解】因为2a+b=4,m+4 
 
，2a+b 

⎳a，所以8=-m+4  ，解得m=-12，故选：D.
5．【详解】gx 
π
=fx+
6

π
=sin2x+ +φ
3
 ，gx 
π
的图象关于原点对称，则 +φ=kπ，k∈Z，解得φ=
3
π
kπ- ，k∈Z，又φ
3

π π
< ，故当k=0时，φ=- ，满足要求，其他均不满足.故选：D
2 3
6．【详解】将4名同学安排到3个岗位的方案共有C2A3=36种．将甲、乙视为1个人，即相当于将3名同学
4 3
安排到3个岗位，共有A3=6种，所以甲、乙两人不负责同一个服务岗位，不同的安排方案共有36-6=30
3
种.故选：C.
7．【详解】因为PM  -PN  =4<2 5=MN  ，故P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，
x2
而半焦距c= 5，实半轴长为2，故双曲线右支的方程为： -y2=1x≥2
4

1
，故渐近线方程为y=± x，
2
1 1
而直线y=kx与双曲线右支有公共点，故k∈- ,
2 2
 .故选：B.
8．【详解】由fx 
xt
=x- ，则fx
t
 =1-xt-1，
因为fx  在a,+∞  上单调递增，所以fx  ≥0在a,+∞  上恒成立，
即1-xt-1≥0，即xt-1≤1，对x∈a,+∞  恒成立，a>0，所以t-1≤0，
当t-1=0即t=1时，此时fx  =0不合题意；
当t-1<0，即t<1时，幂函数y=xt-1在a,+∞  上单调递减，
∴at-1≤1，则a≥1，所以t没有最大值，a有最小值.故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对
的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
ABD ACD ACD
9．【详解】因为轴截面SAC是等腰直角三角形，圆锥的母线长l=2 2，∴SO=OC=2，圆锥底面圆O半
径r=OC=2，
对于A，圆锥SO的侧面积为：πrl=4 2π，A正确；
π
对于B，点B是弧A,C的中点，AB=BC=2 2,此时△SAB为等边三角形，∠ASB= ,B正确；
3
π
对于C，由B可知，△SBC也为等边三角形，∠SBC= ，所以BC 不垂直平面SAB,C错误；
3
数学答案·第1页，共6页·1 1 8
对于D，棱锥S-ABC体积为： ×S ×SO= ×4×2= ,D正确.故选：ABD
3 △ABC 3 3
1 sinα sinβ 1 sinαcosβ+cosαsinβ 1
10．【详解】由tanα+tanβ=- ，得 + =- ，所以 =- ，
6 cosα cosβ 6 cosαcosβ 6
sin(α+β) 1 1 2
则 =- ，所以sin(α+β)=- cosαcosβ=- ，A正确；
cosαcosβ 6 6 10
π π 7 2 7 2
由- <α+β< ，得cos(α+β)= 1-sin2(α+β)= ，则cosαcosβ-sinαsinβ= ，解得
2 2 10 10
2
sinαsinβ=- ，B错误；
10
2 π
又cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ= ，又-π<α-β<0，所以α-β=- ，C正确；
2 4
π tanα-tanβ
由α-β=- ，得tan(α-β)= =-1，
4 1+tanαtanβ
sinαsinβ 1 5 1
所以tanα-tanβ=-1-tanαtanβ=-1- =-1+ =- ，与tanα+tanβ=- 联立，得
cosαcosβ 6 6 6
1
tanα=- ，D正确.故选：ACD
2
x2 y2 3x2
11．【详解】对于A，由椭圆C： + =1，可得y2=3- ，设P(x，y)，其中-2≤x≤2，则
4 3 4
3x2 x2
|OP|2=x2+y2，所以|OP|2=x2+y2=x2+3- =3+ ，当x=0时，|OP|2取得最小值，
4 4
最小值为3，OP  的最小值为 3,所以A正确;
对于B，|PF|=a- 2e，|PF|=a+ 2e，设∠FPF 的角平分线
2 1 1 2
x +c |PF| a+ 2e
与x轴交点横坐标x ，由角平分线性质知 T = 1 = ，即
T c-x |PF| a- 2e
T 2
2
2+
x +1 2 4+ 2 2
T = = ，解得x = ，故B错误；
1-x 2 4- 2 T 4
T 2-
2
对于C，若S的圆心在△FPF 外，可以先考虑S的圆心在△FPF 上的情况，此时△FPF 为直角三角形，不
1 2 1 2 1 2
b2
|PF| a 3
妨设P在第一象限，则tan∠PFF = 2 = = ，故若S的圆心在△FPF 外，此时∠PFF 小于S的
1 2 |FF| 2c 4 1 2 1 2
1 2
3
圆心在△FPF 上的情况，故tan∠PFF < ，故C正确；
1 2 1 2 4
对于D,设过点P，A，B的圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，设P(x ，y )，且
0 0
x2 y2
0 + 0 =1，x ≠±2，则x2+y2+Dx +Ey +F=0，4-2D+F=0，4+2D+F=0，
4 3 0 0 0 0 0
4
4-4- y2
4-x2-y2 3 0
得D=0，F=-4，E= 0 0 =
y
0
 -y2
0 y
= 0 ，则过点P，A，B的圆的方程为
y 3
0
y y
x2+y2+ 0 y-4=0，圆心M0，- 0
3 6
 ，因PR为圆M的直径，则P，R关于点M对称，
4y
则R-x ，- 0
0 3

4y 3y x2 y2
，令x=-x ，y=- 0 ，则x =-x，y =- ，因 0 + 0 =1，则
0 3 0 0 4 4 3
4x2+3y2=16，因x ≠±2，则R点的轨迹方程为4x2+3y2=16(x≠±2)，故D正确；
0
故选ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．【详解】根据题意可得a 为二项展开式中x3的系数，所以根据T =C2(2x)3(-1)2=80x3可得a =80,故
3 3 5 3
答案为：80.
数学答案·第2页，共6页·b2+c2-a2 1 π 1 1 π 3 3
13．【详解】由题意得cosA= = ，∴A= ，S = bcsinA= × 3×csin = ，
2bc 2 3 △ABC 2 2 3 4
c= 3，所以△ABC是等边三角形，则a= 3，
a 3
所以其外接圆的半径为R= = =1，故答案为：1.
2sinA π
2sin
3
14．【详解】已知正四面体ABCD的外接球为球O，因为其棱长为2 6，
6
所以该正四面体的高为h= a=4，外接球O的半径为R=3，内切球O的半径为r=1，
3
由对称性不妨令球O上一点P在面BCD下方时取到最大，
所以V =V +V +V -V ，即h=d +d +d -d ，
A-BCD P-ABC P-ABD P-ACD P-BCD P-ABC P-ABD P-ACD P-BCD
则d +d +d =h+d =4+d ，
P-ABC P-ABD P-ACD P-BCD P-BCD
所以d +d +d +d =4+2d ，又因为(d ) =R-r=3-1=2，
P-ABC P-ABD P-ACD P-BCD P-BCD P-BCD max
所以4+2d
P-BCD
 =4+2×2=8，所以距离和的最大值为8．故答案为：8.
max
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
3 1 1
15．【详解】(1)由a -2a = ，得a + =2a +
n+1 n 2n+1 n+1 2n+1 n 2n

1
a +
n+1 2n+1
即 =2∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3分
1
a +
n 2n
1 1
又a + =1，所以数列a +
1 21  n 2n
 是以1为首项，2为公比的等比数列∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分
1 1
(2)由(1)得，a + =2n-1，则a =2n-1- ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分
n 2n n 2n
1 1
1- (1-2n) 2 2
所以S = -
n 1-2

n
    1
=2n-1-1+
1 2
1-
2

n 1
=2n+
2

n
-2∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅13分
16．【详解】(1)取G为AD的中点，连接EG，FG，
1
因为F为AC中点，所以FG⎳CD，且FG= CD=1∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分
2
1
又E为AB中点，BE⎳CD，且BE= CD=1，
2
∴FG⎳BE，且FG=BE=1，所以四边形BFGE为平行四边形，∴BF⎳EG∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分
又因为EG⊂平面ADE，BF⊄平面ADE，
∴BF⎳平面ADE∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7分
(2)由题意得，△ABD为等边三角形，DE⊥EA，DE⊥EB，即DE⊥AE.
又因为AE∩BE=E，所以DE⊥平面ABE.
以E为原点，ED，EB以及垂直于平面BCDE的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
又因为BE⊥DE，AE⊥DE，所以∠AEB即为二面角A-DE-C的平面角，即∠AEB=120°.
则E0,0,0 
1 3
，A0,- ,
2 2
 ，C 3,2,0  ，D 3,0,0  ∙∙⋅∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分
数学答案·第3页，共6页·
5 3
CA=- 3,- ,
2 2


1 3
，EA=0,- ,
2 2


，ED= 3,0,0  ，

设平面ADE的法向量n=x,y,z  ，

 1 3
n⋅EA=0 - y+ z=0 
则  ，即 2 2 ，取n=0, 3,1
n⋅ED=0 x=0
 ∙∙⋅∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙⋅⋅12分


设直线CA与平面ADE所成的角为θ，则sinθ= cosCA,n   


CA⋅n
=

 CA   n 
2 3 30
= = ， 2 10 10
30
所以直线CA与平面ADE所成角的正弦值为 ∙∙⋅∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙⋅⋅⋅⋅15分
10
1 1
17．【详解】(1)当a= 时，f(x)= ex-lnx-1，定义域为(0,+∞)
2e2 2e2
1 1 xex-2e2
所以f(x)= ex- = ∙∙⋅∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分
2e2 x 2e2x
1 1
因为y= ex在(0,+∞)上单调递增，而y=- 在(0,+∞)上单调递增，
2e2 x
1 1 xex-2e2
所以f(x)= ex- = 在(0,+∞)上单调递增∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分
2e2 x 2e2x
又因为f(2)=0，所以当0<x<2时，f(x)<0，f(x)单调递减，当x>2时，f(x)>0，f(x)单调递增，
所以x=2是f(x)的极小值点，也是最小值点，
1 1
即f(x) =f(2)= ×e2-ln2-1=- -ln2∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分
min 2e2 2
1
(2)因为f(x)=aex- ，x>0
x
1
①当a≤0时，f(x)=aex- <0，f(x)无极值∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙⋅⋅⋅⋅⋅∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分
x
1
②当a>0时，因为x 是极小值点，所以f(x )=0，即a= .
0 0 x ex0
0
1 1
又因为f(x )=0，代入得：aex0-lnx -1=0，将a= 代入得： -lnx -1=0∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙⋅⋅∙∙⋅⋅⋅⋅⋅11分
0 0 x
0
ex0 x
0
0
1 1 1
设g(x)= -lnx-1，g(x)=- - <0，所以g(x)在(0,+∞)单调递减∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙⋅⋅∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙⋅⋅∙∙⋅⋅⋅⋅⋅13分
x x2 x
1 1
又因为g(1)=0，故g(x)=0有唯一解为x =1，代入a= = ，
0 x ex0 e
0
1
∴a= ∙⋅∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 15分
e
p
18．【详解】(1)P是C上一点，所以|PF|=x 0 + 2 ，且PF  =1+x ， 0
p
所以 =1，解得p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3分
2
(2)(ⅰ)由题意知，直线l 的斜率存在且不为0，不妨设为k>0，则l 的方程为y=k(x-1)．
1 1
由

y=k(x-1) ，得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
y2=4x
4
设A(x ，y)，B(x ，y )，则x ，x 是上述方程的两个实根，于是x +x =2+ ，xx =1
1 1 2 2 1 2 1 2 k2 1 2
1
因为l ⊥l ，所以l 的斜率为- ．
1 2 2 k
设D(x ,y )、E(x ,y )，同理可得x +x =2+4k2，x x =1∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅6分
3 3 4 4 3 4 3 4
             
AD∙EB=(AF+FD)∙(EF+FB)=AF∙FB+FD∙EF=|AF|∙|FB|+|FD|∙|EF|
1
=(x +1)(x +1)+(x +1)(x +1)=8+4k2+
1 2 3 4 k2
 ≥16，
 
1
当且仅当k2= 即k2=1时，AD∙EB取得最小值16∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分
k2
数学答案·第4页，共6页·y -y
(ⅱ)由题意可知AD的直线方程：y-y 1 = x 1 -x 3 x-x 1
1 3
 ，
4
又y2 1 =4x 1 ，y2 3 =4x 3 ，所以AD的直线方程可化为：y-y 1 = y +y x-x 1
1 3
 ，
4+yy
又x =1，故可得y = 1 3 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11分
M M y +y
1 3
4
同理可得直线BE的方程为y-y 2 = y +y x-x 2
2 4
 ，
4+y y
又x =1，故y = 2 4 ，
N N y +y
2 4
4
4+-
y
由(ⅰ)可得yy =y y =-4，所以可得y = 1
1 2 3 4 N

4
-
y
3

4+yy
=- 1 3 ，
4 4 y +y
- - 1 3
y y
1 3
可得y +y =0，所以可得MN的中点恒为F∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅13分
M N
以MN为直径的圆与y轴相切等价于y =|OF|=1，
M
4+yy
若y =1，则1= 1 3 ，所以yy +4=y +y ，
M y +y 1 3 1 3
1 3
4 4 4
又l ⊥l ，所以 ⋅ =-1，故y -
1 2 y +y y +y 1 y
1 2 3 4 1

4
y -
3 y
3
 =-16，
整理可得y 1 y 3  2-4y2 1 +y2 3  +16=-16yy ， 1 3
即y 1 y 3 +4  2=4y 1 -y 3  2，
由k>0，故y >y ，所以yy +4=2(y -y )．
1 3 1 3 1 3
又yy +4=y +y ，故可得y =3y ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅15分
1 3 1 3 1 3
代入方程yy +4=y +y 可得，3y2-4y +4=0，
1 3 1 3 3 3
Δ=16-48=-32<0，
故不存在以MN为直径的圆与y轴相切∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅17分
19．【详解】(1)恰好经过3次检验就能把不合格的产品样本全部检验出来为事件A，
事件A分为两种情况，一种是前两次检验中，其中一次检验出不合格品，第三次检验出不合格样品，二是前
三次均无不合格样品，所以，PA 
C1C1A2+A3 3
= 3 2 2 3 =
A3 10
5
3
所以恰好经过3次检验就能把不合格的产品样本全部检验出来的概率为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分
10
(2)(ⅰ)由已知得Eξ 1  =k，ξ 的所有可能取值为1，k+1， 2
所以Pξ 2 =1  =1-p  k，Pξ 2 =k+1  =1-1-p  k ，
所以Eξ 2  =1-p  k+k+1  1-1-p  k   =k+1-k1-p  k∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分
若Eξ 1  =Eξ 2  ，则k=k+1-k1-p  k，
所以k1-p  k=1，1-p 
1
k= ，
k
1
所以1-p=
k

1 1
k，得p=1-
k

1
k，
1
所以P关于k的函数关系式p=f(k)=1-
k

1
k(k≥2且k∈N*)∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅8分
(ⅱ)由题意可知n=mk，X的可能取值有m、m+k、m+2k、⋯、m+mk，
则PX=m+ik  =C m i 1-1-p  k   i⋅1-p  m-i  k i=0,1,2,⋯,m 
所以，EX 
m
= m+ik
i=0
 C m i 1-1-p  k   i 1-p  m-i   k∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分
数学答案·第5页，共6页·m!
因为iCi =i⋅ m i!m-i 
m×m-1
= !
 !
i-1  !m-i  ! =mC m i- - 1 1i≥1  ，
所以，EX 
m
=m C m i 1-1-p
i=0
 k   i 1-p  m-i 
m-1
 k+mk C m i- - 1 1 1-1-p
i=1
 k   i 1-p  m-i   k
m
=m C m i 1-1-p
i=0
 k   i 1-p  m-i   k+mk 1-1-p  k  
m-1
C m i- - 1 1 1-1-p
i=1
 k   i-1 1-p  m-i   k
=m 1-1-p  k+1-p  k   m+mk 1-1-p  k   ⋅ 1-1-p  k+1-p  k   m-1
=m+mk 1-1-p  k  
n
= +n 1-1-p
k
 k   ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅13分
令EX 
n
= +n 1-1-p
k
 k  
1
=n +1-1-p
k
  k 

 ≥n，
1
可得 ≥1-p
k
 k恒成立，
两边取自然对数，可得-lnk≥kln1-p  ，其中k>0，得ln1-p 
lnk
≤- ⋅∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅14分
k
不妨设fx 
lnx
=- ，其中x>0，则fx
x

lnx-1
= ，
x2
当0<x<e时，fx  <0；当x>e时，fx  >0，
所以，函数fx  的单调递减区间为0,e  ，单调递增区间为e,+∞  ，
因此，fk  ≥fe 
1
=- ，此时k=e，且f4
e

ln4 2ln2 ln2
=- =- =- =f2
4 4 2
 ，
但由于k是n的正因数，
所以fk  ≥max f2  ,f3    =max f4  ,f3    =f3 
ln3
=- ，
3
那么ln1-p 
ln3 1 1 3 1 3 1 1
≤- = ln =ln ，所以0<1-p≤ ，故1- ≤p<1，
3 3 3 3 3 33
1
其实际意义为：当1- ≤p<1时，分组混检次数的期望要比逐个检测的期望大，说明逐个检测较好.
33
⋅∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅ 17分
数学答案·第6页，共6页·