高三 数 学
本试卷共19题，满分150分，共4页。考试用时120分钟。
★稳扎稳打 金榜题名★
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作
答，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；
非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.设集合A={1,2,3,4},B={x|2*<8},则Venn图中阴影部分表示的集合是
A.{4;
B.{1,2}
A B
C.{3,4}
D. {2,3,4}
2.已知点A(0,2),向量n=(-1,1),若n与直线1:y=kx垂直，则A到I的距离等于
B.√2 D. 2√2
A. 1 C. 2
3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量， 人数单位：万人) …
9.5 区A
8.8
收集并整理了2025年国庆期间该市A和B两个景区的日 86
78 解区B
70
接待人数的数据(单位：万人),绘制了如下折线图，则
64
5.8
A.景区A这7日数据的第80?位数是8.7 5.0
4.7
4.5 42
3.7
B.景区B这7日数据的极差是1.7 3.1
*2.8
C.景区A这7日数据的平均数比景区B的两倍小
D.景区B这7日数据的方差比景区A的大 1 2 3 45 67 自期
2025年101
4.在公差为2的等差数列{a}中，a?,a?,a,成等比数列，则{a}的前7项和为
A.3 B. 5 C.9 D. 21
高三数学试题 第1页(共4页)5.在平面直角坐标系xOy中，已知两抛物线C?:y2=2px和C?:x2=2py,且F为C?的焦点，
Q为C?与C?的公共点.若|0Q=2√2,则|FQl=
B.
c.√5
A. 2 D.3
f(x)=3x+x2
6.“函数 在区间(a-4,a)内存在最小值”的充分不必要条件可以是
A. 0<a<2 B. 1<a<4 C.I≤a<4 D. -2<a<2
7.某超市在售的西瓜均可视为实心球体，且瓜皮厚度均匀相等.已知大、小两种西瓜的售价
分别为80元/个、10元/个，且半径之比约为2:1.若以西瓜瓜瓤的体积与其售价的比值作
为西瓜的性价比，则
A.大西瓜的性价比高 B.小西瓜的性价比高
C.大、小西瓜的性价比一样 D.大、小西瓜的性价比的高低不确定
π一2
xe(4,8)
8.已知 是函数f(x)= sin(ox-3)(w>0)的一个零点，当 时，f(x)<0,则方程
2|f(x)|=1-f(x)在区间(0,3π)内所有根的和为
A.52 B. 2 c.15
24
D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。
9.记S。为数列{a}的前n项和，若a?=1,aa+1=S。,则
A.a?=2
B.{a}为等比数列
C. S?=16
D. {log?S}为等差数列
10.已知点A在直线1:y=√3x+4上，点B,C在圆0:x2+y2=r2(r>0)上，若|AB=AC|,且
BC//1,则下列说法正确的是
A.当r=2时，直线1与圆O相切 B.直线OA倾斜角为150°
C.当r=√2时，∠BAC可能为90° D.若∠BAC=60°,则r的取值范围为(1,+∞)
11.已知随机事件A,B均包含于必然事件Ω,若0<P(A)<1,0<P(B)<1,则
A.P(B|A)+P(B|A)=P(A) B. P(A)+P(B)≤1+P(AB)
C. |P(AB)-P(4)P(BI≤
D. P(B|A)·P(A|B)=P(AB)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)= tanx+ax-1,f(1)=2,则f(-1)=___.
高三数学试题 第2页(共4页)13.对于复数z,z?,定义z?vz?为z?z?的实部.若z=i,z?VZ?=1,则z?可以为_____.(写
出一个满足条件的答案)
14.已知F,F?为双曲线E的焦点，点P在E上，点M,G分别为△PF?F?的内心和重心.若
MG//FF?,且sin∠FPF?=3,
,则E的离心率为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(13分)
已知锐角△ABC的面积为6,且AB=2.
LABC=4,
(1)若 ,求BC;
(2)若BC=2DB,且BC=10,求sin∠BAD.
16.(15分)
某商场举行五一节优惠活动，顾客每消费满100元可抽奖一次.抽奖规则如下：箱中共有
4个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，顾客每次随机摸出3个球，若摸出的红球不
少于2个则中奖，否则不中奖.各次抽奖互不影响.
(1)求抽奖一次中奖的概率；
(2)商场规定每中奖一次，返现10元.设某顾客在活动期间消费M元，按规定返现Y
元.若事件“Y=100”的概率最大，求M的最小值.
高三数学试题 第3页(共4页)17.(15分)
如图1,在梯形ABCD中，AD// BC,∠BAD=30°,BC=1,BP⊥AD于P,BP=2.将
△ABP沿BP翻折至△A'BP,使得A'C=√17,如图2.
(1)证明：A'P⊥平面BCDP;
13,
(2)已知四棱锥A'-BCDP的体积为 ,若点Q在线段A'C上，且二面角Q-PD-B
的大小为60°,求直线A'D与平面QPD所成角的正弦值.
A'
Q
P
A D
P
D
B C B C
图1 图2
18.(17分)
已知椭圆C:芒+2=1.
分别与y轴正半轴、x轴正半轴交于A,B两点.
(1)求直线AB的方程；
(2)设M,N为椭圆上的两个动点，在四边形AMNB中，MN // AB.
(i)证明：直线AM与BN的斜率之积为定值；
(ii)设O为坐标原点，过0的直线交C于P,Q两点，OM+ON=λOP,其中λ≠0.判
断是否存在直径为3的圆经过M,N,P,Q四点?若存在，求λ;若不存在，说明理由.
19.(17分)
已知函数f(x)=kx+In(l+x),其中k≥0,数列{a,}满足a?=2,an=f(a+1).
g(x)=f(x)-×2-x,
(1)设 若k=0,求g(x)的最大值；
(2)若k=1,证明：当n≥2时，(a+2)(a?+2…(Qa+2)>2”2;
(3)当I≤n≤2026时，a?<a+1,求k的取值范围.
高三数学试题 第4页(共4页)
