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数学月考2 参考答案
一、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
A
D
D
B
C
C
B
D
5．【详解】函数
在
上单调递增，又
，
，则函数
有
且仅有一个零点
，且
，则
.故选：C
6．【详解】因为函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，设
时，则
，可得
，.故选：C
7．【详解】由题意得
，解得
，所以
，当
时，得
，即
，两边取对数得
，所以
，故选：B.
8．【详解】因为
，所以
.因为
，所以
.
，易知
，以下判断
的正负，
，所以
，
，所以
， 故选：D.
二、多选题
9
10
11
ACD
AC
BCD
9．【详解】对于A，易知A 正确；对于B，函数
的单调递减区间为
和
，不能合并，故B 错
误；对于C，解不等式
，可得
，即函数的定义域是
，故C 正确；对
于D，函数
，且其定义域为
，定义域和对应关系均与函数
一致，故D 正确.故选：ACD
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10．【详解】对于A，
，当且仅当
时取等号，故A 正确；对于B，因为
在
上单调递增，所以
，故B 错误；对于C，当
时，
，当且仅当
取到等号，故C 正确；对于D，
，当且仅当
取到等号，取不到等号，故D 错误.故选：AC.
11．【详解】当
时，
，不等式不成立，所以
不是不等式
的解；当
时，
，此时
，即
，当
时，显然
不成立；当
时，则
，此时无解；
当
时，则
，又
，则解集为
；当
时，
，此时
，即
，当
时，
恒成立，则解集为
；当
时，
可得
，又
，则解集为
；
当
时，
可得
，此时无解.综上，解集可能为
、
、
.故选：BCD
三、填空题
12．
【详解】根据三角函数的定义，
，则
．
13．
【详解】
，
14．
【详解】
图像如下，可知
时，与
恰有四个不同交点，所以
的取值范围是
四、解答题
15．【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）
在第二象限，
，
.（2）
.
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16．【答案】（1）奇函数，证明见解析；(2)
在
上单调递增，证明见解析；(3)
【详解】（1）
是奇函数，证明：因为
定义域
关于原点对称，且
，故
是奇函数.（2）
在
上单调递增，证明：取任意
，且
，则
；因为
，且
，所以
，
，即
，所以
，即
，因此
在
上单调递增.（3）因为
是在
上单调递增，且
是奇函数，所以由
，得
，因此
需满足
，解得
，即
，故实数
的取值范围为
.
17．【答案】(1)
，
(2)
（百GPU 小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高，最高为
4
【详解】（1）因为
，又
，所以
.所以当
时
，又因为
在
处函数图象是连续不断的，所以
，解得
.
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（2）由（1）可得
，当
时，
，此时
.因为
，所以
，当且仅当
时，即
时等号成立，此时
，此时
的最大值为
；当
时，
，此时
，
综上，当
时，“天穹”大模型的标准化训练效率最高，最高为
.
18．【答案】(1)
；(2)
； (3)
或
或
.
【详解】（1）由
可得
，因为关于
的不等式
的解集为
，
所以
和
是方程
的两根，所以
，解得：
.
（2）因为对任意
，不等式
恒成立,所以
，其中
.
当
时，
在
单调递增，
，解得
，故
；
当
时，
，解得
，故
；
当
时，
在
单调递减，
，解得
，无解；综上，
.
（3）当
时，
，
，最小值为
，解得
，符合条件；
当
时，
，
，故
，最小值为
，解得
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(舍去负根)，符合条件；
当
时，
，但
，此时
最小值为0，
最小值为
，无解；
当
时，
在
单调递减，
，
，故
最小值为0，
，符合条件；综上所述，
或
或
.
19．【答案】(1)不是 (2)（ⅰ）
；（ⅱ）
【详解】（1）令
可解得
，即
有且只有两个零点0 和
，因为
，所以
不是“零点相近函数”．
（2）（ⅰ）函数
的零点即方程
的不同根，令
，得
，即
，当
时，有两个不同根
（设
），则
，由题意可知
，进而可知
由于
，所以
，由
得：
，解得
．
（ⅱ）
，设
，则原式化为
，即
（*），
为偶函数，且在
单调递增，
，
最小值为
．则要使得原函数为“零点相近函数”，有以下两种可能：
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情形1：（*）式在
有根，则
在
有根，从而另一根在
，满足“零点相近
函数”定义，此时
得
；
情形2：（*）式在
无根，但有根在
，若只有一个
，此时对应的
的根大于
，从而两根之差超过1；所以要成为“零点相近函数”，只有两个不同t 值在y 轴
同侧与
产生的交点横坐标之差不超过1．所以（*）式必须在
有两个不同根，设为
，令
，
有
令
，有
由
（ⅰ）问可知，欲便
，只需
，即
．设
，如果
，则
，则
．而
所以
，
从而由
知
，矛盾．所以
不成立．即
恒成立．则
，综上：
.
