文档文本内容
第1⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
2025—2026 上学期协作校⾼⼀第⼆次考试
数学试题
注意事项：
1.答题前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、考⽣号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每⼩题答案后，⽤铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊.如需改动，
⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号.回答⾮选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
⽆效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回.
4.本试卷主要考试内容：⼈教B 版必修第⼀册，必修第⼆册第四章.
⼀、选择题：本题共8 ⼩题，每⼩题5 分，共40 分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是
符合题⽬要求的.
1. 已知集合
，
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
2. 下列函数不是幂函数的是（
）
A.
B.
C.
D.
3. 若函数
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
4. 函数
的零点所在区间为（
）
A.
B.
C.
D.
5. 函数
的⼤致图象为（
）
A.
B.
第2⻚/共4⻚
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C.
D.
6. “ 函数
的定义域为
” 是“ 函数
的定义域为
” 的（
）
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
7. ⼀种质量为
的物质，在化学分解中，经过时间（单位：
）后，所剩的质量
（单位：
）与
时间t 的函数关系为
（
，
均为参数，
且
）.已知
的该物质，在化学分解中，经过
后，所剩的质量为
，再经过
后，所剩的质量为
，则（
）
A.
B.
C.
D.
8. 已知
是定义在
上的偶函数，对任意的
，当
时，
恒成⽴，若
，则关于
的不等式
的
解集为（
）
A.
B.
C.
D.
⼆、选择题：本题共3 ⼩题，每⼩题6 分，共18 分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬
要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9. 下列结论正确的是（
）
A. “每个整数的平⽅都是整数”是真命题
B. “每个整数的平⽅都是整数”是存在量词命题
C. “
，
”是假命题
D. “
，
”
否定是“
，
”
第3⻚/共4⻚
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10. 已知函数
的定义域为
，
，且
，则（
）
A.
B.
C
D.
11. 以下关系式能构成
关于
的函数的是（
）
A
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3 ⼩题，每⼩题5 分，共15 分.
12.
的最⼩值为______.
13. 已知函数
是
上
减函数，则
的取值范围是______.
14. 若函数
恰有两个零点，则
的取值范围是______.
四、解答题：本题共5 ⼩题，共77 分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）若
，求
的值；
（2）求值：
.
16. 已知函数
.
（1）证明：
为奇函数.
（2）求⽅程
的解.
（3）若函数
在
上的最⼤值为
，求
的值.
17. 已知函数
，
.
第4⻚/共4⻚
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（1）若
，求
的取值范围；
（2）设函数
的定义域为
，
的定义域为
，且
，求
的取值范围.
18. 某企业计划⽣产某新产品，前期需投⼊固定成本4 万元，以后⽣产
万千克该产品，需另投⼊成本
万元，且
已知该产品每千克的售价为8 元，且该企业⽣产的这种产品
能全部销售完．利润是收⼊与成本之差．
（1）当
时，求该企业这种产品的利润；
（2）求该企业这种产品的利润
（单位：万元）与⽣产量
（单位：万千克）的函数关系式；
（3）求该企业这种产品的利润的最⼤值．
19. 已知函数
．
（1）当
时，讨论
在
上的最⼩值；
（2）当
时，求函数
的单调区间；
（3）讨论关于
的不等式
的解集．
第1⻚/共15⻚
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2025—2026 上学期协作校⾼⼀第⼆次考试
数学试题
注意事项：
1.答题前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、考⽣号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每⼩题答案后，⽤铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊.如需改动，
⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号.回答⾮选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
⽆效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回.
4.本试卷主要考试内容：⼈教B 版必修第⼀册，必修第⼆册第四章.
⼀、选择题：本题共8 ⼩题，每⼩题5 分，共40 分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是
符合题⽬要求的.
1. 已知集合
，
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】先确定集合
，即可得出答案.
【详解】
，所以
，
⼜
，所以
.
故选：A.
2. 下列函数不是幂函数的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数的定义，逐⼀分析选项，判断其是否符合幂函数的形式.
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【详解】对于选项A，
符合幂函数
的形式，是幂函数；
对于选项B，
符合幂函数
的形式，是幂函数；
对于选项C，
不符合幂函数
的形式，不是幂函数；
对于选项D，
符合幂函数
的形式，是幂函数.
故选：C.
3. 若函数
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】利⽤配凑法求得
，即可求解.
【详解】因为函数
，
所以
，则
.
故选：A
4. 函数
的零点所在区间为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】⾸先根据指数函数和⼀次函数性质得到
为单调递增函数，再利⽤零点存在性定义即可判断零
点所在区间.
【详解】因为指数函数
在
上单调递增，⼀次函数
在
上单调递增，所以函数
在
上单调递增.
；
；
；
；
；
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因为函数
在
上单调递增，且
，
所以函数
的零点所在区间为
.
故选：D.
5. 函数
的⼤致图象为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数的定义，结合特殊点运⽤排除法进⾏判断即可.
【详解】因为
的定义域为
，
且
，
所以
是奇函数，排除D．
⼜因为
，
所以
，排除A．
当
时，
，排除B.
故选：C
6. “ 函数
的定义域为
” 是“ 函数
的定义域为
” 的（
）
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
第4⻚/共15⻚
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【解析】
【分析】分别求出“ 函数
的定义域为
” 和“ 函数
的定义域为
” 时函数
的定义域，再根据充分条件和必要条件的定义判断两个条件之间的关系.
【详解】根据题意，函数
的定义域为
，即
，则有
，
∴函数
的定义域为
.
对于函数
，则有
，解得
，
故函数
的定义域为
，
∴充分性成⽴.
反之，若函数
的定义域为
，即
，则有
，
∴函数
的定义域为
，
对于函数
，有
，解得
，
故函数
的定义域为
，
∴必要性成⽴，
∴“ 函数
的定义域为
” 是“ 函数
的定义域为
” 的充要条件.
故选：A.
7. ⼀种质量为
的物质，在化学分解中，经过时间（单位：
）后，所剩的质量
（单位：
）与
时间t 的函数关系为
（
，
均为参数，
且
）.已知
的该物质，在化学分解中，经过
后，所剩的质量为
，再经过
后，所剩的质量为
，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件列出指数⽅程，再利⽤指数的运算得到
之间的关系.
【详解】本题考查函数
应⽤，考查数学运算的核⼼素养.
第5⻚/共15⻚
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由题意可得
，
所以
，解得
.
故选：A
8. 已知
是定义在
上的偶函数，对任意的
，当
时，
恒成⽴，若
，则关于
的不等式
的
解集为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意求出
，接着由题设得到
，令
，得到
为偶函数，且
在
上递增，在
上单减，结合
，把不等式转化为
，得到不等式组，即
可求解.
【详解】因为
是定义在
上的偶函数，所以
，解得
，
，且
，则
，
⼜因为
，所以
，
所以
，则
，
令
，则
，故
在
上单调递增，
因为
为
上的偶函数，所以
为
上的偶函数，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
第6⻚/共15⻚
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⼜因为
，所以
，即为
，
即
，则
或
，
解得
或
，
所以不等式的解集为
.
故选：C.
⼆、选择题：本题共3 ⼩题，每⼩题6 分，共18 分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬
要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9. 下列结论正确的是（
）
A. “每个整数的平⽅都是整数”是真命题
B. “每个整数的平⽅都是整数”是存在量词命题
C. “
，
”是假命题
D. “
，
”的否定是“
，
”
【答案】ACD
【解析】
【分析】由全称量词命题的定义及真假判断AB 选项，由存在量词命题的真假及否定判断CD 选项.
【详解】“ 每个整数的平⽅都是整数” 是真命题，且是全称量词命题，故A 正确，B 错误；
若
，则
，所以“
，
” 是假命题，故C 正确；
“
，
” 的否定是“
，
” ，故D 正确.
故选：ACD.
10. 已知函数
的定义域为
，
，且
，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】BC
【解析】
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【分析】利⽤赋值法结合给定抽象函数的递推式求解即可.
【详解】对于
，且
，
令
，得到
，故A 错误，B 正确，
令
，得到
，解得
，
令
，得到
，
⽽
，则
，解得
，故C 正确，D 错误.
故选：BC
11. 以下关系式能构成
关于
的函数的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利⽤函数的定义，即可判断出AC 选项，结合对数式的化简运算与函数的定义即可判断出BD 选项
.
【详解】对于A 选项：
,当
时，⼀个
有两个
与之对应，不满⾜函数的定义，故A 错误；
对于B 选项：
，满⾜函数的定义，故B 正
确；
对于C 选项：
，满⾜函数的定义，故C 正确；
对
于
D 选
项
：
，
，
或
，满⾜函数的定义，故D
正确.
第8⻚/共15⻚
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故选：BCD.
三、填空题：本题共3 ⼩题，每⼩题5 分，共15 分.
12.
的最⼩值为______.
【答案】
【解析】
【分析】利⽤基本不等式求最值.
【详解】因为
，
根据基本不等式，
，
当且仅当
，即
时，等号成⽴，
所以
的最⼩值为
.
故答案为：
13. 已知函数
是
上的减函数，则
的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的性质，分析每⼀段函数的单调性，再结合分段点处函数值的⼤⼩关系来确定
的
取值范围.
【详解】由题意知，
，解得
，所以
.
故答案
：
.
14. 若函数
恰有两个零点，则
的取值范围是______.
【答案】
【解析】
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【分析】令
，进⽽将问题转化为
的图象与
有两个交点，再作出函
数
，数形结合求解即可.
【详解】令
，则
，
因为函数
恰有两个零点，
所以函数
的图象与
有两个交点，
由
时，
，
故
，
故作出函数
图象如图所示，
由图可知，当
时，函数
的图象与
有两个交点，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
四、解答题：本题共5 ⼩题，共77 分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）若
，求
的值；
（2）求值：
.
【答案】（1）
；（2）
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【解析】
【分析】（1）利⽤完全平⽅公式结合给定条件求值即可.
（2）利⽤指数和对数的运算性质求解即可.
【详解】（1）由题意得
，则
，
可得
，解得
.
（2）由题意得
.
16. 已知函数
.
（1）证明：
为奇函数.
（2）求⽅程
的解.
（3）若函数
在
上的最⼤值为
，求
的值.
【答案】（1）证明⻅解析；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的概念证明即可；
（2）令
，进⽽转化为解⼀元⼆次⽅程得
，最后再求
的值即可；
（3）根据复合函数的单调性判断得
在
上单调递减，进⽽解⽅程
即可得答案.
【⼩问1 详解】
证明：函数
的定义域为
，
，
所以函数
为奇函数.
【⼩问2 详解】
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令
，
则
等价于
，即
，解得
（舍），
，
所以
，即
，
所以⽅程
的解为
.
【⼩问3 详解】
解：因为函数
均为定义域
上的增函数，
所以函数
在
上单调递增，故
在
上也为增函数，
因为当
时，
，
因为
，函数
为减函数，
所以
在
上单调递减，
所以函数
在
上的最⼤值为
，即
，解得
，
所以
.
17 已知函数
，
.
（1）若
，求
取值范围；
（2）设函数
的定义域为
，
的定义域为
，且
，求
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由
，代⼊函数解析式，解不等式求
的取值范围；
（2）求函数
的定义域得
，由
，得
在
上恒成⽴，求出
函数
在
上的最⼩值可得
的取值范围.
【⼩问1 详解】
函数
，
，
第12⻚/共15⻚
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函数
，
，
，即
，得
，解得
，
所以
的取值范围为
.
【⼩问2 详解】
函数
的定义域为
，由
，即
，解得
，则有
，
若
，则
，
的定义域为
，则
时，
恒成⽴，
即
在
上恒成⽴，
⼜函数
在
上单调递增，则
时有
，即
，
若
在
上恒成⽴，必有
，
即a 的取值范围为
.
18. 某企业计划⽣产某新产品，前期需投⼊固定成本4 万元，以后⽣产
万千克该产品，需另投⼊成本
万元，且
已知该产品每千克的售价为8 元，且该企业⽣产的这种产品
能全部销售完．利润是收⼊与成本之差．
（1）当
时，求该企业这种产品的利润；
（2）求该企业这种产品的利润
（单位：万元）与⽣产量
（单位：万千克）的函数关系式；
（3）求该企业这种产品的利润的最⼤值．
【答案】（1）11 万元
（2）
（3）
万元.
【解析】
【分析】（1）根据利润是收⼊与成本之差结合
代⼊求解；
第13⻚/共15⻚
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（2）利⽤销售收⼊减去投⼊成本
再减去固定成本
万元即可求解；
（3）根据⼆次函数的性质和基本不等式分别求分段函数两段的最⼤值，取最⼤的即可求解.
【⼩问1 详解】
当
时，企业这种产品的利润为
万元
【⼩问2 详解】
因为每千克产品的售价为
元，所以
万千克产品的销售收⼊为
万元.
当
时，
；
当
时，
，
所以
【⼩问3 详解】
当
时，
，
此时当
时，
取得最⼤值
（万元）.
当
时，
，
当且仅当
，即
时，
取得最⼤值
（万元）.
因为
，所以当⽉产量为
万件时，企业所获利润最⼤，利润的最⼤值为
万元.
19. 已知函数
．
（1）当
时，讨论
在
上的最⼩值；
（2）当
时，求函数
的单调区间；
（3）讨论关于
的不等式
的解集．
第14⻚/共15⻚
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【答案】（1）
（2）答案⻅解析
（3）答案⻅解析
【解析】
【分析】（1）当
时，写出函数
的解析式，对实数
的取值进⾏分类讨论，分析函数
在
上的单调性，可得出函数
在区间
上的最⼩值；
（2）利⽤复合函数法可得出函数
的增区间和减区间；
（3）将所求不等式变形为
，对实数
的取值进⾏分类讨论，结合⼀元⼆次不
等式的解法可得出原不等式的解集.
【⼩问1 详解】
当
时，
，该函数的图象开⼝向上，对称轴为直线
，
当
时，即当
时，函数
在
上单调递减，
此时
；
当
时，即当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
此时
；
当
时，函数
在
上单调递增，此时
.
综上所述，
.
【⼩问2 详解】
第15⻚/共15⻚
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当
时，
，令
，
，
因为内层函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
外层函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
由
可得
，由
可得
或
，
由复合函数法可知，函数
的单调递减区间为
、
，
单调递增区间为
、
.
【⼩问3 详解】
不等式
即为
，
当
时，不等式即为
，
因为
，即
，解原不等式可得
；
当
时，不等式即为
，
因
，
（i）当
时，
，解原不等式可得
或
；
（ii）当
时，原不等式即为
，解得
；
（iii）当
时，
，解原不等式可得
或
.
综上所述，当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
或
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
或
.
