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试卷第3 ⻚，共4 ⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
2025 年秋期⻓寿中学⾼⼀年级第三次段考
数学试题
注意事项:
1. 答卷前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每⼩题答案后，⽤铅笔把答题卡对应题⽬的答案标号涂⿊；如需改动，
⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号。回答⾮选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷
上⽆效。
3. 考试结束后，本试卷和答题卡⼀并交回。
第I 卷（选择题）
⼀、单选题：本题共8 ⼩题，每⼩题5 分，共40 分。在每⼩题给出的选项中，
只有⼀项是符合题⽬要求的。
1．已知集合
，则下列关系正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．汽⻋现在已经是我们出⾏不可分离的⼯具，⼩明由于经常出差，每次出差需要加油两次，
两次加油单价不同.现有两种⽅案，第⼀种⽅案：第⼀次加油
元，第⼆次加油
元；第
⼆种⽅案：第⼀次加油
升，第⼆次加油
升；请你⽐较下这两种⽅案，哪种⽅案更经济
实惠（
）
A．第⼀种
B．第⼆种
C．不确定
D．⼀样实惠
3．不等式
的解集是（
）
A．
B．
或
C．
D．
4．已知定义在
上的函数
满⾜
，
为偶函数，且
，
若
，则正整数
的最⼩值为（
）
A．21
B．22
C．23
D．24
试卷第4 ⻚，共4 ⻚
5．已知幂函数
的图象经过点
，则
（
）
A．
B．
C．2
D．4
6．随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．⼩李打算批发某
种⽔果摆摊售卖，设他进货总费⽤
（百元）与进货量
（单位：百⽄）之间的关系为
（
为常数），若满⾜“随着进货量的增⼤，⽔果每⽄的平均价格逐
渐减⼩”，则
的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
7．下列函数中，既是奇函数⼜在区间
上单调递减的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．若
是奇函数，则
的值为（
）
A．－2
B．0
C．1
D．2
⼆、多选题：本题共3 ⼩题，共18 分。在每⼩题给出的选项中，有多项符合题
⽬要求。
9．下列选项正确的是（
）
A．若
，则
的最⼩值为4
B．若
，则
的最⼩值为2
C．若正实数
，
满⾜
，则
的最⼩值为8
D．若
，则
的最⼩值为2
10．已知定义在
上的函数
满⾜
不是常数函数，则
（
）
试卷第3 ⻚，共4 ⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
A．
B．
是增函数
C．
的图象关于直线
对称
D．
的图象关于点
对称
11．已知函数
的定义域为
，
为偶函数，当
时，
，则下列说法正确的是（
）
A．若函数
有四个零点
，
，
，
，则
的取
值范围为
B．若函数
有四个零点
，
，
，
，则
的
取值范围为
C．函数
的零点个数为5 个
D．函数
的零点个数为6 个
第I I 卷（⾮选择题）
三、填空题：本题共3 ⼩题，每⼩题5 分，共15 分。
12．某团队调查在某⾃助餐厅吃饭的100 名顾客时，发现其中有80 名顾客选了A 菜品，有
60 名顾客选了B 菜品，则
两种菜品都选了的顾客最多有
名，最少有
名．
13．某汽⻋租赁公司共有300 辆汽⻋，在⼗⼀⻩⾦周期间，若每辆汽⻋每天的租⾦为200
元，则所有汽⻋均能被租赁出去；若将每辆汽⻋每天的租⾦在200 元的基础上提⾼
元
（
，
），则被租出去的汽⻋会减少
辆.若要使该公司每天租赁汽⻋的收⼊
超过
万元，则该公司每辆汽⻋每天的租⾦定价为
元.
14．设
，⽤
表示不超过x 的最⼤整数，则
称为⾼斯函数，例如：
，
.已知函数
，则函数
的值域是
.
四、解答题：本题共5 ⼩题，共77 分。解答应写出⽂字说明，证明过程或演算
试卷第4 ⻚，共4 ⻚
步骤。
15．（13 分）设集合
，
.
(1)求
；
(2)求
.
16．（15 分）已知函数
，
.
(1)若不等式
对于⼀切实数x 恒成⽴，求实数a 的取值范围；
(2)求关于x 的不等式
的解集.
17．（15 分）俄国数学家切⽐雪夫（
）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在
⾮空集合
上的函数
，以及函数
，切⽐雪夫将函数
的最⼤值称为
的“偏差”.
(1)函数
，求
的“偏差”；
(2)函数
，若
的“偏差”为
，求
的值.
18．（17 分）设函数
，其中
且
，
且
.
(1)当
时，求
的定义域；
(2)当
时，利⽤定义法证明：
在定义域内单调递增；
(3)若存在
，使得
，证明：
.
19．（17 分）设函数
的定义域为D，对于区间
（
，
），若满⾜以下
两条性质之⼀，则称I 为
的⼀个“
区间”.性质1：对任意
，有
；性质2：
对任意
，有
.
(1)分别判断区间
是否为下列两函数的“
区间”（直接写出结论）；①
；②
.
(2)若
（
）是函数
的“
区间”，求m 的取值范围；
(3)已知定义在R 上，且图象连续不断的函数
满⾜：对任意a，
，且
，有
.求证：
存在“
区间”，且存在
，使得
不属于
的任意
⼀个“
区间”.
答案第1 ⻚，共5 ⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
参考答案
1-5．BABBC
6-8．CCB
9．BC
10．AD
11．ABC
12．60 ；40
13．
14．
15．解：（1）因为
，
，所以
（2）因为
，
，所以
16．解：（1）①当
时，
恒成⽴，符合题意；
②当
时，由已知可得
，解得
.
综上，a 的取值范围是
.
（2）不等式
可化为
，即
，
①当
时，可化为
，得
，原不等式的解集
；
当
时，⽅程
的两根为
和2，
②当
时，可化为
，解得
，原不等式的解集为
；
③当
时，解得
或
，则原不等式的解集为
或
；
④当
时，解得
，则原不等式的解集为
⑤当
时，解得
或
，则原不等式的解集为
或
；
综上所述，当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
或
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
或
.
答案第2 ⻚，共5 ⻚
17．解：
（1）解：
，
因为
，
，
所以
，即
，
所以函数
与
的“偏差”为8.
（2）解：令
，
∵
，
均为
上的单调递减函数，
∴
是
上的单调减函数，
令
得
，
，
⼜
，
，
所以
所以
，即
的“偏差”为
，
因为
的“偏差”为
，
所以
，解得
所以，当
的“偏差”为
，
.
18．解：（1）当
时，
.
根据对数函数的定义可知
，即
，
故
的定义域为
.
（2）当
时，
，设
的定义域为
.
在
上任取
，
，且
，
，
当
时，指数函数
在
上单调递增.
由于
，则
，
.
答案第1 ⻚，共5 ⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
⼜
，故
在区间
上单调递增，
所以
，即
.
故当
时，
在
上单调递增；
当
时，指数函数
在
上单调递减.
由于
，则
，
.
⼜
，故
在区间
上单调递减，
所以
，即
.
即当
时，
在
上单调递增.
综上，当
或
时，对于任意
，
且
，均有
，
故
在其定义域内单调递增.
（3）令
，则
，即
，即
，
故原题等价于关于
的⽅程
在区间
上有解.
设
.
当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
上单调递减，
⼜由
在区间
上有解及零点存在性定理知
，
即
，⼜
且
，解得
.
所以，若存在
，使得
，则
.
19．解：
（1）解：①中，函数
，当
时，可得
，所以区间
是函数
的⼀个“
区间”；
②中，函数
，当
时，可得
，此时不满⾜
，所以区间
不
是函数
的⼀个“
区间”；
所以①是（满⾜性质1）.②不是.
（2）解：记
，
，可得
，故若I 为
的“
区间”，
则不满⾜性质②，必满⾜性质①，即
；
答案第2 ⻚，共5 ⻚
由
，
当
时，
在
上单调递增，且
，
即
，所以
不包含于
，不合题意；
当
时，
，符合题意；
当
时，
，所以
，不合题意；
综上可知，
，即实数
的取值范围是
.
（3）证明：对于任意区间
，记
，
由已知得
在I 上单调递减，故
，
因为
，即S 的⻓度⼤于I 的⻓度，故不满⾜性质①，
所以若I 为
的“
区间”，必满⾜性质②，这只需
，
即只需
或
，
由
显然不恒成⽴，所以存在常数c 使得
.
如
，取
，区间
满⾜性质②；
如
，取
，区间
满⾜性质②；
综上，函数
⼀定存在“
区间”；
记
，则
图象连续不断，下证明
有零点：
因为
在R 上是减函数，所以
在R 上是减函数，记
；
若
，则
是
的零点，
若
，则
，即
，
，
由零点存在性定理，可知存在
，使得
，
若
，则
，即
，
，
由零点存在性定理，可知存在
，使得
，
答案第1 ⻚，共5 ⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
综上，
有零点
，即
，
因为
的所有“
区间”I 都满⾜性质②，故
.（否则
，与性质②不符）
即
不属于
的任意⼀个“
区间”，证毕.
