A"# 3
AB本 AF EF BE.
∴ + =
第一章 三角形的证明
第2课时 等边三角形的性质
第1课时 等腰三角形的性质 1. 30° 90° 2 12
2.解 AD是等边三角形ABC的中线
1.证明 AFE CFD :∵ ,
:∵∠1=∠2=∠3,∠ =∠ ,
C DFC E AFE AD BC BAD CAD 1 BAC 1
∠ =180°-∠3-∠ ,∠ =180°-∠2-∠ , ∴ ⊥ ,∠ =∠ = ∠ = ×60°
DAF DAF C E 2 2
∴∠1+∠ =∠2+∠ ,∠ =∠ ,
BAC DAE =30°,
∴∠ =∠ , ADC .
BAC DAE ∴∠ =90°
∠ =∠ , AD AE
在 ABC与 ADE中 C E ∵ = ,
△ △ ,∠ =∠ , CAD
AB = AD , ∴∠ ADE =∠ AED = 180°- 2 ∠ =75°,
∴△ ABC ≌△ ADE (AAS) . ∴∠ EDC =∠ ADC -∠ ADE =90°-75°=15° .
2.解
:∵
AB
=
AC
,
3.证明
:∵△
ABC为等边三角形
,
B C. A B .
∴∠ =∠ ∴∠ =∠ =60°
∵∠ B =50°, ∵ DE ⊥ AB ,
∴∠ C =50°, ∴∠ ADF =∠ EDB =90°,
BAC . AFD DEB .
∴∠ =180°-50°-50°=80° ∴∠ =∠ =30°
∵∠ BAD =55°, ∵∠ AFD =∠ CFE ,
DAE . DEB CFE
∴∠ =25° ∴∠ =∠ ,
∵ DE ⊥ AD , ∴ CE = CF.
∴∠ ADE =90°, 4. A
DEC DAE ADE . 5.解 DAE AD AE
∴∠ =∠ +∠ =115° :∵∠ =80°, = ,
3. 4. 5. 或
D C 65° 115° ADE 1 .
6.证明 DA BE ∴∠ = ×(180°-80°)=50°
:∵ = , 2
∴ DE = AB. ∵∠ ADC =∠ BAD +∠ B =15°+60°=75°,
AB DE FDC ADC ADE .
= , ∴∠ =∠ -∠ =75°-50°=25°
在 △ ABC和 △ DEF中 , AC = DF , 6.解 :(1)∵△ DEF是等边三角形 ,
BC = EF , ∴∠ DEF =∠ DFE =∠ EDF =60°, DE = DF ,
∴△ ABC ≌△ DEF (SSS), ∵ DE ⊥ AB , DF ⊥ AC ,
∴∠ C =∠ F. ∴∠ DEB =∠ DFC =90°,
7.解 :∵∠ B =90°, AB = BD , ∴∠ AEF =∠ AFE =30°,
A AEF AFE .
BAD BDA 1 B ∴∠ =180°-(∠ +∠ )=120°
∴∠ =∠ = (180°-∠ )=45°, D是BC的中点
2 (2)∵ ,
DE垂直平分AC BD CD
∵ , ∴ = ,
DA DC BD CD
∴ = , 在 BED和 CFD中 = ,
CAD DCA Rt△ Rt△ ,DE DF
∴∠ =∠ , = ,
CAD DCA ADB BED CFD
∵∠ +∠ =∠ , ∴Rt△ ≌Rt△ (HL),
DAC 1 ADB . . B C则 B 1 A
∴∠ = ∠ =225° ∴∠ =∠ , ∠ = (180°-∠ )=30°,
2 2
8. 9. B AEF
20 60° ∴∠ =∠ ,
10. 证明 BEC BCA EF BC.
(1) :∵∠ +∠ =180°, ∴ ∥
BEC ECB ACF 7.证明 ABD与 AEC都是等边三角形
∴∠ +∠ +∠ =180°, :(1)∵△ △ ,
CFA ACF FAC AD ABAE AC ADB ABD DAB
∵∠ +∠ +∠ =180°, ∴ = , = ,∠ =∠ =60°,∠
BEC CFA EAC
∠ =∠ , =∠ =60°,
BCF FAC DAB BAC EAC BAC
∴∠ =∠ , ∴∠ +∠ =∠ +∠ ,
BEC CFA DAC BAE
∠ =∠ , ∴∠ =∠ ,
在 BCE与 CAF中 BCF FAC AD AB
△ △ ∠ =∠ , = ,
CB CA 在 DAC和 BAE中 DAC BAE
= , △ △ ,∠ =∠ ,
BCE CAF . AC AE
∴△ ≌△ (AAS) = ,
解AF EF BE 理由如下 DAC BAE
(2) : + = , : ∴△ ≌△ (SAS),
BCE CAF BE DC.
∵△ ≌△ , ∴ =
AF CECF BE 由 可得 ADC ABE
∴ = , = , (2) (1) ∠ =∠ ,
CE EF CF BOD ODB DBA ABE
∵ + = , ∵∠ =180°-∠ -∠ -∠ =180°-
1
3A"#
ODB ADC ODB ADC 2.解 BD是 ABC的平分线
∠ -60°-∠ =120°-(∠ +∠ )= :∵ ∠ ,
ABD CBD.
120°-60°=60°, ∴∠ =∠
BOD . FE BC
∴∠ =60° ∵ ∥ ,
8.解 设点MN运动x秒时 MN两点重合 DBC EDB
:(1) 、 , 、 , ∴∠ =∠ ,
x x DBE EDB
×1+12=2 , ∴∠ =∠ ,
解得x . BE ED 同理DF FC
=12 ∴ = , = ,
设点MN运动t秒时 可得到等边三角形AMN AEF的周长 AE AF EF AB AC
(2) 、 , , ∴△ = + + = + =9+7=
如图 .
1, 16
AM t tAN AB BN t 3. 4. 5. 6.
= ×1= , = - =12-2, B B C 50°
三角形AMN是等边三角形 7. 证明 在 ABC中AB AC
∵ , (1) :∵ △ , = ,
t t B C
∴ =12-2, ∴∠ =∠ ,
解得t DE BC
=4, ∵ ⊥ ,
点MN运动 秒时 可得到等边三角形AMN. B BFE C D
∴ 、 4 , ∴∠ +∠ =90°,∠ +∠ =90°,
当点MN在BC边上运动时 可以得到以MN为 BFE D
(3) 、 , ∴∠ =∠ ,
底边的等腰三角形 又 BFE AFD
, ∵∠ =∠ ,
由 知 秒时MN两点重合 恰好在C处 D AFD
(1) 12 、 , , ∴∠ =∠ ,
如图 假设 AMN是等腰三角形AN AM ADF是等腰三角形.
2, △ , = , ∴△
AMN ANM 解 F为AB的中点
∴∠ =∠ , (2) :∵ ,
AMC ANB AF BF
∴∠ =∠ , ∴ = ,
AB BC AC ADF是等腰三角形
∵ = = , ∵△ ,
ACB是等边三角形 BF AF AD
∴△ , ∴ = = =13,
C B DE BC
∴∠ =∠ , ∵ ⊥ ,
在
△
ACM和
△
ABN中
, ∴ EF = BF2 - BE2 =12 .
∠ AMC =∠ ANB , 答 : EF的长为 12 .
∵ ∠ C =∠ B , 8. A
AC
=
AB
,
9.这个三角形中有两个角是直角
∴△ ACM ≌△ ABN (AAS), 10.解 :(1)(16- t )cm;
CM BN
∴ 设当点 = MN , 在BC边上运动时 M N运动的时间y (2) 16
、 , 、 3
秒时 AMN是等腰三角形 当 BCQ是以BC为底边的
,△ , (3)① △
CM y NB y 等腰三角形时 CQ BQ 如图
∴ = -12, =36-2 , , = , 1
CM NB 所示
∵ = , ,
y y 则 C CBQ
∴ -12=36-2 , ∠ =∠ ,
解得y .故假设成立. ABC
=16 ∵∠ =90°,
当点MN在BC边上运动时 能得到以MN为底边 CBQ ABQ .
∴ 、 , ∴∠ +∠ =90°
的等腰三角形AMN 此时MN运动的时间为 秒. A C
, 、 16 ∵∠ +∠ =90°,
A ABQ
∴∠ =∠ ,
BQ AQ
∴ = ,
CQ AQ
∴ = =10(cm),
BC CQ
∴ + =22(cm),
t
∴ =22÷2=11;
当 BCQ是以BQ为底边的等腰
② △
三角形时CQ BC如图 所示
第3课时 等腰三角形的判定 , = , 2 ,
则BC CQ
1.解 选择的条件是 B C BAD CDA + =24(cm),
: :③∠ =∠ ,④∠ =∠ t
或 .证明 在 BAD和 CDA中 ∴ =24÷2=12;
( ①③,②③,①④) : △ △ , 当 BCQ是以CQ为底边的等腰
B C ③ △
∠ =∠ , 三角形时 BQ BC 如图 所示
BAD CDA , = , 3 ,
∵ ∠ =∠ , 作BD AC垂足为点D
AD DA ⊥ , ,
= ,
BAD CDA 1AB BC 1AC BD
∴△ ≌△ (AAS), ∵ · = · ,
BDA CAD 即 ADE DAE 2 2
∴∠ =∠ , ∠ =∠ ,
∴△
AED是等腰三角形.
∴
1
2 ×16×12=
1
2 ×20×
BD
,
2
A"# 3
AF是 BAC的平分线
BD 48 ∵ ∠ ,
∴ = 5 , ∴∠ CAB =2∠1=2∠2,
∴ CD = BC2 - BD2 = 36 , ∵ AF = BF ,
5 B
∴∠2=∠ ,
CQ CD 72 ACB
∴ =2 = , ∵∠ =90°,
5 B CAB
∴∠ +∠ =90°,
∴ BC + CQ =12+ 7 5 2 = 13 5 2 , 即 ∠ B +2∠1=∠ B +2∠2=90°,
B
t 132 66 ∴∠ =∠1=∠2=30°,
∴ = ÷2= , 是 ABF的外角
5 5 ∵∠4 △ ,
综 角 上 形 所 . 述 , 当t为 11 或 12 或6 5 6时 ,△ BCQ是等腰三 ∴ ∵ C ∠ D 4= 是 ∠ AB 2+ 边 ∠ 上 B 的 =6 高 0° , ,
第4课时 等边三角形的判定 ∴∠2+∠3=90°,
1.证明 OA OB A
∴∠3=60°,
:∵ = ,∠ =60°, ∵∠5=∠3,
A B .
∴ 又 ∠ ∵ AB = ∥ ∠ DC = , 60° ∴∠ C 4 E = F ∠ 是 5= 等 6 边 0° 三 , 角形.
∴△
∴∠
O
A
C
=
D
∠
是
C
等
=6
边
0°
三
,∠
角
B
形
=
.
∠ D =60°, 9. (1) 证明 :∵△ ABC是等边三角形 ,
2. ∴ 证 △ 明 : 根据折叠的性质 : 得 △ ACE ≌△ ADE , AC = AD , ∴ ∵ ∠ 点 A E BC 是 = AB ∠ A 的 C 中 B 点 =6 , 0°,
∠ ADE =∠ ACB =90° . ∴ CE平分 ∠ ACB , AE = BE ,
AE BE
∵ = , ∴∠ BCE =30°,
AD BD
∴ = , ∵ ED = EC ,
AB AD AC
∴ =2 =2 , D BCE .
∴∠ =∠ =30°
B
∴∠ =30°, ∵∠ ABC =∠ D +∠ BED ,
CAB
∴∠ ADC = 是 60 等 ° 边 , 三角形. ∴∠ BED =30°,
3. ∴ 解 △ DE BC B C ∴∠ D =∠ BED ,
:∵ ⊥ ,∠ =∠ =60°, BD BE.
∴ =
BDE
∴∠ =30°, AE DB.
∴ =
∴ ∵ B 点 D D =2 为 B A E B =2 边 , 的中点 , ( 证 2) 明 解 : : 过 AE 点 = E D 作 B E . F ∥ BC交AC于点
∴ AB =2 BD =4, F , 如图所示 :
B C
∵ ∴ ∠ △ AB = C ∠ 为等 =6 边 0° 三 , 角形 , ∴ ∵ ∠ △ A A E BC F = 是 ∠ 等 A 边 BC 三 , 角 ∠ 形 AF , E =∠ ACB.
AC AB
∴ = =4, ∴∠ ABC =∠ ACB =∠ A =60°,
4. 5. AB AC BC
6. D 解 :∵ A B D = BD , ∴∠ = AEF = =∠ A , BC =60°,∠ AFE =∠ ACB =60°,
∴∠ A =∠ ABD , 即 ∠ AEF =∠ AFE =∠ A =60°,
∵
DB平分
∠
ADC
, ∴△
AEF是等边三角形.
∴∠ ADB =∠ CDB , ∴∠ DBE =∠ EFC =120°,∠ D +∠ BED =∠ FCE +
又 ∵ AB ∥ CD , ∠ ECD =60°, EF = AE ,
∴∠ ABD =∠ BDC , ∵ DE = EC ,
ABD BDC BDA A D ECD
∴∠ =∠ =∠ =∠ , ∴∠ =∠ ,
ADB为等边三角形 BED ECF.
∴△ , ∴∠ =∠
A . 在 DEB和 ECF中
∴∠ =60° △ △ ,
7.证明 DE垂直平分线段AC DEB ECF
:∵ , ∠ =∠ ,
DA DC DBE EFC
∴ = , ∠ =∠ ,
DAC C DE EC
∴∠ =∠ =30°, = ,
ADB DAC C DEB ECF
∴∠ =∠ +∠ =60°, ∴△ ≌△ (AAS),
B DB EF
∵∠ =60°, ∴ = ,
BAD B ADB AE BD.
∴∠ =∠ =∠ =60°, ∴ =
ABD是等边三角形. 第5课时 直角三角形(1)———勾股定理及其逆定理
∴△
8.证明 : 如图 , 1. (1)40 (2) c = 15+25=2 10 .
3
3A"#
2. 3 4. 5. 6.BC AC CA
C .D D B =10cm ∵ = ,
7.解 A ACF CAB
:(1)∵∠ =90°, ∴△ ≌△ (SAS),
∴ BC = AB2 + AC2 = 9 2 +12 2 =15 . ∴ CF = AB ,
(2)△ BCD是直角三角形 , 理由 :∵ BC2 =15 2 =225, ∵ CF =2 CE ,
BD2 =8 2 =64, CD2 =17 2 =289, ∴ CE = 1AB.
∴ BC
B
2
C
+
D
BD
是
2
直
= C
角
D
三
2
角
=2
形
89
.
, 第6课时 2 直角三角形(2)———直角三角形全等的判定
8. ∴ 解 △ :(1) 由图可知 , AB2 =2 2 +2 2 =4+4=8, 1.证 B 明 F :∵ F B C F = F E C C , EC即BC EF.
AB . ∴ + = + , =
∴ =8=22 A D
如图 点C即为所求点 ∵∠ =∠ =90°,
(2) , , ABC和 DEF都是直角三角形.
由
(1)
知
,
AB2
=8,
∴△ △
BC EF
∵ AC = 26, BC =32, 在 Rt△ ABC和 Rt△ DEF中 ,AB = DE ,
= ,
∴ AC2 =( 26)2 =26, BC2 =(32)2 =18, ∴Rt△ ABC ≌Rt△ DEF (HL) .
∵8+18=26, 2.证明 :∵∠1=∠2,
∴ ∴ A △ B A 2 B + C BC 是 2 直 = 角 AC 三 2 角 , 形. ∴ ∵ D ∠ E A = = C ∠ E B . =90°,
ADE和 EBC是直角三角形
∴△ △ ,
又 AD BE.
∵ =
ADE BEC .
∴Rt△ ≌Rt△ (HL)
3.相等 分析 由 斜边 直角边 证明两个直角三角形全
: “ 、 ”
等 再利用全等三角形的对应边相等.
,
4.
D
5.证明 DE BF
:∵ = ,
DE EF BF EF
9. 解 在 ABC中 ACB AC BC ∴ + = + ,
(1) : △ ,∠ =90°, =3, =4, DF BE.
由
∵
勾
∠ A
股
C
定
B
理
=9
得
0°
A
, C
B
D
=
⊥ A
A
B
C
,
2 + BC2 = 3 2 +4 2 =5, ∴ 在
Rt△
= ADF和
Rt△
CBE中
,
A
D
D
F =
=
B
CB
E
,
,
∴ S △ABC= 1AC · BC = 1AB · DE , 即1 ×3×4= ∴Rt△ ADF ≌Rt△ CBE ,
2 2 2 AF CE.
∴ =
1 CD 6.解 全等 理由
×5× , :(1) , :∵∠1=∠2,
2 DE CE
解得CD = 1 5 2. ∴ DE = CE , 在 Rt△ ADE和 Rt△ BEC中 , AE = = BC , ,
(2)
证明
:∵
点E是AB的中点
, ∴Rt△
ADE
≌Rt△
BEC
(HL)
.
∴ AE = BE , (2) 是直角三角形 , 理由 :∵Rt△ ADE ≌Rt△ BEC ,
∴ BD - AD =( BE + DE )-( AE - DE )= BE - AE + ∴∠3=∠4,
2 DE =2 DE , ∵∠3+∠5=90°,
∵ CD ⊥ AB , ∴∠4+∠5=90°,
∴
BC2
=
BD2
+
CD2, AC2
=
AD2
+
CD2,
∴∠
DEC
=90°,
∴
BC2
-
AC2
=(
BD2
+
CD2)-( AD2
+
CD2)= BD2
- ∴△
CDE是直角三角形.
AD2
=(
BD
+
AD
)(
BD
-
AD
)=
AB
·2
DE
=2
DE
·
7.解
:
第二种情况选
C
.
AB. 理由 由题意满足条件的点D有两个 故 ABC和
: , △
证明 如图 延长CE至点 DEF不一定全等 如图所示
(3) : , △ ( )
F 使EF CE 连接AF
, = , ,
在 AEF和 BEC中
△ △ ,
AE BE
= ,
AEF BEC
∠ =∠ ,
EF = EC , 故选 C .
∴△ AEF ≌△ BEC (SAS), 第三种情况补全图.
B EAFAF BC
∴∠ =∠ , = ,
ACB
∵∠ =90°,
B CAB EAF CAB
∴∠ +∠ =∠ +∠ =90°,
CAF ACB
∴∠ =∠ =90°,
4
A"# 3
第7课时 线段的垂直平分线(1)———线段垂直平分线 同理 EAC C
:∠ =∠ ,
的性质及作法 BAD EAC B C
∴∠ +∠ =∠ +∠ ,
1.解 DE垂直平分斜边AB BAC
:∵ , ∵∠ =120°,
AE BE B C
∴ = , ∴∠ +∠ =60°,
EAB EBA. BAD EAC
∴∠ =∠ ∴∠ +∠ =60°,
CAB B CAB CAE EAB DAE BAC BAD EAC
∵∠ =∠ +30°,∠ =∠ +∠ , ∴∠ =∠ -(∠ +∠ )=120°-60°
CAE . .
∴∠ =30° =60°
C 当AD AE时 DAE
∵∠ =90°, ② ⊥ ,∠ =90°,
AEC . AB边的垂直平分线l交BC于点D
∴∠ =60° ∵ 1 ,
AEB . DA DB
∴∠ =120° ∴ = ,
2.解 直线AM是线段BC的垂直平分线.理由 AB BAD B
: :∵ = ∴∠ =∠ ,
ACMB MC 同理 EAC C
, = , :∠ =∠ ,
点A 点M都在线段BC的垂直平分线上 BAD EAC B C
∴ 、 , ∴∠ +∠ =∠ +∠ ,
直线AM是线段BC的垂直平分线. BAD EAC B C DAE
∴ ∵∠ +∠ +∠ +∠ +∠ =180°,
3.解 如图AD为所作.AD .
: , =27 ∴∠ BAD +∠ EAC =(180°-90°)× 1 =45°,
2
BAC BAD EAC DAE
∴∠ =∠ +∠ +∠ =90°+45°=135°,
故答案为 .
:135
l垂直平分线AB
(3)∵1 ,
DA DBOB OA
∴ = , = ,
4. D 5. 69° 同理 : EA = EC , OC = OA ,
6.解 :(1) 设 ∠ PAQ = x ,∠ CAP = y ,∠ BAQ = z , ∴ DA + DE + EA = BD + DE + EC = BC ,
∵ MP和NQ分别垂直平分AB和AC , ∵△ ADE的周长是 9,
∴ AP = PB , AQ = CQ , ∴ BC =9cm,
∴∠ B =∠ BAP = x + z ,∠ C =∠ CAQ = x + y , ∵△ OBC的周长是 21cm,
∵∠ BAC =80°, ∴ OB + OC + BC =21cm,
∴ 即x ∠ B + y + + ∠ z C = = 8 1 0° 00 , x °, + z + x + y =100°, ∴ ∴ O O B A + = O O C B = = 2 O 1 C - = 9 6 = c 1 m 2 , (cm),
∴ x =20°, 故答案为 9;6 .
(
∴
2)
∠
∵
PA
△
Q
AP
=
Q
20°
周
.
长为 12,
第8课时 线
的应
段
用
的垂直平分线(2)———线段垂直平分线
∴ AQ + PQ + AP =12, 1.解 : 如图所示 , 点P即为所求.
AQ CQAP PB
∵ = , = ,
CQ PQ PB
∴ + + =12,
CQ BQ PQ
∴ + +2 =12,
BC PQ
∴ +2 =12,
BC
∵ =8,
PQ .
∴ =2
7.
6
8.解
:(1)∵
AB边的垂直平分线l
1
交BC于点D
,
第1题图 第2题图
DA DB
∴ = , 2.解 如图所示.
BAD B :(1)
∴∠ =∠ AD BC
同理 EAC C (2)∵ ⊥ ,
:∠ =∠ , BD DC.
BAD EAC B C ∴ =
∴∠ +∠ =∠ +∠ =25°+25°=50°, BC
BAC B C ∵ =8,
∵∠ =180°-∠ -∠ =130°, AD
DAE BAC BAD EAC ∵ =25,
∴∠ =∠ -(∠ +∠ )=130°-50° BD
∴ =4,
=80°,
故答案为 :80° . ∴ AB = 4 2 +(25)2 =6,
AB边的垂直平分线l交BC于点D AB与AC的长都为 .
(2)①∵ 1 , ∴ 6
DA DB 3.
∴ = , D
BAD B 4.解 如图所示P是AB和AC的垂直平分线的交点.
∴∠ =∠ , : ,
5
3A"#
直线l垂直平分BC
∵ ,
PB PC
∴ = ,
BPK CPK
∴∠ =∠ ,
点P为点OB关于直线l的 等角点
∵ , “ ”,
OPT BPK
∴∠ =∠ ,
CPK OPT
∴∠ =∠ ,
OPC共线
∴ 、、 ,
OP BP OP PC OC
5.证明 DE是AB边上的垂直平分线 ∴ + = + = ,
:∵ , 作OD AC于D
AD BD ⊥ ,
∴ = , AO平分 BACOB平分 ABC
ABD A ∵ ∠ , ∠ ,
∴∠ =∠ =30°,
C OCD 1 ACB
∵∠ =90°, ∴∠ = ∠ =30°,
2
ABC A
∴∠ =90°-∠ =90°-30°=60°, ∴ OC =2 OD =2,
CBD ABC ABD
∴∠ =∠ -∠ =60°-30°=30°, OP BP .
∴ + =2
∴∠ ABD =∠ CBD , 第9课时 角平分线(1)———角平分线的性质及作法
6. ∴ 证 B 明 D :∵ 平 A 分 D ∠ 是 CB 高 A , . 1.证
∴
明
∠
A : B ∵ D BD
=∠
为 C ∠ B A D B . C的平分线 ,
∴ 又 A ∵ D BD ⊥ B = C D . E , 在 △ ABD和 △ CBD中 , A ∠ B A = B B D C = , ∠ CBD ,
∴
AD所在的直线是线段BE的垂直平分线
, BD = BD ,
∴ AB = AE , ∴△ ABD ≌△ CBD (SAS),
AB BD AE DE. ADB CDB.
∴ + = + ∴∠ =∠
又 ∵ AB + BD = DC , ∵ 点P在BD上 , PM ⊥ AD , PN ⊥ CD ,
∴ DC = AE + DE , ∴ PM = PN.
DE EC AE DE 2.证明 如图 作PF AB于
∴ + = + , : , ⊥
EC AE FPG BC于GPH AC
∴ = , , ⊥ , ⊥
点E在线段AC的垂直平分线上. 于H.
∴
7.解 点B是点DF关于直线AB的 等角点 理由 BP是 EBC的平分线
:(1) , “ ”, ∵ ∠ ,
如下 PF ABPG BC
: ⊥ , ⊥ ,
DE关于AB对称 PF PG.
∵ , , ∴ =
BE BDAB DE AP是 BAC的平分线PH ACPF AB
∴ = , ⊥ , ∵ ∠ , ⊥ , ⊥ ,
ABE ABC PH PF
∴∠ =∠ , ∴ = ,
ABE MBF PG PH.
∵∠ =∠ , ∴ =
ABC MBF PG BCPH AC
∴∠ =∠ , ∵ ⊥ , ⊥ ,
点B是点DF关于直线AB的 等角点 . 点P在 BCD的平分线上.
∴ , “ ” ∴ ∠
如图 3.解 如图 射线CD即为所求
(2) 1, :① , ;
A AB AC 如图 直线EF即为所求.
∵∠ =70°, = , ② ,
ABC ACB .
∴∠ =∠ =55°
点DQ关于直线ABAC的 等角点 分别为点B和
∵ , , “ ”
点C
,
MBQ NCQ
∴∠ =∠ =55°,
CBQ BCQ
∴∠ =∠ =70°,
BQC .
∴∠ =40°
4. 5. 6.
A = 8
7. 证明 DE AB 垂足为点E
(1) :∵ ⊥ , ,
DEB
∴∠ =90°,
又AD平分 BAC C
∠ ,∠ =90°,
DC DE
∴ = ,
在 DCF和 DEB中
Rt△ Rt△ ,
DF DB
= ,
DC DE
= ,
(3)
如图
2,
连接PC
, ∴Rt△
DCF
≌Rt△
DEB
(HL),
6
A"# 3
CF EB. 3.解 过点D作DE AB 垂足为点E 则DE DC
∴ = : ⊥ , , = =
AD AD
解 在 ACD和 AED中 = , 3BC .
(2) : Rt△ Rt△ , CD = ED , 7 =9cm
∴ ∴ A Rt C △ = A A C E D , ≌ 设 R C t F △ = A B E E D = (H x L , ) 则 , AE = AB - BE =14- 4 6 . . C 证 明 5 : . 4 ∵ 5 D 是BC的中点 ,
x ∴ , 1 A 4 C - = x A = F 8 + + C x F , = 解 8 得 + x x = , 3 . ∴ ∵ B A D D = 是 C △ D A , BC的角平分线 , DE ⊥ AB , DF ⊥ AC ,
故CF =3 . ∴ DE = DF ,∠ BED =∠ CFD =90°,
8 9 . . C 解 :(1) 如图 1, 过A作AE ⊥ BC 在 Rt△ BED和 Rt△ CFD中 , B D D E = = C D D F , ,
于E , ∴Rt△ BED ≌Rt△ CFD (HL),
∵
点D是BC边上的中点
, 7. ∴ 证 ∠ 明
B
= A ∠ D
C
是
.
BAC的平分线 DE ABDF AC
∴ BD = DC , :∵ ∠ , ⊥ , ⊥ ,
DE DFAE AF.
∴ S △ABD∶ S △ACD= 1 2 BD · AE ∶ ∴ 又 ∵ B = D = CD , , =
DBE DCF .
1CD AE ∴Rt△ ≌Rt△ (HL)
2
· =1∶1,
∴
BE
=
CF.
故答案为 :1∶1 . ∵ AC = AF + FC , AE = AF , BE = CF ,
(2) 如图 2, 过D作DE ⊥ AB于E , ∴ AC = AE + BE.
DF
⊥
AC于F
,
8.
C
∵
AD为
∠
BAC的平分线
,
9.解
:
如图
,
点F或点F'即为所求.
DE DF
∴ = ,
AB mAC n
∵ = , = ,
∴ S △ABD∶ S △ACD
1AB DE 1AC DF
= · ∶ ·
2 2
m n.
= ∶
AD DE
(3)∵ = ,
∴ 由 (1) 知S △ABD∶ S △EBD=1∶1,
∵ S △BDE=10,
∴ S △ABD=10, 10.解 证明 如图 连接
AC AB AD平分 CAB :(1)① : 1,
∵ ∴ 由 (2 = ) 3 知 , : S △ = AB 5 D , ∶ S △ACD= ∠ AB ∶ A , C =5∶3, BD A , D CD 平 , 分 BAC
∴ S △ACD=6, D ∵ E ABD ∠ F AC ,
第1
∴
0
S
课
△AB
时
C=1
角
0+
平
6
分
=
线
16
(2
.
)———角平分线的应用 ∴ D
⊥
E = D
,
F ,
⊥ ,
1.解 : 如图所示.提示 : 三角形两个内角平分线的交点到 ∠ BED =∠ F =90°,
各边的距离相等. ∵ BE = CF ,
BED CFD
∴△ ≌△ (SAS),
DB DC
∴ = ,
点D在BC的垂直平分线上.
∴
DE ABDF AC
②∵ ⊥ , ⊥ ,
AD平分 BAC
∠ ,
ADE ADF
∴∠ =∠ ,
2.解
:
如图所示
,
点M就是所要求作的建立超市的位置.
∴
AE
=
AF
,
AB BE AC CF
∴ - = + ,
BE BE
∴10- =6+ ,
BE
∴ =2,
故答案是 .
2
AD平分 BAC
(2)①∵ ∠ ,
BAD 1 BAC
∴∠ = ∠ ,
2
同理可得 ABF 1 ABC
:∠ = ∠ ,
2
7
3A"#
由题意得BE xAE AF
BAD ABF 1 BAC ABC : =8- , = ,
∴∠ +∠ = (∠ +∠ ) x x
2 ∴10+8- =6+ ,
= 1 2 (180°-∠ C ) ∴ x 点 = D 6, 到l的距离是AF .
∴ =12
1 综上所述 点D到l的距离是 或 .
= (180°-90°) , 4 12
2 第11课时 三角形的证明复习
=45°, 1. 2 3
AFB BAD ABF D .B .B
∴∠ =180°-(∠ +∠ )=135°, 4. 证明 AB AC点D是BC边上的中点
BFD (1) :∵ = , ,
∴∠ =45°, AD平分 BAC.
FG BE ∴ ∠
∵ ⊥ , DEDF分别垂直ABAC垂足为点E和F
BFG ∵ , , , ,
∴∠ =90°, DE DF.
DFG BFD ∴ =
∴ 故 ∠ 答案是 =90 . °-∠ =45°, (2) 解 :∵ AB = AC , 点D是BC边上的中点 , S △ABC=
45°
如图 延长GF交AB于H 14,
② AF 2 H , DFG A , FE ∴ S △ACD=7,
∵ =∠ ∠ BFD = = 45 ∠ °, =45°,∠ ∴ DF = 2 S A △ C ACD = 2× 7 7 =2,
∴∠ AFH =∠ AFE , ∴ DE =2 .
∵∠ BAD =∠ CAD , AF = AF , 5. C 6. C 7. B
∴△ AFH ≌△ AFE (ASA), 8.证明 :∵ OM平分 ∠ POQ , MA ⊥ OP , MB ⊥ OQ ,
∴ AH = AE , ∴ AM = BM.
OM OM
∵ AC =6, CE = 8 3 , 在 Rt△ AOM和 Rt△ BOM中 , AM = = BM , ,
∴ AE =6- 8 = 10 , ∴Rt△ AOM ≌Rt△ BOM (HL),
3 3 OA OB
∴ = ,
AH 10 OAB OBA.
∴ = , ∴∠ =∠
3 9. 10. 11.
A A D
∴
∵
B
∠
H
CB
=
E
A
=
B -
∠
A
AB
H
E
=
,
2
3
0 , 1
1
2
3
.
.
真
解 : 设
相
∠
等
A
的
= x
两
°
个
,
角是直角 假
∠ BFG =∠ BFH =90°, ∵ AD = BD ,
BF = BF , ∴∠ ABD =∠ A = x °,
BDC A ABD x
∴△ BFG ≌△ BFH (ASA), ∴∠ =∠ +∠ =2°,
BD BC
BG BH 20 ∵ = ,
∴ = = 3 , ∴∠ C =∠ BDC =2 x °,
AB AC
CG BC BG 20 4 ∵ = ,
∴ = - =8- = , ABC C x
3 3 ∴∠ =∠ =2°,
故答案为4. 在 △ ABC中 ,∠ A +∠ ABC +∠ C =180°,
如图 3 当点D在 ABC内 ∴ x +2 x +2 x =180, 解得x =36,
(3) 3, △ A .
部时 ∴∠ =36°
, 14.
B
( 方法一 )∵ S △ABC= 1AC · BC 15.解 :(1) 在 △ ABC中 ,
2 C A
∵∠ =90°,∠ =30°,
1AB h 1AC h B
= · + · + ∴∠ =60°,
2 2
∵60÷2=30,
∴ 1 2 6 B × C 8 · = h ( , 6+8+10)· h , ∴ 当 0 B ≤ P t = ≤ B 3 Q 0, B 时 P , = △ P (6 B - Q 2 t 为 ) 等 cm 边 , B 三 Q 角 = t 形 c , m 即 . 60-2 t = t ,
t
∴ h
点
=
D
2,
到l的距离是AC
∴ 当t =
=
2
2
0
0
; 时
,△
PBQ为等边三角形.
∴ - 若 PBQ为直角三角形
h ( 方 =6 法 - 二 2 ) = 6 4 - , h +8- h =10, ( ① 2 t ) 当 ∠ △ BQP =90° 时 , BP =2 B , Q , 即 60-2 t =2 t ,
∴ 如 h 图 =2; ∴ ② 当 = ∠ 15 B , PQ =90° 时 , BQ =2 BP , 即t =2(60-2 t ),
4, t .即当t 或t 时 PBQ为直角三
设CF x ∴ =24 =15 =24 ,△
= , 角形.
8
A"# 3
第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组 x y
∴ =3- ,
第12课时 不等关系 又
∵
x
>2,
1. (1)< < (2)> > (3)> (4)< ∴3- y >2,
2. (1)< ≠ (2)≥ ≥ (3)≥ ≤ ∴ y <1,
3.解 :(1) x +(-3)<0; 又 ∵ y >0,
(2)2 m 8% ( x +5)≤-6; ∴ ∴ 0 - < 1 y < < - 1 y , <0, 同理得 2< x <3,
(3) +3≤5; x y
4 ∴-1+2< - <0+3,
(4)( a + b )2 ≥3; ∴ x - y的取值范围是 1< x - y <3 .
a bc x y a
(5)+ > ; (3)∵ - = ,
a . x a y
(6)≤0 ∴ = + ,
4. x 5. 6. 又 x
600- -500≥500×8% C B ∵ <-1,
7. a y
(1)> (2)> (3)< (4)> ∴ + <-1,
8.解 由题意可得x y a
:(1) :-3>10; ∴ <-1- ,
由题意可得 x 又 y
(2) :3 -5<0; ∵ >1,
由题意可得 x 当a 时 y a
(3) :2 +1≥0; ∴ <-2 ,1< <-1- ,
由题意可得 y . 同理得 a x
(4) :3 -9≤-1 :1+ < <-1,
9.解 : 设小亮家每个月的用水量是x m 3, 根据题意 , 得 ∴2+ a < x + y <- a -2,
. x . x y的取值范围是 a x y a .
15×10+2(-10)≥25 ∴ + 2+ < + <- -2
10. 11. x 第14课时 不等式的解集
D 119≤ ≤136
12. . 1. x x
(1)<;(2)<;(3)>;(4)<;(5)<;(6)> (1)>2 (2)≤3
13.解 设小王 天之后平均每天生产零件x个 根据题
: 10 , 2.解 如图所示
意 得 x . :(1) :
, 4×10+(30-10-3)>176
第13课时 不等式的基本性质
(2)
如图所示
:
.
1.
(1)> (2)> (3)< (4)< 3.
2. C
(1)< (2)<
3.解 不等式的两边都减去x得x . 4.解 解不等式5x x可得x 所以x
:(1) , <-3 : -1>3 , <-2, =- 2
不等式两边都加上 得x x . 2
(2) 1, -1+1<2+1,<3 不是此不等式的解.
4. x x .5. 6.
(1)<-3;(2)>-75 C D 5. 6 7.
7. 8. A .D B
< > < > 8. x x x x
9.解 x (1)≥-5 (2)≥3 (3)<6 (4)≤0
:(1)∵ +3<-2,
∴ x <-2-3( 不等式的基本性质 1), 9.解 :(1) x >-4,
x 合并同类项 .
∴ <-5( ) x
(2)≤-7,
1x
(2)∵ >-1,
3 x
x 不等式的基本性质 . (3)>-2,
∴ >-3( 2)
x x
(3)∵7 >6 -4, x
x x 不等式的基本性质 (4)≥-3,
∴7 -6 >-4( 1),
x 合并同类项 . 10. 11.
∴ >-4( ) C D
(4)∵- x -1<0, 12.解 :∵2 x -1>1,
∴- x <1( 不等式的基本性质 1), ∴ x >1,
x 不等式的基本性质 . .是不等式 x 的解.
∴ >-1( 3) ∴2,6,51 2 -1>1
10.解 最后一步错了.因为m n则n m 两边同时 x
: > , - <0, ∵ +13<12,
除以一个负数 不等式两边要变向.所以最后一步 x
, ∴ <-1,
错误. 是不等式x 的解.
∴-9,-5 +13<12
11. 12.a 13. y 解集为y . a 解集为
B >3 (1)8+2 >0, >-4 (2)3-7<0,
13.解 x
:(1)∵1< <2, a 7.
x <
∴2<2 <4, 3
∵-1< y <0, 14.解 : 由新运算的定义可得 , x * a <1, 所以x -2 a <1,
∴-3<3 y <0, 解得x <2 a +1, 由数轴上表示的解集可知 ,2 a +1=
∴-1<2 x +3 y <4 . 1, 解得a =0 .
故答案为 x y . 第15课时 一元一次不等式(1)
-1<2 +3 <4
x y 1. 2.
(2)∵ + =3, D C
9
3A"#
3.解 去分母得 x x 去括号得 x 第16课时 一元一次不等式(2)
: :2(2 -3)<6 -3, :4 -6<
1.解 去分母得 x x 移项 合并同类项得
x 移项 合并同类项得 x .解得x 3 : 4 -2-6<3 +12, ,
6 -3, , :-2 <3 >- , x 则不等式的最大整数解为 .
2 <20, 19
表示在数轴上如图所示 : 2.解 : 设还能买词典x本 , 根据题意得 20×65+40 x ≤
x x 1.
2000,40 ≤700,≤17
2
答 最多还能买词典 本.
: 17
4. D 5. (1) x ≥- 1 2 ;(2) y ≥2 3.解 : 设平均每天挖土x m 3, 由题意得 (10-2-2) x ≥
6.解 :(1) 移项得 2 x + x <10-1, 合并同类项得 3 x <9, 系 600-120, 解得x ≥80 .
数化成
1
得x
<3;
答
:
平均每天至少挖土
80m
3.
去括号得 x x移项得 x x 合并 4. 5 6. 7.
(2) 2 -8>4+ , 2 - >4+8, B .C 79 610
同类项 , 得x >12 . 8.解 : 设邮件的重量为x kg, 根据题意得 10+3( x -1)≤
7.解 :(1) 去括号得 :2 x +2-1≥4 x +2, 移项得 2 x -4 x ≥ 28, 解得x ≤7,
2-2+1, 合并同类项得 -2 x ≥1, 化系数为 1 得x ≤ ∴ x的最大值为 7,
邮件的重量最多为 .
1.解集在数轴上表示为 ∴ 7kg
- 9. 10.
2 C 7
11.解
:(1)100,150
设该公司采购m辆 型公交车 则采购 m
(2) A , (10- )
辆 型公交车 根据题意得 m m
B , 60 +100(10- )≥680,
去分母得 x x 去括号得 x 解得m .设采购这 辆公交车的总费用为w万
(2) 3 -12≥-2(7- ), 3 -12≥ ≤8 10
x移项得 x x 合并同类项得x 元 则w m m
-14+2 , 3 -2 ≥-14+12, , =100 +150(10- ),
.解集在数轴上表示为 w m .
≥-2 ∴ =-50 +1500
∵-50<0,
w随m的增大而减小
∴ ,
8. B ∴ 当m =8 时 , w取得最小值 ,
9.解 去分母 得 x x 去括号 得 此时 m .
: , 2(-2)-5(+4)>-30, , 10- =10-8=2
2 x -4-5 x -20>-30, 移项 , 得 2 x -5 x >-30+4+ ∴ 总费用最少的购买方案为 : 购买 8 辆 A 型公交车 ,2
合并同类项 得 x 系数化为 得x 将 辆 型公交车.
20, , -3 >-6, 1, <2, B
不等式解集表示在数轴上如下 第17课时 一元一次不等式与一次函数(1)
:
1. 1 1 1 x x 3
(1)< = > (2)≤2 (3)<
2 2 2 2
2. 3. x 1 4. 5. 6.
10.解 A (1)C (2)>- D A C
:(1)∵-4<-2, 3
7. 8. 9. 10. x
∴min{-4,-2}=-4, A A C -2≤ <2
当 2 x -1<3 时 , 解得 : x <2, 11.解 :(1) 当x =-1 时 , y =|2 x -1|=|-3|=3, 当x =
∴min{ x ,3}= x , 1 时 , y =|2 x -1|=|2-1|=1, 故答案为 :3;1;
故答案为 -4; x ; (2) 函数图象如图所示 :
由题意得 x x 解得x
(2) ,- +3≥3 +7, ≤-1;
当 x x 时 解得x
(3) - +3≥ +1 , ≤1,
即当x 时y x
≤1 ,= +1,
k
∵ =1,
y随x的增大而增大
∴ ,
∴
当x
=1
时
,
y最大
=1+1=2,
当 x x 时 解得x 即当x 时y
- +3< +1 , >1, >1 ,=
x
- +3,
k
∵ =-1,
y随x的减小而增大
∴ ,
x x
∵ >1,∴- <-1,
x
∴- +3<2,
y
∴ <2,
综上所述 函数y x x 的最大值
为 . , =min{- +3,+1} (3) 当y =|2 x -1|=0 时 , 解得x = 1 , 根据图象可
2 2
10
A"# 3
知 当x 1时 y随x的增大而减小 故答案为 l对应的函数表达式为y 1x
, < , , : ∴2 = +2,
2 3
1 当x 时y 1
< ; =6 ,= ×6+2=4,
2 3
画出函数y x 的图象 如图所示 故答案为
(4) = +1 , : 4;
设l ax则 a解得a 故l对应的函数表
(3) 1= , 3=3, =1, 1
达式为l x.
:1=
利润 l l x 1x 2x
∵ =1-2= - +2 = -2,
3 3
2x 解得x .
∴ -2≥22, ≥36
3
答 销售量至少为 件.
: 36
5.
①②③④
6.解 商场购进 型空调x台 那么商场购进 型空
:(1) A , B
调 x台.根据题意得
(100- ) ,
y x x x .
=300 +400(100- )=-100 +40000
购进的 型空调数量不超过 型空调的 倍
∵ B A 2 ,
x x解得x 100.
∴100- ≤2 , ≥
3
由图象可得 不等式 x x 的解集是 x为整数
, |2 -1|< +1 0< ∵ ,
x . x .
<2 ∴34≤ <100
第18课时 一元一次不等式与一次函数(2) y与x之间的函数关系式为y x
∴ =-100 +40000(34
1. . x .
> 45 ≤ <100)
2.解 普通会员购买商品应付的金额y元 与所购商 y x x .
:(1) ( ) (2)=-100 +40000(34≤ <100)
品x元 之间的函数表达式为 当 x 时y x y随x的减小而增大
( ) : 0< ≤300 ,= ∵ ,
当x 时y .x 会员购买商品应付 当x 时 y最大 y
+30; >300 ,=09 ;VIP ∴ =34 , , =-100×34+40000=
的金额y元 与所购商品x元 之间的函数表达式为 .
( ) ( ) 36600
y .x 这批空调全部售完后的最大利润是 元 此时
=08 +50; ∴ 39600 ,
当 .x .x 时 解得x 当 .x 型 型两种型号的空调各购进 台 台.
(2) 09 <08 +50 , <500; 09 = A 、B 34 、66
.x 时 解得x 当 .x .x 时 解 商场购进 型空调的不少于 台
08 +50 , =500; 09 >08 +50 , (3)∵ B 45 ,
得x . x
>500 ∴100- ≥45,
当购买的商品金额 x 时 按普通会员购 x .
∴ 300< <500 , ∴34≤ ≤55
买合算 ; 当购买的商品金额x >500 时 , 按 VIP 会员购 空调厂家对 A 型空调出厂价每台下调m元后 , y =
买合算 当购买商品金额x 时 两种方式购买一 x mx m x .
; =500 , -100 +40000+ =( -100)+40000
样合算. y m x x .
∴ =( -100)+40000(34≤ ≤55)
3.解
:
设x名学生
,
则在甲旅行社花费
:(2×500+500
x
× ∵
当
100<
m
<150
时
,
y随x的增大而增大
,
0 . 7)=(350 x +1000) 元 , 在乙旅行社的花费 :[( x + ∴ 当x =55 时 , y最大 , y =55( m -100)+40000=
2)·500×0 . 8]=(400 x +800) 元.当在乙旅行社的花 41320, 解得m =124 .
费少时 :350 x +1000>400 x +800, 解得x <4; 在两家 ∴ m =124 .
花费相同时 x x 解得x 第19课时 一元一次不等式组(1)
:350 +1000=400 +1800, =4;
当在甲旅行社的花费少时
:350
x
+1000<400
x
+800,
1.
B
2.
B
解得x .
>4 3.解 解集为 x .
综上 可得 当两名教师带领的学生少于 人时 应该 :(1) , :1< <2
, ① 4 ,
选择乙旅行社
; 解集为 无解.
当两名教师带领的学生为 人时 选择甲 乙两家旅 (2) , :
② 4 , 、
行社都一样 4.解 不等式组的解集为 x 在数轴上表示为
; : :-2< ≤2, :
当两名教师带领的学生多于 人时 应该选择甲旅
③ 4 ,
行社.
4.解
:(1)3;
(2) 设l 2 对应的函数表达式为l 2= kx + b ( k ≠0), 5 6 . . A x x x x
根据题意 , 得 b k =2 b , 解得 k = 1 3 , 7. ( 解 1) :(1 < ) 1 不 等 (2 式 ) 的 < 解 - 集 2 是 x (3 > ) - > 5 3 ; (4)-2< <3
3+ =3, b
=2, (2)
不等式组的解集为
-1<
x
≤5
.
11
3A"#
8. 9. 10.m 11. a
D A ≥2 14< ≤17 x y a 12.解 在方程组 2 - =-3①,中 可 :(1) x y a ,①×2+② +2 = -4②
得 x a
5 =-5-4,
x a 4 ∴ =- - ,
5
把x a 4代入 可得 a 4 y a
=- - ② - - +2 = -4,
5 5
y a 8 ∴ = - ,
5
x =- a - 4 ,
方程组的解为 5
∴ y a 8
= - ;
5
12
x为负数y为非正数
(2)∵ , ,
x - a - 4 <0, <0,即 5 ∴ y ≤0, a 8
- ≤0,
5
a
x y a x = +8 , 9.解 方程组 - = +3,的解为 3 : x y a 2 + =5 y -1-2 = ,
3
解得 4 a 8 - < ≤ , 5 5
a为整数
∵ ,
a的值为 或 .
∴ 0 1
第20课时 一元一次不等式组(2)
1.解 由 得x 13 由 得x 故此不等式组的解
: ① ≥ , ② ≥-1,
19
集为x 13 在数轴上表示为 ≥ , : 19
x
2.解 解不等式 x x 得x 解不等式 +2 : 2(-1)≤ +1, :≤3,
2
x +3 得x 则不等式组的解集为 x 所以
≥ , :≥0, 0≤ ≤3,
3
不等式组的整数解之和为 .
0+1+2+3=6
3.解 设这个植树小组有x人去植树 共有y棵树.由 每
: , “
人植 棵 则余 棵没人植 和 若每人植 棵 则有一 4 , 20 ” “ 8 ,
人 比 其 他 人 植 的 少 但 有 树 植 得
( )” :
y x =4 +20, 将y x 代入第二个式子
y x =4 +20 0< -8(-1)<8,
得 x x 解得 x .
:0<4 +20-8(-1)<8, :5< <7
答 这个植树小组有 人去植树 共有
: 6 , 4×6+20=44
棵树.
4. 5. x D -2< ≤1 6.解 解不等式 x x 得x 解不等式 x x : 3 < +6, :<3, 1- ≤4
得x 则不等式组的解集为 x 将 +11, :≥-2, -2≤ <3,
不等式组的解集表示在数轴上如下 :
x x
2(+2)<3 +3①, 7.解 :x -2 x 由 ① 得x >1, 由 ② 得x <6,
> -1②,
4 3
所以不等式组的解集为 x 最大整数解为 .
1< <6, 5
8.
A
x y .
∵ >0,<0
a +8
>0,
3
∴ a
-1-2
<0,
3
解不等式组得a 1
>- ,
2
故a的取值范围为a 1.
>-
2
10.解 设篮球的单价是x元 足球的单价是y元
:(1) , ,
x y
根据题意得 2 +3 =430, : x y
3 +5 =690,
x
解得 =80,
:y .
=90
答 篮球的单价是 元 足球的单价是 元 : 80 , 90 ; 设购买m个篮球 则购买 m 个足球 (2) , (100- ) ,
m m
根据题意得 ≤3(100- ),
: m m
80 +90(100- )≤8300,
解得 m
:70≤ ≤75,
又 m为正整数
∵ ,
m可以为
∴ 70,71,72,73,74,75,
共有 种购买方案.
∴ 6
答 共有 种购买方案
: 6 ; 当 a 时 篮球的单价低于足球的单价 (3) 0< <10 , ,
购买 个篮球时 费用最低
∴ 75 , ,
a
∴75(80+ )+90×25=8625,
解得a
:=5;
当a 时 篮球的单价不低于足球的单价
≥10 , ,
购买 个篮球时 费用最低
∴ 70 , ,
a
∴70(80+ )+90×30=8625,
解得a 65 不符合题意 舍去 .
:= ( , )
14
答a的值为 . : 5 第21课时 一元一次不等式和一元一次不等式组复习
1. 2.x
(1)> > (2)> > (3)< > <-3 3.解 不等式组的解集为 x 在数轴上表示为
: -1< <2, :
4.解 设答对x道题目 由题意得 x x 解
: , :4 -2(25- )≥60,
得x 55 所以最小的整数为 . :≥ , 19 3 答 至少要答对 道题.
: 19
5. 6.x 1 B ≥
9
x x
2 -4< -1①,
7.解 :3 x -4 2 x -1 解 ① 得x <3; 解 ② 得x ≥-2;
≤ ②,
6 3
所以不等式组的解集为 x 用数轴表示为 -2≤ <3, :
8.解 设可以打x折 根据题意可得 x
: , :150 -100≥100×
A"# 3
20 解得x .. 8.
%, ≥08 C
答 最多可以打八折. 9.解 根据点A 平移后与点C 重合
: :(1) (-4,0) (1,4) ,
9. 10. 11.x 12.或 故线段AB平移方式为向右平移 个单位 向上平移
A D >-2 5 6 5 , 4
x x 个单位
4 +5<3 +7①, ,
13.解
: 4x 2x
解
①
得x
<2,
解
②
得x
≥ ∴
点B
(-2,-2)
向右平移
5
个单位
,
向上平移
4
个单
+2≥1- ②, 位为D
3 3 (3,2),
- 1 2 , 故不等式组的解集为 - 1 2 ≤ x <2, 则其整数解 故答案 如 为 图 :(3 连 ,2 接 ) . OF 设点E
为 . (2)① , ,
0,1 m .
14. 15.a (0,)
D ≥4 点E在y轴上 点F在第
16.解
:(1)
设每把刻刀x元
,
每块石料y元.由题意得
:
∵
一象限内
,
x y x ,
12 +24 =360解得 =16, 线段AB先向右平移 个
x y , y . ∴ 4
10 +18 =286 =7 单位长度 再向上平移m个
设购买a把刻刀 则购买石料 a 块.由题意 ,
(2) , (60- ) 单位长度
a ,
a 60- 点F m
得 ≥ ,解得 a . ∴ (2,-2),
: a 2 :20≤ ≤60 则S △AEF= S △OAE+ S △OEF- S △AOF
0< ≤60,
刻刀和石料均可八折优惠 1 m 1 m 1 m
∵ , = ×4× + × ×2- ×4×( -2)
一把刻刀价格为 . . 元 一块石料价 2 2 2
∴ 16×08=128( ), m .
格为 . . 元 . = +4
设花 7 费 × 为 0 w 8= 元 56( ) ∵ S △AEF=8,
, m
则w .a . a .a . ∴ +4=8,
=128+56(60- )=72+336 解得m
. =4,
∵72>0, 点E F .
w随a的增大而增大. ∴ (0,4),(2,2)
∴ 设点P的坐标为 n 则PE n.
故a 时 w有最小值 此时w . ② (0,), =|4-|
= 元 20 . , , =72×20+336= ∵ S △PEF∶ S △AEF=3∶4, S △AEF=8,
480( )
答 : 当购买 20 把刻刀 ,40 块石料时花费最少 , 为 ∴ S △PEF=8× 3 =6,
元. 4
第三 48 章 0 图形的平移与旋转 ∴ 1 ×|4- n |×2=6,
2
第22课时 图形的平移 解得n 或n
=-2 =10,
1. 点P的坐标为 或 .
30° 4 ∴ (0,-2) (0,10)
2.解 如图所示 DEF即为所求 DFAB 第23课时 用坐标表示平移
:(1) ,△ ;(2) , ;
.. 1.解C D E 图略.
(3)35 :(2,2),(0,-3),(6,-1),
2. 3. 4 5.
C C .C (1,1)
6.解 如图所示
:(1) ;
在 ABC向上平移过程中边AC所扫过区域的
(2)∵ △
面积等于 AACC 的面积
3.解 将 ABC沿AC方向平移得到 DEF ▱ 1 1 ,
A : C (1)∵ DF △ △ , ∴ S ▱A 1 ACC 1=4×2=8 .
∴ = =5, 7. 8. 9. 10. 11.
AD AF DF . D C C 2 (4,3)
∴ = - =9-5=4 12.解 如图 三角形A'B'C'即为所求.
根据平移的性质可得BE AD EF BC :(1) ,
(2) : = =4, = =3, 如图 线段CD即为所求.
四边形AFEB的周长 AF FE EB BA . (2) ,
∴ = + + + =20 四边形A'B'CD的面积为 .
4. 5. 6. (3) 3×3=9
A B 18 当CP垂直于直线A'B'时 线段CP最小.
7.解 将 ABC沿AD方向平移得到 DEF (4) ,
:(1)∵ △ △ , 连接A'C
AC DF ,
∴ = , 由平移得A'B' AB .
AD AF DF , = =5
∴ = - =9-5=4; 设点C到直线A'B'的距离为h
根据平移的性质可得BE AD EF BC ,
(2) : = =4, = =3,
∴ 四边形AFEB的周长 = AF + FE + EB + BA =20 . ∴ 1 ×3×3= 1 ×5 h ,
2 2
13
3A"#
CAE DAE DAC
解得h 9 ∴∠ =∠ -∠ =45°-30°=15°,
= , 故答案为 .
5 15
∴ 点C到直线A'B'的距离为9 5 , ( ① 2) 如 设 图 ∠ 1 C , A 当 D 0 = ° γ < α ,∠ ≤ B 45 A ° E 时 = , β,
线段CP的最小值为9.
∴
5
α + β =90°, α + γ =45°,
故β
-
γ
=45°,
即 BAE CAD .
∠ -∠ =45°
如图 当 α 时
② 2, 45°< ≤90° ,
第24课时 图形的旋转(1)———有关概念
1.O A'OA或 BOB' A' A'B' B'
∠ ∠ ∠ 90°
2.解 如图.
:
∠ DAE + γ + β =90°, 即 ∠ BAE +∠ CAD =45°
如图 当 α 时
③ 3, 90°< <180° ,
3.解 BAC B ACB
:(1)∠ =180°-∠ -∠ =180°-15°-25°
即 BAD 所以旋转中心为点A 旋转的
=140°, ∠ =140°, ,
度数为
140°;
ABC逆时针旋转一定角度后与 ADE重合
(2)∵△ △ ,
EAD BAC AE ACAD AB
∴∠ =∠ =140°, = , = =4,
BAE .
∴∠ =360°-140°-140°=80° CAD BAC EAB EAD
点C恰好成为AD的中点 ∠ -∠ =∠ -∠ ,
∵ , 即γ β .
-90°= -45°
∴ AC = 1AD =2, ∴ γ - β =45°, 即 ∠ CAD -∠ BAE =45° .
2 如图 当AD BC时α t
AE . (3)① , ∥ ,=15°,=3;
∴ =2
4.
A
5. A CE 线段ACCEEA ACE
(1) (2)、 (3) , , (4)∠
直角三角形.
(5)60° (6)
6.解 旋转中心为A
:(1) ;
旋转了
(2) 90°;
等腰直角三角形 AEF的面积为 .
(3) ;(4)△ 2 如图 当DE AB时α t
7. ② , ∥ ,=45°,=9;
C
8. 解 EBD是由 ABC旋转得到
41 :∵△ △ ,
EBD ABC
∴△ ≌△ ,
BA BE ABE AC DE
∴ = ,∠ =60°, = ,
ABE是等边三角形
∴△ ,
EAB
∴∠ =60°,
BAD 如图 当DE BC时α t
∵∠ =30°, ③ , ∥ ,=105°,=21;
EAD
∴∠ =90°,
AE AB AD
∵ = =5, =4,
∴ DE = AE2 + AD2 = 5 2 +4 2 = 41,
AC DE .
∴ = = 41
9.解 AD BC
:(1)∵ ∥ ,
DAC ACB
∴∠ =∠ =30°,
14
A"# 3
如图 当DE AC时α t
④ , ∥ ,=135°,=27;
如图 当AE BC时α t .
⑤ , ∥ ,=150°,=30
9. 10.
C 6
11.解 ABC是等边三角形AB
综上t 或 或 或 或 . :(1)∵△ , =8,
,=3 9 21 27 30 BC AB B C
第25课时 图形的旋转(2)———特征与运用 ∴ = =8,∠ =∠ =60°,
CDF CFD C
1.解 如图所示. ∴∠ +∠ =180°-∠ =120°,
: BD
∵ =6,
CD BC BD
∴ = - =2,
将DE绕点D顺时针旋转 得到线段DF
∵ 60° ,
DE DF EDF
∴ = ,∠ =60°,
BDE CDF EDF
∴∠ +∠ =180°-∠ =120°,
BDE CFD
∴∠ =∠ ,
BDE CFD
∴△ ≌△ (AAS),
BE CD
∴ = =2;
线段BE的长为
∴ 2;
如图 过 D 作DH AB
(2) , ⊥
于H
,
2. BHD
270 60 ∴∠ =90°,
3. 证明 线段AP绕点A逆时针旋转 到AQ FG DE
(1) :∵ 60° , ∵ ⊥ ,
AP AQ PAQ FGD
∴ = ,∠ =60°, ∴∠ =90°,
APQ是等边三角形 PAC CAQ 由旋转得ED DF
∴△ ,∠ +∠ =60°, : = ,
∵△
ABC是等边三角形
, ∠
EDF
=60°,
∴∠ BAP +∠ PAC =60°, AB = AC , ∴∠ DFG =90°-∠ EDF =30°,
BAP CAQ
∴∠ =∠ , ∵ FG = 93 ,
BA = CA , 2
在 △ BAP和 △ CAQ中 ,∠ BAP =∠ CAQ , ∴ DG = FG = 31 , DF =2 DG = 31,
AP = AQ , 3 2
∴△ BAP ≌△ CAQ (SAS), ∴ DE = DF = 31,
∴ PB = QC ; ∵∠ B =60°,
(2) 解 :∵ 由 (1) 得 △ APQ是等边三角形 , ∴∠ BDH =90°-∠ B =30°,
BD
∴ AP = PQ =3,∠ AQP =60°, ∵ =6,
∵∠
APB
=150°, ∴
BH
=
1BD
=3,
DH
=3
BH
=33,
PQC 2
∴∠
PQC
=
是
15
直
0°
角
-
三
60
角
°=
形
90°, 在
Rt △
DEH 中
,
HE
=
DE2
-
DH2
=
∴△ ,
∵ PB = QC , ( 31) 2 -(33) 2 =2,
∴ QC =4, ∴ BE = BH + HE =3+2=5,
线段BE的长为 .
PC PQ2 QC2 2 2 . ∴ 5
∴ = + = 3+4 =5 第26课时 中心对称
4. 5 6. 7.
D .C A 80° 1. 2.略
8.解 如图所示 ABC 即为所求.由图可知点B 的坐 D
: ,△ 1 1 1 3.解 如图所示 ABC 即为所求.由图可知 A
标为 C 的坐标为 . :(1) ,△ 1 1 1 ,1
(4,-2),1 (1,-3) 的坐标为 B 的坐标为 C 的坐标为
(1,-5),1 (4,-2),1
15
3A"#
. m m
(2,-2) M
∴ 2+ ,- ,
. 2 2
(2)2 26 m m
在 CMN中 MN CN
△ , = , = ,
2 2
CMN是等腰直角三角形
∴△ ,
OCG NCM
∴∠ =∠ =45°,
OCG是等腰直角三角形
∴△ ,
OG OC
∴ = =2,
点G的坐标为 .
∴ (0,2)
第27课时 简单的图案设计
1.
B
2.解 如图所示 答案不唯一
:(1) ( );
4. 5 6. 7.
A .D C 13
8.解 如图所示 ABC 即为所求 点C 的坐标为
: ,△ 1 1 1 , 1
(-3,-2)
.
如图所示.
(2)
3. 4. 5
C C .C
6.解 如图 .答案不唯一 以下答案供参考.
:(1) ① ,
如图 .答案不唯一 以下答案供参考.
(2) ② ,
如图 .答案不唯一 以下答案供参考.
(3) ③ ,
9. 10. 11.
C 10 2
12.解 AD CF理由如下
:(1) = , :
如图 连接ADCF
, , ,
四边形OABCBDEF为正
∵ 、
方形
,
AB BC ABC DBF
∴ = ,∠ =∠
BD BF
=90°, = , 7.
ABC DBC DBF C
∴∠ +∠ =∠ 8.解 正六边形关于其中心O有 的旋转对称 中心
+∠ DBC , 对 : 称 (1 图 ) 形关于其对称中心有 的 60° 旋转对称 ,
∴∠ ABD =∠ CBF , 故答案为 180° ;
∴△
ABD
≌△
CBF
(SAS),
:60°;180°;
( ∴ 过 作 2 A ) 点 M 不 D N F = 变 ⊥ 作 C , x F F ; 轴 H , ⊥ 垂 C 足 B 为 交 N BC , 的延长线于点H , 过点M ( ( ∴ 故 2 3 ) ) 将 答 ∵ 如 该 案 3 图 6 图 为 0 所 ° 形 :7 ÷ 示 2 绕 5 ° , = ; 是 其 7 中 中 2° 心 心 , 对 至 称 少 图 旋 形 转 . 7 ( 2° 答 与 案 原 不 图 唯 形 一 重 ) 合 ;
BCD DBF H
∵∠ =∠ =∠ =90°,
CBD FBH FBH BFH
∴∠ +∠ =90°,∠ +∠ =90°,
CBD BFH
∴∠ =∠ ,
BD BF
∵ = ,
BCD FHB
∴△ ≌△ (AAS),
Dm
∵ ( ,0),
CD BH m BC FH 第28课时 图形的平移与旋转复习
∴ = = -2, = =2,
F m 1. 2. 3.
∴ (4,- ), C 90 B
M为DF的中点
∵ , 4.解 如图 DEF的面积 1 1
:(1) ,△ :3×4- ×4×2- ×
2 2
16
A"# 3
12.解 ABC BEC证明如下
2×1-1 . :(1)∠ =∠ , :
(2) AD ∥ 2 B × E 3 且 × A 2 D =1 = 2 B - E 4 . - 1-3=4 ∵ ∴ B △ E A = B B C C 在 , 平面内绕点B顺时针旋转得到 △ DBE ,
BCE BEC等边对等角
∴∠ =∠ ( ),
CE AB 已知
∵ ∥ ( ),
ABC BCE 两直线平行 内错角相等
∴∠ =∠ ( , ),
ABC BEC等量代换
∴∠ =∠ ( );
如图 过点D作DF CE于
(2) , ⊥
点F
,
ABC在平面内绕点B顺时针
5 8 . . B 解 6. 15 如 ° 图 7 所 . C 示 ABC即为所求. ∵ 旋 △ 转得到 △ DBE ,
:(1) ,△ 1 1 1 AC DE BC BE
∴ = =2 19, = ,
ABC DBEAB BD
∠ =∠ , = ,
BEC BCE
∴∠ =∠ ,
CE AB
∵ ∥ ,
BCE ABC
∴∠ =∠ ,
DBE BEC BCE
∴∠ =∠ =∠ ,
BCE是等边三角形
∴△ ,
BC BE EC DCE
∴ = = ,∠ =60°,
DF CE
∵ ⊥ ,
CDF
∴∠ =30°,
CF 1CD DF CF
∴ = =2, =3 =23,
2
由图可得 , 点A 1(0,-1), 在 Rt△ DEF中 , EF = DE2 - DF2 = 76-12=8,
故答案为 CE EF CF .
:(0,-1); ∴ = + =8+2=10
如图所示 ABC即为所求. 第四章 因式分解
(2) ,△ 2 2 2
第29课时 因式分解
1. 2.
D B
3.解
:
设另一个因式为x
+
a
,
则
(
x
+3)(
x
+
a
)=
x2
+
ax a.
(3+ )+3
∵
x2
-4
x
+
m
=(
x
+3)(
x
+
a
),
a a m
∴3+ =-4,3= ,
a m
∴ =-7,=-21,
即另一个因式为x m .
-7,=-21
4. 5.x x 6. 7. 8.
A (2 +3)(3 -4) ②④ 2 -2
9.解
:(1)(
x2
+3
x
+2)(
x2
-
x
)=
x4
-
x3
+3
x3
-3
x2
+
2
x2
-2
x
=
x4
+2
x3
-
x2
-2
x
;
由图可得 点A (2)(
x2
+□
x
+2)(
x2
-
x
)=
x4
-
x3
+□
x3
-□
x2
+
9. 故答 10 案 . 为 , :(-1 2 , ( - - 5 1 ) , . -5), 2 ∵ x2 这 - 个 2 x 题 , 目的正确答案是不含三次项 ,
C A ∴-1+□=0,
11.解 如图 DEF即为所求 a
:(1) 13;(2) ,△ ;(3)(+2, ∴□=1,
b -3);(4)7 .
∴
原题中被遮住的一次项系数是
1
.
10. 11.
C A
12.x3y x2y xy 【解析】 因为甲同学看错了a的
-6 +15
值
,
因式分解的结果为xy
(
x
-3)(
x
-5)=(
x2y
-
3
xy
)(
x
-5)=
x3y
-8
x2y
+15
xy
,
b 因为乙同学看错了b的值 因式分解的结果
∴ =15, ,
为xy
(
x
+2)(
x
-8)=(
x2y
+2
xy
)(
x
-8)=
x3y
-
6
x2y
-16
xy
,
a
∴ =-6,
17
3A"#
∴
该多项式为x3y
-6
x2y
+15
xy
,
第31课时 提公因式法(2)
故答案为
:
x3y
-6
x2y
+15
xy. 1.
A
13.解 2.解 原式 x y x y
:(1)-3; :(1) =(- )(2 -2 -1);
原式 a a
(2)9; (2) =(-3)(2-7);
(3)
设另一个因式为
(
x
+
n
),
得
2
x2
+5
x
-
k
=(2
x
- (3)
原式
=2
m
(
m
-
n
)(5
m
-
n
)
.
3)( x + n )=2 x2 +(2 n -3) x -3 n , 则 2 n -3=5, k =3 n , 3.解 原式 xy x .当x 13y 7时
解得 : n =4, k =12, 故另一个因式为 ( x +4), k的值 : =15 (+4)(-2) = 5 ,=- 3 ,
第3 为 0 1 课 2 时 . 提公因式法(1) 原式 =15× 1 5 3 × - 7 3 +4 × 1 5 3 -2 =39 .
4. 5.
1. A C
A 6. x x a b a b
2.解 原式 a a (1)(+2)(-1) (2)(- )(- +1)
:(1) =2(9-25); 7.解 原式 x y a b
原式 m m :(1) =(- )(3+5);
(2) = (2 -1); 原式 m n bc
(3)
原式
=4
ab2(3 ab
-2
a2
-4
b2); (2)
原式
=
x
(3
a
+2)
x
(- );
(4)
原式
=-4
x
(6
x2
+3
x
-7)
. (3)
原式
=
a
(
x
-1
y
)(
x
-1)
y
;
.
3. (4) =5(- )(-2 )
4. 5 解 0
:∵
a2
+
a
=0,
8.解 :4 x ( m -1)-3 x ( m -1)2 = x ( m -1)(7-3 m ), 当x
∴
原式
=2(
a2
+
a
)+2019=2019
.
=
3
,
m
=3
时
,
原式
=
3
×(3-1)×(7-3×3)=
3
2 2 2
5. A 6 .A 7. B 8. -5 a ( a2 -2 a +3) 9. - 3 ×2×(-2)=-6 .
2 9. 10 11.
10.解 原式 x y z A .B 42
:(1) =4(- + ); 12.解 原式 mm n m n m n mnm n.
原式 axax : = ( + )( - - - )=-2 ( + )
(2) = ( -1);
(3)
原式
=5
ab2(3 a
-
b
);
当m
+
n
=1,
mn
=-
1时
,
原式
=-2× -
1
×1
(4)
原式
=
x
(
x3
+
x2
+1); .
2 2
11.
(5) 原式 =-2 x ( x -9 xy +2 y2) . 13. = 解 1 :(1) 提公因式法 ,2;
12. B 解 :(1) 原式 =13×3×37-13×81=13×111-13× ( (3 2 ) ) 1 (1 + + x x + ) x 20 ( 2 x 4; +1)+ x ( x +1)2 +…+ x ( x +1) n ( n为
13. 8 2 ( 证 2 1 - ) = 明 3 原 1 ) : 3 式 = 因 × 0 = 为 ( . 1 3 原 1 2 1 0 式 22 - + = 8 2 n 1 × ) ( n = 3 - 3 × 9 1 3 0 ) 2 ; , 02 所 1 - 以 3 无 202 论 2 × n 3 为 =3 任 20 意 22 × 整 ( 数 1 , + n 第3 1 1 正 2 ) ) n n 课 整 - - 1 2 时 数 ] ] = = )= ( … 公 1 ( = + 1 式 ( x + 1 法 x ) + ( 2 1 x ) [ ) 1 [ ) 1 n + + + 1 x . x + + x x ( ( x x + + 1 1 ) ) + + … … + + x x ( ( x x + +
14. 或 解 = = n ( ( : 1 1 ( - 1 + + ) 1 a a 1 ) ) 必 + 2 ( a 1 ( 有 1 + + + 一 a a a ( ) 个 1 ) + + + 是 a a a ( 偶 1 ( ) 1 + + 数 + a a , a ( ) 所 1 2 )3 + + 以 a a n ( ) 2 1 2 - + + n a a ( ) 必 1 3 + 是 a 偶 )3 数. 1. ( ( ( 解 2 3 4 ) ) ) :( 原 原 原 1) 式 式 式 原 = = = 式 ( ( ( 3 1 2 = x 0 m x n ( - 4 + + 2 + 9 5 ) x y a (3 ) ) ) x ( ( ( 4 1 2 + 0 m - x 2 n x ) - - ) ; 9 ; 5 y a ) ) ; .
=(1+ a )3 + a (1+ a )3 2.解 :(1) 原式 = x ( x +5)( x -5);
=(1+ a )3(1+ a ) (2) 原式 = x2( x +3)( x -3) .
( = + 故 2 a ) ( 答 1 ( 由 1 + 案 ② + a 为 a ) ③ 4 ) : n ; ( 发 1 = 现 + (1 a 规 + ) n 律 a +1 ) : n 1 ; + + 1 a , + a (1+ a )+ a (1+ a )2 +… 3 4 . . ( ( 解 解 2 2 ) ) : : ( ( 原 原 1 1 ) ) 式 式 原 原 = = 式 式 ( [ a 3 = = ( - x ( [ b x x + ) - + y ( x y ( ) x + ) + ( - 1 a ( x y ) + ( ) x - 2 ] b y - [ x ) ) 1 ( a ] - ) [3 - . ( x ( 2 x b - + ) y ; y )] ) = - y ( x (2 x - y - y )] ) = .
(3)1+3+3(1+3)+3(1+3)2 +3(1+3)3 +3(1+3)4
(4
x
+2
y
)(2
x
+4
y
)=4(2
x
+
y
)(
x
+2
y
)
.
+3(1+3)5 +3(1+3)6 5.
C
6.
D
=(1+3)(1+3)+3(1+3)2 +3(1+3)3 +3(1+3)4
+
7.解
:(1)
原式
=(3
m
+2
n
)(3
m
-2
n
);
3(1+3)5 +3(1+3)6
(2)
原式
=(
x
+9
y
)(
x
-9
y
);
=(1+3)2(1+3)+3(1+3)3 +3(1+3)4 +3(1+3)5
(3)
原式
=
x
(
x
+5)(
x
-5);
+3(1+3)6
(4)
原式
=2
m
(
a
+2
b
)(
a
-2
b
);
=(1+3)3(1+3)+3(1+3)4 +3(1+3)5 +3(1+3)6
(5)
原式
=2(
m
-
n
)(2
x
-1);
=(1+3)4(1+3)+3(1+3)5 +3(1+3)6
(6)
原式
=(
x
+5)(
x
-1)
.
=(1+3)5(1+3)+3(1+3)6 8.解
:
原式
=(19
.
5+0
.
5)(19
.
5-0
.
5)=380
.
=(1+3)6(1+3) 9.解
:(1)
x2
-6
x
+8
=(1+3)7
=
x2
-6
x
+9-9+8
=4 7. =( x -3)2 -1
故答案为
:4
7.
=(
x
-3+1)(
x
-3-1)
18
A"# 3
x x 3.解 原式 x y x y
=(-2)(-4); :(1) =(- )(+ );
设A x y 原式 aa a
(2) = - , (2) = (+1)(-1);
( x - y )2 -4( x - y )+4 (3) 原式 =(2 x -3)2;(4) 原式 =( x +1)2( x -1)2.
A2 A 4.
= -4 +4 D
=( A -2)2, 5. (1) m (2 m -1) (2)( a +9)( a -9) (3)( m -2)2
∴( x - y )2 -4( x - y )+4=( x - y -2)2; (4)2 a ( a +2)( a -2) (5) xy ( x -1)2
(3)△ ABC是等腰三角形.理由如下 : 6.解 :(1) 原式 =(2 x )2 -( x2 +1)2 =(2 x + x2 +1)(2 x -
∵ a2 + b2 + c2 -4 a -6 b -4 c +17=0, x2 -1)=-( x +1)2( x -1)2;
∴ a2 -4 a +4+ b2 -6 b +9+ c2 -4 c +4=0, (2) 原式 =3[( x -1)2 -6( x -1)+9]=3[( x -1)-3]2
∴( a -2)2 +( b -3)2 +( c -2)2 =0, =3( x -4)2.
∴ a -2=0, b -3=0, c -2=0, 7. B 8 .B 9. -4
∴ a =2, b =3, c =2 . 10.解 :(1) 原式 =3( x - y )( a - b );
第 ∴ ∴ 33 a △ 课 = A c B 时 , C 是 公 等 式 腰 法 三 (2 角 ) 形. 11. ( = 解 2) -
:
原
(
m
1
式
)
( m 原 = - 式 - 3 m )
=
2 ( . m
(2
2 -
02
6
5
m
+
+
2
9)
024)(2025-2024)=
1.
2. C ( 解 2 ) :( 原 1) 式 原 = 式 ( x = - (1 3 + )2 5 . t )2; 12. 4 (2 0 ) 4 原 1 9 3 ; 式 . =( 1 1 4 7 . +13)2 =900 .
3 4 5 8 9 . . . . . 4 B ( ( ( ( 解 解 解 2 2 2 3 ) ) ) ) : : : ( ( ( 原 原 原 原 原 6 1 1 1 . ) ) ) 式 式 式 式 式 ( 原 原 原 1 = = = = ) 式 式 式 - ( ( ( - x 2 2 = = = a x 8 ( 2 2 a ) ( ( - - y + x 9 2 ( y x 3 m 3 - + - - b y ( - 1 a 2 3 8 ) ) x y 2 ) · ) 2 ) 2 2 2 ; 2 . ) x - ; 2 ; y 2 . ( · 2 )2 2 ) a ; + ( a 2 2 - = b ) ( x 2 2 + 7 2 . 1 ) 0 2; 或 -10 15. 4 4 A ( ( ( ∴ 答 ∴ ∴ 已 2 1 3 ) ) a a x 2 2 ) ) ) : 知 x = = 由 - 由 - = = y 0 0 3 1 1 y x 2 A 的 a ∴ , ; = , D b = 2 1 B 2 x + 0 值 = . C - + 2 - , b 4 b 为 4 y y 的 2 - ; 2 , 1 - = ∴ 8 - 4 三 6 4 0 x 2 = . a 边 x y , 0 y y - = 长 , + + 8 1 a b 4 6 8 y + = b . 0 + 1 c 8 , 1 都 6 = = 0 是 0 得 正 得 : 整 2 : ( ( 数 a x - - 由 y 1 三 ) ) 2 2 + + 角 ( ( 形 y b + - 三
(4) = 1+ ; △ ,, ,
2 边关系知c
(5) 原式 =2 xy ( x2 -6 xy +9 y2)=2 xy ( x -3 y )2; ABC的 = 周 4, 长为 .
(6)
原式
=-3
a
(1+4
a
+4
a2)=-3 a
(1+2
a )2.
第五
∴
章
△
分式与分式方
9
程
10. 11.
12. C 解 故 : 答 (1 案 ) a 为 A 2 + :2 1 5 0 ; a +25=( a +5)2, 1 第 . ( 3 1 5 )a 课 S 时 (2 认 ) a a 识 m 分 + b b 式 n ( 1)
(2) a2 -12 a +35= a2 -12 a +36-1=( a -6)2 -1=( a 2.解 是整式的有 + 是分式的有 .
a a a : (2)(5)(6), :(1)(3)(4)
-6+1)(-6-1)=(-5)(-7);
(3)
M
=
a2
-3
a
+
9
-
5
=
a
-
3 2
-
5
,
当a 3.解 :(1) x ≠0;(2) x ≠-2;(3) x ≠ 3
2
;(4) x ≠±1 .
4 4 2 4
4. 5. 6. 7. 8. 9.1
3 即a 3时 M取最小值 最小值为 5 (1)2 (2)-1 B C -1 5
- =0, = , , - , 6
2 2 4 b
故答案为 5 10. a 10 b 11. am
:- ; -
4 12.解 x
(4)∵
a2
+2
b2
+
c2
-2
ab
+4
b
-6
c
+13=0,
:(1)≠1;
∴(
a2
-2
ab
+
b2)+( b2
+4
b
+4)+(
c2
-6
c
+9)=0, (2)
x
≠-
1
;
即 ( a - b )2 +( b +2)2 +( c -3)2 =0, x 3 x为任意实数.
∵( a - b )2 ≥0,( b +2)2 ≥0,( c -3)2 ≥0, 13. (3) 14 ≠ . 0;(4 1 ) 5. x y且x
a b b c D B (1)-2 (2)= ≠1
∴
解得
-
: a
=
= b
0,
=
+
-
2
2
=
, c
0
=
,
3
-
,
3=0,
16. x2 y 2 2 ( 答案不唯一 ) 17. x 2
xy
y
第3 则 故 4 a 课 答 + 时 案 b 为 + c 因 :- = 式 1 - . 分 2 解 -2 复 + 习 3=-1 . 18.解 则 : 当 + 由 m 题 = + 意 2 1 得 时 , , m 此 2 - 分 4 式 = 的 0 值 , m 为 2 - 零 m . - + 6≠0, 解得m =2,
1.
C
19.解 :∵x 1 +y 1 =5,
2. (1) a ( a -5) (2)(3- p )(3+ p ) (3)( x -3)2 x
+
y
(4) a ( b +1)( b -1) (5)3( x -1)2 ∴xy =5,
19
3A"#
x y xy 把x y xy代入2 x -3 xy +2 y得 11. D
∴ + =5 , + =5 x +2 xy + y : 12.解 原式 y6 x3 x4y2 y6 x3 x2
原 式 2( x + y )-3 xy 2·5 xy -3 xy 即 :(1) =x2· - y3÷ x2 =x2· - y3·x4y2
= ( x + y )+2 xy = 5 xy +2 xy =1, y
x xy y =-x;
2 -3 +2 .
第36 x 课 +2 时 xy + 认 y 识 = 分 1 式(2) (2) 原式 =y ( x x + y y )2 · y y ( x x - y y ) ·x y y=x x + y y .
(- ) (+ ) - -
1. A 2. (1)3 x2 (2) x2 + xy (3) a2 + ab 13.解 : 由已知 , 得 3 a - b +1=0,2 a - b =0, 解得a =-1, b
3.解 :(1) 2 5 0 a a b 2b= 4 1 a; =-2 . a b + 2 b÷ a b - b·a a + b b =a b + 2 b· ( a - b ab )( 2 a + b )
(2)x2 x - 2 6 - x 9 +9 = ( x + ( x 3 - )( 3 x ) - 2 3) = x x + - 3 3 ; = a a - b , 将a =-1, b =-2 代入 , 所求值为 -1 .
(3)
原式
=-a2
a
-
2
2
-
a
a
+1 =-
a
( a
( a
-
-
1
1
)2
)
=-a
a
-1
. 第38课时 分式的加减法(1)
a b
4. B 5 .B 6. A 7. x 3 x 8. 0 1. (1) 1 6 (2)a 3 (3)a 4 b (4)1 (5)a + - b (6)1
-4
9.解 :(1) 10 a a 2 3 b bc 3c2=-b 2 a 2c; 2. (1) a + b ;(2)a 1 -1 3. (1)1 (2)a 1 -3 4. A
-5 5
aa b a .1
-2(+ ) 2 b m
(2)ba b =- b; 6. 2 2 2 x y
3(+ ) 3 (1)m (2)a (3)a (4)1 (5)-
( a - x )2 ( x - a )2 1 m
(3) ( x - a )3= ( x - a )3=x - a; 7. (1)x 2 y;(2)x 2 y;(3)2;(4)n m .
(4)x2
x
-
2
10
-
x
25
+25 =
( x +
( x
5
-
)(
5
x
)
-
2
5)
=
x
x
+
-
5
5
.
8. A
3
9. B 10.
-
(1)
a2
a + b
b2
;(2) x
-
- y.
10. 11.
A 4
1
12.解
:(1)
分式
x
1是真分式.故答案为
:
真
; 11.
(1)
f
(
x
)+
f
x
1
=1
证明
:∵
f
x
1
=
x
原式 5 x +10-13 5( x +2)-13 13 x 1 +1
(2) = x = x =5-x ;
+2 +2 +2
(3) 原式 = 4 x x2 -2 = 4 x2 - x 4+4-2 = 4( x x 2 -1)+2 = =x 1 +1 ,
-1 -1 -1 x
4( x + x 1)( x -1) +x 2 =4( x +1)+x 2 ∴ f ( x )+ f x 1 =x +1 +x 1 +1 =1 .
-1 -1 -1 故答案为
分式4
x2
-2的值为整数 即x
:1;
∵ x , -1=-2,-1,1,2, f 1 f 1 f 1 f
-1 (2) + +…+ + (1)+
解得x 2023 2022 2
: =-1,0,2,3, f f f f
整数x的值为 . (2)+… + (2022)+ (2023)= (2023)+
∴ -1,0,2,3
第37课时 分式的乘除法 f 1 f f 1 f
+ (2022)+ +…+ (2)+
1.解 原式 x2 原式 4 x y 2 . 2023 2022
:(1) =-y;(2) = 3 y· 2 x3= 3 x2 f 1 + f (1)=2022+ 1 =2022 1.
2.解 原式 ( x + y )( x - y ) xy x - y 第39 课 2 时 分式的加减法(2 2 ) 2
:(1) = x2y ·x y= x ;
+
m mm 1. 2 7 .
原式 -1 ( +1) . (1)x;(2)ab
(2) = m · m m =1 3 10
3.解
:
原式
=
( x -
x
3)2 (
×
+
x
1 x ) ( ( x + -
x
3 1 ) )
=
x
-3
. 2.解 : 原式 =
(
2
2
p p -
+
3
3
q q
)
+
(
2
2
p p +
-
3
3
q q
)
=
4
p2 4
-
p
9
q2 .
4.解 : 原式 =
(
x x
-
+
3
2 )2·( ( 3- + x 3 ) ) · ( x x - -
+
3 3
2
) =-1 . 3.解
yx
: 原
y2
式
xy
= ( x y + y ( x
y
) -
2
( x y - ) y ) - ( x + y x ) y ( x - y ) =
5.
A
6.
B
7.
3
ab2 8.
m
2
(
x
+
- y
)(
x -
-
y
)
=-x2
-
y2 .
9. (1) 6 x y;(2)6 x ;(3)-y 1 ;(4) ( a + a 1) + ( a 2 -2) . 4.解 : 原式 =a a - 2 1 - ( a + a 1) - ( a 1 -1) =a 1 -1 .
10.解 原式 x2 +1 ( x +6)( x -6) x +6
5.
A
6.
D
:(1)
原 式
= -( x
( x
-
+
6
2
)
y
·
)( x
x
-
(
2
x
y
2
)
+1)
2 x
=
( x
-
+ y
x
)
; 7.
(1)
2
2
x
x
-
2y
3
2
y
;(2) 4 p
4
2
p
-9 ;(3)a
1
-1 ;(4) 2( x
-
+
1
2) ;
(2) = ( x + y )2 · x +2 y = a2 y2 .
2 x ( x -2 y ). (5)a -2 ;(6)x + y
x y 8. 9. 10.
+ C C 14
20
A"# 3
11. m2 2 x -1 ( x +1)2 x +1.
(1)-1;(2)
(
m
+
n
)(
m
-
n
)
x
(
x
+1)
·x
(2
x
-1)
= x2
12.解 ( A : + x B A ) + x 3 +(3 + B - x 2 B - A 2 )由 = 题 A 意 ( x 可 ( x - 知 - 2 2 ) ) A + ( x B + + ( B x 3 = + ) 8 3 , ) = 解 ∵ ∴ x x 2 2 - = 2 2 x x - + 2 2 = = 0 2( , x +1), 则原式 = 2 x ( x + + 1 1) = 1 2 .
( x -2)( x +3) , 3 B -2 A =9, 第41课时 分式方程(1)
得A B .
第40课 = 时 3, 分 = 式 5 的混合运算 1. B 2 .C 3 .A 4 .C 5 .C 6. A 7.x = 3
2
1.解 原 式
m2
-4 5
m
-3 8.250 300 9.200 200 1 10. 11.
: = m -m ÷ m = x=x x-x = B C
-2 -2 2( -2) +5 +15 2
m m m
( +3)( -3) 2( -2) m m . 12.300 200
m · m =2( +3)=2 +6 x=x ×(1-10%)
-2 -3 -20
a a a a a
2.解 : 原式 = 2 ( a ( + - 1 1 ) ) ( a + - + 1) 2 · a +1 = 2- a 2 - + 1 +2 ·a 1 13.4 8 5 x 0 = 4 7 5 x 0 - 1 4
=a 3 -
a
1 ·a 1 =a 3 -1 , 当a =3+1 时 , 原式 = 3+ 3 1-1
14.解
独 : 完 (1 成 )
由
这
题
项
意
工
可
程
得
需 , 要
把
x
工
天
作
,
总
则
量
乙
看
队
作
单
单
独
位
完 1 成 , 这
设
项
甲
工
队单
程
= 3 =3 . 需要 ( x +6) 天 , 则甲的工作效率为 x 1 , 乙队的工作效
3
3.解 原式 ( x -1)2 ( x -2)( x +2) 1 率为 1 故答案为 x 1 x 1
: = xx + xx ÷ x = x , 1,,x;1,+6,x ;
x -1 x -2
(
x
-1
x
)
x
(+2
x
)
由于x (2) 根
+
据
6
题意及表中所得到的信息
+
列
6
出方程是
x + x · = -1+ -2=2 -3, ≠0
1 1 x 1 故答案为
且x 且x 所以x 所以原式 x+x ×3+( -3)×x =1,
≠1 ≠-2, =-1, =-2-3= +6 +6
.
-5 1 1 x 1 .
4. D 5 .C x xx 第4 2 x 课 + 时 x + 分 6 式 × 方 3 程 + (2 ( ) -3)×x +6 =1
6.解 : 原式 =
(
x 3 +3)2÷
(
x
+
(
3)
-
(
x 3
-
)
3)
-x 2
+3
1.x
=2
. 2 .
(1)
无解
(2)
无解
x x x 3.解 去分母得 x x 即 x x 合并
3 (+3)(-3) 2 : :3 -(+2)=0, 3 - -2=0,
= ( x +3)2· x ( x -3) -x +3 同类项得 :2 x -2=0, 解得 : x =1, 检验 : 当x =1 时 ,
=x 3 -x 2 x ( x -1)=0, 故分式方程无解.
+3 +3 4. 5.m 且m
C ≤6 ≠3
1
=x , 6. x x x x 1.
+3 (1)=-4;(2)=0;(3)=-5;(4)=
3
7. 当 解 x 原 = 式 2 时 ( , x 原 - 式 1 = )2 2 1 + x 3 2 = -1 1 5 . x -1 x 7.解 经 : 检 (1 验 ) 去 , x 分 =1 母 5 得 是 : x 分 + 式 5 方 = 程 2 x 的 - 解 10 ; , 移项合并得 : x =15,
: =xx ÷ x = x ·x x = 去分母得 x x 解得x 经检验
(-1) (+1)(-1) (2) :3 +3-2 +2=6, :=1, ,
x 是增根 分式方程无解.
1 .当x 时 原式 1 2. =1 ,
x =2-1 , = = 8.
+1 2 2 C
8.解 原式 3
a2
-1 (
a
+2)(
a
-2) 4-
a2 9.
(1)
x
=1;(2)
无解.
: = a +1 -a +1 ÷ ( a +1)2 =a +1 ÷ 10.解 : 方程两边都乘 ( x -3), 得k +2( x -3)=- x +4 .
( a + ( a 2 + )( 1 a ) - 2 2) = (2+ a a ) + (2 1 - a ) · ( a + ( a 2 + )( 1 a ) - 2 2) =- a ∵ 原 最 方 简 程 公 有 分 增 母 根 x , 解得x .
∴ (-3)=0, =3
-1, 当x 时k .
原式有意义 =3 ,=1
∵ ,
a 11.解 由原方程可得x 3 .
∴ ≠±2,-1, : =a
当a 时 原式 . +2
∴ =2 , =-2-1=-3 当a 时 原方程无解
9.解 原式 8
x2
-(
x
+2)(
x
-2) 8
①
当a
=-2
时
,
由xx
;
: =
(
x -2)2÷ x
-2
=
(
x -2)2· ② ≠-2 , (-1)=0,
x 即 3 3 可得a .故当a 或a
x2 x - 2 2 =x 8 · 1 =x 2 . a +2 a +2 -1 =0, =1 =-2
∵| - x |= + 2 4 , x -2 - ≠ 2 0, 解 4 得x = -2 -2, 第4 = 3 1 课 时 时 , 原 分 方 式 程 方 无 程 解 ( . 3)
原式 2 1.
∴ = =-
-2-2 2 1.60 60
10.解 : 原式 = x x ( x 2 - + 1 1) -x x ( 2 x - + 2 1 x ) ÷ x ( x (2 x + - 1) 1 2 ) = 2.解 x : - 设 x 甲 + 平 3 = 均 1 每 分钟打x个字 , 则乙平均每分钟打 ( x +
21
3A"#
个字 根据题意得 135 180 解得x .经检 根据题意得 m 1 m
20) , :x=x , :=60 :≥ (300- ),
+20 3
验x 是原分式方程的解 且符合题意. 解得 m .
,=60 , :≥75
答 甲平均每分钟打 个字. 设该企业购买甲 乙两种头盔共花费w元 则w m
: 60 、 , =40
3.解 : 设小明的速度为 3 x m/min, 则小刚的速度为 +30(300- m ),
即w m
x 根据题意得 2000 1200 解得 x =10 +9000,
4 m/min, : x - x =4, : =
4 3 ∵10>0,
.经检验x 是分式方程的根 且符合题意 w随m的增大而增大
25 ,=25 , , ∴ ,
x x . 当m 时 w取得最小值 最小值为
∴3 =75,4 =100 ∴ =75 , , 10×75+
答 小明的速度是 小刚的速度是 . 元 此时 m 个 .
: 75m/min, 100m/min 9000=9750( ), 300- =300-75=225( )
4.
D
答
:
当购买
75
个甲种型号的头盔
,225
个乙种型号的头
5.解
:(1)
设试销时该品种苹果的进价是每千克x元
,
则 盔时
,
总费用最少
,
最少费用是
9750
元.
第二次购进该品种苹果的进价是每千克 x . 元 第44课时 分式与分式方程复习
(+05) ,
1.
根据题意得5000 11000 解得x 经检验x (1)≠-3 (2)2
x ×2=x +0 . 5 , =5, , 2.解 原式 2 m +1- m m m +1
=5
是原方程的根
,
且符合题意.则两次共购进苹果 :
m
= m · ( m +1)( m -1) = m ·
1 .当m 时 原式
5000 . m m =m = 3+1 , =
×3=3000(kg) ( +1)( -1) -1
5
答 试销时该品种苹果的进价是每千克 元 两次共购
: 5 , 1 = 1 = 3.
进苹果 . 3+1-1 3 3
3000kg 3.解 去分母得 x x解得x . 经检验x
. : :3= -3+3 , =15, =
(2)10×(3000-500)+10×06×500-5000-11000 .是分式方程的解.
元 . 15
=12000( ) 4.解 设甲每小时做x个零件 则乙每小时做x 个零
答 超市在这两次苹果销售中共盈利 元. : , (-4)
: 12000
6.解 设 种客房的单价是x元 则 种客房的单价 件 根据题意得 120 100 解得x .经检验x
:(1) A , B , :x=x , :=24 ,=
-4
是 ( x -80) 元 , 由题意得6 x 000 =x 4400 , 解得x =300, 24 是分式方程的解 , 且符合题意 ,
-80 x .
经检验x 是原方程的解 且符合题意 ∴ -4=20
,=300 , , 答 甲每小时做 个零件 乙每小时做 个零件.
x . : 24 , 20
∴ -80=300-80=220 5. x
答 种客房的单价是 元 种客房的单价是 (1)≠2 (2)-2
220 :A 元 ; 300 ,B 6.解 : 原 式 = x x -1 - - 1 1 · ( x + ( x 2 - )( 1 x ) - 2 2) = x x - - 2 1 ·
(2) 设租住 A 种客房m间 , 则租住 B 种客房 (30- m ) ( x -1)2 x -1 当x 时 原式 -1-1
x x =x , =-1 , = =
m 1 m (+2)(-2) +2 -1+2
间 由题意得 ≥ (30- ), 解得 .
, : 2 10≤ -2
m m 7.解 去分母得 x x 解得x 检验 把x
300 +220(30- )≤7600, : 1- -2=2 -4, =1, :
m . 代入得x
≤125, =1 -2=1-2=-1≠0,
m是整数 分式方程的解为x .
∵ , ∴ =1
m 8.解 设原计划平均每小时行驶x 则实际平均每小
∴ =10,11,12, : km,
有 种租住方案
∴ 租 3 住 种客房 : 间 租住 种客房 间 时行驶 1 . 5 x km, 根据题意得 : 1 x 80 - 1 . 80 x= 40 , 解得 :
① ② 租 租 住 住 A A 种 种 客 客 房 房 1 1 0 1 间 间 , , 租 租 住 住 B B 种 种 客 客 房 房 2 1 0 9 间 间 ; ; . x 题 = 意 90 . .经检验 , x =90 是原分式方 1 程 5 的根 60 , 且符合
7. ③ 解 :(1) 设 A 乙种型号 12 头盔 , 的单价 B 是x元 1 , 8 则甲种 型号头 答 : 原计划平均每
b
小时行驶 90km .
盔的单价是x 元 9. 10 11.
(+10) , D .A
2
根据题意得 :x 120 = 9 x 0 , 12.解 原式 ( a +1)2 a +2 a +1.
+10 : = a ·a2 =a
解得x +2 -1 -1
:=30, a
经检验x 是所列方程的解 且符合题意 ∵ ≠-2,-1,-1,
,=30 , , a .
x 元 . ∴ =2
∴ 答 : 甲 +1 种 0= 型 3 号 0+ 头 1 盔 0= 的 4 单 0( 价是 ) 40 元 , 乙种型号头盔的单 当a =2 时 , 原式 = 2 2 + - 1 1 =3 .
价是 30 元 ; 13.解 :(1) 去分母得 :( x +1)2 -4= x2 -1, 整理得 : x2 +
(2)
设购买m个甲种型号的头盔
,
则购买
(300-
m
)
个
2
x
+1-4=
x2
-1,
解得
:
x
=1,
经检验
,
x
=1
是增根
,
乙种型号的头盔 分式方程无解
, ;
22
A"# 3
(2) 去分母得 :( x -2)2 =( x +2)2 +16, 整理得 : x2 - 5. A 6. D 7. D 8. 10
4
x
+4=
x2
+4
x
+4+16,
解得
:
x
=-2,
经检验
,
x
=
9.证明
:∵
四边形ABCD是平行四边形
,
是增根 分式方程无解. AD BCAB CDAD BC
-2 , ∴ = , = , ∥ ,
14. AEB CBE ADF CFD
B ∴∠ =∠ ,∠ =∠ ,
m BEDF分别是 ABC ADC的平分线
15. 解 解分式方程2 方程两边乘xx ∵ , ∠ ,∠ ,
D 得 即 2 m ( x = : - 2 2) 时 = , m 此 x , 方 整 x 程 理 = 无 , 得 x 解 ( - 2 ; 2 - 当 , m 2 ) x - = m 4, ≠ 当 0 2- 时 ( m , - 得 = 2 0 ) x , , ∴ ∴ ∴ A ∠ ∠ B A A = B B E E AE = = , C ∠ ∠ D C A B E = E B CF , , ∠ ∠ , A CF D D F = = ∠ ∠ C C D D F F , ,
AE CF
= 4 m, ∴ = ,
2- AD AE BC CF
∴ - = - ,
当 4 时此方程无解 解得m DE BF.
∴ m=2 , =0, ∴ =
2- 10.
m 或m 时此方程无解 B
∴ =2 =0 , 11.解 AB BC
故选 . :(1)∵ =3, =6,
:D
AC
16.解 设乙品牌笔袋每个的进价是x元 则甲品牌笔 ∴3< <9,
:(1) , 又 ABC是非凡三角形
袋每个的进价是x 元 ∵△ ,
由题意得 :x 30 + 0 4 = ( 2 x 4 + 0 4 , ) , B ∴ C A 2 B = 2 3 + A B B C 2 2 ( 不 =3 存 AC 在 2 舍 , 或 去 A ) B2 + AC2 =3 BC2, 或AC2 +
解得 : x =16, AC 3 2 +6 2 或AC
经检验x 是原方程的解 且符合题意 ∴ = = 15 = 108-9=3 11
,=16 , , 3
∴ x +4=20 . ( 不符合题意舍去 ),
答 甲品牌笔袋每个的进价是 元 乙品牌笔袋每个 故答案为
: 20 , :15;
的进价是
16
元
; (2)∵
四边形ABCD是平行四边形
,
设购进甲品牌笔袋m个 则购进乙品牌笔袋
(2) , (200 BO DO 1BD
m 个 ∴ = = ,
- ) , 2
m m 又 AC BD
由题意得 20 +16(200- )≤3620, ∵ ⊥ ,
:m AC垂直平分BD
≥100, ∴ ,
解得 m AD AB
:100≤ ≤105, ∴ = =6,
设该文具店获取的利润为W元 ABD是非凡三角形
, ∵△ ,
由题意得
:
W
=(26-20)
m
+(20-16)×(200-
m
)= ∴①
当AB2
+
AD2
=3
BD2时
,
m
2 +800, BD2
=
1
(
AB2
+
AD2)=24,
∵2>0, 3
W随m的增大而增大 BD
∴ , ∴ =26,
又 m
∵100≤ ≤105, BO 1BD
当m 时 W有最大值 ∴ = =6,
∴ =105 , =2×105+800=210+ 2
800=1010,
在
Rt△
AOB中
,
AO
=
AB2
-
BO2
= 30,
此时 .
答 安 ,2 排 00 购 - 进 10 甲 5= 品 9 牌 5 笔袋 个 乙品牌笔袋 个 ∴ AC =2 AO =2 30;
该 : 文具店获取的利润最大 10 最 5 大利 , 润为 元 95 . , ② 当AB2 + BD2 =3 AD2时 ,
第六章 平行四边形 , 1010 BD2 =3 AD2 - AB2 =2 AD2 =72,
BD
第45课时 平行四边形的性质(1) ∴ =62,
1. 100° 80° 3cm 6cm 18cm 2. B 3. D ∴ BO = 1BD =32,
4.证明 四边形ABCD是平行四边形 2
AD
:∵
BC A CAD BC
, 在
Rt△
AOB中
,
AO
=
AB2
-
BO2
=32,
∴ = ,∠ =∠ , ∥ , AC AO
E F. ∴ =2 =62;
∴
∵ B
∠
E =
=
D
∠
F , ③
当AD2
+
BD2
=3
AB2时
,
与
②
情况相同.
AF EC. AC的值为 或 .
∴ = ∴ 2 30 62
A C 第46课时 平行四边形的性质(2)
∠ =∠ ,
在 AGF和 CHE中 AF EC 1. 2. AB
△ △ , = , D 1< <7
F E 3.证明 ABCD的对角线ACBD交于点O
∠ =∠ , :∵▱ , ,
AGF CHE AO COAD BC
∴△ ≌△ (ASA), ∴ = , ∥ ,
AG CH. EAC FCO.
∴ = ∴∠ =∠
23
3A"#
EAO FCO AD DF
∠ =∠ , ∵ = ,
在 AOE和 COF中 AO CO DE AF
△ △ , = , ∴ ⊥ ;
AOE COF 解 如图 过点E作EM
∠ =∠ , (3) : ,
AOE COF AD于M 设AM x 则
∴△ ≌△ (ASA), ⊥ , = ,
AE CF. DM x.
∴ = =14-
4. 5. 6. 7.. 8. 根据勾股定理得 2 x2
A B C 55 6 13- =
9.证明 :∵ 四边形ABCD是平行四边形 , 15 2 -(14- x )2,
OB OD. 解得x
∴ = =5,
又 ∵ BE ⊥ AC , DF ⊥ AC , ∴ EM = AE2 - AM2 =12,
∴∠ OFD =∠ OEB.又 ∠ DOF =∠ BOE , ∴ S ▱ABCD= EM · AD =168 .
∴△
BOE
≌△
DOF
,
第47课时 平行四边形的判定(1)
OE OF. 1.证明 B ACB D
∴ = :∵∠1+∠ +∠ =180°,∠2+∠ +
10. CAD B D
C ∠ =180°,∠ =∠ ,∠1=∠2,
11. D 【解析】 ∵ 四边形ABCD为平行四边形 ,∠ BCD = ∴∠ DAC =∠ ACB ,
60°,
∴
AD
∥
BC.
ADC
∴∠ =120°, ∵∠1=∠2,
∵ DE平分 ∠ ADC , ∴ AB ∥ CD ,
∴∠
ADE
=∠
CDE
=60°=∠
BCD
, ∴
四边形ABCD是平行四边形.
∴△
CDE是等边三角形
,
2.证明
:∵
四边形ABCD为平行四边形
,
∴ CD = CE = DE , ∴ AB = CD , AD = BC ,∠ A =∠ C ,∠ B =∠ D.
∵ AD =2 AB , BC = AD , CD = AB , ∵ AM = BN = CP = DQ ,
∴ BC =2 CD =2 CE =2 DE , ∴ BM = DP , AQ = CN.
∴ DE = CE = BE , 在 △ AMQ和 △ CPN 中 , AM = CP ,∠ A =∠ C , AQ
CN
∴∠ BDE =∠ DBE = 1 ∠ CED =30°, = ,
∴∠ C A D B B D =90°, 即AB 2 BD ∴ ∴ M △ Q AM = P Q N ≌ . △ 同 C 理 PN 可 ( 证 SA : S △ ) B , MN ≌△ DPQ ,
∴ ∴ S ∠ ▱ABCD= = A 9 B 0° · , BD , ⊥ , ∴ 故 M 四 N 边 = 形 P M Q N , PQ是平行四边形.
故 ①
A
正
D
确
B
; 由 ① 知 ,∠
B
A
D
D
E
E =60°,∠ BDE =30°, 3.证明 :(1)∵ 点C是AB的中点 ,
∴∠ =30°=∠ , AC BC.
DB平分 ADE ∴ =
∴ 故 A ② B 正确 DE ;∵ ∠ AB = C , D , CD = DE , 在 △ ACD与 △ CBE中 , C A D D = = B C E E , ,
∴ 故 正 = 确 , BE EC AC = BC ,
③ ;∵ = , ∴△ ACD ≌△ CBE (SSS) .
∴ S △CDE= 1S △CDB,∵ BO = OD , (2)∵△ ACD ≌△ CBE ,
2 ACD CBE
∴∠ =∠ ,
∴ S △BOC= 1S △CDB, ∴ CD ∥ BE.
2 又 CD BE
12. ( ∴ 故 1 S ) ④ 证 △C 正 D 明 E 确 = :∵ . S 故 △ 四 B 选 O 边 C : , D 形 . A BCD是平行四边形 , 4 5 . . C ∴ 证 ∵ 四 明 边形 = 四 C 边 BE 形 , D AB 是 C 平 D 行 为 四 平 边 行 形 四 . 边形
∴
AB
∥
DF
,
:∵ ,
AB CDAB CD
∴∠ BAE =∠ AFD , ∴ 点M = N分 , 别 ∥ 是平行 , 四边形ABCD的边ABDC的
∵ AD = DF , ∵ 中点 , ,
DAE AFD ,
∴∠ =∠ ,
∴∠ BAE =∠ DAE , ∴ AM = 1AB , CN = 1CD , AM ∥ CN ,
AE平分 BAD 2 2
∴ ∠ ; AM CN
证明 点E为BC中点 ∴ = ,
(2) :∵ , 四边形AMCN为平行四边形.
BE EC ∴
∴ = , 6. 证明 AE BDCF BD
BAE AFD AEB FEC (1) :∵ ⊥ , ⊥ ,
∵∠ =∠ ,∠ =∠ , AE CF
ABE FCE ∴ ∥ ,
∴△ ≌△ (AAS), 四边形ABCD是平行四边形
AE EF ∵ ,
∴ = , AB CD
∴ ∥ ,
24
A"# 3
四边形AHCG是平行四边形 四边形EGFH是平行四边形.
∴ ; ∴
解 四边形ABCD是平行四边形 4. 5.
(2) :∵ , D A
AB CD 6.证明 EOB与 FOD是对顶角
∴ = , :(1)∵∠ ∠ ,
由 可知 四边形AHCG是平行四边形 EOB FOD.
(1) , , ∴∠ =∠
CG AH
∴ = =2, ∠1=∠2,
AB AH CD CG 在 BEO和 DFO中 OB OD
∴ - = - , △ △ , = ,
即BH DG EOB FOD
= =3, ∠ =∠ ,
∴ AB = AH + BH =2+3=5 . ∴△ BEO ≌△ DFO (ASA) .
7. (1) 证明 :∵ 四边形ABCD是平行四边形 , (2) 由 (1) 可知 △ BEO ≌△ DFO ,
ADC ABC. OE OF.
∴∠ =∠ ∴ =
又 ∵ DE , BF分别是 ∠ ADC ,∠ ABC的平分线 , ∵ AE = CF ,
ABF CDE. OA OC.
∴∠ =∠ ∴ =
又 ∴ ∵ ∠ A ∠ B C F D = E = ∠ A ∠ E A D E , D , 又 ∴ ∵ 四 O 边 B 形 = A O B D C , D为平行四边形.
( ∴ ∵ ∴ 2 D D ) 四 解 E E 边 ∥ ∥ : 过 形 B B F F 点 DE , , D D B F F 作 ∥ D 是 B G E 平 ⊥ , 行 A 四 B , 边 垂 形 足 ; 为点G , 7 8 . . D ( 角 ② 4 A A , 线 0 C B ) 时 或 为 为 , ( 点 对 对 - D 角 角 2, 线 线 0 的 ) 时 时 坐 或 , 标 ( 点 点 2 为 , D D 2 ( ) 4 的 的 ,0 坐 坐 解 ); 标 标 : 分 为 为 三 (- 种 2 情 ,0 . 况 ); :① BC为对
∵ ∴ ∠ △ A AD = E 60° 是 , A 等 E 边 = 三 A 角 D , 形 , ③ 综 故 上 答 所 案 述 为 , 点D的 或 , 坐标是 (- 或 2,0) 或 (2 . ( , 4 2 , ) 0) 或 (2,2) .
∵
AD
=4, 9. 证明
:(4,0
AC
)
B
(-2,0) (2,2)
∴ DE = AE =4, (1 A ) C B : C ∵∠ =90°,
∵ AE =2 EB , ∴ DE ⊥ BC ,
BE GE ∵ ⊥ ,
∴ = =2, AC DF
BG ∴ ∥ ,
∴ =4, A BDF
在 ADG中AD A ∴∠ =∠ ,
Rt△ , =4,∠ =60°, A F
∵∠ =∠ ,
∴ AG = 1 2 AD =2, ∴∠ BDF =∠ F ,
CF AB
∴ DG = AD2 - AG2 = 4 2 -2 2 =23, ∴ 又 A ∥ C D , F
∴ 平行四边形ABCD的面积 = AB · DG =6×23= ∴ ∵ 四边形 ∥ ADF , C是平行四边形 ;
. 解 DC平分 ADE
123 (2) :∵ ∠ ,
8.解 :(1)(15- t );7;5; ∴∠ ADC =∠ FDC ,
P在AD上运动 在 ADC和 FDC中
(2)∵ , △ △ ,
t 即 t A F
∴ ≤15÷1=15, 0< ≤15, ∠ =∠ ,
以点PDQB为顶点的平行四边形 已有PD ADC FDC
∵ 、 、 、 , ∥ ∠ =∠ ,
BQ 还需满足DP BQ CD CD
, = , = ,
当点Q的运动路线是C B时BQ t由题意 ADC FDC
① → , =15-4, ∴△ ≌△ (AAS),
得 t tt 不合题意 AD DF
15- =15-4,=0 , ∴ = ,
当点Q的运动路线是C B C时 BQ t 由 由 得 四边形ADFC是平行四边形
② → → , =4-15, (1) : ,
题意得 15- t =4 t -15, 解得t =6; ∴ S四边形ADFC=2 S △CDF, AD = CF = DF =10,
当点Q的运动路线是C B C B时 BQ 设EF x则DE x
③ → → → , =45- = , =10- ,
4
t
,
由题意得
15-
t
=45-4
t
,
解得t
=10;
在
Rt△
CED中
,
由勾股定理得
:
CE2
=
CD2
-
DE2,
④ 当点Q的运动路线是C → B → C → B → C时 , BQ =4 t 在 Rt△ CEF中 , 由勾股定理得 : CE2 = CF2 - EF2,
-45, 由题意得 15- t =4 t -45, 解得t =12 . ∴12 2 -(10- x )2 =10 2 - x2,
第 综 48 上 课 所 时 述 , t 平 的 行 值 四 为 边 6 形 或 的 1 判 0 定 或 ( 1 2 2 ) . 解得 : x = 1 5 4 ,
1. D 2. B ∴ CE = CF2 - EF2 = 10 2 - 14 2 = 48 ,
3.证明 平行四边形ABCD中OA OC 5 5
: , = ,
∵ AF = CE , ∴ S四边形ADFC=2 S △CDF=2× 1DF · CE =2× 1 ×10×
2 2
AF OA CE OC
∴ OF - OE. = 同理 - 得OG , OH 48 =96 .
∴ = : = , 5
25
3A"#
第49课时 平行四边形的判定(3) 设AB BG x则BE x
= = , = -2,
1. A 证 ∵ B S 明 △ 于 : AB 如 F C= 图 .则 S , △ 过 C A E B 点 D ∥ , C A D B F 作 是 , CE △ A ⊥ B A C B 和 于 △ E A , B 过 D 点 的 D 公 作 共 D 边 F , ⊥ 4 在 A 2 R B , t 由 △ 勾 A . B 股 E 定 中 理 , 得 A ( E 4 = 2)2 + AG ( x 2 - - 2 G ) E 2 2 = x = 2, 解 6 得 2 - x 2 = 2 9 = ,
CE DF ∴ =9
∴ = , 6.解 设H的坐标为xy
四边形CEFD是平行四边形 :(1) (,),
∴ , F O H为OF中点
AB CD. ∵ (4,3),(0,0), ,
∴ ∥
x 4+0 y 3+0 3.
∴ = =2,= =
2 2 2
点H的坐标为 3
∴ 2, ,
2
故答案为 3
:2, ;
2
设点D的坐标为 mn
第1题图 第2题图 (2) ( ,),
2.
(1)
证明
:
如图
,
连接BD交AC于O
,
当BC为对角线时 , BC的中点坐标为 2, 5
2
.
∵
四边形ABCD是平行四边形
, ∵
点A的坐标为
(-1,2),
∴ OA B = A O E C , OB D = CF OD , AB ∥ CD , AB = CD , m -1 =2,
∴∠ =∠ , 2
BE ACDF AC ∴n
∵ ∴∠ A ⊥ EB = , ∠ CF ⊥ D =9 , 0°, + 2 2 = 5 2 ,
BAE DCF
∠ =∠ , 在 ABE和 CDF中 AEB CFD
△ △ ,∠ =∠ ,
AB CD = ,
ABE CDF
∴△ ≌△ (AAS),
AE CF
∴ = ,
OE OF
∴ = ,
又 OB OD
∵ = , 四边形BEDF为平行四边形 ∴ ;
解 由 得OE OF 1EF
(2) : (1) : = = =1,
2
BE AC ∵ ⊥ ,
BEO
∴∠ =90°,
∴ OB = BE2 + OE2 = 4 2 +1 2 = 17,
BD OB . ∴ =2 =2 17 3. 4
C .C
5. 证明 BE ACDF AC (1) :∵ ⊥ , ⊥ ,
AEB CFD ∴∠ =∠ =90°,
AF CE ∵ = ,
AF EF CE EF即AE CF ∴ - = - , = ,
AB CD 在 ABE和 CDF中 = ,
Rt△ Rt△ ,AE CF = ,
ABE CDF
∴Rt△ ≌Rt△ (HL),
BAE DCF
∴∠ =∠ ,
AB CD
∴ ∥ ,
又 AB CD
∵ = ,
四边形ABCD是平行四边形
∴ ;
解 由 得四边形ABCD是平行四边形
(2) : (1) ,
AD BC ∴ ∥ ,
DG BC ∴ ∥ ,
GBC BCD ∵∠ =∠ , 四边形BCDG是等腰梯形 ∴ ,
BG CD AB ∴ = = ,
26
m
解得 =5,
n =3,
此时D点的坐标为
∴ (5,3), 当AC为对角线时
,
同理求得D点的坐标为
(-3,5),
当AB为对角线时
,
同理求得D点的坐标为
(1,-1),
点D的坐标为 或 或 . ∴ (5,3) (-3,5) (1,-1) 第50课时 三角形的中位线
1.
C
2.证明 点DE分别是BCAB的中点 :∵ , , ,
ED ACED 1AC ∴ ∥ , = ,
2 EDB C.
∴∠ =∠ 又 F是AC边的中点 ∵ ,
FC 1AC ∴ = , 2
DE FC.同理可得 B FDC. ∴ = ,∠ =∠
B FDC ∠ =∠ ,
在 EBD和 FDC中 EDB C △ △ ,∠ =∠ ,
ED FC = ,
BED DFC . ∴△ ≌△ (AAS)
3.证明 如图 连接DEFG
: , , ,
BDCE是 ABC的中线
∵ , △ ,
DE分别是ACAB的中点
∴ , , ,
DE BCDE 1BC.同理
∴ ∥ , = :
2
FG BCFG 1BC
∥ , = ,
2 DE FGDE FG
∴ ∥ , = , 四边形DEFG是平行四边形
∴ , EF DGEF DG. ∴ ∥ , = 4. 5.
A C
A"# 3
6.解 点DE分别是边BCAC的中点 5. 6.
:∵ , , , C D
DE AB 7. 解 B
∴ ∥ , (1) :∠2=25°,∠ =90°,
EDC B . BEC B
∴∠ =∠ =60° ∴∠ =180°-∠ -∠2=180°-90°-25°=65°,
EF DE
∵ ⊥ , ∵∠1=35°,
DEF CED CEB
∴∠ =90°, ∴∠ =180°-∠1-∠ =180°-35°-65°
F ° ° ° .
∴∠ =90-60=30. =80°
7.证明 DE分别是BCAB的中点 证明 B
:∵ , , , (2) :∵∠ =90°,
DE为 ABC的中位线 BEC
∴ △ , ∴∠2+∠ =90°,
DE ACAC DE.
∴ ∥ , =2 ∵∠1=∠2,
又 EF DE BEC
∵ =2 , ∴∠1+∠ =90°,
EF AC CED
∴ = , ∴∠ =180°-90°=90°,
四边形ACEF为平行四边形 CDE .
∴ , ∴∠3+∠4=180°-∠ =180°-90°=90°
AF CE. 8.解 由三角形外角的性质得 C E
∴ = :(1) ∠1=∠ +∠ ,∠2=
8. B D
38° ∠ +∠ ,
9.解 理 : 由 【三角 点 形 D 中 E 位 分 线 别 定 是 理 边 】D A E B ∥ A B C C , 的 DE 中 = 点 1 2 BC ; ( 故 2) 答 由 案 三 为 角 : 形 ∠ E 内 ; 角 ∠ D 和 ; 定理得 ∠ A +∠1+∠2=180°,
∴ DE
:∵
是 △ AB
,
C的中位线 ,
, ,
∴ 故 ∠ 答
A
案 + 为 ∠ :
B
∠ A + ; ∠ 18
C
0° + ; ∠
D
+∠
E
=180°,
DE BCDE 1BC 由三角形外角的性质得 AFG C E
∴ ∥ , = ; (3) ∠ =∠ +∠ ,
2 AGF B D
【应用】连接BD 如图 所示 ∠ =∠ +∠ ,
, 1 , 由三角形内角和定理得 A AFG AGF
EF分别是边AB AD 的 ∠ +∠ +∠ =180°,
∵ , , A B C D E .
中点 ∴∠ +∠ +∠ +∠ +∠ =180°
, 9.解 【感知】 四边形AEFC的内角和为
EF BDBD EF : ∵ :(4-2)×180°
∴ ∥ , =2 =4, A C
ADB AFE =360°,∠ +∠ =220°,
∴∠ =∠ =45°, CFE AEF
BC CD ∴∠ +∠ =360°-220°=140°,
∵ =5, =3, CFE DFE AEF BEF
∴
BD2
+
CD2
=25,
BC2
=25,
∵∠
BEF
+∠
DFE
=180°,∠ +∠ =1
.
80°,
∴
BD2
+
CD2
=
BC2, ∴
故
∠
答案为
+∠
.
=180°+180°-140°=220°
BDC :220°
∴∠ =90°, 【探究】 A C BEC DFC理由如下
H 【 ∴ 拓 , ∠ 连 展 A 接 】 DC 证 M = 明 H ∠ : 、 N 如 AD H 图 B . 2 + , 取 ∠ B D D C C 的 = 中 135 点 °; ∵ ∴ ∠ ∠ A A + + ∠ ∠ ∠ C A + E = C ∠ 36 + 0° = ∠ - C ∠ ( + ∠ ∠ AE A + C FC ∠ + = ∠ 3 A 60 F ° , C , ) . :
∵ ∴ M MH , H 是 分 △ 别 AD 是 C AD 的 , 中 DC 位 的 线 中 , 点 , ∵ ∴ ∠ ∠ B A A E E C C + + C ∠ ∠ B D E F B C C E = = C 1 3 8 6 0 0 ° ° , - D ∠ ( F A ∠ C F A . C E + C ∠ + D ∠ F A C F = C 1 ) 8 . 0°,
∴ MH ∥ AC且MH = 1 2 AC ( 三角 【 ∴ 应 ∠ 用】 + ∵ ∠ 四边 =∠ 形AEF + C ∠ 的内角和为 (4-2)×180°=
形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 A C
), 360°,∠ +∠ =200°,
同理可得NH BD且NH 1BD. ∴∠ CFE +∠ AEF =360°-200°=160°,
∥ = 2 ∵∠ CFE +∠ DFE =180°,∠ AEF +∠ BEF =180°,
EF EG
∵ = , BEF DFE .
EFG EGF ∴∠ +∠ =180°+180°-160°=200°
∴∠ =∠ ,
∵ MH ∥ AC , NH ∥ BD , ∴ 1 2 (∠ BEF +∠ DFE )= 20 2 0° =100° .
∴∠ EFG =∠ HMN ,∠ EGF =∠ HNM , ∵ FM , EM 分别是四边形AEFC 的外角 ∠ DFE ,
∴∠
HMN
=∠
HNM
, ∠
BEF的平分线
,
MH NH
∴ = , DFM MFE 1 DFE BEM MEF
AC BD. ∴∠ =∠ = ∠ ,∠ =∠ =
∴ = 2
第51课时 多边形的内角和与外角和(1)
1 BEF
1. 2. ∠ ,
C C 2
3.解 : 列方程 :2 x + x +90+150+120=540, 解得 : x = ∴∠ MFE +∠ MEF =100°,
. M .
60 ∴∠ =180°-100°=80°
4.解 设这个多边形的边数为n 则有 n 故答案为 .
: , (-2)·180°= :80°
解得n 第52课时 多边形的内角和与外角和(2)
900°, :=7,
这个多边形的边数为 . 1. 2.x 3.
∴ 7 720 360 120 60 =65 B
27
3A"#
四边形DEBF是平行四边形.
4.解 设这个多边形的边数为n依题意得 2 n ∴
1 答 80 : : ° 这 = 个 36 多 0° 边 , 解 形 得 的 n 边 = 数 9 . 为 9 . , : 7 (-2)· 5 8 . . 7 证 ∴ A 明 6 B . : 1 ∥ ∵ C 四 7 D . 边 , D A 形 B A = B C C D D , 是平行四边形 ,
5 9 10 . . 1 D 解 是 . 8 解 = 答 0 7 : 1 6 = 设 : : . 设 这 2 . 3 这 B 6 6 这 个 0 0 ° 个 × 个 多 7 , 多 解 . 2 多 边 ( 边 1 + 得 边 形 ) 1 1 形 : n 8 0 形 的 0 的 = 的 边 , 1 边 解 ( 1 2 边 数 . 得 数 )1 数 是 2 : 为 n 1 是 1 n = n ( . 3 , 7 , 根 ) . 则 8 则 据 ( n 这 8 题 - . 个 4 2 意 ∶ ) 多 , 3 · 得 边 ∶ 18 ( 2 形 n 0° ∶ - 的 - 1 2 3 边 ) 60 · 数 ° 9. B ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ B A A A 四 四 1 E E E F 0 边 边 = ∥ ∥ = . C 形 形 C C E D F F C F E A 1 , , , E M , B D 1 C F E E . F D N ∥ ∥ 、 D B 四 是 1 F F 2 边 平 . . , 9 形 行 2 B 四 E 边 DF 形. 是 平行四边形 ,
1 1 1 4 . . D 解 : 1 (1 2 ) . 1 ∵ 80 ∠ A 1 B 3 C . 3 = 6 8 0 0 ° ° , 13.证 ∴ 明 ∠ A : F ∵ E AF = ∥ ∠ B E C B , D.
∴ ∵ B ∠ F AB 平 E 分 = ∠ 18 A 0 B ° E -8 , 0°=100°, ∵ ∴ E AE 是 = A D D E. 的中点 ,
∴∠ ABF =∠ EBF =50°, ∠ AFE =∠ EBD ,
∵ BF ∥ CD , 在 △ AEF和 △ DEB中 ,∠ AEF =∠ BED ,
( ∴ 2) ∠ ∵ D C C F B 平 = 分 ∠ E ∠ B B F C = D 5 , B 0° F ; 平分 ∠ ABE , ∴△ AEF ≌△ DEB (AA S A ), E = ED ,
∴∠ BCF =∠ DCF = 1 ∠ BCD ,∠ EBF =∠ ABF , ∴ AF = BD.
2 AD是BC边的中线
A D ABC BCD A ∵ ,
∵∠ +∠ +∠ +∠ =360°,∠ =110°, BD CD
D ∴ = ,
∠ =120°, AF DC.
ABC BCD ∴ =
∴∠ +∠ =360°-110°-120°=130°, 又 AF BC
即 ABE BCF ∵ ∥ ,
180°-∠ +2∠ =130°, 四边形ADCF是平行四边形.
ABE EBF EBF F BCF ∴
∵∠ =2∠ ,∠ =∠ +∠ , 14. 证明 四边形ABCD是平行四边形
F BCF BCF (1) :∵ ,
∴180°-2(∠ +∠ )+2∠ =130°, AB CDAB CD
F ∴ ∥ , = ,
∴2∠ =50°, ABD CDB BAE CDF
F ∴∠ =∠ ,∠ =∠ ,
∴∠ =25°; BE平分 ABDDF平分 CDB
∵ ∠ , ∠ ,
F 1 A D 理由如下
(3)∠ = (∠ +∠ -180°), : ABE 1 ABD CDF 1 CDB
2 ∴∠ = ∠ ,∠ = ∠ ,
A D ABC BCD ABC 2 2
∵∠ +∠ +∠ +∠ =360°,∠ =180° ABE CDF
ABE ABE EBF BCD BCF ∴∠ =∠ ,
-∠ ,∠ =2∠ ,∠ =2∠ , ABE CDF
EBF F BCF ∴△ ≌△ (ASA);
∠ =∠ +∠ , 解 四边形ABCD是平行四边形
A D ABE BCF (2) :∵ ,
∴∠ +∠ +180°-∠ +2∠ =360°, OB ODAB CD
A D EBF BCF ∴ = , = ,
∴∠ +∠ -2∠ +2∠ =180°, BD OB
A D F BCF BCF ∴ =2 ,
∴∠ +∠ -2(∠ +∠ )+2∠ =180°, BD AB
即 F A D ∵ =2 ,
2∠ =∠ +∠ -180°, OB AB OD CD
∴ = = = ,
F 1 A D . BE平分 ABDDF平分 CDB
∴∠ = (∠ +∠ -180°) ∵ ∠ , ∠ ,
2 BE ACDF OCOE AECF OF
第53课时 平行四边形复习 ∴ ⊥ , ⊥ , = , = ,
BE DF
1. 2. 3. ∴ ∥ ,
2 13 B EG DF
4. 证明 四边形ABCD为平行四边形 ∴ ∥ ,
(1) :∵ , ABE CDF
A CAD BC. ∵△ ≌△ ,
∴∠ =∠ , = BE DF
ADE CBF ∴ = ,
∠ =∠ , BE EG
在 ADE与 CBF中 AD CB ∵ = ,
△ △ , = , EG DF
A C ∴ = ,
∠ =∠ , 四边形DGEF是平行四边形
ADE CBF . ∴ ,
∴△ ≌△ (ASA) EF DG
解 四边形DEBF是平行四边形.理由如下 ∴ = ,
(2) : : 四边形ABCD是平行四边形
四边形ABCD是平行四边形 DF EBAB CD ∵ ,
∵ , ∥ , = ,
∵△ ADE ≌△ CBF , ∴ OC = AO = 1 2 AC = 1 2 ×6=3,
AE CF
∴ AB = AE , CD CF即DF EB ∴ AE = OE = 1AO = 3 , OF = CF = 1OC = 3 ,
∴ - = - , = , 2 2 2 2
28
A"# 3
四边形ABPC的面积为
EF OE OF 3 3 ∵ 20,
∴ 四边 = 形D + GEF = 的 2 周 + 长为 2 =3 D , F EF ∴ S △ABP+ S △ACP=20,
∴ 2( + )=2×(3+4) 1AB PE 1AC PF 由 知PE PF
. ∴ · + · =20, (1) =
=14 2 2
期末复习冲刺 PD
= =4,
期末复习冲刺一(第一章 三角形的证明)
∴
1AB
·
PD
+
1AC
·
PD
=20,
1. 2 3 4 5. 6. 2 2
D .C .A .C D 10
7.等边三角形的三个角都相等 即1PD AB AC
·( + )=20,
8. 9. 10. 2
15 35 6 AB AC
11.证明 BD BE ∴2( + )=20,
:∵ = , AB AC .
BDE BED. ∴ + =10
∴∠ =∠ 15.解 设等边三角形的边长为a
又 BED CEF :(1)① ,
∵
B
∠
DE
=
C
∠
EF.
,
∵
a2
+
a2
=2
a2,
∴∠ =∠ 等边三角形一定是可爱三角形
DF AC ∴ ,
∵ ⊥ , 故答案为 是
A BDF C CEF : ;
∴∠ A +∠ C =90°,∠ +∠ =90°, ②∵4 2 +(26) 2 =40=2×(25) 2 ,
∴∠ =∠ , 该三角形是可爱三角形
AB BC等角对等边 ∴ ,
∴ = ( ), 故答案为 是
ABC是等腰三角形. : ;
∴△ ABC是直角三角形 C
12.解 AB的垂直平分线交ABBC于点DE (2)∵Rt△ ,∠ =90°,
B
:
E
(1)∵
AE ADE BDE
, ,,
∴
AC2
+
BC2
=
AB2, 即BC2
=
AB2
-
AC2.
∴ ∵ AB = = BC , ,∠ =∠ , ∵R 有 t 三 △ A 种 B 情 C 况 是可爱三角形 , AC =22,
∴ ∴ ∠ ∠ C B = =1 ∠ 8 B 0° A - C ∠ = C ∠ - 3 ∠ + B ∠ A 4 C = = 72 1 ° 80 , °-72°-72°=36°, ∴ ① AB2 + AC2 = : 2 BC2, 即AB2 + AC2 =2( AB2 - AC2) .
∴∠3=∠ B =36°, ∴ AB2 =3×8=24 .
AB 负值已舍去
∴∠1=90°-∠3=54°; ∴ =26( );
(2)∵
BD
=6, ②
AB2
+
BC2
=2
AC2, 即AB2
+
AB2
-
AC2
=2
AC2.
AB BD AB2 .
∴ =2 =2×6=12, ∴2 =3×8=24
∴ BC =12, ∴ AB =23( 负值已舍去 );
∵ AE = BE , ③ AC2 + BC2 = AB2 ≠2 AB2, 此种情况不成立.
∴ 的 A 周 E 长 + 为 CE + . AC = BC + AC =12+7=19, 即 △ AEC 期末 综 复 上 习 , A 冲 B 刺 的 二 长 (第 为 二 2 章 6 或 2 一 3 元 . 一次不等式和一元一次
19
13.解
:(1)
如图所示.
不等式组)
MN是AB的垂直平分线
(2)∵ , 1. 2 3 4 5 6. 7.x
A .A .B .A .A > ≤2
AM BM
∴ ∵△ M = BC的 , 周长是 14cm, 8.a > 1 3 0 9. 10 x -5(20- x )≥80 10. -2< m ≤-1
MB MC BC AM CM BC AC BC 11.解 去分母 得 x x 移项 得 x x
∴ + + = + + = + = : , 3 +1-6>4 -2, , 3 -4 >
合并同类项 得 x 系数化为 得x
14cm, -2+5, , - >3, 1, <
AC 不等式的解集在数轴上表示如下
∵ =8cm, -3, :
BC .
∴ =6cm
12.解 解不等式1x x得x 16 由不等式ax
: -2> ,<- ; -
8 7
x得 a x
3>2 ,(-2)>3,
两不等式的解集相同
∵ ,
a
∴ -2<0,
x 3
第13题图 第14题图 ∴ <a
-2
,
14. (1) 证明 :∵ P为 ∠ CBM ,∠ BCN的平分线的交点 , ∴a 3 -2 =- 1 7 6 , 解得a = 1 1 1 6 .
PD ⊥ BC , PE ⊥ AB , PF ⊥ AC , 13.解 : 解不等式 2 x +3≥0, 得 : x ≥-1 . 5, 解不等式 5-
PD PEPD PF
∴ = , = , 5x 得x 则不等式组的解集为 . x
PE PF >0, :<3, -15≤ <
∴ = ; 3
解 如图 连接AP 所以不等式组的整数解为 .
(2) : , , 3, -1,0,1,2
29
3A"#
14.解 设该印刷厂五月份生产甲种练习本x万本 生 AB .
:(1) , ∴ =5
产乙种练习本y万本 根据题意得 ABC绕点A逆时针旋转得到 AED
, ∵△ △ ,
x y DEA C AE AC DE BC
+ =40, ∴∠ =∠ =90°, = =4, = =3,
. .x . .y BE AB AE .
(16-12)+(06-04)=11, ∴ = - =5-4=1
x 连接BD 在 BDE中 由勾股定理可得BD
解得 =15, , Rt△ , =
答 该 y 印 = 刷 2 厂 5 . 五月份生产甲种练习本 万本 生产乙 DE2 + BE2 = 10, 即B , D 两点间的距离为
: 15 , .
种练习本 万本 10
25 ; 13.解 ABC为等边三角形
设该学校购买m本甲种练习本 则购买 :(1)∵△ ,
(2) , (10000- AB AC BAC
m本乙种练习本 根据题意得 . .m . ∴ = ,∠ =60°,
) , :16×09 +06(10000 PAC绕点A逆时针旋转后 得到 MAB
m 解得 m ∵△ , △ ,
- m ) 的 ≤7 最 6 大 80 值 , 为 :≤ . 2000, ∴ AM = AP ,∠ MAP =∠ BAC =60°, BM = CP =10,
15. ∴ 答 解 : :( 最 1) 多 根 能 据 购 题 买 意 甲 2 得 种 0 : 0 ( 练 7 0 0 习 0- 本 1 2 5 0 × 0 8 0 ) 本 ÷2 . 0 ∴ ∴ 故 M △ 答 P A 案 M = 为 P AP 为 = 等 6, 边 ∠ 三 AP 角 M 形 = , 60°;
=(700-120)÷20 在 PB
:6
M
0,6
中
;
PM BM PB
(2) △ , =6, =10, =8,
=580÷20
=29(s), ∵6
2
+8
2
=10
2,
∴ 再接温水的时间为 29s . ∴ PM2 + PB2 = BM2,
故答案为 BPM
:29; ∴∠ =90°,
设乙同学接温水所用时间为m 接开水所用时间 APB APM BPM .
(2) s, ∴∠ =∠ +∠ =60°+90°=150°
为n
s,
14.解
:(1)△
A
1
B
1
C
1
如图所示
,
A
1(-4,2)
.
m n ABC如图所示A .
根据题意得 + =27, (2)△ 2 2 2 ,2(4,0)
m n ABC如图所示A .
20 +15=480, (3)△ 3 3 3 ,3(-4,0)
m
解得 =15,
n .
=12
答 乙同学接温水所用时间为 接开水所用时间
: 15s,
为
12s;
根据题意得 x t x t
(3) :15 (100- )=(600-15 )(-30),
x xt t xt x
∴1500 -15 =600-18000-15 +450 ,
t x
∴600=1050 +18000,
x
t 7 +120.
∴ =
4
要使温度不低于 即t
∵ 40℃, ≥40,
x
7 +120
∴ ≥40,
4 15.解 CEF ADC .利用如下
解得x ≥ 4 7 0 , ∵ : 线 (1 段 ) C ∠ D绕点 + C ∠ 按顺时 =1 针 80 方 ° 向旋转 90° : 后得CE ,
又 x为正整数 CE CD DCE
∵ , ∴ = ,∠ =90°,
x的最小值为 . ACB
∴ 6 ∵∠ =90°,
答 : t = 7 x + 4 120 , x至少为 6s, 才能使杯中温度不低于 ∴ 在 ∠ E B C C F D = 和 ∠ B F C C D E , 中
. △ △
40℃ CB CF
期末复习冲刺三(第三章 图形的平移与旋转) = ,
BCD FCE
1. 2 3 4 5 6. 7. ∠ =∠ ,
C .D .D .C .B 13 85 CD CE
8. 9. 10. = ,
(2,-1) (-2,4) 3∶4∶2 BCD FCE
11.解 ABC沿AB方向向右平移得到 DEF ∴△ ≌△ ,
:∵△ △ , CDB CEF
AB DE ∴∠ =∠ ,
∴ = , 而 CDB ADC
AB DB DE DB 即AD BE. ∠ +∠ =180°,
∴ - = - , = CEF ADC
AE DB ∴∠ +∠ =180°;
∵ =8, =2, EF CD
∴ AD = 1 2 ( AE - DB )= 1 2 ×(8-2)=3, 即平移的 ( ∴ 2) ∠ ∵ CEF ∥ +∠ D , CE =180°,
距离为 . 而 DCE
3 ∠ =90°,
CF AD . CEF
∴ = =3 ∴∠ =90°,
12.解 在 ABC中 C AC BC BDC .
: △ ,∠ =90°, =4, =3, ∴∠ =90°
30
A"# 3
期末复习冲刺四(第四章 因式分解)
元 依题意有 600 900 解得x 经检验x
5) , :x=x , =10, ,=
1. D 2 .D 3 .C 4 .B 5. B 6.x (2 x + y ) 7. 2 8.5 是原分式方程的解 且 + 符 5 合题意 则x
2 10 , , +5=10+5
9. ( a + b )2 = a2 +2 ab + b2 10. 2023 =15 .
11.解
:
由题意
,
得x2
+
ax
+
b
=(
x
+1)(
x
-2)=
x2
-
x
-
答
:A
种花卉每盆
10
元
,B
种花卉每盆
15
元
;
2,
所以x2
+
ax
+
b
=
x2
-
x
-2
.比较两边系数
,
得a
= (2)
设购买
A
种花卉x盆
,
则购买
B
种花卉
(1000-
b . x盆 依题意有x x 解得x 当x
-1,=-2 ) , :≤1000- , ≤500, =
12.解 :(1) 原式 =2( x2 -2 x +1)=2( x -1)2; 500 时 , 花费最少 ,10×500+15×(1000-500)=
(2)
原式
=(
x
-2)(
x2
-16)=(
x
-2)(
x
+4)(
x
-4)
.
5000+7500=12500(
元
)
.
13.解 :(1)3 . 5 2 +7×1 . 5+1 . 5 2 =3 . 5 2 +2×3 . 5×1 . 5+ 故最少需要花费 12500 元.
1 . 5 2 =(3 . 5+1 . 5)2 =25; 期末复习冲刺六(第六章 平行四边形)
(2)12×1001 2 -999 2 ×12=12×(1001 2 -999 2)= 1. A 2 .C 3 .C 4 .B 5 .C 6. 15 7. 13 8. 8 9.九
12(1001+999)(1001-999)=12×2000×2= 10.
23
. 11.证明 四边形ABCD是平行四边形
48000 :∵ ,
14.解 :8 2 -6 2 =28=4×7 . ∴ OA = OC , OB = OD.
论证 :(2 n +2)2 -(2 n )2 =4 n2 +8 n +4-4 n2 =8 n +4= ∵ AE = CF ,
4(2 n +1),
∴
OE
=
OF.
∵
n为正整数
, OD = OB ,
两个连续正偶数的平方差一定能被 整除. 在 DOE和 BOF中 DOE BOF
∴ 4 △ △ ,∠ =∠ ,
应用 :36=4×9=10 2 -8 2. OE = OF ,
15.解 :(1)9 a2 +4 b2 -25 m2 - n2 +12 ab +10 mn =(9 a2 + ∴△ DOE ≌△ BOF.
12 ab +4 b2)-(25 m2 -10 mn + n2)=(3 a +2 b )2 -(5 m 12.证明 :∵ 四边形ABCD是平行四边形 ,
- n )2 =(3 a +2 b +5 m - n )(3 a +2 b -5 m + n ); ∴ AB = CD , AD ∥ BC , AB ∥ CD ,
(2) 由 2 a2 + b2 + c2 -2 a ( b + c )=0 可分解得 :2 a2 + b2 ∵ BE = DF ,
+ c2 -2 ab -2 ac =0, 利用拆项得 :( a2 -2 ab + b2)+( a2 ∴ AE = CF ,
-2 ac + c2)=0, 即 ( a - b )2 +( a - c )2 =0, 根据两个非 ∴ 四边形AECF是平行四边形 ,
负数互为相反数
,
只能都同时等于
0
才成立
,
于是a
- ∴ CE = AF.
b =0, a - c =0, 所以可以得到a = b = c , 即 △ ABC的形 13.解 :∵ AD平分 ∠ BAC ,
状是等边三角形.
BAD FAD.
期末复习冲刺五(第五章 分式与分式方程) ∴ B ∠ D AD = 于 ∠ D
∵ ⊥ ,
1. 2 3 4 5 6. 7.m 8.x BDA FDA
B .A .D .D .B 5 <-8 =1 ∴∠ =∠ =90°,
9. -b 2 a 2c 10. a a
+
b b 11. (1)
2
5 a c 3;(2)
14
x 3 y2 . ∴
A
△
B
ABF
AF
是
B
等
D
腰三
FD
角
.
形 ,
a b a a ∴ = , =
12.解 原式 -2 AB AC
:(1) =a b·a b=a b; ∵ =4, =6,
- -2 - CF AC AF .
x x x ∴ = - =6-4=2
(2)
原 式
= x ( x
+
-
2
2) - ( x -
-
2
1
)2 ÷ x
-4
= ∵
E是BC的中点
,
( x +2) x ( x ( - x 2 - ) 2 - ) x 2 ( x -1) ·x x -4 = x2 x - ( 4 x - - x 2 2 ) + 2 x · 14. ∴ 解 DE = 如 1 2 图 CF 连 = 接 1 C . M
x x -4 =x ( x x - - 4 2)2·x x -4 = ( x - 1 2)2 . 在 : R ( t 1 △ ) ACB , 中 ,∠ AC , B =90°,
13.解 去分母 得 x x 移项 得 x x M是AB的中点
:(1) , 2- +1=2 -6, , - -2 ,
合并同类项 得 x 系数化为
=-6-2-1, , -3 =-9, 1, CM 1AB
得 无 x 解 = ; 3 .经检验 , x =3 是原方程的增根 , 所以原方程 ∴ ∵ M , N = 2 分别是 =5 A , B , AC的中
(2) 去分母 , 得x +3=4, 解得x =1 .经检验 , x =1 是 点 , BC =6,
原方程的解.所以原方程的解为x . MN BCMN 1BC
=1 ∴ ∥ , = =3,
14.解 原式
x2
-1 8 -(
x
+1)(
x
-1)
2
: = x
+1
-x
+1
·
(
x
+3)(
x
-1)
=
∵
CD
=
1BC
,
x2
-9 -(
x
+1) x 当x 时 原式
2
x · x =- +3, =-2 , =- CD 1BC
+1 +3 ∴ = =3,
x . 2
+3=2+3=5 CD MN
15.解 设 种花卉每盆x元 则 种花卉每盆 x ∴ = ,
:(1) A , B (+ MN BC
∵ ∥ ,
31
3A"#
四边形NDCM为平行四边形
∴ , 12.x 7
∴ DN = CM =5; = 6
( 在 2) 直 由 角 (1) A 知 B , C CD 中 =3, A 则 C B B D = CD A + B BC =3+ B 6 C =9 . 则 13.解 : a +2-a 5 -2 ÷ 2 3 a - - a 4 = ( a +2 a )( a - - 2 2)-5 ×
AC = △ AB2 - BC2 ,∠ = 10 2 = - 9 6 0° 2 , =8 . =10, =6, 2( 3 a - - a 2) = a a 2 - - 2 9 × 2( 3 a - - a 2) = 2( a + 3 3 - ) a ( a -3) =-2 a
N是AC的中点
∵ , -6,
∴ NC = 1AC =4 . ∵ a为满足 0< a <4 的整数且a -2≠0,3- a ≠0,
2 a a
∴ ≠2,≠3,
∴ S △BDM= 1BD · CN = 1 ×9×4=18 . ∴ 取a =1, 原式 =-2×1-6=-8 .
2 2 14.解 如图所示 ABC即为所求
15.解 点A坐标是 O :(1) ,△ 1 1 1 ;
:(1)∵ (10,0),(0,0), 如图所示 ABC即为所求
OA (2) ,△ 2 2 2 ;
∴ =10, 如图所示P即为所求.
四边形OABC是平行四边形 (3) ,
∵ ,
BC OABC OA
∴ ∥ , = ,
点C坐标是
∵ (4,6),
B
∴ (14,6),
故答案为
:(14,6);
点D是线段CB上一个动点
(2)∵ ,
设Dm
∴ ( ,6),
三角形OAD是等腰三角形
∵ ,
当OD OA 时
∴① = =10 ,
∴ OD = m2 +6 2 =10,
m 负值舍去
∴ =8( ),
D
∴ (8,6),
当OD AD时 点D在OA的垂直平分线上
② = , ,
∴
D
(5,6),
15.
(1)
解
:
如图
1,
连接BD
,
③
当OA
=
AD
=10
时
, ∵
四边形ABCD是平行四边形
,
AD = (10- m )2 +6 2 =10, ∴ BD过点O ,
m 不合题意舍去
∴ 综上 = 所 2 述 <4 , D ( (8,6) 或 (5,6); ), ∴ S △OBC= 1 2 BC · OE = 1 2 ×5×
(3) 如图 , 连接AC , OB 交 3= 15 ,
于E 2
, 平行四边形ABCD的面积
四边形OABC是平行四 ∴ =
∵ 边形 4 S △OBC=30;
, 证明 过点E作EH EG
AE CE (2) : ⊥ ,
∴ = , 与GC的延长线交于点H 如
点A坐标是 点C坐标是 ,
∵ (10,0), (4,6), 图
E 2,
∴ (7,3), OE BC
直线y kx b正好将平行四边形OABC分成面积 ∵ ⊥ ,
∵ = + OEG GEC GEC
相等的两部分 ∴∠ +∠ =∠ +
, CEH
直线y kx b过E ∠ =90°,
∴ = + (7,3), OEG CEH
k b ∴∠ =∠ ,
∴3=7+ , ACB
b ∵∠ =45°,
k 3- COE
∴ = , ∴∠ =45°,
7 OE CE
即k与b的函数关系式为k =- 1 7 b + 3 7 . ∴ ∵ 在 ▱ = ABC , D中 , AB ∥ CD , FG ⊥ AB ,
期末复习冲刺七(综合) FG CD
∴ ⊥ ,
EOG ECG
1. 2 3. 4. 5. 6.1 7.x 9 8. ∴∠ +∠ =360°-90°-90°=180°,
C .B A A B m > 1 ECH ECG
-3 7 ∵∠ +∠ =180°,
9. 5 10. 2 29 ∴∠ EOG =∠ ECH ,
11.解 : 解集为 -7< x ≤1, 将解集表示在数轴上如 ∴△ OEG ≌△ CEH (ASA),
OG CHEG EH
下 ∴ = , = ,
: 四边形ABCD是平行四边形
∵ ,
32
A"# 3
OA OCAB CD 又 BAP
∴ = , ∥ , ∵∠ =20°,
OAF OCG APB AP'C
∴∠ =∠ , ∴∠ =95°=∠ ,
AOF COG PP'C AP'C AP'P .
∵∠ =∠ , ∴∠ =∠ -∠ =95°-65°=30°
OAF OCG 15. 证明 ABD CDB
∴△ ≌△ (ASA), (1)① :∵△ ≌△ ,
AF CGOF OG AB CDAD CB
∴ = , = , ∴ = , = ,
CG CH GH 四边形ABCD是平行四边形
∵ + = , ∴ ;
AF OF GH 解 ADB ABD AD
∴ + = , ② :∵∠ =90°,∠ =30°, =2,
GEH EG EH AB AD
∵∠ =90°, = , ∴ =2 =4,
∴ GH =2 EG , ∴ BD = AB2 - AD2 = 4 2 -2 2 =23,
∴ AF + OF =2 EG. 由 (1) 可知 , 四边形ABCD是平行四边形 ,
期末复习冲刺八(综合)
OB OD 1BD
∴ = = =3,
1. 2 3 4 5 6.mm m 2
B .C .D .B .C ( +1)( -1)
7. 120° 8. 100 9. 123° 10. -8 ∴ S △AOD= 1AD · OD = 1 ×2×3=3;
11.解 方程两边同时乘x 得 x x 整理得 2 2
: (-1) :4 +1= -1, 解 如图 过点E作EF
(2) : 1, ⊥
x 解得x 2. AB于点F 交CD于点G 交
3 =-2, =- , ,
3 AC于点S 过点C作CM AB
经检验 , x =- 2是原分式方程的根 , 于点M , , ⊥
3
则EF CM
原分式方程的根为x 2. ∥ ,
∴ =- 由 可知 四边形ABCD是平
3 (1) ,
x 行四边形AB
2- >0,① , =4,
12.解 :5 x +1 +1≥ 2 x -1 ,② 解不等式 ①, 得x <2 .解 ∴ AB ∥ CD , AD ∥ BC , BC = AD
不等 式
2
得x
3
.所以不等式组的解集是
=2,
x .在 ② 数 , 轴上 ≥ 表 - 示 1 如下 -1≤ ∵ EF ⊥ AB ,
<2 : ∴ EF ⊥ CD ,
四边形GFMC是矩形
∴ ,
GF CM
∴ = ,
13.解 设龙舌兰的单价为x元 春兰的单价为y元
依 : 题 (1 意 ) 得 2 x +3 y =130,解得 x , =20, , ∴ S平行四边形ABCD=2 S △ADB=2× 1 2 AD · BD =2× 1 2 ×
x y y .
3 +2 =120, =30 2×23=43,
答
:
龙舌兰的单价为
20
元
,
春兰的单价为
30
元.
∵
S平行四边形ABCD= CM
·
AB
,
设购买龙舌兰m盆 则购买春兰 m 盆
(2) , (400- ) , GF CM 43 43
m m ∴ = =AB= =3,
∴30% +10%(400- )≤80, 4
m DAB ABD AD BC
∴ ≤200, ∵∠ =90°-∠ =90°-30°=60°, ∥ ,
设总费用为w元 CBM
, ∴∠ =60°,
w m m m BCM
∴ =20 +30(400- )=-10 +12000, ∴∠ =30°,
∵-10<0, BM 1BC
∴ ∴ w 当 随 m m =20 的 0 增 时 大 , w 而 取 减 得 小 最 , 小值 , 为 -10×200+12000 ∴ ∵△ AC = E 2 是等 = 腰 1 直 , 角三角形 ,∠ ACE =90°,
CE AC
=10000, ∴ = ,
∴400- m =400-200=200 . ∵∠ CAM +∠ ASF =90°,∠ CEG +∠ CSE =90°,
答 购买龙舌兰 盆 购买春兰 盆 总费用最低 ASF CSE
: 200 , 200 , ∠ =∠ ,
为
10000
元.
∴∠
CEG
=∠
CAM
,
14.解
:(1)
旋转后的三角形ACP'如 又
∵∠
EGC
=∠
AMC
=90°,
CE
=
CA
,
图所示.
∴△
EGC
≌△
AMC
(AAS),
(2) 由 旋 转 可 得 ∠ PAP' = ∴ EG = AM = AB + BM =4+1=5,
BAC AP AP' ABP EF EG GF
∠ =50°, = ,△ ∴ = + =5+3,
≌△
ACP'
, ∴
点E到AB的距离为
:5+3;
∴∠ APP' =∠ AP'P =65°, (3) 解 :∵∠ E =90°,∠ ADE =30°,
AP'C APB.
∠ =∠ AE 1AD 1
BAC AB AC ∴ = = ×2=1,
∵∠ =50°, = , 2 2
B . 由旋转的性质得AE' AE AE'Q E
∴∠ =65° : = =1,∠ =∠ =90°,
33
3A"#
如题图 当PQ BQ时 AD CD
3, = , ∴ = ,
QBP BPQ C CAD
∠ =∠ =30°, ∴∠ =∠ =30°,
E'QA QBP BPQ BAD BAC CAD
∴∠ =∠ +∠ =30°+30°=60°, ∴∠ =∠ -∠ =120°-30°=90°,
E'AQ DE DE AC
∴∠ =90°-60°=30°, ∵ =1cm, ⊥ ,
AQ E'Q CD DE
∴ =2 , ∴ =2 =2cm,
∵
AQ2
=
E'Q2
+
AE'2,
∴
AD
=2cm,
∴(2 E'Q )2 = E'Q2 +1 2, 在 Rt△ ABD中 , BD =2 AD =2×2=4cm .
解得 : E'Q = 3 ( 负值已舍去 ), 13.解 : 原式 =a 4 , 将a =2+1 代入 , 得原式 =22 .
3 -1
14.解 如图所示 ABC即为所求 点A 的坐标
即E'Q的长为 3 :(1) ,△ 1 1 1 , 1
;
3 (-5,-5),
如图 当PQ BP时 故答案为
2, = , :(-5,-5);
PBQ PQB AQE 如图所示 ABC即为所求 点A 的坐标
∠ =∠ =∠ =30°, (2) ,△ 2 2 2 , 2 (6,
BAD DAE QAE'
∴∠ =∠ =∠ =60°, -2),
EAE' 故答案为
∴∠ =60°+60°+60°=180°, :(6,-2);
α
∵0°< <180°, ABC的面积 1 1
此种情况不存在 (3)△ =4×4- ×1×2- ×3×4-
∴ ; 2 2
1 .
×2×4=5
2
如图 当BP BQ时
3, = ,
BQP AQE' 1
∠ =∠ = (180°-30°)=75°,
2
QAE'
∴∠ =90°-75°=15°,
如图 A C AD BD
4,∠ =15°,∠ =90°, = ,
AC
=1,
ABD A
∴∠ =∠ =15°,
BDC
∴∠ =15°+15°=30°,
BD BC
∴ =2 , 15. 四边形ABCD是平行四边形
CD AC AD AC BD BC
(1)∵ ,
∴ = - = - =1-2 , AB CDAB CDAD BC.
在
Rt△
BCD中
,
由勾股定理得
:
BD2
=
BC2 ∴
B
∥
DC
,
AB
=
D
,
.
=
+
CD2, ∴
B
∠
D DB
=∠ =90°
即 (2 BC )2 = BC2 +(1-2 BC )2, ∵ A = BD , CDB.
解得BC 或BC 不符合题意 舍去 ∴△ ≌△
: =2-3 =2+3( , ), ∵∠ A =45°,
E'Q ABD BCD是等腰直角三角形.
∴ =2-3, ∴△ 、△
综上所述 , E'Q的长为 3或 2-3 . ∴ BD = AB , AD =2 AB.
3
期末复习冲刺九(综合) ∵ S ▱ABCD= 169 ,
2
1. 2. 3 4. 5. 6.xy x y x y
C B .D A C (2 - )(2 + ) AB BD 169
7. 8..x 9. 10. ∴ · = ,
40° 03 +60≤1000 6 0,1,2 2
11.x 3 AB BD 132.
=- ∴ = =
4 2
12.解 :∵ 等腰 △ ABC中 ,∠ BAC ∴ BC = AD =13 .
=120°, ∵ BF ⊥ CF ,
BFC .
∴∠ B =∠ C = 1 ×(180°- ∴∠ =90°
如图 2 连接AD ∴ BF = BC2 - CF2 = 13 2 -5 2 =12;
120°)=30°, , , 证明 如图 在线段CG上截取CM CF 连
DE是AC的垂直平分线 (2) : , = ,
∵ , 接DM
,
34
A"# 3
∵
C为DE的中点
, ∴(
a2
-
b2)[ c2
-(
a2
+
b2)]=0,
∴
CD
=
CE.
∴
当a2
-
b2
=0
时
,
a
=
b
,
CD
=
CE
,
当a2
-
b2
≠0
时
,
a2
+
b2
=
c2,
在 CDM和 CEF中 DCM ECF ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三
△ △ ∠ =∠ , ∴△
CM CF 角形.
= ,
∴△ CDM ≌△ CEF (SAS) . 14. (1) 解 :∵ 四边形ABCD是平行四边形 ,
ADC DCB
∴∠ +∠ =180°,
CF平分 DCB
∵ ∠ ,
DCF BCF
∴∠ =∠ =50°,
ADC DCF BCF
∴∠ =180°-∠ -∠ =180°-50°-50°
=80°;
证明 四边形ABCD是平行四边形
(2) :∵ ,
AB CDAB CD BAD DCB
∴ ∥ , = ,∠ =∠ ,
DM EF DMC EFC . ABE CDF
∴ = ,∠ =∠ =90° ∴∠ =∠ ,
DMG . AE平分 BADCF平分 DCB
∴∠ =90° ∵ ∠ , ∠ ,
DG DF
∵ F ⊥ DG , BDC. ∴∠ BAE = 1 2 ∠ BAD ,∠ DCF = 1 2 ∠ DCB ,
∴∠ =90°=∠
BAE DCF
GDC EDF BDF EDF. ∴∠ =∠ ,
∴ ∴ 角 ∠ ∠ 形 G , DC + = ∠ ∠ BDF = , 由 ∠ (1) 知 + :△ ∠ BCD是等腰直角三 ∴ ∴ A △ E A = B C E F ≌ , △ ∠ C A D E F B ( = AS ∠ A D ) F , C ,
AEF CFE
∴ BD = CD ,∠ CBD =∠ BCD =45° . ∴ A ∠ E CF =∠ ,
∵∠ BDC +∠ BFC =90°+90°=180°, ∴ 四边 ∥ 形A , ECF为平行四边形.
DBF DCF . ∴
∴∠ +∠ =180° 15.解 设乙单独完成此项工程需要x天 则甲单独完
DCG DCF :(1) ,
∵∠ +∠ =180°,
DCG DBF. 成需要 x天 根据题意可得 20 20 解得x
∴∠ =∠ 2 , :x+x=1, :=
DCG DBF . 2
∴△ ≌△ (ASA) 经检验x 是原方程的解 且符合题意.故 x
DG DF. 30, =30 , 2
∴ = .
∴ ∴ ∴ M △ ∠ ∠ G G G D D F = G M D 45 M = 是 ° . . ∠ 等 G 腰 = 直 45 角 ° . 三角形. 3 ( = 答 0 2 6 ) : 天 0 设 甲 ; 甲 、 乙 工 两 程 工 队 程 要 队 单 单 独 独 施 完 工 成 m 此 天 项 , 则 工 甲 程 、 各 乙 需 两 要 工 6 程 0 队 天 要 ,
∴ = m
∴ MG = EF. 合作施工1- 60 60- m 天 由题意得 m 60- m
CG CM MG CF EF. = , : +
∴ = + = + 1 1 3 3
期末复习冲刺十(综合) +
30 60
. 解得 m
1. 2 3 4 5 6.x 7.x ×35≤64, :≥36,
B .A .D .C .D ≠0 ≥4 答 甲工程队至少要单独施工 天.
8. 9. 10. : 36
1800° 800 7
x xx x xx
11.解
:
原式
= x
-1
-
-
1
2
· ( x
(
-
-
3
1
)2
)
=x
-
-
3
1 · ( x
(
-
-
3
1
)2
)
=
C本
x 1.等腰三角形的性质与判定综合
当x 时 原式 2 .
x , =2 , = =-2 1. 证明 BE平分 ABC
-3 2-3 (1) :∵ ∠ ,
12.解 : 3 3 x ( x - - 1 1 > )+ - 9 2 ≥ ,② 5 x ,① ∴ ∵ D ∠ E D ∥ BE BC = , ∠ CBE ,
由 得 2 x 由 得x ∴∠ DEB =∠ CBE ,
∴ 在 ① 不 数 等 轴 : 式 上 组 表 ≤3 的 示 , 解 不 集 等 ② 是 式 - 组 : 1 的 > < 解 - x 1 集 ≤ , 3 为 . ∴ ∴ ∠ △ B D D BE E = 是 ∠ 等 D 腰 EB 三 , 角形 ;
: 解 C A
(2) :∵∠ =90°,∠ =40°,
ABC
∴∠ =180°-90°-40°=50°,
BE平分 ABC
∵ ∠ ,
13.解 从第 步到第 步开始出现错误 错误的原因
:(1) ② ③ , DBE CBE 1 ABC
是
:
忽略了a2
-
b2
=0
的可能
,
故答案为
②,③;
∴∠ =∠ =
2
∠ =25°,
(2)
正确的解答过程为
∵
a2c2
-
b2c2
=
a4
-
b4, 由
(1)
知
∠
BED
=∠
DBE
=25°
.
∴
c2( a2
-
b2)=( a2
-
b2)( a2
+
b2), 2.
(1)
证明
:∵
AD平分
∠
BAC
,
∴
c2( a2
-
b2)-( a2
-
b2)( a2
+
b2)=0,
∴∠
EAD
=∠
CAD
,
35
3A"#
DE AC GF EF
∵ ∥ , ∴ = =4,
ADE CAD AD AFAG DF
∴∠ =∠ , ∵ = , ⊥ ,
EAD ADE. DF GF .
∴∠ =∠ ∴ =2 =8
AE DE 2.等边三角形的性质和判定综合
∴ = ;
解 DE AC 1.解 在 ABC中 B AB AC 则BC .
(2) :∵ ∥ , : △ ,∠ =60°, = =4, =4
EDB C. CD
∴∠ =∠ ∵ =1,
AB AC BD BC CD .
∵ = , ∴ = - =4-1=3
B C 在 PBD中 PDB B
∴∠ =∠ , △ ,∠ =90°,∠ =60°,
EDB B. P
∴∠ =∠ ∴∠ =30°,
BE DE PB BD.
∴ = , ∴ =2
PB PA AB
DE BE AE 1AB 1 . ∵ = + ,
∴ = = = = ×8=4 PA BD AB .
3. (1) 证明 :∵ EF ∥ BC 2 , 2 2. ( ∴ 1) 证 = 明 2 :∵ A - D垂直 =2 平 × 分 3 B - C 4= , 2
∴ ∵ C ∠ D FD 平 C 分 = ∠ ∠ A D C C B B , , ∴ ∵ E A F B ⊥ = A A B C , ,∠ E =30°,
∴∠ FCD =∠ DCB , ∴∠ BAC =90°-∠ E =60°,
∴∠
FDC
=∠
FCD
, ∴△
ABC为等边三角形
;
FD FC
∴
D
=
FC是
,
等腰三角形 (2)
解
:
BF与AE的数量关系是
:
BF
=
1AE
,
理由
∴△ ; 6
解 EF BC 如下
(2) :∵ ∥ , :
EDB DBC 过点C作CH EF于H 如图所示
∴∠ =∠ , ⊥ , ,
BD平分 ABC 设BF aAB x则AF AB BF x a
∵ ∠ , = , = , = - = - ,
EBD DBC 由 可知 ABC为等边三角形
∴∠ =∠ , (1) :△ ,
EDB EBD AC AB x
∴∠ =∠ , ∴ = = ,
ED EB EF AB
∴ = , ∵ ⊥ ,
AC AB BFD CHD
∵ =6cm, =8cm, ∴∠ =∠ =90°,
AEF的周长为AE EF AF AD垂直平分BC
∴△ : + + ∵ ,
AE ED FD AF BD CD
= + + + ∴ = ,
AE EB FC AF 在 BFD和 CHD中
= + + + △ △ ,
AB AC BFD CHD
= + ∠ =∠ =90°,
BDF CDH
=8+6 ∠ =∠ ,
. BD CD
=14(cm) = ,
4. 证明 AB AC BFD CHD
(1) :∵ = , ∴△ ≌△ (AAS),
∴∠ B =∠ C , ∴ BF = CH = a ,
∵ DE ⊥ BC , 在 Rt△ ECH中 ,∠ E =30°,
∴∠ DEC =∠ DEB =90°, ∴ CE =2 CH =2 a ,
∴∠ B +∠ BFE =90°, ∴ AE = AC + CE = x +2 a ,
∠ C +∠ D =90°, 在 Rt△ AEF中 ,∠ E =30°,
∴∠ D =∠ BFE , ∴ AE =2 AF ,
∵∠ BFE =∠ AFD , 即x +2 a =2( x - a ),
∴∠ D =∠ AFD , ∴ x =4 a ,
∴ ∴ A △ D A 解 = DF A 过 F 是 点 , 等 A 腰 作 三角 AG 形 ; DE 垂足 ∴ ∵ B A F E = = a x , +2 a =6 a ,
( 为 2 G ) , : ⊥ , ∴ BF = 1 6 AE.
AB ACAC 3.解
∵ = , =10, :(1)=;
AB AE DB 理由如下 过点E作EF BC 交AC于
∴ =10, (2) = , , ∥ ,
F为AB中点 点F 证明
∵ , , :
ABC为等边三角形
∴ 在 A Rt F △ = B B F F E = 中 1 2 , B A E B = = 3 5 , , ∵ ∴ ∴ A △ △ E A = EF EF 为 , 等边三角形 , ,
∴ EF = BF2 - BE2 = 5 2 -3 2 =4, ∴ BE = CF ,
AGF BEF AFG BFE ED EC
∵∠ =∠ =90°,∠ =∠ , ∵ = ,
AFG BFE D ECD
∴△ ≌△ (AAS), ∴∠ =∠ ,
36
A"# 3
∵∠ DEB =60°-∠ D ,∠ ECF =60°-∠ ECD , ∵ A (-1,0), AC = AB = 13,
DEB ECF
∴∠ =∠ , 此时点C的坐标为 或
在 DBE和 EFC中 ∴ :(-1- 13,0) (-1+ 13,0);
△ △ , 当AB BC时 如图所示
DE CE = , :
= ,
DEB ECF
∠ =∠ ,
BE FC
= ,
DBE EFC
∴△ ≌△ (SAS),
DB EF
∴ = ,
则AE DB
= ;
如图所示 作EF AC 交CD于F 则 EFB为等
(3) , ∥ , , △
边三角形
,
同 理 可 得 DBE
△ ≌
CFE
△ ,
AB AE
∵ =1, =2,
BE
∴ =1,
DB FC FB BC 过点B作BD x轴于点D
∵ = = + ⊥ ,
点B的坐标为
=2, ∵ (1,-3),
则CD BC DB . 点D的坐标为
= + =3 ∴ (1,0),
3.等腰三角形与分类讨论 AD
∴ =1-(-1)=2,
1.解 设AB AC x BC y AB BCBD x轴
: = =2 cm, = cm, ∵ = , ⊥ ,
∵ BD为一腰上的中线 , ∴ DC = AD =2,
∴
AD
=
CD
=
x
cm, ∴
此时点C的坐标为
:(3,0);
中线BD将这个三角形的周长分成 和 两 当AC BC时 如图所示
∵ 部分 15cm 6cm = , :
,
有两种情况
∴ :
当AB AD BC CD 时 有
① + =15cm, + =6cm ,
x x
3 =15,解得 =5,
x y y
+ =6, =1,
三边长分别为 且
∴ 10cm,10cm,1cm, 10+1>10,
等腰三角形的腰长为
∴ 10cm;
当AB AD BC CD 时 有
② + =6cm, + =15cm ,
x x
3 =6, 解得 =2,
x y y
+ =15, =13,
此时两腰之和
4+4=8<13,
故这种情况不存在.
过点B作BD x轴于点D
综上所述 这个等腰三角形的腰长为 . ⊥ ,
, 10cm 点B的坐标为
2.解 点A B ∵ (1,-3),
:(1)∵ (-1,0),(1,-3),
OD BD
∴
AB
=
(-1-1)2 +(-3-0)2
= 13
. ∴
AD
=1, =3,
(2) 根据旋转可知 , AB' = AB = 13,∠ BAB' =90°, ∴ 设AC = = 2 B , C = m , 则CD = m -2,
∴ S △ABB'= 1 × 13× 13= 13. 在 Rt△ BDC中 , BC2 = CD2 + BD2,
当AB 2 AC时 如图所示 2 即m2 =( m -2)2 +3 2,
(3) = , :
解得 m 13
:= ,
4
OC 13 9
∴ = -1= ,
4 4
此时点C的坐标为 9 .
∴ ,0
4
综上可知 点C的坐标为 或
, :(-1- 13,0) (-1+
或 或 9 .
13,0) (3,0) ,0
4
3.解 ACP是直角三角形
:(1)△ ,
理由
:
当PN BC时 α NPM
∥ ,∠ =∠ =30°,
37
3A"#
ACB DBC x
∵∠ =120°, ∴∠ =°,
ACP x x x
∴∠ =120°-30°=90°, ∴ +2 +2 =180,
ACP是直角三角形 x .
∴△ ; ∴ =36
当AP 时 ADP ABD .
(2) =8 ,△ ≌ ∴∠ =36°
BPC 3.解 设 A的度数为x
△ , : ∠ ,
理由 AB AC
: ∵ = ,
ACB CA CB
∵∠ =120°, = , ABC C 1x.
∴ ∵ ∠ ∠ A AP = C ∠ 是 B = △ 3 B 0 P ° C , 的一个 ∴ ∵ M ∠ N是A = B ∠ 的 = 垂 9 直 0° 平 - 分 2 线 ,
外角 , ∴ DA = DB ,
∴∠ APC =∠ B +∠ α =30°+∠ α , ∴∠ DBA =∠ A = x , 则 90°- 1x - x =18°,
APC DPC APD APD 2
∵∠ =∠ +∠ =30°+∠ , 解得x 所以 A .
α APD =48°, ∠ =48°
∴∠ =∠ , 4.解 AC BC BD
AP BC :∵ = = ,
∵ = =8,
ADP BPC A B CDB DCB 1 B
∴△ ≌△ (ASA); ∴∠ =∠ ,∠ =∠ = (180°-∠ ),
PCD的形状可以是等腰三角形 2
( 易 3) 知 △ PCD α CPD , ∵ AD = AE , DE = CE ,
① 当P ∠ C = PD =1 时 20° ,△ - PC ,∠ D是等 = 腰 3 三 0° 角 , 形 , ∴∠ ADE = ∠ AED = 1 2 (180- ∠ B ),∠ EDC =
ECD.
∴ 即 ∠ PCD α =∠ PDC = 180° 2 -30° =75°, ∠ ∴∠ AED =2∠ ECD ,
120°- =75°, ∵∠ CDB =∠ A +∠ ECD ,
α
∴∠ 当P = D 45° C ; D时 PCD是等腰三角形 ∴∠ A +∠ ECD =2∠ ECD ,
② = ,△ , ∴∠ ECD =∠ A =∠ B ,
PCD CPD
∴ 即 1 ∠ 20°- α = = ∠ 30°, =30°, ∴∠ B + 1 2 (180-∠ B )=180°-2∠ B ,
α
∴ =90°; B 180° .
当PC CD时 PCD是等腰三角形 ∴∠ = =36°
③ ∴∠ CDP = =∠ CPD ,△ =30°, , 5.解 : 设 ∠ A 5 = x ,
∴∠ PCD =180°-2×30°=120°, ∵ AB = AC ,
即 120°- α =120°, ∴∠ ABC =∠ C = 180°- x ,
α 2
∴ =0°, AE ED
此时点P与点B重合 点D和A重合 ∵ = ,
, , A ADE x
综合所述 当α 或 或 时 PCD是等腰三 ∴∠ =∠ = ,
, =45° 90° 0° ,△ BED x
角形. ∴∠ =2 ,
BD BC
4.等腰三角形中的方程思想 ∵ = ,
x
1.解 设 A x则 BDC x. BDC C 180°-
: ∠ = , ∠ =42°+ ∴∠ =∠ = ,
CD CB 2
∵ B = B , DC x. ∵∠ A +∠ EBD =∠ BDC ,
∴ ∵ A ∠ B = = A ∠ C , =42°+ ∴ x +2 x = 180° 2 - x , 解得 : x = 18 7 0° , 即 ∠ A = 18 7 0°.
ACB B x 5.等腰三角形的“三线合一”
∴∠ =∠ =42°+ ,
∴∠ BCD =∠ ACB -∠ ACD = x , 1.证明 :∵ AB = AC , AD是BC边上的中线 ,
ADC B BCD x x x. AD BC.
∴∠ =∠ +∠ =42°+ + =42°+2 ∴ ⊥
ADC BDC BG平分 ABCEF AB
∵∠ +∠ =180°, ∵ ∠ , ⊥ ,
x x EF ED.
∴42°+2 +42°+ =180°, ∴ =
解得x 所以 BAC . 2.解 AB AC BAC
=32°, ∠ =32° :∵ = ,∠ =120°,
2.解 设 A x. B C .
: ∠ =° ∴∠ =∠ =30°
AD BD BD BE
∵ = , ∵ = ,
ABD A x BDE BED .
∴∠ =∠ =°, ∴∠ =∠ =75°
BD BC AB ACAD是BC边上的中线
∵ = , ∵ = , ,
BCD BDC ABD A x ADB
∴∠ =∠ =∠ +∠ =2°, ∴∠ =90°,
AB AC ADE ADB BDE .
∵ = , ∴∠ =∠ -∠ =15°
ABC BCD x 3.解 直线DE垂直平分BC
∴∠ =∠ =2°, :∵ ,
38
A"# 3
DB DC 【类比解答】 如图 延长AE交
∴ = , 1,
B DCB BC于点F
∴∠ =∠ =26°, ,
ADC B DCB 由【问题情境】 可知AC FC
∴∠ =∠ +∠ =52°, , = ,
CA CD EFC EAC
∵ = , ∴∠ =∠ =63°,
A ADC EFC B DAE
∴∠ =∠ =52°, ∵∠ =∠ +∠ ,
ACD A ADC DAE EFC B
∴∠ =180°-∠ -∠ =76°, ∴∠ =∠ -∠ =63°-37°=26°,
ACB . 故答案为
∴∠ =76°+26°=102° :26°;
4.解 AB ACAD是 ABC的角平分线
:∵ = , △ , 【拓展延伸】BE 1CD 证明如下
= , :
∴
BD
=
CD
=
1BC
=3,
AD
⊥
BC
, 如图 延长BECA
2
交于点F
2 2, 、 ,
在 EBD中 EBC 则 BAF BAC
Rt△ ,∠ =45°, ∠ =180°-∠ =90°,
BED EBC BE CD
∴∠ =45°=∠ , ∵ ⊥ ,
ED BD BED BAC
∴ = =3, ∴∠ =90°=∠ ,
BDC ABF BED
6. ∴ 利 S 用 △ “ EB 三 C= 线 1 2 合 B 一 C ” · 作 E 辅 D 助 = 线 1 2 ×6×3=9 . ∵ ∠ A ∠ C
A
D
B
+
F
∠ = BA ∠
A
C
C
,
D
+∠ =
1. B 解 C : 过 于 点 点F A , 作AM ⊥ BC , 延长DE交 ∴ 又 ∴ ∠ ∵ △ A A B BF = = ≌ AC ∠ △ , ACD ( , ASA),
∵ AB = AC , AM ⊥ BC , ∴ BF = CD ,
BAM CAM
∴∠ =∠ , 由【问题情境】 可知BE FE 1BF
BAC BAM , = = ,
∴∠ =2∠ , 2
AM BC
∵ ⊥ , BE 1CD
∴ ∵ ∴ ∵ A ∠ ∠ ∠ D B A D A = M = C A B ∠ E = 是 A , 9 E △ 0 D ° A , D , E的一个外角 , B 【 ∴ 由 C 实 【 际 于 问 = E 应 题 2 , 用 情 】 境 如 】 ; 图 可 3 知 , , 延 AD 长 = AD ED 交 ,
∴∠ BAC =∠ D +∠ AED =2∠ D , EC = AC =10,
∴∠ BAM =∠ D , ∴ S △ACD= S △ECD,
∴ DE ∥ AM , ∵ S △ABC=20,
∴∠ AMB =∠ DFB =90°, ∴ S △ACE= 10S △ABC= 10 ×20= 200 ,
DF BC 13 13 13
∴ ⊥ ,
即DE ⊥ BC. ∴ S △ACD= 1 2 S △ACE= 1 1 0 3 0.
2. 证明 如图 过点A作AF BC于F.
(1) : , ⊥ 答 ACD的面积是100.
AB ACAD AE. :△
∵
BF
=
CF
,
DF
=
EF
7.利用平行线构造等腰 1 三 3 角形
∴ ∴ BD = = CE , . = , 1. (1) 证明 :∵ CD是 ∠ ACB的平分线 ,
(2) 解 :∵ AD = DE = AE , ∴∠ BCD =∠ ACD ,
DE BC
ADE是等边三角形 ∵ ∥ ,
∴△ , BCD EDC
DAE ADE . ∴∠ =∠ ,
∴∠ =∠ =60° EDC ACD
AD BD ∴∠ =∠ ,
∵ = , ED EC
DAB DBA. ∴ = ,
∴∠ =∠ 即 CDE是等腰三角形
△ ;
DAB 1 ADE . 解 DE BC ABC
∴∠ = ∠ =30° (2) :∵ ∥ ,∠ =30°,
2 ADE ABC
BAE BAD DAE . ∴∠ =∠ =30°,
∴∠ =∠ +∠ =90° 又 DE平分 ADC
3.解 【问题情境】 OP平分 MON ∵ ∠ ,
: ∵ ∠ , ADE CDE
AOC BOC ∴∠ =∠ =30°,
∴∠ =∠ , 由 可知 ACD BCD CDE
AC OP (1) ,∠ =∠ =∠ =30°,
∵ ⊥ , BF DF
ACO BCO ∵ = ,
∴∠ =∠ , B BDF
OC OC ∴∠ =∠ =30°,
∵ ∴△ A = OC ≌ , △ BOC (ASA), ∴ 在 ∠ Rt D △ F D C F = C 30 中 °+ ,∠ 30 F ° D = C 60 = ° 9 , 0°,∠ FCD =30°,
AO BOAC BC
∴
故答案
=
为
, = ,
∴
DF
=
1FC
,
:SAS; 2
39
3A"#
又 DF BFBC AD DF
∵ = , =12, ∴ = ,
DC CF DF
DF 1BC 1 . ∵ + = ,
2. ∴ 证
交B
明
C
: = 如
于
3 图
点
,
G
过
.
= 点 3 D × 作 12 D = G 4 ∥ AC ∴ 拓
交
D 展
于
C 创
点
+
G
新 AB : 解 = A : 如 D ; 图 2, 延长AE , DF
,
∵ DG ∥ AC , 易得 : AF = FG ,
∴ 在 ∠ △ G G D D F F = 和 ∠ △ E CE ,∠ F D 中 GB , =∠ ACB. △ ∴ A A B B E = ≌ CG △ , GCE ,
∠ GDE =∠ E , ∴ AF + CF = AB.
DF
=
EF
,
8.利用“截长补短”构造等腰三角形
∠ DFG =∠ EFC , 1.证明 : 【截长法】
∴△ GDF ≌△ CEF (ASA), 在AC上截取AE = AB , 连接DE ,
∴ GD = CE. ∵ AD平分 ∠ BAC ,
∵ BD = CE , ∴∠ BAD =∠ DAC ,
∴ BD = GD , 在 △ ABD和 △ AED中 ,
3. ∴ ∴ 证 交B ∠ △ 明 D B A : B 如 = 的 C 图 ∠ 延 是 D , 长 G 过 等 B 线 点 腰 = 于 三 A ∠ M 角 作 A . C 形 A B . M , ∥ EF A A ∠ B D B A = A = B A D A D E D = , , ∠ D A A E C D ,
∴△ ≌△ (SAS),
∵ ∴ ∵ E B B C F D ∥ ∥ 平 A B 分 C M , ∠ , 则 AB ∠ C M , =∠ DBC. ∴ 又 ∴ ∠ ∠ ∠ B B AE = = D 2 ∠ = ∠ A 2 C E ∠ , D C , B , D = DE ,
∴∠ ABD =∠ CBD , 而 ∠ AED =∠ C +∠ EDC =2∠ C ,
∴∠ M =∠ ABD , ∴∠ C =∠ EDC ,
∴ AM = AB. ∴ DE = CE ,
∵ AM ∥ EF , ∴ AB + BD = AE + CE = AC.
M DFE. 证明 【补短法】
∴∠ =∠ :
在 △ ADM和 △ EDF中 , ∠ ∠ A M D = M ∠ = D ∠ FE ED , F , 延 ∵ B 长 F A = B BD 到 , F , 使BF = BD , 连接DF ,
AD = DE , ∴∠ F =∠ BDF ,
∴△ ADM ≌△ EDF , ∴∠ ABC =∠ F +∠ BDF =2∠ F ,
∴ EF = AM , 又 ∵∠ ABC =2∠ C ,
4. ∴ 问 A 题 B 背 = 景 EF : 证 . 明 :∵ AB ∥ CD , ∴ 又 ∠ ∵ C ∠ = CA ∠ D F = , ∠ BAD , AD = AD ,
∴ ∵ A ∠ D BA 平 D 分 = ∠ ∠ B A A D C C , , ∴ ∴ A △ C A = D A F F ≌ , △ ADC (AAS),
∴∠ BAD =∠ CAD , ∴ AC = AF = AB + BF = AB + BD.
∴∠ ADC =∠ CAD , 2.证明 : 如图 : 延长BE交AC
∴ AC = CD ; 于点F ,
尝试应用
解 点F : D , C + A : B = AD.证明 : 如图 1, 延长AE , DC交于 ∵ ∴ ∵ B A ∠ F D A ⊥ E 平 A B 分 D = ∠ , ∠ B A A E C F , .
∵ AB ∥ CD , ∴∠ BAE =∠ FAE ,
∴∠ BAF =∠ F , ∠ AEB =∠ AEF ,
在 △ ABE和 △ FCE中 , 在 △ ABE和 △ AFE中 , AE = AE ,
BE = CE ,∠ BAF =∠ F ,∠ AEB ∠ BAE =∠ FAE ,
=∠ FEC , ∴△ ABE ≌△ AFE (ASA),
ABE FCE ABF AFBAB AFBE EF.
∴△ ≌△ (AAS), ∴∠ =∠ , = , =
CF AB C CBF AFB ABF ABF CBF
∴ = , ∵∠ +∠ =∠ =∠ ,∠ +∠
AE是 BAD的平分线 ABC C
∵ ∠ , =∠ =3∠ ,
BAF FAD C CBF C
∴∠ =∠ , ∴∠ +2∠ =3∠ ,
FAD F CBF C.
∴∠ =∠ , ∴∠ =∠
40
A"# 3
BF CF DE DF.
∴ = , ∴ =
点D是BC的中点
BE 1BF 1CF. ∵ ,
∴ = 2 = 2 ∴ BD = CD.
CF AC AF AC AB
∵ = - = - , 在 BDE和 CDF中 BD = CD ,
∴ BE = 1 ( AC - AB ) . Rt△ Rt△ , DE = DF ,
2 BDE CDF
3.证明 在DA上截取DE DB 连接 ∴Rt△ ≌Rt△ (HL),
: = , B C
BE 如图所示 ∴∠ =∠ ,
, , ABC为等腰三角形.
ADB DE DB ∴△
∵∠ =60°, = , 3.证明 ADE CDE BDC BCD
EBD为等边三角形 :∵∠ +∠ +∠ =180°,∠ +
∴△ , B BDC CDE B
EBD BE BD ∠ +∠ =180°,∠ =∠ ,
∴∠ =60°, = , ADE BCD
ABC为等边三角形 ∴∠ =∠ ,
∵△ , AC BC
ABC BA BC ∵ = ,
∴∠ =60°, = , A B
EBD EBC ABC EBC ∴∠ =∠ ,
∴∠ -∠ =∠ -∠ , A B
ABE CBD ∠ =∠ ,
∴ 在 ∠ △ ABE = 和 ∠ △ CBD , 中 , 在 △ ADE和 △ BCD中 , AD A = D B E C , BCD
BE = BD , ADE BCD ∠ =∠ ,
∠ ABE =∠ CBD , ∴ D △ E CD ≌△ (ASA),
AB = CB , ∴ CD = E是 , 等腰三角形.
∴△ ABE ≌△ CBD (SAS), 4. ∴ 证 △ 明 过点D作DG AC 交BC
∴ AE = CD , 于点G : 如图所示. ∥
AD AE ED CD BD. ,
∴ = + = +
4.证明 : 延长CE到F , 使EF = ∵ DG ∥ AC ,
CE , 连接FB. ∴∠ GDF =∠ E ,
∵ ∴ C A E E = 是 E △ B A , BC的中线 , ∠ 在 D △ G G B D = F ∠ 和 A △ C C B E . F中 ,
又 ∵∠ AEC =∠ BEF , ∠ GDF =∠ E ,
∴△ AEC ≌△ BEF ,(SAS) DF = EF ,
∴∠ A =∠ EBF , AC = FB. ∠ DFG =∠ EFC ,
∵ AB = AC , ∴△ GDF ≌△ CEF (ASA),
ABC ACB GD CE.
∴∠ =∠ , ∴ =
∴∠ CBD = ∠ A + ∠ ACB = ∠ EBF + ∠ ABC ∵ BD = CE ,
=∠ CBF ; ∴ BD = GD ,
∵
CB是
△
ADC的中线
, ∴∠
B
=∠
DGB
=∠
ACB
,
AB BD ABC是等腰三角形.
∴ = , ∴△
又 AB ACAC FB 10.利用等腰直角三角形构造全等
∵ = , = ,
∴ FB = BD , 1.证 明 : 如 图 , 连 接 CM.在 等 腰
又CB = CB , Rt△ ABC中 , CM 是斜边AB 的
CBF CBD 中线
∴△ ≌△ (SAS), ,
CD CF CE EF CE. CM BM B ECM .
∴ = = + =2 ∴ = ,∠ =∠ =45°
9.利用全等证明等腰三角形 又 BD CE
∵ = ,
1.证明 AD AE BDM CEM
:∵ = , ∴△ ≌△ (SAS),
ADE AED MD ME 即 MDE是等腰三角形.
∴∠ =∠ , ∴ = , △
ADB AEC. 2.解 点O到 ABC的三个顶点ABC的距离的关
∴∠ =∠ :(1) △ ,,
AD AE 系是OA OB OC
= , = = ;
在 ABD与 ACE中 ADB AEC OMN 的 形 状 是 等 腰 直 角 三 角 形 证 明
△ △ ,∠ =∠ , (2)△ , :
BD CE ABC中AB AC BAC O为BC中点
= , ∵△ , = ,∠ =90°, ,
ABD ACE OA OB OCAO平分 BACAO BC
∴△ ≌△ (SAS), ∴ = = , ∠ , ⊥ ,
AB AC AOB B C
∴ = , ∴∠ =90°,∠ =∠ =45°,
即 ABC是等腰三角形. BAO CAO
△ ∠ =∠ =45°,
2.证明 AD平分 BACDE AB于点EDF AC于 CAO B
:∵ ∠ , ⊥ , ⊥ ∴∠ =∠ ,
点F 在 BOM和 AON中
, △ △ ,
41
3A"#
BM AN FGB FDE
= , ∴△ ≌△ (AAS),
B CAO DE BGDF GF
∵ ∠ =∠ , ∴ = , = ,
OB OA
= , CF DF 1DG
∴△ BOM ≌△ AON (SAS), ∴ = = 2 ,
∴ OM = ON ,∠ AON =∠ BOM , ∵ AD = DE ,
∵∠ AOB =∠ BOM +∠ AOM =90°, ∴ AD = BG ,
∴ ∴ ∠ △ O AO M N N + 是 ∠ 等 A 腰 OM 直 = 角 9 三 0° 角 , 即 形 ∠ . MON =90°, ∵ ∴ A A C C = - B A C D , = BC - BG , 即CD = CG ,
3.解 :(1
A
)
D
2
B
2 . 5 【解析】 ∵ AD为BC边上的高 , 11 ∴ .直 CF 角 ⊥ 三 D 角 F 形 . 的全等证明
∴ ∵ A ∠ D = BD =9 , 0°, 1.解 :∵ AD ⊥ BC ,
ADB ADC .
∴∠ ABD =∠ BAD = 1 (180°-∠ ADB )=45°, ∴ 在 ∠ BD = F ∠ 和 = A 9 D 0° C中
2 Rt△ Rt△ ,
BE平分 ABC BF AC
∵ ∠ , = ,
∵ FD CD
1 ABD . = ,
( ∴ 2) ∠ ∠ 1 1 = = ∠ ∠ 2 3 = , 理 2 由 ∠ :∵ AB = = 2 B 2 C 5° , B ; E平分 ∠ ABC , ∴ ∴ A Rt D △ = B B D D F = ≌ 3 R . t△ ADC (HL),
∴ BE ⊥ AC , 在 Rt△ ABD中 , AB2 = AD2 + BD2,
∴∠ BEA =90°=∠ ADB , ∴ AB2 =3 2 +3 2,
BEA AHE ADB
∵∠3+∠ +∠ =180°,∠2+∠ + AB .
BHD AHE BHD ∴ =32
∠ =180°,∠ =∠ , 2. 证明 AC平分 BADCE AB于ECF AD
(1) :∵ ∠ , ⊥ , ⊥
∴∠2=∠3, 于F
,
∵∠1=∠2, CFD CEB CE CF.
∴∠ =∠ =90°, =
∴∠1=∠3; 又 BC CD
AB BD DH 理由 ∵ = ,
(3) = + , : BCE DCF .
∴Rt△ ≌Rt△ (HL)
∠2=∠3, 解 由 得 BCE DCF
在 BDH和 ADC中 BD AD (2) : (1) ,Rt△ ≌Rt△ ,
∵ △ △ , = , DF EB.设DF EB x
BDH ADC ∴ = = = ,
∠ =∠ =90°, CFD CEB CE CFAC AC
BDH ADC ∵∠ =90°,∠ =90°, = , = ,
∴△ ≌△ (ASA), AFC AEC
DH DC ∴Rt△ ≌Rt△ (HL),
∴ = , AF AE 即AD DF AB BE.
BC BD DC BD DH ∴ = , + = -
∴ = + = + , AB AD DF EB x
AB BC ∵ =21, =9, = = ,
∵ = , x x解得x .
AB BD DH. ∴9+ =21- , ,=6
∴ = + 在 DCF中
4.解 ABC和 ADE是等腰直角三角形 Rt△ ,
:(1)∵△ △ , DF CD
BCE BDE ABC ∵ =6, =10,
∴∠ =∠ =90°,∠ =45°, CF
点F为BE中点 ∴ =8,
∵ , ∴Rt△ AFC中 , AC2 = CF2 + AF2 =8 2 +(9+6)2 =289,
DF BF 1BECF BF 1BE AC .
∴ = = , = = , ∴ =17
2 2 3.解 如图 AB CD
DF CF FBD FDB FCB FBC :(1) ,∵ ∥ ,
∴ = ,∠ =∠ ,∠ =∠ ,
ABC FBD FBC ∴∠1=∠2,
∵∠ =∠ +∠ =45°, B DE AC
CFD FBD FBC ∵∠ =90°, ⊥ ,
∴∠ =2∠ +2∠ =90°, B
即CF DF ∴∠ =∠3,
⊥ ,
故答案为CF DFCF DF ∠1=∠2,
: = , ⊥ ; 在 ABC和 CED中 AB CE
此时 中的结论是否仍然成立 证明如下 △ △ , = ,
(2) (1) , : B
如图 延长DF交BC于点G ∠ =∠3,
1, ,
ABC CED
ADE ACB ∴△ ≌△ (ASA);
∵∠ =∠ =90°, ABC CED
DE BC (2)∵△ ≌△ ,
∴ ∥ , AC CD
FBG FED FGB FDE ∴ = ,
∴∠ =∠ ,∠ =∠ ,
点F为BE中点 ∵∠2=50°,
∵ ,
∴ BF = EF , ∴∠4= 1 (180°-∠2)= 1 (180°-50°)=65°,
FBG FED FGB FDE 2 2
∵∠ =∠ ,∠ =∠ , DE AC
BF EF ∵ ⊥ ,
= ,
∴∠3=90°,
42
A"# 3
ADE .
∴∠ =90°-∠4=90°-65°=25° BCD BDC 1
4.
( ∴ 1 B ) O
证
=
明
C : O ∵ ,
O为BC中点
,
∴
∴
∠
△ DBC
=
是
∠
等边三
=
角 2 形 ,
(180°-60°)=60°,
∵ OE ⊥ AB , OF ⊥ AC , ∴ BC = CD = DB ,∠ BCD =∠ BDC =∠ B =60°,
∴∠ OEB =∠ OFC =90°, ∵∠ ACD =∠ ACB -∠ BCD =90°-60°=30°=∠ A ,
在
Rt△
OBE和
Rt△
OCF中
, ∴
CD
=
AD.
OB = OC , ∴ BC = CD = AD = DB = 1AB.
OE OF 2
= , 4.解 答案不唯一.如图 即为所求.
OBE OCF :(1) 1,
∴Rt△ ≌Rt△ (HL),
B C
∴∠ =∠ ,
AB AC
∴ = ;
解AB AC理由如下
(2) : = , :
OB OC
∵ = ,
OBC OCB
∴∠ =∠ ,
OE ABOF AC
∵ ⊥ , ⊥ ,
OEB OFC
∴∠ =∠ =90°,
在 OBE和 OCF中
Rt△ Rt△ , 解 ABC是 等高底 三角形 理由如下
OB OC (2) :△ “ ” , :
= , 如图 过点A作AD CB 垂足
OE OF 2, ⊥ ,
= , 为D 交CB的延长线于D
OBE OCF , ,
∴Rt△ ≌Rt△ (HL), C AD CB
ABO ACO ∵∠ =30°, ⊥ ,
∴∠ =∠ ,
∴∠ ABC =∠ ACB , ∴ AD = 1AC = 1 ×8=4,
2 2
AB AC.
12 ∴ .直角 = 三角形中构造特殊角 ∴ AD AB = C BC 是 =4 等 , 高底 三角形
1.解
:
如图
,
连接AD
,
∴△
解 如图
“
当O
”
B是 等
;
底
(3) :① 3, “ ”
1 ∵ 20 A ° B , D = 为B A C C , 的 ∠ 中 B 点 AC , = 时 为 , D 过 , 点 A 作AD ⊥ OB , 垂足
AD BC AD 平 分
∴ ⊥ , ∴ AD = OB ,
∠ BAC ,∠ B =∠ C =30°, ∴ 点A的横坐标是 2,
∴∠ DAC = 1 2 ∠ BAC =60° . 将x =2 代入y = 1x ,
DE AC于E 2
∵ ⊥ , 可得y 1
∴∠ AED =90°, = 2 ×2=1,
ADE . A
∴∠ =30° ∴ (2,1);
在 ADE中AE ADE 如图 当OA是 等底 时 分别
Rt△ , =2,∠ =30°, ② 4, “ ” ,
AD AE . 过点BA作BF OAAD OB
∴ =2 =4 , ⊥ , ⊥ ,
在 ADC中AD C 垂足分别为FD
Rt△ , =4,∠ =30°, ,,
AC AD 则CE AC AE . BF OA
∴ =2 =8, = - =8-2=6 ∴ = ,
2.解 如图 连接BD 在 BAD中 设点A aa
: , , Rt△ , (2,),
AB AD
∵
∴∠ A
=
D . B =
=
4
2
5°
,
, BD = AD2 + AB2
∴
∴
S
OA
△A
2
OB
=
=
2 A
1
2 D
O
,
A2 = 1
2
OB · AD ,
1
= 在 2 2
=
△
9
B 2 C
=
D CB 中 2, , DB2 + CD2 =(22)2 + ∴ 解 ( 得 2 a a ) 1 2 = + a 4
5
2 = , a 4 2 a = , 0,
∴△
BCD是直角三角形
,∠
BDC
=90°, ∵
a不为
0,
ADC ADB BDC .
∴∠ =∠ +∠ =45°+90°=135° a 4
3.证明 如图 在BA上截取BD BC 连 ∴ = ,
: , = , 5
接CD
, , A 8 4
∴ , ,
∵∠ ACB =90°,∠ A =30°, 5 5
B . 综上所述A 或 8 4 .
∴∠ =60° ,(2,1) ,
BD BC 5 5
∵ = ,
43
3A"#
13.利用勾股定理列方程
1.解
:∵
四边形ABCD为矩形
,
∴ S四边形ABCD= S △ABC+ S △ACD= 1
2
×3×4+ 1
2
×5×12
∴ 由 D 题 C 意 = 得 AB : A = F 8 = , A ∠ D B = = 1 ∠ 0 C , =90° . 2. = 证 6 明 + : 3 在 0= △ 3 A 6 B . C 中 , AC ⊥ BC , 根据勾股定理 : AC2 =
设 由 E 勾 F 股 = 定 D 理 E 得 = x : B , F 则 2 E = C 10 = 2 8 - - 8 x 2, . A ∵ B 在 2 - △ B A C C 2 D =5 中 2 , - A 3 C 2 2 = + 1 A 6 D . 2 =16+20=36, CD2 =36,
∴
∴ C
B
F
F
=
=
1
6
0
,
-6=4 .
∴
∴
A 根 C 据 2 + 勾 A 股 D 定 2 = 理 C 的 D2 逆 , 定理
,△
ACD为直角三角形
,
在 Rt△ EFC中 , 由勾股定理得x2 =4 2 +(8- x )2, 解得 ∴ AC ⊥ AD ,
x ∴ = E 5 C , =8-5=3 . 3. ∴ 解 A : D △ A ∥ B B C C 是 . 等腰直角三角形 , 理由如下 :
2.解 : 设CD = x , 则易证得BD = AD =10- x. ∵△ ACE ≌△ BCD ,
AC BC EAC BAE BD.
在 Rt△ ACD中 ,(10- x )2 = x2 +5 2, 解得x = 1 4 5. ∴ ∵ AD2 = + DB ,∠ 2 = DE2 = , ∠ , =
故CD 15. ∴
AD2
+
AE2
=
DE2,
3. 1 A A 解 = ∴ 8 D D 9 A A : 2 2 = D D 设 + + 8 2 C C = 3 的 1 + 6 D D + B 长 4 , 2 = 1 D 解 , 为 8 x 2 x 即 得 8 , , , 1 即 则 A . 解 0 D 1 2 B 得 7 = = D 2 A x 8 = = D = 或 A 9 2 6 D + + A . 2 x D x 将 + 2 . = ① x 在 (9 - , = 在 R + 8 6 t ( x R △ 舍 代 t ) A 2 △ 去 入 C ② A ) D ① . B . ② D , 中 得 - , 中 A 1 ① C , 0 A 0 2 , B = 得 = 2 4. ( ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 1 A ) ∠ ∠ ∠ ∠ △ C 证 E E A A D = C A A B 明 A B B C C D C : C 如 + = + = 是 , 1 9 图 ∠ ∠ 8 等 0 0 ° D B , ° 腰 , 连 A = - C 直 接 9 9 0 0 = 角 ° B ° 9 , F = 三 0° 9 , 角 0 , ° 形 , .
4.解 :(1) 由折叠可得 ,∠ ACE =∠ DCE = 1 2 ∠ ACD , ∵
∴
A 正 C 方 = b 形 , ACDE的面积为b2,
BCF B'CF 1 BCB' CD DE AC bEF BC a
∠ =∠ = ∠ , ∵ = = = , = = ,
2 BD CD BC b aDF DE
ACB ∴ = - = - , = +
∵∠ =90°, EF a b
ACD BCB' = + ,
∴∠ +∠ =90°, CAE
∵∠ =90°,
∴∠ ECD +∠ FCD = 1 2 ×90°=45°, ∴∠ BAC +∠ BAE =90°,
即 ∠ ECF =45°; ∵∠ BAC =∠ EAE ,
(2) 由折叠可得 ,∠ DEC =∠ AEC =90°, BF = B'F =1, ∴∠ EAF +∠ BAE =90°,
∴∠ EFC =45°=∠ ECF , ∴△
BAF为等腰直角三角形
,
∴ CE = EF =4, ∴ 四边形ABDF的面积为 : 1c2 + 1 ( b - a )( a + b )=
BE 2 2
∴ =4+1=5,
R ∴ 设 ∵ t R R A △ t t E A △ △ B = B A C x C C E E , 中 则 中 中 , A A C , , B B A 2 C C = = 2 x = A = + B A 5 2 B E - , E 2 B 2 + C + C 2 C E , E 2 2 , = 41, ∵ ∴ 1 2 b c 正 2 2 = 方 + 1 2 形 1 2 c A ( 2 b C + 2 D - 1 2 E a2 ( 的 b ) 2 , 面 - a 积 2 与 ), 四边形ABDF的面积相等 ,
∴
即
A
x
E
2 +
2 +
4
C
2 =
E2
( x
=
+
A
5
B
)
2
2
-
-
B
4
C
1
2
,
,
∴
b2
=
1
2
c2
+
1
2
b2
-
1
2
a2,
解得x = 1 5 6 , ∴ 1 2 a2 + 1 2 b2 = 1 2 c2,
a2 b2 c2.
∴ S △ABC= 1AB × CE = 1 16 +5 ×4= 82. ∴ 解 + 这 = 个零件不符合要求.
2 2 5 5 (2) :
14.勾股定理逆定理的综合运用 理由如下 连接BD 如图
: , ,
1.解
:
如图
,
连接AC. 由勾股定理逆定理
,
知只有当BC2
+
∵∠
B
=90°,
DC2
=
AB2
+
AD2
=
BD2时
,∠
A和
由勾股定理得AC C都是直角
∴ = ∠ ,
AB2
+
BC2
=5
.
∵
BC2
+
DC2
=15
2
+20
2
=225+400
∵
AC2
+
AD2
=25+144
=625,
= ∴ 1 △ 69 AC = D CD 是 2 直 , 角三角形 , A 且 B 6 2 2 + 5 A ≠ D 59 2 3 = , 23 2 +8 2 =529+64=593,
44
A"# 3
∴
BC2
+
DC2
≠
AB2
+
AD2,
∴
AB
=
AD
,
所以 A和 C不可能都是直角. ADB ABD
∠ ∠ ∴∠ =∠ =20°,
因此 这个零件不符合要求. ADC ADB BDC .
, ∴∠ =∠ +∠ =50°
15.利用垂直平分线的性质作辅助线 16.利用角平分线的性质作辅助线
1.解 如图 连接BD. 1.证明 过点P作PE OA于E
: , : ⊥ ,
E为AB的中点 DE AB 垂足为 PF OB于F 如图
∵ , ⊥ , ⊥ , ,
点E PEC PFD
, ∴∠ =∠ =90°,
AD BD OM是 AOB的平分线
∴ = , ∵ ∠ ,
DBA A. PE PF
∴∠ =∠ ∴ = ,
A AOB CPD
∵∠ =66°, ∵∠ =90°,∠ =90°,
DBA . PCE PDO
∴∠ =66° ∴∠ +∠ =360°-90°
ABC
∵∠ =90°, -90°=180°,
DBC ABC DBA . PDO PDF
∴∠ =∠ -∠ =24° ∵∠ +∠ =180°,
AD BC PCE PDF
∵ = , ∴∠ =∠ ,
BD BC PCE PDF
∴ = , ∠ =∠ ,
C BDC 在 PCE和 PDF中 PEC PFD
∴∠ =∠ , △ △ ,∠ =∠ ,
PE PF
C 180°-24° . = ,
2. ∴ 证 ∠ 明 : 如 = 图 , 连 2 接BE = . 78° ∴ P △ C PCE PD ≌ . △ PDF (AAS),
∴ =
∵∠ A ∶∠ ABC ∶∠ C =1∶2∶3, 2. (1) 证明 :∵ AB = AC ,
∴∠ A = 1 ×180°=30°,∠ ABC = ∴∠ ABC =∠ ACB.
6 DAC ABC
C . ∵∠ =∠ ,
2×30°=60°,∠ =3×30°=90° DAC ACB.
DE是AB的垂直平分线 ∴∠ =∠
∵ , AD BC
BE AE ∴ ∥ ,
∴ = , ADB CBD.
A ABE ∴∠ =∠
∴∠ =∠ =30°, AB AD
EBC . ∵ = ,
∴∠ =60°-30°=30° ADB ABD.
在 BCE中BE CE. ∴∠ =∠
∴ Rt△ , =2 ABD CBD.
BE AE ∴∠ =∠
∵ = , BD平分 ABC.
AE CE. ∴ ∠
∴ =2 解 如图 过点O作OE
3.解 如图 连接ADAE (2) : ,
: , , , BC于E
BAC ⊥ ,
∵∠ =135°, DAC DAC
B C ∵ ∠ =45°,∠
∴∠ +∠ =45°, ABC
边ABAC的垂直平 =∠ ,
∵ , ABC ACB
分线分别交BC于点DE ∴∠ =∠ =45°,
,, BAC .
DA DB EA EC ∴∠ =90°
∴ = =12, = =9, BD平分 ABC
DAB B EAC C ∵ ∠ ,
∴∠ =∠ ,∠ =∠ , OE OA .
DAE BAC DAB EAC ∴ = =1
∴∠ =∠ -(∠ +∠ )=90°, 在 OEC中 ACB OE
由勾股定理得
,
DE
=
AD2
+
AE2
=15
.
O
R
C
t△
.
,∠ =45°, =1,
4. 证明 如图 连接AC ∴ =2
(1) : , , 3. 证明 如图 过点C作CF
M是CD的中点AM CD (1) : 1,
∵ , ⊥ , AD 垂足为F
AM 是线段CD 的垂直平 ⊥ , ,
∴ AC平分 MANCE AB
分线 ∵ ∠ , ⊥ ,
, CF AD
AC AD 又AM CD ⊥ ,
∴ = , ⊥ , CE CF
同理 ∴ = ,
∴∠3=∠4, ,∠1=∠2,
∵ ∠
CBE
+ ∠
ADC
=180°,
∴∠2+∠3= 1 ∠ BAD , 即 ∠ BAD =2∠ MAN ; ∠ CDF +∠ ADC =180°,
2 CBE CDF
解 AM CDAN BC MAN ∴∠ =∠ ,
(2) :∵ ⊥ , ⊥ ,∠ =70°, CBE CDF
BCD ∠ =∠ ,
∴∠ =360°-90°-90°-70°=110°, 在 BCE和 DCF中 CEB CFD
BAD MAN △ △ ,∠ =∠ =90°,
∠ =2∠ =140°, CE CF
BDC DBC BCD = ,
∴∠ =180°-∠ -∠ =30°, BCE DCF
AB ACAD AC ∴△ ≌△ (AAS),
∵ = , = ,
45
3A"#
BC DC 项 得x .不等式解集在数轴上表示如下
∴ = ; , ≤-1 :
解 结论AD AB BE
(2) : : - =2 , .
理由如下 如图 过点C作
: 1,
CF ⊥ AD , 垂足为F , 2.解 : 去分母得 :10 x +5≤9 x -6+15, 移项合并得 : x ≤4,
∵ AC平分 ∠ MAN , CE ⊥ AB , 则不等式的非负整数解为 0,1,2,3,4 .
CF ⊥ AD , 2( x -2)≥ x -1,①
∴ CE = CF , 3.解 :x x .
在 ACF和 ACE中 ≤ +1②
Rt△ Rt△ , 3
AC AC 解不等式 得x 解不等式 得x .
= , ∵ ①, ≥3, ②, ≥-15,
CF CE 不等式组的解集是x .
= , ∴ ≥3
ACF ACE 在数轴上表示为
∴Rt△ ≌Rt△ (HL), :
AE AF
∴ = ,
ABC ADC ABC CBE
∵∠ +∠ =180°,∠ +∠ =180°,
CDF CBE
∴∠ =∠ ,
在
△
BCE和
△
DCF中
,
4.解
:
解不等式
①
得
:
x
>-1,
∠ CBE =∠ CDF , 解不等式 ② 得 : x ≤2,
∠ CEB =∠ CFD =90°, ∴ 原不等式组的解集为 :-1< x ≤2,
CE = CF , 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示 :
BCE DCF
∴△ ≌△ (AAS),
DF BE
∴ = ,
AD AF DF AE DF AB BE DF AB
∴ = + = + = + + = + x x
BE 4(-1)≤3(+2)①,
2
AD
,
AB BE
5.解 :x
-1 x
∴ - =2 ; < -4②,
解 如图 在BD上截取 2
(3) : 2, 解不等式 得x 解不等式 得x
BH BG连接OH ① :≤10, ② :>7,
= , , 原不等式组的解集为 x
在 OBH和 OBG中 ∴ :7< ≤10,
∵ △ △ , 它的整数解为 .
BH BG ∴ 8,9,10
= , 18.一元一次不等式与一次函数
OBH OBG
∠ =∠ , 1.解 直线ly x与直线l y kx b交于点
OB OB :(1)∵ 1:=3 2:= +
= , Aa
OBH OBG (,3),
∴△ ≌△ (SAS), a 解得a
OHB OGB ∴3=3, =1,
∴∠ =∠ , 点A
AO是 MAN的平分线BO是 ABD的平分线 ∴ (1,3),
∵ ∠ , ∠ , 直线ly kx b过点A 点B
点O到ADABBD的距离相等 ∵ 2:= + (1,3), (2,4),
∴ , , , k b k
ODH ODF + =3,解得 =1,
∴∠ =∠ , ∴ k b b
∵∠
OHB
= ∠
ODH
+ ∠
DOH
,∠
OGB
= ∠
ODF
直
2
线
+
l的
=4
表
,
达式 为y
=2
x
,
+∠ DAB , ∴ 不等式 2 kx b x的 = 解集 +2 为 ; x .
∴∠ DOH =∠ DAB =60°, 2. ( 解 2) 由图可 + 知 < A 3 和C在一次函 > 数 1 y kx b的图
∴∠ GOH =120°, 象 : 上 (1) , 1= +
BOG BOH ,
∴∠ =∠ =60°,
A C
∴∠ DOF =∠ BOG =60°, ∵ (0,4),(-2,0),
∴∠ DOH =∠ DOF , b =4,
在
△
ODH和
△
ODF中
,
∴
-2
k
+
b
=0,
∠ DOH =∠ DOF , k =2,
OD = OD , ∴ b =4,
∠ ODH =∠ ODF , ∴ 直线AC的解析式为 : y =2 x +4 .
∴△ ODH ≌△ ODF (ASA), (2)∵ kx + b >-4 x + a的解集是x >1, 点B为y 1= kx
∴ DH = DF , + b和y 2=-4 x + a的图象的交点 ,
DB DH BH DF BG . B的横坐标为 .
∴ = + = + =2+1=3 ∴ 1
17.解不等式和不等式组 在y x 中 当x 时y .
1=2 +4 , =1 ,1=6
1.解 去分母 得 x x 去括号 得 x B .
: , 3(+1)≤2(-2)+6, , 3 + ∴ (1,6)
x 移项 得 x x 合并同类 将B 代入y x a得 a
3≤2 -4+6, , 3 -2 ≤6-4-3, (1,6) 2=-4 + , 6=-4+ ,
46
A"# 3
解得a .
=10
3.【知识迁移】 解x
:≤2;
【问题解决】 设y x x 根据题意
(1) =| -1|+| -3|,
可得
:
xx
4-2 (<1),
y x x x
=| -1|+| -3|= 2(1≤ <3),
x x
2 -4(≥3),
作图如下
:
如图 由函数图象得y x的图象与y x (2) , ,=4-2 = +2
y x 的图象有交点 则有 =4-2 ,
, y x = +2,
x = 2 ,
解得 3
y 8 = , 3
47
商品
,
根据题意得
m m
15 +35(160- )<4300,
m m
(20-15) +(45-35)(160- )>1260,
解得 m
:65< <68,
又 m为正整数
∵ ,
m可以为
∴ 66,67,
共有 种进货方案
∴ 2 ,
方案 购进 件甲种商品 件乙种商品 销售完这
1: 66 ,94 ,
批商品后可获利
(20-15)×66+(45-35)×94=1270
元
( );
方案 购进 件甲种商品 件乙种商品 销售完这
2: 67 ,93 ,
批商品后可获利
(20-15)×67+(45-35)×93=1265
元 .
( )
∵1270>1265,
当购进 件甲种商品 件乙种商品时 获利最大.
∴ 66 ,94 ,
2.解 设公司购买x辆轿车 则购买 x 辆面包
:(1) , (10- )
x
车 依题意 得 ≥3, 解得 x
, , : x x 3≤ ≤5,
12 +8(10- )≤100,
又 x为正整数 ∵ ,
x可以取
∴ 3,4,5,
该公司共有 种购买方案 方案 购买 辆轿车 ∴ 3 , 1: 3 ,7
辆面包车 方案 购买 辆轿车 辆面包车 方案
; 2: 4 ,6 ; 3: 购买 辆轿车 辆面包车
5 ,5 ;
依题意 得 x x 解得x
(2) , 250 +150(10- )≥2000, ≥5, 又 x y x 的图象与y x 的图象有交点 则 ∵3≤ ≤5,
=2 -4 = +2 , ∴ x =5,
有 y =2 x -4, ∴ 公司应该选择购买方案 3: 购买 5 辆轿车 ,5 辆面
y = x +2, 包车.
解得 x =6, 3.解 :(1) 设 A 型烟花每箱x元 , 则 B 型烟花每箱 ( x +
∴ y = | y x = - 8 1 , |+| x -3| 的图象与y = x +2 的图象的两 1 依 00 题 ) 元 意 , 得 20 x +10( x +100)=5500,
个交点坐标分别为 2 , 8 ,(6,8), 解得x =150,
3 3 则x .
+100=250
由函数图象可知 当x 2时y x x 的 答 型烟花每箱 元 型烟花每箱 元
, < ,=| -1|+| -3| :A 150 ,B 250 ;
图 x 象在y 的 = 图 x 象 + 在 2 y 的图 x 象上
3
方 的 , 图 当 象 x 上 >6 方 时 , y =| x -1|+ m (2 ) ) 箱
设
,
采购
A
型烟花m箱
,
则采购
B
型烟花
(50-
| -3| = +2 , m m
故不等式 | x -1|+| x -3|> x +2 的解集为x < 2 3 或x 依题意得 1 1 5 5 0 0 m + + 2 2 5 5 0 0 ( ( 5 5 0 0 - - m ) ) ≤ ≥ 8 8 8 5 0 0 0 0 , ,
>6 . 解得 37≤ m ≤40,
m 或 或 或 .
故答案为x 2或x . ∴ =37 38 39 40
:< >6 答 该乡镇共有四种购买方案
3 : ;
19.不等式(组)的应用 解 设分别购买 型烟花ab箱
(3) : A,B , ,
1.解 设购进x件甲种商品y件乙种商品 a b
:(1) , , ∴150+250=9000,
x y 整理得 a b
根据题意得 + =160, ,3+5=180,
: x y 燃放时长为 a b a b
(20-15)+(45-35)=1100, ∴ (12 +20)×5=(3 +5)×4×5=
x 秒.
解得 =100, 3600
:y . 答 可以燃放 秒.
=60 : 3600
答 购进 件甲种商品 件乙种商品 20.平移中的计算
: 100 ,60 ;
设购进m件甲种商品 则购进 m 件乙种 1.解 如图 A'B'C'即为所求
(2) , (160- ) :(1) ,△ ;
3A"#
如图 建立平面直角坐标系 A' B'
(2) , , (2,3), (6,1),
C'
(7,4);
ABC的面积为 1 1
(3)△ 3×5- ×2×4- ×1×5-
2 2 EOC的面积 梯形EODB'的面积 CDB'的
∵△ + =△
1 . 面积
×1×3=7 ,
2
2.解
:(1)
二.
∴ 1EO · CO + 1 ( EO + DB' )· DO = 1CD · DB' ,
点Ma a向左平移 个单位长度 再向上平 2 2 2
(2)∵ (,-2) 2 ,
移 1 个单位长度后得到点N ( a -2,-2 a +1), 点N正 ∴ 1EO ×2+ 1 ( EO +2)×1= 1 ×3×2,
2 2 2
好在x轴上
, ∴2 EO + EO +2=6,
∴-2 a +1=0, ∴3 EO =4,
∴ a = 1 , ∴ EO = 4 ,
2 3
∴ N - 3
2
,0 . 即CB'与x轴的交点坐标为 4
3
,0 .
4.解 点C的坐标为 点D的坐标为
设P m 由题意 1 3 m 解得m :(1) (0,2), (6,2);
(3) (0, ), , 2 × 2 ×| |=3, = (2)∵ A (-2,0), B (4,0),
±4, ∴ AB =6,
∴ P (0,4) 或 (0,-4) . ∵ C (0,2),
3.解 :(1) S △ABC=2×3- 1
2
×1×3- 1
2
×2×2- 1
2
×1 ∴
∴ S
OC
四边
=
形
2
ABC
,
D= AB · OC =6×2=12;
存在
×1=6- 3 -2- 1 =2; (3) ,
2 2 点M在x轴上
如图 A'B'C'即为所求作的图形 ∵ ,
(2) 1,△ , DMC中DC边上的高为 由平移可知CD AB
∴△ 2, : =
=6,
∴ S △DMC= 1 × CD ×2=6,
2
∵ S △DMC=2 S △DMB,
∴ S △DMB=3,
1 BM
∴ × ×2=3,
2
BM
∴ =3,
当点M在点B的左侧时 M
① , (1,0),
当点M在点B的右侧时 M
② , (7,0),
M的坐标为 或 .
点B'的坐标为 ∴ (1,0) (7,0)
(2,-1); 21.平移与全等
(3) 点Q ( n , n +3) 经过同样平移后得到的对应点坐标 1.解AC BD.证明 DCE由 ABC平移而成
为n n 即n n : ⊥ :∵△ △ ,
当n (
+
+
3
3
=
,
0
+ 时 3-
,
2), (+3,+1), ∴
∴
△
△
D
D
C
C
E
E
≌
是
△
等
A
边
BC
三
,
角形 ,
n =-3; ∴ BC = CD ,∠ ACB =∠ DCE =60°,
当n
+1=0
时
, ∴∠ ACD =180°-120°=60°,
n . ACD ACB.
=-1 ∴∠ =∠
综上所述n的值为 或 BC CD
, -3 -1; ∵ = ,
如图 记CB'交x轴于点E 取格点D AC BD.
(4) 2, , (0,-1), ∴ ⊥
48
A"# 3
2.证明 ABC沿BC平移到 A'B'C' 2.解 由旋转的性质知AP' AP P'AB
:∵△ △ , :(1) = =6,∠ =
AC A'C'AC A'C' PAC
∴ ∥ , = , ∠ ,
ACD C'A'D. P'AP BAC
∴∠ =∠ ∴∠ =∠ =60°,
又 ADC C'DA' P'AP是等边三角形
∵∠ =∠ , ∴△ ,
ACD C'A'D PP'
∴△ ≌△ , ∴ =6;
A'D CD. P'B PC PB
∴ = (2)∵ = =10, =8,
3.
(1)
证明
:∵△
ABC是等边三角形
, ∴
P'B2
=
P'P2
+
PB2,
BAC ABC P'PB为直角三角形 且 P'PB
∴∠ =∠ =60°, ∴△ , ∠ =90°,
EM AB APB P'PB P'PA .
∵ ⊥ , ∴∠ =∠ +∠ =90°+60°=150°
AEM BEO 3.解
∴∠ =∠ =90°, :(1)150°;
AME EOB 如图 把 ABE绕点A
∴∠ =90°-60°=30°,∠ =90°-60°=30°, (2) 2, △
AME EOB 逆 时 针 旋 转 得 到
∴∠ =∠ , 90°
EOB COM ACE'
∵∠ =∠ , △ ,
AME COM 由旋转的性质得 AE' AE
∴∠ =∠ , , = ,
OC MC CE' BE CAE'
∴ = ; = , ∠ =
解 设平移t秒时 AGF CDM 则OD t BAE ACE' B
(2)① : ,△ ≌△ , = , ∠ ,∠ = ∠ ,
ABC是等边三角形AC BC EAE'
∵△ , = =12, ∠ =90°,
AD BC EAF
∵ ⊥ , ∵∠ =45°,
CD E'AF CAE' CAF BAE CAF
∴ =6, ∴∠ =∠ +∠ =∠ +∠ =
AG CD BAC EAF
∴ = =6, ∠ -∠ =90°-45°=45°,
在 OGC中 GCO EAF E'AF
Rt△ ,∵∠ =60°, ∴∠ =∠ ,
OGC 在 EAF和 E'AF中
∴∠ =30°, △ △ ,
CG OC AE AE'
∴ =2 , = ,
t EAF E'AF
∴6+12=2(6+ ), ∠ =∠ ,
t AF AF
∴ =3; = ,
答 当 AGF与 CDM全等时 平移了 秒 EAF E'AF
: △ △ , 3 ; ∴△ ≌△ (SAS),
解 如图 过Q作QH x E'F EF
② : , ⊥ ∴ = ,
轴于H 则 CHQ CAB AB AC
, ∠ =90°, ∵∠ =90°, = ,
QCH ACB B ACB
∵∠ = ∠ =60°, ∴∠ =∠ =45°,
ABC E'CF
∠ =60°, ∴∠ =45°+45°=90°,
∴∠
ABC
=∠
QCH
,
由勾股定理得
,
E'F2
=
CE'2
+
FC2,
∵
BF
=
CQ
,∠
BOF
=∠
CHQ 即EF2
=
BE2
+
FC2.
如图 将 AOB绕点B顺时针
=90°, (3) 3, △
BOF CHQ 旋转 至 A'O'B处 连接OO'
∴△ ≌△ , 60° △ , ,
FO HQOB CH 在 ABC中 C AC
∴ = , = , ∵ Rt△ ,∠ =90°, =
FNO QNH FON NHQ ABC
∵∠ =∠ ,∠ =∠ =90°, 1,∠ =30°,
FON QHN AB
∴△ ≌△ , ∴ =2,
∴ ON = NH , ∴ BC = AB2 - AC2 =3,
∴
ON
+
NH
=
ON
+
NC
+
CH
=
ON
+
NC
+
OB
=
BC
∵△
AOB绕点B 顺时针方向旋
=12, 转 60°,
∴ ON = 1BC =6 . ∴△
A'O'B如图所示
;
2 A'BC ABC
22.旋转中的计算 ∠ =∠ +60°=30°+60°=90°,
C AC ABC
1.解 由旋转可得 ABC ADE ∵∠ =90°, =1,∠ =30°,
: ,△ ≌△ , AB AC
ABC ADE AD AB. ∴ =2 =2,
∴∠ =∠ =30°, = AOB绕点B顺时针方向旋转 得到 A'O'B
BDE ∵△ 60°, △ ,
∵∠ =10°, A'B AB BO BO'A'O' AO
ADB ABD ∴ = =2, = , = ,
∴∠ =40°=∠ , BOO'是等边三角形
BAD . ∴△ ,
∴∠ =100° BO OO' BOO' BO'O
又 ABC ADE ∴ = ,∠ =∠ =60°,
∵△ ≌△ , AOC COB BOA
BAC DAE ∵∠ =∠ =∠ =120°,
∴∠ =∠ , COB BOO' BO'A' BOO'
EAC DAB . ∴∠ +∠ =∠ +∠ =120°+60°
∴∠ =∠ =100°
49
3A"#
ABE ACD
=180°, (2)∵△ ≌△ ,
COA'O'四点共线 ACD ABE 又 ACB
∴ 、、 、 , ∴∠ =∠ =45°, ∵∠ =45°,
在 Rt△ A'BC中 , A'C = BC2 + A'B2 = (3) 2 +2 2 ∴ D ∠ C BCD BE = . ∠ ACB +∠ ACD =90°,
∴ ⊥
=7, 4. 解BD AB CB.证明
OA OB OC A'O' OO' OC A'C . (1) : + =2 :
∴ + + = + + = =7 ACE ACB BCD ACB
23.旋转与全等 ∵∠ =90°-∠ ,∠ =90°-∠ ,
ACE BCD
1.解 点A ∴∠ =∠ ,
:(1) ,150°; DB MN
ABC逆时针旋转一定角度后与 ADE重合 ∵ ⊥ ,
(2)∵△ △ , CBD CBA .
ABC ADE ∴∠ +∠ =90°
∴△ ≌△ , CEA CBA
BAC DAE AB AD ∵∠ +∠ =90°,
∴∠ =∠ =150°, = =4, CBD CEA.
BAE BAC DAE ∴∠ =∠
∴∠ =360°-∠ -∠ =60°, AC DC
C是AD的中点 ∵ = ,
∵ , ACE DCB
AC CD ∴△ ≌△ ,
∴ = =2, AE DBCE CB
ABC ADE ∴ = , = ,
∵△ ≌△ , ECB
AE AC 即 BAE AE . ∵∠ =90°,
∴ = =2, ∠ =60°, =2 ECB是等腰直角三角形
2. 证明 如图 QE与CP的交点记为M ∴△ ,
(1) : 1, ,
BE CB
将线段CP绕点C顺时针旋转 得到线段CQ ∴ =2 ,
∵ 60° , BE AE AB DB AB
PC CQ PCQ ∴ = + = + ,
∴ = ,∠ =60°,
∵△
ABC是等边三角形
, ∴
BD
+
AB
=2
CB
;
ACB BC AC BD AB CB.证明 如
∴∠ =60°, = , (2) - = 2 :
BCQ ACP 图 过点C作CE CB交MN
∴∠ =∠ , , ⊥
在 CQB和 CPA中 于点E
△ △ , ,
QC PC ACE ACB
= , ∵ ∠ =90°+ ∠ ,
BCQ ACP BCD ACB
∠ =∠ , ∠ =90°+∠ ,
BC AC ACE BCD
= , ∴∠ =∠ ,
CQB CPA DB MN
∴△ ≌△ (SAS), ∵ ⊥ ,
CBQ CAP CAE AFB D CFD
∴∠ =∠ , ∴∠ =90°-∠ ,∠ =90°-∠ ,
CAP AFB CFD
∵∠ =90°, ∵∠ =∠ ,
CBQ CAE D
∴∠ =90°, ∴∠ =∠ ,
BC QE AC DC
∴ ⊥ ; ∵ = ,
解 如图 作CH AD于H ACE DCB
(2) : 2, ⊥ , ∴△ ≌△ ,
同理可证 ACP BCQ AE DBCE CB
:△ ≌△ , ∴ = , = ,
∴ AP = BQ , ∵∠ ECB =90°,
∵∠
DAC
=120°,∠
ACP
=15°, ∴△
ECB是等腰直角三角形
,
APC PCB
∴∠ =45°,∠ =45°, ∴ BE =2 CB ,
HAC
∴∠ =60°, ∴ BE = AE - AB = DB - AB ,
ACH
∴∠ =30°, BD AB CB.
∴ - =2
∴
AH
=
1AC
=3,
CH
=33,
24.旋转与勾股定理
在
Rt△
P
2
HC中
,
PH
=
CH
=33,
1.解
:∵
旋转角为
15°,
OCB
PA PH AH ∴∠ =60°-15°=45°,
∴ = - =33-3, COB
BQ . ∴∠ =180°-45°-45°=90°,
∴ =33-3 CD AB
3.证明 ABE ACD. ∴ 1⊥ ,
:(1)△ ≌△
BAC EAD AO CO 1AB 1
∵∠ =∠ =90°, ∴ = = = ×6=3,
BAC CAE EAD CAE 2 2
∴∠ +∠ =∠ +∠ , OD DC CO
BAE CAD ∴ 1= 1 - =7-3=4,
∴∠ =∠ ,
AB = AC ,
在
Rt△
AD
1
O中
,
由勾股定理得
,
AD
1=
AO2
+
OD2
1
在 ABE和 ACD中 BAE CAD 2 2 .
△ △ ,∠ =∠ , = 3+4 =5
AE AD 2.解 将 ACD绕点A按顺时针方向旋转得到
= , :(1)∵ △
ABE ACDSAS ABE
∴△ ≌△ ( ); △ ,
50
A"# 3
AB AC ADC E CAD BAE 设HM x
∴ = ,∠ =∠ ,∠ =∠ , = ,
CAB DAE AM HM x
∴∠ =∠ =60°, ∴ =2 =2 ,
∵∠ BFD =97°=∠ AFE , ∴ AH =3 x ,
E
∴∠ =180°-97°-60°=23°, ∴ BH =3 x ,
ADC E
∴∠ 如图 连 = 接 ∠ DE =23°; ∵∠ ACB =30°,
(2) , , AC AH x
AD AE DAE ∴ =2 =23 ,
∵ = ,∠ =60°, CH x
AED是等边三角形 ∴ =3 ,
∴△ , BM BH HM x xBC x x
ADE AD DE ∴ = - =3 - , =3 +3 ,
∴∠ =60°, = , BM x x
将 ACD绕点A按顺时 3 - 23-3.
∵ △ ∴BC=x x=
针方向旋转得到 ABE 3 +3 3
△ , 25.平移与旋转的作图
ACD ABE
∴△ ≌△ , 1.解 如图所示 ABC 即为平移后的图形
CD BE : ,(1)△ 1 1 1 ;
∴ = =5, ABC 即为旋转后的图形.
BDC ADC ADE (2)△ 2 2
∵∠ =7°,∠ =23°,∠ =60°,
BDE
∴∠ =90°,
∴
DE
=
BE2
-
BD2
= 25-9=4,
AD DE .
∴ = =4
3. 证明 如图 连接CN
(1) : 1, ,
B BAC
∵∠ =45°,∠ =90°,
B ACB
∴∠ =∠ =45°,
AC AB 2.解 .
∴ = , :(1)(-1,2)
将线段AM绕点A按顺时 如图 ABC即为所求.
∵ (2) ,△ 2 2
针方向旋转 90° 得到AN , 由勾股定理得 , AB = 3 2 +1 2 = 10,
MAN AM AN
∴ ∵ ∠ ∠ BAC = = α 9 = 0° 90 , °, = , ∴ 线段BA扫过的面积为90π× 3 ( 60 10) 2 = 5 2 π .
CAN BAM
∴∠ =∠ , 故答案为 5 .
CAN BAM : π
∴△ ≌△ (SAS), 2
CN BM ACN B
∴ = ,∠ =∠ =45°,
NCM ACN ACB
∴∠ =∠ +∠ =90°,
∴
MN2
=
CM2
+
CN2,
∴
MN2
=
CM2
+
BM2;
解 将线段AM绕点A按顺时针方向旋转 得
(2) :∵ 120°
到AN
,
AN AM MAN
∴ = ,∠ =120°,
ANM AMN
∴∠ =∠ =30°,
ACB
∵∠ =30°,
ACB ANM AMN .
∴∠ =∠ =∠ =30°
CAN CMN
∵∠ =∠ ,
ACM ACN AMN CMN
∴∠ +∠ =∠ +∠ , 3.解
MCN CMA :(1) 10;
∴∠ =∠ , 如图 ABC 为所作
AM ANAN CN (2) ,△ 1 1 1 ;
∵ = , = , 如图 ABC 为所作 点A 的坐标为 点
AM CN (3) ,△ 2 2 2 , 2 (0,0),
∴ = , C 的坐标为 .
CM MC 2 (3,2)
∵ = ,
ACM NMC
∴△ ≌△ (SAS),
ACM CMN
∴∠ =∠ =30°,
AMH
∴∠ =60°,
如图 过点A作AH BC
2, ⊥
于点H
,
则 BAH HAM
∠ =45°,∠
.
=30°
51
3A"#
4.解
:(1)△
A
1
B
1
C如图所示.
(3)
x3y
-10
x2y
+25
xy
=
xy
(
x2
-10
x
+25)
=
xy
(
x -5)2.
5.解 原 式 1 1 1
: = 1+ × 1- × 1+ ×
2 2 3
1 1 1 1
1- × 1+ × 1- × 1+ ×
3 4 4 5
1 1 1 1
1- × 1+ × 1- × 1+ ×
5 6 6 7
1 1 1 3 1 4
1- × 1+ × 1- = × × ×
7 8 8 2 2 3
2 5 3 6 4 7 5 8 6 9
× × × × × × × × × ×
3 4 4 5 5 6 6 7 7 8
7 1 9 9.
ABC如图所示. = × =
(2)△ 2 2 2 8 2 8 16
6.解 x y
:(1)(-9)(2+ );
(2)
原式
=(
ac
-
bc
)+(
a2
-
b2)
ca b a b a b
= (- )+(+ )(- )
a b a bc
=(- )(+ + );
这个三角形是等边三角形 理由如下
(3) , :
a2
-2
ab
+2
b2
-2
bc
+
c2
=0,
(
a2
-2
ab
+
b2)+( b2
-2
bc
+
c2)=0,
( a - b )2 +( b - c )2 =0,
∵( a - b )2 ≥0,( b - c )2 ≥0,
a b bc
∴ - =0,- =0,
a bbc
∴ = ,= ,
a bc
∴ = = ,
这个三角形是等边三角形.
如图 旋转中心P为 3 ∴
(3) , ,-1 , 27.分式的化简求值
2
故答案为 : 3
2
,-1 . 1.解 : 原 式 =
(
a
+
b b
)(
a
-
b
)
÷ a a
-
b-a a -
-
b b =
26.因式分解综合
b a a b b a b
- + -
1. x x a b a b ÷ a b = a b a b · b =
(1)(6+5 )(6-5 ); (+ )(- ) - (+ )(- )
x x x
(
(
( (
2
3
4 5
)
)
) )
3
(
( -
x
3 ( -
(
-
x
1
2
y
t
+
-
)
)
2
2
2
2 y
(
;
x
)
)
2
(
+
1
;
y
(
-
6
)
2
)
;
xy
);
( x - y )2;(7)(1+ a2)(1+ a )(1 2.解
a
a
1
+
:
b
原
.
式 = a
a2
- a 1- + 4 1
a
+1 · ( a
a
- + 4 1 )2 =
a
a (
a
+ - 1 4) ·
2. - 解 a : ) (1 ;( ) 8 53 ) 5 ( a 2 - × 2 4 ) - 2( a 46 + 5 2 2 × )2 4 ;( = 9) 4 ( x × - ( 1 53 ) 5 4 2 . -465 2)=4× 3.解 ( a - + 原 4 1 )2 式 =a -4 . 5 1 ( m -3)2 4
(535+465)×(535-465)=4×1000×70=280000; : = m -3 -m -3 × 4 m =m -3 ×
(2)102 2 +102×196+98 2 =102 2 +2×102×98+98 2 = ( m -3)2 m -3 当m 时 原式 3+3-3
(102+98)2
=200
2
=40000
.
4
m = m , =3+ 3 , =
3+3
=
3.解
:
1a3b
+
a2b2
+
1ab3
=
1ab
(
a2
+2
ab
+
b2)
33-3 3-1.
2 2 2 =
6 2
= a 1 2 a b b ( a + a b b )2, 4.解 : 原式 = x - x 2- - x 2 -1 ·x ( x ( x - - 2 2 )2 ) =x - - 3 2 ·x ( x ( x - - 2 2 )2 )
∵ + =2, =2,
3 当x 时 原式 3 6.
原式 1 . =-x, =6 , =- =-
∴ = ×2×4=4 6 2
4.解 :(1)2 x ( 2 a - b )+5( b - a ) 5.解 : 原式 = ( m + m 2)( m -2) -m 5 ÷ -( m m -3)
xa b a b -2 -2 3( -2)
( = = 2 2 ) ( a 原 - ( 式 b - ) = (2 x ) x - ( x - 5 2 5 ( - ) 9 - ; ) ) = m m 2 - ( - m 2 9 + ÷ 3) - 3 ( ( m ( m m - - - 3 2 3 ) ) ) 3( m -2)
xx x =- m · m
= (+3)(-3); -2 -3
52
A"# 3
m 2.解 设 创新号 赛车的平均速度为x 则 梦想
=-3( +3) :(1) “ ” m/s, “
m 号 赛车的平均速度为 x . 根据题意列方
=-3 -9, ” ( +01)m/s.
当m 时 原式没有意义
=2,3 , ; 程 得 50 50-2 解得x ..经检验 x .
当m 时 原式 . ,x .= x , =24 ,=24
=1 , =-3-9=-12 +01
6.解 x2 +3 x x3 + x2 x2 +3 x - x +1
是原分式方程的解
,
且符合题意.
: x
-1
-1 ÷x2
-2
x
+1
= x
-1
· 答
:“
创新号
”
的平均速度为
2
.
4m/s
.
x ( 2 x ( x - + 1 1 )2 ) = ( x x + - 1 1 )2 ·x ( 2 x ( x - + 1 1 )2 ) = ( x +1 x ) 2 ( x -1) (2) 不能.理由如下 :“ 梦想号 ” 到达终点的时间是 2 52 . 5 =
=
x2
x
-
2
1
, 20
.
8s,“
创新号
”
到达终点的时间是50
.≈20
.
83s,
所
24
x 以 两车不能同时到达终点 梦想号 先到.
不等式组 >-1① 由 得x , ,“ ”
∵ x x , ② :≤2, 3.解 设李明步行的速度为x 则骑自行车的
3(+1)≤ +7② :(1) m/min,
x
∴-1< ≤2, 速度为 x .依题意 得2100 2100 解得
整数解为 3 m/min , x - x =20, :
∴ :0,1,2, 3
x x 经检验x 是原方程的解 且符合题意.
x为不等式组 >-1, 的整数解x x =70, ,=70 ,
∵ x x ,≠1,≠ 答 李明步行的速度是
3(+1)≤ +7 : 70m/min;
x
- ∴ x 1, =2 ≠ , 0, (2) 2 7 1 0 00 + 7 2 0 1 × 00 3 +2=42(min),
∴ 当x =2 时 , 原式 = 2 2 - 2 1 = 3. ∵4 李 2< 明 4 能 8, 在联欢会开始前赶到学校.
2 4 ∴
28.解分式方程 4.解 设大巴的平均速度是x 则小车的平均速
:(1) km/h,
1.x .2.x 1.3.x 1.4.x 11. 度是 .x 根据题意得 60 60 1 1
=3 =- = = 15 km/h, :x= .x+ + ,
2 6 6 15 4 4
解得x 经检验x 是原方程的解 且符合题
5.x 1.6.x . :=40, :=40 ,
7.解 =
是
: 去 3
增
分
根
母
分
得
式
:1 =
方
- - x
程
1 + 5
无
3
解
=
.
x -4, 解得x =4, 经检验 , x = 意 答 , : 1 大 . 5 巴 x = 的 1 平 . 5 均 ×4 速 0 度 =6 是 0 . 40km/h, 小车的平均速度是
4 , 60km/h;
8.解 : 去分母得 : x2 -4- x2 -2 x =5 x , 解得 : x =- 4 , 经 (2) 设张老师追上大巴的地点到基地的路程有y km, 根
7 据题意得 1 60- y 60- y解得y .
检验x 4是分式方程的解. : + = , :=30
,=- 4 60 40
7 答 张老师追上大巴的地点到基地的路程有 .
9.解 方程两边都乘 x 得 : 30km
: (1+20%), 132-100×(1+ 30.分式方程的应用———工程问题
x去括号 得 .x
20%)=2×(1+20%), , 132-120=24 , 1.解 设甲施工队每天修建x米 则乙施工队每天修
移项 合并同类项 得 .x 系数化为 得x :(1) ,
、 , 24 =12, 1, =5,
检验 当x 时 建 1 x米
: =5 ,(1+20%)×5=6≠0, 1+ ,
x 是该分式方程的解. 3
∴ =5 由题意得 1080 1080
10. 3 解 去 - ∴ x 时 6 : 括 x 2 , , x 2 合 - 号 - 6 x - 并 得 3 3 - x 同 :6 = 6 - - 类 0 = x 2 , 0 项 x 2 - , 得 3 解 = x = : 得 - 2 1 x - x , = 2 3 去 x + 3 分 x , 或 移 母 = x 项 - 得 = 6 得 :6 - , : - 2 - , 2 2 x 经 x = 检 - x x 验 ( 2 x , + 当 - 3 x x 3) = = , 解 经 ∴ 得 检 1 : 验 x + , = x 1 3 9 : = 0 9 x , x 0 = 是 - 4 3 原 × 方 1 9 + 0 程 = 1 3 的 1 2 解 0 x , . = 且 3 符 , 合题意 ,
x 不是原方程的解 答 甲施工队每天修建 米 乙施工队每天修建
∴ =3 , : 90 ,
当x 时xx 米
=-2 ,(-3)≠0, 120 ;
x 是原方程的解 设先由甲施工队单独修建m天
∴ =-2 , (2) ,
原方程的解为x . 由题意得 m
∴ =-2 :90( +3)+120×3=1080,
29.分式方程的应用———行程问题 解得 m
:=5,
1.解 : 设这款电动汽车平均每公里的充电费用为x元 , 则 ∴13000×( m +3)+15000×3=13000×(5+3)+
燃油车平均每公里的加油费为 ( x +0 . 6) 元 , 15000×3=149000( 元 ) .
根据题意 , 得 : 3 x 00 =x 300 .×4,
答
:
共需修建费用
149000
元.
解得 : x =0 . 2, +06 2.解 :(1) 设原计划每天修x m, 根据题意 , 得2 x 000 -
经检验x .是原方程的解 且符合题意.
答 这款 , 电 = 动 0 汽 2 车平均每公里的 , 充电费用为 .元. x 2000 =5, 解得x =80 .经检验 , x =80 是原分式
: 02 (1+25%)
53
3A"#
方程的解 且符合题意 则 天 . .m
, , 2000÷80=25( ) -01 +120,
答 修这段路计划用 天. .
: 25 ∵-01<0,
设甲工程队要修路a天 则乙工程队要修路 w随m的增大而减小
(2) , (20- ∴ ,
a天 根据题意 得 a a 解得a 当m 时 w有最小值
) , , 120+80(20- )≥2000, ≥ ∴ =26 , ,
.所以a最小等于 . 此时 m .
10 10 ,80- =80-26=54
答 甲工程队至少要修路 天. 答 学校购买 型健身器材 套 型健身器材 套
: 10 : A 26 ,B 54
3.解 设乙工程队每天能完成x 的清淤任务 则甲 才能使总费用最少.
:(1) m ,
4.解 设动漫公司第一批购进x套玩具 则第二批购
工程队每天能完成 x 的清淤任务 依题意 得200 :(1) ,
2 m , , x-
进 x套玩具 根据题意 得68000 32000 解得
300 解得x 经检验x 是原方程的解 且 2 , , 2 x - x =10,
2 符 x 合 = 题 5 意 , , =10, ,=10 , x 意 = ,2 2 x 00 = . 2 经 × 检 20 验 0= , x 4 = 00 20 . 0 是原分式方程的根 , 且符合题
x . 答 动漫公司第一批购进 套玩具 第二批购进
∴ 答 2 : 甲 = 工 20 程队每天能完成 20 米的清淤任务 , 乙工程队 套 : 玩具. 200 , 400
( 每 2) 天 设 能 应 完 安 成 排 10 乙 米 工 的 程 清 队 淤 清 任 淤 务 m . 天 , 则安排甲工程队清淤 3 (2 2 ) 0 设 00 每 -6 套 8 玩 00 具 0≥ 的 20 售 0 价 00 为 , 解 y 这 元 个 , 根 不等 据 式 题 得 意 y , 得 ≥2 6 0 0 0 0 . y -
720 2 - 0 10 m 天 , 依题意 , 得 0 . 8 m +2× 720 2 - 0 10 m ≤60, 解 32 答 .平 : 每 行 套 四 玩 边 具 形 的 的 售 性 价 质 至 和 少 判 是 定 2 综 00 合 元.
得 m .
:≥60 1.证明 DF AC
答 至少应安排乙工程队清淤 天. :(1)∵ ∥ ,
: 60 DFC FCE .
31.分式方程的应用———销售问题 ∴∠ +∠ =180°
DFC AEB DEC
1.解 设 型芯片的单价为x元 则 型芯片的单价为 ∵∠ =∠ =∠ ,
: B , A DEC FCE
∴∠ +∠ =180°,
x 元 根据题意 得3120 4200 解得x .经 CF DE
(-9) , , x = x , :=35 ∴ ∥ ,
-9 四边形DECF是平行四边形
检验x 是原分式方程的解 且符合题意 ∴ ,
,=35 , ,
DF EC.
x . ∴ =
∴ -9=26 四边形ABCD是平行四边形
答 型芯片的单价为 元 型芯片的单价为 元. ∵ ,
:A 26 ,B 35 AE CE
2.解 设每台 型机器每小时加工x个零件 则每台 ∴ = ,
: B , A DF AE.
型机器每小时加工 ( x +2) 个零件 , 由题意得 x 8 + 0 2 = ( ∴ 2)∵ D = F = AE , DF ∥ AE ,
四边形AEFD是平行四边形
60 解得x 经检验x 是原方程的解 且符合题 ∴ ,
x, =6, :=6 , AD EFAD EF.
∴ = , ∥
意 此时 每台 型机器每小时加工x 个 . AD BCAD BC
, , A +2=8( ) ∵ = , ∥ ,
答 每台 型机器每小时加工 个零件 每台 型机器 EF BCEF BC
: B 6 , A ∴ ∥ , = ,
每小时加工 个零件. 四边形BCFE是平行四边形.
8 ∴
3.解 设 种健身器材每套的售价为x万元 则 种 2. 证明 如图 延长CE交
:(1) A , B (1) : ,
健身器材每套的售价为x . 万元 AB于点G
(+04) , ,
由题意得 : 1 x 6 =x
+
20
0
.
4
, ∵ AE
A
⊥
E
C
G
E ,
AEC .
解 经 得 检 : 验 x = x 1 . 6, .是原方程的解 且符合题意 ∴ 在 ∠ △ AEG = 和 ∠ △ AEC = 中 90 , °
x , . =1 . 6 . . , , ∠ GAE =∠ CAE ,
∴ 答 +0 种 4 健 = 身 1 器 6 材 +0 每 4 套 = 的 2 售价为 . 万元 种健身器 AE = AE ,
材 : 每 A 套的售价为 万元 16 ,B ∠ AEG =∠ AEC ,
2 ; AGE ACE .
设学校购买 型健身器材m套 则购买 型健身 ∴△ ≌△ (ASA)
(2) A , B GE EC.
器材 m 套 ∴ =
(80- ) , BD CD
由题意得 m m ∵ = ,
:80- ≥2 , DE为 CGB的中位线
∴ △ ,
解得 m 2 DE AB.
:≤26 , ∴ ∥
∵ ∴ m m 为 的 正 最 整 大 数 值 3 , 为 26, ∵ ∴ E 四 F 边 ∥ 形 BC B , DEF是平行四边形.
设总费用为w元 , (2) 解 : BF = 1 ( AB - AC ) .证明如下 :
由题意得 w . . m . m 2
: =(16-02) +2×075(80- )= 四边形BDEF是平行四边形
∵ ,
54
A"# 3
BF DE. 四边形ABCD是平行四边形
∴ = ∴ ,
DE分别是BCGC的中点 法 AB DC
∵ , , , 2:③ ∥ ,
如图 分别在OBOD
BF DE 1BG. AGE ACE , 、
∴ = = 2 ∵△ ≌△ , 上截取OE = OA 、 OF =
∴ AG = AC , OC , 连接AE 、 CF.
∴ BF = 1 ( AB - AG )= 1 ( AB - AC ) . ∵ OE = OA , OF = OC.
2 2 OAE AEO
3. 一组对角相等 且一组对边平行的四边形是平行四 ∴∠ =∠ ,
(1) , OFC OCF.
边形.答案不唯一 ∠ =∠
( )
AOE FOC
证明 如图 延长 ∵∠ =∠ ,
D
(2
A
)
BC并
:
截取A
,
M ∴∠ OAE =∠ AEO =∠ OFC =∠ OCF.
AB , 、 CD = CN.连 = 接 ∴ A ∠ B AEB DC =∠ DFC.
BM , DN , ∵ ∥ ,
ABE CDF.
∵ AB + AD = CD + CB , ∴∠ =∠
∴ ∵ ∴ A A 四 D M 边 ∥ + 形 B A C D M , B = N C D N + 是 C 平 B 行 , 即 四 M 边 D 形 = . BN. ∵ ∴ ∴ O O E E A D + + - O O E D D F = = = O B O B F B + - + O E O F C F , , 即 即 B E E D = = D B F F . .
MB DN M N. ABE CDF.
∴ = ,∠ =∠ ∴△ ≌△
AM ABCD CN AB DC.
∵ = , = , ∴ =
∴∠ M =∠ MBA ,∠ N =∠ NDC. 又 ∵ AB ∥ DC ,
MBA NDC. 四边形ABCD是平行四边形.
∴∠ =∠ ∴
AMB CND. 法 AD BC方法同 .
∴△ ≌△ 3:④ ∥ , ③
AB CD. 33.构造三角形的中位线
∴ =
AB AD CD CB 1.证明 如图 取AC的中点F 连接BF.
∵ + = + , : , ,
AD BC. 在 ABF和 ACE中
∴ = △ △ ,
四边形ABCD是平行四边形. AF AE
∴ = ,
解 选择 或 或 之一 A A
(3) : ① ③ ④ ∠ =∠ ,
法 AB DC AB AC
1:① = , = ,
如图 分别在OBOD ABF ACESAS.
, 、 ∴△ ≌△ ( )
上截取OE = OA 、 OF = ∴ BF = CE.
OC , 连接AE , CF并延 ∵ BA = BD , FA = FC ,
长 , 过点B 、 D作BG ⊥ ∴ CD =2 BF , 即CD =2 BF =2 CE.
AE
、
DH
⊥
CF
,
垂足为 2.证明
:
如图
,
延长BD交
点G
、
H. AC于E
,
∵ OE = OA , OF = OC. ∵ AD ⊥ BD ,
∴∠ OAE =∠ AEO ,∠ OFC =∠ OCF. ∴∠ ADB =∠ ADE =90° .
∵∠
AOE
=∠
FOC
, ∵
AD为
∠
BAC的平分线
,
∴∠ OAE =∠ AEO =∠ OFC =∠ OCF. ∴∠ BAD =∠ EAD.
∴∠ BEG =∠ HFD. ∠ BAD =∠ EAD ,
∵ ∴ O O E E A D + + O O E D D F = = O B O B F B + + O E O F C F , , 即 即 E BE D = D BF F . . 在 △ BAD和 △ EAD中 , A ∠ D A = DB AD = , ∠ ADE ,
∴ - = - , = ∴△ BAD ≌△ EAD (SAS),
BEG DFH.
∴Rt△ ≌Rt△ ∴ AB = AE , BD = DE.
∴ 又
BG
A = B
HD
DC
.
∵
M为BC的中点
,
∵ = , DM 1CE 1 AC AB .
ABG CDH. ∴ = = ( - )
∴Rt△ ≌Rt△ 2 2
BAE DCF. 3.证明 如图 连接BD 取BD的
∴∠ =∠ : , ,
又 ∵∠ OAE =∠ OCF , 中点M , 连接EM , FM.
∴∠
BAE
+∠
OAE
=∠
DCF
+∠
OCF
,
即
∠
BAO
= ∵
点E是AD的中点
,
DCO. 在 ABD中 EM ABEM
∠ ∴ △ , ∥ ,
AB DC
∴
又 A
∥
B D
,
C =
1AB
,
∵ = , 2
55
3A"#
MEF P.同理可证FM CDFM 1CD. EF 1PC 1 AP AC 1 AB AC
∴∠ =∠ : ∥ , = ∴ = = ( - )= ( - ),
2 2 2 2
MFQ CQF.
∴∠ =∠ 故答案为EF 1 AB AC
又 ∵ AB = CD , 解 如图 : = 延 2 长 ( CF交 - AB ) 于 ;
∴
EM
=
FM
,
(3) : 2,
G
MEF MFE ,
∴∠ =∠ , AE是角平分线CF AE
P CQF. ∵ , ⊥ ,
4. ∴∠ 证明 =∠ 如图 延长AE交 ∴ AG = AC ,
(1) : , AGC是等腰三角形
BC于H ∴△ ,
,
AG AC CF GF
在 CAE和 CHE中 ∴ = =3, = ,
△ △ , BG AB AG
ACE HCE ∴ = - =5-3=2,
∠ =∠ , AD是中线
CE CE ∵ ,
= , BD CD
CEA CEH ∴ = ,
∠ =∠ =90°, DF是 BCG的中位线
CAE CHE ∴ △ ,
∴△ ≌△ (ASA),
AE HE DF 1BG 1 .
∴ = , ∴ = = ×2=1
E是AH的中点. 故答案为 2 2
∴ 又 ∴ E F F 是 是 A △ C A 的 HC 中点 的 , 中位线 , ( 延 4) 长 解 线 : 如 于 图 : 点 1 3 F ; , , 延长BD交AC的
EF BC. AD平分 BACAD BD
∴ ∥ ∵ ∠ , ⊥ ,
(2) 解 :∠ EAC =∠ B +∠ DAE.证明如下 : 由 (1) 知 , ∴ AB = AF , BD = DF ,
△ CAE ≌△ CHE , ∵ DE ∥ AB ,
EAC EHC. DE是 ABF的中位线
∴∠ =∠ ∴ △ ,
又 EHC B BAH
∠ =∠ +∠ , DE 1AB
EAC B DAE. ∴ = ,
∴∠ =∠ +∠ 2
5. (1) 证明 :∵ AE平分 ∠ BAC , ∵ AD ⊥ BD , BD =3, AD =4,
∴∠
BAE
=∠
DAE
, ∴
AB
=
AD2
+
BD2
=5,
BE AE于点E
∵ ⊥ , DE 5.
∴∠ BEA =∠ DEA =90°, ∴ = 2
在 ABE和 ADE中
△ △ , 测试卷
BAE DAE
∠ =∠ ,
单元测试卷(一) 三角形的证明
AE AE
= ,
BEA DEA 1. 2. 3. 4. 5. 6 7
∴ ∠ △ ABE = ≌ ∠ △ ADE , (ASA), 8. C C 【解 B 析】 A ∵ ∠ BA D C 和 ∠ D A BC .D 的 平 . 分 C 线相交于点O ,
∴ BE = DE , AB = AD , ∴∠ OBA = 1 ∠ CBA ,∠ OAB = 1 ∠ CAB ,
BF FC 2 2
∵ = ,
AOB OBA OAB 1 CBA
EF 1DC 1 AC AD 1 AC AB . ∴∠ =180°-∠ -∠ =180°- ∠
∴ = = ( - )= ( - ) 2
2 2 2
(2)
解
:
如图
1,
延长AC交BE的
-
1
∠
CAB
=180°-
1
(180°-∠
C
)=90°+
1
∠
C
,
延长线于P.
故
2
正确
2 2
① ;
∵ AE ⊥ BP , ∵∠ C =60°,
∴∠ AEP =∠ AEB =90°, ∴∠ BAC +∠ ABC =120°,
∴∠ BAE +∠ ABE =90°,∠ PAE ∵ AE , BF分别是 ∠ BAC与ABC的平分线 ,
APE
+∠ =90°, OAB OBA 1 BAC ABC
BAE PAE ∴∠ +∠ = (∠ +∠ )=60°,
∵∠ =∠ , 2
∴∠ ABE =∠ APE , ∴∠ AOB =120°,
∴ AB = AP , ∴∠ AOF =60°,
∵ ∴ E AE 为 ⊥ B B P P , 的中点 , ∴ 如 B ∠ 图 E B , O 在 连 E A 接 = B 6 O 0 上 H °, 取一点H , 使BH
∴ ∵ B 点 E F = P 为 E BC , 的中点 , = ∵ BF , 是 ∠ ABC , 的平分线 ,
HBO EBO
∴ BF = FC , ∴∠ =∠ ,
56
A"# 3
在 HBO和 EBO中 BAD CAD
△ △ , ∴∠ =∠ ,
BH BE B CAF.
= , ∴∠ =∠
HBO EBO 17.证明 ACB
∠ =∠ , :∵∠ =90°,
BO BO ACD BCD .
= , ∴∠ +∠ =90°
HBO EBO CD为AB边上的高
∴△ ≌△ (SAS), ∵ ,
BOH BOE ADC
∴∠ =∠ =60°, ∴∠ =90°,
AOH A ACD
∴∠ =180°-60°-60°=60°, ∴∠ +∠ =90°,
AOH AOF A BCD.
∴∠ =∠ , ∴∠ =∠
在 HAO和 FAO中 BE是 ABC的平分线
△ △ , ∵ ∠ ,
HAO FAO ABE CBE
∠ =∠ , ∴∠ =∠ ,
AO AO CFE BCD CBE A ABE.
= , ∴∠ =∠ +∠ =∠ +∠
AOH AOF CEF A ABE
∠ =∠ , ∵∠ =∠ +∠ ,
HAO FAO CEF CFE
∴△ ≌△ (ASA), ∴∠ =∠ ,
AF AH CE CF.
∴ = , ∴ =
AB BH AH BE AF 18.解 如图 点P即为所求.
∴ = + = + , :(1) ,
故 正确 设PC x 则PA PB
② ; (2) = , = =
如图 作OH AC于H OM x
, ⊥ , ⊥ 8- ,
AB于M 在 ACP中
, Rt△ ,
∵∠
BAC和
∠
ABC的平分线相
∵
AC2
+
PC2
=
PA2,
交于点O , ∴6 2 + x2 =(8- x )2,
点O在 ACB的平分线上
∴ ∠ , 解得x 7
∴ OH = OM = OD = a , = 4 ,
∵ AB + AC + BC =2 b , ∴ PC = 7.
4
∴ S △ABC= 1
2
× AB × OM + 1
2
× AC × OH + 1
2
× BC 19.解
:(1)
梯形ABCD的面积为1
(
a
+
b
)(
a
+
b
)=
1a2
2 2
OD 1 AB AC BC a ab故 正确.
× =
2
( + + )· = , ③
+
ab
+
1b2,
9. 10.ACB DBC答案不唯一 11. 2
12
1
.
0
13
∠
.
=∠ ( ) 7 也可以表示为1ab
+
1ab
+
1c2,
75° 36 2 2 2
14.证明 CD AB于DBE AC于E
A
:
D
∵
C
⊥
AEB
,
.
⊥ ,
∴
1
2
ab
+
1
2
ab
+
1
2
c2
=
1
2
a2
+
ab
+
1
2
b2,
∴ 在 ∠ △ ADC = 与 ∠ △ AEB = 中 90 , ° ∠ ∠ A A D = C ∠ = A ∠ , AEB , ( 即 2 a ) 设 2 + A b B 2 = = c A 2 C ; = x km,
AH AB BH x .
∴△ ACD ≌△ ABE ,
AC = AB , ∴ 在
Rt△
= ACH - 中
,
= 根 ( 据 - 勾 0 股 6) 定 km 理 , 得
:
CA2
=
CH2
+
AD AE.
AH2,
∴ =
15.解 :∵∠ EFC =112°, ∴ 解 x 得 2 x =0 . 8 . 2 +( x -0 . 6)2,
EFD . ≈083,
∴ ∵ F ∠ G平分 = ∠ 1 E 80 F ° D -1 , 12°=68° 即 C C A A ≈ C 0 H . 83km . , . . .
∴ - ≈083-08≈003(km)
∴∠ GFD = 1 2 ∠ EFD =34° . 答 : 新路CH比原路CA少约 0 . 03 千米 ;
∵ AB ∥ CD , (3)∵ AH = x ,
∴∠ MGN =∠ GFD =34° . ∴ BH = AB - AH =21- x ,
∵ GM = GN , ∵ CH ⊥ AB , AC =10, BC =17, AB =21,
根据勾股定理
M MNG 1 MGN . :
∴∠ =∠ =
2
×(180°-∠ )=73° 在
Rt△
ACH中
,
CH2
=
CA2
-
AH2,
16.证明
:∵
EF垂直平分AD
,
在
Rt△
BCH中
,
CH2
=
CB2
-
BH2,
∴
AF
=
DF
, ∴
CA2
-
AH2
=
CB2
-
BH2,
∴∠ ADF =∠ DAF. 即 10 2 - x2 =17 2 -(21- x )2,
ADF B BAD DAF CAF CAD. 解得x
∵∠ =∠ +∠ ,∠ =∠ +∠ :=6,
AD平分 BAC AH
∵ ∠ , ∴ =6,
57
3A"#
∴ CH = CA2 - AH2 = 10 2 -6 2 =8 . ∴ CD = OC2 + OD2 = 12 2 +4 2 =4 10;
20.解 AO BO 当D在线段OB的延长线上时 过B作BG DE
:(1)∵ =6, =9, ⅱ) , ⊥
AB 于G 如图 所示
∴ =15, , 4 ,
BA BC BF
∵ = , 同理得 1
∴ BC =15,
:CF=
4
,
∵ CO ⊥ AB , ∵ BC =15,
∴∠ AOC =∠ BOC =90°, ∴ 同 B 理 F 得 =3, BDF是等腰三
由勾股定理得 : CO = BC2 - OB2 = 15 2 -9 2 =12, 角形 :△
,
∴ AC = AO2 + CO2 = 6 2 +12 2 =65; BD BF
分两种情况 ∴ = =3,
(2)① : OD BO BD
当AO OE时 过O作ON ∴ = + =9+3=12,
A ⅰ C ) 于N = , ⊥ Rt△ COD 中 , CD = CO2 + OD2 = 12 2 +12 2 =
,
如图 1 所示 , 122 .
∴ AN = EN ,
综上所述
,
CD的长为
4 10
或
122,
DE AC 故答案为 或 .
∵ ⊥ , :4 10 122
ON DE 单元测试卷(二) 一元一次不等式和一元一次不等式组
∴ ∥ ,
ON是 ADE的中位线 1. 2 3 4 5. 6 7 8
∴ △ , C .A .B .C D .B .C .A
OD AO
∴ = =6; 9.a 1b 10.a 11. x 3 12.x
ⅱ 所 ) 示
当AO
=
AE时
,
如图
2 13
2
.a
-
2
≤0 <0 1< ≤
2
>1
, ≤1
在 △ CAO和 △ DAE中 , 14.解 : 去分 x 母得 :3(2 x 移 + 项 1)≤ 合 4 并 ( x 同 - 类 1) 项 +12 得 , 去 x 括号得 系 :6 数 x
∠ A =∠ A , + 化 3 为 ≤4 得 - x 4+12 . , 解集 、 在数轴上表示 , 为 :2 ≤5,
AO = AE , 1 :≤25, :
AOC AED
∠ =∠ =90°,
CAO DAE
∴△ ≌△ (ASA),
x x
AD AC 3(+2)<8+ ,①
∴ ∴ OD = = AD = - 6 AO 5 = , 65-6 . 15.解 : x 2 ≥ x 3 -1 ,② 解不等式 ① 得 : x <1, 解不等
综上所述OD的长为 或 式 得x
, 6 65-6; ② :≥-2,
分两种情况 不等式组的解集为 x .
② : ∴ -2≤ <1
当D在线段OB上时 过B作BG EF于G 如图 在数轴上表示不等式组的解集
ⅰ) , ⊥ , :
所示
3 ,
∵ S △OBF∶ S △OCF=1∶4,
BF
∴CF= 1 , 2( x -1)+3≤5①,
BF 4 16.解 :3 x +5 解不等式 ①, 得 : x ≤2, 解不
1 >1②,
∴CB= , 3
3
CB 等式 得x 2 则不等式组的解集为 2
∵ =15, ②, :>- , - <
3 3
∴ BF =5, x ≤2, 所以不等式组的整数解为 0、1、2 .
∵ EF ⊥ AC , 17.解 : 设购买甲种树苗x棵 , 则购买乙种树苗 (750- x )
∴ BG ∥ AC , 棵 , 根据题意得 :80 x ≥160×(750- x ), 解得 : x ≥500 .
∴∠ GBF =∠ ACB , 答 : 至少应购买甲种树苗 500 棵.
∵ AE ∥ BG , 18.解 : 设他要买x支钢笔才能享受打折优惠 , 根据题意
A DBG
∴∠ =∠ , 得 x 解得x 55.
∵
AB
=
BC
,
:6×15+8 ≥200, :≥
4
A ACB x为正整数
∴∠ =∠ , ∵ ,
DBG GBF x .
∴∠ =∠ , ∴ ≥14
BG DF 答 他至少要买 支钢笔才能享受打折优惠.
∵ ⊥ , : 14
BDF是等腰三角形 19.解 由题意 可得y .x xy x
∴△ , :(1) , :1=40×08 =32 ,2=20 +
BD BF
∴ = =5, 600;
OD OB BD 当 x x 时 解得x 此时y y
∴ = - =9-5=4, (2) 32 =20 +600 , :=50, 1= 2,
58
A"# 3
即x 时 两种方案都一样 当 x x 时
=50 , , 32 >20 +600 ,
解得x 此时y y 即 x 时 方案二划
:>50, 1> 2, 50< ≤60 ,
算 当 x x 时 解得x 此时y y
, 32 <20 +600 , :<50, 1< 2,
即 x 时 方案一划算.
30≤ <50 ,
20.解 函数图象如图所示.
:(1)-1 1 (2) (3)①>
或 x .
-1 ②4 -6 ③-2< <0
9. 10. 11. 12. 或
6 220° 37° (0,2) (-4,0)
13. 【解析】 过A作AD AB
25 ⊥ 1
于D 如图
, ,
在 ABC 中 AB 将
△ , =10,
ABC绕点B按逆时针方向旋
△
转 后得到 ABC
30° △ 1 1,
ABC ABC
∴△ ≌△ 1 1,
AB AB
∴ 1 = =10,
ABA是等腰三角形 ABA
∴△ 1 ,∠ 1 =30°,
AD AB
∵ ⊥ 1 ,
单元测试卷(三) 图形的平移与旋转 AD 1AB
∴ = =5,
1 2 3 4 5 6. 7. 2
.D .A .B .C .A B B
8. D 【解析】 在y = kx +2 k中 , 当y =0 时 , k ( x +2)=0, ∴ S △A 1 BA= 1 2 ×10×5=25,
∵ k ≠0, ∵ S阴影 = S △A 1 BA+ S △A 1 BC 1- S △ABC, S △A 1 BC 1= S △ABC,
∴ x +2=0 . ∴ S阴影 = S △A 1 BA=25,
∴ x =-2, 故答案为 :25 .
A 14.证明 ABD平移到 ECF的位置
∴ (-2,0), :∵△ △ ,
如图 在x轴上方作等边 AOF DF BC.
, △ , ∴ =
CAB FAO AD DF AF
∵∠ =∠ =60°, ∵ + = ,
CAB BAF BAF FAO 即 CAF AD BC AF.
∴∠ + ∠ = ∠ + ∠ , ∠ ∴ + =
BAO 15.解 ABC绕点C按顺时针方向旋转 得到
=∠ , :∵△ 35°
又 CA BAAF AO A'B'C
∵ = , = , △ ,
AOB AFC ACA' A A'
∴△ ≌△ (SAS), ∴∠ =35°,∠ =∠ ,
AFC AOB 又 A'DC
∴∠ =∠ =90°, ∵∠ =90°,
点C的轨迹为定直线CF A' ACA' CDA'
∴ , ∴∠ =180°-∠ -∠ =180°-35°-90°
作点E关于直线CF的对称点E'
, =55°,
连接CE'则CE CE' A .
, = , ∴∠ =55°
∴ CD + CE = CD + CE' , 16.证明 :∵△ AOB绕着点O旋转 180 度得到 △ DOC ,
∴ 当点D 、 C 、 E'在同一条直线上时 , ∴ OB = OC , AB = CD ,∠ B =∠ C.
DE' = CD + CE的值最小 , ∠ B =∠ C ,
∵ AF = AO =2,∠ FAO =60°,∠ AFG =90°, 在 △ OBE和 △ OCF中 , OB = OC ,
BOE COF.
AG EG EE' 3AF ∠ =∠
∴ =4, =3, =2× =3, OBE OCF
4 ∴△ ≌△ ,
BE CF
即E' 1
2
, 3
2
3 , ∴
∴
BE =
-
AB ,
=
CF
-
CD
,
即AE
=
DF.
CD CE 的 最 小 值 DE' x y x
∴ + = = 17.解 由 3 +4 =10,解得 =6,
-6- 1
2
2 + 0- 3
2
3 2 =7 .
(1)
: 如 图 5 x
,△
- A 6 y
1
B =
1
C 42
1
, 即为所 y 求 =
,
A -
1
2
(3
.
,1),
B
1(1,-1),
故选 . C
:D 1(4,-2);
59
3A"#
FDG 点FDG共线
∴∠ =180°, 、、 ,
AE AG
= ,
在 AFE和 AFG中 FAE FAG
△ △ ,∠ =∠ ,
AF AF
= ,
AFE AFG
∴△ ≌△ (SAS),
EF FG
∴ = ,
FG DG DF
∵ = + ,
EF BE DF
∴ = + ,
故答案为 B ADC
:∠ +∠ =180°;
(3)
猜想
:
DE2
=
BD2
+
EC2.理由如下
:
把 ACE绕点A逆时针旋转
△ 90°
到 ABF的位置 连接 DF 如
△ , ,
图
3,
则 ABF ACE FAE
(2)△ BOB 1 的面积 =2×6- 1 2 ×2×6- 1 2 ×1×5- ∴ △ ∠ FAB ≌ = △ ∠ CAE ,∠ , BF = =9 C 0 E °, ,
ABF C
1 . ∠ =∠ ,
×1×1-1×1=2 FAE BAC
2 ∴∠ =∠ =90°,
18.解 在 ABC中 C AC BC DAE
:∵ Rt△ ,∠ =90°, =3, =4, ∵∠ =45°,
∴ AB = AC2 + BC2 =5, ∴∠ FAD =90°-45°=45°,
∵ 将 △ ABC绕点A逆时针旋转得到 △ AB'C' , 并使点 ∴∠ FAD =∠ DAE =45°,
C'落在AB边上
,
AF
=
AE
,
∴ BC' = AB - AC' = AB - AC =5-3=2, B'C' = BC 在 △ ADF和 △ ADE中 ,∠ FAD =∠ DAE ,
AD AD
=4, = ,
在 Rt△ B'C'B中 , BB' = B'C'2 + BC'2 = 2 2 +4 2 ∴ D △ F AD D F E ≌△ ADE (SAS),
. ∴ = ,
=25 BAC AB AC
19. 证明 BCB BCA ∵∠ =90°, = ,
(1) :∵∠ 1 =45°,∠ 1 1=90°, ABC C
BCQ BCP ∴∠ =∠ =45°,
∴∠ 1 =∠ 1=45°, C ABF
又BC BC B B ∴∠ =∠ =45°,
1 = ,∠ 1=∠ , DBF ABF ABC
BCQ BCP ∴∠ =∠ +∠ =90°,
∴△ 1 ≌△ 1(ASA), BDF是直角三角形
CQ CP ∴△ ,
∴
解
=
如图
1;
作PD AC ∴
BD2
+
BF2
=
DF2,
(2) : , 1 ⊥ , BD2 EC2 DE2.
垂足为点D ∴ + =
, 期中测试卷
A AP
∵∠ =30°, 1=2, 1. 2 3 4 5. 6 7
B .A .B .A D .A .D
PD 1AP
∴ 1 = 1=1, 8. 【解析】 等边三角形边长为 BD 1CD
2 C ∵ 2, = ,
PCD 2
∵∠ 1 =45°,
∴ CD = P 1 D =1, ∴ BD = 2 3 , CD = 4 3 ,
在 CDP 中 由勾股定理得CP . 等边三角形ABC中 DF AB
△ 1 , 1=2 ∵ , ∥ ,
CP CQ FDC B
∵ 1= , ∴∠ =∠ =60°,
CQ . EDF
∴ =2 ∵∠ =90°,
20.解 AFG BDE
:(1)SAS;△ ; ∴∠ =30°,
B ADC 时EF BE DF.理由如下 DE BE
(2)∠ +∠ =180° , = + : ∴ ⊥ ,
AB AD
∵ 把 = ABE , 绕点A逆时针旋转 ∴ BE = 1 2 BD = 1 3 ,
∴ △
至 ADG 可使AB与AD
9 重 0° 合 , 如 △ 图 2, , ∴ 如 D 图 E = 连接 B D D M 2 - BE2 D = E 3 3 F , 中 DM
∴∠
BAE
=∠
DAG
,
BE
=
DG
,
, ,Rt△ ,
∵∠
BAD
=90°,∠
EAF
=45°, =
1EF
=
FM
,
BAE DAF 2
∴∠ +∠ =45°, FDC FCD
EAF FAG ∵∠ =∠ =60°,
∴∠ =∠ , CDF是等边三角形
ADC B ∴△ ,
∵∠ +∠ =180°,
60
A"# 3
AC BC
CD CF 4 ∵ =6, =8,
∴ = = ,
CM垂直平分 3 DF ∴ AB = AC2 + BC2 = 6 2 +8 2 =10,
∴ , AEC AED
DCN DN FN ∵△ ≌△ ,
∴∠ =30°, = , AD AC
∴ = =6,
∴Rt△ CDN中 , DN = 2 , CN = 23 , ∴ BD = AB - AD =4,
3 3 点E为CD中点 点F为BC中点
M为EF的中点 ∵ , ,
∵ ,
EF 1BD .
∴ = =2
∴ MN = 1 2 DE = 6 3 , 20. (1)60°; 2
证明 BAC DAE
CM CN MN 23 3 53. (2) :∵∠ =∠ ,
∴ = + = + =
9.EF 10. 120° 11. 3< 3 m <5 6 12. 1 6 9 ∴ 即 ∠ ∠ B B A A C M - = ∠ ∠ M E A A N N = , ∠ DAE -∠ MAN ,
13.51 < x ≤ 39 在 △ BAM和 △ EAN中 ,
8 4 BAM EAN
14.解 : x >4 .在数轴上表示为 : A ∠ B = AE = , ∠ ,
15.解 : 不等式组的解集为 1≤ x <4, ∠ B =∠ E ,
∴ 不等式组的整数解是 1,2,3 . ∴△ BAM ≌△ EAN (ASA),
16.证明 :∵△ ABC中 ,∠ ACB =90°,∠ A =30°, ∴ AM = AN ;
∴∠ B =60°, (3) 解 :① 如图 1,
当DM OM时 MOD D
BC 1AB BD = ,∠ =∠ =30°,
∴ = = , B D AMB DMO
2 ∵∠ =∠ ,∠ =∠ ,
BDC是等边三角形. BAD MOD
∴△ ∴∠ =∠ =30°,
17.解 连接PP'. α
: ∴ =30°,
将 APB绕点B顺时针旋转 得 BP'C
∵ △ 90°, △ ,
BP'C BPA APB BP'C.
∴△ ≌△ ,∠ =∠
由旋转的性质可知 BP'P为等腰直角三角形
,△ ,
BPP' .
∴∠ =45°
PB
∵ =2,
P'B PP' .
∴ =2, =22
∵
AP'
=3,
CP'
=
PA
=1, 如图 当 DM DO 时 DMO DOM
∴
AP'2
=
AP2
+
PP'2, 2,
D
= ,∠ = ∠ =
∴∠ APP' =90°, 180°-∠ =75°,
APB BP'C BPP' APP' 2
∴∠ =∠ =∠ +∠ =45°+90° α DOM
. ∴ =∠ =75°,
=135° 如图
18.解 设购买一个排球需要x元 则购买一个篮球需 3,
:(1) , 当OM OD时 OMD D
要x 元 依题意得 x x 解 = ,∠ =∠
(+95) , :18(+95)+12 =3360,
得x =30°,
:=55, α DOM
x . ∴ =∠ =120°,
∴ +95=55+95=150 此时AD和AC重合 这种情形
答 购买一个篮球需要 元 一个排球需要 元. ,
: 150 , 55 不存在.
设该学校购买m个排球 则购买篮球 m 个
(2) , (30- ) , 综上所述α 或 .
依题意得 m m 解得 m . ,=30° 75°
:55 +150(30- )≤2600, :≥20 如图
答 本次至少可以购买 个排球. ② 4,
: 20 当 EDP 时
19. 证明 AE平分 CAB ∠ =90° ,
(1) :∵ ∠ , ABC ADE
CAE BAE ∵∠ =∠ =30°,
∴∠ =∠ , ADB
CE AE ∴∠ =90°-30°=60°,
∵ ⊥ , BAD
AEC AED ∴∠ =180°-60°-60°=
∴∠ =∠ =90°,
CAE DAE 60°,
∠ =∠ , α
在 AEC和 AED中 AE AE ∵0°< <100°,
△ △ , = , 旋转角α为 .
AEC AED ∴ 60°
∠ =∠ , 单元测试卷(四) 因式分解
AEC AED
∴△ ≌△ (ASA), 1. 2 . 4 5 6. 7. 8.
CE DE C .A 3D .C .A D A C
∴ = ; 9.x y 10.x x 11.x
解 在 ABC中 3(-2 ) (2 +11)(2 -11) (4 -16)
(2) : Rt△ ,
61
3A"#
a b b a b
12. 13.3 - +2 + 1 .
4 a b a b=a b a b=a b
4 (+ )(- ) (+ )(- ) -
14.解 :(1) 原式 = x2 +2 x -3+4= x2 +2 x +1=( x +1)2; 15.解 :(1) 方程两边都乘x ( x +1), 得 3 x =2( x +1), 解得
(2)
原式
=(
x
-
y
)(
x2
-1)=(
x
-
y
)(
x
+1)(
x
-1)
. x
=2,
经检验
,
x
=2
是原方程的解.
15.解 :(1) 原式 =( a - b )2( a2 - b2)=( a - b )3( a + b ); (2) 方程两边都乘 ( x2 -1), 得x ( x -1)-( x -3)=( x
x x x 解得x 经检验x 是原方程的解.
3 -2>2(+1) ①, +1)(-1), =2, ,=2
(2) 1x 3x 16.解 1 1 b - a 2
-1≥5- ②, :∵a-b=ab =a b,
2 2 +
由 得x 由 得x ab
①
不等
:
式组
>4
的
,
解集
②
为x
:≥3,
解集表示在数轴上 如图 ∴-(
a
-
b
)(
a
+
b
)=2
ab
,
即a2
-
b2
=-2
ab
,
则
a2 b2
∴ >4, , -
所示 ab
: 1.
= ab=-
-2 2
a a a a
17.解 原 式 +2-3 (+2)(-2) -1
: = a +2 · ( a -1)2 =a +2 ·
16.解
:3
x2( a
+3)-4
x2y
(
a
+3)=
x2( a
+3)(3-4
y
),
当
(
a
+2)(
a
-2)
a
-2 当a 时 原式 0-2 .
a =-1, x =3, y =1 时 , 原式 =3 2 ×(-1+3)×(3-4 ( a -1)2 =a -1 , =0 , = 0-1 =2
×1)=9×2×(-1)=-18 . 18.解 : 设第一批头盔进货单价为x元 , 则第二批头盔进
17.解 : 答案不唯一 , 如 1x2 + x -1 + 1x2 +3 x +1 货单价为 ( x +10) 元 , 根据题意得 :x 5400 =3× 1 x 600 ,
2 2 +10
=
x2
+4
x
=
x
(
x
+4)
. 解得
:
x
=80,
经检验
,
x
=80
是所列方程的解
,
且符合
18.证明 设两个连续偶数为 n n 它们的平方差是 题意.
: 2,2 +2,
(2 n +2)2 -(2 n )2 =(2 n +2+2 n )(2 n +2-2 n )=(4 n + 答 : 第一批头盔进货单价为 80 元.
n n
2 ∵ ) 4 × ( 2 2 n = + 8 1) + 是 4 4 =4 的 (2 倍 + 数 1 , ), 19. (1) 1 5 - 5 1 ×6 = 1 6 .
两个连续偶数的平方差一定是 的倍数. 解 第n个等式为1 1 1 .证明 等
∴ 4 (2) : n-nn =n :
19.解
:(1)
由图形可知
,2
m2
+5
mn
+2
n2
=(2
m
+
n
)(
m
+
(
n
+1) +1
n 式左边 1 1 +1 1
2
( ∴ 2 m
)
)
; 依
2 +
题
n
意
2 =
得
44 ,2 ,
m2
+2
n2
=88,
mn
=10, n ( n n +1)
=
=n
n
1 +1
-
, 左
n (
边
n
=
+1
右
)
边
=
,
n ( n +1) -n ( n +1) =
∴( m + n )2 = m2 + n2 +2 mn =44+20=64, ∴ 等式成立.
∴ m + n =8, 20.解 y 1
图中所有裁剪线段之和为 . :(1) -y=0;
∴ 8×6=48(cm) 4
20.解 .
:(1)-3;1 y 4
(2)
由x2
+2
y2
-2
xy
+8
y
+16=0
得
:
x2
-2
xy
+
y2
+
(2)-y=0;
y2 +8 y +16=0,( x - y )2 +( y +4)2 =0, (3) 原方程可化为 x x -1 - x 3 + x x -1 =0, x x -1 -
x y y . +2 -1 -1 +2
∴ - =0,+4=0 x x
x y . +2 设y -1 则原方程可化为y 1 方
∴ = =-4 x =0, =x , -y=0,
∴ 答 x x y y = 的 16 值 . 为 . 程 - 两 1 边同时乘y , 得 + y 2 2 -1=0, 解得y 1=1, y 2=-1,
(3) : 由 2 a2 + b2 1 - 6 4 a -8 b +18=0 得 : a2 -2 a +1+ a2 - 经检验 , y 1=1, y 2=-1 都是方程y -y 1 =0 的解 ; 当
2 a +1+ b2 -8 b +16=0,2( a -1)2 +( b -4)2 =0, y 时 x -1 该方程无解 当y 时 x -1
a b =1 ,x =1, ; =-1 ,x =
∴ -1=0,-4=0, +2 +2
a b
∴ =1,=4; 解得x 1 经检验x 1是原分式方程
已知 △ ABC的三边长a 、 b 、 c都是正整数 , 由三角形三 -1, =- 2 , ,=- 2
边关系知c =4, 的解 , 所以原分式方程的解为x =- 1.
ABC的周长为 . 2
∴△ 9 单元测试卷(六) 平行四边形
单元测试卷(五) 分式与分式方程
1. 2 3 4 5 6 7 . 9.
1. 2 3 4. 5. 6 . 8. C .D .B .D .C .B .C 8A 10
C .C .B C C .D 7C C
10. 11. 12. 13.7或
9.x 10.10 11.x 12.x 13.16 21 23° 30 3
≠1 a b -3 =3 3
- 3 14.证明 四边形ABCD是平行四边形
14.解 :(1) 原式 =6 x2y4· - 4 3 y x 3 =- 9 2 x3y ; ∴ AB : ∥ ∵ CD , AB = CD ,∠ BAD =∠ DC , B ,
(2) 原 式 = a a b - a b b + a b 2 b a b = ∴ A ∠ E AB C E F = 分 ∠ 别 C 平 DF 分 , BAD和 DCB
(+ )(- ) (+ )(- ) ∵ , ∠ ∠ ,
62
A"# 3
A BCE
BAE 1 BAD DCF 1 DCB ∴∠ =∠ ,
∴∠ = 2 ∠ ,∠ = 2 ∠ , ∵∠ BCD =∠ BCE +∠ ECD ,
∴∠ BAE =∠ DCF , ∴∠ ECD =∠ A =∠ BEC ,
15. ∴ 证 △ 明 A : B ∵ E 四 ≌ 边 △ 形 CD A F BC (A D S 是 A) 平 . 行四边形 , ∴ ∴ A 四 B 边 ∥ 形 CE AB , A E C C ∥ 是 BE 平 , 行四边形 ;
∴ AD ∥ BC , (2) 解 : 如图 , 过点B作BH ⊥
∴∠ MCB =∠ CMD , AD , 垂足为H ,
∵∠ BNE =∠ CMD , ∵ BD = BA , BH ⊥ AD ,
BNE MCB
∴∠ =∠ , AH 1AD
EN MC ∴ = =9,
∴ ∥ , 2
∴∠ NFC =∠ ENF , 在 Rt△ ABH中 , 由勾股定理得BH = AB2 - AH2
BEN NFC
∵∠ BEN =∠ ENF , = 15 2 -9 2 =12, 设AC = BC = x , 则CH = x -9, 在
∴ N ∠ F MB =∠ , Rt△ HCB中 , 由勾股定理得 ( x -9)2 +12 2 = x2, 解得
∴ ∴ 四边 ∥ 形ME , NF为平行四边形. x = 2 2 5 , 即AC的长为2 2 5.
16.解 :∵ 四边形ABCD是平行四边形 , 20. (1) 解 : 如图 1, 过点E作
∴ AB = CD =4, AD = BC =6 . EH ⊥ BC交CB的延长线
又
∵
E
,
F
,
G
,
H分别为OA
,
OB
,
OC
,
OD的中点
,
于点H
,
∴ EF = 1AB =2, FG = 1BC =3, GH = 1CD =2, ∴∠ EHC =90°,
2 2 2 ABC EBA
∵∠ =60°,∠
EH 1AD
= =3, =90°,
2 EBH EBA ABC
四边形EFGH的周长为 . ∴∠ =180°-∠ -∠ =180°-90°-60°
∴ 10
17.证明 AD ACAE CD =30°,
:∵ = , ⊥ , 点E'在BC边上且BE' 将BE'绕点B逆时针
CE DE. ∵ =4,
∴ = 旋转a得到BE
又 F是BC的中点 ° ,
∵ , BE BE'
BD EF. ∴ = =4,
∴ =2
18. 证明 BF平分 ABC EH 1BE 1
(1) :∵ ∠ , ∴ = = ×4=2,
ABF FBC 2 2
∴∠ =∠ , 又 BC
BC CF ∵ =6,
∵ = ,
∴∠ FBC =∠ F , ∴ S △BCE= 1 2 BC · EH = 1 2 ×6×2=6;
ABF F 解 方法一 如图
∴∠ =∠ , (2)① : : 2,
∴
AB
∥
CD
,
过点E作EK
∥
BC交BG
∵
AB
=
CD
,
于点K
,
四边形ABCD是平行四边形. 则 FEK FCB
∴ ∠ =∠ ,
(2)
解
:∵
四边形ABCD是平行四边形
, ∵
点F是CE的中点
,
AB CD AD BC AD BC
∴ = =5, = =8, ∥ , ∴ EF = CF ,
∴∠ AEB =∠ CBE , 在 △ EFK和 △ CFB中 ,
ABF EBC
∵∠ =∠ , ∠ FEK =∠ FCB ,
ABE AEB
∴∠ =∠ , EF = CF ,
AE AB
∴ = =5, ∠ EFK =∠ CFB ,
DE
∴ CE = A 3 D , ∴△ EFK ≌△ CFB (ASA),
∵ ⊥ , ∴ EK = BC =6, FK = FB ,
∴ CE = CD2 - DE2 = 25-9=4, ∴ BK =2 BF ,
四边形ABCD的面积 BC CE . 由旋转得BE BE'
∴ = × =32 : = =4,
故平行四边形ABCD面积为 . 在 BEK中EK BE BK EK BE
32 △ , - < < + ,
19. (1) 证明 :∵ BC = AC , ∴6-4< BK <6+4,
∴∠ A =∠ ABC , 即 2<2 BF <10,
∴ ∵ ∠ △ B A C B D C = 绕 ∠ 点 A B + 逆 ∠ 时 AB 针 C 旋 = 转 2∠ 得 A 到 , △ DBE , ∴ 方 1 法 < 二 BF : 如 <5 图 ; 3, 在线段FG上截取FK = BF , 连接
∴ AB = BD , BC = BE ,∠ ABD =∠ CBE , EK 、 CK ,
BDA A BCE BEC
∴∠ =∠ ,∠ =∠ , ∵ EF = FC , BF = FK ,
63
3A"#
四边形BCKE是平行
∴ 9.
四边形 ×3×3=
, 2
∴ BE = CK = AB =4, 9. 4 b 10. -2 11.mn ( m +3)( m -3) 12. 3
在 △ BCK中 , BC - CK < 13.24 【解析】 连接OB , 过点N
BK BC CK 11
< + , 作ND AB于D 过点O作
BK ⊥ ,
∴6-4< <6+4, OE AB于EOF BC于F
即 BF ⊥ , ⊥ ,
2<2 <10, OH AC于H 如图所示
BF ⊥ , ,
∴1< <5; 设OE x
证明 如图 四边形ABCD是平行四边形 且 = ,
② : 2,∵ , 点O为 ABC内角平分线交点
ABC AB ∵ △ ,
∠ =60°, =4, OE OF OH x
A ABC ∴ = = = ,
∴∠ =180°-∠ =180°-60°=120°, BN MN BM ND AB
AD BCAD BCBE AB ∵ = =5, =6, ⊥ ,
∥ , = , = ,
EBF 即 EBK BD MD 1BM
∵∠ =120°, ∠ =120°, ∴ = = =3,
EBK A 2
∴∠ =∠ , 在 BND中BN BD
EK BC Rt△ , =5, =3,
∵ EK ∥ AD , 由勾股定理得 : DN = BN2 - BD2 = 5 2 -3 2 =4,
∴ ∥ ,
∴∠ EKB =∠ BGA , ∴ S △BMN= 1BM · ND = 1 ×6×4=12,
在 EKB和 BGA中 2 2
△ △ ,
∠ EKB =∠ BGA , 又 ∵ S △BMN= S △OBM+ S △OBN= 1 2 BM · OE + 1 2 BN ·
∠ EBK =∠ A , OF ,
BE AB
= , 1 x 1 x
EKB BGA ∴ ×6 + ×5 =12,
∴△ ≌△ (AAS), 2 2
BK AG
∴ = , 解得x 24
由 知BK BF := ,
① : =2 , 11
又 ∵ AG = AD - DG , ∴ OH = x = 24 ,
BF BC DG. 11
∴2 = -
期末测试卷 点O到AC的距离为24.
∴
1. 2 3. 4. 5 6 7 11
D .A B C .B .A .B 14.解 不等式组的解集为 x . 在数轴上表示为
8 【解析】 延长BDAC相交于点H.设AD交BE于 : 4< ≤55, :
.B ,
点O.
AD BH
∵ ⊥ ,
∴∠ ADB =∠ ADH =90°, 15.解 : 原式 = xy ( x2 -2 xy + y2)= xy ( x - y )2, 把x - y =
∴∠ ABD +∠ BAD =90°, -1, xy =3 代入得 : 原式 =3 .
∠ H +∠ HAD =90°, 16.解 原式 x ( x -2) 3 ( x -2)( x +2)
∵∠
BAD
=∠
HAD
,
: =
(
x -2)2-x
-2
× x
-3
=
ABD H x x x
∴∠ =∠ , -3 (-2)(+2) x .
∴ AB = AH , x -2 × x -3 = +2
∵ AD ⊥ BH , ∵
x
-2≠0,
x2
-4≠0,
x
-3≠0,
x .
∴ BD = DH , ∴ x ≠± 或 2,3 .
∵ DC = CA , ∴ 当x =1 时 0 原式 或当x 时 原式
∴∠ CDA =∠ CAD , =1 , =1+2=3( =0 , =0+
.
∵∠ CAD +∠ H =90°,∠ CDA +∠ CDH =90°, 17. 2=2 证 ) 明 AB CD
∴∠ CDH =∠ H , (1) ABD :∵ E ∥ DC ,
∴ CD = CH = AC , ∴∠ =∠ ,
∵ AE = EC , 在 ABD和 EDC中 ∠1 AB = D ∠2, EDC
△ △ ,∠ =∠ ,
∴ S △ABE= 1 4 S △ABH, S △CDH= 1 4 S △ABH, AB = ED ,
∴ S △OBD- S △AOE= S △ADB- S △ABE= S △ADH- S △CDH= ∴△ ABD ≌△ EDC (AAS),
S ∵ △ A AC C D = , CD =3, ( ∴ 2 D ) 解 B = :∵ CD △ A ; BD ≌△ EDC ,
DEC A
当DC AC时 ACD的面积最大 最大面积为1 ∴∠ =∠ =120°,
∴ ⊥ ,△ , BDC
2 ∵∠ =2∠1,∠1=∠2,
64
A"# 3
BDC 图所示 根据旋转可知
∴∠ =2∠2, : ,
BDC CAE AE AC
∵∠ +∠2=2∠2+∠2=60°, ∠ =90°, = ,
BAD CAE
∴∠2=20°, ∵∠ =∠ =90°,
BDC BAC CAD
∴∠ =40°, ∴ ∠ + ∠ =
BD CD CAD DAE
∵ = , ∠ +∠ ,
即 BAC DAE
DBC DCB 1 BDC 1 ∠ =∠ ,
∴∠ =∠ = 2 (180°-∠ )= 2 × ∵ AE = AC , AB = AD ,
18. ( ( 1 1 8 ) 0 证 °- 明 4 : 0° ∵ ) 四 =7 边 0° 形 . ABCD是平行四边形 , ∴ ∴ △ ∠ B A A B C C ≌ = △ ∠ A D D AE E ( , B S C AS = ) D , E ,
∴ ∴ D ∠ C C ∥ DE AB = , ∠ AED. ∵ DE平分 ∠ ADC , ∵ ∴ ∠ ∠ B A A BC D + = ∠ ∠ A B D C C D = = 3 9 6 0° 0° , -90°-90°=180°,
∴∠ ADE =∠ CDE , ∴∠ ADE +∠ ADC =180°,
∴ ∴ A ∠ E A = D A E D = . ∠ 同 A 理 ED 可 , 得CF = CB. ∴ ∴ C CE 、 D = 、 C E D 在 + 同 DE 一 = 直 C 线 D 上 + B , C ,
∵ AD = CB , ∵ AE = AC =8,∠ CAE =90°,
AE CF.
∴ 又 A = B CD ∴ CE = AC2 + AE2 = 8 2 +8 2 =82,
∵ = , BC CD
BE DF. ∴ + =82;
∴ = 在AB上截取AD
又 AB CD (3) =
∵ ∥ , AC 连接DP 过点D作
四边形BEDF是平行四边形 , ,
∴ , DE BC 于点E 如图
DE BF. ⊥ ,
∴ = 所示
解 ADE CBF DFE BEF. :
(2) :△ ≌△ ,△ ≌△ ACB ABC
19.解 设乙队完成此项任务需要x天 则甲队完成此 ∵∠ =90°,∠ =
:(1) ,
30°,
项 得 任 , x 务 =2 需 0 要 , 经 ( x 检 + 验 1 , 0 x ) = 天 20 , 则 是 x 原 + 1 分 10 式 × 方 90 程 = 的 x 1 解 × , 且 60 符 , 解 合 ∴ 根 ∠ 据 C 旋 A 转 B 可 =9 知 0° , A - Q 30 = ° A = P 60 , ° ∠ , PAQ =60°,
题意 , ∴∠ PAQ =∠ CAD ,
∴ 答 x : 甲 +1 、 0 乙 = 两 30 队 . 单独完成此项任务各需 30 天 、20 天 ; ∴ 即 ∠ ∠ C C A A Q Q + = ∠ ∠ C P A A P D = , ∠ PAD +∠ CAP ,
AQ APAC AD
由题意可得 1m 1n 化简 得n 2m ∵ = , = ,
(2) , + =1, , ,=- CAQ DAP
30 20 3 ∴△ ≌△ (SAS),
CQ DP
即m与n之间的函数关系式是n 2m ∴ = ,
+20, =-
3 ∴
DP最小时CQ最小
,
( + 3 2 ) 0 设 ; 施工的总费用为w万元 , 则w =0 . 15 m +0 . 3 n ∵ ∴ 垂 当 线 点P 段最 与 短 点 , E重合时 , CQ最小 ,
=0 . 15 m +0 . 3× - 2m +20 =-0 . 05 m +6, ∵ AC =4,∠ ACB =90°,∠ ABC =30°,
3 AB AC
甲 乙两队施工的总天数不超过 天 ∴ =2 =8,
∵ 、 24 , AD AC
∵ = =4,
m n 即m 2m 解得 m DB AB AD
∴ + ≤24, - +20≤24, ,≤12, ∴ = - =4,
3 B DEB
当m 时 w取得最小值 此时w .n . ∵∠ =30°,∠ =90°,
∴ =12 , , =54,=12
答 安排甲施工 天 乙施工 天 使施工费用最 DE 1DB
: 12 、 12 , ∴ = =2,
少 最少费用是 .万元. 2
, 54 CQ的最小值为 .
20. BC BP BQ ∴ 2
(1) = + ;
将CA绕点A逆时针旋转 到EA 连接DE 如
(2) 90° , ,
65
