3A"#
AB本
8. A 15 A 8
第一章 直角三角形的边角关系 cos = 17 ,tan = 15
9.解 ACB CD是AB边上的中线CD
第1课时 锐角三角函数(1) 正切 :∵∠ =90°, , =5,
CD AD 1AB
1 2 . . tan A A B = 3 4 BC ,tan A B B = AC 4 3 AC BABC ∴ ∴ AB = =10, = 2 ,
3. (1) 4. 5 6. , , (2)24 26 ∴ AC = AB2 - BC2 = 10 2 -6 2 =8,
6 C .D 9 AC
7.解 在 ABC中 C A 8 4
: Rt△ ,∠ =90°, ∴cos =AB= = ,
10 5
∵tan A = 3 , AC =10, ∵ CD = AD ,
5 A ACD
BC ∴∠ =∠ ,
3
∴AC= , ACD 4.
5 ∴cos∠ =
BC 5
∴ =6, 10.
D
AB AC2 BC2 . 11. 证明 连接BD交AC于点O 如下图
∴ = + =2 34 (1) : , , ,
四边形ABCD为平行四边形
8.5 ∵ ,
12 ∴ AD ∥ BC ,
9. [解析] 3 ∴∠ DAC =∠ BCA ,
(1)≠ tan60°=3,tan30°= , AC平分 BAD
3 ∵ ∠ ,
BAC DAC
∴ta 解 n A 如 ≠ 图 2tan 在 1 2 A A ; BC中 C AC BC ∴ ∴ ∠ ∠ BAC = = ∠ ∠ BCA , ,
(2) : 1, Rt△ ,∠ =90°, =4, ∴ AB = CB ,
=3,
∴
四边形ABCD为菱形
,
∴
AB
=
AC2
+
BC2
=5, ∴
AC
⊥
BD
,
又
∵
AC
⊥
EF
,
AD AB EF BD
∴ = =5, ∴ ∥ ,
D ABD AD BC即ED FB
∴∠ =∠ , ∵ ∥ , ∥ ,
BAC DCD AD AC 四边形BDEF是平行四边形
∴∠ =2∠ , = + =9, ∴ ;
BC 解 由 可知 四边形BDEF是平行四边形AC
1A D 3 1 (2) : (1) , ,
∴tan =tan =CD= = ; BD
如图 2 作AB的垂直平 9 分线 3 交AC于点E 连接 ⊥ A , DO FDE FB
(3) 2, , ∴∠ =∠ , = =5,
BE.则 BEC AAE BE A ABE.
∠ =2∠ , = ,∠ =∠ F ADO 3
∴sin =sin∠ = ,
∵Rt△
ABC中
,∠
C
=90°,
AC
=3,tan
A
=
1.
点E为边AD中点
5
3 ∵ ,
∴ BC =1, AB = AC2 + BC2 = 10 . ∴ AD =2 DE =10,
设 在 A Rt E △ = E x B , C 则 中 EC , x = 2 = 3- (3 x - , x )2 +1, ∴ 在 Rt△ AOD中 ,sin∠ ADO =A O D A = 3 5 , 即 O 1 A 0 =
3 解得OA
解得x 5 即AE BE 5 EC 4. , =6,
= , = = , = 5
3 3 3 四边形ABCD为平行四边形
BC ∵ ,
A BEC 3.
∴tan2 =tan∠ =EC= OA OC 1AC
4 ∴ = = ,
2
AC OA .
∴ =2 =2×6=12
第2课时 锐角三角函数(2) 正弦、余弦
1.解 :sin A = 2 5 5 ,cos A = 5 5 ,tan A =2 第3课时 30 ° ,45 ° ,60 ° 角的三角函数值
2. sin A = 4 ,cos B = 4 1.2 , 2 ,1
5 5 2 2
3.解 x : 可设A 得 C x =5 x cm, AB =13 x cm, 则BC =12 x cm, 由 2.解 :(1) 原式 =23× 3 - 2 2 =3- 1 = 5 ;
12=24, =2, 2 2 2 2
AB AC
∴ A = BC 26 的 cm 周 , 长为 =10cm, . (2) 原式 = 3×3 2 = 33 =63 .
4. ∴△ 5 6 7. 10+24+26=60cm 2× 3 -1 3 -1
B .C .C B 2 2
1
A"# 3
3.直角 4. 5 6. 10.解
C .B 105° :(1)①= ②= ③= ④= ⑤= =
7.解
:(1)
原式
=sin 2 30°+cos 2 30°+2sin60°+tan45°= (2) 证明 : S △ ABC= 1AB ·sin2 α · AC ,
3 . 2
1+2× 2 +1=2+3 S △ ABC= 1 ×2 AB sin α · AC cos α ,
2
(2) 原式 =8-2× 2 +2× 1 +2-1+(2 -1)-1 = ∴sin2 α =2sin α cos α.
2 2 第5课时 解直角三角形
.
22-2+1+2-1+2=22+2 1.c A B .
=6,∠ =30°,∠ =60°
8.10
6
9.
90°
10.6+2 2.解
:∵∠
C
=90°,∠
B
=45°,
3 4 A
11. ∴∠ =90°-45°=45°,
1 1 1 1 ab
证明 过点B作BD AC 垂足为点D 在 ∴ = =20,
R (1 t△ ) ADB : 中 ,sin A =A B B D ,co ⊥ s A =A A , B D , , 3 ∴ . c 解 = : 如 2 图 0 2 , + 作 2 C 0 2 H = ⊥ 20 AB 2 , . 垂 足为点
由勾股定理 , 得BD2 + AD2 = AB2, H.在 Rt△ BCH中 ,
BD 2 AD 2 ∵ BC =12,∠ B =30°,
∴ AB + AB =1,
CH 1BC
∴sin
2A
+cos
2A
=1;
∴ =
2
=6,
(2)
解
:∵∠
A为锐角
(cos
A
>
BH
=
BC2
-
CH2
=63
.
CH
0),sin
A
=
3
,sin
2A
+cos
2A
=1,
在
Rt△
ACH中
,tan
A
=
3
=AH,
5 4
AH
A 2A 4. ∴ =8,
∴cos = 1-sin =
第4课时 三角函数的计算
5
∴
AC
=
AH2
+
CH2
=10,
AB AH BH .
1. ∴ = + =8+63
D 4. 5.
2.解 . A 1
:(1)sin54°≈0809; 6.解 a b C
(2)cos40°≈0
.
766;
:(1)∵ =85,=8 15,∠ =90°,
(3)tan38°≈0 . 781; ∴ c = b2 + a2 = (8 15)2 +(85)2 =165,
' . A B .
(4)sin17°54≈0307; ∴∠ =30°,∠ =60°
'″ . . B c C
(5)cos57°3258≈0537 (2)∵∠ =45°,=14,∠ =90°,
3.解 由 A . 可得 A '″
:(1) sin =03035 ∠ ≈17°405; A ab 14 .
由 A . 可得 A '″ ∴∠ =45°,= = =72
(2) cos =01078 ∠ ≈83°4841; 2
由 A . 可得 A '″. 7.解 如图 过点A作AD BC垂足为
(3) tan =75031 ∠ ≈82°2430 : , ⊥ ,
4. 点D
B ,
5. B
sin41°<cos37°<cos21° ∵∠ =45°,
6. '″ '″ ABD是等腰直角三角形
(1)38°5157 3°88 ∴△ ,
'″ '″
(2)51°1811 80°272 AD BD 2AB 2 .
'″ '″ ∴ = = = ×2=1
(3)41°2358 86°2437 2 2
7.解 ' . AD
(2) : c ( o 1 s )t 1 a 8 n °5 6 9 3 ' ° 2 2 7 7 ″ ≈ ≈ 0 2 . 9 0 4 0 5 1 6 3 ; ; ∵tan C =CD= 1 2 ,
8.
(
解
3)sin6
已
7°
知
38 ' 24 ″
α
≈0 .
.
9248 .
α '″
∴C 1 D= 1
2
,
:(1) sin =04771,∠ ≈28°2946; CD
已知 α . α '″ ∴ =2,
(2) cos =08451,∠ ≈32°192; BC BD CD .
已知 α . α '″. ∴ = + =1+2=3
(3) tan =14106,∠ ≈54°3959 在 ACD中 根据勾股定理
9.解 如图所示 Rt△ , ,
: A AC : . . 得AC = AD2 + CD2 = 1 2 +2 2 =5,
∵cos =AB=25÷4=0625, ABC的周长 .
∴△ =2+3+5
A '″. 8. 9
∴∠ ≈51°194 A .C
答 梯子与地面所成锐角的度数约为 '″. 10.解 如图 作BH AC 垂足
: 51°194 : , ⊥ ,
为点H.
在 BHC中 C
(1) Rt△ ,sin =
BH
1 即BC BH.
BC= , =2
2
BH
在 BHA中 A 2 即AB BH.
Rt△ ,sin =AB= , =2
2
2
3A"#
∴thi A =A B B C =2; OD =(330-703)km,
AO AD
A ∴ =2 =(3302-706)km,
(2
B
)
C
∵thi =3, OB
=
BE2
+
OE2
=(1403+140)km,
∴AB=3,
∴
AO
+
OB
=3302-706+1403+140≈672(km),
C AC CB
∵∠ =30°, + =540+400=940(km),940-672=268(km),
答 隧道打通后与打通前相比 从A地到B地的路程
AB : ,
∴tan30°= 3 =BC, 将约缩短 .
3 268km
ABC
∴∠ =90°,
A
∴∠ =60°,
如图 根据对称性 A'BC是钝角三角形时 B'AC
, ,△ ,∠
=120°
故答案为 或
:60 120;
BC
在 ABC中 A .
(3) △ ,thi =AB 5.
3
在 Rt△ BHA中 ,sin A = B AB H . 6. M 解 : 过 过 点 点 B C 作 作 B C N M ⊥ A B H G , 垂 垂 足 足 为 为 点 点
在 Rt△ BHC中 ,sin C = B BC H = 1 , 即BC =2 BH. N , , 在 Rt△ CBM中 ⊥ ,∠ CB , M =53°,
2 BC
A A. =2m,
∴thi =2sin CM BC
第6课时 三角函数的应用(1) ∴ = ·sin53°
. .
1.解 设AB x 在 ACB和 ADB中 =2×08=16(m),
: = m, Rt△ Rt△ , 在 ABN中 BAN AB
C ADB CD Rt△ ,∠ =30°, =3m,
∵∠ =30°,∠ =45°, =80m,
DB x AC x BN 1AB .
∴ = m, =2 m, ∴ = =15(m),
2
BC = (2 x )2 - x2 =3 x m . ∵ AO =3 . 02m,
∵ CD = BC - BD =80m, ∴ 点C到工作台EF的距离 = CM + BN + AO =1 . 6+
x x . . .
∴3 - =80, 15+302≈61(m),
x . . 点C到工作台EF的距离约为 . .
∴ 答 该 =4 大 0 厦 (3 的 + 高 1 度 )≈ 是 1093 . (m) . 第 ∴ 7课时 三角函数的应用(2) 61m
2.解 =5 : : 过 , BF B = 作 C B E F = ⊥ 4 A , D 1 , 0 垂 9 足 3 为 m 点F.在 Rt△ ABF中 , AB 1.解 中 : , A (1 B ) = 过 5 点 m A ,∠ 作 B A A F F = ⊥ 1 B 6 C °, , 垂足为点F , 在 Rt△ ABF
∴ AF =3 . ∴ A 点 F A = A 到 B 墙 · 面 co B s C 16 的 °≈ 距 5 离 ×0 约 . 9 为 6= . 4 . 8(m),
在 R α t△ CDE 且 中 DE ,tan α C = E D C E E = i = 3 3 , ( ∴ 由 2) 题 过 意 点 得 A : A 作 G A = G CF ⊥ C , A E F , = 垂 C 足 G 为 = 4 G 4 . 8 , 8 m m ; ,
∴∠ =30° = α=43, CD .
tan ∵ =18m,
∴ 答 A : D 坡 = 角 A α F 等 + 于 FE 30 + ° E , 坝 D 底 =3 宽 + A 4 D . 5 为 +4 7 . 5 3 + = 4 7 . 3 5+ . 43 . ∴ 在 A D R G G t△ = A C D G D G G - C 中 D , = ∠ 4 A . D 8 G - = 1 4 . 8 5° = , 3(m),
∴ = ·tan45°=3(m),
CF AG
∴ = =3m,
在 ABF中AB BAF
Rt△ , =5m,∠ =16°,
BF AB . .
∴ = ·sin16°≈5×028=14(m),
BC BF CF . .
∴ = + =14+3=44(m),
遮阳篷靠墙端离地高BC的长为 . .
∴ 44m
3.
C
4.解 过点O作OD AC垂足为点DOE BC垂足为
: ⊥ , , ⊥ ,
点E设BE x 则OD CE x
, = km, = =400- (km),
CD OE BE OBE x x
∴ = = ·tan∠ = ·tan60°=3 (km),
AD = tan
O
∠
D
OAD=(400- x )(km), 2. B [解析]过点A作AD ⊥ BC , 垂足为点D , 则 ∠ BAD
AD CD AC CAD AD
∵ + = =540km, =30°,∠ =60°, =30m,
∴3 x +400- x =540, 在 Rt△ ABD中 , BD = AD ·tan30°=30× 3 =
x 3
∴ =703+70, .
BE OE AD 103(m)
∴ =(703+70)km, =(703+210)km, =
3
A"# 3
在 ACD中CD AD AC
Rt△ , = ·tan60°=30×3=303(m), 则CD 2
= ADC= =6,
∴ BC = BD + CD =403(m) . tan∠ 3
3
BD CD BC
∴ = - =(6-2)m,
答DB的长度为 .
: (6-2)m
2.解 设PC x 在 ACP中 PAC
: = m, Rt△ ,∠ =45°,
AC PC x
∴ = = ,
BC x在 BCP中 PBA
∴ =200- , Rt△ ,∠ =30°,
PC
PBA
3.解 在 ABD中AB AD 作CM DE垂 ∴tan∠ =BC,
: Rt△ , = =600m, ⊥ ,
足为点M 则CM AD x
, = =600m, 3
CM ∴ = x,
在 CEM中 600 4 3 200-
E R M t△ ,tan53°=EM=EM= 3 , 解得x =1003-100≈100×1 . 732-100=73 . 2, 即
∴ ∴ 答 AC 隧 = 道 = E 4 B 5 M C 0 + m 为 D , E =950 . (m), BC = AC - AB =350(m), P 答 C : = 风 7 筝 3 . 的 2 高 m, 度PC约是 73 . 2m .
: 350m 3.
(25+253)
4.解 CC' ABFE ABCM FEC'N FE则四边
:∵ ⊥ , ⊥ , ⊥ , ⊥ ,
形CMED和四边形C'NED均为矩形
,
CM C'N DE
∴ = = =25m,
FM
在 FCM中 FMC
Rt△ ,∠ =90°,tan10°=CM,
4.解
:
道路AB不穿过电力设施区域.
∴
FM
=
CM
·tan10°=25×0
.
18=4
.
5(m),
如 由 图 题 , 意 过 得 点C CA 作 D CD ⊥ AB , 垂足为点D C , B 设 D CD = x m, 在 Rt△ FC'M中 ,∠ FNC' =90°,tan18°=C F ' N N,
∠ =90°-60°=30°,∠ =90°-45° FN C'N . .
=45°, ∴
CC'
=
MN
·t
F
a
N
n18
F
°=
M
25×
.
032=80(m),
在 在 R R t t △ △ B A C C D D 中 中 , , B A D D = = C ta D C n D = 30 x ° ( = m) 3 . x (m), 5. ∴ 答 解 : : 登 在 机 = Rt 口 △ 调 ON = 节 Q 的 中 高 - , 度 ∠ C N C O = ' Q 3 为 = 5 3 3 m . 7 5 ° , , m N . Q =12cm,
∵ AB =1000m, ∴ ON = NQ ≈12× 4 =16(cm),
x x 解得x . tan37° 3
∴3 + =1000, =5003-500≈366(m) POM
由题意得sin∠ 4
∵366m>350m, NOQ= ,
道路AB不穿过电力设施区域. sin∠ 3
∴ POM 4 4 3 4
∴sin∠ = ×sin37°≈ × = ,
3 3 5 5
POM CON
∵∠ =∠ ,
POM CON 4
∴sin∠ =sin∠ = ,
5
CN
在 CON中 CON 4
第4题图 第5题图 Rt△ ,sin∠ =OC= ,
5
设CN x 则OC x
5.解 作BG AD垂足为点G. ∴ =4 cm, =5 cm,
:(1) ⊥ ,
∵Rt△ ABG中 ,∠ BAD =60°, AB =40, ∴ ON = OC2 - CN2 = (5 x )2 -(4 x )2 =3 x (cm),
∴ BG = AB ·sin60°=203, ∴3 x =16, 解得 : x = 16 ,
山坡的高度为 3
( ∴ 2) 作EF ⊥ AD , 2 垂 0 足 3 为 m 点 ; F.AG = AB ·cos60°=20 . ∴ CN =4 x = 6 3 4 (cm),
同理在 AEF中 EAD
Rt△ ,∠ =45°, CQ CN NQ 64 28 .
AF EF BG ∴ = - = -12= ≈93(cm),
∴ = = =203m, 答CQ的长约为 . 3 . 3
BE FG AF AG : 93cm
∴ = = - =20(3-1)m, 第9课时 利用三角函数测高
第 ∴ 8 B 课 E 时 至少 三 20 角 ( 函 3 数 -1 的 ) 应 m . 用(3) 1.解 : 根据 题意 ,∠ CAD =31°,∠ CBD =45°,∠ CDA =
1.解 在 ABC中AB ABC 90°,
AB
=30
.
: Rt△ , =2m,∠ =45°, 在 ACD中 CAD CD
∵ Rt△ ,tan∠ =AD,
AC BC AB 2
∴ = = ·sin45°=2× =2(m), CD
2 AD .
在 ADC中 ADC ∴ =
Rt△ ,∠ =30°, tan31°
4
3A"#
CD .
在 BCD中 CBD 536cm;
∵ Rt△ ,tan∠ =BD, 如图 过点B作BF AC于
(2) , ⊥
∴ BD CD = ta C n D 45° = CD.又AD = AB + BD , 点 ∵ F ∠ , EAB + ∠ BAF =90°,
CD. EAB AEP
∴ =30+ ∠ +∠ =90°,
tan31° BAF AEP
. ∴∠ =∠ =16°,
CD 30×tan31° 30×060 . 在 ABF中 AF AB
∴ = ≈ . =45 Rt△ , = ·
2. 答 解 : : B 这 C 座 = 1 灯 B - D 塔 t + a 的 n C 高 3 D 1° 度 = C A D D 1- × 约 0 t 为 an 6 4 0 3 5 2° m + . AD ×tan45°≈31 c 0 o . s 96 ∠ ≈ B 2 A 8 F . . 8 = ( 3 c 0 m × . ) c , B os F 1 = 6° A ≈ B 30 · × sin∠ BAF =30×sin16°
3. × 解 = 0 A : E . 过 6 , + 点 ∠ 3 A A 1 E × 作 D 1 A = = E 4 9 9 0 ⊥ ° . C 6 , D 由 ≈5 , 题 0 垂 ( 意 足 m 得 ) 为 . ∠ 点 D E AE , 如 = 图 45° 所 , 示 ∠ D . B 则 C B = C ≈ ∵ ∴ B 3 ∠ 0 F C × ∥ B 0 F C 2 D = 8 , ≈ ∠ B 8 C 4 D (c = m 3 ) 0 , °,
5 ∴ 3° △ , A A B DE =3 是 m 等 , 腰直角三角形 , ∴ . CF = BF ·tan∠ CBF =8 . 4×tan30°=8 . 4× 3 3 ≈
∴ 设 A B E C = = D A E E , = DE = x m, 则CD =( x +3)m, 4 ∴ 答 9 AC , 显 = 示 A 屏 F 顶 + C 端 F A = 与 28 底 . 8 座 + C 4 . 9 的 ≈ 距 33 离 . 7 AC (cm 约 ) . 为 . .
CD : 337cm
∵tan∠
DBC
=BC=tan53°≈
4
3
,
第10课时 直角三角形的边角关系复习(1)
∴ x x +3 ≈ 4 3 , 解得x ≈9, 1. A 2. B 3. D 4.1 1 2 3 1 5 3
∴
答
CD
旗
=
杆
9
C
+
D
3
的
=1
高
2(
度
m
约
),
为 .
5. (1)- 1
2
(2)-1-2
: 12m
6.解 1 2
: sin30°+ cos45°-2tan30°-tan60°
2 2
1 1 2 2 3
= × + × -2× -3
2 2 2 2 3
1 1 53
= + -
4 2 3
第3题图 第4题图 3 53.
= -
4 3
4.解 由题意 四边形ABED是矩形 可得DE AB 7.解 由勾股定理知
:(1) : , = : ,
= 在 6(m) D , A E D H = 中 BE =2(m), AC = AB2 - BC2 = 25-4= 21 .
∵ H ∠ R E t E △ DH DE =45°, , . ∴sin A =A B B C = 2 5 ,tan A =A B C C = 2 21 = 2 21 21 ,
∴ = =6(m) AC
BH EH BE . A 21.
∴ = + =6+2=8(m) cos =AB=
答 : 作 古树 HJ BH C 的 G 高 垂 为 足 8 为 m 点 ; J则 HJG是等腰三角形 8.解 :∵∠ ACB =9 5 0°, CD是中线 ,
(2) ⊥ , , △ , CD AD BD.
四边形BCJH是矩形 设HJ GJ BC x. ∴ = =
, FG = = = ∵ CD =2,
在
Rt△
EFG中
,tan60°=EF, ∴
AB
=4,
x +6 ∴ AC = AB2 - BC2 = 4 2 -(23)2 =2,
∴3= x , BC
A 23 3
x ∴sin =AB= = ,
∴ =3(3+1), 4 2
A
GF GJ JF x ∴∠ =60°,
∴ = + = +6=(33+9)m, B .
CG CF FG . ∴∠ =30°
∴ = + =2+33+9=(11+33)m 9.解 AD BC垂足为点D
答 : 教学楼CG的高为 (11+33)m .
∴
:
∠
∵ ADB ⊥
=∠
A , DC
=90°
. ,
5.解 :(1) 由已知得AP = BP = 1AB =15cm, 在 Rt△ ABD中 ,∠ ADB =90°,∠ ABC =60°, AB =2,
2 AD BD AD BD
在 APE中 B B 即 3 1
Rt△ , ∴sin =AB,cos =AB, = , = ,
AP 2 2 2 2
AEP 解得AD BD .
∵sin∠ =AE, =3, =1
BC
∴ AE = AP AEP= 15 ≈ 1 . 5 ≈53 . 6(cm), ∵ CD =3, .
sin∠ sin16° 028 ∴ =2
答
:
眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为 在
Rt△
ADC中
,
AC
=
AD2
+
CD2
=7
.
5
A"# 3
10.解 AD是边BC上的高AD AO AB
:(1)∵ , =12,
∴DO=CD,
B 4
sin = 5 , AB 200即AB的长为200
∴ = , cm;
∴∠ ADB =∠ ADC =90°,sin B = 4 =A 12 B, 过点O 3 作OE AB于点 3
5 (2) ⊥
∴ ∵ ∴ C B A C D B = = = 1 B 1 4 5 C , , B - D BD = =1 1 4 5 - 2 - 9 1 = 2 5 2 . =9, E ∵ △ , C O ∠ O F A D ⊥ O C B 是 D 等 = 于 腰 10 点 三 6° F 角 , , △ 形 如 A , 图 OB , 与
E为边AC的中点 ADC A B C D
(2)∵ ,∠ =90°, ∴∠ =∠ =∠ =∠ =
ED EA EC
∴ = = , 180°-106° =37°,
∴∠ EDC =∠ ECD , 在 2 DOF中
AD Rt△ ,
11. ( ∴ 1 t ) a 证 n∠ 明 E : D ∵ C 四 = 边 tan 形 ∠ A E B C C D D = 是 CD 菱形 = 1 , 5 2. O 在 F R = t O △ D B · O s E in 中 37° , O ≈ E 30 = × O 0 B . 60 · = si 1 n 8 3 (c 7 m ° ) ≈ , 50×0 . 60=
∴ AD ∥ BC且AD = BC , 30(cm),
∵ C C F F = C B E E , BE CE即EF BC ∴ E A F B = 距 O 离 E 地 + O 面 F 的 = 高 30 为 +18=48 . (cm),
∴ ∴ ∵ A A D D + = ∥ E E F F = , , + , = , 2. ∴ 解 在 : R 如 t△ 图 A , C 作 F C 中 F ⊥ , AB , 垂 48 足 c 为 m 点F.
∴
四边形AEFD是平行四边形
, ∵tan∠ ACF =C
A
F
F
,
AE BC
∵ ⊥ , AF
AEF
∴∠ =90°, ∴tan30°= ,
平行四边形AEFD是矩形 9
(
∴
2)
解
:
如图
,
过点E作EG ;
∴
AF
= 3 ,
AC垂足为点G则EG 9 3
⊥ , , ∥ AF .在 BCD中
BD , ∴ B = CD 33m Rt△ ,
∴ ∵ ∠ 四 B 边 OE 形 = A ∠ B O C E D G , 是菱形 , ∵ ∴ B ∠ D = CD =4 = 5 9 °, m,
BD =8, AC =4, ∴ AB = AF + BF =(33+9)m .
AC BDAO CO BO DO 答 旗杆的高度为 .
∴ ⊥ , = =2, = =4, : (33+9)m
在
Rt△
BOC中
,
由勾股定理
,
得BC
=
CO2
+
BO2
=
3
5
.
. C 解
4
连
.
1 接 0 A 00 D 过O作BC的垂线交
2 2 +4 2 =25, BC : 于点H 交 , AD于点F
AE BC , ,
∵ ⊥ , 根据题意可得AB CD
= =60cm,
∴ S菱形ABCD= BC · AE = 1 2 AC · BD = 1 2 ×4×8= ∠ AOD =83 . 6° .OD = OC = OA =
16,∠ AEC =90°, OB =30cm,
∴ AE = 16 = 85 , OE = 1AC = AO =2, ∴ AE = ED = 4 2 1 cm,
25 5 2 FH是AD的垂直平分线
2 ∴ ,
∴ CE = AC2 - AE2 = 4 2 - 85 = 45 , ∵ AE = DE.
5 5 点E在FH上
∴ ,
∵ S △ ACE= 1AC · EG = 1AE · CE , ∴∠ AOF =∠ DOF =41 . 8°,
2 2 AOD BOC
∴ AC · EG = AE · CE , ∴∠ AOD =∠ BOC ,
∴△ ≌△ ,
85 45
∴ EG = AE A · C CE = 5 × 5 = 8 , OF = OH =cos41 . 8× AO ≈30× 3 4 = 4 2 5 cm,
4 5
EG 8 ∴ AF =sin41 . 8°·40≈30× 2 =20cm,
BOE OEG 5 4. 3
∴cos∠ =cos∠ =OE= =
第11课时 直角三角形的边角关系复 2 习(2 5 ) ∴ AE = ED = 41 cm,
2
1.解 AO BO CO DO
:(1
AO
)∵
B与
=
COD
=5
是
0
等
cm
腰
,
三角
=
形
=30cm,
∴
EF
=
AE2
-
AF2
=
9
cm,
∴△ △ , 2
AOB COD EH F EF .
∵∠ =∠ , =20 - =405cm≠40cm,
A B C D 故这款马扎不能符合他的要求.
∴∠ =∠ =∠ =∠ ,
ABO DCO 6.解 由题意 得 EBA FAB
∴△ ∽△ , : , ∠ =∠ =30°,
6
3A"#
ABC EBC EBA 当月销售利润达到 元时
∴∠ =∠ -∠ = (3) 8000 ,
75°-30°=45°,
有
-10
x2
+1400
x
-40000=8000,
∴∠
C
=180°-45°-75°=60°
. 化简
,
得x2
-140
x
+4800=0,
过点A作AD BC 垂足为 解得x 或x
⊥ , =60, =80,
点D 当x 时 月销售成本为
, =60 , 40×(1000-10×60)=
则BD AD AB ABD
= = ·sin∠ 16000>10000,
当x 时 月销售成本为
2 =80 , 40×(1000-10×80)=
=60× =302(nmile),
2 8000<10000,
月销售成本不超过 元
CD = AD C= 302 =106(nmile), ∵ x 答 在月销售 10 成 00 本 0 不超 , 过 元的情况
tan 3 ∴ =80; : 13000
下 使月销售利润达到 元 销售单价应定为
∴ CB = BD + CD =(302+106)nmile . 元 , 千克. 8000 , 80
答 该船与目标C之间的距离 即CB的长度为 /
: (302 第13课时 二次函数的图象与性质(1)y=ax2
.
+106)nmile 1.略 2. 下 y轴 减小
7.解 延长BG交AC于点F 过点F作FH BD 垂 (1) (2) (3)(0,0) (4) (5)=0
足
:
为
(1
点
)
H 由图
,
可知FH CD
, ⊥ ,
(6)=0
大
0
3.
B
4.
D(
提示
:
m2
-1=2,
m
<0)
, , = =30m, 5. 6.y轴 直线x 上 小
BFH α D =0 (0,0) > < 0
∵∠ =∠ =30°, 7.m y轴 或直线x
0 <1 <0 ( =0) (0,0)
在 Rt△ BFH中 , BH = 3 3FH =103≈17 . 32, 8. (1) a = 5 9 , t = 2 9 0 (2) 抛物线的表达式为y = 5 9 x2,
FC . .
再用 =30 . -1732=1 . 268 所 , 以在四层的上面 即第五层 当x =-3 时 , y = 5 ×(-3)2 =5, 所以这个函数的图
1268÷3≈423, , , 9
答 此刻B楼的影子落在A楼的第 层 象经过点 .
: 5 ; (-3,5)
连接BC 9. 10.
(2) , B D
∵
BD
=3×10=30=
CD
,
11.解
:∵
m2
-3
m
-2=2,
∴∠
BCD
=45°,
整理
,
得m2
-3
m
-4=0,
解得m
1=4,
m
2=-1
.
答 当太阳光线与水平面的夹角为 度时B楼的影 由题意得m 解得m
: 45 , (1) :-3>0, >3,
子刚好落在A楼的底部. m .
∴ =4
∴
函数关系式为y
=
x2;
当x 时y随x的增大而减小
(2)∵ >0 , ,
m
∴ -3<0,
m
∴ <3,
m
∴ =-1,
函数关系式为y x2.
∴ =-4
第二章 二次函数 第14课时 二次函数的图象与性质(2)y=ax2+k
第12课时 二次函数 1.略
1 2 . . A 解 : y =- 4(1+2 x )( x -3)=-4( x -3+2 x2 -6 x )= 2. ( ( 1 4 ) ) 减 下 小 (2 (5 ) y )0 轴 大 ( 或 - 直 1 线 x (6 = ) 下 0 ) 1 (3)(0,-1)
- 常 8 数
x2
项 + 是 20 1
x
2 + . 12
.二次项系数是
-8,
一次项系数是
20,
3
5
.
. B 向 上
4
.D y轴 (0,-4) 减小 0 小 -4
3. -3 4. (1) S =- x2 +30 x (0< x <30) (2)56cm 2 6.y = x2 -3 7.y =-3 x2 +2
5. C 6 .C 7. -2 8.y =10( x +1)2 8.解 :(1) 对称轴是y轴 , 顶点坐标为 (0,3);
9.解
:(1)
由题意得y
=
x
(32-2
x
)=-2
x2
+32
x
; (2)
对称轴是y轴
,
顶点坐标为
(0,-2)
.画图略.
x 9. 10
(2)∵32-2>0, C .C
∴ x <16, 又 ∵ 门宽是 2m, 11. (1) 解 :∵ 函数y =( m +3) xm2 +4 m -3 +5 是关于x的二
x 次函数
∴ ≥2, ,
x . m
∴2≤ <16 +3≠0 解得m 或m .
10. ∴ m2 m , :=1 =-5
C +4 -3=2
11. m 该函数的对称轴为y轴 点A y B y
(1)=1; (2)∵ , (1,1),(5,2),
m 且m 且y y
(2)≠0 ≠1 1> 2,
12.解 x 在对称轴右边y随x的增大而减小
:(1)1000-10 ∴ , ,
[解析] x x m 解得m .
500-(-50)×10=1000-10; ∴ +3<0, <-3
(2)
y
=(
x
-40)(1000-10
x
)=-10
x2
+1400
x
- ∴
m
=-5
.
x 12.解 点 b在直线y x上
40000(50≤ ≤100); :(1)∵ (2,) =2 ,
7
A"# 3
b . x2
∴
又
∵
=
(
4
2,
b
),
即
(2,4)
在抛物线y
=
ax2
+3
上
,
∴
V
=
x2· h
=
x2· 6
2
-
x =-
1
2
x3
+3
x
,
∴4 a +3=4, 故答案为 :- 1x3 +3 x ;
2
a 1 作图如下
∴ =
4
; (2) ,
在y x中 令y 则x
(2) =2 , =2, =1,
∴
A
(1,2),
抛物线y
=
1x2
+3
的顶点B为
(0,3),
4
∴ S △ AOB= 1OB ·│ xA│= 1 ×3×1= 3.
2 2 2
第15课时 二次函数的图象与性质(3)y=ax-h2
1.略
2. 下 直线x 增大
(1) (2) =1 (3)(1,0) (4) (5)=1
3 .
大
4 0 (6)
y
=-
x2 右
1 (3) 解 :①∵ 当x =1 . 50dm 时 , V =2 . 81dm 3, 此时处于
C .A 最高点
5.向下 直线x 减小 大 ,
6.x 右 7. =-3 (-3,0) 0 ∴ 结合图象可得 , 底面边长为 1 . 50dm 时 , 这个盒子的
2 < -3 0 体积最大
8. x 解 增 : 抛 大 物 而 线 减 表 小 达 . 式为y =-3( x -2)2, 当x >2 时 , y随 故答案为 , :1 . 50,
9. 10. ②∵ 当x =0 . 75dm 时 , V =2 . 04dm 3, 当x =2 . 00dm
11 B .解 :∵ 抛 A 物线y = a ( x - h )2 向右平移 3 个单位长度 , 时 , 结 V 合 =2 图 . 0 形 0 得 dm 这 3, 个盒子的体积为 时 底面边长为
∴ 又x 得 - 到 h 的 - 抛 3= 物 x 线 + 表 1, 达式y = a ( x - h -3)2, 即a =2 . 0 ∴ 故 . 7 答 5 案 dm 为 或 2 . . 00 或 dm . . . 2 ,
∴ h =-4, 第17课时 :0 二 7 次 5 函数 2 的 00 图象与性质(5)y=ax2+bx+c
12. ∴ 解
a
:( = 1 2 )∵ ,
h
正 = 方 -4 形
.
O ABC的边长为 4, 1.解 : y 对 = 称 - 轴 是 x 直 +1 线 x 2 +2, 开 . 口向下 , 顶点坐标为 (-1,
∴ B (4,4), C (0,4), 2), =-1
a (4- h )2 =4,解得 a =1, 2.解 : 开口向下 , 顶点坐标为 - 3 , 23 , 对称轴为直线
∴ ah2
=4,
h
=2,
2 2
所以 , 抛物线的关系式为y =( x -2)2; x =- 3.
(2)∵
点B
(4,4),
y x
3.
D
4
.B
2
5
.C
6.
(2,1)
直线OB的表达式为y x联立 = , 7.
∴ x x = , y =( x -2)2, 8. - 解 2 :( 1) - y 7 = ( x < + - 8 2 )2 - - 6 2 4 ± , 开 7 口 向上 , 对称轴为直线x =
解得 1=1, 2=4,为点B舍去
点 E y 1 的 = 坐 1 标 , y 为 2=4 ( , ), ( - 2 8 ) y ,( = -8 - , ( - x 6 + 4 1 ); )2 -1, 开口向下 , 对称轴为直线x =
∴ (1,1),
点E到BC的距离为 -1,(-1,-1)
∴ 4-1=3, 9. 10 11.
C .D ±42
S △ BCE= 1
2
×4×3=6 . 12.解 :(1)∵ k =-1,
1
2 3 6 7
第
.
. . . . B ( ( 解
1
略
直 1 5
6
) ) : 线 4 (
课
下 - 1 x 开 . 1 ) D
时
= 令 方 (2 - y 大 5 得
二
) 1 = . 直 C x
次
0 - 线 , (
函
2 则 - x
数
1 - = ,
的
( 3 6 - ( -
图
x ) 4 y 1 ) -
象
= 2
与
- 解 - ) ( 2 x 3
性
3 得 + 2 )
质
9 ( x - =
(
大
4
左 0 1
) y
, , 1
=
整 1 - 0
a
2 理 ) 下
x
, 得
-
x
h
( ( 2 4 x ) -
2
增
+
2
k
大 )2 (
∴
∴
∵ ∴ ∴ 故 ∴ 2
y
)
抛
此 在 当 答 抛 ①
=
x
物
时 抛 案 物
x
∵ ≤ a
2
线
物 为 线 M
-
1 =
的
线 : L
2
1 直 时 点
x
2
对
的 > : 线 , 关
-
y 0
称
左 函
1
x = 于 ,
轴
侧 数
-
= 直 -
2
为
函 值 1
=
线 ( ; x y
直
数
x
( y 1 -
线
值
2
随 , =
-
1 - y x
x
1
2
) 4
x
2
=
随 的 的 ) +
-
1
; x x 增 对 6
3
,
≤
顶
的 = 大
=
称 1
点
增
(
而 - 点
x
;
为
x 大 减
-
为 2
(
1
而
1
小 M +
)
'
,
2
减 , 2
-
x
-
(1 小
4
4
+ ,
)
6 ,
,
,
5 ) , , 列
=3, , -2=±3, ,1=2+3,2=2- 表为
所以 该抛物线与x轴的交点坐标是 :
3, , (2+3,0),(2
x
两点间的距离是 … -3 -2 -1 0 1 …
-3,0), |2+3-2+3|=23;
(2) 令x =0, 则y =-3(0-2)2 +9=-12+9=-3, 即 y = x2 -2 x -3 … 12 5 0 -3 -4 …
该抛物线与y轴的交点坐标是 .
8.解 :(1)∵ h = 6- x
x2
,
(0,-3)
L
y =
L
- x
图
2
象
+2 x
如
+
图
5
所示
… -10-3 2 5 6 …
2 1,2 , :
8
3A"#
故抛物线与x轴交点 或
:(-2,0) (-1,0),
当x 时y 故抛物线与y轴交点 .
=0 ,=2, :(0,2)
7.解
:(1)
x2
-4
x
-5=0,(
x
-5)(
x
+1)=0,
x
-5=0
或x
解得x x
+1=0, :1=5,2=-1;
二次函数的图象的顶点是M
(2)∵ (-1,4),
∴ 设二次函数的表达式是y = a ( x +1)2 +4,
函数图形经过点A
∵ (-3,2),
∴2= a (-3+1)2 +4, 解得a =- 1 ,
2
∴ y =- 1 ( x +1)2 +4=- 1x2 - x + 7 ,
2 2 2
即该二次函数的表达式是y 1x2 x 7.
=- - +
2 2
②∵ 抛物线 : y = x2 +2 kx + k -2=( x + k )2 - k2 + k 8. (1) 解 :∵ 二次函数y = ax2 + bx -3 a经过点A (-1,
C
-2, 0),(0,3),
∴
顶点为M
(-
k
,-
k2
+
k
-2), ∴
根据题意
,
得
∴
M点关于直线y
=-
k对称的点M'
(-
k
,
k2
-3
k
+
a
-
b
-3
a
=0
a ,
2), -3=3
顶点M'的纵坐标y与横坐标x之间的关系式为y a
∴ 解得 =-1
=
x2
+3
x
+2;
b
=2
,
③
当顶点M恰好落在x轴上时
,
k2
-3
k
+2=0,
解得
∴
抛物线的表达式为y
=-
x2
k 或k . x .
=1 =2 +2+3
第18课时 确定二次函数的表达式(1)
(2)
存在.y
=-
x2
+2
x
+3
对称轴为直线x
=1
.
1.解 : 根据题意设抛物线表达式为y = a ( x -2)2 +3, 把 ① 若以CD为底边 , 则P 1 D = P 1 C ,
2. ( 为 解 3 y , : 1 (1 = ) 代 ) - ∵ 入 2 二 ( x , 得 次 - a 2 函 + ) 数 2 3 + y = 3 1 = = , x - 解 2 2 + 得 x m 2 a x + = 8 + x - n - 2 过 5 , 则 . 点 抛 (- 物 3 线 ,0 表 ), 达 (1 式 , ( 设 根 x P - 据 1 1 勾 ) 点 2 股 + 坐 ( 标 定 4- 为 理 y ( x 可 )2 , y , 得 ), P 1 C2 = x2 +(3- y )2, P 1 D2 =
0), 9-3 m + n =0,解得 m =2, 因 即y 此x2 + x (3 . - y )2 =( x -1)2 +(4- y )2,
( ∴ 二 2 ) 次 1 ∵ 函 y + m 数 = x + 的 2 n 表 + = 2 达 x 0, 式 -3 为 = y ( x = n x + = 2 1 + ) - 2 2 3 x - , 4 - , 3; 又 ∴4 P - = 1 x 4 点 = - ( x - , x y 2 ) + 在 2 抛 x + 物 3 线 , 即 上 x , 2 -3 x +1=0,
抛物线的对称轴为直线x 顶点坐标为 解得x 3+5x 3-5 应舍去
∴ =-1, (-1, 1= ,2= <1, ,
. 2 2
-4)
3.解 : 当x =0 时 , y = x2 + bx + c = c , 则C (0, c ), c <0, ∴ x = 3+5 ,
OB OC OA 2
∵ = =2 ,
∴ B (- c ,0), A ( 1c ,0), ∴ y =4- x = 5- 2 5 ,
2
设抛物线为y =( x + c ) x - 1
2
c , 即点P 1 坐标为 3+
2
5 , 5-
2
5 .
若以CD为一腰
即y
=
x2
+
1cx
-
1c2, ②
点P 在对称轴右
,
侧的抛物线上 由抛物线对称性
2 2 ∵ 2 ,
∴- 二次 1 2 c 函 2 数 = c 表 , 解 达 得 式 c 为 1 y =0( x 舍 2 去 x ), c 2= . -2, 知 为 ( , 2 点 ,3 P ) 2 . 与点C关于直线x =1 对称 , 此时点P 2 坐标
4.y ∴
=-
1x2
+
6x
+
19 = - -2 ∴ 符合条件的点P坐标为 3+
2
5 , 5-
2
5 或 (2,3) .
7 7 7 第19课时 确定二次函数的表达式(2)
5 6 . . y 解 = : 把 - ( ( x 1, + 6 1 ), ) ( 2 - 3,2) 两点代入二次函数y = x2 + bx + c 1.解 : 设所 求二次函 a 数的 b 表 c 达式为y = ax a 2 + bx + c ( a ≠
得 1+ b + c =6, 根据题意 得 a + + b = c 6, 解得 b =1,
9-3 b + c =2, 0), , c 9-3+ =6, c =2,
解 故 当 则 y ( 得 二 x = 次 + c b 0 1 函 = = 时 ) 2 3 数 ( x , , , 0 表 + = 2 达 x ) 2 式 = + 0 为 3 , x y 解 + = 得 2 x x 2 1 + = 3 x - + 1 2 , x , 2=-2, 2. ∴ 向 解 将 ( 所 上 : 3 (1 , . 求 ) - 设 二 4) 抛 次 代 物 函 入 线 , 数 得 的 的 - 表 = 4 表 3 达 = , 达 式 - 式 为 8 a y 为 , = y a = ( x x + 2 1 + ) = 2 ( x x 3 - , + 5 3 ), , 开口
9
A"# 3
解得a = 1 2 , - 4 2 ( m -4)2 +42≤42,
则该抛物线的表达式为y = 1 ( x +1)( x -5), 即y = ∴ 当m =4 时 , 其最大值为 42, 此时点P (4,-12);
2 设点Ett 点F n 当AP是对角线时
(3) (,-8), (3,), ,
1x2
-2
x
-
5
;
由中点坐标公式得
:4+8=
t
+3,
解得t
=9,
2 2 则点E 当AE或AF是对角线时
(2)∵ y = 1 2 x2 -2 x - 5 2 = 1 2 ( x -2)2 - 9 2 , 由 解 中 得 点 t
(
坐
9,
标
1)
公
;
或 式得 则 t + 点 8 E =4+3 或 8+ 或 3=
,
t +4,
∴ 该抛物线的顶点坐标是 2,- 9 . 综上 : 点 = E -1 的坐 7 标 , 为 (- 或 1,-9) (7 或 ,-1); .
2 , :(9,1) (-1,-9) (7,-1)
3. 第20课时 二次函数的应用(1) 运动轨迹问题
B
4.解 由表得抛物线的顶点为 抛物线的表达式 1.
:(1) (0,5), B
为y
=
ax2
+5,
2.
(1)
解
:(1)
根据题意可得抛物线的顶点坐标为
把 解得 x a =1
=
, y
-
=
2
3
,
代入y = ax2 +5, 得a +5=3, 4 . 5, 2
8
5 , 且过点 (0,2),
( 所 2) 以 当 二 x 次 = 函 -2 数 时 表 , y 达 = 式 - 为 2 y x = 2 + - 5 2 x = 2 - + 2 5 × . 4+5=-3, 则 设y关于x的函数表达式为 : y = a ( x -4 . 5)2 + 2 8 5 ,
m =-3; 把 (0,2) 代入表达式得 :2= a ( x -4 . 5)2 + 25 , 解得 : a =
当y
=-27
时
,-2
x2
+5=-27,
解得x
=4
或x
=-4,
8
5. 则 解
ax
n
:
在 = y
a
±
=
4 a . x2
解 - 得 2
a
x
x
-3
a
x (
a
>0)
中
,
令y
=0,
得ax2
-
-
∴
1
所
1 8
求
,
表达式 : y =- 1 ( x -4 . 5)2 + 25 ;
2 -3=0, 1=3,2=-1, 18 8
A B 解 该生在此项考试中得不到满分
∴ (-1,0),(3,0), (2) : ,
OB
∴ OB = O 3 C , 理由 : 当y =0, 则 ,- 1 ( x -4 . 5)2 + 25 =0,
∵ ∴ OC = = 3, , 解得 : x 1=12, x 2=- 1 3 8 ( 舍去 ), 8
∴ C (0
a
,-3), ∵1 该 2< 生 1 在 2 . 此 4, 项考试中得不到满分.
6. ∴ ∴ ∴ 解 a - 抛 :( = 1 3 物 1 )∵ = , 线 B - 表 3 的 达 , 坐 式 标 为 为 y = (- x 2 2 - ,0 2 ) x , -3 . 3 4 . . A ∴ 解 + 5 A : A ( a (0 ≠ , 0 2 ) ) 在 , , B 抛 (6 物 ,5 线 ) 上 .设抛物线表达 式为y = a ( x -6)2
∴ OB =2, ∵ (0,2) ,
∴ 故 O 点 A A = O C C 的 = 坐 8, 标分别为 ∴ 代入 , 得a =- 1 1 2 ,
, (8,0),(0,-8);
而抛物线的表达式可写为y = a ( x +2)( x -8)= a ( x2 ∴ 抛物线的表达式为y =- 1 ( x -6)2 +5 .
-6 x -16), 把C (0,-8) 代入得 -16 a =-8, 解得a 5.解 :(1)① 轨迹如图 ; 12
1
= ,
2
故抛物线的表达式为y
=
1x2
-3
x
-8;
2
直线CA过点C
(2)∵ ,
设其函数表达式为y kx
∴ = -8,
将点A坐标代入上式并解得k
= 故 过 1 点 直 , P 线C 作 A y 的 轴 表 的 达 平 式 行 为 线 y 交 = A x C -8 于 , 2 ② 将 . 8 ( 根 0 , , 据 2) 题 代 意 入 , 关 设y 系式 与x , 得 的 2 函 = a 数 (0 关 - 系 6 式 )2 为 + y 2 . = 8 a , ( x -6)2 +
点H 解得a 1
, =- ,
OA OC 45
∵ = =8, 经检验其它数据xy也满足上述关系
OAC OCA (,) ,
∴∠ =∠ =45°,
∵ PH ∥ y轴 , ∴ y =- 4 1 5 ( x -6)2 +2 . 8 .
PHD OCA
∴ 设 ∠ 点P m = , 1
2
∠ m2 -3 = m 4 - 5° 8 , , 则点H ( m , m -8), ③
∴
当 这 x 次 = 发 9 球 时 能 , y 过 = 网 - . 4 1 5 (9-6)2 +2 . 8=2 . 6>2 . 24,
∴ PD = HP sin∠ PHD = 2 ( m -8- 1m2 +3 m +8)= (2) 当OA =2 时 , 抛物线的解析式为y =- 1 ( x -6)2
2 2 45
10
3A"#
+2
.
8, 286m
2.
设击球高度OA h则平移距离为h 5. 6.
= , (-2)m, B B
7.解 设菜地的宽AB为x 则菜地的长AD为
∴ 平移后的抛物线的解析式为y =- 1 ( x -6)2 +2 . 8 :(1) x . m, (40
45 +2-3)m
+ ∵ h 9≤ - x 2, ≤18, 当x =9 时 , y >2 . 24, 根 解 据 得x 题 1 意 =4 得 , x x 2 (4 = 0 1 + 0 2 , -3 x )=120,
∴- 4 1 5 ( x -6)2 +2 . 8+ h -2>2 . 24, 当 当 x x =4 时 时 ,40+2-3 x x =30>28,( 不 符 合 合 题 题 意 意 , . 舍去 );
∴ h >1 . 64, 当x =18 时 , y =0, 答 此 = 时 10 宽A , B 40 为 +2-3=12<28,
: 10m;
∴- 1 ( x -6)2 +2 . 8+ h -2=0, (2) 设菜地的面积为S m 2, 则 :
h 45 .答 击球高度OA的取值范围是 . OA 依题意得S = x (42-3 x )=-3( x -7)2 +147,
∴ =24 : 164m<
. . 因为 x 解得14 x
≤24m 0<42-3≤28, ≤ <14;
第21课时 二次函数的应用(2)几何图形面积最值问题 3
1.解
:
设每 间饲养室的宽为x
m,
当
即
x
花
=
圃
7
的
时
最
,
S
大
取
面
最
积
大
为
值
,
此时
2.
S
=147
.
则长为50-2 x x 第22课时 二次函数的 14 应 7 用 m (3) 销售利润问题
=(25- )m,
2 1.解 设每件商品定价为x元时 销售利润为y元 则
则y =2 x (25- x )=-2 x2 +50 x =-2 x - 25 2 + y与 :( x 1) 的函数关系式为 : , ,
2 y x x
=(-2)[500+100(13- )]
62
2
5 ,
=-100
x2
+2000
x
-3600;
∴
当x
=12
.
5
时
,
y取得最大值.
(2)
y
=-100
x2
+2000
x
-3600
答 : 每间饲养室宽x为 12 . 5m 时 , 总占地面积y最大. =-100( x -10)2 +6400,
2.解 :(1) 由已知得DECF是矩形 , 故EC = DF = y , AE = 当x =10 时 , 最大利润为 6400 元 , 则商店定价为 10 元
8- EC =8- y ; 时 , 才能使每天销售这种小商品的利润最大 , 这个最大
DE BC 利润为 元.
(2)∵ ∥ , 6400
ADE ABC 2.解 每件售价为x元 由题意得
∴△ ∽△ , :(1)∵ , :
∴ DE ∶ BC = AE ∶ AC , 即x ∶4=(8- y )∶8, ( x -40)[100+10(60- x )]=(60-40)×100,
∴ y =8-2 x (0< x <4); 整理得 : x2 -110 x +3000=0,
(3) S = xy = x (8-2 x )=-2( x -2)2 +8, 解之得 : x 1=50, x 2=60,
∴ 当x =2 时 , S =-2(2-2)2 +8, 即S有最大值 8 . 当x 1=50 时 , 日销售量为 200 件 ,
当x 时 日销售量为 件
3.解
:(1)
由题意得
,
y
=
x 20
-
x
=-
x2
+10
x
(0<
x
< 为
2
了
=6
尽
0
快销
,
售完这批特
1
产
00
每件
,
售价应定为 元
2 ∴ , 50 ;
由题意得w x x x
10); (2) :=(-40)(-10 +700)=-10(-
(2) 当y =24 时 ,- x2 +10 x =24, 即x2 -10 x +24=0, 55)2 +2250,
解得x 或x
=4 =6; ∵-10<0,
(3)∵ y =- x2 +10 x =-( x -5)2 +25,-1<0, ∴ 当x =55 时 , w有最大值 , 最大值为 2250,
当x 时y最大 最大为 当每件的售价定为 元时 所获得的日利润最大
∴ =5 , , 25, ∴ 55 , ,
当边长x为 时 矩形的面积最大 最大面积是 最大日利润为 元.
∴ 5cm , , 2250
2. 3.解
25cm :15 1250
4.解 根据题意得 xx 解得x 或x [解析]设每件童装降价x元时 利润为w元
:(1) (48-2 )=280, =10 , ,
w x x
=14, =(40- )(20+2)
∴ 当x为 10m 或 14m 时 , 苗圃园面积为 280m 2; =-2 x2 +60 x +800
(2) 设苗圃园的面积为y m 2, 则y = x (48-2 x )=-2 x2 =-2( x -15)2 +1250,
+48 x =-2( x -12)2 +288, ∵-2<0,
二次项系数为负 w有最大值 即当x 时w有最大值为 元
∵ , ∴ , =15 , 1250 ,
苗圃园的面积y有最大值. 答 每件童装降价 元时 商场平均每天盈利最多 每
∴ : 15 , ,
当x 时 即平行于墙的一边长是 天最多盈利 元.
∴ =12 , 24m,24>22, 1250
不符题意舍去 4.解 设y kx b将 代入上式
; :(1) = + , (50,120)、(60,100) ,
墙长a kb k
∵ =22m, 得 120=50+ 解得 =-2
x kb, b ,
∴48-2≤22, 100=60+ =220
x . y x x
∴ ≥13 ∴ =-2+220(50≤ ≤85);
∴ 当x =13 时 , y最大 =286m 2, (2) 为保证获得 1600 元的销售利润 , 则该天的销售单
答 当x 时 这个苗圃园的面积最大 最大值为 价x应满足 x x
: =13m , , :(-50)(-2+220)=1600,
11
A"# 3
解得x 或x
=90 =70, 150),
x
∵50≤ ≤85, a 解得a 1
x 答 当销售单价定位 元时 销售利润为 ∴150= (50-100)(50+100), ,=- ,
∴ =70; : 70 , 50
元
1600 设销 ; 售利润为W 元 根据题意得W x ∴ y =- 5 1 0 ( x -100)( x +100)=- 5 1 0 x2 +200,
(3) , =(-50) 当x 时y取得最大值 此时y 即拱门的最
(-2 x +220)=-2 x2 +320 x -11000=-2( x -80)2 ∴ 大高度 = 是 0 , . , =200,
200m
+1800, 3. 4.
当x 时 销售利润最大 最大值为 元 A 9
=80 , , 1800 ,
答 当销售单价定为 元时 可使当天的销售利润最 5. 3
大 : 最大利润是 80 元. , (1) 2 ;
5.
, 1800
(2)
y
=-
1x2
+2
x
;
B 2
6. W ( 解 2) :( ① 1) 当 y 1 = ≤ 62 x - ≤ 0 2 . 0 5 x ( 时 x , -20)=- x 1 2 x +72 . . 6. ( 解 ∴ 3) : 设 水 (1 抛 ) 面 ∵ 物 宽 抛 线 是 物 的 2 线 解 2 顶 析 m 点 . 式 坐 为y 标 = 为 a (3 ( x ,4 - ) 3 , )2 +4 .
=(62-36)×(5+40)=130+1040 把 . 代入 得a 1.
∵130>0, (0,22) , =- 5
W随x的增大而增大
∴ 当x 时 W 最大 , .W 的最大值为 ∴ y =- 1 ( x -3)2 +4;
∴ =20 , :130×20+ 5
10 当 40=36 x 40 元 ; 时 (2) 把x =5 . 5 代入抛物线解析式y =- 1 5 ( x -3)2 +
② 21≤ ≤40 ,
得y 11.
W
=(5
x
+40)-
1x
+72-36 =-
5x2
+160
x
+
4, =
4
2 2
11 .
1440=- 5 ( x -32)2 +4000 . ∵ 4 ≠305,
2 此球不能投中 小丽的判断是正确的.
∴ ,
∵- 5 2 <0, (3) 当y =3 . 2 时 ,3 . 2=- 1 ( x -3)2 +4, 解之 , 得x =
当x 时W有最大值 元 5
∴ =32 , 4000 , 或x .
1 =5
∵4000>3640,
第 天时利润最大 为 元. ∵5>3,
∴ 32 , 4000 x .
( 得 3) : x 由 ≥ (2 19 ) 知 , , 当 1≤ x ≤20 时 ,130 x +1040≥3510, 解 ∴ 答 帽 : 成 张 = 功 1 亮 . 应在李明前面 1m 范围内处跳起拦截才能盖
∴ 共有 2 天 ; 当 21≤ x ≤40 时 ,- 5 2 ( x -32)2 +4000 1 第 . 24课 二 时 次 函 二 数 次 的 函 图 数 象 与 与x 一元 轴 二 无 次 交 方 点 程(1)
(1) ;
≥3510,
第
∴
∴ 元 23 2
1
的 1
8
课 ≤
≤
天 时 x
x
数 ≤
≤
为 4
4
二 0
6
22 次 ,
,
共 天 函 2 . 数 0 的 天 应 , 综 用 上 (4 , ) 日销 建 售 立 利 平 润 面 不 直 低 角 于 坐 3 标 51 系 0 2.
(
解 ∴
2)
: 抛 令 物
1
x
0
线
+
2 = 与 0
2
, y 得
,0
轴 y 的 =
,
2 交
1
,
0
点
-
2 坐
2
标
,0
为 (0
.
,2) .
1.解 : 由题 意 , 得点C坐标为 (25,0 ), A (0,-20), 令y =0, 得y = 2 3 x2 - 8 3 x +2=0,
设函数表达式为y = a ( x -25)2, 解得x =1 或x =3 .
将点A坐标代入 , 得a ×25 2 =-20, ∴ 抛物线与x轴的交点坐标为 (1,0) 和 (3,0) .
3.解 如图 以BC所在直线为x轴
解得a 4 : , ,
=- , AB所在直线为y轴建立直角坐
125
标系
桥拱所在抛物线的表达式y
=-
1
4
25
(
x -25)2.
由题
,
意知
,
抛物线的顶点P的坐
2.解 直 此 : 角 时 如 坐 抛 图 标 所 物 系 示 线 , , 与 建 x 立 轴 平面 的 标 设 代 为 抛 入 ( 物 1, 线 3 . 的 6) 表 , 点 达 A 式 ( 为 0, y 2 = ), a ( x -1)2 +3 . 6, 将点A (0,2)
, ,
交点为C (-100,0), 得 : a +3 . 6=2, 解得 : a =-1 . 6,
D (100,0), 则抛物线的表达式为y =-1 . 6( x -1)2 +3 . 6, 当y =0
设这条抛物线的表达式 时 , 有 -1 . 6( x -1)2 +3 . 6=0, 解得 : x =-0 . 5( 舍 ) 或
为y ax x x .
= (-100)(+ =25,
. BC . .
100) ∴ =25m
抛物线经过点B 答 水流的落地点C到水枪底部B的距离为 . .
∵ (50, : 25m
12
3A"#
4. 5. 6.m 且m
C D <3 ≠-1
7.解 5
:(1) ;
3
(2) 由 (1) 知抛物线表达式为y =- 1 ( x -4)2 + 5 ,
24 3
当y =0 时 ,- 1 ( x -4)2 + 5 =0,
24 3
解得x 或x 舍 .
:=4+2 10 =4-2 10( )
答 羽毛球落地点与O点的水平距离为 .
: (4+2 10)m
8.解 当x 时y 当x 时y 则
:(1) =-3 , =0; =1 , =0,
|9-3 b + c |=0,解得 b =2, 第26课时 二次函数复习(1)
bc c
|1+ +|=0, =-3, 1. 2 3. 4. 5. 6.
( 故 2) 函 当 数 x 的 = 表 - 达 1 式 时 为 , y y = = | x | x 2 + 2 + 2 x 2 x - - 3| 3|; 7. D D [ . 解 C 析 ] ∵ B h = 1 2 A g t2, C B
= = | 4 1 = - m 2 , -3| ∴ t = 2 g h = 2× 1 0 0 . 45 =0 . 3(s),
同理可得n 根据表格数据 通过描点 连线绘制函 L x L R
=3, , 、 ∵ < < +2 ,
数图象如下 L .
: 根据x vt可得最小速度为 03
= 0, :t= .=1(m/s),
03
L R . .
最大速度为 +2 03+2×05 13
:t = . = (m/s),
03 3
由此可知 选项 在此范围内 不符合题意 选项
, A,B,C , ,
. 不在此范围内 符合题意 故选 .
D5m/s , , :D
8.解
:(1)
y
=
x2
+4
x
+4-6-4
=(
x2
+4
x
+4)-10
=( x +2)2 -10;
(2) y =( x +2)2 -10,
a
∵ =1>0,
二次函数图象的开口向上 对称轴是直线x
∴ , =-2,
顶点坐标是 .
(-2,-10)
9.解 在正方形ABCD中BC 动点P以每秒
:(1)① , =4, 1
个单位长度的速度从B点出发匀速运动 到达点C时
,
停止
从图象看 函数的对称轴为x 答案不唯一 ,
, =-1( ); 设点P的运动时间为t ADM的面积为S
故答案为 函数的对称轴为x 答案不唯一 s,Rt△ ,
:4,3, =-1( ); 当t 时BP CP
(3)
观察函数图象知
,
当
0<
t
<4
时
,
y
=
t和y
=|
x2
+ 又
=
Q
2
四边
,
形A
=
B
2
C
,
D是
=
正
4-
方
2
形
=2,
2
x
-3|
有
4
个交点
,
即关于x的方程
|
x2
+
bx
+
c
|=
t ∵
B C AD CD
,
有 个不同实数根. ∴∠ =∠ =90°, = =4,
4 AP PM APB CPM
第25课时 二次函数与一元二次方程(2) ∵ ⊥ ,∠ +∠
PMC CPM
1.x 或x 2. =∠ +∠ =90°,
3. =-1 =3 或 C x ∴∠ APB =∠ PMC ,
(1)(3,0) (2)-1 3 (3)-1< <3; PC CM
(4) x <-1 或x >3 ∴AB=BP,
4. 5 6 7.x 或x 8. 9. PC CM CM
10 C .解 .A 如图 .C 把 ≤-2 ≥4 代入 B y kx < b得 ∴AB=BP, 2 = ,
:(1) , (-2,1),(-1,2) = + 4 2
kb CM 则DM
-2+ =1,解得k b ∴ =1, =3,
∴ - 一 k 次 + b 函 = 数 2 解 , 析式为 = y 1 2 , = x =3 + , 3, 当x =-3 时 , y 2= ∴ 故 R 答 t 案 △ A 为 DM的面积S = 1 2 AD · DM = 1 2 ×4×3=6;
( ( - 故 2 3 3 ) ) 答 当 不 + 案 3 - 等 = 为 2 式 0 ≤ :0 x ; x 当 , 2 3 ≤ ( x x ; 0 + = 时 3 - ) , 3 ≤ 函 k 时 数 x , y y + 2 1 b = 随 的 0 自 + 解 变 3 集 = 量 为 3 的 x ; 增 ≤ 大 - 而 3 减 或 小 -1 ; ② ∵ ∴A P 当 △ B C A 点 B = P P C BP M : ∽ 由 1, , △ 点 6 即 P ; C 4 C - M 运 t 动 , = C 到 t M 点 , B时 , CP = t ,
x 4
≤ ≤1; t2
b ( 故 4 = ) 答 6 m , 案 , n 则 为 m 分 < 别 n 满 . . 足关于x的方程x2( x +3)=6 和kx + ∴ ∴ C D M M = = 4 4 - - 4 CM , = t2 -4 t +16 ,
:< 4
13
A"# 3
ADM的面积S 1AD DM 1
所以PQ
=-
t2
+2
t
+3-(-
t
+3)=-
t2
+3
t
,
∴Rt△ = · = ×4×
2 2 当t 3 3时
t2
-4
4
t
+16
=
1
2
t2
-2
t
+8(0≤
t
≤4), PQ
=
最
2
大
×(
最
-
大
1)
值
=
2
0+
,
3 2 9.
故答案为
:
S
=
1
2
t2
-2
t
+8;0≤
t
≤4; 3.解 :(1) 抛
,
物线的表
=
达
4×
式
(
为
-
:
1
y
)
=
=
x
4
2 -4 x -6;
(2) t =1 时 , S = 1 2 -2+8=6 . 5, t =2 时 , S =2-4+8 ( ∴ 2) 对 把 称 y 轴 = x 方 2 程 - 为 4 x x - = 6 2 配 , 顶 方 点 , 得 坐 y 标 = 为 ( x (2 - , 2 - ) 1 2 0 - ) 1 . 0 ,
=6, t =3 时 , S = 9 -6+8=6 . 5, 4.解 :(1) 将点A (2,0), B (0,2) 代入y =- x2 + bx + c ,
2 bc b
完成列表中的填空如下 得 -4+2+ =0,解得 =1,
: :c c
=2, =2,
t … 0 1 2 3 4 … ∴ 这条抛物线的表达式为y =- x2 + x +2;
BOP是以BO为底边的等腰三角形 且OB
S
… 8 6
.
5 6 6
.
5 8 …
(2)∵△ ,
在图 的坐标系中绘制出函数的图象 =2,
3 : 点P的纵坐标为 .
∴ 1
当y
=1
时
,-
x2
+
x
+2=1,
解得x 1+5x 1-5
1= ,2= ,
2 2
点P的坐标为 1+5 或 1-5 .
∴
2
,1
2
,1
5.解 任务一 设水柱所在抛物线的函数解析式为y
: 、 :=
ax2
+
x
+
c
(
a
≠0)
.
由题意得 抛物线经过的点A的坐标为 2 点F
: 0, ,
3
的坐标为 点D的坐标为 .
(4,3), (8,0)
(3)①∵ S =7, c 2 a =- 1 6 ,
∴ 1
2
t2 -2 t +8=7, 解得t =2±2, ∴
16
= a
+
3
4
b ,
+
c
=3,
解得 : b = 5
4
,
故答案为 a bc
② 当点P : 由 2± 点C 2; 运动到点B时 , CP = t , 64+8+ =0, c = 2 3 ,
∴ S △ ABP= 1AB · BP = 1 ×4 t =2 t , 2 2
ABP的面积为S的一半
∵△ ,
∴2
t
=
1t2
-2
t
+8,
解得t
=6±25, 2
t
∴0≤≤4,
t .
∴=6-25
第27课时 二次函数复习(2)
1.解
:(1)
将点B
(-1,0),
C
(2,3)
代入y
=-
x2
+
bx
+
c
,
bc b 得 -1- + =0 解得 =2 bc , c , -4+2+ =3 =3 此抛物线的表达式为y x2 x . ∴ =- +2+3 (2) 在y =- x2 +2 x +3 中 , 当x 时y
=-2 , =-4-4+3=-5, 若点 平移后的对应点为 则需将
(-2,-5) (-2,-1),
抛物线向上平移 个单位长度.
4 2.解
:
当y
=0
时
,-
x2
+2
x
+3=0,
解得x
1=-1,
x
2=3,
则A
(3,0),
当x
=0
时
,
y
=-
x2
+2
x
+3=3,
则B
(0,3)
.
设直线AB的表达式为y kx b
= + ,
kb k 把A B 代入 得 3+ =0,解得 =-1,
(3,0),(0,3) , b b
=3, =3,
所以直线AB的表达式为y x .
=- +3
设P
(
t
,-
t
+3),
而PQ
∥
y轴
,
则Q
(
t
,-
t2
+2
t
+3),
14
∴ 水柱所在抛物线的函数解析式为 : y =- 1x2 + 5x 6 4
2 + ;
3
任务二 、 当y =1 . 75 时 ,- 1x2 + 5x + 2 =1 . 75 .
6 4 3
x2
-7
.
5
x
+6
.
5=0,
x x . .
(-1)(-65)=0
解得x x ..
:1=1,2=65
p ..
∴1< <65 任务三 薄膜所在平面可看成是一条直线MN. 、 薄膜所在平面和地面的夹角是 ∵ 45°, 薄膜所在平面的直线解析式为y x b. ∴ :=- + 当薄膜所在直线与水柱所在抛物线相切时 ,
y x b =- + ,
y
=-
1x2
+
5x
+
3
, 6 4 2
∴-
x
+
b
=-
1x2
+
5x
+
2.x2
-13
.
5
x
+(6
b
-4)
6 4 3
.
=0
只有一个交点
∵ ,
∴(-13 . 5)2 -4×(6 b -4)=0 . 24 b =198 . 25 .b ≈8 . 3 .
y x ..
∴ =- +83
直线与x轴的交点为 . .过点MF MN于点
∴ (83,0) ⊥
M 且MF . 过点F作M'N' MN 交x轴于
, =01m, ∥ ,
3A"#
点M'. 第29课时 圆的对称性
MFM' .由题意得 MM'F 1.
∴∠ =90° :∠ =45°, 50°
MF 2.解 AB CD
MM' . . :∵ = ,
∴ = ≈01414(m)
OM'
si
.
n45°
. . 答 薄膜与地面接触点 ∴
A︵B
=
C︵D
,
∴ 与喷水 = 口 8 的 3 水 + 平 0 距 14 离 14 为 ≈ 8 8 . 4 4( m m . ) : ∴ A︵B - A︵D = C︵D - A︵D , 即A︵C = B︵D ,
A B
∴∠ =∠ ,
AD BC.
∴ ∥
3.证明 连接OC
: ,
∵
点C为A︵CB的中点
,
AOC BOC.
∴∠ =∠
AD BEOA OB
∵ = , = ,
OD OE.在 COD与 COE中
第三章 圆 ∴ = △ △ ,
第28课 时 圆
OD
=
OE
,
1. ∠
DOC
=∠
EOC
,
2. C 解 OAOBOCOD AB ABBC OC = OC ,
:(1) , , , (2) (3) ,
∴△
COD
≌△
COE
(SAS),
(4)
A︵C
,
B︵C
,
B︵D
,
C︵D
,
A︵D A︵DC
,
B︵AC
,
B︵AD
, ∴
CD
=
CE.
4. 5 6
A︵CD , D︵AC 7. B 证 明 .C AB .80 C ° D
3. 4 5 6 7 :∵ = ,
C .A .C .C .C
8.解
:(1)
如图
, ∴
A︵B
=
C︵D
,
A︵B
-
C︵B
=
C︵D
-
C︵B
,
即A︵C
=
B︵D
,
AB OCOB OC C B
∵ = , = , ∴∠ =∠ ,
AB BO CE BE.
∴ = , ∴ =
AOB A 8.解 连接OC.
∴∠ =∠1=∠ =20°; :(1)
A OA OC
(2)∵∠2=∠ +∠1, ∵ = ,
A. OAC ACO.
∴∠2=2∠ ∴∠ =∠
OB OE AC OD
∵ = , ∵ ∥ ,
E OAC BOD
∴∠2=∠ , ∴∠ =∠ , 第8题图
E A DOC ACO
∴∠ =2∠ , ∠ =∠ ,
DOE A E A . BOD COD
∴∠ =∠ +∠ =3∠ =60° ∴∠ =∠ ,
9. 10
B .D B︵D C︵D.
11..或 . ∴ =
65 25
12.解 :(1) 由题意可知在圆上存在点A使 ∠ ADO =30° 和 (2)∵ B︵D = C︵D ,
∠ ∴ A D E , E O = 是 3 , 0 ☉ °, O的半角关联点 , 故答案为D , E ; ∴ B︵D = C︵D = 1 2 B︵C ,
由直线解析式可直接求得M N DOC BOD 1 .
(2) (-23,0),(0,-2), ∴∠ =∠ = ×(180°-58°)=61°
以点O为圆心ON的长为半径画圆 交直线MN于 2
, , AOD .
点G 可得m 设小圆 O与y轴负半轴的交点为 ∴∠ =58°+61°=119°
, ≤0, ☉ 9. 10. 11.
点H 连接OGHG B 125° 60°
, , , 12.证明 连接OBOC
M N
:(1) , ,
∵ (-23,0),(0,-2) A︵B A︵C.
OM ON ∵ =
∴ =23, =2, AB AC
∴ = ,
tan∠ OMN = 3 ∵ OC = OB , OA = OA ,
3 AB AC
OMN ONM = ,
∴∠ =30°,∠ 在 AOB与 AOC中 OC OB
△ △ , = ,
=60° OA OA
OGN是等边三角形 = ,
∴△ AOB AOC
GH y轴 ∴△ ≌△ (SSS),
∴ ⊥ ,
∴∠1=∠2,
∴
点G的纵坐标为
-1,
代入y
=- 3
3x
-2,
可得
,
横
∴
AO
连接
平
A
分
O ∠ 并
BA
延
C
长 ; 交BC于E 连接OB
坐标为 (2) , ,
-3,
∵
AB
=
AC
,
AO平分
∠
BAC
,
∴ m ≥-3, ∴ AE ⊥ BC ,
∴-3≤
m
≤0
. 设OA
=
x
,
可得
:
AB2
-
BE2
=
AE2,
OB2
=
OE2
+
BE2,
15
A"# 3
可得 :(45) 2 -4 2 =( x + OE )2, x2 = OE2 +4 2, OE + x ∴ AC = CB =0 . 9m,
=8, ∴ OC = AO2 - AC2 = 1 . 5 2 -0 . 9 2 =1 . 2(m),
解得x OE CD OD PC . . .
:=5, =3, ∴ = + =15+12=27(m),
半径OA的长 . 拱门最高点D到地面的距离为 .
∴ =5 ∴ 27m;
如图 - 弦EF 且EF CD连接OE.
(2) 21, =2m, ⊥ ,
CD EFCD经过圆心
∵ ⊥ , ,
EJ JF
∴ = =1m,
∴ OJ = OE2 - EJ2 = 1 . 5 2 -1 2 = 5 ≈1 . 118,
2
CJ . . . . .
∴ =12-1118=0082(m),∵05>0082,
搬运该桌子时能够通过拱门.
∴
第30课时 垂径定理
1.解 连接OA
: ,
OC AB垂足为点CAB
∵ ⊥ , , =4,
AC BC .
∴ = =2
在 AOC中
Rt△ ,
OC AC
∵ =1, =2,
由勾股定理得
:
AO
=
AC2
+
OC2
第31课时 圆周角和圆心 角 的关系(1)
2 2 .
2.
=
证明
2
如
+
图
1=
过点
5
O 作OM AB垂足为点M
1.
4
2.
C
则AM
:
BM
,
.
⊥ , , 3.解
:
如图
,
连接OC
,
又 OE = OF ∵∠ AOC =2∠ B ,
∵ = , DAC B
EM FM ∠ =2∠ ,
∴ = , AOC DAC
AE BF. ∴∠ =∠ ,
∴ = AC OC.
∴ =
又 OA OC
∵ = ,
AOC是等边三角形
∴△ ,
AC AO 1AD .
∴ = = =3cm
2
4. 5. 6. 7.
C 90° 80° 15°
第2题图 第3题图 8.解 :∵∠ APB =∠ APC =60°,
ABC APC ACB APB
3.解 CD AB且过圆心O ∴∠ =∠ =60°,∠ =∠ =60°,
:∵ ⊥ , ABC ACB BAC
∴∠ =∠ =∠ =60°,
AD 1AB 1 ABC是等边三角形
∴ = = ×12=6(m), ∴△ ,
设半径为r 2
m,
2
9. ∴△ 1
A
0
BC的
11
周
.
长
=3
AB
=3×3=9
.
∴ OA = OC = r m, 12 B . 证 .D 明 2 P 0° C PBC C
∴ 在 ∴ 故 r O R 2 t D O = △ = A ( 的 9 C O D - 半 D r - 径 ) 中 O 2 为 + C , O 6 = A 2 . , ( 2 9 解 = - O 得 r D r )m 2 = + . 6 A . 5 D . 2, ( ( ∴ ∴ 1 2 C ) ) ∠ B 解 P ∥ : = 如 P : ∠ D ∵ 图 P ; ∠ 所 BC 示 = , , ∠ 连接 , C ∠ O , 设 =∠ ,
☉ 65m OC OB x 则OE OB
4. 5 6.25 BE = x = , = -
7. C 解 则 ∵ ∴ A O : ∠ D 连 E O . E ⊥ 接 A = B B 1 O 6 C B = - , 9 B , R 6 0 设 C ° , O , = B B 1 E 6 = , = OA 1 2 = B R C , =8 . 在 得 在 得 ∴ x C C R R = 2 E E t t - ( 2 2 △ △ = = ( C C x - C B O B - 8 O C E E 8 ) 2 2 , ) - - 中 中 2 O B = : : E E 1 由 由 2 2 2 2 , , 勾 勾 -8 股 股 2 定 定 , 解 理 理 得x =9
由勾股定理得OB2
=
OE2
+
BE2,
∴☉
O的半径为
9
.
即R2 =(16- R )2 +8 2, 解得 : R = 第32课时 圆周角和圆心角的关系(2)
即 O的直径为 . 1.
10, ☉ 20 A
8. 2.解 CBE
D :∵∠ =50°,
9.解 如图 中 连接AO. ABC CBE .
:(1) 2 , ∴∠ =180°-∠ =180°-50°=130°
CD ABCD经过圆心O 四边形ABCD为 O的内接四边形
∵ ⊥ , , ∵ ☉ ,
16
3A"#
D ABC . BCD
∴∠ =180°-∠ =180°-130°=50° ∵∠ =120°,
DA DC DAB
∵ = , ∴∠ =60°,
D
∴∠ DAC = 180°-∠ =65° . ∵ B︵C = C︵D ,
2
3. 解 如图 CAD CAB 1 DAB .
(1) : , ∴∠ =∠ = ∠ =30°
AB是 O的直径 2
∵ ☉ , AC CM.
AEB . ∴ =2
∴
又
∠
BA
=
C
90° 有勾股定理可得CM
=
AC2
-
AM2
= 4
CM2
-75,
∵∠ =45°, 解得CM
ABE . =5,
∴ 又 ∠ ∵ AB = = AC 45° , 在 Rt△ CBM 中 , CB = CM2 + BM2 = 25+3=
ABC C ..
∴∠ =∠ =675° 27,
EBC . CB .
∴∠ =225°; ∴ =27
证明 连接AD. 第33课时 确定圆的条件
(2) :
AB是 O的直径 1. 2. 3.略 4. 5. 6. 7. 8.
∵ ☉ , A B C C B B (1,4)
∴ ∴ 又 B A ∠ ∵ D D A AB ⊥ D C B B = D C = A . . C 90 , ° . 9 13 . 1 . ( [ 1 解 1 ) 0 ( 析 1 . ( , ] 0 1 ) ) 如 略 图 ( ; 2 (2 : ) ∵ ) 上 12 在 0° 内 y ;( 3 轴 ) ( 2 3 上 ) 3 (0 有 ,2 1 一 1 ), . 点 C (0 Q , 1 - , 2 2 满 . ) 5 足 ∠ AQB
4 6 . . B ∴ 5 证 . 8 = 明 0° 如图 连接AD = ∴ ∠ 图 A 中 C Q B 1 , , Q 2 即为所求 , 且Q 1(0,2), Q 2(0,-2) .
(1) : , ,
AB是 O的直径
∵ ☉ ,
ADB 即AD BC.
∴∠ =90°, ⊥
CD BD
∵ = ,
AD垂直平分BC.
∴
AB AC.
∴ =
B C.
∴∠ =∠
又 B E
∵∠ =∠ ,
E C.
∴∠ =∠
四边形AEDF是 O的内接四边形
∵ ☉ ,
CFD E.
∴∠ =∠
C CFD
∴∠ =∠ ;
C CFD E
(2)∵∠ =∠ =∠ =50°, 第34课时 直线和圆的位置关系(1)
7.
D
∴ ∠ 8
B
.
D
A
F
=∠
C
+∠
CFD
=100° 1
3
.
. 3 证 ≤ 明
r
≤ 如 5 图
2.
连
相
接
交
O B
9.
(1)
证明
:∵
B︵C
=
C︵D
, AB
:
是 O
,
的切线
,
BC DC ∵ ☉ ,
∴ = , OB AB.
四边形ABCD内接于 O ∴ ⊥
∵ ☉ , CE AB
ADC ABC ∵ ⊥ ,
∴∠ +∠ =180°, OB CE
ABC CBE ∴ ∥ ,
∵∠ +∠ =180°, .
ADC CBE ∴∠1=∠3
∴∠ =∠ , OB OC
BC DC ∵ = ,
=
在 ADC和 EBC中 CBE ADC ∴∠1=∠2,
△ △ ,∠ =∠ ,
BE AD ∴∠2=∠3,
= CB平分 ACE.
ADC EBCSAS ∴ ∠
∴△ ≌△ ( ), 4. 5. 6.
AC CE A A 6
∴ = ; 7. 证明 连接AD
解 过点C作CM AE由 得 ADC EBC (1) : ,
(2) : ⊥ , (1) △ ≌△ , AB AC BAC
AD BE . ∵ = ,∠ =120°,
∴ = =43 ∴∠ B =∠ C =30°,
∵ AB =63, ∵ AD = BD ,
AE .由 得AC CE BAD B
∴ =103 (1) = , ∴∠ =∠ =30°,
ACE为等腰三角形. ADC
∴△ ∴∠ =60°,
CM AE DAC
∵ ⊥ , ∴∠ =180°-60°-30°=90°,
AC是 D的切线
AM EM 1AE . ∴ ☉ ;
∴ = = =53 解 连接AE
2 (2) : ,
BM AB AM . AD DE ADE
∴ = - =63-53=3 ∵ = ,∠ =60°,
17
A"# 3
ADE是等边三角形 OC BD
∴△ , ∴ ∥ ,
AE DE AED BD CD
∴ = ,∠ =60°, ∵ ⊥ ,
EAC AED C OC CD
∴∠ =∠ -∠ =30°, ∴ ⊥ ,
EAC C CD为 O的切线.
∴∠ =∠ , ∴ ☉
AE CE 8.证明 连接OD.
∴ = =23, :
∴☉ D的半径AD =23 . ∵ AC是直径 ,
8. B 9. C ∴∠ ADC =90°,
10. 证明 连接OBOAOA交 CDB .
(1) : , , ∴∠ =90°
CD于点F 如图 又 E 为BC 边的
, , ∵
PB与 O相切 中点
∵ ☉ , ,
OB PB DE为直角 DCB斜边的中线
∴ ⊥ , ∴ △ ,
OBP 即 OBA
∴∠ =90°, ∠ + DE CE 1BC
PBE ∴ = = ,
∠ =90°, 2
PB PE DCE CDE
∵ = , ∴∠ =∠ ,
PBE PEB OC OD
∴∠ =∠ , ∵ = ,
PEB AEF OCD ODC
∵∠ =∠ , ∴∠ =∠ ,
OBA AEF ODC CDE OCD DCE ACB
∴∠ +∠ =90°, ∴∠ +∠ =∠ +∠ =∠ =90°,
OA OB ODE
∵ = , ∴∠ =90°,
OBA OAB DE是 O的切线.
∴∠ =∠ , ∴ ☉
∴∠ OAB +∠ AEF =90°, 9. (1) 证明 : 图形如图所示 , 连接OD.
∴∠ AFE =90°, ∵ OA = OD ,
∴ OA ⊥ CD , ∴∠ OAD =∠ ODA ,
∴
A︵C
=
A︵D
,
即点A是C︵D的中点
; ∵
AD平分角
∠
BAC
∴∠
OAD
=∠
CAD
,
(2) 解 :∵ A︵C = A︵D , ∴ O ∠ D ODA AE =∠ CAD ,
∴ ∵ ∠ ∠ C A A C B D = = ∠ ∠ E A A B C C , , ∴ ∵ DE ∥ ⊥ AE , ,
∴ ∴ ∵ A A △ C C A ∶ = C A E 4 A E B , ∽ A = E △ A A = A E E B BC ∶ E A , , C , ( ∴ ∴ 2 A D ) 直 E D 解 线 ⊥ : 平 如 D O 分 E D 图 角 , 是 , 过 ☉ B 点 O A D C 的 作 切 D D E 线 F ; ⊥ AE AB D 于 F F A . B
∴4∶2 = ∶4, ∵ ∠ , ⊥ , ⊥
解得AE 负值舍去 即AE的长为 . DF DE
=22( ), 22 ∴ = =3,
第35课时 直线和圆的位置关系(2) AB
∵ =4,
1.证明 AB是直径 半径OD
:∵ , ∴ =2,
ACB
∴∠ B = B 9 A 0° C , . ∴ OF = OD2 - DF2 = 2 2 -(3) 2 =1,
∴∠ +∠ =90° ODF
B CAE ∴∠ =30°
∵∠ =∠ , DOB
BAE BAC CAE BAC B ∴∠ =60°,
∴∠ =∠ +∠ =∠ +∠ =90°, OD OB
AE是 O的切线. ∵ = ,
∴ ☉ OBD是等边三角形
2. 3. 4.5.略 ∴△ ,
6. 4 解 : CD B 与 ☉ O B 相切.证明 : 如 又 ∵ DF ⊥ AB ,
图
,
连接OD
,
则
∠
BOD
= ∴
OF
=
FB
=
1OB
=1,
DAB . 2
2∠ =2×45°=90° AF AB FB
AOD . ∴ = - =4-1=3,
∴∠ =90°
∵ 四边形ABCD是平行四 ∴ 在 Rt△ ADF中 , AD = AF2 + DF2 = 3 2 +(3) 2
边形
, .
=23
AB DC.
∴ ∥
CDO AOD .
∴∠ =∠ =90°
OD CD.CD与 O相切.
∴ ⊥ ∴ ☉
7.证明 BC平分 ABD
:∵ ∠ ,
OBC DBC.
∴∠ =∠
OB OC
∵ = ,
OBC OCB
∴∠ =∠ ,
OCB DBC
∴∠ =∠ ,
18
3A"#
第36课时 直线和圆的位置关系(3) OF OC
∴ = ,
1.解 连接OEOF AB是 O的切线
: , , ∴ ☉ ;
O分别与边ABBCCA 连接CE
∵☉ , , (2) ,
相切于点DEF DE是 O的直径
,,, ∵ ☉ ,
OE BCOF ACAF DCE
∴ ⊥ , ⊥ , = ∴∠ =90°,
AD BE BD CE
=8, = =12, D 1
OEC OFC . ∴tan =CD= ,
∴∠ =∠ =90° 2
∵∠ C =90°, ∵∠ ACE +∠ BCE =90°,∠ OCD +∠ BCE =90°,
∴
四边形OECF是矩形.
∴∠
ACE
=∠
OCD
=∠
D
,
∵ OE = OF , ∴ ACE ∽ ADC ,
四边形OECF是正方形 AC CE
∴ ∴ EC = FC = r , , ∴ 设 A A D C =C x D 则 = A 1 2 D , xAO x
B ∴ C A = C B = E A + F E + C F = C 1 = 2 8 + + r r , , 在 A R C t△ = AO , C中 , x = 2 + 2 3 2 , =(2 = x 2 -3 - ) 3 2 , , 解得x =4,
AB AD BD . ∴ =4,
在 R = t△ AB + C中 = , A 1 B 2 2 + = 8 B = C 2 2 0 + AC2, ∵ O Rt B △ B O O F F ∽Rt△ BAC ,
∴20 2 =(12+ r )2 +(8+ r )2, ∴AB=AC= 3 ,
∴
r2
+20
r
-96=0,
即
(
r
-4)(
r
+24)=0, 设OB a则
4
AB aBF a
解得r 或r 舍去 . =3, =4, =4-4,
:=4 =-24( )
∴☉ O的半径r为 4 . 在 Rt△ BOF中 ,3 2 +(4 a -4)2 =(3 a )2, 解得a 1= 25 ,
2 3 . . C 解 由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等 所以 a 2=1( 舍去 ), 7
: ,
四边形的周长 =2×(7+10)=34 . ∴ AB =4 a = 10
7
0.
4. 5. 第37课时 圆内接正多边形
6.
B
提
D
示 连接IDIF
76°( : , , 1. 2.
DEF 43 2π
∵∠ =52°, 3. 圆心O到AF的距离为
DIF . (1) 23cm;
∴ ∵ D ∠ , F是 = 切 10 点 4° , (2) 正六边形ABCDEF的面积 =243cm 2.
DI ABIF AC 4. 5. 6. 7. 8.
∴ ⊥ , ⊥ ) D C 45 23 2
7. 证明 过点D作DF BC于点F
(1) : ⊥ , 9. BPC 10. 11.273
AB为 D的切线 (1)∠ =45°;(2)82 C
∵ ☉ , 2
∵ 又 ∠ ∵ B B A D D 平 = 分 90 ∠ ° ABC , 12.解 : 正 (1 八 ) 正 边 八 形 边 的 形 内 的 角 外角 = 36 8 0° =45°,
AD DF. ∴ =180°-45°=135°;
( ∴ ∵ ∴ ∴ 2 B A D ) C D F 如 = 图 是 是 是 , ☉ ☉ ☉ D D D 的 的 的 切 半 半 线 径 径 ; , , DF ⊥ BC , ( 过 ∵ ∴ 2 O A A ) 点 A O 如 H O H = 图 = O 作 B 2 B O H 中 , H O B = , O H 8 连 ⊥ H ( A ⊥ c 接 B m A O B ) 于 A , , . , 点 OB H , .
∵ AB =5, BC =13, ∠ A = H ∠ . =225°,
∠ BAD =90°, 由题意 OA= 038 ,
∴
AC
=
BC2
-
AB2
= ∴ OA ≈21cm,
1
2 2 .
13-5=12 ∵21<22,
ABBC是 D的切线 这个托盘适用于此八角花盆.
∵ , ☉ ; ∴
BA BF 第38课时 弧长及扇形的面积
∴ = =5,
CF BC BF
∴ = - =13-5=8, 1.π π 2. 3. 16π
设AD R则DC AC AD R 40° 163-
Rt△ DF = C中 , , DC2 = = DF - 2 + FC = 2 12 ,( - 12- , R )2 = R2 +8 2, 4. B 3 AB [解 6 与 析] O 连 相 接 切 O 于 B , 点B 3
解得R = 10 , ∵ ABO ☉ . ,
3 ∴∠ =90°
ABC
AC AD 10 ∵∠ =120°,
∴ =12, = OBC .
3 ∴∠ =30°
8. OB OC
D ∵ = ,
9.证明 过点O作OF AB于F OCB
:(1) ⊥ , ∴∠ =30°,
AO是 ABC的角平分线 BOC
∵ △ , ∴∠ =120°,
19
A"# 3
nr BCP OCB
B︵C的长为 π 120×π×3 . ∴∠ +∠ =90°,
∴ = =2π BCP ACO.
故选 . 180 180 ∴ O ∠ A OC =∠
B ∵ = ,
5. D 6. 6π 7.x -22+2 8. 6 π 9. D ∴∠ A A =∠ B A C C P O. .
∴∠ =∠
10. 33- 4 π 11. 1010π 12.5π +2+23 在 △ PBC和 △ PCA中 ,∠ BCP =∠ A ,∠ P =∠ P ,
3 3 PBC PCA
第39课时 圆复习(1) ∴△ ∽△ ,
BC PB
1. 2. 3. 4 5 6. 7 8 9.相离 2 1
D C C .D .A B .C .C ∴AC=PC= = ,
4 2
10.
23,120°,1
11.3
2 ∴tan∠
CAB
=A
B
C
C
=
1.
12.解 :(1)∵ AB是 ☉ O的一条弦 , OD ⊥ AB , 2. (1) 证明 : 连接DO. 2
∴
A︵D
=
B︵D
, ∵
AD
∥
OC
,
DAO COB ADO COD.
DEB 1 AOD 1 ∴∠ =∠ ,∠ =∠
∴∠ = ∠ = ×52°=26°; 又 OA OD
2 2 ∵ = ,
(2)
根据勾股定理
,
得AC
=
OA2
-
OC2
=4
.
∴∠
DAO
=∠
ADO
,
AB是 O的一条弦OD AB COD COB.
∵ ☉ , ⊥ , ∴∠ =∠
AB AC . OD OB
∴ =2 =2×4=8 = ,
13. 证明 OB OD 在 COD和 COB中 DOC BOC
(1) :∵ = , △ △ ,∠ =∠ ,
ABD ODB OC OC
∴∠ =∠ , = ,
AB AC COD COB
∵ = , ∴△ ≌△ (SAS),
ABC ACB CDO CBO .
∴∠ =∠ , ∴∠ =∠ =90°
ODB ACB 又 点D在 O上
∴∠ =∠ , ∵ ☉ ,
OD AC. CD是 O的切线.
∴ ∥ ∴ ☉
DE AC 解 COD COB.
∵ ⊥ , (2) :∵△ ≌△
DE OD CD CB.
∴ ⊥ , ∴ =
OD是 O的半径 DE BC
∵ ☉ , ∵ =2 ,
DE是 O的切线 ED CD.
∴ ☉ ; ∴ =2
解 如图 过点O作OH AD OC
(2) : , ⊥ ∵ ∥ ,
AF垂足为点H 则 ODE EDA ECO
, , ∠ = ∴△ ∽△ ,
DEH OHE AD DE
∠ =∠ =90°, 2.
四边形ODEH是矩形 ∴OC=CE=
∴ , 3
∴ OD = EH , OH = DE , ∵ AD =5,
∵ ∴ O B F H = = O F B H , =1, 3. ∴ OC 证 = 明 1 2 5 过 . 点 D作DF BC垂足为点F
∴ OD = EH =2, (1) BAD : BD ⊥ 平 , ,
∴
AB
=2
OD
=4,
OH
=
OB2
-
BH2
=3,
∵
分
∠
ABC
=90°,
DE OH ∠ ,
∴ = =3, AD DF.
∴ =
∴
BD
=
DE2
+
BE2
=2, ∵
AD是
☉
D的半径
,
DF
∴ AD = AB2 - BD2 = 4 2 -2 2 =23 . ⊥ BC ,
第40课时 圆复习(2) BC是 D的切线.
∴ ☉
1.解 如图 连接OCBC. 解 BAC
:(1) , , (2) :∵∠ =90°,
O的半径为 PB AB与 D相切.
∵☉ 3, =2, ∴ ☉
OC OB OP OB BC是 D的切线
∴ = =3, = + ∵ ☉ ,
PB . AB FB.
=5 ∴ =
PC AB BC
∵ =4 ∵ =5, =13,
∴
OC2
+
PC2
=
OP2,
∴
CF
=8,
AC
=12
.
∴△ OCP是直角三角形 , 在 Rt△ DFC中 , 设DF = DE = r , 则r2 +64=(12- r )2,
OC PC
∴
PC
⊥
是 O
,
的切线.
解得
:
r
=
10.
∴ ☉ 3
AB是直径
(2)∵ , CE 16.
ACB ∴ =
∴∠ =90°, 3
ACO OCB . 4.证明 BC为 O的直径
∴∠ +∠ =90° :(1)∵ ☉ ,
OC PC BDC 即BD AC.
∵ ⊥ , ∴∠ =90°, ⊥
20
3A"#
BA BC HD
∵ = , ⊥ ,
AD CD OHD ADC OCD
∴ = , ∴∠ =∠ =∠ =90°,
即D点为AC的中点. 四边形OCDH为矩形
∴ ,
点O为BC的中点 AB DC
∵ , ∵ =10, =4,
OD为 ABC的中位线 OH DC HD OC
∴ △ , ∴ = =4, = =5,
OD AB. 在 AOH中
∴ ∥ Rt△ ,
DE AB OA OH
∵ ⊥ , ∵ =5, =4,
∴ D D E E ⊥ 是 OD O , 的切线. ∴ A AD H = AH OA2 H - D OH2 = 5 2 -4 2 =3,
∴ ☉ ∴ = + =3+5=8,
( ∴ 2 B ) D ∵ B 平 A 分 = B ∠ C AB , B C D , ⊥ AC , 在 ∵ C R D t△ = A 4 D , A C D 中 =8 , ,
DE DF.
∴ = AC CD2 AD2 2 2 .
ADE BDE BDE BDO ∴ = + = 4+8=45
∵∠ +∠ =90°,∠ +∠ =90°, AC的长为 .
ADE BDO而OB OD ∴ 45
∴∠ =∠ , = , 如图 连接OE
BDO OBD (3) , ,
∴∠ =∠ , E是弧AC的中点 O的
ADE OBD ∵ ,☉
∴∠ =∠ , 半径为
AED DFB 5,
∴Rt△ ∽Rt△ ,
∴
DE
∶
BF
=
AE
∶
DF
, ∴
A︵E
=
C︵E
,
DE BF AE DE ECA
∴ ∶ = ∶ , ∴∠2=∠ ,
∴
DE2
=
BF
·
AE.
∵∠2=∠1,
5. 证明 如图 连接OD ECA
(1) : , , ∴∠1=∠ ,
∵ ∴ 又 B ∠ ∵ D O A B B 平 D = 分 O = ∠ D ∠ A , D B B C C , , ∴ 又 ∴ E ∵ 四 C O 边 ∥ C 形 O ∥ A O A A , E E , C为平行四边形 ,
∴ ∴ ∠ ∠ O A D B B D = = ∠ ∠ D OD BC B , , ∵ ∴ O 四 A 边 = 形 OC OA , EC为菱形 ,
∴ ∵ O D D E ∥ ⊥ B B E E , , ∴ ∴ C △ E O = CE AE 和 = △ O A C O = E OE 为 = 等 O 边 A 三 =5 角 , S 形 △ , OCE= S △ OAE,
∴ OD ⊥ DE , ∴∠ AOE =∠ COE =∠ OCE =60°,
∴
DE是
☉
O的切线
; ∴
S扇形OCE= S扇形OAE,
( ∵ ∴ 又 2 A ) ∠ ∵ B 如 F ∠ C 图 是 F E D , ☉ 连 = E O 9 接 = 0 的 ° 9 A , 0 直 C °, 径 , ∠ , DEC =90°, ∴ ∵ ∴ 在 S ∠ ∠ R 弓 t D D 形 △ C C AE D O E = C = = S E 9 3 弓 0 0 中 ° 形 ° C , , E , C , E =5,
∴
四边形FDEC是矩形
, ∴ DE = 1CE = 5 ,
DF CE FC DE . 2 2
∴ = =2, = =5
设 ☉ O的半径为r , 在 Rt△ OAF中 ( r -2)2 +5 2 = r2, CD = CE2 - DE2 = 5 2 - 5 2 = 53 ,
2 2
r 29.
6. ( ∴ 1) = 证明 4 :∵ AC平分 ∠ DAB , ∴ S △ CDE= 1 2 DE · CD = 1 2 × 5 2 × 5 2 3 = 25 8 3 ,
OA = OC , ∴ S阴影部分 = S △ CDE= 25 3 .
8
∴∠1=∠2,∠1=∠3, 第41课时 综合与实践(1)统计活动
∴∠2=∠3, 1. .
OC AD (1)500
∴ ∥ , 人 .补全条形统计图 如图
ADC OCD (2)500×15%-15=60( ) ,
∴∠ +∠ =180°, 所示.
AD CD
∵ ⊥ ,
ADC
∴∠ =90°,
OCD ADC
∴∠ =180°-∠ =180°-90°=90°,
OC CD
∴ ⊥ ,
CD为 O的切线.
∴ ☉
解 如图 过点O作OH
(2) : , ⊥
AD与H
,
AH HE
∴ = , 人 .
OC CD HD CDOH (3)8000×(1-40%-10%-15%)=2800( )
∵ ⊥ , ⊥ , 答 这些人中最喜欢微信支付方式的人数约为 人.
: 2800
21
A"# 3
2. 3. 5.解 因为 台 打印机正常工作五年消耗的墨盒数
B D :(1) 10 “
4.解 不大 的台数为 所以 台 打印机正
:(1)50,30; 24” 1+4+4=9, 10 “
组的人数为 人 补全条形
(2)C :50-10-15-5=20( ), 常工作五年消耗的墨盒数不大 的频率为9 .
统计图如下 24” =09,
: 10
故可估计 一台打印机正常工作五年消耗的墨盒数不
“
大 的概率为 .
24” 09;
每台应统一配 盒墨更合算 理由如下 台打印
(2) 23 , :10
机五年消耗的墨盒数的平均数为 x
: =23+
-1×1+0×4+1×4+2×1 . 盒 若每台统一
=235( ),
10
配买 盒墨 则这台打印机所需费用为
23 , :23×150×10
. 元 若每台统一配
+(235-23)×220×10=35600( );
买 盒墨 则这台打印机所需费用为
( 答 3)6 估 00 计 × 该 20 5 校 + 0 九 5 = 年 30 级 0 学 ( 人 生 ), 中参加家务劳动的时间在 3 盒 6 2 墨 0 4 0 更 0( 合 元 算 ) , . . 因 35600<36000, 所以每 :2 台 4× 应 15 统 0 一 ×1 配 0 2 = 3
:
含 以上的学生约有 人 第43课时 综合与实践(3)设计遮阳伞
80m 若 in( 组 8 中 0 有 min) 名女生 则有 名 3 男 00 生 ; 1.解 设BC 的长为x 则AC的长为 x
( 画 4) 树状 D 图如下 3 , 2 , 由 : 于α为 . β为 m, . (2+ )m,
: 186°, 645°,
所以 ADC β CDB α.
∠ = ,∠ =
在 ACD中AC x
Rt△ , =(+2)m,
ACD ADC .
∠ =90°,∠ =645°,
AC
CD
∴ = . ,
tan645°
共有 种等可能的结果 其中抽取的两名同学中恰好 BCD中BC x BCD
20 , Rt△ , = m,∠ =90°,
是一名女生和一名男生的结果有 种 BC
12 , BDC . CD
抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概 ∠ =186°,∴ = . ,
∴ tan186°
AC BC
率是12
=
3.
∴ . = . ,
20 5 tan645° tan186°
第42课时 综合与实践(2)哪种方式更合算
即
x
+2
. =
x
. ,
1. 100× 2 1 0 +50× 2 2 0 +20× 2 4 0 =14( 元 ) .与课本中的转 ∴t t a a n n 1 6 8 4 . 6 5 ° ° ( x t + an 2 1 ) 8 =t 6 a ° n64 . 5° x ,
盘游戏的结果一致 原因是所获购物券的平均数只与
, 即x 17 BC 17
每种面额购物券出现的概率有关. =
44
,∴ =
44
m,
2.解
:(1)∵
共有
20
种等可能的结果
,
获得返金券的有
9 17
种情况 CD 44 .
, ∴ ≈ . ≈114
034
转动一次转盘获得返金券的概率为9 故遮阳篷中CD的长是 . .
∴ ; 114m
20 2.解 过点C作CE AB 垂足为点
转转盘合算.理由 : ⊥ ,
(2) : E作CF AD垂足为点F
∵
转转盘
:50×
1
+30×
3
+20×
5
=12(
元
),
直接 由 , 题易知 ⊥ 四边形 , CEAF为矩 , 形
,
享受九五折优惠 20 20 20 元 CE AFCF AE
∴ 选择转转盘比 : 较 20 合 0× 算 ( . 1 -95%)=10( ), ∴ ∵ 夹 遮 角为 阳 = 棚B , C长 = 4m, , 与水平线的
3.解 中奖的概率是1 即平均 个人玩 有一个人能中 22°,
奖 : 即收 6 元 , 送出一 6 个 元 , 的奖品 所以能 ∴ BE = BC ·sin22°≈4× 3 = 3 (m),
, 2×6=12( ), 8 , 8 2
4.
盈
解
利.
因为该副扑克牌中 点数大的牌共有 张 且
CE
=
BC
·cos22°≈4×
1
1
5
6 =
1
4
5
(m),
:(1) , 16 , 高AB为
16 4 所以 牌值 为 的概率是 4 ∵ 4m,
52 = 设 1 该 3 副 , 扑克 “ 牌已 ” 发出 - 的 2 张牌中 1 点 3 数 ; 大的张数为 ∴ CF = AE = AB - BE =4- 3 2 = 5 2 (m),
(2) 32
x张 依题意 得 x x 解得x AF CE 15mAF CE 15
, , 2(32- )-2=24, =10, ∵ = = , = = (m),
已发出的 张牌中点数大的张数为 张 4 4
∴ 32 10 , 又 太阳光线CD与地面DA的夹角为
剩余的 张牌中点数大的张数为 张 ∵ 67°,
∴ 20 6 , CF
剩下的牌中每一张牌被发出的机会皆相等 DF 5 5 25
∵ , ∴ = tan67° = 2 × 12 = 24 m,
∴ 下一张发出的牌是点数大的牌的概率是 1 3 0 . ∴ AD = AF - DF = 1 4 5 - 2 2 5 4 = 6 2 5 4 ≈2 . 7(m),
22
3A"#
答AD的长约为 .米.
: 27 =cos(45°-30°)
3.解 5 =cos45°·cos30°+sin45°·sin30°
:(1) ;
(2) 由题 2 意得 : CD ∥ AM , BD ∥ = 2 2 × 2 3 + 2 2 × 1 2
AF C CAM
∵ C , D ∠ ∥ A = M ∠ , =90°, = 4 6 + 4 2 = 6+ 4 2 ;
CDA DAM β
∴∠ =∠ = , sin90°=sin(45°+45°)
BD AF
∵ ∥ , =sin45°·cos45°+cos45°·sin45°
BDA FAD
∴∠ =∠ ,
CDA BDA DAM = 2 × 2 + 2 × 2
∴∠ -∠ =∠ 2 2 2 2
FAD
-∠ , 1 1
CDB FAM α = + =1;
∴∠ =∠ = , 2 2
在 CBD中 C x x x
Rt△ ,∠ =90°, sin2=sin(+ )
BC x x x x
CDB α 1 =sin ·cos +cos ·sin
∴tan∠ =tan =CD= , x x
∴ 在 设 Rt B △ C A = C x D m 中 , C ,∠ D C = = 3 x 90° m , , 3 c ( = 2 , A 2 ) s C 证 in = 明 b : · , ∵ co 在 s Rt ; △ ABC中 ,∠ C =90°, BC = a , AB =
tan∠ CDA =tan β =C A D C = 4 3 , ∴sin A =c a ,cos A =c b ,tan A =b a ,
x +2 4 解得x 2 a
∴ 3 x= 3 , = 3 , sin A c a
∴ BC = 2 m, CD =2m; ∵ cos A=b c =b,
3
由F为抛物线顶点 可知FC A
(3)① , A sin .
FD ∴tan = A
= , cos
CFD 证明
∵∠ =90°, (3) :
FCD为等腰直角三角形 αβ α β α β
∴△ , αβ sin(+ ) sin ·cos +cos ·sin
由二次函数对称性可知 , F (1,1), ∵tan(+ )= cos( α + β ) = cos α ·cos β -sin α ·sin β
设二次函数为y axx 代入F α β
得 a := 解 ( 得 - a 2), c si o n s α+ c si o n s β tan α +tan β
(1,1) :1= (-1), =-1, = α β= α β
∴ ② 交 y B x D 关 轴 光 于 于 x 线 点 与 的 E 水 关 , 平 过 系 方 B 式 向 为 作 的 : y y 夹 = 轴 角 - 的 x 为 垂 θ ( x 线 , - 过 , 2 D 两 ) ' = 条 作 - x 垂 x2 线 轴 + 交 的 2 x 于 垂 ; 线 点 ∴t 1 a - n c s ( α o in s + α β · · ) s c = i o n 1 s β t - a t n a α 1 n α - + t t · a a t n n a β n β ·t . an
D'H 13.解 如图 过点A作AD BC
H.即 θ 2 :(1) , ⊥ ,
tan = =BH, 垂足为点D
3 ,
设D'H =2 a m, BH =3 a m, 则点D' 3 a ,2 a - 2 , ∵ AB = AC 、 BC =24,
3 BD .
∴ =12
代入y xx 得 a 2 aa 在 ABD中
=- (-2) :2- =-3(3-2), Rt△ ,
3
化简得
27
a2
-12
a
-2=0, ∵cos
B
=
3
,
5
解得 , a 1= 2+ 9 10 , a 2= 2- 9 10 ( 不合题意 , 舍去 ), ∴ AB = BD B= 12 =20;
cos 3
D'E 2+ 10 2 2 10 2 5
∴ =2× 9 - 3 = 9 - 9 (m), (2)∵ AD = AB2 - BD2 = 20 2 -12 2 =16,
∴ 遮阳篷点D上升的高度最小值为 2 9 10 - 2 9 m . ∴△ ABC的面积为1 2 × BC × AD
期末复习冲刺
1 .
期末复习冲刺一(第一章 直角三角形的边角关系) = ×24×16=192
2
14.解 由题意得 PAB ABP
1. 2 3 4. 5. 6.1 7.15 8.3 :(1) ,∠ =90°-60°=30°,∠ =
A .C .B D C 4 15 5 90°+45°=135°,
APB PAB ABP
9. 10.5 ∴∠ =180°-∠ -∠
27
9 =180°-30°-135°=15°;
海监船继续向正东方向航行安全 理由如下 作
11.解 : 原式 =4× 1 -2× 2 +6×3=1+32 . P (2 H ) AB垂足为点H 如图 则 PBH , 是等腰直 : 角
2 2 ⊥ , , , △
12. 解 三角形
(1) :cos15° ,
23
A"# 3
BH PH 所以当 x 时y .
∴ = , =6, 0< <6 ,>-4
设BH PH x 14. 解 设每周销量y件 与销售单价x元 之间
= = nmile, (1) :(1) ( ) ( )
由题意得AB 30
的关系式为y
=
kx
+
b
,
=40× =20(nmile), kb k
60 则 22+ =80解得 =-10
PH kb :b ,
在 APH中 PAB 3 即 24+ =60 =300
Rt△ ,tan∠ =tan30°=AH= 3 , ∴ y与销售单价x之间的关系式为 : y =-10 x +300;
x 解 根据题意可得x x
20+
x=
3
3 , ( 整 2) 理
,
: 得x2
-50
x
+62
(
1=
-
0
2
,
0 解 )( 得 - x 10
1=
+
23
30
,
x 0
2
)
=
=
2
2
7
10
,
,
解得x . 利润不高于
=103+10≈2732>25, ∵ 30%,
海监船继续向正东方向航行安全. x .
∴ ∴ ≤20×(1+30%)=26
x 舍去.
∴ 2=27
x .
∴ =23
答 该玩具的售价为 元
: 23 ;
根据题意得W x x
(3) : =(-20)(-10+300)
15.解 过B作BF AD垂足为点F. =-10
x2
+500
x
-6000
在 : R ( t 1 △ ) ABF中 ,sin ⊥ ∠ BA , F =A B B F , = ∵ a - = 10 - ( 1 x 0 - < 2 0 5 , )2 +250,
W随着x的减小而增大.
则BF = AB sin∠ BAF =3sin37°≈3× 3 =1 . 8(m) . ∴ 当x 时W取最大值且W 元.
5 ∴ =25 , =250
答 真空管上端B到AD的距离约为 . 答 最大利润W为 元.
: 18m; : 250
在 ABF中 BAF 15.解 观察表格数据 可知当x 和x 时 函数
(2) Rt△ ,cos∠ :(1) , =1 =2 ,
AF 值相等
,
=AB,
则AF AB BAF ∴ 对称轴为直线x = 1+2 = 3 ,
= cos∠ =3× 2 2
.
cos37°≈24(m), 抛物线的顶点坐标为 3 25
BF ADCD AD BC ∴ , ;
∵ ⊥ , ⊥ , 2 8
∥ FD , 设抛物线解析式为y ax 3 2 25
四边形BFDC是矩形. (2) = - + ,
∴ 2 8
∴
∵
B EC F
=
= C
0
D .
5
, B
m
C
,
= FD , 将 (0,2) 代入得 ,2= a · 3
2
2 + 2
8
5 , 解得 : a =- 1
2
,
∴ 在 DE = E C A D D - 中 CE =1 . 3 EA m D , DE ∴ 抛物线解析式为y =- 1 2 x - 3 2 2 + 2 8 5
Rt△
DE
,tan∠
.
=AD,
=-
1x2
+
3x
+2;
则AD = tan∠ EAD≈ 1 0 . 3 4 =3 . 25(m), (3) 当 2 光点恰 2 好经过点D时 ,
∴ BC = DF = AD - AF =3 . 25-2 . 4≈0 . 9(m), 设抛物线的解析式为y 1 x 3 2 25 h
答
:
安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为 =-
2
-
2
+
8
+ ,
. . 此时D
09m ,(3,3),
1
8
期
.
. A (
末
3 ,
复
0
2
)
习
. , B (
冲
2 ,
刺
3
0 . )
二
B
(
9
第
4
.y .
二
A =
章
( x
5
- .
二
D 1
次
)2
6
+
函
.
3 (
数
1 . ,
)
8)
7.
-5
当
解
x
得
=
h
3
=1
时
,
,
y
=-
1
2
x
-
3
2
2
+
2
8
5
+
h
=3,
10.y =2 x2 -4 x +4 抛物线的解析式为y 1 x 3 2 25
11.解 :∵ y =- x2 -4 x -5=-( x +2)2 -1, ∴ =- 2 - 2 + 8 +1
抛物线开口向下 对称轴是直线x 顶点坐标 2
∴ , =-2, 1 x 3 33
是
(-2,-1)
=-
2
-
2
+
8
12.解 :(1) 二次函数的表达式为y =-2 x2 +4 x +6 . =- 1x2 + 3x +3,
( ∴ 2) 抛 ∵ 物 y = 线 - 的 2 x 对 2 + 称 4 轴 x + 为 6 直 = 线 -2 x ( x = - 1 1 , ) 顶 2 + 点 8, 坐标为 (1, ∴ 初始 2 高度O 2 A =3; 当光点恰好经过点B时 , 设抛物
13. 8 解 ) . : (1) 设抛物线表达式为y = a ( x -3)2 -1, 把 (0, 线 此 的 时 解 B 析式为y =- 1 2 x - 3 2 2 + 2 8 5 + h ,
代入 得 a 解得a 1 所以抛物线 ,(6,0),
-4) , 9-1=-4, =- 3 , 当x =6 时 , y =- 1 6- 3 2 + 25 + h =0,
表达式为y =- 1 3 ( x -3)2 -1; 解得h =7, 2 2 8
(2) y =-4 时 ,- 1
3
( x -3)2 -1=-4, 解得x 1=0, x 2 ∴ 抛物线的解析式为y =- 1
2
x - 3
2
2 + 2
8
5 +7
24
3A"#
1 x 3 2 81 ∴∠ BDE +∠ DBE =∠ BDE +∠ EDF =90°,
=-
2
-
2
+
8 ∴∠
DBE
=∠
EDF
,
=- 1 2 x2 + 3 2 x +9, ∴ D △ E DEF EF ∽△ BED ,
∴
初始高度OA
=9; ∴BE=DE,
OA的取值范围为 OA .
期末 ∴ 复习冲刺三(第三章 3< 圆) ≤9 ∴ BE = 16 ,
3
BAC CED C C
1. 2 3 4 5 6. 7.2 ∵∠ =∠ =90°,∠ =∠ ,
A .D .B .D .C 6 CDE CBA
3 ∴△ ∽△ ,
DE DC
8.27 9. 10.25
π-93 15 ∴AB=BC,
4 5
11.解 如图 连接OC
: , ,
OB CDO为圆心 ∴A 4 B= 45 ,
∵ ⊥ , , 16
8+
CP 1CD . 3
∴ = =3
设OC O
2
B r ∴
AB
=
85.
= = , 3
OP r . 14.解 如图 连接OC
∴ = -2 :(1) , ,
在 OCP中 由勾股定理得 r OFEFBD
Rt△ , :( , , ,
-2)2 +3 2 = r2, ∵ FA是 ☉ O的切线 ,
FA AB
r 13 ∴ ⊥ ,
∴ = , CD AB
4 ∵ ⊥ ,
12. ∴ 证 直 明 径 : 如 A 图 B , = 连 2 r 接 = O 1 2 M 3 、 . ON , ∴ 又 F ∵ 四 A F 边 C ∥ 形 D ∥ C A D D , A C , F是平行四边形
AB是 O的直径CD是直径 ∴ ,
A ∵ B OC 上两 O ☉ 点 D , . 且AC = B , D 、 , ∵ ∴ D 四 C 边 = 形 AD AD , CF是菱形 ,
∴ CM = ABDN AB ∴ CF = AF = AD = DC ,
∵ ∴∠ OC ⊥ M = , ∠ OD ⊥ N =9 , 0° . OC OD 在 △ AOF和 △ COF中 , O F A A = = O F C C ,
在 Rt△ OMC和 Rt△ OND中 ,OM = ON , OF = OF ,
∴ ∴ R ∠ t C △ O O M M = C ∠ ≌ D Rt O △ N O , ND (HL) , = , ∴ ∴ ∴ F △ ∠ G O A C O 是 F F ☉ = ≌ O ∠ △ 的 O C A O 切 F F 线 ( = S ; 9 S 0 S ° ) , , 即OC ⊥ FG ,
A︵M B︵N. CD ABAB是直径
∴ = (2)∵ ⊥ , ,
13. 证明 连接BD
(1) : , DE CE 1DC 1AD
BAD ∴ = = = ,
∵∠ =90°, 2 2
∴ ∵ B D D F是 是 ☉ ☉ O O 的 的 切 直 线 径 , , ∴ 又 ∠ ∵ A D B AB = = 2 3 × 0 2 ° = , 4,
BDF
∴∠ =90°, AD DAB AB 3
∴ =cos∠ · = ×4=23,
∴∠1+∠2=90°, 2
AB AE
∵ = , 在 ADE中DE 1AD AE 3AD
ABE Rt△ , = =3, = =3,
∴∠ =∠3, 2 2
∵∠2=∠3 AB , E 在 Rt△ AEF中 , EF = AE2 + AF2 = 3 2 +(23)2
∴∠2=∠ , .
ABC C = 21
∵∠ +∠ =90°, 15. 证明 AB为 O直径
C (1) :∵ ☉ ,
∵∠2+∠ =90°, ACB
C ∴∠ =90°,
∴∠1=∠ , BC AC
DF CF ∴ ⊥ ,
∴ = ; OE BC
解 BAD ∵ ∥ ,
(2) :∵∠ =90°, OE AC.即OF AC
DEF 在 DEF中 ∴ ⊥ ⊥ ;
∴∠ =90°, Rt△ , 解 连接OC
EF ED (2) : ,
∵ =3, =4, OC OB
∴
DF
=
CF
=
DE2
+
EF2
=5,
∵
O
=
CB
,
OBC
在 DEC中 ∴∠ =∠ ,
Rt△ , OE BC
DC = BED DE2 + D E E F F 2 = 4 B 2 D + F 8 2 =45, ∵ ∴∠ O ∥ CB = , ∠ EOC ,
∵∠ =∠ =∠ =90°,
25
A"# 3
OBC EOC EFN
∴∠ =∠ , ∴∠ =60°
EC是圆O的切线
∵ , FN 1EF EN FN
OC EC ∴ = =5, =3 =53,
∴ ⊥ , 2
∴ ∴ ∠ ∠ O O C C E E = = 9 ∠ 0° A , CB , ∵ ∴ ∠ 四 M 边 B 形 N M = E ∠ N E B M 是 B 矩 = 形 ∠ E , NB =90°,
OCE BCA BM EN ME BN BF FN
∴△ ∽△ , ∴ = =53, = = + =24,
OE OC 在 CME中 CME ME CEM
Rt△ ,∠ =90°, =24,∠
∴AB=BC,
=30°,
∴ 4 =B 7 C, ∴ CM = ME ·tan30°=24× 3 =83,
27 3
AM CM AC
BC 7. ∴ = - =83-7,
∴ =
2 AB AM BM .
期末复习冲刺四(综合) ∴ = + =83-7+53=(133-7)m
教学搂AB的高度为 .
∴ (133-7)m
1. 2 3 4 5 6. 7. 8.3
A .A .B .A .C 33-1 2
5
9. x 10.
-1< <3 4π-23
11.解 :(1) 根据题意 , 得y = a ( x -4)2, 把 (1,-3) 代入 , 得
-3= a (1-4)2, 解得a =- 1 ,
3
∴ 二次函数表达式为y =- 1 ( x -4)2;
12. ( 向 ∴ 解 2) 下 当 : ∵ (1 x , 抛 ) < 直 4 物 线 时 线 D , y 的 E 随 对 与 x 称 ☉ 的 O 轴 增 相 为 大 切 直 而 3 . 线 增 x 大 = . 4, 抛物线开口 14. C 解 设 ∴ D : 抛 ∠ ( 于 1 A 物 E ) 点 由 线 C E 题 的 = , 9 意 解 则 0° 得 析 A . E , 式 点 = 为 3 M 0 y ( . 0 = , a 0 ( ) x , 点 -0 N ) ( ( 2 x 0 - ,0 2 ) 0 . ) .作AE ⊥
理由如下 : 连接 OE , OD , ∵tan∠ ACD = 3 ,
如图 4
, CE .
AC是 O的切线 ∴ =40
∵ ☉ , CD
AB AC ∵ =90m,
∴ ⊥ , MN CM DN
OAC . =20m, = ,
∴∠ =90° CM .
点E是AC的中点O点为AB的中点 ∴ =35m
∵ , , ME .
OE BC ∴ =5
∴ ∥ , 点A的坐标为 .
B . ∴ (5,30)
∴∠1=∠ ,∠2=∠3 a .解得a ..
OB OD ∴5(-15)=30 :=-04
∵ ∴ ∴ 在 ∠ ∠ B 1 A = O = = E ∠ ∠ 2 和 3 , . , DOE中 OA = OD , ( ∴ ∵ ∴ 2 y ) 点 点 设 = B A 海 - 的 的 0 报 . 坐 坐 4 的 ( 标 标 x 底 - 为 为 边 0 A (1 的 ) 5 ( ( x 5 两 ,3 , - 3 0 个 0 2 ) 0 顶 ), ) 点 对 = 分 称 -0 别 轴 . 4 为 为 x 点 2 直 + G 线 8 x , x F ; =10,
△ △ ,∠1=∠2, AB
OE OE ∴ =10
AOE DOE = , ∴ AG =10,
∴ ∴ △ ∠ ODE ≌ = △ ∠ OAE ( = S 9 A 0 S ° ) , , ∴ G 海 (5 报 ,2 底 0 边 ) 与桥面的距离为 .
∴ ∴ O D D E ⊥ 点 为 D E ☉ E O 是 , A 的 C 切 的 线 中 . 点 15. ( ∴ ∵ 1 C ) E 解 : 是 ① ☉ 2 O [ 的 解 切 析 线 ] , 连接OC 2 , 0 如 m 图 1,
(2)∵ ,
∴
OC
⊥
CE
,
∴ AE = 1AC =2 . 4 . ∴∠ OCE =90°,
2
∵∠ AOD =2∠ B =2×50°=100°, ∵tan E = 3 4 , AB =6,
∴ 图中阴影部分的面积 =2× 1 ×2×2 . 4- ∴ OC =3,
2 OC
13. 1 解 00 如 3 · 6 π 图 0 · 作 2 2 E = N 4 . 8 B - F 1 9 E 0 π M . BC垂足分别为NM. ∴ ∴ C C E E = = 4 3 4 , ,
在 : EFN中 ⊥ , ⊥ 、 ∴ OE = OC2 + CE2 = 3 2 +4 2 =5,
Rt△ , BE OE BO .
∵∠ ENF =90°, EF =10, EN ∶ FN =3, ∴ ② 如图 = 2, 连 - 接OC = , 5 B - C 3 , = 取 2 AE的中点 , 连接DM ,
EFN D为AC的中点M为AE的中点
∴tan∠ =3, ∵ , ,
26
3A"#
DM为 ACE的中位线 AFB
∴ △ , ∴∠ =90°,
四边形ADNF是矩形
DM 1CE DM ∴ ,
∴ = =2, ∥ AD NF
2 ∴ = ,
CE
, AC BF
DM BE AMD ∴ = =32,
∴ ∠ CEB , = ,∠ = 综合上述可得 , AC的长为 26 或1 5 2 5 或 32 .
期末复习冲刺五(综合)
AM 1AE
∵ = =4,
2
AM CE 1. 2 3 4 5 6.25 7.x 8.
∴ = , D .B .B .D .D =1 6
DM BE 5
= 9.相离 10. 11.
在 AMD和 CEB中 AMD CEB 32 22
△ △ ,∠ =∠ , 12.解 正方形的边长是x面积是
AM CE :(1)∵ ,
= S周长是l.
AMD CEB ,
∴
∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ C A A A
△
∠ ∠ D B D D C A = D C = = 是 B B B C B ☉ C C D = =
≌
O , , 9 4 , 0 5
△
的 ° ° , ; 直径
(
,
SAS),
( ( ∴ 的 随 的 的 2 3
S
y x ) ) 关 图 画 函
与
系 象 轴 的 出 数
x
式 不 的 增 S 函
的
为 同 右 大 = 数 l , 侧 而
关
x 函 = 图 2 部 增
系
4 的 数 象 x 分 大
式
S 图 ; 如 . ;
为
= 象 图 x
S
与 : 2 = 函 的 函
x
数 图 数
2,
值 象
l
y 都 = 是
与
x 是
x
函 2 数y = x2 的图象
( ∵ 2 F A ) F 连 为 接 弧 B A F A F B , 的 AF 中 B 点 , AB是 ☉ O的直径 , 13. ( 解 2) :( 过 1) 点 由 B 题意 作 可 BD 得 ∠ ⊥ C A = C 7 , 5 垂 °- 足 30 为 °= 点 45 D °; , 可得 ∠ BAC
∴ = ,∠ =90°, =30°,
AB
∴∠ ABF =45°, AF = BF = 2AB =32 . ∵ =20m,
2 BD 1AB
如图 若BD BF 连 ∴ = =10m,
① 3, = =32, 2
接BC
, ∵∠
C
=45°,∠
BDC
=90°,
AB是 O的直径 BD
∵ ☉ , 10 2 解得BC
ACB ∴sin45°=BC=BC= , =102,
∴∠ =90°, 2
∴
BC2
=
AB2
-
AC2
=
BD2
-
答
:
BC的长为
102m
.
CD2, 且CD
=
1AC
,
2
∴6 2 - AC2 =(32) 2 - 1 AC2,
2
AC
∴ =26;
如图 若BF DF 连
② 4, = =32,
接FAFC 过点F作FG AC 14. 证明 连接OD
, , ⊥ (1) : ,
于点G BC是 O的切线
, ∵ ☉ ,
ABC .
AF DFDG 1AD ∴∠ =90°
∴ = , = , CD CB
2 ∵ = ,
ACF ABF CBD CDB.
∵∠ =∠ =45°, ∴∠ =∠
CG FG OB OD
∴ = , ∵ = ,
设DG x 则CD AD xFG CG DG CD OBD ODB
= , = =2, = = + ∴∠ =∠ ,
x ODC ABC
=3, ∴∠ =∠ =90°,
∵
FG2
+
DG2
=
DF2, 即OD
⊥
CD.
点D在 O上
∴ x2 +(3 x )2 =(32) 2 , 解得x = 3 5, ∵ CD为 ☉ O的切 , 线
5 ∴ ☉ ;
∴ A 如 C 图 =4 x 若 = D 1 5 2 F 5 B ; D过点D作 ( ∵ 2) ∠ 解 AB : 在 D R = t 3 △ 0° O , B O F F = 中 1 , ,
③ 5, = , BOF OB BF .
DN BF于点N 连接ON ∴∠ =60°, =2, =3
⊥ , , OF BD
AFBC ∵ ⊥ ,
, , BD BF BOD BOF
N为BF的中点ON BF ∴ =2 =23,∠ =2∠ =120°,
∴ D为AC的中点 , ⊥ , ∴ S阴影 = S扇形OBD- S △ BOD
∵ OD AC即DN , AC 120π×2 2 1
∴ ⊥ , ⊥ , = - ×23×1
AB是 O的直径 360 2
∵ ☉ ,
27
A"# 3
由题意y x x
4 . (2) = (40-2)
15. 1 0 = 解 的 设 将 . . 2 7 ( : 抛 抛 3 5 5 2 (1 ) ) , 物 物 π 0 2 ) , - + 且 ) 由 线 线 代 1 过 题 的 3 的 . 入 2 点 意 关 顶 5 得 , ( 可 系 点 2 , a , 知 式 0 坐 (2 ) , 为 标 , 第 - y 0 为 一 = . 7 ( 象 a 0 5 ( . 限 ) x 7 2 5 中 - + , = = ∵ ∴ ∵ ∴ a x 4 - - 当 0 = ≥ 2 2 ( - x x 3 ( - x 2 2 2 1 - x 2 + - 1 , < ≤ 4 1 0 0 0 0 9 ) x 2 , ) , 2 取 +2 最 00 小 . 值时 , y取值最大.
1 . 25=0, 当x 31时y 31 2 ..
解得a 4 ∴ = 2 ,=-2 2 -10 +200=1395
=- , y的最大值为 ..
5 1395
∴ 第一象限中抛物线的关系式为y =- 4 5 ( x - 14. (1) 证 C 明 :∵ B A . B = AC ,
0 . 75 由 )2 于 + 喷 1 . 头 25 喷 ; 出的水柱抛物线形状不发生改变 喷 ∴ 又 ∠ ∵ OP = = ∠ OB ,
(2) ,
∴∠
OPB
=∠
B
,
头竖直高度增加h m, 其抛物线的关系式为y =- 4 ∴∠ C =∠ OPB ,
5 OP AD.
( x -0 . 75)2 +1 . 25+ h , 过点 (2+ d ,0), ∴ 又 P ∥ D AC于D
∵ ⊥ ,
∴- 4 (2+ d -0 . 75)2 +1 . 25+ h =0, ∴∠ ADP =90°,
5 DPO
( 即 3 h ) 如 = 图 4 5 , ( d 延 + 长 1 . O 25 P )2 交 -1 CD . 25 于 ; 点Q , 则PQ = AD = ( ∴ ∴ 2 P A ) ∠ B D 连接 是 是 A 直 ☉ = P O 径 9 , 0 的 °, 切线.
. OQ . CQ 1AB . 连接OC ∵ ,
04m, =24m, = =07m, , APB .
2 ∴∠ =90°
在 COQ中OQ . CQ . AB AC CAB
Rt△ , =24m, =07m, ∵ = =2,∠ =120°,
∴ OC = OQ2 + CQ2 =2 . 5(m), ∴∠ BAP =60°,
即水柱落点形成的圆半径相应增加 . d .
05m,=05, BP AB BAP 3
∴ = ·sin∠ =2· =3,
将d =0 . 5 代入h = 4 ( d +1 . 25)2 -1 . 25, BC . 2
5 ∴ =23
得h = 4 5 (0 . 5+1 . 25)2 -1 . 25=1 . 2(m), 15.解 : 当 (1 x )∵ OA 时 = y 65 c m, .
故答案为 .. ∴ =0 ,= =65
:12 c .
期末复习冲刺六(综合) ∴ =65
1. B 2 .C 3 .B 4 .B 5 .B 6.y轴 7. 44° 将x =403 代入二次函数解析式得 , y =- 3 1 0 x2 +
8. 9. 10.
11 3 . π 解 原式 35 76° . 3 x +65=25,
: =4-1+2×1=3+2=5 点B的坐标为 .
12.解 过点P作PC AB垂足 ∴ (403,25)
为 根 ∠ B : 点 据 = C 题 4 , 5 意 °, 可 AP 得 = 出 12 ⊥ ∠ 0 A n = m , i 6 l 0 e ° . , ( 故 ∵ 2) 答 点 设 ( 案 0 x , 为 0 关 ) 6 , 5 于 (4 , t ( , 4 4 的 0 0 函 3 3 数 , ) 2 在 5 解 ) 该 析 . 函 式 数 是 图 x = 象 k 上 t + , m ,
在 Rt△ APC中 , m =0, 解得 k =103,
PC ∴ k m m .
∵sin A =PA,∴ PC = PA · 关 4 于 + t的 = 函 40 数解 3, 析式是 x =0 t.
s 在 in A = P 6 C 0 B 3 中 (nmile) . ( ∴ 3) 设直线AB的解析式为y = = 1 p 0 x 3 + q ,
Rt△ , 点A 点B 在该直线上
B ∵ (0,65), (403,25) ,
∵∠ =45°,
∴ PC = BC , q =65, 解得 p =- 3 ,
PC ∴ p q 3
∴ PB = = 603 =606(nmile) . 403 + =25, q =65,
sin45° 2
直线AB的解析式为y 3x
2 ∴ =- +65,
答 军舰B与军舰P之间的距离约为 . 3
: 606nmile
13.解 由题意x x 解得x 或 h 1x2 x 3x
当x
:(1)
时
(4
x
0-2)=12
不
8,
合题意
=4 16, ∴ =-
30
+3 +65- -
3
+65
=4 ,40-2=32>9, ,
∴
x的值为
16; =-
1x2
+
43x
,
30 3
28
3A"#
AE
43 ∴AD= 3 ,
∴ 当x =- 3 1 =203 时 , h取得最大值 , 此 设AE =3 5 x ( x >0), 则AD =5 x ,
时h 2× - 30 ∴ DE = AD2 - AE2 =4 x ,
将 时 x 运 = = 动 4 2 0 0 员 , 3 离 代 着 入 陆 x 坡 = 的 10 竖 3 直 t 距 中 离 , 解 h 得 最 t 大 =2 最 , 大 即 值 当t 是 为 2 . ∵ ∴5 A D x D E = = 3 A x B + = 2 A , 解 E 得 + B x E = , 1 B , E =2,
, , 40 ∴ =4,
C本 ∴
BD
=
BE2
+
DE2
=25,
DE
1.锐角三角函数的定义 ∴sin∠ DBE =BD= 4 = 25.
1.解 : 由勾股定理 , 得OA = 3 2 +4 2 =5, 所以 cos α = 2.特殊角三角函数的计 2 算 5 5
2.解
4
5
:
.
如 图
,
连接AC
,
由勾股定理
,
得
1.解
∴
:
∠
由
A
题
=6
意
0°
,
得
,∠
s
B
in
=
A
45
=
°,
2
3
,cos
B
= 2
2
,
AC AB BC C A B .
=2, =22, = 10, ∴∠ =180°-∠ -∠ =75°
∴ ∴ A △ C A 2 B + C AB 为 2 直 = 角 BC 三 2 角 , 形 , 2.解 : 由题意 , 知 sin A - 2 2 =0, 2 3 -cos B =0,
AC
3.解 ∴ta 连 n∠ 接 A A B B C =AB= 1 2 . ∴sin A = 2 2 ,cos B = 2 3 ,
: , A B .
∵ OA2 =1 2 +3 2 =10, AB2 =1 2 +3 2 ∴∠ C =45°, . ∠ =30°
=10, OB2 =2 2 +4 2 =20, ∴∠ =105°
∴ OA A 2 O + B AB 是 2 等 = O 腰 B 直 2, O 角 A 三 = A 角 B 形 , 即 3. (1) 解 : 原式 = 3 3 -1 +2× 2 3 -1=1- 3 3 +3-1
∴△ ,
OAB
∠ =90°, = 23 ;
AOB 3
∴∠ =45°,
解 原式 1 2 3 3
AOB 2. (2) : =4× -2× -3× +2× =2
∴cos∠ =cos45°= 2 2 3 2
4.解 设AB x 2 .
: = , -1-1+3=3
在 ABC中 B ACB
∵ Rt△ ,∠ =90°,∠ =45°, 3 2 3 2
∴∠ BAC =∠ ACB =45°, 4. (1) 原式 = 2 -3- 2 = - 2 - 2 =-1- 6 =
∴
AB
=
BC
=
x
,
由勾股定理得AC
=
x2
+
x2
=2
x
,
3 3 3
AC CD 2 2
∵ = ,
∴ AC = CD =2 x , - 3+6 ;
3
∴ BD = BC + C A D B =(2+ x 1) x , (2) 原式 = 1 -2× 2 2 + 3 × 3 2 - 1 = 1 -
∴tan22 . 5°=BD= x=2-1 . 2 2 2 3 2 2
(2+1) 1 1 1.
5.解 设小正方形的边长为 过点 1+ - =-
C作
:
CF AB 垂足为点F
1,
如图 3.解直
2
角三
2
角形的
2
综合运用
⊥ , ,
所示.由勾股定理 , 得 AB = 1.解 : 在 Rt△ ABD中 ,sin B =A A B D = 5 ,
2 2 +4 2 =25, AC = 2 2 +2 2 AB 13
BC 由三角形面积公 ∵ =26,
=22, =2,
∴
AD
=10,
式 , 得 , AB × CF = BC × AE ,25× CF =2×2, 解得CF ∴ BD = AB2 - AD2 =24,
BD
25 在 AFC中 由勾股定理 得 AF BAD 24 12.
= , Rt△ , , , = ∴tan∠ =AD= =
5 10 5
AC2
-
CF2
=
65
,sin∠
BAC
=A
C
C
F
=
10
,
∵ A
AC
D = CD =10, AD ⊥ BC ,
5 10 ∴ =102,
AF CF CD
BAC 3 10 BAC 1. C 2.
cos∠ =AC= ,tan∠ =AF= ∴cos =AC=
10 3 2
2.解 过点C作CD AB垂足
6.解 A C C 3 : ⊥ ,
:∵∠ =∠ ,cos = , 为点D如图.
5 ,
在 CDA中 A
A 3 ∵ Rt△ ,tan =
∴cos = , CD
5 3
DE AB AD= ,
∵ ⊥ , 4
29
A"# 3
设CD x则AD x
在 =3 CD , B中 =4 B , ∴ DC = AD = AC ·sin C =42× 2 =4,
∵ Rt△ ,∠ =45°, 2
B CD B CD 2 ∵ BC =6,
∴tan =DB=1,sin =BC= ,
CD x. 2 ∴ S △ ABC= 1BC · AD = 1 ×6×4=12 .
∵ =3 ABC的 2 面积为 2
∴ 又 ∴ B B 4 ∵ x C D A + = B 3 3 x = x = A , B D 1 . C 4 + , = B 解 D 2 得 = · x 1 3 = 4 x 2 , = , 32 x. ( ∴ ∴ 在 2 B ) △ R D ∵ t D △ = C A B B C = D A - D D 中 C = , 4 = A , 6 B B 1 - C 2 = 4 ; = = 6 2 , A , D2 + BD2 = 4 2 +2 2 =
∴ =62
3.解 :(1) 如图 , 由勾股定理得 : AB = 2 2 +2 2 =22, AC 2 A 5 B . 的值为
= 3 2 +3 2 =32, BC = 5 2 +1 2 = 26, ∴ 在 AB 2 D 5 中 ; AB BD
∴ AB2 + AC2 =(22) 2 +(32) 2 =26, BC2 =(26) 2 (3) Rt△ , =25, =2,
BD
=26, ∴cos∠ ABC =AB= 2 = 5. ∴cos∠ ABC的值为
∴ AB2 + AC2 = BC2, 25 5
ABC是直角三角形 且 BAC ACB
∴△ , ∠ =90°,tan∠ = 5.
AB 5
A (2 C ) = 如 2 3 图 2 2 , = 2 3 ; 6. ( ( 1 2 ) ) 等 解 腰 :∵ ; ∠ B =30°,∠ C =45°, AB =4, AE ⊥ BC ,
∵ S △ DEF= 1 2 ×2×3=3, ∴ AE = 1 2 AB =2, BE = 2 3AB =23, EC = AE ,
EC AE
∵ BC = 26, CD = 5 2 +1 2 = 26, BD = 4 2 +6 2 ∴ AD = 为BC =2 边 , 上的中线
∵ ,
= 52,
∴
BC2
+
CD2
=52,
BD2
=52, ∴
CD
=
1BC
=
1
×(23+2)=3+1,
∴
BC2
+
CD2
=
BD2,
DE C
2
D CE
2
.
BCD BC CD ∴ = - =3+1-2=3-1
∴∠ =90°, = , 4.三角函数的实际应用———仰角、俯角问题
CBD
∴∠ =45°, 1.解 在 ABC中
CD . :(1) Rt△ ,
∴ = 26 BAC AB
∵∠ =19°, =60,
BC
BAC
tan∠ =AB,
BC AB . .
∴ =tan19°· ≈034×60≈20(m)
答 摩天轮的底部C点 到地面B点 的距离为 .
: ( ) ( ) 20m
在 ABD中
(2) Rt△ ,
BD
BAD AB BAD
∵∠ =63°, =60,tan∠ =AB,
4.解 :∵ AD ⊥ BC , ∴ BD =tan63°· AB ≈1 . 96×60=117 . 6≈118(m) .
∴∠ ADB =90°, ∴ CD = BD - BC =118-20=98(m) .
在 Rt△ ABD中 ,tan∠ BAD =A B D D = 3 4 , 2.解 答 : 过 摩 点 天 D 轮的 作 圆 DE 轮直 A 径 B ( 即 垂 C 足 D 为 ) 是 点 9 E 8m .
BD AD BAD . : ⊥ , ,
∴ = ·tan∠ =9 过点C作CF DE垂足为点F如图
BC ⊥ , ,
∵ =14, 所示 则 DAE DCF
CD BC BD : ∠ =75°,∠ =45°,
∴ = - =5, CDF是等腰直角三角形
∴
AC
= A
A
D
D2
+
CD2
=13,
∴
∴ D
△
F = CF ,
,
∴sin
C
=AC=
12.
在 ADE中 DAE
DE
13 Rt△ ,tan∠ =AE,
5. 解 过点A作AD BC垂足为点D
(1) : ⊥ , , DE .
∴∠ C AD 为 C 锐 = 角 ∠ A 且 DB = C 90°, ∴ AE = tan75° ≈ 7 3 4 . 7 6 3 =20(m),
∵ ∴ ∠ ∠ C DA = C 45°, tan C =1, ∴ ∵ B 四 E 边 = 形 AB BC - F A E E ≈ 是 7 矩 0- 形 2 , 0=50(m),
∴∠ DAC =90° C -∠ =45°, ∴ CF = BE ≈50m,
∴∠ =∠ =45°, DF CF
AD DC在 ACD ∴ = ≈50m,
∴ = , Rt△ , BC EF DE DF . .
AD ∴ = = - ≈746-50=246(m),
C AC 答 小区楼房BC的高度约为 . .
∵sin =AC, =42, : 246m
30
3A"#
3.解 延长AB交OF于点G 延长GC交AB于点F 则CF AB
: , (2)① , ⊥ ,
延长CD交OF于点H 由 该人身高为 . 通过尝试h是身高 .倍运动起
, ∵ 18m, 08
题意得AG OFCH OF 来更加舒服
: ⊥ , ⊥ , ,
AG OF GH h FG . . . 由 得CG .
=60m, =24m, ∴ = =18×08=144(m), (1) : =0
AC 在 AGO 中
= , Rt△ , 8m,
AOG CF FG CG . . . 即此时点C
∠ =70°, ∴ = - =144-08=064(m),
AG 到手柄AB的距离为 .
GO 60 . 064m;
∴ = ≈ . ≈218(m), CF .
∵∠ HF t E an 是 70° △ O 2 FE 75 的一个外角 ,∠ HFE =60°, ② 在 Rt△ ACF中 , AC =0 . 8m,cos∠ ACF =AC= 0 0 6 . 8 4
FOE .
∠ =30°, =08,
FEO HFE FOE ACF 由 得 DCG CDG
∴∠ =∠ -∠ =30°, ∴∠ ≈37°, (1) :∠ =90°-∠ =60°,
FOE FEO ACD ACF DCG
∴∠ =∠ =30°, ∴∠ =180°-∠ -∠ ≈180°-37°-60°
FO EF .
∴ = =24m, =83°
在 EFH 中 FH EF 1
6.三角函数的实际应用———方向角问题
Rt△ , = ·cos60°=24× = 1.解 如图所示 作BE ACDF AC分别交于EF两
2 : , ⊥ , ⊥ , ,
12 A (m C ), GH OG OF FH . 点 , 由题意 , AC ∥ BD , 则四边形BEFD为矩形 , BE =
∴ = = + + =218+24+12≈ DFBD EF由题意 BAE AB
, = , ,∠ =45°, =402,
58(m), 在 ABE中AE BE AB
楼AB与CD之间的距离AC的长约为 . ∴ Rt△ , = = ·sin45°=40,
∴ 58m 则DF 由题意 DCF
5.三角函数的实际应用———坡度问题 =40, ,∠ =30°,
DF
1.解
:
如图
,
过点G分别作
∴Rt△
DCF中
,
CF
= =403,
EF , DE的垂线 , 垂足分别 轮船从港口A出 t 发 an 到 30 达 ° C处 用时 速度为
为 点 M N 则 四 边 形 ∵ , 2h,
, ,
GNEM是矩形 NE GM 15nmile/h,
NG EM. , = , ∴ AC =2×15=30,
= EF AC CF AE
斜坡坡度为 即 ∴ = + - =30+403-40=403-10,
∵ 1∶ 3, BD
GM ∴ =403-10,
GFM 1 3 快艇和轮船同时出发
tan∠ =FM= = , ∵ ,
3 3 快艇用时与轮船相同 即
GFM ∴ , 2h,
∴∠ =30°, 快艇的速度为
在 ∴ G R M t△ = F F G G M ·s 中 in , F ∠ G GF = M 3 = m 3 ,∠ · G si F n M 30 = ° 3 = 0 1 ° . , 5(m), FM = ∴ ∴ 快艇每小时航 : 行 (4 ( 0 20 3 3 -1 - 0 5 ) ) ÷ n 2 m = ile (2 . 03-5)nmile/h,
FG GFM 33
·cos∠ =3·cos30°= (m),
2
NE GM . NG EM EF FM
∴ = =15m, = = + =8+
33 .
(m)
2
BCA DGN
∵∠ =∠ ,
BCA DGN
∴tan∠ =tan∠ , 第1题图 第2题图
DN AB
∴NG =BC= 2 2 . 5 = 4 5 , DN = 4 5 NG = 4 5 2. D 解 : 则 (1) C 如 D 图 B , 过点C 由 作 题 C 意 D 可 ⊥ 知 AB AC 交AB的延长 C 线 A 于 D 点
8+ 3 2 3 ≈8 . 44(m), 90° , -6 ∠ 0°=30 = °, 9 ∠ 0° B , CD =45°, , =600m,∠ =
2.解 ∴ 答 D : : ( E 路 1 = 灯 ) 过 D D N 点 E + C 的 N 高 作 E 度 C = G 8 约 . ⊥ 4 为 4 D 1 + E 0 1 m . 5 . ≈ 10(m) . ∴ 角 C 三 D 角 = 形 1 2 , AC = 1 2 ×600=300(m),△ BCD是等腰直
于G
, ∴
BD
=
CD
=300m,
踏板CD与地面DE的坡 BC CD . .
∵ ∴ = 2 =3002≈300×1414=4242≈
比 =1∶3, CD =1 . 6m, 4 答 24( 菜 m 鸟 ), 驿站C与超市B的距离约为
∴tan∠ CDG = 1 3 = 3 3 , (2) : 小南上美术网课会迟到 , 理由如 4 下 24 : 在 m; Rt△ ACD
∴∠ CDG =30°, 中 ,tan∠ CAD =A C D D =tan30°= 3 ,
CG 1CD . 即点C到地面DE距离为 3
∴ = =08(m), AD CD
2 ∴ =3 =3003(m),
.
08m;
∴
AB
=
AD
-
BD
=3003-300≈219
.
6(m),
31
A"# 3
BC AB . .
∴ + ≈4242+2196≈644(m),
.
∵644÷80=805>7,
小南上美术网课会迟到.
∴
3.解 如图 过点B作BD
:(1) ,
AF 交AC于点D 则 ∥ , ,
ABD FAB ∠ =∠ =30°,
FAC
∵∠ =60°, BAC ∴∠ =60°-30°=30°, C BAC ∴∠ =180°-∠ -
ABD DAC
∠ -∠ =180°-
30°-30°-70°=50°;
如图 过点B作BE AC垂足为点E在 BEC
(2) , ⊥ , , Rt△
中BC C
, =20nmile,∠ =50°,
BE
C
∵sin =BC,
BE BC C . .
∴ = ·sin ≈20×0766=1532(nmile),
在 ABE中 BAE Rt△ ,∠ =30°, 则AB BE . . =2 =2×1532≈306(nmile), 答 货轮从A到B航行的距离约为 . . : 306nmile 7.待定系数法求二次函数表达式
1.解
:
将A
(-1,-1),
B
(3,-9)
代入y
=
ax2
-4
x
+
c
,
a c
得 +4+ =-1,
a c
9-12+ =-9,
a =1,
∴c =-6,
y x2 x . ∴ = -4-6 2.解 由题意 设二次函数的表达式为yax x
: , = (+3)(-1),
二次函数的图象经过点 ∵ (-1,2),
a ∴-4=2,
a 1 ∴ =- , 2
二次函数的表达式为y 1 x x
∴ =- (+3)(-1)=
2
1x2 x 3.
- - +
2 2
3.解
:∵
y
=
ax2
+
bx
+
c与x轴交于A
(-2,0)、
B 两点 与y轴交于点C (22,0) , (0,2),
a 1
2a bc =- ,
(-2) -2+ =0, 2
解得
2a bc ∴ c (2 =2 2 , ) +22+ =0, c b = 2 2 , =2,
32
将A
,
B 两点坐标代入y
=
ax2
+
bx
+6
得
a b a 1
0=4-2+6解得 =-
a b 2
0=36+6+6 b
=2
二次函数的表达式为y 1x2 x .
∴ =- +2+6 2 8.二次函数图象与坐标轴的交点
1.解 :∵ 抛物线y =- x2 -2 x + m与x轴没有交点 , ∴Δ=(-2)2 -4×(-1)× m <0, 解得m <-1 .
2.解
:∵
抛物线y
=3
x2
-6
x
+
a与x轴只有一个公共点
,
a 解得a .
∴Δ=36-12=0, =3
3.解
:
y
=2
x2
+8
x
+
m是二次函数
,
由题意可知
Δ>0,
m
∴64-8 >0,
m .
∴ <8
4.解
:∵
关于x的函数y
=
x2
-4
x
+
k的图象与x轴有公
共点
,
∴Δ=(-4)2 -4×1× k ≥0, 解得k ≤4 . 5.解 : 当y =0 时 , x2 + x -6=0, 解得x 1=-3, x 2=2, ∴ A (-3,0), B (2,0), 当x =0 时 , y = x2 + x -6=-6,
C
∴ (0,-6),
ABC的面积 1 AB OC 1
∴△ = · · = ×(2+3)×6=
2 2
.
15
6.解 h . 球从点O正上方 的A处发出 :(1)∵ =28, 2m ,
∴ 抛物线y = a ( x -6)2 + h过点 (0,2),
∴2= a (0-6)2 +2 . 8, 解得a =- 1 , 故y与x的关系 45
式为 : y =- 1 ( x -6)2 +2 . 8,(2) 当x =9 时 , y =- 1
45 45 ( x -6)2 +2 . 8=2 . 6>2 . 45, 所以球能过球网 ; 当y =0
时 ,- 1 ( x -6)2 +2 . 8=0, 解得x 1=6+37<18, x 2
45
舍去 故不会出界
=6-37( ), ;
(3) 当球正好过点 (18,0) 时 , 抛物线y = a ( x -6)2 + h
a h
还过点 代入解析式得 2=36+ ,解得
(0,2), a h
0=144+ ,
a 1 =- 54 , 此时二次函数解析式为 : y =- 1 ( x -6)2
h 8 54
=
3
,
8 此时球若不出边界h 8 当球刚能过网 此时 + , ≥ , , 3 3 函数解析式过 (9,2 . 45), 抛物线y = a ( x -6)2 + h还过
点 代入解析式得 2 . 45= a (9-6)2 + h ,解得
∴ 抛物线的表达式为y =- 1x2 + 2x +2 . (0,2), 2= a (0-6)2 + h , ,
2 2
4.解 : 由题意得 - b 2 = 3 2 , 解得 c b =-3 , a h =- . 6 1 0 , , 此时球要过网h ≥2 . 6, 故若球能过球网 ,
bc =-4 =26,
1- + =0
∴
抛物线表达式为y
=
x2
-3
x
-4;
令y
=0,
则x2
-3
x 不会出界
,
h的取值范围是
:
h
≥
8.解法二
:
y
=
a
(
x
-
5. - ∴ 解 B 4 : = 由 (4 0 题 ,0 , 解 意 ) . 得 得 x OC 1= = - 6 1 , , x 2=4, 6 越 得 )2 h 过 + > 球 h 2 网 过 . 6 , 点 , 则 2 . ( 6 当 0 > , x 2 2 = ) . 点 9 45 , 时 , 代 能 , y 入 过 > 解 2 网 析 . , 45 球 式 3 , 若 得 即 不 2 9 a = 出 + 3 边 h 6 a > 界 + 2 , h . 则 4 , 5 若 当 , 球 解 x
OC OB OA
∵ 点A = 的坐 = 标 3 为 , 点B的坐标为 . =18 时 , y ≤0, 解得h ≥ 8.
∴ (-2,0), (6,0) 3
3A"#
∵ 网 当 不 y 会 = 出 0 界 时 , h x 的 =6 取 + 值 3 范 7 围 < 是 18 h , 故 8 若 . 球一定能越过球 ∴ 把 y (2 2= ,0 a ) 代 ( x 入 - 函 1) 数 2 + y 3 2 , 中 , 得 0= a (2-1)2 +3,
, , ≥ a
3 ∴ =-3,
9.二次函数与几何变换 ∴ y 2=-3( x -1)2 +3( x ≥0),
1.解 :(1) 设抛物线的表达式为y = a ( x -1)( x -3), 把 ∴ 抛物线y 2 的表达式为y 2=-3( x -1)2 +3( x ≥0);
代入得a 解得a 所以抛 由函数图象可知y 的对称轴为直线x y
(0,3) ·(-1)·(-3)=3, =1, (2) ,1 =-1;2
物线表达式为y =( x -1)( x -3), 即抛物线表达式为 的对称轴为直线x =1, 在y 1=-3( x +1)2 +3( x ≤0)
y ( 线 2 = ) 的 x 将 表 2 此 - 达 4 抛 x 式 物 + 是 3 线 - ; 沿 y x = x 轴 2 - 进 4 x 行 + 轴 3 对 , 即 称 y 变 = 换 - x , 得 2 + 到 4 x 的 - 新 3 抛 . 物 中 在 侧 y ) , , 当 2 y = - 随 - 1 x 3 < x 的 ( x < 增 - 0 1 大 时 )2 而 ( + 即 减 3 E 小 ( x O , ≥ 段 0) ) , , y 当x 随x >1 的 时 增 ( 大 即 而 F 减 的 小 右 ;
2.解
:(1) 将
当
抛
x
物 = 线 - 向 1
时
左 , 平
y
= 移
a
-2 个
b
+ 单 2 位
b
- 长
a
度 =0 后 ; 恰经过点 ∴ 范
函
围
数
为
L
,
当函
x
数值y
或x
随x的增大而减小时
,
x的取值
(2)∵ 2 , :-1< <0 >1;
( ∴ - 原 1, 抛 0) 物 , 线经过 (1,0), 把 (1,0) 代入表达式可得 0= a ( ∵ 3 y ) 当 = x b + = b 0 与 时 y , y = = x x 平 与 行 函 , 数L有三个交点 ,
+2 b +2 b - a , ∴ 当直线y = x + b与抛物线y 2=-3( x -1)2 +3( x
b . 相切时 直线y x b与函数L也有 个交点
3. ( ( ∴ - 1 - ) ( x 1 = 解 ) - 0 2 : 1 + 将 ) 2 2 点 + = 2 B 1 , , ( 顶 0 解 , 点 1 得 坐 ) a 代 标 = 入 为 - y : A 1 = , (1 a 抛 ,2 ( x 物 ), - 线 1 表 )2 达 + 式 2 为 得 : , y a × = ≥ ∴ ∴ 0 Δ - ) = 3( ( x - - 5 1 ) , 2 )2 - + 4 3 × = 3 x = × + b b + = , 0, 解得b = 2 1 5 2 ; 3 ,
将A 代入y x m得 m 解得m 直线y x b与函数L的图象有 个公共点时b
(1,2) = + :1+ =2, =1, ∴ = + 3 ,
a m .
∴ =-1,=1 的值为b 或b 25.
故答案为 =0 =
( 设 点 2) 平 坐 解 移 标 : 由 后 为 ( : 的 1 - p 2 ) 抛 1 知 , ; 物 1 p 抛 4 ; 线 2 物 + 的 q 线 表 表 , 达 达 式 式 为 为 y y = = - - x2 ( x + p - x 1) + 2 q + , 2 其 , 可 顶 1 1 0 . ( 解 则 . 2 二 ) : 方 ( 由 1 次 程 ) 图 函 a 由 x 象 数 图 2 可 + 与 象 b 知 不 x 可 当 + 等 知 c 1 式 , = < 1 图 2 0 x 象 < 的 与 3 两 x 时 个 轴 , 根 不 交 为 等 于 x 式 ( = 1 a 1 x ,0 2 和 ) + 和 x bx ( = 3 + 3 , c 0 ; > ) 点 0; ,
∵
顶点仍在直线y
=
x
+1
上
, (3)
由图象可知
,
y
=
ax2
+
bx
+
c
(
a
≠0)
的图象的对称
p2
q
p 轴为直线x
=2,
开口向下
,
即当x
>2
时
,
y随x的增大
∴ + = +1, 而减小
4 2 ;
∴ ∵ ∴ q q 抛 = = 物 - - 线 p p 4 y 2 2 + + = p p - 2 x + + 2 1 1 + , = px - + 1 q与 ( p y -1 轴 )2 交 + 点 5 的 , 纵坐标为q , ( 大 根 < 4 2 ) 值 , 由 则 . 为 k 图 2 必 象 , 若 须 可 方 小 知 程 于 , 二 a y x 次 = 2 a + 函 x b 数 x 2 + + y b c x = = a + k x c 2 ( 有 a + ≠ 两 bx 0 个 ) + 的 不 c ( 最 相 a 大 ≠ 等 0 值 的 ) , 的 实 则 最 数 k
4 2 4 4 2.解 依题意 得抛物线的对称轴为x 与x轴的
:(1) , =1,
∵-
1
<0,
一个交点坐标为
(-1,0),
故抛物线与x轴的另一个交
4 点坐标为
p 时平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标的最 (3,0);
∴ =1 抛物线与x轴的两个交点坐标为
4. 大 ( 解 过 x 值 : 原 + 为 1 ( 点 1 ) 5 4 ) 2 ∵ + . 函 3 ( x 数 ≤ y 0 1 ) = 的图 - 象 a ( ( ∴ ∴ 2 3 ) ) 方 不 ∵ ∵ 程 等 抛 抛 a 式 x 物 物 a 2 x 线 线 + 2 b 与 的 + x b x 对 + x c 称 轴 + = c 轴 的 0 < 为 两 的 0 直 个 两 的 线 交 个 解 x 点 根 集 坐 是 是 标 x - 为 1 = < ( ( - 3 3 x 1 , , 0 0 < 或 ) ) 3 ( ( x ; - - = 1 1 3 , , 0 0 ; ) ) , ,
, (4)∵ =1,
∴0=- a (0+1)2 +3, ∴ 当y随x的增大而减小时自变量x的取值范围是x
a .
∴ ∴ y 1 = = 3 - ; 3( x +1)2 +3 对称 3. < 解 1 :(1 ) 将P (1,-3), B (4,0) 代入y = ax2 + c , 得
轴x 抛物线的顶点
为 ∴
= ∴ 为 0 (
: 令
抛 0
(
, x
- 0
, 物
=
0 2
1 =
) = 线
-
,
,3 -
y ( -
1 )
-
3
1 2
, ,
2 =
(
;
x
,0 -
+
) 3
1
,
)
( x
2 +
+
3
1
,
)
整
2 +
理
3
得
( x
( x
≤
+
0
1
) 与
)2
x
=1
轴
, 解
的
得
交
x
点
1
4. ( ( 1 2
a 1
)
6
)
+ a
解 由
c +
: 图
= c
抛 象
= -
物
0 3
得 线
, ,
x
解
的 >
得
对 4
c a
称 或
= =
x 轴
-
<
1 5
为 1
1
5 x
, 6
. =
,
- - 2 3 m m = 3 2 , 令y =0,
∵ 的 函 图 数 象 y , 1=-3( x +1)2 +3 沿y轴翻折 , 得到函数y 2 得mx2 -3 mx -3 m =0, 解得x 1= 3+ 2 21 , x 2=
函数y 的图象与x轴的交点为 顶点
∴ 坐标为 2 (0,0),(2,0), 3- 21 ,
(1,3), 2
33
A"# 3
点A在点B的左侧 y与x的函数关系式为y x W x
∵ , ∴ :=-2 +160; =(-
∴ A 3-
2
21 ,0 , B 3+
2
21 ,0 , 2
3
0
2
)
0
·
0
y
(2
=
0<
(
x
x -
≤
2
5
0
0
)
)
(
;
-2
x
+160)
即W
=-2
x2
+200
x
-
故答案为 : x = 3 2 ; 3- 2 21 ,0 ; ( 得 2) , x 由 2 - 题 1 意 00 得 x + ,- 2 2 1 x 00 2 + = 2 0 0 , 0 解 x 得 -3 x 1 2 = 00 70 = , 8 x 0 2 0 = + 30 20 , 0, 整理
(2)∵3
m
≤
mx2
-2
mx
,
m
>0, ∵20<
x
≤50,
∴ x2 -2 x -3≥0, 解方程x2 -2 x -3=0, 得x 1=-1, ∴ 答 x 该 =3 食 0 品 , 的售价为 元
x ∴ 2 x = 2 3 - , 2 x -3≥0 的解集为x ≤-1 或x ≥3, 即不等式 (3) : ∵-2 x +160≥90 30 , 解得 /k x g ≤ ; 35,
3 m ≤ mx2 -2 mx的解集为x ≤-1 或x ≥3, ∴20< x ≤35, W =-2 x2 +200 x -3200=-2( x -
( 故 3) 答 当 案 抛 为 物 : x 线 ≤ y - = 1 mx 或 2 x - ≥ 3 m 3 x ; -3 m ( m >0) 的顶点在MN 5 ∵ 0 a ) 开 2 = + 口 - 1 向 2 80 < 下 0 0 , ,
上
∴Δ
时
=
,
9
即
m
m
2
x
-
2
4
-
m
3
(
m
-
x
3
-
m
3
+
m
4
=
)=
-
0
4
,
有
解
两
得
个
m
相
1=
等
0
的
( 舍
实
去
数
)
根
, m
,
2
∴
∵
对
在x
称轴为x ,
时 = W 50 随 , x的增大而增大
= 1 2 6 1 ; 当抛物线经过线段MN的左端点N时 , 把N ∴ ∴ 答 x 售 =3 价 ≤ 5 为 5 时 0 , W 元 , 最大 时 值 = 每 15 天 × 获 90 利 = 最 1 大 35 为 0( , 元 ), 元.
1
2 ,-4
代入y
=
mx2
-3
mx
-3
m
,
得1
4
m
-
3
2
m
- 4.解
:
由题
35
意CD
,
为y 1x
1350
x
:(1) , 2=- +90(0< ≤120),
m 解得m 16 当抛物线经过线段MN的右端 3
3 点M =- 时 4 , , 把M (2, = - 1 4 7 ) 代 , 入y = mx2 -3 mx -3 m , 得 4 m ∴ D 当y =50 时 . ,- 1 3 x +90=50 . ∴ x =120 .
-6 m -3 m =-4, 解得m = 4 5 ; 综上所述 , m的取值范 ∴ ∴ B ( ( 1 1 2 2 0 0 , , 4 5 0 0 ) ) .
b
围为4
≤
m
<
16或m
=
16. 又A
(0,60),
可设y
1=
kx
+
b
,
则 =
k
60,
b
5 17 21 120+ =40,
11.二次函数的应用———销售问题
k 1
1.解 设该种品牌玩具的销售单价为x元 则x =- ,
:(1) , (-30) ∴ 6
[600-1 解 0 得 ( x x -40)] x =-10 x2 +1300 x -30000= 线 b 段 =6 A 0 B , 所表示的y与x之间的函数表达式为y
12000, :1=60,2=70, ∴ 1 1=
答 玩具销售单价为 元或 元时 可获得 元
的 : 销售利润 60 70 , 12000 - 1 6 x +60;
; 由题意 设产量为x 时 获得的利润为W元
设该种品牌玩具的销售单价为x元 销售该品牌玩 (2) , kg , ,
(2) , 根据题意 得
具获得利润为w元 则w x x ,
, =(-30)[600-10(-40)]
=
a
-10 x2 +1300 x -30000=-10( x -65)2 +12250, W = x - 1
3
x +90 - - 1
6
x +60 =- 1
6
x2 +
∵ ∴ ∴ 答 抛 当 = 玩 x 物 - 具 = 线 1 销 6 0 的 5 < 售 开 时 0 单 , 口 , w 价 向 最 定 大 下 值 为 , =122 元 50 时 ( 元 商 ) 场 , 获得的销售利润 3 ∴ 答 0 x 当 该 = x 产 - =9 品 1 6 0 产 ( x 时 量 - , W 9 为 0 取 )2 得 +1 最 3 大 时 50 值 , 获 , 最 得 大 的 值 利 为 润 1 最 35 大 0 . 最大利
最 : 大 最大利润是 65 元. , 润 : 是 元. 90kg , ,
2.解 , 由表格中数 12 据 2 可 50 知y与x之间的函数关系式 12.二次 13 函 50 数的应用———面积问题
:(1) ,
为一次函数 设y kx bk 则 10 k + b =40,解 1.解 :(1) 设t s 后 △ PCQ的面积等于 2m 2, 根据题意得
, = + (≠0), kb
12+ =30, CQ tBP t则CP t1CQ CP 1
k = , =2, =7-2, · = ×
得 =-5, 2 2
b
=90, t t 整理 得t 7+ 17t 7- 17 故若
y与x的函数关系式y x (7-2)=2, , 1= ,2= ,
∴ =-5+90; 4 4
设该产品的销售利润为w 由题意得w yx
(2) , := (-8) PQ同时分别从BC出发 那么7+ 17或7- 17
=(-5
x
+90)(
x
-8)=-5
x2
+130
x
-720=-5(
x
- 后
,
PCQ的面积等
,
于
,
4 4
s
13)2 +125, ,△ 2;
∵ ∴ 答 - 当 当 5 x < 销 = 0 售 1 , 3 单 时 价 , w 为 最大 万 , 最 元 大 时 值 有 为 最 12 大 5 利 ( 万 润 元 最 ), 大利润为 (2) t 由 (1 7 ) 知 2 △ 4 P 9 CQ 当t 的面 7 积S 时 = S 1 2 取 × 得 t 最 (7 大 - 值 2 t 最 )= 大
: 13 , , - - + , = s , ,
万元. 4 16 4
3. 1 解 25 :(1) 设y 与x的函数关系式为 : y = kx + b , 把 (30, 值为4 1 9 6 , 故当t = 7 4 s 时 △ PCQ的面积最大 , 最大面积
kb k
100),(40,80)
代入得 30
k
+
b
=100,解得
b
=2, 为49
m
2.
40+ =80, =160, 16
34
3A"#
2.解 四边形EGHF为矩形
B : C (1)∵ EF , 0) 代入得 0= a (0-5)2 +5, 解得a =- 1 ,
∴ ∥ , 5
( ∴ 2) △ 设 AE 正 F 方 ∽ 形 △ 零 A 件 BC 的 ; 边长为x mm, 则KD = EF = x , AK 2. ∴ 解 抛物 由 线 题 的 意 表达式为y =- 1 5 ( x -5)2 +5 .
=80-
x
,
:
抛
(1
物
)
线的顶
,
点为 . 对称轴是y轴
∵ ∴ E △ F A ∥ E B F C ∽ , △ ABC , ∵ ∴ 可设 a 抛物 . 线为y . = (0 a . x ,7 2 5 + ) 7 , . 5 .又B为 (2 . 5 , ,0),
∵ AD ⊥ BC , ∴ a 0= ×6 . 2 . 5+75
EF AK ∴ =-12
∴BC=AD,
∴
抛物线的解析式为y
=-1
.
2
x2
+7
.
5
.
由题意
∴ x = 80- x , 解得x =48 . (2) 原有灯管 , MN与最高点的水平距离为
120 80 ∵ , 1m,
答 : 正方形零件的边长为 48mm . ∴ 可令x =1, 则y =-1 . 2×1 2 +7 . 5=6 . 3 .
设EF xEG y 升降梯的最低高度应为 . . . .
(3) = , = , ∴ 63-18=45(m)
∵△
AEF
∽△
ABC
,
3.
(1)
解
:
设大孔抛物线的表达式为y
=
ax2
+6,
把点
EF AK
A 代入表达式得 a 解得a 3
∴BC=AD, (-10,0) 100+6=0, :=- ,
50
∴
x
=
80- y
, ∴
大孔抛物线的表达式为y
=-
3x2
+6
.
120 80 50
∴
y
=80-
2x
, (2)∵
大孔抛物线的表达式为y
=-
3x2
+6,
当x
=2
3 50
∴ 矩形面积S = xy =- 2x2 +80 x =- 2 ( x -60)2 + 时 , y =- 3 ×2 2 +6=5 . 76>2+3,
3 3 50
x 故当x 时 此时矩形的面积最 该巡逻船能安全通过大孔
2400(0< <120), =60 , ∴ ;
大
,
最大面积为
2400mm
2.
(3)∵
NC
=4
.
5,
3.解 当l为 时BC a 点F的纵坐标为 .
:(1) 20 , =20-2, ∴ 45,
∴
解
a
得
(2
a
0-2 a
a
)=32, 即
当
: a
a
2 -10
时
a +16=0
a
,
不符 ∴
当y
=4
.
5
时
,
得
-
3x2
+6=4
.
5,
解得x
1=5,
x
2=
1=2,2=8, =2 ,20-2=16>12, 50
合 ∴ a 题 = 意 8; , 舍去 , 当a =8 时 ,20-2 a =4<12, 符合题意 , - ∴ 5 由 , 抛物线对称性可知点为E (-5,4 . 5), 点F为 (5,
(2)① 当l为 20 时 , BC =20-2 a , 4 . 5),
∴ 又 S = a a ( > 20 0 - , a 2 a ), 解得 a 14 ∴ 答 . E 二 : F 大 次 = 孔 函 5 的 数 - 水 ( 的 - 面 应 5 宽 ) 用 = 度 — 1 — E 0 — F (m 球 为 ) 类 . 10 运 m 动 . 问题
∴ ② S S ∵ = = a a 2 2 0 0 ( ( 2 2 - - 0 0 2 2 - - a 2 2 a a > ≤ 0 1 ) ) 2 ( = , 4 , ≤ - a 2 a < 2 4 1 + 0 ≤ 2 ) 0 ; a < = 10 - , 2( a -5)2 +50, 1. O M 解 立 P N : 平 ( 所 1 所 面 ) 在 在 以 直 直 直 点 角 线 O 线 坐 为 为 y 标 为 x 系 原 轴 , 点 轴 建 如 , ,
∵ ∴ - 当 2 a < = 0 5 , 时 , S有最大值 , 最大值为 50; 图 , 设抛物线解析式为 , y
(3) 结合材料 ,2 a + 3 a 2 ≥2 2 a · 3 a 2 , = 由 a 题 ( x 知 - , h 抛 )2 物 + 线 k 过 ( a 点 ≠0 (1 ) 0 , ,0), 以及顶点为 (4,3),
a 32 当 a 32时 a 32有最小值为 ∴ a (10-4)2 +3=0,
∴2+a≥16, 2=a ,2+a 16,
解得a 负值舍去 解得a =- 1 ,
=4( ), 12
点P的坐标为
∴ (4,16), ∴ 抛物线解析式为y =- 1 ( x -4)2 +3, 当x =0 时 , y
又 a 且32 解得a 8 综上 当8 a 12
∵ >0 a≤12, ≥ , , ≤ ≤4
时l随a的增大而减小. 3 3 = 5 , 即OP = 5 ≈1 . 7m,
, 3 3
13.二次函数的应用———桥梁隧道问题 实心球被掷出后脱手时距地面的高度为 .
∴ 17m;
1.解 答案不唯一 方案二
: 水 ( 面的宽度为 ) ; (2) 当x =7 时 , y =- 1 ×(7-4)2 +3= 9 ,
∵ 10m, 12 4
B点坐标是 .
∴ 选 的 设 顶 择 抛 点 方 物 A 案 线 二 的 的 , 表 坐 根 ( 达 1 标 据 0 式 为 , 题 0 为 ( ) 5 意 y ,5 知 = ) a 点 , 且 ( x B 经 - 的 5 过 坐 ) 点 2 标 + O 5 为 ( ( 0 a (1 , ≠ 0 0 0 ) ,0 , ) B ) . , ( 把 1 抛 0 点 物 ,0 (0 线 ), , 2. ( ∵ ∴ 解 2) 该 : 9 4 ( ∴ 1 名 > ) 设 ( 1 穿 0 抛 . , 8 过 3 物 , . 实 5 线 ) 心 ; 的 球 表 场 达 地 式 的 为 同 y 学 = 没 ax 有 2 + 危 3 险 . 5 . .由图知图象
35
A"# 3
过以下点
:(1
.
5,3
.
05)
.
∴
抛物线的表达式为y
=
x2
-2
x
-3,
顶点坐标
.a . . 解得a . 为 .
∴225+35=305, :=-02, (1,-4)
( ∴ 3)
抛
在
物
y
线
=
的
-
表
0 .
达
2 x
式
2 +
为
3
y
. 5 = 中 - , 0 当
.
2 x
x2
= + - 3 2
.
5 . 5 ; 时 , y =-0 . 2 ( ∴ 2 A ) B ∵
A
=4 (- . 1,0),
B
(3,0),
× ∴ ( 球 - 出 2 . 手 5) 时 2 + , 他 3 . 跳 5= 离 2 地 . 2 面 5, 的 2 . 高 25 度 - 是 1 . 0 8 . - 2 0 m . 2 . 5 =0 . 2m, 设P ( x , y ), 则S △ PAB= 1 2 AB ·| y |=2| y |=6,
3.解 :(1) 将v 1=8m/s 代入y = at2 + v 1 t ( a ≠0), 得 : y = ∴| y |=3,
a ∵ t2 当 + t 8 t = ( a 1 ≠ 时 0 , ) 小 , 球达到最大高度 , ∴ ① y 当 = y ± = 3 3 . 时 , x2 -2 x -3=3, 解得 : x 1=1+7, x 2=1
∴ ∴ ∴ a y - = = 2 8 a - - = 4 4 t 1 , 2 , +8 t , - ② 此时 当 7 y P , = 此 点 - 时 坐 3 P 标 时 点 为 , x 坐 ( 2 0 - 标 , 2 - 为 x 3 ( - 1 ) 3 或 + = (2 7 - , , - 3 3 ) 3 , 或 解 ); ( 得 综 1- : 上 x 1 7 所 = , 述 3 0 ) , , x P ; 2= 点 2 坐 ;
当t 时y 标为 .
∴ =1 ,=-4+8=4, (0,-3),(2,-3),(1+7,3),(1-7,3)
∴ 小球能够上升的最大高度为 4m; 2.解 :(1) 令抛物线y =0, 则 - x2 +2 x +3=0, 解得x 1=
(2)①∵ y =-4 t2 +8 t , -1, x 2=3,
∴ 当t = 1 2 时 , y =-4× 1 2 2 +8× 1 2 =3, ∴ 故 A 答 ( 案 -1 为 ,0), B (3,0) .
小球的纵坐标为 (-1,0),(3,0);
∴ 3,
(2)
在y
=-
x2
+2
x
+3
中
,
当x
=0
时
,
y
=3,
∵ 小球的运动的水平距离为 : v 2· t =4× 1 =2m, ∴ C (0,3) .
小球的横坐标为 2 设直线BC的表达式为y kx b将B C
∴ 2, = + , (3,0),(0,3)
∴ 高
小
高
球
度
的
为
坐标为
(2,3);
由
(1)
知当t
=1
时
,
小球到达最
代入 , 得
b
k =3 b , 解得
b
k =3 ,
4m, 3+ =0 =-1
此时小球的水平距离为 直线BC的表达式为y x 若PE ED 则
∴ 4×1=4m, ∴ =- +3, =2 ,
∴
此时小球的坐标为
(4,4),
即最高点的坐标为
(4,4);
PD
=3
ED
,
设P
(
m
,-
m2
+2
m
+3),
故答案为 PD x轴 垂足为点D
:(2,3),(4,4); ∵ ⊥ , ,
水平距离x v t t Em m
②∵ = 2·=4, ∴ (,- +3),
∴ ∵ 把 t y t = = x 4 - x 4 , t 代 2 + 入 8 t 得 , y x 2 x x2 ∴ ∴ ∴ P m m - E 2 = m - 2 2 5 + , m 此 2 + m 时 6 + P = 3 0 ( = 2 , 3 , 解 3 ( ) - 得 , E m m (2 + 1= , 3 1 2 ) ) , , , m 2=3( 舍 ),
= , :=-4· +8· =- ∴ =2,
4 4 4 4
+2 x ; ∴ S △ PBC= 1PE · OB = 1 ×2×3=3,
y
x2
x PBC的
2
面积为 .
2
∴ =- +2; ∴△ 3
③∵
PQ
=
4
1,
上沿P的坐标为
(4,3),
3. (1) 解 : 将 (0,4),(-2,0),(4,0) 代入抛物线表达式得
∴ 当 Q 小 (4 球 ,2 刚 ) 好 , 击中点P , 即y =3 时 ,3=-4 t2 +8 t , 解得 : c 4 a = - 4 2 b + c =0, 解得 b a =- 1 2 ,
t = 1 2 或t = 3 2 , 当t = 1 2 时 , v 2=4÷ 1 2 =8m/s; 当t 16 a +4 b + c =0 c = = 4 1
= 3
2
时 , v 2=4÷ 3
2
= 8
3
m/s; 当小球刚好击中点Q ,
M
∴ y
作
=
M
-
D
1
2
x
y
2 +
轴
x
交
+
B
4
C
;(
于
2
D
) 过点
交
即y =2 时 ,2=-4 t2 +8 t , 解得t = 2 2 +1 或t =- 2 2 OB于E , 过 ∥ C作CF ⊥ DM于 , F ,
OCFE为矩形
+1, 当t =- 2 2 +1 时 , v 2=4÷ - 2 2 +1 =(42+ ∴ ∴ OE = CF , ,
设直线BC的表达式为y kx
8)m/s; 当t = 2 2 +1 时 , v 2=4÷ 2 2 +1 =(8- b , 将点 (0,4)、(4,0) 代 = 入 + 得
b k
42)m/s; k =4 b , 解得 b =-1 , 则直
v 8或 v . 4+ =0 =4
15
∴
.
8
二
-
次
4
函
2
数
<
与
2
图
<
形
3
面积
8< 2<8+42 线BC的表达式为y
=-
x
+4,
设M
(
m
,-
1m2
+
m
+
2
1.解
:(1)
把A
(-1,0),
B
(3,0)
分别代入y
=
x2
+
bx
+
c
4),
则D
(
m
,-
m
+4),
bc b
中
,
得 1-
b
+
c
=0,解得
c
=-2,
∴
DM
=-
1m2
+
m
+4-(-
m
+4)=-
1m2
+2
m
,
9+3+ =0, =-3, 2 2
36
3A"#
S △ BCM= S △ CMD+ S △ BDM= 1 · DM · CF + 1 · DM · - 5 ×(-1)2 - b + c =1 b =-2
2 2 3 解得
∴ , c 2 ,
BE = 1 · DM ( CF + BE ), c = 2 = 3
2 3
∴ S △ BCM= 1DM · OB =- m2 +4 m =-( m -2)2 +4, ∴ 抛物线的函数表达式为y =- 5x2 -2 x + 2 ; 把y
点M在直 2 线BC的上方 3 3
∵ , 代入y 1x 2中得 1x 2 解得x
m =0 =- + ,- + =0,
∴0< <4, 3 3 3 3
( ∴ ∴ 上 3 M ) 当 方 由 ( m 2 (2 , = 4 ) 2 ) 得 ; 时 S , S △ BC △ M BCM = 最 - 大 m , 2 此 + 时 4 m - , 1 2 点 m M 2 + 在 m 直 +4 线 = B 4 C , 的 = ∴ 解 形 2 点 : . , △ 理 C A 由 C 的 D 如 坐 下 是 标 : 等 为 如 腰 ( 图 2 直 , , 0 过 角 ); 三 点 (2 角 A )
, 和点C分别作x轴的垂线
∴0< m <4, S △ ABC= 1 · AB · OC = 1 ×6×4=12, AE , CF , 与过点D的x轴的
4 四 m 边 )= 形 - A m B 2 M + C 4 m 的 + 面 1 积 2 2 , = S △ ABC+ S △ BCM 2 =12+(- m2 + 平 ∴ A 行 E 线 ⊥ 相 DE 交 , 于 CF 点 ⊥ E D , F F , ,
则由题意得
-
m2
+4
m
+12=15,
解得m
=1
或m
=3, ∴∠
AED
=∠
DFC
=90°
.
A C D
当m
=1
时
,-
1m2
+
m
+4=-
1
×1+1+4=
9
,
∵
AE
(-1,1
D
)
E
,(2,0
DF
),(0
C
,-
F
1),
.
2 2 2 ∴ =2, =1, =2, =1
当m =3 时 ,- 1m2 + m +4= 5 , ∴ AE = DF , DE = CF.
2 2 在 AED和 DFC中
△ △ ,
∴ M 1, 9 2 或M 3, 5 2 . AE = DF
16.二次函数与特殊三角形的存在性问题
∵ ∠
AED
=∠
DFC
,
1.解
:(1)∵
抛物线y
=
ax2
+
bx
+
c的图象与x轴交于 DE
=
CF
A B 两点 与y轴交于点C AED DFC
(-1,0),(3,0) , (0,-3), ∴△ ≌△ (SAS),
a ×(-1)2 + b ×(-1)+ c =0, a =1, ∴ AD = CD ,∠ EAD =∠ FDC ,
∴ a ×3 2 +3 b + c =0, 解得 b =-2, 即此 ∴∠ ADE +∠ FDC =∠ ADE +∠ EAD =90°,
c c ADC ADE FDC
=-3, =-3, ∴∠ =180°-(∠ +∠ )=90°,
抛物线的表达式是y
=
x2
-2
x
-3; ∴△
ACD是等腰直角三角形.
(
等
2)
腰
存
三
在
角
一
形
点
,
P , 使得以点P , D , A为顶点的三角形是
(3)
解
:
存在.设点P的坐标为 m
,-
5
3
m2
-2
m
+
2
3
,
A C
∵ y = x2 -2 x -3=( x -1)2 -4, ∵ (-1,1),(2,0),
∴ 此抛物线顶点D的坐标是 (1,-4), 对称轴是直线x ∴ AC2 =(2+1)2 +1 2 =10,
= 设 1 点 ; P 的 坐 标 为 y 当 PA PD 时 PC2 =(2- m )2 + 0- - 5 3 m2 -2 m + 2 3 2 ,
(1, ), = ,
(-1-1)2 +(0- y )2 = (1-1)2 +(-4- y )2, PA2 =( m +1)2 + - 5 3 m2 -2 m + 2 3 -1 2.
解 当 得 (1 D , - y A 1 = ) = 2 - + D 3 2 ( P - , 4 即 - 时 点 y , P )2 的 , 解 ( 坐 - 得 1 标 , - y 为 1 = ) 1 2 - + , 4 - [0 ± 3 2 - 2 (- 5 ; 4 , 即 )]2 点 = P ( 由 ① 2- 题 当 m 意 ∠ ) 知 2 A + C , P 分 0 三 = - 种 90 情 ° - 况 时 5 3 求 , m A 2 解 C - 2 : 2 m + + PC 2 3 2 = P 2 A = 2 ( , m 即 +1 10 )2 + +
的坐标为 (1,-4-25) 或 (1,-4+25); - 5m2 -2 m + 2 -1 2 ,
当 AD = AP 时 , (-1-1)2 +[0-(-4)]2 = 解 得m 3 1=-4( 不合 3 题 意 , 舍 去 ), m 2=1,
是 故 ( 不 ( 1 - , 符 4 1 ) 合 - 或 1 题 ( ) 1 2 意 + ,- ( 由 0 4 - ) 上 , y 当 可 )2 点 得 , P 解 以 得 为 点 , ( y 1 P = ,- D ± 4 4 ) A , 时 即 为 与 点 顶 点 P 点 D 的 的 重 坐 三 合 标 角 , ∴ ∴ A 当 C m = = P 1 C , 时 即 , A 此 C 时 = △ A 1 C 0 P , P 为 C 等 = 腰 1 直 + 角 9 三 = 角 1 形 0 , ,
, , ,, P
∴ (1,-3);
形是等腰三角形时 , 点P的坐标为 1,- 3 或 (1, ② 当 ∠ CAP =90° 时 , AC2 + PA2 = PC2, 即 10+
-4-25) 或 (1,-4+25) 或 (1,4) . 2 ( m +1)2 + - 5
3
m2 -2 m + 2
3
-1 2 =(2- m )2 +
2. (1) 解 :∵ 点A (-1,1) 和点B 0, 2 3 在抛物线y = 0- - 5 3 m2 -2 m + 2 3 2 , 解得m 1=-1( 不合题
-
5x2
+
bx
+
c上
,
意
,
舍去
),
m
2=-2,
当m
=-2
时
,
AC
= 10,
PA
=
3
37
A"# 3
PG AC
1+9= 10, ∵ ⊥ ,
∴ AC = PA , 即此时 △ ACP为等腰直角三角形 , ∴∠ PET =90°=∠ AKT ,
∴ P (-2,-2); ∴∠ PTE +∠ TPE =90°,
③ 当 ∠ APC =90° 时 , 且AP = CP , 有AC2 = PA2 + ∠ OAC +∠ ATK =90°,
P
对
C
称
2,
点
由
,
(2) 可知 , P为 (2) 中的点D或点D关于AC的 ∵
∴
∠
∠
P
T
T
P
E
E
=
=
∠
∠ O
A
A
T
C
K
,
,
17 ∴ - . 3 二 这 ) 次 或 两 函 P 点 数 ( 都 - 与 不 2 特 , 在 - 殊 2 抛 四 ), 物 边 使 线 形 得 上 的 △ A , 存 综 C 在 P 上 性 为 所 问 等 述 题 腰 , 直 存 角 在 三 点 角 P 形 (1 . , ∵ ∴ ∴ P ∠ ∠ G O P = C N M N G G = = , ∠ ∠ O T A P C E , =∠ OAC ,
GH PN
1. 抛物线过x轴上A B 两点 ∵ ⊥ ,
(1)∵ (-1,0),(4,0) ,
将AB两点的坐标代入抛物线方程 可构建方程组 PH 1PN
∴ , , ∴ = ,
2
如下 a - 3 + c =0 解得 a =- 1 则抛物线的表 ∵tan∠ OAC =tan∠ OCM ,
: 2 , 2, OC OM OM
a c c 即2
16+6+ =0 =2 ∴OA=OC, = ,
4 2
达式为y
=-
1x2
+
3x
+2; ∴
OM
=1,
2 2 M
分两种情况 如图 四边形ACEF是平行四 ∴ (-1,0),
(2) :① 1, 设直线OM的解析式为y kx b
边形 = + ,
, M C
∵ (-1,0),(0,2),
A C 点E的横坐标为3 kb
∵ (-1,0),(0,2), , - + =0,
2 ∴ b ,
∴
点F的横坐标为1
2
, 解 得
:
=
b
k
2,
=2,
,
∴ F 1 2 , 2 8 1 ; ∴ 直线 C = M 2 的 , 解析式为y =2 x +2,
设Pm
,-
1m2
-
3m
+2 ,
则N
(
m
,2
m
+2),
2 2
∴
PN
=-
1m2
-
3m
+2-(2
m
+2)=-
1m2
-
2 2 2
7m
,
2
∴
PH
=
1PN
=-
1m2
-
7m
,
2 4 4
∵ AC = OA2 + OC2 = 4 2 +2 2 =25,
PH OA
TPE OAC 4 2
∴PG=cos∠ =cos∠ =AC= = ,
25 5
如图 四边形ACFE是平行四边形 由平移得F
② 2, , : PG 5PH 5m2 75m 5 m 7 2
的横坐标为5 ∴ = 2 =- 8 - 8 =- 8 + 2
,
2
495
∴ F 5 , 21 ; 综上 , 点F的坐标为 1 , 21 或 + 32 ,
2 8 2 8
当m 7 PG最大 最大值为495 故当点P坐
5 21 . ∴ =- , , ,
, 2 32
2 8
2.解 :(1) 在y =- 1x2 - 3x +2 中 , 令x =0, 则y =2, 标为 - 7 2 , 9 8 时 , PG最大 , 最大值为49 32 5 ;
2 2 解法二 如图'过点作
C : 1,
∴ (0,2), PH x轴交CM 于点
1 ∴ ∴ , x O A C 2 ( = - = 4 - 2 , 4 , 0 令 , ), y B = (1 0 , , 0 则 ), - 1 2 x2 - 3 2 x +2=0, 解得 : x 1= H 于 轴 , 点 的 过 ∥ D 交 点 , 点 G 设 分 O P 作 C G 别 G 为 D 与 O N A ⊥ B C P , F , H x ,
AB 由 得
∴ =1-(-4)=5, (1) ,OA=OC=
∴ S △ ABC= 1AB · OC = 1 ×5×2=5; 1
2 2 ,
解法一 如图 过点P作PN y轴 交AC于点 2
(2) : 1, ∥ , AOC COB
T 交CM于点N 交x轴于点K 过点G作GH PN ∵∠ =∠ =90°,
, , , ⊥ AOC COB
于点H 则 PNG OCM PHG AKT ∴△ ∽△ ,
, ∠ =∠ ,∠ =∠ =90°,
38
3A"#
OAC BCO OCM
∴∠ =∠ =∠
∠
B , CO
=∠
MCO
,
F 1 1
2
,3- 3
2
7 , 对应的Q 1 - 5
2
,- 3
2
7 ; F 2
在 COB和 COM中 OC OC
△ △ ,
∠
C = OB
=
,
∠
COM
,
1
2
,3+ 3
2
7 , 对应的Q 2 - 5
2
, 3
2
7 ; 当AF = EF
∴ ∴ O △ M CO = B OB ≌ = △ 1 CO , M (ASA), 时 , 8 4 1 + n2 = n2 -6 n + 4 4 5 , 解得 : n =- 3 2 , F 3
∴ M (-1,0), 1 ,- 3 , 对应的Q 3 - 11 , 9 ;
设直线CM的解析式为y kx b 2 2 2 2
= + ,
∵ M (-
k
1
b
,0), C (0,2),
k
综上 所 述 , Q 点 的 坐 标 为 - 5
2
,- 3
2
7 或
∴
直
b -
线
=2
C
+ ,
M
=
的
0
解
,解
析
得
式
:
为
b
y
= = 2 2 , ,
x
- 5
2
, 3
2
7 或 - 1
2
1 , 9
2
.
∴ =2+2,
DG OC
∵ ∥ ,
DGH OCM
∴∠ =∠ ,
ANF FEG NFA EFG
∵∠ =∠ =90°,∠ =∠ ,
NAF FGE
∴∠ =∠ ,
OCM OAC
∵∠ =∠ ,
DGH FGE
∴∠ =∠ ,
GDP GDH GD GD
∵∠ =∠ =90°, = ,
GDP GDH
∴△ ≌△ (ASA),
PD DH
∴ = ,
设P m
,-
1
2
m2
-
3
2
m
+2 ,
1
1
8
.
.
解
二
:(1
次
)
函
将
数
A
与
(2
相
,0
似
) 代
三
入
角
y
形
=
的
x2
存
+ b
在
x
性
,
问题
则H - 1m2 - 3m ,- 1m2 - 3m +2 , DP = 1 ∴4+2 b =0,
4 4 2 2 2 b
∴ =-2,
m
- 1 4
7
m2 -
2
3 4
4
m
9
- m =
OC
-
B
1 8 m2
P
-
GD
7 8 m
1
=-
可得
1 8 ∴ 将 y
m
B =
(
x
-
2
1
-
,
m 2 x
)
, 代入y
=
x2
-2
x
,
+
2
+
32
,tan∠ =tan∠ =
2
, : ∴
B
=3,
PG DP当DP最大时PG就最大 ∴ (-1,3),
=5 , , , 设直线AB的解析式为y kx b
= + ,
当m 7 DP最大 最大值为49 故当点P坐标 kb
∴ =- , , , - + =3,
2 32 ∴ kb
2+ =0,
为 7 9 时PG最大 最大值为495 k
-
2
,
8
, ,
32
;
∴ b
=-1,
(3) 抛物线y =- 1 2 x2 - 3 2 x +2=- 1 2 x + 3 2 2 + ∴ y = = - 2 x , +2;
25 该抛物线沿射线AC方向平移 个单位长度 实际 (2)∵ y = x2 -2 x =( x -1)2 -1,
, 5 , D
8 ∴ (1,-1),
上就是向右平移 个单位长度 向上平移 个单位长
2 , 1 ∴ AD =2, AB =25, BC =32,
度
,
平移后的解析式为
:
y
=-
1 x
-
1 2
+
33
,
对
∵
BD2
=
AD2
+
AB2,
2 2 8 ABD是直角三角形
∴△ ,
称轴为直线x 1 两个抛物线交于E点 所以 1 AD
= , , - ABD 1
2 2 ∴tan∠ =AB= ;
- ∴
x
E 1
+
, ( 代 -
3
2 1 入 ,3 得
2
)
+
y ,
2
= 8
5
3
=
,
-
1
2
x
-
1
2
2
+
3
8
3
,
解得
:
x
= (
∴
3 )
k
设
- 1 k
直
+ 1 b
线
+ 1 b
B
= 1
D
- = 1 3
的
, ,
解析 3 式为y
=
k
1
x
+
b
1,
k
设F 1 , n , 则AE2 =(-1+4)2 +3 2 =18, AF2 = ∴ b 1=-2,
2 1=1,
1 +4 2 + n2, EF2 = 1 +1 2 +( n -3)2, 当AE = ∴ y =-2 x +1, 令y =0, 则x = 1 ,
2 2 2
AF时
,18=
81
+
n2, 此方程无实数根
;
当AE
=
EF时
, ∴
P 1
,0 ,
4 2
设Ct 如图 当 ABC APB时 ABC
18=
n2
-6
n
+
45
,
解得
:
n
1=3-
37
,
n
2=3+
37
,
则
AP
(
B
,0), 1, ∠ =∠ ,△ ∽
4 2 2 △ ,
39
A"# 3
ACB ABP过B点作BQ x轴交于点Q
∴∠ =∠ ⊥ , 2
= (3 2 +3 2)- 6 10 = 3 10 ,
∴tan∠ BCQ = 1 =C 3 Q, 5 5
3
∴ CQ =9, ACB AL 6 5 10 DAB DT 4
CO ∴tan∠ =CL= =2,tan∠ =AT=
∴ C =10, 当C点与P 点重合时 ABC 3 10 2
∴ (-10,0); ,△ ≌ 5
ABP此时C 1 =2,
△ ,
2
,0 ;
∴∠
ACB
=∠
DAB
,
综上所述 : C点坐标为 (-10,0) 或 1
2
,0 . 设直
代
线
入
AD
y
的
kx
解析
b
式
得
为y
-
=
3 k
kx
+ b
+ b
=
,
0
将
,解
A
得
(-
k
3,
=
0
2
),
,
D (-
1,4) = + kb b
- + =4, =6,
直线AD的解析式为y x
∴ =2+6,
A C
∵ (-3,0),(0,3),
AOC是等腰直角三角形
∴△ ,
CAB
∴∠ =45°,
以EAO为顶点的三角形与 ABC相似有两种
∴ ,, △
情况
,
2.解
:(1)∵
抛物线y
=
ax2
+
bx
+3
与x轴交于A
(-3, ①
当
∠
AOE
=∠
CAB
=45°
时
,△
AOE
∽△
CAB
,
此时
0), B (1,0) 两点 , OE为第二四象限平分线 , 即y =- x ,
9 a -3 b +3=0,解得 a =-1, y =- x , 解得 x =-2,
∴ a + b +3=0, b =-2, ∴ y =2 x +6, y =2,
∴ 抛物线的表达式为y =- x2 -2 x +3; ∴ E (-2,2),
(2)∵ y =- x2 -2 x +3=-( x +1)2 +4,
对称轴为直线x D
∴ =-1,(-1,4),
点Mmn N mn 在抛物线上 点M在点
∵ (,), (-2- ,) ,
N左侧
,
∴
M
,
N关于直线x
=-1
对称
,
n
=-
m2
-2
m
+3,
如
图 所示 过点D作DF MN于点F
1 , ⊥ ,
DMN是等边三角形 则 DMN
∵△ , ∠ =60°,
DF MF MF 当 AEO CAB 时 AEO CAB
∴ = ·tan60°=3 , ② ∠ =∠ =45° ,△ ∽△ ,
∴3(-1-
m
)=4-(-
m2
-2
m
+3),
解得m 舍去 或m
=-1( ) =-3-1;
AOE ABC
∴∠ =∠ ,
OE BC
∴ ∥ ,
B C
∵ (1,0),(0,3),
(3)∵ y =- x2 -2 x +3, 当 x =0 时 , y =3, 则点C的坐
设直
代
线
入
B
得
C
k
的
1+
解
b
析
1=
式
0
为
,解
y
得 =
k
k 1
x
1= +
b
- 1 3 , ,
把B
(1,0),
C
(0,
标为 如图 所示 过点D作DT x轴于点T 3) b b
(0,3), 2 , ⊥ , 1=3, 1=3,
过点A作AL BC于点L 直线BC的解析式为y x
⊥ , ∴ =-3+3,
A B C D T y x
∵ (-3,0),(1,0),(0,3),(-1,4),(-1,0), 直线OE的解析式为y x联立 =-3,
∴ BC = (1-0)2 +(0-3)2 = 10, OB =1, AT =2, ∵ =-3, y =2 x +6,
DT =4, AB =5, OC =3, x =- 6 ,
解得 5
∵ S △ ABC= 1AB · OC = 1BC · AL , y 18
2 2 = ,
5
AB OC
∴ AL = B · C = 4× 10 3 = 6 5 10 , CL = AC2 - AL2 ∴ E - 6 5 , 1 5 8 ,
40
3A"#
a
综上所述E 或E 6 18 . ∴ =1,
19.二次函数 , 中 (- 几 2 何 ,2 图 ) 形的 最 - 值 5 问 , 题 5 ∴ y A = '不 ( x 在 +1 抛 ) 物 ( x 线 -3 上 )= 理 x 由 2 - 如 2 x 下 -3 过 ; 点A'作A'D y轴
(2) ; : ⊥ ,
1.解
:(1)∵
把点A
(-1,0),
B
(3,0)
代入y
=
ax2
+
bx
+ ∠
AOC
=∠
CDA'
=90°,
由旋转可得
,
AC
=
A'C
,
ab a ACA'
得 - +3=0, 解得 =-1, ∠ =90°,
3, a b b ACO CA'D A'CD
9+3+3=0, =2, ∴∠ =∠ =90°-∠ ,
∴
抛物线的表达式为y
=-
x2
+2
x
+3; ∴△
ACO
≌△
CA'D
,
(2)
设M
(
m
,0),
则E
(
m
,-
m2
+2
m
+3), ∴
OA
=
CD
,
OC
=
A'D
,
∵
抛物线y
=-
x2
+2
x
+3
与y轴相交于点C
, ∵
A
(-1,0),
C
(0,-3),
∴ C (0,3) . ∴ OA = CD =1, OC = A'D =3,
设直线BC解析式为y = kx + b , ∴ OD =2,
∵ ∴ ∴ 直 直 b 3 k 线 线 = + 3 B B b C C , = 经 的 0, 过 解 解 点 析 得 B 式 b k , 为 C = = y , 3 - = . 1 - , x +3, ( ∴ ∵ ∴ 3 y A A ) 设 ' ' ∵ = 直 ( ( B x 3 3 2 线 , , (3 - - - B , 2 2 2 0 C x ) ) ) , 不 - , y C 3 在 (0 , k 抛 当 , x - 物 x 3 = 线 ) 3 , 上 时 ; , y =3 2 -2×3-3=0,
∴ 又 F ∵ ( E m ( , m - , m - + m 3 2 + ), 2 m +3), ∴ 将 y B (3 x ,0) 代入 : , = 得 : k - = 3 1 , ,
∴ EF =(- m
2
2 +2 m +3)-(- m +3)=- m2 +3 m = ∴ 设P = 点 - 坐 3 标 ; 为
(
m
,
m2
-2
m
-3),
则M点坐标为
(
m
,
m
-
∴ 当
m
m
-
=
3
2 3 时
+
, E
9
4 F
;
取得最大值9 ;
-
∴ P
3
m
)
M
,
.
H
=(
点
m
坐
-
标
3)
为
-
( m
( m
,0
2
)
-
.
2 m -3)=- m2 +3 m , BH =
2 4 3-
(3)
存在以点C
,
E
,
F为顶点
∴
PM
+2
BH
=(-
m2
+3
m
)+2(3-
m
)=-
m2
+
m
+6
的 如 三 下 角 : 设 形 M 与 ( △ m A , B 0 C ), 相 由 似 (2 , ) 理 得 由 : =- m - 1 2 2 + 2 4 5.当m = 1 2 时 , PM +2 BH取最大
E 作 F F = G - m y 2 + 轴 3 于 m 点 , 如 G 图 则 , 过 FG 点F 值 , 最大值为2 4 5. (4)∵ P ( m , m2 -2 m -3), M ( m , m -
m由 ⊥ 可得 OB , OC = 3), C (0,-3),
AB
, (1
B
)
C
: = =3,
∴
PM
=
m
-3-
m2
+2
m
+3=-
m2
+3
m
,
CM2
=2
m2,
= A 4 B , C =3 B 2 C , O MFB CP2 = m2 +( m2 -2 m )2, 当 △ PMC是等腰三角形时 , 分
∴∠ =∠ =∠ 三种情况
CFE ,
=∠ CFG = 是 4 等 5° 腰 , 直角三角形 ① PM = CM时 , 则 :(- m2 +3 m )2 =2 m2, 解得 : m =3+
∴△ , 舍 m 舍 m
CF m. 2( ),=0( ),=3-2;
∴ 当以 = 点 2 CEF为顶点的三角形与 ABC相似时B ② PM = CP时 , 则 :(- m2 +3 m )2 = m2 +( m2 -2 m )2,
∴ ,, △ , 解得m 舍 m
与F为对应顶点. :=0( ),=2;
① 当 △ ABC ∽ △ CFE 时 ,C A F B =F B E C , 即 2 4 m= 20 ( ③ . 舍 C 垂 M ) 径 , m = 定 C = 理 P 3( 的 时 舍 相 , ) 则 , 关 m :2 计 = m 1 算 2 ; = 综 m 上 2 + : m ( = m 1 2 - , m 2 m =2 )2 , m , 解 = 得 3- : m 2 = . 0
m 3 2 2 m, 解得 : m = 3或m =0( 舍去 ), 1.解 : 连接OA , OB , 过O作
- +3 2 OD AB交AB于点E
∴ M 3
2
,0 ;
∵
弓 ⊥ 形的 , 高为
6cm,
截 , 面
AB BC 半径为
当 ABC EFC时 即 4 12cm,
② △ ∽△ ,FE=CF, m2 m= OE OD DE
- +3 ∴ = - =12-6
32 解得m 5或m 舍去 =6cm,
m, := =0( ),
2 3 在 AOE中OE 1OB
Rt△ , = =6cm,
M 5 .综上所述M 3 或M 5 . 2
∴ ,0 , ,0 ,0 OAE AOE
3 2 3 ∴∠ =30°,∠ =60°,
2.解 抛物线与x轴相交
于A
:(1
(-
)∵
1,0), B (3,0) 两点 , 与 ∴ AE = 2 3OA = 2 3 ×12=63(cm),
y轴相交于点C
(0,-3), AB AE .
a ∴ 把 ( x C
设
+
抛
1)
物
( x
线
-3
的
) 代
解
, 入
析
得
式为y
= 2.解 ∵
∴
A : B 过
=
O 为
2
弦 作O , E
=1
⊥
2
AB
3c
于
m
C , 如图 ,
(0,-3), , :-3=
a (0+1)(0-3), ∴ AC = BC = 1
2
AB ,
41
A"# 3
BD BG
∵
直线y
=
3x
+
23与
☉
O相 ∴
又 BE
=
D
,
G
3 3 ∵ ⊥ ,
交于AB两点 ED EG
, , ∴ = ;
解 如图 连接OA 设OA r
∴ 当y =0 时 , 3x + 23 =0, 解 ( 则 2) DG : r , , = ,
3 3 = +2,
得x r
=-2, ED EG +2
OA ∴ = = ,
∴ =2, 2
r
∴ 当x =0 时 , y = 23 , ∴ OE = - 2 2 ,
3 AB CD于EAB
∵ ⊥ , =45,
OD 23
∴ 在
Rt
=
△
A 3 OD , 中
2 ,
由勾股定理AD
=
AO2
+
OD2
=
∴
在
A
R
E
t△
=
O
1 2
EA
AB
中
=
,
2
OE
5
2
,
+ AE2 = OA2, 即 r -2 2 +20=
2 2 + 23 = 43 , 2
∵∠ AC O = 3 ∠ AOD = 3 90°,∠ CAO =∠ OAD , r2, 解得r = 1 3 4或r =-6( 舍 ) .即 ☉ O的半径为1 3 4.
OAC DAO 21.垂径定理的应用
∴△ ∽△ ,
∴A
A
O
C
=A
A
D
O
,
即AC
=
A
A
O
D
2
=
4
=3,
1.解
:
如图
,
连接OA
,
由垂径定理
,
得AD
=
1AB
=1m,
43 2
设OC OA R 则OD R .
3 = = m, =(5- )m
∴
AB
=2
AC
=23
. 在
Rt△
AOD中
,
由勾股定理得
,
OA2
-
OD2
=
AD2, 即
3.解 如图 过点C作CE AD 垂
足 : 为点E , ⊥ , R2 -(5- R )2 =1 2, 解得R = 13.即圆形拱门所在圆的
, 5
则AE = DE , 半径为13 .
∵∠ ACB =90°, AC =3, BC =4, 5 m
∴
AB
=
AC2
+
BC2
=5,
∵ S △ ABC= 1AC · BC = 1AB ·
2 2
CE
,
AC BC
CE · 3×4 12
∴ = AB = = ,
5 5 2.解 如图 中
∴
AE
=
AC2
-
CE2
=
9
, O
:
C A
3
B
,
5 ∵ ⊥ ,
AD AE 18. AD DB AB 1
∴ =2 = ∴ = = = ×12=6(cm),
5 2
4.解 设 O的半径为r则OA rOC r 设OB OC r
: ☉ , = , = -1, = = cm,
∵ OD ⊥ AB , AB =4, ∵ OB2 = OD2 + BD2,
∴ AC = 1AB =2, ∴ r2 =( r -3)2 +6 2,
2 r ..
在
Rt△
ACO中
,
OA2
=
AC2
+
OC2, ∴
答
=
该
7
玉
5
环的中孔半径的长 . .
: 75cm
∴ r2 =2 2 +( r -1)2, r = 5 , 3.解 :(1)∵ OC ⊥ AB , AB =80mm,
2
答 O半径的长为5. ∴
AD
=
1AB
=40mm;
:☉ 2
5. ( ∵ 1 A ) B 证 ⊥ 明 C : D 如图 于E , 连 , B 接 F B 2 ⊥ D A , C于F , ( ∴ 设 2) ∠ 半 ∵ A 径 O D C O O A ⊥ = A 9 B 0 x ° , , 则OC OA x OD OC
∴ 又 ∴ ∠ ∵ ∠ C C ∠ F = C G G ∠ = F G ∠ = B G E ∠ E , B B G = E 9 , 0°, C ∴ D A = D2 ( x + - O 1 D 4 = 2 ) = m O m m A m , 2 , ,40 2 +( = x -14 = )2 = m x2 m ,1 , 600 = + x2 - -
∵ A︵D = A︵D , 28 x +196= x2,28 x =1796, x =64 1 7 ,
C DBE
∴ ∴ ∠ ∠ GB = E ∠ =∠ DB , E , ∴ 半径OA的长为x =64 1 7 mm .
AB CD 4.解 OE CD
∵ ⊥ , :(1)①∵ ⊥ ,
GEB DEB
∴∠ =∠ =90°, DE 1CD
BGE BDE ∴ = =53m,
∴∠ =∠ , 2
42
3A"#
解 AG BG
又 OD OB 1AB (2) :∵ =6, =4,
∵ = = =10m, AB
2 ∴ =6+4=10,
∴
此 时 水 位 的 高 度 OE
=
OD2
-
DE2
= ∴ OC = OB = 1AB =5,
1 连 0 2 接 - O ( C 53) 2 =5m; ∴ OG = OB - B 2 G =5-4=1,
② , 由 知GE BE 1BG
(1) = = =2,
2
OE OG GE
∴ = + =1+2=3,
∴
CE
=
OC2
-
OE2
=4,
直径AB CD
∵ ⊥ ,
CD CE .
∴ =2 =2×4=8
4.解 同弧所对的圆周角相等 等腰三角形三线合一
∵ ∴ ∴ s ∠ ∠ in C D ∠ O O D D E O = = E 2 6 = 0 ∠ ° O D D , D E OE = 5 = 1 1 0 3 20 = °, 2 3 , C ( 足 2 F B ) : 为 = C ( 如 1 点 A ) 图 是 B G , , , 过 连 O 在 点 接 的 A D C D 直 C 作 上 径 , D D 截 F G 取 , ⊥ D C A B F C , , , 垂 使 ; ;
水面以上的桥洞部分的长为120π×10 20π ∵ ☉ ,
∴ : 180 = 3 m; ∴∠ BAC =∠ BDC =90°,
该货船能顺利通过桥洞 理由 由 中水位高度为 AB 圆的半径为
(2) ; : (1) ∵ =12, 10,
可知此时OE 延长OE交MQ于F BC
5m =5+1=6m, , ∴ =20,
连接OM , 则OF ⊥ MQ , ∴ AC = BC2 - AB2 = 20 2 -12 2 =16,
货船宽为 船舱顶部高出水面 DAC
∵ 10m, 2m, ∵∠ =45°,
∴ OF =6+2=8m, 货船居中行驶时MF = 1 ×10= ∴ D是B︵C的中点 ,
2 BD DC
∴ = ,
5m, BD DC DAC DBA AB CF
∴ O 该 M 货 = 船能 OF 顺 2 利 + 通 MF 过 2 桥 = 洞. 8 2 +5 2 = 89<10, ∵ ∴△ A = BD ≌ , △ ∠ FCD ( = SA ∠ S), =45°, = ,
∴ ∴ DF = DA ,
DAC
∵∠ =45°,
ADF是等腰直角三角形
∴△ ,
DG AC
∵ ⊥ ,
AG FG
∴ = ,
CG CF FG AG AB
∴ = + = + ,
22.圆心角、弧、弦及圆周角的相关计算与证明
CG 1 AC AB 1
1.解 AD是 O的直径 ∴ = 2 ( + )= 2 (16+12)=14,
:∵ ☉ , AG AC CG
ACD ∴ = - =16-14=2,
∴∠ =90°, DAC DGA
D ABC ∵∠ =45°,∠ =90°,
∵∠ =∠ =25°, AD AG .
CAD D . ∴ =2 =22
2.
∴
解
∠
如图 连
=9
接
0°
A
-
E
∠ =65° 23.圆与勾股定理
∵ ∴ A : ∠ B AE 是 B , 直 = 径 90 , °, 即 , AE ⊥ BC , 1.解 ∴ C A : E C (1 = )∵ B A E A B E , 同 ⊥ B 理 C A , F AE B 过 F 圆 A 心 C O , BC
∵ EB = EC , ∴ AB = AC , BC = , = ,
∴ AB = AC , ∴ A = BC是 = 等边 , 三角形
∴∠ C =∠ B , ∴△ B ,
∵∠ BAC =50°, ∴∠ = A 60 B ° C ; 是等边三角形
∴∠ C = 1 2 (180°-50°)=65° . ( ∴ 2) ∠ ∵ AC △ B =60°, ,
CD ABAC BC
3.
(1)
证明
:∵
D是B︵F的中点
,
∵ ⊥ , = ,
ECG ECB DCB 1 ACB
∴∠ =∠ , ∴∠ = ∠ =30°,
CD AB 2
∵ CE ⊥ G , CEB ∴ OC =2 OE ,
∴∠
CGE
=∠
CBE
=90°,
∵
CE
=3,
OC2
=
OE2
+
CE2,
∴ ∴ C ∠ G = CB = , ∠ , 即 O (2 C OE ) O 2 E = OE2 + 即 (3 O )2 的 , 解 半 得 径 : 为 OE . =1( 负数舍去 ),
∵ CE ⊥ BG , 2. ∴ 解 = 证 2 明 =2 A , B为 ☉ O直径 2
∴ EG = EB ; :(1 AC ) B :∵ ☉ ,
∴∠ =90°,
43
A"# 3
CE CD 根据图 状态 货船不能通过圆形桥拱
∵ ⊥ , ∴ 3 , ,
ECD 货船的载重量每增加 则船身下降 . .
∴∠ =90°, ∵ 1t, 001m
ACE ECB BCD 船在水面部分可以下降的高度 . .
∴∠ =90°-∠ =∠ , ∴ (21-2)÷001=
ACE BCD
∠ = 10(t),
在 ACE和 BCD中 AC BC 至少要增加 的货物才能通过.
△ △ , = , ∴ 10t
CAE CBD 24.切线性质的相关计算
∠ =∠
ACE BCD 1.解 如图 连接DO
∴△ ≌△ (ASA); : , ,
ACE BCD PD与 O相切于点D
(2)∵△ ≌△ , ∵ ☉ ,
CE CDAE BD PDO .
∴ = , = , ∴∠ =90°
CE CD C
∵ ⊥ , ∵∠ =90°,
ECD是等腰直角三角形 DO BC
∴△ , ∴ ∥ ,
∵ CD =2, BD =32, ∴△ PDO ∽△ PCB ,
DO PO
∴ DE =22, AE =32, ∴BC=PB= 4 = 2 ,
AD 6 3
∴ ∵ AB = 为 5 ☉ 2 O , 直径 , 设PA = x , 则 x x + + 4 8 = 2 3 , 解得x =4, 故PA =4 .
ADB 2. 证明 AB FB
∴∠ =90°, (1) :∵ = ,
∴
AB
=
AD2
+
BD2
=2 17, ∴∠
AFB
=∠
FAB
∵
AD为
3. ∴ 解 长C ☉ : 任 D O 务 , 的 则 1 半 C , 设 D 径 圆 为 经 心 过 1 为 点 7 点 O . O , 连 , 则 结 点 AO O , 如 在C 图 D , 延长线上 , 延 ☉ ∴ ∴ O A ∠ E F 的 ⊥ A 切 A D D 线 = , 9 , 0°,
AFB D FAB DAB
∴∠ +∠ =90°,∠ +∠ =90°,
D BAD
∴∠ =∠ ;
解 连接BE如图
(2) : , ,
BA BF D BAD
∵ = =5,∠ =∠ ,
AB BD
∴ = =5,
DF
∴ =10,
设
O
桥
C
拱的
AB
半径为r m, 则OD =( r -4)m, 在
∵
A R E t△ 是 A
☉
D O F 的 中 直 , A 径 F =
,
DF2 - AD2 = 10 2 -8 2 =6,
∵ ⊥ , ∴∠ ABE =90°,
∴
AD
=
BD
=
1AB
=8m, ∵∠
ABE
=∠
FAD
,∠
BAE
=∠
AFD
,
2 ABE FAD
∵
OD2
+
AD2
=
OA2, ∴
A
△
E AB
∽△
AE
,
∴( r -4)2 +8 2 = r2, ∴DF=AF, 即 = 5 , 解得AE = 25 ,
r 10 6 3
∴ 圆 = 形 10 拱 , 桥的半径为 任务 根据图 状态 货 O的半径长为25.
O ∴ 船 由 E 通 : , 当 O 过 H E 圆 H , 如 形 是 图 桥 ☉ , 拱 O , 的 至 弦 少 1 时 要 0 , 增 m E ; H 加 1 与 0 O t 2 C 的 , 的 货 交 物 点 才 3 为 能 M 通过 , 连 , .理 接 3. ( ∴ ∵ ∴ 1 C ) ☉ ∠ D 证 CA 明 为 D : ☉ 连 = O 9 接 0 的 ° O , 直 A 径 , A 6 C , ,
AB与 O相切于点A
∵ ☉ ,
OAB
∴∠ =90°,
CAD OAB
∴∠ =∠ =90°,
CAD OAC OAB OAC
∴∠ -∠ =∠ -∠ ,
即 OAD BAC
∠ =∠ ,
OD OA
∵ = ,
D OAD
四边形EFGH为矩形 ∴∠ =∠ ,
∵ , D BAC
EH FG ∴∠ =∠ ,
∴ ∥ , AD BC
OC AB ∵ ∥ ,
∵ ⊥ , ACB CAD
OM EH. ∴∠ =∠ =90°,
∴ ⊥ B BAC
∴∠ +∠ =90°,
∴ EM = 1EH =6m, ∴∠ D +∠ B =90°;
2 解 过点C作CH AB垂足为点H
∴
OM
=
OE2
-
EM2
=8,
(
由
2)
题意
:
得CH
⊥ , ,
OD OC CD =18cm,
∵ = - =6m, D B B
DM . ∵∠ +∠ =90°,∠ =60°,
∴ =2m<21m, D B
∴∠ =90°-∠ =30°,
44
3A"#
AOC D BOC AOD
∴∠ =2∠ =60°, ∴△ ∽△ ,
OA OC BOAO OCOD
∵ = , ∴ : = : ,
AOC是等边三角形
∴△ , 119 OC
OA AC OC ∴ :13= :5,
∴ = = , 5
∵ ∴ ∠ ∠ C A A CB B = = 9 9 0 0 ° ° , -∠ B =30°, ∴ OC = 1 1 1 3 9.
∴
AC
=2
CH
=36(cm), ∴☉
O的半径长为119.
OC AC 13
∴ = =36cm, 3. 证明 连接OP
CD OC (1) : ,
∴ =2 =72(cm), OA OP
轮胎的直径为 . ∵ = ,
∴ 72cm A APO
25.切线的判定 ∴∠ =∠ ,
CP CB
1. 证明 AB AC ∵ = ,
(1) :∵ = , B BPC
B C ∴∠ =∠ ,
∴∠ =∠ , 在 ABC中 ACB
OP OB Rt△ ,∠ =90°,
∵ = , A B
B OPB ∴∠ +∠ =90°,
∴∠ =∠ , APO BPC
OPB C ∴∠ +∠ =90°,
∴∠ =∠ , OPC
OP AC ∴∠ =180°-90°=90°,
∴ ∥ , OP CP
PD AC ∴ ⊥ ,
∵ ⊥ , 直线CP是 O的切线
OP PD ∴ ☉ ;
∴ ⊥ , 解 在 ABC中 ACB B BC
PD是 O的切线 (2) : Rt△ ,∠ =90°,∠ =60°, =
∴ ☉ ;
(2)
解
:
连接AP
,
如图
,
33,
∵
AB为直径
, ∴
AC
=
BC
·tan60°=33×3=9,
PC
=33,
∴∠
APB
=90°,
设
☉
O的半径为r
,
在
Rt△
OPC中
,
r2
+(33)
2
=
∴ BP = CP =6, (9- r )2, 解得r =3,
PD AC O的半径为 .
∵ ⊥ , ∴☉ 3
PDC APB 26.切线长定理的相关计算
∴∠ =∠ =90°,
C C 1.解 如图 连接OE
∵∠ =∠ , :(1) , ,
PCD ACP PAPB与圆O相切
∴△ ∽△ , ∵ , ,
CD PC CD PA PB 同理可得
即 6 ∴ = =6, :
∴PC=AC, = , AC CEBD DE PCD
6 8 = , = ,△
CD .. 的周长 PC PD CD
2. ( ∴ 1) 证 = 明 4 :∵ 5 A D ⊥ BO , PC + PD = + CE + + DE + = PA = +
D ACB
∴ ∵ ∠ ∠ O D B A = C B 90 = °= ∠ A C ∠ B O D B , , P (2 B ) = ∵ 1 P 2 A ; , PB与圆O相切 ,
∴ 作O ∠ E A = B ∠ , ∴∠ OAP =∠ OBP =90°,∠ P =50°,
OE ⊥ AB , ACB ∴∠ AOB =360°-90°-90°-50°=130°,
∵ OE ⊥ OC ,∠ =90°, 在 AOC和 EOC中 OA = OE ,
∴ = , Rt△ Rt△ ,OC OC
AB与 O相切 = ,
∴ ☉ ; AOC EOC
解 DAB COB ∴Rt△ ≌Rt△ (HL),
(2) :∵∠ =∠ , AOC COE同理 DOE BOD
DAB COB AOD ∴∠ =∠ , :∠ =∠ ,
∴∠ =∠ =∠ ,
OD COD 1 AOB .
AOD DAB 5 ∴∠ = ∠ =65°
∴cos∠ =OA=cos∠ = , 2
13 2.解 PAPB分别与 O相切于点AB
OA :(1)∵ , ☉ ,,
∵ =13, PA PB且 P
OD ∴ = , ∠ =60°,
∴ =5, PAB是等边三角形
∴
AD
=
AO2
-
OD2
=12,
∴△
PAB是等边三角
;
形
AOD BAD ADO BDA (2)∵△ ;
∵∠ =∠ ,∠ =∠ =90°, PB AB PBA
ADO BDA ∴ = =2cm,∠ =60°,
∴△ ∽△ , BC是直径PB是 O切线
ADBD ODAD ∵ , ☉ ,
∴ : = : , CAB PBC
BD ∴∠ =90°,∠ =90°,
∴12∶ =5∶12, ABC
∴∠ =30°,
∴ BD = 14 5 4 , ∴tan∠ ABC =A A B C = 3 ,
OB BD OD 119 3
∴ = - = ,
5 AC 3 23 .
C D BOC AOD ∴ =2× = cm
∵∠ =∠ =90°,∠ =∠ , 3 3
45
A"# 3
3. 证明 如图 连接OD CD DE
(1) : , , ∴ = ,
AC与 O相切与点D BD DE
∵ ☉ , ∴ = ;
OD AC 即 ODC 如图 连接OE过点O作OF AC垂足为点F
∴ ⊥ , ∠ = (2) 2, , ⊥ , ,
AB
90°, ∵ =2,
BC CDBC DCCO OA OB
∵ = , = , ∴ = =1,
CO AB AC ABC
= O , BC ODC ∵ A = BC为 ,∠ 等边三 = 角 6 形 0°,
∴△ ≌△ (SSS), ∴△ ,
OBC ODC 即OB CB BAC
( ∴ ∴ 2 B ) ∠ C 证明 是 : ☉ = ∵ O O ∠ D 的 ⊥ 切 A 线 C = ; , 90°, ⊥ , ∴ 又 ∴ ∠ ∵ △ O A A OE = = O 为 6 E 0 等 ° , 边 , 三角形 ,
ADO .
∴∠ =90° AOE OA AE OF 3
OBC ∴∠ =60°, = =1, = ,
∵∠ =90°, 2
ADO ABC. 2
∴ 又 ∠ BAC =∠ DAO ∴ S阴影 = S扇形AOE- S △ AOE= 360×π×1 - 1 ×1× 3 =
∵∠ =∠ , 360 2 2
AOD ACB
∴△ ∽△ , π 3.
AO AD -
6 4
∴AC=AB,
AO AB AC AD
∴ · = · ;
解 OBC
(3) :∵∠ =90°,
BC
BAC 4
∴tan∠ =AB= ,
3
设AB x则BC x.
=3, =4
∵
AB2
+
BC2
=
AC2,
∴(3 x )2 +(4 x )2 =10 2, 解得x =2( 舍去负值 ),
AB BC .
∴ ∵ ∴t O a D n∠ = ⊥ B 6 A A C , C , = = A O 8 D D = 4 3 , 2. ( ∵ ∴ 1 C ) ∠ D 证 OC 明 是 D : ☉ 连 = O 9 接 0 的 ° O , 切 C , 线 如 , 图所 示 :
设OD =4 y , 则OB =4 y , AD =3 y , ∵ OD ⊥ BC ,
∴
OA
=
OD2
+
AD2
=5
y
, ∴
B︵E
=
C︵E
,
BOE COE
AB OA OB y 解得y 2 ∴∠ =∠ ,
∴ = + =9=6, = , OB OC
3 =
∴ O
F
B
是
=
A
8 3
C
,
中
即
点
☉ O半径为8 3 . 在 △ OBD和 △ OCD中 , O ∠ D BO
=
D OD =∠ COD ,
∵ , ∴△ OBD ≌△ OCD (SAS),
∴ AF = CF = BF = 1AC =5, ∴∠ OBD =∠ OCD =90°,
2 BD OB
ABF BAF. ∴ ⊥ ,
∴∠ =∠ BD是 O的切线
OB OE ∴ ☉ ;
∵ = , 解 AC AO OC
OBE OEB (2) :∵ = =3= ,
∴∠ =∠ , AOC是等边三角形
ABF BAF OBE OEB ∴△ ,
∴∠ OBE =∠ FBA =∠ =∠ , ∴∠ AOC =60°,
∴△ ∽△ , ∴∠ BOE =∠ COE =60°,
BE OB 即 BE 8 3 解得BE 16 ∵∠ O B B D D O =90°, OB = AO =3,
∴AB=BF, = , = , ∴∠ =30°,
6 5 5
BD OB
∴ EF = BF - EF =5- 16 = 9. ∴ 阴影 = 部 3 分的 = 面 3 积 3, OBD的面积 扇形OBE的面
5 5 ∴ =△ -
27.圆中的阴影面积
1.解 如图 连接AD 积 = 1 ×33×3- 60π×3 2 = 93 - 3 π .
:(1) 1, , 2 360 2 2
以腰AB为直径画半圆O 3.解 连接OD
∵ , :(1) ,
ADB 即AD BC D为弧BC的中点
∴∠ =90°, ⊥ , ∵ ,
又 ABC为等腰三角形 CAD BAD
∵△ , ∴∠ =∠ ,
BD CD ABC ACB OA OD
∴ = ,∠ =∠ , ∵ = ,
ABDE四点共圆 BAD ADO
∵ ,,, , ∴∠ =∠ ,
DEC ABC CAD ADO
∴∠ =∠ , ∴∠ =∠ ,
DEC ACB DE AC
∴∠ =∠ , ∵ ⊥ ,
46
3A"#
E OD EF且AE OD
∴∠ =90°, ∴ ⊥ , ∥ ,
CAD EDA 即 ADO EDA AE EF且 ACB
∴∠ +∠ =90°, ∠ +∠ =90°, ∴ ⊥ ∠ =90°,
OD EF E ACB
∴ ⊥ , ∴∠ =∠ =90°,
OD的长是圆心O到 杠杆EF的距离 EF BC
∴ “ ” , ∴ ∥ ;
∵ O A D B =9 O 0 A cm, (2) 解 :∵sin F = 3 =O O F D , 且BF =2,
( ∴ 2)∵ D = A = D = F 45 , cm; ∴OB OD BF= 3 , 5
F BAD + 5
∴∠ =∠ , OD OB
由 得 CAD BAD ∴ = =3,
(1) :∠ =∠ , OF OB BF OD
F BAD CAD ∵ = + =5, =3,
∴
∵
∠
∠ F
=
+
∠
∠ BAD
=
+
∠
∠ CAD
,
=90°, ∴ O
D
D
F
= AE
OF2
-
OD2
=4,
∴∠ F =∠ BAD =∠ CAD =30°, ∵ DF ∥ OF ,
BOD BAD OF OD
∴∠ =2∠ =60°, =2 , ∴DE=AO,
DF
∵ =63,
∴(2 OD )2 - OD2 =(63)2, 解得OD =6, ∴D 4 E= 5 3 ,
∴ S阴影 = S扇形BOD+ S △ AOD= 60π×6 2 + 1 ×6× 3 ×6= ∴ DE = 1 5 2.
360 2 2 3. 证明 连接OC如图
. (1) : , 1,
6π+93 AB为直径
28.圆与三角函数 ∵ ,
ACB
1.解 如图 连接OD ∴∠ =90°,
:(1) , , BCO ACO
O与边AB相切于点D ∴∠ +∠ =90°,
∵☉ , DCB CADOC OA
OD AB ∵∠ =∠ , = ,
∴ ⊥ , DCB OCA CAD
即 ADO 在 ACO ∴∠ =∠ =∠ ,
∠ =90°, △ DCB BCO 即 DCO
AO AO ∴∠ +∠ =90°, ∠ =90°,
= , OC CD
和 ADO中 AC AD ∴ ⊥ ,
△ , = ,, OC是 O的半径
OC OD ∵ ☉ ,
= , CD是 O的切线
ACO ADO ∴ ☉ ;
∴△ ≌△ (SSS),
ADO ACO
∴∠ =∠ =90°,
OD AB
∴ ⊥ ,
又 OC是半径
∵ ,
AC是 O的切线
∴ ☉ ;
AC
B 4
(2)∵tan = =BC,
3
设AC xBC x
∴ =4, =3,
∵
AC2
+
BC2
=
AB2,
(2)
解
:①
如图
2
所示
,
连接OE
,
∴16 x2 +9 x2 =100, ∵ EC , EA都是切线 ,
∴ x =2, ∴ EC = EA ,∠ DAE =90°,
∴ BC =6, 又 ∵ OC = OA ,
∵
AC
=
AD
=8,
AB
=10, ∴
OE垂直平分AC
,
∴ BD =2, ∴∠ AEO +∠ EAC =90°=∠ EAC +∠ CAD ,
∵
OB2
=
OD2
+
BD2,
∴∠
DCB
=∠
CAD
=∠
AEO
,
∴(6- OC )2 = OC2 +4, AEO DCB OA 2
OC 8 故 O的半径为8. ∴tan∠ =tan∠ =AE= 3 ,
∴ = , ☉ D D OCD EAD
2. 证明 3 连接OD 3 ∵∠ OC = D ∠ , E ∠ AD =∠ =90°,
(1) : , ∴△ ∽△ ,
AD平分 CAB CD OC OA
∵ ∠ , 2
CAD DAB ∴AD=AE=AE= ,
∴∠ =∠ , 3
OA OD
∵ ∴∠ O = AD = , ∠ ODA , ∴ C 设 D A = E 2 3 C A E D = x 4; 则DE x
∴
∴ A
∠
E
CA
∥
D
OD
=
,
∠ ADO , ② 在
Rt△
A = DE中 =
,
由 , 勾股定 = 理得 +4 D , E2
=
AD2
+
AE2,
∵ AB是直径 , ∴( x +4)2 = x2 +6 2, 解得x = 5 ,
ACB 2
∴∠ =90°,
EF是 O切线 CE 5.
∵ ☉ , ∴ = 2
47
A"# 3
29.圆与相似三角形 证明 如图 过点D作DM
(2)① : 2,
1.证明 如图 CF于点M 则 DMF
: , ⊥ , ∠ =90°,
CD BC DE AB
∵ = , ∵ ⊥ ,
AEF
∴ C︵D = B︵C , ∴∠ DMF =90° A , EF
∴∠ BDC =∠ DAC , ∴∠ DFM =∠ AFE =90 对 °, 顶角相
∵∠ DCE =∠ ACD , ∵ 等 ∠ =∠ (
CDE CAD ),
∴△ ∽△ , DFM AFE
CD CE ∴△ ∽△ ,
∴AC=CD, DF FM
2. ( ∴ ∵ 1 C P ) D C 证 2 明 与 = : C ☉ 如 E O 图 · 相 A 1 切 C , 连 . 于 接 点 O B A , , OB , ∴ ∴ ∵ A A ∠ F F O O C · A = A C F F M E + = ∠ , D D D F C C A A · E = F 90 , °,∠ OCA =∠ OAC ,
∴∠ OBC =90°, ∴∠ OAC +∠ EFA =90°,
∴∠ OBA +∠ ABC =90°, ∵∠ DCA +∠ EFA =90°,
∵ OA = OB , ∴∠ EFA =∠ DFC ,
∴∠ OAB =∠ OBA , ∵∠ DCA =∠ DFC ,
∴∠ ADB = 1 2 ∠ AOB = 1 2 ∴ ∴ ∠ △ CDF = 是 ∠ 等腰三 , 角形 ,
OBA DM CF
(180°-2∠ )=90°- ∵ ⊥ ,
OBA CM FM
∠ , ∴ = ,
ADB ABC
( ∴ 2) ∠ 解 : 如图 = 2 ∠ , 连接 ; OD , ∴ FM = 1 2 CF ,
∵
AC与
☉
O相切于点A
, ∴ AF · 1CF = DF · EF ,
OA AC 2
∴ ⊥ , AF CF DF EF
AC PC ACB OA OB ∴ · =2 · ;
∵ 四边 ⊥ 形A , O ∠ BC为 =9 正 0° 方 , 形 = OA , B是等腰直角三 ② 解 :∵∠ CDM =∠ MDF =∠ OCA =∠ OAC ,
∴ ,△
角形 ; ∴sin A =sin∠ CDM = 3 ,
BC OA AC 5
∴ = = =4, CM
BAP 3
∵∠ =30°, ∴CD= ,
BOD BAP 而OB OD 5
∴∠ BOD = 为 2 等 ∠ 边三角 = 形 60°, = , ∵ CD =20,
∴△ , CM 3
AB OB BD ∴ = ×20=12,
∴ =2 =2 , 5
由 得 ADB ABC CF CM .
(1) :∠ =∠ , ∴ =2 =2×12=24
ABP BDP 30.圆与特殊四边形
∴∠ =∠ ,
P P 1.解 全等三角形有 CAO CEO CDA
∵∠ =∠ , :(1) :△ ≌△ ,△ ≌
AP AB CDE ODA ODE.理由 如图 中 连接AE交
ABP BDP △ ,△ ≌△ : 1 ,
∴△ ∽△ ,BP=BD=2, OC于H.
设BP x则AP xBC x AB是直径
= , =2 , =4+ , ∵ ,
∴4 2 +(4+ x )2 =(2 x ) 2 , 解得 : x =4+43( 不符合题 ∴∠ AEB =90°,
意的根舍去 BE OC
), ∵ ∥ ,
AHO AEB
∴ CP = x +4=8+43, ∴ O ∠ H AE =∠ =90°,
CP的长度为 . ∴ ⊥ ,
∴ (8+43)cm AH EH
3. 证明 如图 连接OC ∴ = ,
(1) : 1, , CA CE
OC OA ∴ = ,
∵ = , OA OEOC OC
OCA OAC ∵ = , = ,
∴∠ =∠ , CAO CEO
AB是 O的直径 ∴△ ≌△ ,
∵ ☉ , CAD ECDCA CE
BCA ∴∠ =∠ , = ,
∴∠ =90°, CDA CDE
OAC B ∴△ ≌△ ,
∴∠ +∠ =90°, DA DE
DCA B ∴ = ,
∵∠ =∠ , DO ODOA OE
OCA DCA OCD ∵ = , = ,
∴ ∠ + ∠ = ∠ ODA ODE.
∴△ ≌△
=90°, 如图 中 当AC 时 四边形ODEB是菱形.
∴ ∴ C OC D ⊥ 是 C ☉ D O , 的切线 ; ( 理 2 A ) 由 C ① :∵ A A B C 1 是 ☉ , O的切 = 线 3 , ,
∴ ⊥ ,
48
3A"#
CAB 点M在以点A为圆心AB
∴∠ =90°, ∴ ,
AC 为半径的圆上运动
在 ACO中 AOC ,
Rt△ ,tan∠ =OA 当点M在线段AC上时
∴ ,
MC有最小值
=3, ,
AOC AB BC
∴∠ =60°, ∵ =3, =4,
OC BE
∵ ∥ , AC AB2 BC2
AOC B ∴ = + =
∴∠ =∠ =60°,
OB OE 9+16=5,
∵ = , CM的最小值为
OBE是等边三角形 ∴ 5-3=2,
∴△ , 故答案为
BE OB OD :2;
∴ = = , 结论AE DFAE DF理由 四边形ABCD
BE OD (3)① : = , ⊥ , :∵
∵ ∥ , 是正方形
四边形ODEB是平行四边形 ,
∴ , AD DC ADE DCF
OD OB ∴ = ,∠ =∠ =90°,
∵ = , DE CF
四边形ODEB是菱形. ∵ = ,
∴ AD DC
如图 中 当CD 时 四 = ,
② 2 , =2-1 , 在 ADE和 DCF中 ADE DCF
边形OACE是正方形. △ △ ,∠ =∠ ,
DE CF
CD OD OA = ,
∵ =2-1, = =1, ∴△ ADE ≌△ DCF (SAS),
∴ 在 O R C t△ = C 2 AO , 中 , ∴ ∵ A ∠ E A = D D E F = , 9 ∠ 0° D , AE =∠ FDC ,
AC
=
CO2
-
OA2
=1, ∴∠
ADP
+∠
DCF
=90°,
AC OA ADP DAE
∴ = =1, ∴∠ +∠ =90°,
ACO ECO APD
∵△ ≌△ , ∴∠ =180°-90°=90°,
EC EO AE DF
∴ = , ∴ ⊥ ;
AC CO OE EC 如图 连接ACBD交于点O
∴ = = = , ② 4, , ,
四边形ACEO是菱形 点P在运动中保持 APD
∴ , ∵ ∠ =90°,
CAO 点P的运动路径是以AD为直径的
∵∠ =90°, ∴
四边形ACEO是正方形.
∴
故答案为 .
圆的D︵PO
,
2.解 :(1)①∵ 3 A , B 2 = - A 1 C = AD , ∴ 点P的运动路径长为90 1 π 80 ×2 =π .
点B点C点D在以点A为圆心
∴ , , ,
AB为半径的圆上 如图 测试卷
, 1,
BDC 1 BAC 单元测试卷(一) 直角三角形的边角关系
∴∠ = ∠ =22°,
2 1. 2 3 4 5 6 7
故答案为 B .C .A .A .B .A .B
:22°; 8 [解析]过C作CF DF垂足为点F连接AE如
ABC .D ⊥ , , ,
②∵∠ =90°, 图所示
ABP PBC :
∴∠ +∠ =90°, DE垂直平分AB
PAB PBC ∵ ,
∵∠ =∠ , DE ABAD BDAE
BAP ABP ∴ ⊥ , = , =
∴∠ +∠ =90°, BE
APB ,
∴ ∴ 如 ∠ 点 图 P在 连 = 以 接 9 A O 0° B C , ( 交 定弦 O ) 为 于 直 点 径 P 的 此 ☉ O上 , A ∵ B △ 中 AB 点 C , 为直角三角形 , D为
2, ☉ ,
时PC最小
, ∴
BD
=
DC
,
∵
点O是AB的中点
, ∵
CF
⊥
DF
,
DE
⊥
AB
,
∴ OA = OB =3, ∴ CF ∥ AB ,
在 Rt△ BCO中 ,∠ OBC =90°, BC ∴∠ FCE =∠ B ,
OB FEC DEB
=4, =3, ∵∠ =∠ ,
∴ OC = BC2 + OB2 =5, ∴△ FEC ∽△ DEB , 即 B C E E =B C D F =D C C F ,
PC OC OP .
∴ = - =5-3=2
∴ PC最小值为 2, 在 Rt△ CFD中 ,tan∠ CDE = 3 , 则 sin∠ CDE = 3 ,
故答案为 4 5
:90°; CE CF
如图 连接ACAM CDE 3
(2) 3, , , BE=BD=sin∠ = ,
点B点M关于直线AP对称 5
∵ , , BE CE BC
AB AM ∵ + = =8,
∴ = , BE AE CE
∴ = =5, =3,
49
A"# 3
在 ADC中
在 Rt△ ACE中 , AC = 5 2 -3 2 =4, 故S △ ABC= 1 · Rt△ A , D
2 ACD
∵sin∠ =AC,
BC AC 1 .
· = ×8×4=16 AD AD
故选 . 2 ∴ AC = ACD= =52(m) .
D sin∠ sin30°
答 新传送带AC的长为 米.
9.4 10. 11. 12.25 13. : 52
3 45 105 5 2 在 ACD中AC ACD
(2) Rt△ , =52m,∠ =30°,
14.解 :(1) 原式 =9× 3 3 2 -3× 2 3 - 2 2 2 =3- ∵cos∠ ACD =A A C D , CD = AC ·cos∠ ACD =52×
3 1
2 - 2 =1; cos30°= 56 (m),
2
(2) 原式 =(3)2 -2× 2 2 2 +3× 2 3 =3-1+ 3 2 ∴ BC = CD - BD = 56 - 52 = 5 (6-2)(m) .
2 2 2
=
7
2
. 答
:
新旧货物传送带着地点B
,
C之间相距5
(6-
15.解 在 ABC中 C 2
: Rt△ ,∠ =90°, 米.
AC BC 2)
∵ =1cm, =2cm,
∴
AB
=
AC2
+
BC2
=5cm,
BC AC
A 2 25 B 1 5.
∴sin =AB= = ,sin =AB= =
5 5 5 5
16.解 在 ABC中 C A b
:∵ Rt△ ,∠ =90°,∠ =30°,=83, 19.解 在 BDC中 CDB CBD
B C A . :(1) Rt△ ,∠ =90°,sin∠
∴∠ =∠ -∠ =60° CD
a b
A B . =BC,
∵tan =b,sin =c
BC CD
a c .即 B a c . ∵ =60cm, =40cm,
∴ =8,=16 ∠ =30°,=8,=16
17.解 CBD 40 .
:(1)sin75°=sin(30°+45°)=sin30°·cos45°+ ∴sin∠ = ≈0667,
60
CBD .
cos3 过 0° 点 · A sin 作 4 A 5° D = 1 2 BC × 2 垂 2 足 + 为 2 3 点 × D 2 2 = 2+ 4 6 ; ∴ ∵ B ∠ D ∥ AF ≈4 , 18°,
(2) ⊥ , , ∴∠ BAF =∠ CBD ≈41 . 8°;
∵∠ C =45°, AC =23-2, (2) 设CD =2 x cm,
DAC
∴∠ =45°, 在 BDC中 DCB CBD 2 则BD
AD AD Rt△ ,∠ =90°,sin∠ = ,
∴ AD = CD ,sin C =AC, 即 2 2 = 23-2 , =3 x cm, 由勾股定理得 : BC2 + CD2 = BD2 3 , 即 60 2 +
∴ AD =6-2, (2 x )2 =(3 x )2, 解得 : x 1=125≈26 . 83, x 2=-125
舍去
∵∠ B =15°,sin B =A A B D , 即6- 4 2 = 6 A - B 2 , ( ∴ CD = ), 2 x ≈53 . 7(cm),
AB 答 支架CD的长度约为 . .
∴ =4, : 537cm
B 20.解 过点A作AE
∵∠ =15°, :(1) ⊥
BAD CD于点E 如图所示
∴∠ =75°, , :
根据题意可知 四边形
∴sin∠ BAD =sin75°=A B B D = 2+6 , BD = 2+6 , ABDE为矩形 ,
4 4 4 ,
BD =2+6, BC = BD + CD =2+6+6-2= ∴ AE = BD = x m, DE
AB .
. = =16m,
26 在 ACE中 α
Rt△ ,tan =
CE
AE,
CE AE α x α
∴ = ×tan = ·tan ,
CD CE DE x α .
∴ = + =(·tan +16)m;
因为距离旗杆底部越远α的度数越小 所以根据
18.解 过点A作AD垂直于CB的延长线于点D. (2) , ,
:(1) 表格中的数据可知 第 组数据测量有误
在 ADB中AB ABD , ③ ;
Rt△ , =5,∠ =45°, 需测量的线段AF a FG b BD c 由
AD BD (3) = m, = m, = m,
∵sin∠ ABD =AB,cos∠ ABD =AB, 题可知 , 四边形ABDE是矩形 , AE = BD = c m,
AFG AEC CAE GAF
∵∠ =∠ =90°,∠ =∠ ,
∴ AD = AB ·sin∠ ABD =5×sin45°= 5 2 2 (m), ∴△ AFG ∽△ AEC ,
50
3A"#
AF FG a
15
∴AE=CE, ∴ + ≥10,
2 2
a b a
∴ ≥5,
∴c=CE, a的最小值为 .
∴ 5
bc 19. x
∴ ∴ C C E D = = C a E ( + m 1 ) . , 6= b a c +1 . 6(m), ( ( ∵ 1 2 ) ) 在 S (2 点 = 8 x - P (2 与 8 ); C - D x ) , A = D - x 的 2 距 +2 离 8 x 分 = 别 - 是 ( x 15 - m 14 和 )2 6 +1 m 9 , 6 .
.
bc ∴28-15=13
答 旗杆CD的高度为 . 米. x .
: a+16 ∴6≤ ≤13
单元测试卷(二) 二次函 数 ∴ 面积S与x的函数解析式为 : S =-( x -14)2 +196
x
1. 2 3 4 5 6 7 8 9. (6≤ ≤13);
B .B .D .A .B .B .C .A 2 抛物线的开口向下 对称轴为直线x
10. 11. 12. 13. x ∵-1<0, , =14,
3 1 9 -1< <3 当 x 时S随x的增大而增大.
14.解 : y = 1x2 -6 x +21= 1 ( x2 -12 x +36)-18+21 ∴ ∴ 当x 6≤ =13 ≤1 时 3 , S取 , 到最大值 =-(13-14)2 +196=
2 2 即当x 时 花园面积S最大 最大值为
1 1 1 5 6 7 . . . = 为 解 代 式 解 解 - ∴ x ( : 入 为 : : 抛 1 2 6 2 ( 设 当 1 y , + 得 物 ( 3 x ) 二 长 b a = ) 把 线 x - . 次 · 为 2 + 6 点 的 4 ( x 1 函 c ) 0 - 解 A 2 + 数 得 + 3 m 1 ( 析 3 = 的 : - , ) 2 , 5 式 宽 c 表 1 它 - - , = , 为 为 解 达 3 1 0 的 3 . 1 : - ) 式 得 y 对 , 0 , b a 为 点 = 称 + m = y c B - 轴 时 2 = = x ( 是 , , a 0 0 2 面 所 , , 直 ( x 3 , 积 以 解 线 ) + 最 代 二 1 得 x ) 大 入 次 = 2 : - 6 为 c b 函 抛 3 , = = 1 数 顶 物 , 0 3 2 把 0 的 点 线 , , ( m 1 表 坐 y 2 ,5 . 标 达 = ) 20. O 1 1 解 间 ∴ 次 式 ∵ + 9 9 ( 5 5 t m 0 的 : 为 所 t a , ( ( 4 , m 1 s 0 a 运 : 有 , S + ) 2 ) ) + b 的 1 乙 动 . 二 , = 2 设 = b 二 运 高 次 5 - 其 = 次 动 度 = 函 , 5 0 t 解 1 S 函 员 2 , 数 3 析 解 + ( 数 的 m 图 m 1 式 得 图 第 0 ) t 象 与 为 : 象 一 , 开 运 : , b a S 经 次 = 1 动 = 口 过 的 = 1 时 - 大 a 0 点 运 t 5 , 间 2 A 小 动 , + t , ( 高 相 b 2 ( 即 t s , 度 ) 0 同 , 乙 的 ) S . , 运 二 设 点 (m 动 次 D S , ) 员 2 与 函 (1 = 的 运 数 ,5 - 第 动 解 ), 5 t 时 点 一 析 2
+2 x +3; 把点B 5 ,0 代入得 :-5× 25 + 5m =0, 解得 : m
如图所示 连接ABBN 2 4 2
(2) : ,
和BM
, =
25
,
∵
+
y
4,
=- x2 +2 x +3=-( x -1)2
∵
S 2
2=-5
t2
+
2
2
5t
,
即S
2=-5
t
-
5
4
2
+
1
1
2
6
5
,
故
对称轴为x
∴ :=1, 甲运动员在这次训练中运动的最大高度是125 时
M N m,
∴ (1,4),(1,0), 16
∵ A (-1,0), 点B (0,3), 点O (0,0), 间是t = 5 s;
OB AN MN ON 4
∴ =3, =2, =4, =1,
∴ S四边形ABMN= S △ ABN+ S △ BMN= 1 × AN × OB + 1 × (2)① 当t =2 . 4s 时 , S 2=-5×2 . 4 2 + 2 2 5 ×2 . 4=
2 2
6 即乙二次起跳中 当t . 时 其高度S 6
18.
M
解
N × O
设
N
y
=
关
1 2
于
×
x
2×
的
3
函
+
数
1 2
表
×
达
4
式
×1
为
=
y
3+
k
2
x
=5
b
.
k
设 5 乙 , 二次起跳中的解 , 析式 = 为 2 S 4
3
s
=-
,
5
t2
+
nt
+
c 3=
,
将 5 点 ,
由 : 题 (1 意 ) 得 : 5 6 k k + + b b = = 1 1 6 4 0 0 ① ② , , 解得 : b k = = = 2 - 60 20 , + , (≠0) A (2,0) 和 1 5 2 , 6 5 代入得 : - - 2 1 0 4 5 4 + + 2 n 1 5 2 + n c + = c 0 = , 6 5 ,
y关于x的函数表达式为y x n
(
∴
2)
由题意得
:
W
=(
x
-2)(-2
=
0
x
-2
+
0
26
+
0
2
)
6
=
0
-
;
20
x2
+
解得
: c
=
=2
-
5
3
,
0,
即S
3=-5
t2
+25
t
-30,
300 x -520=-20( x -7 . 5)2 +605,
∵
S
3=-5
t2
-
5 2
+
5
,
∵-20<0, 2 4
∴ W 当x 关 = 于 7 x . 5 的 时 函 , W 数 有 表 最 达 大 式 值 为 60 W 5 元 ; x x ∴ 点E 5 2 , 5 4 ,
∴
单价为 .元时利润最大 最
=
大
(
利
-
润
2)
是
(-20
元
+
∴
设 直 线 DE 解 析 式 为SDE
=
kt
+
d
,
得
:
260), 75 , 605 ;
( +
=
3
1
) (3
5
由 00
+
题 + a 意 20 得
,
a ) : x w - = 5 ( 2 x 0 - - 2 26 - 0 a a ) , ( 二 - 次 20 函 x 数 +2 的 60 对 ) 称 = 轴 -2 为 0 x : x 2 k 5 2 + k b + = b 5 = , 5 4 , 解得 : b k = = - - 5
2
5 2 t , + 1
2
5 ,
2 2 当销售单价不超过 元时 利润随着x ∴ 设直线DE解析式为SDE=- 5t + 15 ;
∵-20<0, 10 , 2 2
的增大而增大 延长DE交x轴于K 过点D作DH x轴 点D
, ② , ⊥ ;
51
A"# 3
的坐标为 b
(1,5),
DH OH 当 ∵-a>0,
∴ ∠ DKH = = 5 3 , 3 . 5° = 时 1 , H , K ∴ b > 2 0, 当x =-1 时 , a - b + c =0,
DH 5 15 ∴ b - c = a ,
= DKH= = , ab bc ca
tan∠ 2 2 ∴ - <0,- <0,- >0,
abbcca 故 错误.
3 ∴(- )(- )(- )>0, ④
故选 .
∴
OK
=
OH
+
HK
=
17
,
:C
2 9.y y 10. 11.y x2 x 12. 13.
1> 2 30 = +4+3 30 5
点K的坐标为 1 2 7 ,0 , 1 1 4 5 . .解 解 : 将 原 x 式 =2 y 3+3 代 -2 入 × 二 3 次 + 函 1 数 =4 的 . 表达式 得m
∴ 直线SDK=- 2t + 17 , .解 : 得m =0, . =3 , -2=
A 设 (2 乙 ,0 二 ) 次 代 起 入 跳 得 中 :- 3 的 20 解 + 析 2 3 n 式 + 为 c = S 0 3= , -5 t2 + nt + c , 把点 16. 3 ( 解 2) :( ∵ 1) 斜 25 坡 0 = B ; 5 C 的坡度为 1∶3,
∴ ∴ c S = 3= 20 - - 5 t 2 n 2 + , mt +(20-2 n )=-5 t - 1 n 0 2 + n 20 2 1 ∴ 设 0 C C 0 E 0 E 2 ∶ = , B 解 x E , 得 = 则 x 1 B = ∶ E 1 3 0 = , 0 3 x 1 , 0 由 , 勾股定理 , 得x2 +(3 x )2 =
-2 n +20, ∴ CD = CE + DE = BF + CE =(250+100 10)m .
当t = n 时 , S最高点 = n2 -2 n +20, SDK=- 2t + 17 答 : 点C相对于起点A升高了 (250+100 10)m .
10 20 3 3
n
=- +
17
,
当α
≤33
.
5°
时
,
SDK≤ S
3,
15 3
∴
S最高点
-
S
3≥0,
n2
n
n
17
n2
29n 43
∴ -2+20 - - + = - +
20 15 3 20 15 3
≥0,
整理得 n n
:(-10)(3-86)≥0,
∴
n
<10(
不合题意
,
舍去
),
n
≥
86
,
当n
=
86
,
S最高点
= 第16题图 第17题图
3 3
n2
-2 n +20= 169 , 17.解 ACB AB ADB AB
20 45 :∵tan∠ =BC,tan∠ =BD,
∵ n = 86 >20, 故n ≥ 86 , S最高点 随n增大而增大 ; 故乙 ∴ AB =tan∠ ACB · BC =tan∠ ADB · BD ,
3 3 ACB θ ADB θ BC d
在第二次蹦床运动中最大运动高度的取值范围大于 ∵∠ = 1=40°,∠ = 2=36°, = 1=
4m,
或等于169 小于 . . . BD解得BD .
m, 5m ∴084×4=073× , ≈460m,
45 d BD . 则楼梯占用地板的长度约增加
期中测试卷 ∴ 2= =460m,
了d d . . .
1. 2 3 4 5 6 7 2- 1=460-4≈06(m)
A .D .C .C .B .C .D 答 楼梯占用地板的长度约增加了 . .
8 [解析] 抛物线的对称轴是直线x : 06m
.C ∵ =1, 18.解 延长CD交GH于点P 由题意得CP GH
b :(1) , : ⊥ ,
CDH
∴-a=1, ∵∠ =135°,
∴ ∵ 2 抛 a 2 + 物 b 线 = 交 0, x 故 轴 ① 于 正 点 确 ( . -1,0),(3,0), ∴ 在 ∠ Rt P △ D D H P = H 18 中 0° , D - H ∠ C = D 2 H m =4 , 5°,
可以假设抛物线的解析式为y ax x 当
x ∴ ∵ ∴ = a a x 1 ( x 2 时 + + b , 1 y x ) + ( 的 x c 值 - = 3 a 最 ) + 大 = 1 a , 最 + 无 1 大 实 无 值 数 实 为 根 数 - , 4 根 = a , , ( 故 + ② 1 正 )( 确. -3), ∴ ∵ ∴ C C D 点 P D P C = = = C 到 0 D D . H 7 水 + · m 平 D c , 地 P os 面 = 4 0 5 的 ° . 7 = 距 + 离 2 1 为 = × 1 2 2 . . 7 = (m 1 ) (m , ),
∴ ax2 -2 ax -4 a -1=0, Δ <0, ∴ 由题意得EH FG . 17 B m C ; GP .
∴4 a2 -4 a (-4 a -1)<0, B (2 G ) CP . : E = F G = H 05 AG m, GH = =145m,
aa = =17m, = , ⊥ ,
∴ (5+1)<0, 在 DPH中DH m PDH
1 a 故 正确 Rt△ , =2 ,∠ =45°,
∴- < <0, ③ ,
5 PH DH 2
抛物线开口向下 ∴ = ·sin45°=2× =1(m),
∵ , 2
∴
∵
a 抛 < 物 0, 线交y轴于正半轴
,
∴ 在 E
R
F
t△
= A G E H F = 中 GP
,∠
+ A P E H F =
=
1
6
4
0°
. 5
,
+1=15 . 5(m),
c AF EF .
∴ >0, ∴ = ·tan60°=1553(m),
52
3A"#
∴ AB = AF + FG - BG =15 . 53+0 . 5-1 . 7≈ 时 ,-4 . 5=- 1x2, 解得x 1=15 或x 2=-15,
25( 辽 m 上 ), 京南塔AB的高度约为 . ∴ 悬挂点的横 5 坐 0 标的取值范围是 -15≤ x ≤15; 任务
∴ 25m 有两种设计方案 答出一种即可 方案一 从顶点
19.解
的
:
交
探
点
索
为
:(1) 函数的图象关于y轴对称 ; 图象与y轴 3 处 : 开始悬挂灯笼. ( ), :
(0,-2); x 相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为
(2) 描点画图 :① 列表 : 把x =-7 代入y = | x | 6 -3 得 , 1 ∵ . 6 - 若 m 1 顶 5 , ≤ 点一 ≤ 侧 15 挂 , 盏灯笼 则 . 若顶点
y = 3 , ∴ 一侧挂 盏灯笼 1 则 0 . , 16×10>15,
2 9 , 16×9<15,
顶点一侧最多可挂 盏灯笼.
a 3 ∴ 9
∴ = , 挂满灯笼后成轴对称分布
2 ∵ ,
把x =0 入y = | x | 6 -3 得 , y =-2, ∴ ∴ 共 最 可 左 挂 边 1 一 9 盏 盏 灯 灯 笼 笼 悬 , 挂点的横坐标是 -14 . 4; 方案
∴
b
=-2,
故答案为3
,-2;
二
:
从对称轴两侧开始悬挂灯笼
,
正中间两盏与对称
2 轴的距离均为 .
描点 根据表中各组对应值xy 在平面直角坐标 08m,
② : (,), 若顶点一侧挂 盏灯笼 则 . .
系中描出各点. ∵ 10 , 08+16×(10-1)>
若顶点一侧挂 盏灯笼 则 . .
连线 用平滑的曲线顺次连接各点 请你把图象补 15, 9 , 08+16×(9-1)<
③ : ,
充完整如图. 15,
顶点一侧最多可挂 盏灯笼.
∴ 9
挂满灯笼后成轴对称分布
∵ ,
共可挂 盏灯笼.
∴ 18
最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是 ..
∴ -136
单元测试卷(三) 圆
1. 2 3 4 5 6 7
D .D .C .C .B .C .B
8. [解析] 作CH AD交AD
B ⊥
延长线于H OC AD
,∵ ∥ ,
DAC OCA
∴∠ =∠ ,
OC OA
∵ = ,
OAC OCA
∴∠ =∠ ,
DAC OAC
∴∠ =∠ ,
CE AB
∵ ⊥ ,
CH CE
∴ = ,
应用 四边形ABCD是圆内接四边形
: ∵ ,
函数y 6 的图象关于y轴对称 而点Aa ∴∠ ADB +∠ B =180°,
(3) =x , (, CDH ADC
c 故 ), 答 B 案 ( b , 为 c ) 为 | 该 | 函 - 数 3 图象上两对称点 , 所以a + b =0; ∵ ∴ ∠ ∠ CDH + = ∠ ∠ B , =180°,
0; ∵∠ CHD =∠ CEB =90°,
x (4) 由图 或 象 x 可知 , 或 当 x | x | 6 -3 故 ≥ 答 - 案 2 为 时 x , x的取 或 值 x 范围为 或 ∴ ∴ △ 四 C 边 D 形 H A ≌ B △ C C D B 的 E ( 面 A 积 AS = ) 四 , 边形AECH的面积 ,
x <- . 3 =0 >3, <-3 =0 ∵ CH = CE , AC = AC ,
20.解 >3 任务 以拱顶为原点 建 ∴Rt△ ACH ≌Rt△ ACE (HL),
立 : 直角坐 1 标 : 系 如图 则顶 , 点 ∴ 四边形AECH的面积 =△ ACE面积 ×2,
, , ACE和和四边形ABCD的面积之比为 .
为O
(0,0),
且经过点B
(20,
∴
故
△
选 .
1∶2
-8)
.设该抛物线函数表达式
9. 1
B
0. 相交 11. 12.
为
=4
y
00 = a
a
,
x2( a
<0),
则
-8 第20题图 13
7
.
6
8 的
°
3 中 - 点 2π 连 [ 接 解 析 OO ] '
2
设 .
c
A
m
点 O ' O' D 是A O
5
︵ '
5
D
°
, , ,
∴ a =- 5 1 0 , OD 弧 , A A D D 与 沿 OO 直 ' 线 交 A 于 D E , 翻折后经
∴
该抛物线的函数表达式是y
=-
1x2; ∵
过点O
50 ,
任务 水位再涨 . 达到最高 灯笼底部距离水 AO' AODO' DO
2:∵ 21m , ∴ = , = ,
面至少 灯笼长 . AO OD
1m, 04m, ∵ = ,
悬挂点的纵坐标y . . . AO' DO' AO DO
∴ ≥-8+21+1+04=-45, ∴ = = = ,
悬挂点的纵坐标的最小值是 . 当y . 四边形AODO'是菱形
∴ -45, =-45 ∴ ,
53
A"# 3
AO OO' OD是 O的半径
∵ = , ∵ ☉ ,
AOO'是等边三角形 DE与 O相切
∴∠ , ∴ ☉ ;
O'AO AOO' DOO' 解 如图 连接BD
∴∠ =∠ =∠ =60°, (2) : 2, ,
BAC AB是 O的直径
∴∠ =30°, ∵ ☉ ,
∵ BC =4,∠ ABC =90°, ∴∠ ADB =90°,
AB BC CAF DBF ACF
∴ =3 =43, ∵ ∠ = ∠ ,∠
∴ AO = OD =23, =∠ BDF ,
ACF BDF
OE 1AO AD AE ∴△ ∽△ ,
∴ = =3, =2 =6, AC BD
2
阴影部分的面积 ABC的面积 扇形OO'D ∴AF=BF,
∴ =△ - =
1 2 ×4×43- 60·π 3 × 60 (23) 2 =83-2π, ∴ 4 5 = B 1 D 5 , 解得 : BD =12,
故答案为 :83-2π . 在 Rt△ BDF中 , DF = BF2 - BD2 = 15 2 -12 2
14.水泵站应建在
△
ABC外接圆圆心处
,
图略.
=9,
15. P 解 ∴ ∴ E P : △ A ∵ P E P = E B A C PB , P 的 A ; B P 周 同 切 长 理 P ☉ = , B O 可 PC 得 于 + A : A D C P C , D B = + 两 C D A 点 E , D , + E E . P = 则 E = A B P P , C + AC + . ∵ ∴ D △ G B = DF DF B 的 · F 面 BF 积 = = 9 1 2 × 15 B 1 F 2 = · 7 D . G 2, = 1 2 BF · DF ,
+ = + =2 =18(cm) =9cm
16.解 : 连接OC , 如图所示. ∴ BG = BD2 - DG2 = 12 2 -7 . 2 2 =9 . 6,
∵
AB是
☉
O的直径
,
弦CD
⊥
设
☉
O的半径为r
,
在
Rt△
OGB中
,
OG2
+
BG2
=
AB
,
OB2,
CE DE 1CD ∴( r -7 . 2)2 +9 . 6 2 = r2, 解得 : r =10,
∴ = = =4cm, AB r
2 ∴ =2=20,
A .
∵∠ CO = E 225°, A ∴ AD = AB2 - BD2 = 20 2 -12 2 =16,
∴∠ =2∠ =45°, AD的长为 .
COE为等腰直角三角形 ∴ 16
∴△ , 20.解 如图 连接OAOB 过
17. ∴ 证 O 明 C = 如图 2 CE 连 = 接 4 O 2 D cm, 即 ☉ O的半径为 42cm . 点O :(1 作 ) OH ⊥ 1 A , B于点H , , ,
: , , C
ABC是等边三角形 ∵∠ =60°,
∵△ B C . , ∴∠ AOB =120°,
∴∠ =∠ =60° OA OB
OB OD ∵ = ,
∵ = , OAB为等腰三角形
ODB B . ∴△ ,
∴∠ =∠ =60° OH AB
DE AC ∵ ⊥ ,
∵ ⊥ , AOH BOH
DEC . ∴∠ =∠ =60°,
∴∠ =90°
EDC . AH OA AOH 3 则AB AH
∴∠ =30° ∴ = sin∠ =4× =23, =2
ODE . 2
∴∠ =90°
∴
DE
⊥
OD于点D. =43;
点D在 O上 故答案为
∵ ☉ , 43;
DE是 O的切线. 如图 连接AC过点D作
∴ ☉ (2) 2, ,
18. DE AC于点E 过点B作BF
(1)60°; ⊥ ,
AC于点F
2 3. ⊥ ,
(2) π-
19. 证 3 明 如 2 图 连接OD交BC于点G ∵ 四边形ABCD的面积S = 1
(1) : 1, , , 2
AB是 O的直径
∵ ☉ , AC DE 1AC BF 1AC
ACB × + × =
∴∠ =90°, 2 2
∵ ∴ O A ∠ A D CA 平 D O 分 D = ∠ ∠ C D A A B B , , × ∴ 的 ( 当 面 DE 积 D S + , E B 最 , F F 大 ) , B , 四点共线且为直径时 , 四边形ABCD
∵ = , ;
OAD ODA ABC
∴∠ =∠ , ∵∠ =120°,
CAD ODA ADC
∴∠ =∠ , ∴∠ =60°,
AE OD AOC
∴ ∥ , ∴∠ =120°,
OGC ACB 在 AOC中 由 知AC OA
∴∠ =180°-∠ =90°, △ , (1) , =2× ·sin60°=2×6
BC DE
∵ ∥ , 3
∴∠ OGC =∠ ODE =90°, × 2 =63,
54
3A"#
DF平分 CDK
四边形ABCD的面积S的最大值为 1 AC ∵ ∠ ,
∴ : × × CDF EDH
2 ∴∠ =∠ ,
BD = 1 2 ×63×12=363, 故四边形ABCD的面积 ∵ 爽 四 弦 个 图 全 ”, 等 得 的 到 直 正 角 方 三 形 角 AB 形 C 拼 D 成 与 “ 赵 正
的最大值为
363;
方形EFGH
,
A ( 在 3 B ) △ 如 于 A 图 D 点 M 3 K , , 过 中 连 , 点 接 D D C K D 作 = , D AD K ⊥ · ∴ ∠ ∴ D D ∠ E F C A ∥ D = H F B ∠ = E , H ∠ B AB , H , DE = AH ,
EDH BHK
A 3 3 同理 ∴∠ =∠ ,
sin =1× = , KBH KHB
2 2 ∴∠ =∠ ,
AK = 1 2 , 则KM = AM - ∴ ∵ K ∠ H AH = B KB =9 , 0°,
AK = D 2 M - K 1 2 = 3 2 , 则 tan∠ DMK =K K M D = 2 3 ∴ ∴ ∠ ∠ K K B H H A + = ∠ ∠ K K A A H H = , 90°,∠ KHB +∠ KHA =90°,
∴ 故 ∠ ADM = 为 30 直 °, 角三角形 同理 CMB为直角三 ∴ KH = KA ,
角形 △ , , △ ∴ HM = 1AH = 1a ,
2 2
在
Rt△
ADM中
,
DM
=
AM2
-
AD2
= 4-1=3, ∵∠
HED
=∠
DEA
,∠
HDE
=∠
EAD
,
DMC DMA CMB AD EHD EDA
∴∠ =180°-∠ -∠ =60°∵ = ∴△ ∽△ ,
BMAM BC A B HE DE ba a
, = ,∠ =∠ =60°, 即 - 解得b 5+1a
ADM BMC ∴DE=AE, a =b, := ,
∴Rt△ ≌Rt△ (SAS), 2
DM CM DE KM
∴ = , ∵ ∥ ,
CDM为等边三角形 HED HMK
∴△ ; ∴△ ∽△ ,
设 ∵ C D ︵D M 所 = C 在 M 的 , R 圆 M 的 = 圆 R 心 M 为 , D R R , = 连 C 接 R D , R , CR , MR , ∴H DH K=H EH M= b - a = 5 2 +1a - a =5-1,
DRM CRM 1a 1a
∴△ ≌△ (SSS),
2 2
∴∠ DMR =∠ CMR = 1 2 ∠ DMC =30°, 在 △ DMR 9. 故选 : 1 C 0 . . 11.x 或x 12.
中DR DMR DM CM 过点R作 30° -3 <-1 >5 150°
, =1,∠ =30°, =3= ,
13.35
-1
HM 3 5
RH ⊥ DM于点H , 则RM = DMR= 2 =1= 14.解 原式 1 3 5.
cos∠ 3 :(1) =2-3+1- +2× =
2 2 2
2 15.解 如图 过点P作PM x
RD故DPCM四点共圆 : , ⊥
, ,,, , 轴 垂足为点M 则 PMO
DPC , , ∠
∴∠ =120°,
如图 连接MP 在PM上取 =90°,
4, , 点P的横坐标为 若 α
PP' PC ∵ 6, sin
= ,
∵△
CDM为等边三角形
, =
4
,
CDM CPM 5
∴ ∴ ∠ △ P'PC =6 为 0° 等 =∠ 边三角 , 形 , 则 ∴ P OP M = 4 5 , OM =6,
PP' = P'C = PC , 设PM =4 x , OP =5 x , 由勾股定理 , 得 6 2 +(4 x )2 =
∵∠ PMC =∠ PDC ,∠ CP'M =180°-∠ PP'C =120° (5 x )2, 解得x =2( 负数舍去 ), PM =8, OP =10,
=∠ DPC , CD = CM , ∴ 点P的纵坐标是 8 .
∴△ PDC ≌△ P'MC (AAS), 16.解 :∵ 抛物线y = x2 + mx + n过点 (-3,0), 点C (1,0),
∴ ∴ 是 P P 直 D D 径 = + 时 P P ' C , M P = D , P + P' PC + P 最 D 大 = 值 PP 为 ' 2 + ; P'M = PM , 故当PM ∴ 数 的 0 0 表 = =1 达 ( 2 - 式 + 3 m 为 )2 + y + n ( , x - 2 3) m x + n ,解 . 得 : n m = =2 - , 3, , 二次函
2
∵
3
四 P 边 D 形
+
P D C M
,
C 而 P P 的 D 周
+
长 PC = D 最 M 大 + 值 CM 为 +
2
P
;
C 故 + 四 P 边 D = 形 17.解
∵
: 二 (1 次 ) 设 函 二 数 次 的 函 顶 = 数 点 的 坐 + 表 标 2 达 为A - 式 3
(1
是
,
y
-
=
4
a
),
( x - h )2 + k ,
DMCP的周长的最大值为 :2+23, 即四条慢跑道总 ∴ y = a ( x -1)2 -4,
长度 即四边形DMCP的周长 最大为 . 经过点B
期末测试 ( 卷 ) 2+23 ∵ ∴ 代入得 0= (3 a ,0 (3 ) - , 1)2 -4, 解得a =1,
1. C 2 .C 3 .D 4 .A 5 .B 6 .C 7 .B ∴ y =( x -1)2 -4, 即二次函数的表达式为y = x2 -
8. [解析]过点K作KM AH 设DE aAE b x
C ⊥ , = , = , 2-3;
55
A"# 3
点C 在该函数图象上 理由是把C
(2) (2,-3) , (2,-3)
代入y
=
x2
-2
x
-3,
得左边
=-3,
右边
=4-4-3=
即左边 右边 所以点C在该函数的图象上.
-3, = ,
18.解 连接OC
:(1) ,
PC是 O的切线
∵ ☉ ,
OCP
∴∠ =90°,
OE OC
∵ = ,
E OCE
∴
O
∠
E
=
A
∠
B
, 20.解
:(1)∵
I总
=1+R
6
,
∵ ⊥ ,
E EFA OCE FCP
∴∠ EF + A ∠ FC = P ∠ +∠ =90°, ∴, I 1=R 6 =1∴ R 1=6;
∴∠ =∠ , 1
∵∠ EFA =∠ CFP , (2)① 当R =4 时 , I 1=R 6 = 6 =1 . 5,
CFP FCP 1 4
∴∠ =∠ ,
∴
PC
=
PF
; ∴
I总
=1+R
6
=1+1
.
5=2
.
5,
过点B作BG PC于点G
( ∵ ∴ 2 O ) ∠ B C ∥ OB PC = , 90°, ⊥ , ∴ ② 连 m 先 接 = 描 这 2 出 些 . 5 点 点 , ( 即 3, 可 3) 画 , 出 (4 所 ,2 求 . 5 函 ), 数 (5 图 ,2 象 . 2 ; ),(6,2), 再顺次
∵ OB = OC , BC =32, (3) 当R =6, I 1=1, I总 =2, 当R =3 时 , I 1=2, I总 =3,
∴
OB
=3,
当R
=2
时
,
I
1=3,
I总
=4,
BG PC
∵
四边
⊥
形OB
,
GC是正方形
结合图象
,
所以函数I总
=1+R
6的图象是由I
2=R
6
∴ ,
OB CG BG 的图象向上平移 个单位长度. 由函数与方程的
∴ = = =3, 1 (4)
∵tan P = 3 , 关系可知 , 当k <0 时 , y = 1+x 6 , y = kx +6 的函
4 数图象在第一象限恰有一个交点时满足恰有两个实
BG
∴PG= 3 , 数解
4 ;
PG
∴ =4, 6 kx
由勾股定理可知PB ∴1+x= +6,
∴ ∵ PF = PC =7, : =5, 化简得 : kx2 +5 x -6=0 Δ = b2 -4 ac =25+24 k =0,
19. ∴ 解 FB = PF 房 - 屋 P 的 B = 侧 7 面 - 示 5= 意 2 图 . 它是一个轴对称图形 ∴ k =- 2 2 5 4 ,
:(1)∵ , ,
对称轴是房屋的高AB所在的直线EF BC 当k 时y 6 y kx 的函数图象在第
, ∥ , >0 ,= 1+x ,= +6
∴
AG
⊥
EF
,
EG
=
1EF
,∠
AEG
=∠
ACB
=35°,
二象限恰有一个交点时满足恰有两个实数解
;
2
在 AGE中 AGE AEG 6 kx
Rt△ ,∠ =90°,∠ =35°, ∴-1-x= +6,
∵tan∠
AEG
=tan35°=E
A
G
G
,
EG
=6,
化简得
:
kx2
+7
x
+6=0
Δ
=
b2
-4
ac
=49-24
k
=0,
AG . . k 49
∴ =6×07=42(m); ∴ = ,
答 屋顶到横梁的距离AG约为 . 24
(2) : 过E作EH ⊥ CB于H , 设E 4 H 2 = x m , ; 当k =0 时 , y = 1+x 6 , y = kx +6 的图象恰好有两
在 EDH中 EHD EDH 个交点.
Rt△ ,∠ =90°,∠ =60°,
EH
∵tan∠
EDH
=DH, ∴
k
=0
或49或
-
25.
24 24
x
DH
∴ = ,
tan60°
在 ECH中 EHC ECH
Rt△ ,∠ =90°,∠ =35°,
EH
ECH
∵tan∠ =CH,
x
CH
∴ = ,
tan35°
CH DH CD
∵ - = =8,
x x
解得x .
∴ - =8, :≈952,
tan35° tan60°
AB AG BG .
∴ = + =1372≈14(m),
答 房屋的高AB约为 米.
: 14
56
