3A"#
AB本
(5)
x10y3;(6)-8 x18.
第一章 整式的乘除 8. (1)72 x12;(2) x6y20;(3)- x13y8;(4)2 a4b6.
第1课时 幂的乘除(1) 9. B 10. 7
1. (1) x6;(2) b12;(3)4 6;(4)(0 . 8)31;(5) a8;(6)- a9. 11.解 : 原式 =3 2022 × - 1 × - 1 2022 =3 2022 ×
3 3
2. (1) x8;(2) 1 13 ;(3) b7n ;(4)(2+ b )6. 1 2022 1 1 2022
2 - × - = 3× - ×
3. (1)- x5;(2)-3 20;(3)3 5;(4)-( a - b )5. 3 3 3
4.解
:10
m+n
=10
m
·10
n
=4×5=20
.
-
1
3
=(-1)2022
× -
1
3 =-
1
3
.
5. D 6. B 12.解 :(2 x3n )2 +(- x2n )3 =4 x6n - x6n =3( x2n )3 =3×
7. (1)10 5;(2) a12;(3) 1 8 ;(4)( a - b )5;(5) b10; 2 3 =24 .
6 13.解
(6)
a2n
;(7)-
x6;(8)- x6. :(
设
1)3,4;
x y则 x y
8. (1)3 10;(2) a9;(3)2 a7;(4)3 x7;(5)-( a - b )6. (
∴
2
3
) x+y (3
=
,
3
4 x )
·
=
3
y ,
=
(3
20
,5
,
)= , 3=4,3=5,
9.
B
10.
(1)
4
;(2)
kn+2022.
∴(3,20)=
x
+
y
,
11.解
:∵
an-3 9
·
a2n+1
=
a3n-2,
第4
∴
课
(3
时
,4)+
幂
(
的
3,
乘
5)
除
=
(4
(3
)
,20) .
n
∴ n 3-2 . =16, 1. (1)9;(2)10 4;(3) b ;(4) a6.
12. ( ∴ 解 2) : l ( = o 1 g 6 ) a 2 M ,4 + ,6 lo ,6 ga . N =loga( MN ) .证明 : 设 logaM = b 1, 2 3 . . ( ( 1 1 ) )1 - . 0 1 8 ;( × 2 1 ) a 0 b - 2 5 ; ; ( ( 3 2 ) )5 - . b 0 3 1 ; × (4 1 ) 0 - -4 x . y 3;(5) a4.
logaN = b 2, 则ab 1= M , ab 2= N , 故可得MN = ab 1· ab 2 4. (1) 1 ;(2)0 . 000000201;(3)9 .
=
ab 1+b
2, 5.解 原
8
式 .
∴ b 1+ b 2=loga( MN ), 即 logaM +logaN =loga( MN ) . 6. : 7. = 8 - . 1+ 9 9 . +1= 1 9 0.
第2课时 幂的乘除(2) C B D D C
1 2 . . ( ( 1 1 ) ) 1 - 0 a 8 4 ; ( ; 2 (2 ) a ) a 6 4 ;( ; 3 (3 ) x ) 1 - 5 a ;( 6 4 ; ) ( x 4 2 ) n - ;( x 5 1 ) 6 y . 6n ;(6) bmn. 1 1 1 1 2 3 . . . ( 解 1) : 1 1 原 0 4 3 . 式 ;( = 2 a ) x 6 3 ÷ ; a (3 2 ) ÷ c a 2. 2 = a4 ÷ a2 = a2.
3.
(1)-2
b6;(2)6 x6.
15.
4
解
8
原 式
4. . :(1) =0;
5.
(1)2
6
;
.
(2)1
7
08
. (2)
原式
=2
x6.
8 9 . . C (1 ) x 10 20 D . ;( 2) 1 - 1 C a . 12;(3 1 )3 2 11 . ;(4) a25;(5) x18;(6) m6. 16.解 ∴3 : 2 ∵ · 3 3 2 4 · a+ 9 2 2 ÷ a+ 3 1 3 ÷ a+ 2 3 7 = a+ 3 1 4 = , 81,
C 5 250 72 a a 解得a .
13.解 x m ∴2+4+2-3-3=4, =3
: m (1) x ∵ =2 +2, 17.解 :(1)10 2022;10 2;
( ∴ ∵ ∴ 2 y y 2 ) 把 = = = 4 x ( x m = + - - 3 3 2 2 代 = ) , 2 + ( 入 2 3 m y ; ) = 2 + ( x 3 - , 2)2 +3, 得y =4 . 第5 1 ( ∴ 2 0 课 1 1 ) 7 0 时 由 , 5+ 题 x = 整 意 10 式 得 6 的 , x 即 乘 ∪ 5 法 5 + ( = x 1 2 ) = 3 6 ∩ , 解 17 得 , 则 x = 10 1 x . ×10 5 =10 23 ÷
14.解 :∵ a =2 55 =(2 5)11 =32 11, b =3 44 =(3 4)11 =81 11, c 1.
(1)8
b5;
(2)-15
a9;(3)6×10 6.
=
b
4 33
c
=(4
a
3
.
)11 =64 11, 2.
(1)-6
a3b7c2;(2)2 x2y4;(3)8 x7y3.
15. ∴ 解 > > 3.解 : 原式 =(-2×5×3)×10 3+2+2 =-3×10 8.
:(1)96; 4. 5. 6.
p q q A A C
(2)∵2=3,2=5,3=7,
∴2 p ⊕2 q =2 pq +2 p+q =(2 p ) q +2 p ×2 q =3 q +2 p ×2 q = 7. (1)16 a3b ;(2)- 7 5 a4b2c ;(3)- a4b3c2.
. 8. 9.a bc
第3 7+ 课 3 时 × 5= 幂 2 的 2 乘除(3) 10 C .解
:(1)
+ 原式 =
= -9
a6b3;(2) 原式
=-7
x4y5;(3) 原式
=
1.
(1)9
y2;(2)4 a4;(3)-8 y6;(4)16 x4y2;(5)25 x2y6;
4x5y5z5.
(6)6
.
4×10
5.
3
2.
(1)-
a6b3;(2)8 x6y9;(3)- a6nb3;(4) x4y2n+6. 11.解
:
由题知
,
S阴
=(
a
+2
a
+2
a
+2
a
+
a
)(1
.
5
a
+2
.
5
a
)-
3.
(1)2
x2ny6n
;(2)-12
a6.
2
a
×2
.
5
a
-2
a
×2
.
5
a
=22
a2(m 2),
4.解 : 原式 =0 . 125 10 ×8 10 ×8 1 =(0 . 125×8)10 ×8=1× ∴ 阴影部分的面积为 22 a2 m 2.
. 第6课时 整式的乘法(2)
8=8
5.
A
6.
D
1.
(1)2
x3
-4
x2
+6
x
;(2)6
a3
-9
a2
+3
a.
7. (1)9×10 12;(2)4 x4y2;(3)- a6b3;(4)64 x3y9; 2.解 : . (1) 原式 =2 x2 +5 x +3;
1
A"# 3
(2)
原式
=2
m2
-7
mn
+3
n2.
(2)
观察下面两列等式
:
3. 2 x2 - xy -6 y2 ①2*1=2 2 -1 2 =3; ①21=(2+1)(2-1)=3;
4. B 5. C ②3*2=3 2 -2 2 =5; ②32=(3+2)(3-2)=5;
6. (1)2 x3 - x2;(2)-8 ab +2 b3;(3)10 a2b -5 ab2 + ab ; ③4*3=4 2 -3 2 =7; ③43=(4+3)(4-3)=7;
(4)-2
x4
+
2x3
-
1x2. ④5*4=5 2 -4 2 =9; ④54=(5+4)(5-4)=9;
3 3 ……,
7. ( 解 2) :( 原 1) 式 原 = 式 8 m = 3n - 2 - 3 2 1 x 0 + m2n 3 2 3 x ; 2 -6 x3 +3 x5; ∴ + ∵ 1 2 ( n + 0 + 2 n 5 1 ) * ) ( n * 2 + n 0 1 2 = 4 - ( n n =2 ) + = × 1 2 2 ) n 2 0 - + 2 n 4 1 2 + . = 1 2 = n 4 + 0 1 4 , 8 ( n +1 + = 1 4 ) 0 n 49 = , ( n
(3)
原式
=2
a2
+
ab
-
b2
+2
a2
-3
ab
-2
b2
=4
a2
- ∴(2025*2024)4048
2
ab
-3
b2;
=40494048
(4)
原式
=2
x2
-8
x
-24-2
x2
+
x
+6=-7
x
-18
.
=2×4048+1
8.解 : 原式 =2 n2 +3 n -2-2 n2 =3 n -2, 当n = 1 3 时 , 原式 = 故 8 答 0 案 97 为 . :8097 .
=1-2=-1
. 第8课时 乘法公式(2)
9.
A
10.1 1.
(1)
原式
=4
a2
-
b2;(2) 原式
=9
b4
-49
x6y2.
11.m2n
25
mn2
2.解
:(1)
原式
=
a2
-4
b2
+4
b2
=
a2;(2) 原式
=4
x2
-
y2
-
72 +45 y2 x2 x2 y2.
12.解 =( : 6 ( a 1 2 ) S + 绿 3 a 化 b 面积 - = 2 a ( b 3 a - b - b 2) ) - (2 a ( a + 2 b + ) 2 a - b ( a + b + 2 b ) )2 3. 4 ( 解 2 : 0 + 原 24 式 2 - = = 1 5 2 ) 0 = 2 - 1 4 2 5 . -(2 024-1)(2024+1)=2024 2 -
= = 答 6 ( : a 5 绿 a 2 2 + 化 - a 的 b ab - 面 - b 积 2 2 b - 是 2 a ) ( 2 平 5 - a 方 2 2 a - 米 b ab - ; b - 2 2 b2) 平方米 ; 4 5 7 . . . B ( 解 1 ) : 1 6 原 - . D 式 9 x = 2 ( ; a (2 2 - )2 b a 2 2 ) - ( a 1 2 3 b + 2 b ; 2 (3 )= ) x a 4 4 - - 8 b 1 4 . .
(2) 当a =3, b =2 时 , 8.解 :(1) 原式 =(300+1)×(300-1)+1=300 2 -1+1
a2 ab b2
5 - -2 =90000;
=5×3 2 -3×2-2×2 2 (2) 原式 =112 2 -(112+1)×(112-1)=112 2 -112 2 +
.
=5×9-6-2×4 1=1
9. 10.
=45-6-8 D A
11.解 图 中阴影部分的面积为两个正方形的面积
=31, :(1) 1
∴
绿化面积为
31
平方米. 差
,
大正方形面积为a2, 小正方形的面积为b2, 所以图
第7课时 乘法公式(1) 中阴影部分的面积为a2 b2.
1 -
1.解
:(1)
原式
=
a2
-9;(2)
原式
=9
b2
-4;(3)
原式
=
图
2
中的阴影部分是长方形
,
长为a
+
b
,
宽为a
-
b
,
图
中阴影部分的面积为a b a b 图 和图 两
9
x2
- 1
1
6 ;(4)
原式
=
1
4
x2
-4
y2. 2
图中阴影部分面积相等 ,
(
等
+
量关
)(
系
-
a2 -
)
b
;
2 =
1
( a + b )
2
( a -
2 3 . . 解 解 : : ( 原 1) 式 原 = 式 - = 15 1 9 a2 x + 4 1 - 0 9 a y + 2 4 ;( . 2 ) 原式 =4 a2 -9 . b b 故 ) ) ; ; 答案为 : a2 - b2;( a + b )( a - b ); a2 - b2 =( a + b )( a -
4. A 5. A 6. C (2)①∵ a + b =4, a - b =2,
7. (1) 4x2 - y2;(2) x2y2 -1;(3)4 a2 -9 b2;(4)25- ∴ a2 - b2
9 a b a b
b2.
=(+ )(- )
4
=4×2
8.解 :(1) 原式 = 1a2 - 1b2;(2) 原式 =4 x2y2 -9 y2;(3) =8;
4 9 故答案为
原式 x2 y2. :8;
9. =3 +3 ②(2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 +1)…(2 1024 +1)
10 B .解 设这两个两位数的十位数字是x 则这两个两位 =(2-1)(2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 +1)…(2 1024 +1)
数 : 依次表示为 x x , =(2 2 -1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 +1)…(2 1024 +1)
∴( 这 10 两 x 个 +6 两 )2 位 - 1 数 ( 0 1 分 0 x + 别 + 6 是 4 ,1 ) 0 2 = + 和 2 4 20 , , . 解得x =5, = = ( ( 2 2 4 8 - - 1 1 ) ) ( ( 2 2 4 8 + + 1 1 ) ) ( … 2 8 (2 + 1 1 024 )… +1 (2 ) 1024 +1)
11. ∴ 解 根据新定义 可得 56 54 =(2 16 -1)…(2 1024 +1)
:(1) , 2048 .
=2 -1
(-4)*(-2)=(-4)2 -(-2)2 =16-4=12; 第9课时 乘法公式(3)
(-2)(-3)=
.
[(-2)+(-3)][(-2)-(-3)]= 1.
(1)9
x2
+6
xy
+
y2;(2)4 b2
-2
b
+
1.
(-5)×1=-5 4
2
3A"#
2.
(1)25
x2
-20
xy
+4
y2;(2)4 x2
+12
xy
+9
y2. 8.解
:
原式
=
a2
+11
b2, 当a
=-8,
b
=-1
时
,
原式
=
3.解
:
原式
=
y2
+6
y
+9-9+6
y
-
y2
=12
y.
75
.
4. D 5. D 6. B 9. (1) 原式 =( x + y )2 +6( x + y )+9= x2 + y2 +2 xy +
7.
(1)4
a2
+20
ab
+25
b2;
6
x
+6
y
+9;(2)
原式
=[
x
+(
y
-3)][
x
-(
y
-3)]=
(2)16 x2 -24 xy +9 y2; x2 -( y -3)2 = x2 - y2 +6 y -9 .
(3) 1 9 -2 b +9 b2; 10. ( 解 2) : 1 ( 6 1) ( a 【 - 解 b 析 )2 】 ,2 根 ab 据 ; 题意 , 得 ( a - b )2 =4,2 ab =12,
8 9 . . D ( ( 解 ∴ 4 2 a ) ) : 4 2 ( ∵ 1 m + a ) b 2 2 ∵ + 2 + a = 4 b m + 2 ( a b = + + = 1 1 b 0 . - ) , a 2 4 b - , a = 2 b a 3 b = , = 3 1 , 6-2×3=10; ( ∵ ∴ ∴ a 3 a 2 ) 正 图 2 由 + 3 方 a ( b b 2 阴 形 2 ) = 知 影 A ( a a a , 部 B b 2 - 分 + 的 b b 面 ) 面 2 b 2 = 积 + 2 积 1 2 为 6 a 之 b ( , a a a 和 = b 2 + 4 为 = 2 + b 6 1 b 1 6 ) , 2 2 ( . 2 = a 1 + 6 b a , ) 2 -3 a a 2 b -3 b b 2 2 =
∴ a ( a - b b )2 = a . 2 + b2 -2 ab =10-2×3=4, 2 5 ab - + ( a2 + + 4 b2)= + 5 2 ×6 - - 3 16= - 1 3 4 . =- +5 - =
10 ∴ .解 - :(1 = )∵ ± a 2 - b =1, a2 + b2 =17,( a - b )2 = a2 + b2 - 11.解 :(1) 原式 = x +x 1 2 -4 x ·x 1 =3 2 -4=5;
ab
2
∴1 2
,
=17-2 ab , (2)
原式
=
x2
+x
1
2
2
-2
x2·x 1
2=
x
+x
1 2
-
解得
根
ab
据
=
题
8
意
;
可得 2
x
·x
1 2
-2
x2·x 1
2=47
.
(2) ,
第11课时 整式的除法
图中阴影部分的面积
=
a2
-2×
1
2
b
(
a
-
b
)=
a2
+ 1. (1)2×10 3;(2)6 y +5;(3)2 x + y.
b2 ab.
a
-
b
2.
(1)4
a2x3;(2) 1xy
;(3)-5
x2
-3
x
+4;(4)-3
x2y2
+
∵ + =7, 4
∴( a + b )2 =7 2, 5 xy - y.
即a2 +2 ab + b2 =49 . 3.解 : 原式 =( x2 +2 xy + y2 -2 xy - y2 -8 x )÷2 x =
ab
∵ ∴ 即 a a 2 2 + = + b 9 b 2 , 2 + = 2 31 × , 9=49, 4. ( 解 x2 : - 原 8 式 x ) = ÷2 [ x x2 = + 1 2 4 x xy -4 + . 4 y2 -(9 x2 - y2)-5 y2]÷
∴ 图中阴影部分的面积 =31-9=22; (-4 x )=(-8 x2 +4 xy )÷(-4 x )=2 x - y.
(3) 令 2025- x = m , x -2024= n , ∵(2 x +1)2 +| y -2|=0,
则m + n =2025- x + x -2024=1 . ∴2 x +1=0, y -2=0, 解得x =- 1 , y =2,
x x 2
∵(2025- )(-2024)=-6,
mn 原式 1 .
∴ =-6, ∴ =2× - -2=-3
则 (2025- x )2 +( x -2024)2 = m2 + n2 =( m + n )2 - 5. 6.a2 2
2 mn =1 2 -2×(-6)=13 . B 8
第1
故
0课
答
时
案 为
乘
:13
法
.
公式(4)
7.
2
(
x
1
2
)8
+
x
x
4;
;
(
(
2
6
)
)
-
-
4
9
y
a2
;
+
(3
1
)
8
4
a
x
-
3y
27
;(
.
4)- 1
3
+2 x2;(5)3 x4 -
1. ( 解 2) :( 原 1) 式 原 = 式 (1 = 00 (1 - 00 2) + 2 3 = ) 1 2 0 = 0 1 2 0 - 0 4 2 0 + 0 6 + 00 4 + = 9 9 = 60 1 4 0 . 6 09; 8. ( 解 3 x : 2 原 - 式 3 x = y ) ( x ÷ 2 3 x -2 = x x y - + y y , 2 当 +2 x x = 2 - 1, x y y = - - y2 2 ) 0 ÷ 23 3 x 时 = ,
2. (1)4 x2 +4 xy + y2 -4 x -2 y +1;(2)16 m4 -8 m2n2 + n4. 原式 =1-(-2023)=2024 .
3 4 . . x 解 式 2 - : 原 y2 式 + = 2 2 y a z 2 + - z 4 a 2. + . 4+ a2 -4 a =2 a2 +4, 当a =2 时 , 原 9 11 . A .解 1 :( 0 1 . ) 4 x ab n + 3 xn-1 + xn-2 +…+ x +1;
=2×2+4=12 (2)2 2023 +2 2022 +…+2+1=(2 2024 -1)÷(2-1)=
5. 6.
D C 2 2024 -1;
7.解 :(1) 原式 =9 a2 +6 ab + b2;(2) 原式 = 1x2 -2 xy + (3)∵1+ x + x2 +…+ x2023 =0,
4
y2;(3) 原式
=
x2
+2
xy
+
y2;(4) 原式
=
4
(200-1)2
=
∴
x
x2024
=(
x2024
-1)+
.
1=(1+
x
+
x2
+…+
x2023)·
40000-400+1=39601;(5) 原式 =(100+1)2 +(100 第1 ( 2课 -1 时 )+1 整 = 式 0 的 +1 乘 = 除 1 复习
-1)2 =10000+200+1+10000-200+1=20002; 1. 2. 3. 4. 5.
(6) 原式 = 30- 1 4 2 =30 2 -2×30× 1 4 + 1 4 2 = 6. B (1 )3 xy C ; (2) D x 2 + D x -6 A ;( 3)36 x10y16;(4) x2 -49;
1 1. (5)4
a2
+4
ab
+
b2.
900-15+
16
=885
16
7.
(1)3
x4
-6
x3
+3
x2;(2) x2
-5
x
-14;(3)-4
x3y
+2
y4;
3
A"# 3
.
(4)1;(5)9 阴影部分的面积为1mn
∴ =12,
8.1 9.
3
或
-5 故答案为 .
2
4 :12
10.
(1)6
a4
+2
a2;(2)-2 x2
-5
x
-3
. 第二章 相交线与平行线
11.解
:
原式
=4-
a2
+
a2
-5
ab
+3
ab
=4-2
ab
,
当a
=3,
b 第13课时 两条直线的位置关系(1)
12. = 解 - : 原 1 4 式 时 = , x 原 2 式 -2 = x 4 y + + 3 2 y2 = - 1 2 3 1 x . 2 +9 xy +2 x2 -8 y2 = 1 3 . . C 解 为 9 : 2 0 设 ° . 6 这 - 0 x ° 个 . 角 由 的 题 度 意 数 , 得 是 (1 x 80 , ° 则 - 它 x 的 )- 补 2 角 (9 为 0° 1 - 8 x 0° ) - = x 70 , ° 余 , 角 解
7 xy -7 y2, 当x =- 1 , y =2 时 , 原式 =-2-28= 得x =70° .答 : 这个角的度数是 70° .
7 4. 5. 6.
. 105 C 100
-30 7. AOF AOC 或 BOD
13.解
:
原式
=(
a2
+4
b2
+4
ab
-2
a2
-3
ab
+
a2
-
b2)÷3 b
=
(1)
.
∠ ;(2)∠ ∠ ;(3)76°,104°,
a 104°
(3 b2 + ab )÷3 b = b + 3 .当a =-3, b =4 时 , 原式 = 8 9 . . 3 解 4° EOD AOF
4+ -3 =4-1=3 . :( 设 1)∠ AOD , x ∠ 则 E ; OF x.
3 (2) ∠ = , ∠ =5
14.解 a b ab AOD BOC对顶角相等
:(1)∵ +2=1, =-1, ∵∠ =∠ ( ),
∴( a +2 b )2 = a2 +4 ab +4 b2 =1, ∴∠ EOC =90°- x ,
∴
a2
+4
b2
=1-4
ab
=1+4=5; ∴∠
EOF
=∠
EOC
+∠
COF
=90°+90°-
x
=5
x
,
即
6
x
(2)∵
a2
+4
b2
=5, =180°,
解得x
=30°
.
∴( a -2 b )2 = a2 -4 ab +4 b2 =5-4 ab =5+4=9 . ∴∠ AOD =30° .
15.解 :(1) 大正方形的面积为 (2 a +3)2 =4 a2 +12 a +9, 10. A
小正方形的面积为 (2 a +3- a )2 =( a +3)2 = a2 +6 a + 11.解 :(1)①∵∠ AOB与 ∠ AOC互为 “ 兄弟角 ”,∠ AOB
9,
则阴影部分面积为
(4
a2
+12
a
+9)-(
a2
+6
a
+9)= =
α
(15°<
α
<45°),
3
a2
+6
a
; ∴∠
AOB
+∠
AOC
=120°,
即
∠
AOC
=120°-
α.
(2) 当a =2 时 , 原式 =3×2 2 +6×2=24 . ∵∠ AOC =∠ BOC +∠ AOB ,
16.解 :(1)(-2 a2 +36 b +162)cm 2; (2)232cm 2. ∴∠ AOB = ∠ AOC - ∠ BOC =120°- α -60°=
17.解 图 大正方形的边长为a b因此面积为 α.
:(1) 1 + , 60°-
( a + b )2, 图 1 也可以看作 4 个部分的面积和 , 即a2 + ∵∠ AOB = α (15°< α <45°),
2 ab + b2, 因此有 ( a + b )2 = a2 +2 ab + b2; ∴60°- α = α ,
图 中阴影部分是边长为a b的正方形 因此面积 解得α .
2 - , =30°
为 ( a - b )2, 阴影部分也可以看作边长为a的正方形 故答案为 :30;
减去空白部分的面积 , 即a2 -2 ab + b2, 因此有 ( a - b )2 ② 如图 ,∵∠ AOB与 ∠ AOD互余 ,
=
a2
-2
ab
+
b2;
∴∠
AOD
=90°-∠
AOB
=90°-
α.
图 左图中阴影部分是长为a b宽为a b的长方
3 + , - AOE 1 AOD
形 , 因此面积为 ( a + b )( a - b ), 图 3 右图中阴影部分 ∵∠ = 3 ∠ ,
可以看作两个正方形的面积差 , 即a2 - b2, 因此有 ∴∠ AOE =30°- 1α ,
(
a
+
b
)(
a
-
b
)=
a2
-
b2;
AOM A
3
OE EOM
故答案为 :( a + b )2 = a2 +2 ab + b2,( a - b )2 = a2 - ∴ A ∠ OC = ∠ α AO + E ∠ ,
2
ab
+
b2,( a
+
b
)(
a
-
b
)=
a2
-
b2; ∠ =120°- ,∠ =30°-
设 x ax b则a b ab x x 1α
(2) 7- = ,-1= , + =6, =(7- )( ,
3
-1)=4,
所以 (7- x )2 +( x -1)2 ∴∠ AOM =30°- 1
3
α +∠ EOM ,
= a2 + b2 ∠ COM =120°- α - ∠ EOM -
=( a + b )2 -2 ab 1α 2α EOM.
30°+ =90°- -∠
=36-8 3 3
=28, ∵∠ COM =3∠ AOM ,
故答案为
:28; 2α EOM 1α EOM
设AC mBC n则m n AC BC AB ∴90°- -∠ =330°- +∠ ,
(3) = , = , + = + = =10, 3 3
S
1+
S
2=
m2
+
n2
=52, 解得 EOM 1α
所以 2 mn =( m + n )2 -( m2 + n2)=100-52=48, ∠ = 12 ;
即mn
=24, (2)∵∠
AOB与
∠
AOD 互余
,∠
AOB
=
α
(15°<
α
<45°),
4
3A"#
AOD α 第15课时 探索直线平行的条件(1)
∴∠ =90°- ,
由 可得 AOC α 1. 2.
(1) ∠ =120°- , ∠4 B
当OD在OA上方时 COD AOC AOD 3.AD BC 同位角相等 两直线平行
∴ ,∠ =∠ -∠ ,
4.经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行
=30°; ,
当OD在OA下方时 5. 6.
, B A
COD AOC AOD α α 7.解AC BDAE BF.
∠ =∠ +∠ =90°- +120°- = : ∥ , ∥
α. 已知
210°-2 ∵∠1=35°,∠2=35°( ),
故答案为 :30° 或 210°-2 α. ∴∠1=∠2,
第14课时 两条直线的位置关系(2) AC BD 同位角相等 两直线平行 .
∴ ∥ ( , )
1. 12,5 2.略 又 ∵ AC ⊥ AE ( 已知 ),
3.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中
,
垂线段
∴∠
EAC
=90°(
垂直的定义
),
最短 EAB EAC .
4. D 5 . C 6.略.
∴
同
∠
理可得 ,
=
∠
∠
FBG =
+
∠
∠
F
1
B
=
D
1
+
25
∠
°
2=125°,
7.解
:
垂直.
∴∠
EAB
=∠
FBG
,
∵ OM平分 ∠ AOC ( 已知 ), 8. ∴ 证 A 明 E ∥ BF ( 同位角 对 相 顶 等 角 , 两 相 直 等 线平行 ) .
∴∠ MOC = 1 ∠ AOC ( 角平分线的定义 ), 又 :∵∠2=∠ 已 3( 知 ),
2 ∵∠1=∠2( ),
同理得 NOC 1 BOC ∴∠1=∠3,
∠ = ∠ , AB CD 同位角相等 两直线平行 .
2 ∴ ∥ ( , )
9.解
∴∠ MON = ∠ MOC + ∠ NOC = 1 (∠ AOC + :∵∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°,
BOC
2 ∴∠2=∠3,
∠ ), a b.
又点O是直线AB上一点 已知 ∴ ∥
∵ ( ), 10. 11.
∴ ∴ ∠ ∠ A M O O C N + = ∠ 90 B ° O , C =180°, 12. D 解 等 : ; b 同 ; 同 位 30 位 角 ° 相 角 等 相 , 等 两 , 直 两 线 直 平 线 行 平 ; a 行 ; c ; ; ∠ 平 5 行 ; 同 于 角 同 的 一 补 条 角 直 相 线
∴
OM
⊥
ON. 的两条直线平行.
8.解
:(1)70°; 13.解
:
ABC
;
ACB
;
DB C
;
ECB
;
DBF
;
F
;
ECB
;
同位角相
(2) OA ⊥ OB.证明 : 设 ∠ AOE =2 α °, 则 ∠ AOF =180°- 等 , 两直线平行.
AOE α. 第16课时 探索直线平行的条件(2)
∠
∵ OC平
=
分
18
∠
0°
A
-
O
2
F
°
, 1. ∠2,∠5
∴∠
COF
=
1
2 ∠
AOF
=90°-
α
°
. 2. (
和
1) 内
AC
错
E
, AD 、 B
和
C , AC ;(2) 内错 , AB 、 CD , AC ;(3)∠3
DOE COF α. ∠ ,∠3 ∠2
∴∠ =∠ =90°-° 3.解AB CD.理由
AOE BOD α : ∥ :
∵∠ =2∠ =2°, AC平分 DAB
BOD α. ∵ ∠ ,
∴∠ =° .
BOE DOE BOD α α α. ∴∠1=∠3
∴∠ =∠ -∠ =90°-°-°=90°-2°
AOB BOE AOE α α .
∵∠1=∠2,
∴
O
∠
A OB
=
.
∠ +∠ =90°-2°+2°=90° ∴∠2=∠3,
∴ ⊥ AB CD.
9.解 OC OD.理由 ∴ ∥
:(1) ⊥ : 4. 5. 6.
∵ AO A ⊥ OC OB , BOC . 7. D 证 明 :∵ D ∠1= D ∠ C 已 M 知 N ( 对顶角相等 ),
∴∠ +∠ =90° ∠1+∠2=180°( ),
∵∠ BOD =∠ AOC , ∴∠2+∠ CMN =180°( 等量代换 ),
∴∠ BOC +∠ BOD =90° . ∴ AB ∥ CD ( 同旁内角互补 , 两直线平行 ),
( ∴ 2 O ) C ∠ A ⊥ O O D D + ; ∠ BOC =180° .理由 : ∴ ∵ ∠ ∠ A A = = ∠ ∠ C FD ( 已 C ( 知 两 ) 直 , 线平行 , 同位角相等 ),
∵∠ AOC +∠ BOC =90°,∠ BOC +∠ BOD =90°, ∴∠ FDC =∠ C ( 等量代换 ),
AOC BOC BOC BOD . AF CE 内错角相等 两直线平行 .
∴∠ +∠ +∠ +∠ =180° ∴ ∥ ( , )
∵∠
AOC
+∠
BOC
+∠
BOD
=∠
AOD
,
8.解
:
如图
,
CD即为所求.
AOD BOC
∴∠ +∠ =180°;
成立.理由
(3) :
AOD BOC COD AOB
∵∠ +∠ +∠ +∠ =360°,
AOD BOC .
∴∠ +∠ +180°=360°
AOD BOC .
∴∠ +∠ =180°
5
A"# 3
9.
C 1 BEF .
10.证明 :∵ BE平分 ∠ ABD , DE平分 ∠ BDC ( 已知 ), ∴∠2= 2 ∠ =62°
∴∠ ABD =2∠1,∠ BDC =2∠2( 角平分线定义 ), ∵ AB ∥ CD ,
D .
∵ ∴ ∠ ∠ 1 AB + D ∠ + 2= ∠ 9 B 0 D ° C , =2(∠1+∠2)=180°, 3. ∴ (1 ∠ ) 证 = 明 ∠ : 2= ∵ 62 ∠ ° E NC + ∠ CMG =180°,∠ FMB =
∴ AB ∥ CD ( 同旁内角互补 , 两直线平行 ) . ∠ CMG ,
11. (1) 证明 :∵ EF ⊥ AB , ∴∠ ENC +∠ FMB =180°,
∴∠ EFA =∠ EFB =90°, ∴ DE ∥ FG ,
∵∠ θ 1=∠ θ 2, ∴∠3=∠ BFG ,
∴∠ α =∠ β; ∵ AB ∥ CD ,
(2) 解 : 由 (1) 知 ∠1=∠2,∠3=∠4, ∴∠ BFG =∠2,
∵ AB ∥ CD , ∴∠2=∠ 【 3 解 ; 析】 AB CD
∴∠2=∠3, (2)34° ∵ ∥ ,
A ACD B
∵∠5=180°-∠1-∠2,∠6=180°-∠3-∠4, ∴∠ +∠ =180°,∠1=∠ ,
A ACB
第1 ∴ ∴ 7 m 课 ∠5 ∥ 时 n = . ∠ 平 6, 行线的性质(1) ∵ ∴ ∠1 ∠ ∠ = 1 1 + = 80 7 ° ∠ 0° , 1 解 + + 得 ∠ 70 A ∠ ° C , 1 B ∠ = + 34 ∠ ° 1 , = = 4 1 2 8 ° 0 , °, 即 ∠1+70°+42°+
1. 2. B .
3. C 解 :∵ B 直 线a ∥ b ,∠3=150°, 4.两 ∴ 直 ∠ 等 线 = 量 平 ∠ 代 行 1 换 , = 内 34 错 ° 角 相等 ; 两直线平行 , 同位角相等 ;
∴ ∴ ∠ ∠ 1 2 = =1 ∠ 80 4 ° , - ∠5 ∠ = 5= ∠ 3 3 0° = . 150°, 5. ∠ 证 4 明 ; :∵∠ C = ∠1,
CF BE
∵∠1=∠2, ∴ ∥ ,
∴∠4=∠2=30° . ∴∠3=∠ EGD.
4. D 5. B 6. D 7. 68° ∵ BE ⊥ DF ,
8.证明 :∵∠1=∠2, ∴∠ EGD =90°,
∴ DE ∥ AC , ∴∠3=90°,
∴∠ E =∠ CBE. ∴∠ C +∠ D =90° .
∵ AD ∥ EB , ∵∠2+∠ D =90°,
∴∠ A =∠ CBE , ∴∠ C =∠2,
9 11 . A ∴ .解 ∠ 1 : E 0 内 = . 错 A ∠ 角 A 相 . 等 , 两直线平行 ; 两直线平行 , 内错角相 6. ∴ 证 ∴ A A 明 B B : ∥ ∥ ∵ C C ∠ D D B ( . + 同 ∠ 旁 B 内 CD 角 = 互 1 补 80 , ° 两 ( 已 直 知 线 ) 平 , 行 ),
12.
等
解 ∵ ∴ ∴ ∴ A A
;
: ∠ ∠ D D
已
∠ 1 A 1 ⊥ ∥ D
知
= = C B E
;
∠
B
C F ∠ = 4
;
2 , . . E ∠
同
. F E 理
位
F ⊥ 由 C
角
B : C =
相
9 ,
等
0°
,
.
两直线平行.
7.
∴
∵ ∴ ∴ ∴ 解 A
∠
∠ ∠ ∠ : D (
B
B E D 1 ∥ C )
=
= = E B ∵
∠
∠ ∠ E = ∠
D
D D ( B ∠
C
F 内 ( A
E
D E 已 错 M
(
( ( 知
两
两 等 角 + )
直
直 量 相 , ∠
线
线 代 等 BA
平
平 换 , 两 N
行
) 行 , 直 =
,
,
同
内 线 18
位
错 平 0°
角
角 行 ,∠
相
相 ) B ,
等
等 A
)
) M
.
. ∶∠ BAN
∵∠3=∠ C , =2∶1,
∴ GD ∥ AC. ∴∠ BAN =180°× 1 =60°,
. 3
∴∠2=∠4 故答案为
:60;
∵∠1=∠4, 设A灯转动t秒 两灯的光束互相平行
. (2) , ,
∴∠1=∠2 当 t 时 如图
第18课时 平行线的性质(2) ① 0< <90 , 1,
PQ MN
1.证明 FG AC ∵ ∥ ,
:∵ ∥ , PBD BDA
ACF ∴∠ =∠ ,
∴∠1=∠ , AC BD
∵ ∥ ,
∵∠1=∠2, CAM BDA
ACF ∴∠ =∠ ,
∴∠ =∠2, CAM PBD
DE FC. ∴∠ =∠ ,
∴ ∥ t t
2.解 AB CD EFD ∴2=1·(30+ ),
:∵ ∥ ,∠ =56°, 解得t
BEF EFD . =30;
∴∠ =180°-∠ =124° 当 t 时 如图
② 90< <150 , 2,
∵∠1=∠2,
6
3A"#
PQ MN 【解析】 如图 过点
∵ ∥ , (2)150° 2,
PBD BDA P作PQ AB.
∴∠ +∠ =180°, ∥
AC BD AB CD
∵ ∥ , ∵ ∥ ,
∴∠ CAN =∠ BDA , ∴ PQ ∥ AB ∥ CD ,
∴∠ PBD +∠ CAN =180°, ∴∠ A +∠ APQ =180°,∠ D +
∴1·(30+ t )+(2 t -180)=
∠
DPQ
=180°
.
1 解 综 80 得 上 , t 所 = 述 110 当 . t 秒或 秒时 两灯的光束互相 ∵ ∴ ∠ ∠ A AP = Q 15 = 0 3 ° 0 , ° .
平行 , =30 110 , ∵∠ APD =60°,
; DPQ
BAC和 BCD关系不会变化. ∴∠ =30°,
( 理 3) 由 ∠
:
设灯A射 ∠ 线转动时间为t秒
,
∴∠
解
D =
如
18
图
0°-∠
过
D
点
P
P
Q =
作
1
P
80
Q
°-30°=150°;
CAN t (3) : 3, ∥
∵∠ =180°-2, AB
BAC t t ,
∴∠ =60°-(180°-2)=2-120°, AB CD
又 ABC t ∵ ∥ ,
∵∠ =120°- , PQ AB CD
BCA ABC BAC t 而 ∴ ∥ ∥ ,
∴∠ =180°-∠ -∠ =180°- , α BPQ γ DPQ
ACD ∴ +∠ =180°,=∠ ,
∠ =120°, BPQ α.
BCD BCA t t ∴∠ =180°-
∴∠ BAC =12 B 0° C - D ∠ =120°-(180°- )= -60°, ∵ β =∠ BPQ +∠ DPQ ,
∴ 即 ∠ BAC ∶∠ BCD =2∶1, ∴ β =∠ BPQ + γ ,
∠ BAC = 和 2∠ BCD的 , 关系不会变化. ∴ β =180°- α + γ , 即α + β - γ =180° .
∴∠ ∠ 第三章 概率初步
第19课时 相交线与平行线复习
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
第20课 时 感受可能性
C C A D 28° 20° ①②
8. 9. 或 10. 1. 2. 3.
76° 60° 120° 56° D D B
11.解 :∠ ADE =∠ ABC , 理由 : 4.解 : 不能.因为摸球次数 3 次太少 , 应做大量重复 ( 摸
BE ACFG AC 球 试验 才能判断哪种颜色的球数量较多.
∵ ⊥ , ⊥ , ) ,
BEC FGC 5. 6. 7. 8. 9. 10.
∴∠ =∠ =90°, A D D D ①③②④ 6
BE FG 11.解 可能发生 也可能不发生 是不确定事件
∴ ∥ , :(1) , , ;
. 一定不会发生 是不可能事件 可能发生 也可
∴∠2=∠3 (2) , ;(3) ,
又 能不发生 是不确定事件 可能发生 也可能不发
∵∠1=∠2, , ;(4) ,
生 是不确定事件.
∴∠1=∠3, ,
∴
DE
∥
BC
,
12.解
:(1)
没有.
(2)
有
,
事件E.
(3)
事件F.
(4)
事件A和
ADE ABC. 事件B 事件C和事件D发生的可能性相等.
∴∠ =∠ ,
12.证
∴
明
∠2
:∵
=
A
∠
C
A
∥
C
D
D
E
.又
,
∠1=∠2, 1
第
. B
21 课
【解
时
析 】
频
按
率
照
的
事
稳
件
定
发
性
生
(1
的
)
可能性大小 , 从高到低排
∴∠1=∠ ACD , 列为 ④①②③,
13. E 解 ∴ A 作 : B 可 E ∥ 以 F C 得 D A 到 . B AB ∥ CD , 如图 , 过点 2. 故 解 选 :(1 :B ) 作 . 折线图可得 :
∥ ,
BEF B.
∴∠ =∠
BED B D
∵∠ =∠ +∠ ,
D
∴∠2=∠ ,
CD EF.
∴ ∥
EF AB
∵ ∥ ,
AB CD.
∴ ∥
14. 【解析】 如图 过点P作
(1)65° 1,
PQ AB.
∥
AB CD
∵ ∥ , 根据上表可得 随着试验次数的增多 则其频率越
PQ AB CD (2) : ,
∴ ∥ ∥ , 来越接近
∴∠ A =∠ APQ ,∠ D =∠ DPQ. 张卡 20 片 % 中 ; 有 张是 的倍数 故估计出现 的
∵∠ A =30°,∠ D =35°, (3)20 , 6 3 ; 3
APD APQ DPQ A D 倍数的机会为6 .
∴∠ =∠ +∠ =∠ +∠ =30°+ =30%
20
35°=65°; 3. 4.春联 5. 蓝 6.
C 3, ③
7
A"# 3
7.解 . 根据图表可得 从这批产品中 任意抽取一个 它是
:(1)8÷40=0200; (3) , , ,
. 合格品的概率约为 .
22÷80=0275; 0935,
. 故答案为 .
29÷120≈0242; :0935;
. 结果很可能会不一样 但随着抽取产品数量的增
42÷160≈0263; (4) ,
51÷200=0 . 255; 加 , 它们的合格率都会稳定在 0 . 935 左右.
59÷240≈0 . 246; 10.解 :(1) a =24÷100=0 . 24, b =300×0 . 25=75,
70÷280=0 . 250; 故答案为 :0 . 24,75;
. 折线统计图如图所示
81÷320≈0253; (2) :
.
89÷360≈0247;
.
102÷400≈0255;
统计图如图
(2) ;
取中数学课本的频率随着取书次数的增加 越来越
(3) ,
接近 .
025;
能 用扑克牌 每一种只取一张 即能替代.
(4) , , , 有四张完全相同的卡片 分别标有数字
(3) , 1,2,3,4,
小明随机抽取一张 抽到数字为 的概率是多少.
, 1
第22课时 频率的稳定性(2)
1.
C
2.解 根据题意 得8+2 . 解得n .经检
:(1)7;(2) ,n =04, =23
+2
验n 是方程的解.
=23
3. 4.. 5. . . 6.
D 08 (1)0949;(2)095 C
7.解 9 7
:(1) , ;
1025
设需要y个标有 元的小球改为 元 由题意得
8.解 . . (2) 2 8 , ,
:(1)94÷100=094,191÷200=0955, y +14 2 解得y 因为原来有 个标有 元的
. . = , =6, 27 2
473÷500=0946,954÷1000=0954, 50 5
. . 小球 所以需要将 个标有 元的小球改为标为 元
1906÷2000=0953,4748÷5000=09496, , 6 2 8
故答案为
:0
.
94,0
.
955,0
.
946,0
.
954,0
.
953,0
.
9496;
的小球.
麦粒发芽频率的折线统计图如图所示 第23课时 等可能事件的概率(1)
(2) :
1. 2.1 3.1 1 1 5 2
A , , ,0, ,
2 6 2 2 6 3
4. 5. 6. 7.
B C A A
8.3 9.1 2 4
, ,
7 7 7 7
10.解 个 个
:60×35%=21( ),60×25%=15( ),60-21-
个 则红色弹珠有 个 蓝色弹珠有 个
15=24( ), 21 , 15 ,
白色弹珠有 个.
随着实验麦粒数的增加 其发芽的频率越稳定在 24
(3) , 11. 12.
. 左右 因此 这种麦粒的发芽的概率为 . . A C
095 , , 095
9.解
:(1)
a
=
47
×100%=94
.
0%,
b
=200×93
.
5%=
13. (1) 1
8
;(2)0;(3) 3
8
;(4) 1
2
.
50
187, 14.解 :(1)0;(2) 3 ;(3) 设取走了x个红球 , 根据题意得
故答案为 . 5
:940%,187; x
产品合格率变化的拆线统计图如图 4+ 4 解得x .答 取走了 个红球.
(2) ; = , =4 : 4
10 5
第24课时 等可能事件的概率(2)
1.
A
2.解 摸到红球与摸到白球的可能性相等 且x y
:(1)∵ , +
=8,
x y
∴ = =4;
设取走x个白球 放入x个红球 则口袋中现在有
(2) , ,
白球 x个 红球 x个
(4- ) , (4+ ) ,
x
根据题意得 4+ 7
, = ,
8 8
8
3A"#
解得x 第26课时 概率初步复习
=3,
答 取走 个白球. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
: 3 D C A A C A B A D
3. 4. 5. 6. 7.1 8.3 9.2 10. 1 1 1 .11. 12.1
B B D A (1) ;(2) ;(3) ;(4)0 4
4 4 5 6 2 3 3
10.解 因为小尹同学从中随机抽取一张共有
:(1) 4+16+ 13. 14.1 15.π
种 等可能的结果 2
20=40( ) ,
16.解 不会
2
同意.因
8
为转盘中有两个 一个 这说明小
所以小尹同学抽到甲票的概率是P 4 1 : 3, 2,
= = ;
40 10 丽去的可能性是2 1 而小芳去的可能性是1
因为小尹同学从中随机抽取一张共有 = , ,
(2) 4+16+20 6 3 6
种 等可能的结果 其中小尹同学抽到甲票或乙 所以游戏不公平.
=40( ) ,
票的结果有 种 17.解 份数之和为
4+16=20( ), :(1)∵8,2,6,1,3,5 6,
所以小尹同学抽到甲票或乙票的概率是P = 2 4 0 0 = ∴ 转动圆盘中奖的概率为 : 6 8 = 3 4 ;
1. (2) 获得一等奖的概率是1 ,
2 8
11.解
:(1)∵
红球
6
个
,
白球
10
个
,
黑球若干个
,
从中任
∴“
五一
”
这天有
1800
人参与这项活动
,
估计获得一
意摸出一个白球的概率是1
,
等奖的人数为
:1800×
1
=225(
人
)
.
3 8
第四章 三角形
盒子中球的总数为 1 个
∴ :10÷ =30( ), 第27课时 认识三角形(1)
3
故盒子中黑球的个数为 个
:30-6-10=14( ), 1.
8,3,2;∠
OBC
,
OB 2.
40°
∴ 任意摸出一个球是黑球的概率为 : 14 = 7 ; 3.解 : 由题意得 ∠ C =180°-(∠ A +∠ B )=80° .
30 15 C B
∵∠ =2∠ ,
(2)∵ 任意摸出一个球是红球的概率为1 , ∴∠ B =40°,
4
A .
∴ 盒子中球的总量为 :6÷ 1 =24( 个 ), 4. ∴∠ 5. =60 6 ° . 7. 8.
4 B A B C 40°
可以将盒子中的黑球拿出 个 9.解 A
∴ 30-24=6( ), :∵∠ =30°,
a . B .
∴ =6 ∴∠ =90°-30°=60°
12.解 因为红球 个 白球 个 黑球 个 CD AB
:(1) 3 , 5 , 7 , ∵ ⊥ ,
所以盒子中球的总数为 个 DCB B .
:3+5+7=15( ), ∴∠ =90°-∠ =30°
10.解 BFC
所以任意摸出一个球是黑球的概率为7 :∵∠ =113°,
; BFD .
15 ∴∠ =180°-113°=67°
(2)
因为任意摸出一个球是红球的概率是1
, ∵
CD是AB边上的高
,
4 BDF
∴∠ =90°,
所以盒子中球的总量为 1 个 DBF .
:3÷ =12( ), ∴∠ =90°-67°=23°
所
所
以
以
可
m
以将
.
盒子中的白球拿出 4 15-12=3( 个 ), ∵
∴
B
∠
E
CB
为
F
∠
=
A
∠
BC
DB
的
F
平
=2
分
3°
线
,
,
第25课时 =3 等可能事件的概率(3)
∴∠
BCF
=180°-113°-23°=44°
.
11.解 ACD BCD是 开心三角形 理由
1.5
9 ∵
:
∠
(1
AC
)△
B
=90°
、
,
△
∠
A
=60°
“
.
”, :
B
2.解 1 7. ∴∠ =30°,
:(1) ;(2) CD AB
8 16 ∵ ⊥ ,
3.1 4. 5. 6. 7.1 8.. 9. ∴∠ ACD =30°,∠ BCD =60° .
10. 3 解 B A B 5 096 B 在 △ ACD中 ,
: 小 (1 明 )∵ 购 1 物 80<20 元 0, 不能获得转动转盘的机会 ∵∠ A =60°,∠ ACD =30°,
∴ 小明获得 1 奖 80 金的 , 概率为 , ∴∠ A =2∠ ACD ,
∴ 小德购物 元 能获得 0; 一次转动转盘的机会 获 ∴△ ACD为开心三角形 ”;
(2) 210 , , 在 BCD中
△ ,
得奖金的概率是6 3 BCD B
= ; ∵∠ =60°,∠ =30°,
16 8 BCD B
(3) 设需要将x个无色区域涂上绿色 , 则有 x 1 + 6 3 = ∴ ∴ ∠ △ 若 BCD AC = 为 D 2 开 ∠ 是 心 , 三 开 角 心 形 三 ” 角 ; 形 由于点D是线段AB
1 解得x 所以需要将 个无色区域涂上绿色. (2) △ “ ”,
, =1, 1 上一点 不与AB重合
4 ( , ),
9
A"# 3
则 A ACD或 ACD ADC或 ADC
∠ =2∠ ∠ =2∠ ∠ =
ACD.
2∠
当 A ACD时 ACD 1 A
∠ =2∠ ,∠ = ∠ =30°;
2
当 ACD ADC时 ACD
∠ =2∠ ,∠ =80°;
当 ADC ACD时 ACD .
∠ =2∠ ,∠ =40°
综上
,∠
ACD的度数为
30°
或
40°
或
80°
. 2.解
:
如图所示
:
第28课时 认识三角形(2)
1. 能 不能 能 不能.
(1) ;(2) ;(3) ;(4)
2.解 当 为腰长时 则底边长为
:① 9cm , 19-9-9=
因为 所以能构成三角形
1(cm), 9+1>9, ;
当 为底边长时 则腰长
② 9cm , =(19-9)÷2=5(cm),
因为 所以能构成三角形.则等腰三角形其他 3.证明 CE平分 ACB
5+5>9, :(1)∵ ∠ ,
两边长分别为 或 .
9cm,1cm 5cm,5cm ACE 1 ACB.
3.解 奇 : 数 根 , 据 所 三 以 角 AC 形 = 三 9 边 .所 关系 以 有 △ A 7 B < C AC 的 < 周 11 长 . = 又 9 因 + 为 9 A + C 2 为 = ∴ 在 ∠ △ ABC = 中 2 ,∠ ∠ ACB =180°-∠ A -∠ B ,
20 . ∵∠ ACE = 1 (180°-∠ A -∠ B )=90°- 1 ∠ A -
4. 5. 6. 7. 2 2
D D A 15
8.解 根据三角形的三边关系 两边之和大于第三边 得 1 B.
: , , ∠
a bc a bc c a b . 2
+ + >0,- - <0,+ - >0 又 CD AB
a bc a bc c a b a b c a ∵ ⊥ ,
∴|+ +|+|- -|+|+ -|= + + - + ACD是直角三角形
bcc a b a b c. ∴△ ,
+ + + - = + +3 ACD A
9.解 x ∴∠ =90°-∠ ,
:(1)6< <14;
ABC的周长x x 为偶数 DCE ACE ACD 1 A
(2 x )∵ 为 △ 偶数 +4+10= +14 , ∴∠ = ∠ - ∠ =90°- 2 ∠ -
∴ , 1 B A 1 A B .
∵6< x <14, 2 ∠ -(90°-∠ )= 2 (∠ -∠ )
x为 . 4. 5. 6.
∴ 8,10,12 A 1∶1 9
10.解 设底边长为x 则腰长是 .x x 7.解 AD是 ABC的高
:(1) cm, 15 cm, + :(1)∵ △ ,
.x .x 解得x 所以 .x . ADB ADC .
15 +15 =28, =7, 15 =105(cm), ∴∠ =∠ =90°
故该等腰三角形的各边长为 7cm,10 . 5cm,10 . 5cm; ∵∠ ACB =40°,
(2) 若底边长为 6cm, 设腰长为y cm, 则 6+2 y =28, ∴∠ DAC =50°,∠ ACE =20° .
得y =11, 所以三边长分别为 6cm,11cm,11cm, 若 ∵∠ BAD =70°,
腰长为 6cm, 设底边长为a cm, 则 6+6+ a =28, 得 ∴∠ BAC =∠ BAD +∠ DAC =70°+50°=120° .
a =16, 因为 6+6=12<16, 故舍去 , 综上所述 , 该等腰 ∴∠ AEC =180°-∠ BAC -∠ ACE =180°-120°-20°
三角形的三边长分别为 .
6cm,11cm,11cm =40°;
11.解
:(1)
因为a
=4,
b
=6,
所以
2<
c
<10
.故周长x的范
(2)∵
BF是
△
ABC的中线
,
围为 x . AF FC.
12< <20 ∴ =
(2)①
因为周长是小于
18
的偶数
,
所以x
=16
或x
= ∵△
BCF与
△
BAF的周长差为
4,
14 .当x为 16 时 , c =6; 当x为 14 时 , c =4 . ② 当c =6 ∴( BC + CF + BF )-( AB + AF + BF )=4, 即BC - AB
时 , b = c ,△ ABC为等腰三角形 , 当c =4 时 , a = c , =4 .
△
ABC为等腰三角形.综上
,△
ABC是等腰三角形.
∵ BC =10,
12.解 :(1)∵( a - b )2 +( b - c )2 =0, ∴ AB =6 .
∴ a - b =0, b - c =0, 8. 9 9. 12 或 14
∴ a = A b B = C c 是 , 等边三角形. 10. (1) 解 AB :∵ C ∠ ABC =2∠ C ,∠ C =35°,
( ∴ ∴ 2 5 ) △ ∵ - a 2 = < c 5 < , b 5 = + 2 2 , , 且 即 c 3 为 < c 整 < 数 7 , , ∴ ∴ =7 ∠ ∠ 5° B . AC = = 7 1 0° 80 , °-(∠ B +∠ C )=180°-35°-70°
∴ c 当 = c 4,5,6 时 , ABC周长的最小值 ∵ AD平分 ∠ BAC ,
∴ 当c = 时 4 , A △ BC周长的最大值 =5+2+4= . 11; ∴∠ BAD = 1 ∠ BAC = 1 ×75°=37 . 5° .
=6 ,△ =5+2+6=13 2 2
第29课时 认识三角形(3) AE BC
∵ ⊥ ,
1.如图 CG BF AE. AEB .
:(1) ;(2) ;(3) ∴∠ =90°
10
3A"#
B ABE DCF .
∵∠ =70°, ∴△ ≌△ (SSS)
BAE B C.
∴∠ =90°-70°=20°, ∴∠ =∠
DAE BAD BAE . . AB CD.
∴∠ =∠ -∠ =375°-20°=175°; ∴ ∥
证明 PF AD 3.略 4. 5.
(2) :∵ ⊥ , D 3
PFD 6. ADCBCAC 公共边 ADC CDBCB
∴∠ =90°, (1)△ ; ; ; ;△ ;(2)△ ; ;
P PDF. BDDB CDB.
∴∠ =90°-∠ ; ;△
7.解 如图所示 ABC即为所求.
∵∠
PDF
=∠
C
+∠
CAD
=∠
C
+
1
(180°-∠
ABC
-
: ,△
2
C
∠ ),
P C 1 ABC C
∴∠ =90°-[∠ + (180°-∠ -∠ )=
2
1 ABC C.
(∠ -∠ )
2 8.ACD BDC ABD BAC.
第30课时 全等三角形 △ ;△ ;△ ;△
9. 全等三角形的对应角相等 AECEAC
1. ADE AD AE DEA. SSS;C; ;∠ ; ;
(1)△ ;(2) ;(3) ;(4)∠ DEB.
2.解 相等.因为 ABC AEF所以 EAF BAC
: △ ≌△ , ∠ =∠ , OA OC
所以 EAF BAF BAC BAF 所以 CAF = ,
∠ -∠ =∠ -∠ , ∠ 10.解 连接OE.在 AOE和 COE中 EA EC
BAE. : △ △ , = ,
=∠ OE OE
3. 4. 5. 6. 7.一定 一定 = ,
D C C 3 ; AOE COE
8.证明 BAD ACE ∴△ ≌△ (SSS),
:∵△ ≌△ , A C AEO CEO
BD AEAD CE ∴∠ =∠ ,∠ =∠ ,
∴ = , = , 点O在 AEC的平分线上.
BD AE AD DE CE DE ∴ ∠
∴ = = + = + , 第32课时 探索三角形全等的条件(2)
即BD DE CE.
= + 1.证明
9. :∵∠1=∠2,
10 1 . 3 解 5° : ∵∠ B =30°,∠ A =50°, ∴∠ B 1 A + C ∠ EAC D = AE ∠ . 2+∠ EAC ,
ACB A B ∴∠ =∠
∴∠ =180°-∠ -∠ =180°-30°-50°= BAC DAE
. ∠ =∠ ,
100° 在 ABC和 ADE中 AC AE
∵△ ABC ≌△ DEF , △ △ , = ,
C E
∴∠ DFE =∠ ACB =100°, EF = BC , ∠ =∠ ,
∴ EF - CF = BC - CF , 即EC = BF. ∴△ ABC ≌△ ADE (ASA) .
B C
∵ ∴ B EC F = = 2 2 . , 2.证明 : 在 △ BED和 △ CFD中 , ∠ ∠ BE = D ∠ =∠ , CFD ,
11. (1) 证明 :∵△ ABD ≌△ CFD , BD = CD ,
∴ 又
∴ ∴ C
∠
∵ ∠ E
B
A ∠ ⊥
A
E
A
A F
D F
B =
E =
; = ∠
∠
C
D
∠ D
C C
F
F F
=
D ,
9 , 0°,
3
4
.
.
∴ 略
证 ∴
△
明 ∠ C
B
:
E
∵ =
D
E ∠ F
≌
A ∥ F
△
B E
C
C
F
, ,
D
∠ P G G
(A
P ∥ C
A
A
S
= B
) .
∠ , A.又AP = CF ,
(2) 解 :∵△ ABD ≌△ CFD , ∴ AP + PF = CF + PF ,
∴ BD = DF , ∠ A =∠ GPC ,
∵ BC =7, AD = DC =5, ∴ AF = PC.在 △ AEF和 △ PGC中 ,∠ AFE =∠ C ,
∴ BD = BC - CD =2, AF = PC ,
∴ AF = AD - DF =5-2=3 . ∴△ AEF ≌△ PGC (ASA) .
第31课时 探索三角形全等的条件(1) 5. 证明
(1) :∵∠1=∠2=∠3,
1.证明
:∵
点C是AB的中点
, ∴∠1+∠
DAF
=∠2+∠
DAF
,
AD CE 即 BAC DAE
= , ∠ =∠ ,
AC CB.在 ACD和 CBE中 CD BE AFE CFD
∴ = △ △ , = , ∵∠2=∠3,∠ =∠ ,
AC CB E AFE
= , ∠ =180°-∠2-∠ ,
ACD CBE . C CFD
∴△ ≌△ (SSS) ∠ =180°-∠3-∠ ,
2.证明 BF CE E C
:∵ = , ∴∠ =∠ ,
BF FE CE FE 即BE CF. 在 BAC和 DAE中
∴ + = + , = △ △ ,
AB CD BAC DAE
= , ∠ =∠ ,
在 ABE和 DCF中 AE DF E C
△ △ , = , ∠ =∠ ,
BE CF AB AD
= , = ,
11
A"# 3
ABC ADE 第33课时 探索三角形全等的条件(3)
∴△ ≌△ (AAS);
解 AF FC 1.证明 CE BF
(2) :∵ = , :∵ = ,
∴ S △ADF= S △CDF, ∴ CE + BE = BF + BE , 即BC = EF.
又 AC DF
∵ S △ADF= 1 2 × DF × h , S △AEF= 1 2 × EF × h , ∴ ∵ ∠ C = ∥ ∠ F. ,
∵ EF =3 DF , AC = DF ,
∴ S △AEF=3 S △DAF=3 S △DFC=3, 在 △ ABC和 △ DEF中 ,∠ C =∠ F ,
∴ S △ABC= S △DAE= S △DAF+ S △AFE=4 . BC = EF ,
6. (1) 证明 : 在 △ ACE和 △ BDE中 , ∠ ∠ C AE = C ∠ = D ∠ , BED , 2. ∴ 证 △ 明 A : B ∵ C BE ≌ = △ C D F E , F (SAS) .
AC = BD , ∴ BE + EF = CF + EF , 即BF = CE.
∴△ ACE ≌△ BDE (AAS), AB = DC ,
∴ AE = BE ; 在 △ ABF和 △ DCE中 ,∠ B =∠ C ,
(2) 解 :∵ AC =3, BC =4, 由 (1) 得 : AE = BE , BF = CE ,
ACE的周长 AC AE CE AC BE CE ABF DCE
∴△ = + + = + + = ∴△ ≌△ (SAS),
AC BC . A D.
+ =3+4=7 ∴∠ =∠
7.证明 :∵ BD ⊥ AN , CE ⊥ AN , 3.略 4. C
ADB CEA . 5.A C AF EF CE EF AD CB A C
∴∠ =∠ =90° - = - = ∠ =∠
∵∠ BAC =90°, AE = CF SAS 全等三角形的对应边相等
∴∠ BAD +∠ CAE =∠ CAE +∠ ACE =90°, 6.解 :△ BCE ≌△ BDE , 理由如下 : 在 △ ACB和 △ ADB
BAD ACE. AC AD
∴∠ =∠ = ,
∠ ADB =∠ CEA , 中 ,∠ CAB =∠ DAB ,
在 △ ABD和 △ CAE中 ,∠ BAD =∠ ACE , AB = AB ,
AB = AC , ∴△ ACB ≌△ ADB (SAS),
∴△ ABD ≌△ CAE (AAS), ∴ BC = BD ,∠ ABC =∠ ABD.
∴ BD = AE , AD = CE. BC = BD ,
∵ AE - AD = DE , 在 △ BCE与 △ BDE中 ,∠ EBC =∠ EBD ,
BD CE DE. BE BE
∴ - = = ,
8.证明 :(1)∵∠ BAD =90°,∠ BAC =∠ DAE , ∴△ BCE ≌△ BDE (SAS) .
CAE DAE CAD BAC CAD 7.证明 BAC DAE
∴∠ =∠ +∠ =∠ +∠ = :∵∠ =∠ ,
∠ BAD =90°, ∴∠ BAC -∠ BAE =∠ DAE -∠ BAE ,
∴∠ ACE +∠ AEC =90°, ∴∠ CAE =∠ BAD.
∵∠ BCD =90°, AD = AC ,
∴∠ ACB +∠ ACE =90°, 在 △ ABD和 △ AEC中 ,∠ BAD =∠ EAC ,
∴∠ ACB =∠ AED , AB = AE ,
又 ∵ AB = AD , ∴△ ABD ≌ AEC (SAS) .
∴△ ABC ≌△ ADE (AAS); 8. (1) 解 : 点P从点A出发 , 沿A → B → A方向以 2cm/s
(2)
如图所示
,
取CE的中 的速度运动
,
点Q同时从点D出发
,
沿D
→
E方向以
点G
,
连接AG
, 1cm/s
的速度运动
,
设点P的运动时间为t
s
.根据题
ABC ADE 意 得AP t 则BP t
∵△ ≌△ , , =2cm, =(8-2)cm,
AC AE 故答案为 t
∴ = , :(8-2)cm;
又 CAE G是 证明 在 ABC和 EDC中
∵∠ =90°, (2) : △ △ ,
CE的中点 AC EC
, = ,
AG CE ACB ECD
∴ ⊥ , ∠ =∠ ,
即 AGC CFACE CG BC DC
∠ =90°=∠ , =2 , = ,
GCA GAC ABC EDC
∴∠ +∠ =90°, ∴△ ≌△ (SAS),
又 ACF ACG AB ED
∵∠ +∠ =90°, ∴ = ;
ACF CAG 解 根据题意 得DQ t AP t 则EQ
∴∠ =∠ , (3) : , = cm, =2cm, =
AC CA t .
∵ = , (8- )cm
ACF CAG ABC EDC
∴△ ≌△ (AAS), ∵△ ≌△ ,
AF CG A EDE AB .
∴ = , ∴∠ =∠ , = =8cm
CE AF. PQC三点共线
∴ =2 ∵ ,, ,
12
3A"#
ACP ECQ. BD CD
∴∠ =∠ ∴ = ,
在 ACP和 ECQ中 在 ADC和 EDB中
△ △ , △ △ ,
A E AD DE
∠ =∠ , = ,
AC EC ADC BDE
= , ∵ ∠ =∠ ,
ACP ECQ BD CD
∠ =∠ , = ,
ACP ECQ ADC EDB
∴△ ≌△ (ASA), ∴△ ≌△ (SAS),
AP EQ 故选
∴ = , B;
当 t 时 t t ADC EDB
∴ 0≤ ≤4 ,2=8- , (2)∵△ ≌△ ,
BE AC AE AD
解得t 8 ∴ = =6, =2 ,
当 4< t
=
≤
3
8 时
;
, AP =(16-2 t )cm,
由
所
三
以 2
角
<
形
2 A
三
D
边
<
关
14
系
,
定理得 :8-6< AE <8+6,
∴ 解 1 得 6 t -2 t = . 8- t , 则 故 1 选 < AD <7,
=8 :C;
综上所述 , 当P , C , Q三点共线时 , t的值为 8 或8 3 . ( 使 3) 得 证 D 明 H : 如 D 图 F 所 连 示 接 , 延 B 长 H F E D H 到H ,
第34课时 探索三角形全等的条件(4) = , , ,
同理 BDH CDF
1. 2. △ ≌△ ,
D D BH CFDH DF
3.证明 AB DE ∴ = , = ,
:∵ ∥ , DE DF
B DEF ∵ ⊥ ,
∴∠ =∠ , EDF EDH
BE CF ∴∠ =∠ =90°,
∵ = , ED ED
BE EC CF EC = ,
∴ + = + , EDH EDF
即BC EF ∵ ∠ =∠ ,
= , DH DF
B DEF = ,
∠ =∠ , EDH EDF
在 ABC和 DEF中 A D ∴△ ≌△ (SAS),
△ △ ,∠ =∠ , EH EF
BC EF ∴ = ,
= , 在 BEH中BE BH EH
ABC DEF △ , + > ,
∴△ ≌△ (AAS), BE CF EF.
∴ AC = DF. 第 ∴ 35课 + 时 利 > 用三角形全等测距离
4.DEEBCDDBCB 公共边 ABCDCB 全等三
; ; ; ; ; ; ; ;SSS; 1.
角形的对应角相等. A
2.解 AA'BB'的中点为O
5.证明 BAD CAE :∵ , ,
:∵∠ =∠ , OA OA'OB OB'.
∴∠ BAD +∠ CAD =∠ CAE +∠ CAD , ∴ 又 = AOB , A = 'OB'
即 BAC DAE. ∵∠ =∠ ,
在 ∠ ABC = 和 ∠ ADE中 ∴△ A'OB' ≌△ AOB (SAS),
△ △ , AB A'B'.
∠ B A A BC C =∠ A D D A E E , 3. ∴ 解 :∵ A = C ⊥ AB ,
∠ =∠ , BAC DAC .
AC A = B A C E , ADE . ∴ 在 ∠ △ ABC = 和 ∠ △ ADC = 中 90 , °
6. ∴ 证 △ 明 AC ≌△ BD相交 (A 于 AS 点 ) E ∠ BAC =∠ DAC , AC = AC ,
A : E ∵ D 、 BEC , ∠ ACB =∠ ACD ,
∴ 在 ∠ AED = 和 ∠ BEC , 中 ∴△ ABC ≌△ ADC (ASA),
△ △ , AB AD.
AED BEC ∴ =
∠ =∠ , 4. 5.
DE = CE , 6. B 解 : 对 B .
∠ D AE = D ∠ C , BEC ∵ 同一时刻太阳照射角度相同 ,
∴△ ≌△ (ASA), AEC BFD.
∴ AE C = AB BE , DBAAC BD ∴ ∵ A ∠ C , BD = 均 ∠ 与地面垂直 ,
∴∠ =∠ , = , ACE BDF .
在 A △ B AB A D B 和 △ BAC中 , ∴ 又 ∠ ∵ CE = = DF ∠ , =90°
A ∠ C C = AB BD = , ∠ DBA , ∴ ∴ A △ C A = E B C D ≌ , △ 即 B 木 FD 杆 ( 两 AS 端 A 和 ), 地面的高度相同.
7. ∴ 解 △ A = BD A ≌ D , △ 是 BAC A ( B S C AS 中 ) B . C边上的中线 7.解 :∵ 在 △ ABM与 △ DCM中 , ∠ ∠ A AB M M B = = ∠ ∠ D DC M M C , ,
:(1)∵ △ , AB = DC ,
13
A"# 3
ABM DCM MEB CEN
∴△ ≌△ (AAS), ∠ =∠ ,
CM BM . BE CE
∴ = =6m = ,
AM MBE NCE
∵ =8m, ∠ =∠ ,
AC AM CM .即梯子下滑的高度是 . EBM ECN
∴ = - =2m 2m ∴△ ≌△ (ASA),
8.解 : 由题意可知 ∠ CEO =∠ BDO =90°, OB = OC. ∴ 四边形EMBN的面积等于三角形BEC的面积 ,
∵∠ BOC =90°, ∴ 重叠部分面积不变 , 总是等于正方形面积的1 ,
COE BOD BOD OBD . 4
∴∠ +∠ =∠ +∠ =90°
COE OBD. 即1 1.
∴∠ =∠ ×1×1=
在 COE和 OBD中 4 4
∠
△
COE
=∠
△
OBD
,
, 4.解
:(1)
重叠部分面积不变
,
总是等于正方形面积的1
4
.
∠ CEO =∠ ODB , 证明 : 如图 1, 连接AC , BD ,
OC
=
OB
, ∵
四边形ABCD和四边形OA'B'
COE OBD C'都是正方形
∴△ ≌△ (AAS), ,
CE ODOE BD. OB OC OBA OCB
∴ = , = ∴ = ,∠ = ∠ =
BDCE分别为 . 和 . BOC A'OC'
∵ , 14m 18m, 45°,∠ =∠ =90°,
DE OD OE CE BD . . . EOB COF.
∴ = - = - =18-14=04(m), ∴∠ =∠
AD 在 OBE与 OCF中
∵ =1m, △ △ ,
AE AD DE . OBE OCF
∴ = + =14(m), ∠ =∠ ,
∴ 爸爸是在距离地面 1 . 4m 的地方接住小丽的. OB = OC ,
第36课时 问题解决策略 BOE FOC
∠ =∠ ,
1.解
:
观察图形发现
,
每增加一个等腰梯形
,
其边周增加
∴△
OBE
≌△
OCF
(ASA),
3 a , 则 ∴ 四边形OEBF的面积等于三角形BOC的面积 ,
梯形个数 1 2 3 4 … 7 … n 即重叠部分面积不变 , 总是等于正方形面积的1.
4
图形周长 a a a a … a … (n )a 发生变化.
5 8 11 14 23 3+2 (2)
故答案为 :23 a ,(3 n +2) a.
如图
2,
当α
=0°
时
,
重叠部分的形状为直角三角形
,
2.解 :(1)∵53×57=3021,38×32=1216,84×86= S重叠部分 = 1S △ABC;
6
7224,71×79=5609,
十位数乘十位数加一作为结果的百位 两个个位相
∴ ,
乘作为结果的个位和十位.
设十位数字为x个位数字为y一个数为 x y
(2) , , 10 + ,
则另一个数为 x y x y
10 +10- =10(+1)- ,
x y x y xx y y
(10 + )[10(+1)- ]=100 (+1)+ (10- ),
前一项就是十位数乘十位数加一 后一项就是两个个
,
位数字相乘.
(3)58×52=5×6×100+8×2=3016;
如图
3,
当α
=30°
时
,
重叠部分的形状为菱形
,
S重叠部分
=
63×67=6×7×100+3×7=4221; 2S △ABC;
9
75 2 =7×8×100+5×5=5625; 如图 当α 时 重叠部分的形状为等边三角形
2 . 4, =90° , ,
95=9×10×100+5×5=9025
3.解 :(1) 两个正方形重叠部分的面积保持不变 ; S重叠部分 = 1
9
S △ABC;
重叠部分面积不变 总是等于正方形面积的1 即
(2) , ,
4
1 1
×1×1= ,
4 4
如图 连接BECE
, , ,
四边形ABCD和四边形EFGH 都
∵
是正方形
,
EB EC EBM ECN
∴ = ,∠ =∠ =45°, 如图 当α 时 重叠部分的形状为直角三角形
FEH BEC 5, =120° , ,
∠ =∠ =90°,
∴∠ MEB =∠ CEN. S重叠部分 = 1S △ABC;
在 EBM与 ECN中 6
△ △ , 综上所述 运动过程中两个三角形重叠部分的面积发
,
14
3A"#
生变化 当α增大时 重叠部分的面积先增大再减小 AOB COD
, , , ∴△ ≌△ (ASA),
AB CD.
再增大 面积最大为正三角形面积的2 最小为正三 ∴ =
, 9 , 13.解 :∵ AD ⊥ BC ,∠ B =60°,
角形面积的1.
∴
在
△
ABD中
,∠
BAD
=180°-90°-60°=30°
.
9 又 DAE
5.解 由 得 ∵∠ =10°,
:(2) (1) , BAE BAD DAE .
C ∴∠ =∠ +∠ =30°+10°=40°
∴∠1+∠2=180°+∠ , 又 AE平分 BAC
C ∵ ∠ ,
∴∠2-∠ =180°-∠1=55°, BAC BAE
故答案为 ∴∠ =2∠ =80°,
:55°; 在 ABC中 C BAC B
(3) 数量关系 :∠ ADC +∠ BCD +2∠ P = ∴ △ . , 故 ∠ C = 的 18 度 0° 数 - 是 ∠ . -∠ =180°-
80°-60°=40° ∠ 40°
3 理 60 由 °, 如图 延长线段AD 线段BC交于 14. (1) 证明 :∵ AG = AF ,
: , 、 AGF AFG.
点Q ∴∠ =∠
, AGB AGF AFD AFG
由 小红推出的结论可知 Q P ∵∠ +∠ =180°,∠ +∠ =180°,
(2) ,∠ +2∠ AGB AFD.
∴∠ =∠
= 由 1 ( 8 1 0 ) ° 可 , 知 ,∠1+∠2=180°+∠ Q , ∵ ∴ C ∠ E E ∥ = B ∠ D A , FD ,
∴(∠1+∠2-180°)+2∠ P =180°,
∴∠
AGB
=∠
E.
∴∠1+∠2+2∠
P
=360°
. 在
△
ABG和
△
CAE中
,
即 ADC BCD P . AGB E
第37 ∠ 课时 + 三 ∠ 角形复 + 习 2∠ =360° ∠
ABG
=∠
CA
,
E
∠ =∠ ,
1. 2. 3. x 4. 5. 6. 7. AB CA
A D 2< <6 12 130° 5 120° = ,
8.AC BD ABG CAE
= ∴△ ≌△ (AAS),
9.证明 : 由题意知 ∠ ADC =∠ BEC =90°, ∴ AG = CE ;
∴∠1+∠
C
=∠2+∠
C
=90°, (2)
解
:
如图
2,
在BD上截
. 取BH AE 连接AH
∴∠1=∠2 = , ,
∠1=∠2,
在
△
ABH和
△
CAE中
,
在 BDF和 ADC中 BDF ADC AB CA
△ △ ,∠ =∠ , = ,
BF AC ABH CAE
= , ∠ =∠ ,
BDF ADC . BH AE
∴△ ≌△ (AAS) = ,
10.证明 AE DF ABH CAE
:∵ ∥ , ∴△ ≌△ (SAS),
A D. AH CE AHB CEA
∴∠ =∠ ∴ = =3,∠ =∠ ,
AC BD AHD AHB CEA CED.
∵ = , ∴∠ =180°-∠ =180°-∠ =∠
∴ AC - BC = BD - BC. ∵ CE ∥ BD ,
∴ AB = CD. ∴∠ CED =∠ D ,
∠ A =∠ D , ∴∠ AHD =∠ D ,
在 △ ABE和 △ DCF中 , AB = DC , ∴ AD = AH =3,
DE AD AE
∠1=∠2, ∴
DE
=
的长是
-
.
=3-1=2,
∴△ ABE ≌△ DCF (ASA) . 第五 ∴ 章 生活中 2 的轴对称
11.证明
:∵
BC
∥
DF
, 第38课 时 轴对称及其性质
ABC FDE.
∴∠ =∠ 1.
∠ A =∠ F , 2. A 垂直平分 相等 相等 PHCD ECElCO
在 ABC和 FDE中 AB FD (1) , , ;(2) , ,∠ , ,, ,
△ △ , = , EO.
ABC FDE
∠ =∠ , 3.略.4. 5. 6.MNMNOA'A'B'
ABC FDE D A , , ,
∴△ ≌△ (ASA), 7. 略. 8. 9.
AC EF. (1) (2)7 B C
∴ = 10.解P所在的位置如图所示.
12.证明 OP平分 AOC和 BOD :
:∵ ∠ ∠ ,
AOP COP BOP DOP
∴∠ =∠ ,∠ =∠ ,
AOP BOP COP DOP
∴∠ -∠ =∠ -∠ ,
即 AOB COD.
∠ =∠
在 AOB和 COD中 OA OC AOB COD
△ △ , = ,∠ =∠ ,
A C
∠ =∠ ,
15
A"# 3
第39课时 简单的轴对称图形(1) BAM EAN α
∠ =∠ = ,
1.BAD AED BAC . AD AE AB
∠ =42°,∠ =50°,∠ =113° = = ,
2.证明 连接ACAD. ABM AEN.
: , ∴∠ =∠
AB AE B EBC ED ABM AEN
∵ = ,∠ =∠ , = , ∠ =∠ ,
ABC AED 在 ABM和 AEN中 AB AE
∴△ ≌△ (SAS), △ △ , = ,
AC AD BAM EAN
∴ = , ∠ =∠ ,
ACD是等腰三角形. ABM AEN
∴△ ∴△ ≌△ (ASA),
又 AM CD AM AN
∵ ⊥ , ∴ = ;
CM DM. 解 如图 当MD
∴ = (3) :① 2,
3.解 AB ACBD BC AD MO时
:∵ = , = = , = ,
ABC C BDC A ABD.设 A x 由旋转得 MDO
∴∠ =∠ =∠ ,∠ =∠ ∠ = , ∠ =40°,
则 BDC A ABD x MOD
∠ =∠ +∠ =2 , ∴∠ =40°,
ABC C BDC x. AMO MDO
∴∠ =∠ =∠ =2 ∴∠ =2∠ =
在 ABC中 A ABC C x x x .
△ ,∠ +∠ +∠ = +2 +2 =180°, 80°
解得x AMO ABM BAM
=36°, ∵∠ =∠ +∠ ,
A ABC C . BAM
∴∠ =36°,∠ =∠ =72° ∴∠ =80°-40°=40°,
4. 5. 6. α
B D 20° ∴ =40°;
7.解 AB AC 如图 当DM DO时
:∵ = , ② 3, = ,
B C 由 得 MDO
∴∠ =∠ , ① ∠ =40°,
MDO
B 1 BAC 1 . DOM 180°-∠
∴∠ = (180°-∠ )= (180°-120°)=30° ∴∠ =
2 2 2
AB的垂直平分线交BC于点D.
∵ =70°,
AD BD AMO MDO
∴ = , ∴ ∠ = ∠ +
BAD B . DOM .
∴∠ =∠ =30° ∠ =110°
8.证明 AD CD AMO ABM
:∵ = , ∵ ∠ = ∠ +
DAC DCA. BAM
∴∠ =∠ ∠ ,
AB CD BAM
∵ ∥ , ∴∠ =110°-40°=70°,
DCA CAB α
∴∠ =∠ , ∴ =70°;
DAC CAB 如图 当OD OM时
∴∠ =∠ , ③ 4, = ,
AC是 EAB的平分线. 由 得 MDO DMO
∴ ∠ ① :∠ =∠
CE AECB AB
∵ ⊥ , ⊥ , =40°,
CE CB. AMO DMO
∴ = ∴∠ =180°-∠
9.解PE PF BH.理由如下 如图 连 .
: + = : , =140°
接AP. AMO ABM BAM
∵∠ =∠ +∠
AB AC BAM
∵ = , ∴∠ =140°-40°
∴ S △ABC= S △ABP+ S △ACP= 1AB · PE + = α 100°, .
2 ∴ =100°
1AC · PF = 1AC ·( PE + PF ), ∵0°< α <100°,
2 2 α 不合题意 舍去.
∴ =100° ,
∵ S △ABC= 1AC · BH , 综上所述 , 旋转角α的度数为 40° 或 70°
2 第40课时 简单的轴对称图形(2)
PE PF BH.
10 ∴ . ( ∵ 1 A ) B 解 + = : 如 AC 图 = , 1, 1 2 . . 8 解 :∵ DE垂直平分AC ,
∴∠ BAC =180°-2∠ B =100° . ∴ AD = DC ,
AD BC ABC的周长 AB BC AC AB BD CD
∵ ⊥ , ∴△ = + + = + + +
AC AB BD AD AC .
BAM 1 BAC = + + + =20+8=28(cm)
∴∠ = ∠ 3.解 如图 点P即为所求.
2 : ,
=50°,
α
∴ =50°,
故答案为
:50°;
证明 AB AC
(2) :∵ = ,
ABM C.
∴∠ =∠
由旋转得 AEN C
∠ =∠ ,
16
3A"#
4. 5. 6. DE CD 即点D到直线AB的距离是 .
C C C ∴ = =3cm, 3cm
7.解 在 ABC中AB AC A 2.解 如图所示.
:(1)∵ △ , = ,∠ =40°, :
ABC C
∴∠ =∠ =70°,
AB的垂直平分线MN交AC于点D
∵ ,
AD BD
∴ = ,
ABD A
∴∠ =∠ =40°,
DBC ABC ABD
∴∠ =∠ -∠ =30°;
(2)∵ AE =6, 3.证明 OD平分 AOB
AC AB AE :∵ ∠ ,
∴ = =2 =12, 在 OBD和 OAD中
CBD的周长为 ∴∠1=∠2, △ △ ,
∵△ 20, OA OB OD OD
BC CD BD CD AD ∵ = ,∠1=∠2, = ,
∴ =20-( + )=20-( + )=20-12 OBD OAD
∴△ ≌△ (SAS),
=8,
BC .
∴∠3=∠4,
∴ =8 DO平分 ADB.
8.解 直线OM是AB的垂直平分线 ∴ ∠
:(1)∵ , 又 PM BDPN AD
MA MB 同理 NA NC ∵ ⊥ , ⊥ ,
∴ = , , = , PM PN.
AMN的周长为 ∴ =
∵△ 6, 4. 5.
MA MN NA 即MB MN NC BC C 8
∴ + + =6, + + = =6; 6.解 BD是 ABC的平分线 DE ABDF BC
如图 设OM交AB于点EON :∵ ∠ , ⊥ , ⊥ ,
(2) , , DE DF.
交AC于点F ∴ =
,
∵∠ MON =30°, ∵ S △ABC= S △ABD+ S △BCD= 1 2 AB · DE + 1 2 BC · DF =
OMN ONM
∴∠ +∠ =150°, 1AB DE 1BC DE DE
BME CNF · + · =15 =36,
∴∠ +∠ =150°, 2 2
MA MBME AB
∵ = , ⊥ , DE 12 .
BMA BME 同理 ANC ∴ = cm
∴∠ =2∠ , ,∠ 5
=2∠ CNF , 7.解 :∵ OP平分 ∠ AOB , PM ⊥ OA , PN ⊥ OB ,
∴∠ BMA +∠ ANC =300°, PM = PN ,
∴∠ AMN +∠ ANM =360°-300°=60°, ∴ PM = PN , 在 Rt△ PMC和 Rt△ PNE中 , PC = PE ,
∴∠ MAN =180°-60°=120° . MC = NE ,
9.证明 :(1)∵ AD ∥ BC , ∴Rt△ PMC ≌Rt△ PNE (SSS),
F DAE ECF D EPN CPM.
∴∠ =∠ ,∠ =∠ , ∴∠ =∠
∵
点E是CD的中点
, ∵
PC
∥
OB
,
CE DE PCM AOB .
∴ = , ∴∠ =∠ =40°
∠ F =∠ DAE , ∵ PM ⊥ AO ,
在 CEF和 DEA中 ECF D CPM
△ △ ,∠ =∠ , ∴∠ =90°-40°=50°,
CE DE EPN .
= , ∴∠ =50°
CEF DEA 8.解 AE DE
∴△ ≌△ (AAS), :(1) ;(2) ;
FC AD AB AC AE AC
∴ = ; (3)∵ =5cm, =4cm, = ,
由 知 CEF DEA BE AB AE
(2) (1) :△ ≌△ , ∴ = - =5-4=1cm,
FE AE DEB的周长 BE ED DB BE CD DB
∴ = , ∴△ = + + = + + =
又 BE AE BC .
∵ ⊥ , 1+ =4cm
BE是线段AF的垂直平分线 9. 证明 如图 过点E作EG AD于点GEH BC
∴ , (1) : , ⊥ , ⊥
AB FB BC FC由 可知FC AD 于点H
∴ = = + , (1) , = , ,
AB BC AD.
∴ = +
第41课时 简单的轴对称图形(3)
1.解 如图 过点D作DE AB 垂
: , ⊥ ,
足为点E.
∵ BC =8cm, BD =5cm, ∵ EF ⊥ AB ,
∴ CD = BC - BD =8-5=3(cm) . ∴∠ F =90°,
AD平分 CAB FAE AEF .
∵ ∠ , ∴∠ +∠ =90°
AEF
∵∠ =55°,
17
A"# 3
FAE . 故选 .
∴∠ =90°-55°=35° :C
BAD 3.解 如图 作点F关于BD的对称点G 连接CG 交BD
∵∠ =110°, : , , ,
∴∠ CAD =180°-∠ BAD -∠ FAE =35°,
于E
,
过点C作CH
⊥
AB于H
,
∴ C ∠ A FA 为 E = D ∠ A C E A 的 D 平 =3 分 5° 线 , . ∴ ∵ C B E D + 平 E 分 F = ∠ C A G BC , ,
∴ ∠ 点G在AB上
又 EF ABEG AD ∴ ,
∵ ⊥ , ⊥ , CG CH
EF EG. ∴ > ,
∴ = CE EF的最小值为CH
BE是 ABC的平分线 ∴ +
∵ ∠ , 的长
EF EH ,
∴ = ,
∴ EG = EH , ∵ 1 2 AB · CH =18,
点E在 ADC的平分线上
∴ ∠ , 1 CH
DE平分 ADC ∴ ×6· =18,
∴ ∠ ; 2
(2) 解 : 设EG = x , 则EG = EF = EH = x. ∴ C CE H = E 6 F , 的最小值为
∵ S △ACD= S △ADE+ S △CDE=28, ∴ 故选 + . :6,
B
∴
1AD
·
EG
+
1CD
·
EH
=28
. 4.解
:
如图
,
作E关于AB的对
2 2 称点M 作E关于AC的对称
AD CD ,
∵ =5, =9, 点N 连接AE MN MN交
, , ,
∴
1
×5
x
+
1
×9
x
=28,
AB于F
,
交AC于D
,
解得 2 x . 2 由对称性可知 : DE = DN , EF
=4 MFAE AM AN
∵ AB =8, = D , EF = 的周 = 长为 , DE
∴△ +
∴ S △ A AB B E E = 的 1 2 面 AB 积 · 为 EF = . 1 2 ×8×4=16, E ∴ F 当 + 点 FD E = 固 F 定 M 时 + D , 此 F 时 + D △ N DE , F的周长最小 ,
第 ∴ 42 △ 课时 问题解决 1 策 6 略 ∵∠ BAC =30°,∠ BAE =∠ BAM ,∠ CAE =∠ CAN ,
MAN
1.解 如图 延长DA到E使DA AE 延长DC到F 使 ∴∠ =60°,
: , = , , MNA是等边三角形
CF DC连接EF交AB于N 交BC于M ∴△ ,
= , , , MN AE
此时 DMN的周长最小 ∴ = ,
,△ , 当AE的值最小时 MN的值最小
∵ AB ⊥ AD , BC ⊥ DC , ∴ 根据垂线段最短可知 , 当AE BC时 , AE的值最小
∴∠ DAB =∠ DCB =90°, ∵ BC =6,△ ABC的面 : 积是 6 ⊥ , , ,
DM FMDN EN
= , = , 1BC AE
E ADN F CDM ∴ · =6,
∴∠ =∠ ,∠ =∠ , 2
B 此时AE
∵∠ =56°, ∴ =2,
∴∠ ADC =124°, ∴
MN的最小值为
2,
设 ∠ MDN = α , ∴ 故 △ 答 D 案 E 为 F的 . 周长的最小值为 2,
ADN CDM :2
∴ ∠ + ∠ = 5.解 设小正方形的边长为x
α : ,
124°- , 根据题意得 .
DNM DMN :
∴ ∠ + ∠ =
2(124°- α ), S阴影 =(4 a )2 + x2 + 1x (4 a - x )- 1 (4 a + x ) x -
2 2
α α
∴ 解得 + α 2(124°- )=180°, (4 a )2 - 90π(4 a )2 =16 a2 + x2 +2 ax - 1x2 -
:=68°, 360 2
故选 .
:B ax 1x2 a2 a2 a2.
2.解 点A : ' 如图 关 , 于 作 B 点 C A 的 关 对 于 称 C 点 D A″ 的对 连 称 接 6. 2 解 : 如 - 图 2 : -16 +4π =4π
, ,
A'A″交CD于N'交BC于M'
, ,
此时 AM'N'周长最小
△ ,
DAB
∵∠ =130°,
A' A″
∴∠ +∠ =50°,
A'AN' M'AA″
∴∠ +∠ =50°,
M'AN' DAB DAN'
∴∠ =∠ -(∠ +
∠
BAM'
)=130°-50°=80°,
点
C
即为所求作的点.
18
3A"#
7.解 可以利用轴对称解决最短问题 AB AC
:(1) ; ∵ = ,
故答案为 利用轴对称解决最短问题. ABC C
: ∴∠ =∠ ,
C D.
∴∠ =2∠
12.解 AB AC BAC
:∵ = ,∠ =120°,
B C 1 BAC 1
∴∠ =∠ = (180°-∠ )= (180°-120°)
2 2
.
=30°
BD BE
∵ = ,
BED BDE 1 B 1
∴∠ =∠ = (180°-∠ )= (180°-
2 2
30°)=75°,
ADE .故 ADE的度数为
∴∠ =90°-75°=15° ∠
.
15°
13.解 AB ACAD是 ABC的角平分线
:∵ = , △ ,
AD BC.
∴ ⊥
CAD
∵∠ =20°,
如图 中 点C即为所求 ACD .
(2) 1,2 , ; ∴∠ =70°
如图 中 黑球移动的路线A M N B. EF垂直平分AC
(3) 3 , :→ → → ∵ ,
8.解 ABC即为所求 AO CO
:(1)△ ; ∴ = ,
由作图得 ABC的周长 ACO CAD
(2) :△ ∴∠ =∠ =20°,
为AB BC CA A'B BC OCD .
: + + = + + ∴∠ =50°
CA″ A'A″ 14.解 AP是 BAC的平分线 理由如下
= , :(1) ∠ , :
连接OAOA'OA″ 在 ADF和 AEF中
, , , △ △ ,
由 对 称 性 知 A'OA″ AD AE
:∠ = =
MON FD FE
2∠ =30°=60°, = ,
OA OA' OA″ AF AF
= = =10, =
OA'A″为等边三角形 ADF AEF .
∴△ , ∴△ ≌△ (SSS)
A″A' OA' OA″ DAF EAF
= = =10, ∴∠ =∠ ,
三角形的最小周长为 . AP平分 BAC
∴ 10 ∴ ∠ ;
第43课时 生活中的轴对称复习 如图 过点P作PG AC于
(2) , ⊥
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 点G.
A B D B C A 4 15cm
9. AP平分 BACPQ AB
11 ∵ ∠ , ⊥ ,
10.解 :(1) 作出点A , B , C关于x轴的对称点A 1, B 1, C 1, 顺 ∴ PG = PQ =6 .
次连接 则 ABC即为所求作三角形 如图所示
, △ 1 1 1 , : ∵ S △ABC= S △ABP+ S △APC= 1AB ·
2
PQ 1AC PG
+ · ,
2
1AB 1 .
∴ ×6+ ×9×6=60
2 2
AB .
∴ =11
第六章 变量之间的关系
第44课时 现实中的变量
1. 2.冰的厚度 3.加油量 4.
D ①③
5.解 跑步的时间 跑步的路程
:(1) , ;
根据题意每跑步 跑步的路程增加 .
点AC的对应点坐标分别为A (2) 10min, 18km,
(2) , 1(-4,-4), 补充表格如下
C . ,
1(4,-2)
11.证明 AD BC 时间/
:∵ ∥ , min 10 20 30 40 50 60
D DBC.
∴∠ =∠ 路程/ . . . . .
AB AD km 18 36 54 72 9 108
∵ = ,
D ABD 由表格知 小伟每跑步 跑步的路程增加
∴∠ =∠ , (3) , 10min,
ABD DBC . 所以跑步的路程随着时间的增大而增大.
∴∠ =∠ , 18km,
ABC D. 6.解 体温 . . 时 时.
∴∠ =2∠ :(1) ;(2)398,361;(3)4 ~14
19
A"# 3
7.解
:(1)
在这个过程中
,
自变量是行车里程
,
因变量是 月份用煤气
90m
3.
车费.
(4)
设
6
月份小丽家用了a
m
3的煤气
,
根据题意得
根据题意 得y .x .x . .a .a解得a .答 月份小丽家用了
(2) , =8+14(-3)=14 +38, 12-20=095, =80 :6
y与x之间的关系式为y .x .. 3的煤气.
∴ =14 +38 80m
将y 代入y .x . 得 .x . 第47课时 用图象表示的变量间关系(1)
(3) =15 =14 +38, 14 +38=15,
解得x 1.【解析】 由题意可知
=8, ,
他乘坐了 的里程. .体内血乳酸浓度和时间t均是变量 该说法正确 故
∴ 8km A , ,
8.解 所需资金和利润之间的关系. 选项 不合题意
:(1) A ;
所需资金为自变量. .当t 时 两种方式下的血乳酸浓度均超过
B =20min ,
年利润为因变量 该说法正确 故选项 不合题意
; 150mg/L, , B ;
可以投资一个 亿元的项目. .采用静坐方式放松时 运动员大约 后就能基
(2) 7 C , 70min
也可以投资一个
2
亿元
,
再投资一个
4
亿元的项目. 本消除疲劳
,
原说法错误
,
故选项
C
符合题意
;
还可以投资一个
1
亿元
,
再投资一个
6
亿元的项目.
D
.运动员进行完剧烈运动
,
为了更快达到消除疲劳的
(3) 共三种方案 :①1 亿元 ,2 亿元 ,7 亿元 , 利润是 1 . 45 效果 , 应该采用慢跑活动方式来放松 , 该说法正确 , 故
千万元 选项 不合题意.
; D
②2 亿元 ,8 亿元 , 利润是 1 . 35 千万元 ; 故选 :C .
③4 亿元 ,6 亿元 , 利润是 1 . 25 千万元. 2.解 :(1)8 时 ,12 时 ,22 时 , 温度分别是 4℃、12℃、
∴ 最大利润是 1 . 45 千万元. 14℃;
第45课时 用表格表示的变量间关系
(2)
这一天的最高气温是
16℃,14
时达到的
,
最低气温
1. 0 . 58; x , y 2. C 3. 31 4. C 是 -4℃,4 时达到的 ;
5. 2; 降价 ; 日销量 ;30;750;1110 (3) 这一天的温差为 16-(-4)=20(℃),
6.解 :(1)300;(2)400;(3) y =2 x -600 . 从最低到最高气温经过的时间为 14-4=10( 小时 );
7.解
:(1)
降价
,
日销量
;(2)5;(3)150;(4)
售价为
440
元
(4)
在
4
时至
14
时内气温上升
,
在
0
时至
4
时及
14
时
8.
时
解 , :(
日
1)
销
乘
量
车 = 人 15 数 0+ , 月 (5 利 20 润 - ; 440)÷10×5=190
件.
(
至
时
5) 2
的
4 图
温
时
中
度
内
的
为
气
点
温
A
下
表
降
示 ; 7 时的温度为 2℃, 点B表示 24
第 y ( ( 为 当 4 2 3 6 = y ) ) 每 2 2 从 课 = 月 × 0 表 时 0 - 4 乘 0 中 3 2 ; 车 3 0 可 用 0 0 人 0 - 知 关 数 + 4 系 每 0 为 ( x 0 式 月 0 4 - 表 利 = 2 5 3 0 4 示 润 0 0 4 的 ) 与 6 人 ÷ 0 变 每 , ( 5 即 元 0 量 月 0 x ) 间 × 乘 . = 关 1 4 车 0 系 2 0 人 3 0 0 数 = 时 2 之 x , 间 每 - 的 4 月 0 关 利 00 系 润 , 3. ( ( 为 解 时 6 7 1 ) ) : 间 0 0 ( 次 1 是 时 ℃ ) 日 图 自 和 ; 凌 象 变 6 晨 反 6 量 时 2 映 , ℃ , 时 气 温 了 ; 的 温 度 气 温 是 约 温 度 因 为 变 约 变 0 化 为 量 ℃ 和 - ; , 2 时 11 ℃ 间 时 . 之 和 间 2 的 3 关 时 , 系 温 , 度 其 约 中
一天中 时和 时的气温最低 是 时的气
1. (1) y =5- 1 2 x 0< x <5 (2) y =90°- x ( 温 2) 最高 , 是 4 0 0℃; 24 , 5℃;15
2. (1) C =2π r ;(2) s =60 t ;(3) y =180°-2 x. (3) 在 0≤ t <6 和 9≤ t <15 时 , 气温上升 ;
3.解 :(1) 根据题意得 , y =1 . 2×10+( x -10)×1 . 8= 在 6≤ t <9 和 15≤ t <24 时 , 气温下降 ;
.x 该地区一天的温差是 .该地区的一
18 -6, (4) 40-5=35(℃)
∴ 应缴水费y与用水量x的关系式为 : y =1 . 8 x -6 . 天内的气温变化比较大 , 建议旅客选择 6~12 时外出
当y 时 .x 解得x 答 小明家 观光.
(2) =39 ,18 -6=39, ,=25, :
用水 . 4.解 自变量是时间 因变量是体温
25t :(1) , ;
4. 这个病人该天最高体温是 . 该天最低体温
C (2) 398℃,
是 .
5.
(1)
h
=60+2
x
;(2)
y
=
4
x
0
;(3)
y
=-
1x2
+15
x. 36
若
1
体温
℃
超
;
过 . 即为发烧 则这位病人发烧时间
2 (3) 375° ,
6.解 y x x . 当x 时y .走 段是 时 时.
:(1)=30-5 (0≤ ≤6)(2) =4 ,=10 4 ~14
了 的时候距离乙地 . 故答案为 体温 . . 时 时.
4h 10km :(1) ;(2)398,361;(3)4 ~14
7. 5.解 根据图象得 当时间为 时 温度是 最
20 :(1) : 20 , -1℃,
8.解 根据题意得小丽家该月应缴煤气费为 . 暖和的时刻是 时 温度是 的时刻是 时和
:(1) 08× 14 , 0℃ 12 18
. 元 . 时 温度在 以下的持续时间约为 .
50+12×(80-50)=76( ) , -3℃ 85h;
当x 时y .x当x 时y . 在 时 气温不断上升 在 时或
(2) ≤50 ,=08 ; >50 ,=08×50+ (2) 4~14 , ; 0~4 14~24
.x .x . 时 气温不断下降.
12(-50)=12 -20 ,
(3) 设小丽家 4 月份用煤气x m 3, 6.解 :(1) 由题意得自变量是温度t , 因变量是水的密度ρ,
∵0
.
8×50=40(
元
),
而
88
元
>40
元
,
故答案为
:
温度t
,
水的密度ρ;
根据题意得 .x 解得x .答 小丽家 图中M点表示当t 时 水的密度为 .
12 -20=88, =90 : 4 (2) =4℃ , 09999
20
3A"#
g·cm -3; 高温度经过了 15-3=12(h);
(3)
由图可得
,
当温度为
10℃
时
,
水的密度ρ为
0
.
9996 (3)
温度下降的时间范围为
0~3
时及
15~24
时
,
图中
g·cm -3; 的A点表示的是 21 时的气温为 31℃;
(4)
由图可知
,
当温度在
0℃~4℃
时
,
水的密度ρ逐渐
(4)
预测次日凌晨
1
时的温度是
25℃
左右
,
增大
;
当温度在
4℃~10℃
时
,
水的密度ρ逐渐减小.
∵
从
0
时到
3
时温度从
26℃
降到
23℃,
7.解 由图象可得 预测次日凌晨 时的温度是 左右.
: : ∴ 1 25℃
当t 时 该港口水深最浅 9.解 甲下午 时出发 乙下午 时出发 所以甲更
(1) =9 , , :(1) 1 , 2 ,
故答案为 早 早出发 小时
:9; , 1 ;
从 到 时 水深均在下降 甲 时到达 乙 时到达 所以乙更早 早到
(2) 3 9 , , (2) 5 , 3 , , 2
故答案为 小时
:3,9; ;
当h 时t的值是 或
(3) =6 , 1 5; 乙的速度 50 甲的平均速度
故答案为 或 (3) = =50(km/h), =
:1 5; 3-2
某货船吃水深度为 它可以出入该港口的时间
(4) 3m, 50 =12 . 5(km/h);
是 至 时和 至 时. 5-1
0 8 11 12 设乙出发x 就追上甲 根据题意得
故答案为 至 时和 至 时. (4) h , 20+[(50-
:0 8 11 12 x x解得x ..答 乙出发 . 小
8.解 上述问题中的两个变量 自变量是氮肥施用量 20)÷(5-2)]=50 , =05 : 05
:(1) , ; 时就追上甲.
故答案为 氮肥施用量
: ; 第50 课时综合与实践设计自己的运算程序
图中点A表示的实际意义是不施用氮肥时 每公顷
(2) , 1.解
土地土豆的产量约为 :(1)325325÷7÷11÷13=325,
15t; 选择三位数 得到
故答案为 不施用氮肥时 每公顷土地土豆的产量约为 111, 111111÷7÷11÷13=111;
: , 故答案为 .
:325
15t; 任意一个三位数 先扩大 倍加上原数 再分别
当每公顷土地氮肥的施用量为 时 土豆的产 (2) , 1000 ,
(3) 100kg , 除以 可得到原数
量约为 . 7、11、13, ,
3147t, 设任意三位数为a由题意得
故答案为 . . , :
:3147t a a a
第48课时 用图象表示的变量间关系(2) (1000+ )÷7÷11÷13=1001 ÷7÷11÷13=
a a a
1. 143÷11÷13=13÷13= ,
D 2.解 A区显示的结果为 a a a
2.解 从新华书店返回用的时间 . :(1) :25- - =-2+25,
:(1) =45-30=15(min) B区显示的结果为 a a a
新华书店离家 . :-16+3+3=6-16,
(2) 900m 故答案为 a a
在书店待了 . :-2+25;6-16;
(3) 10min a a
小明去书店时的平均速度 . (2)(-2+25)(6-16)
(4) =900÷20=45(m/min) a2 a a
3. 4. 5. . =-12 +32+150-400
6.
C
解
C
.
(1
.
)24;
.
(2)4
或 . =-12
a2
+182
a
-400,
:(1)2(2)02,04;(3)2 4 当a 时
7.解 =-1 ,
:( 根 1) 据 1 图 50 象 0,4; 时 直线最陡 故小红在 原式 =-12×(-1)2 +182×(-1)-400
(2) ,12~14min , , 12~
最快 速度为 =-12-182-400
14min , 450m/min; .
小红一共行驶了 =-594
(3) 1200+(1200-600)+(1500- 3.解 如选择的三位数是 运用以上规则依次可得
. :(1) 123,
600)=2700(m) 到
第49课时 变量之间的关系复习 :123,326,963,999,999,…
这组数的后面都是
1. 2.tV 3.4 V和R 大 如选择的三位数 99 是 9; 运用以上规则依次可得到
D ,,15
3
,π, , (2) 788, :
4 7 . . y 解 = : 0 (1 . 3 ) 根 +0 据 . 5 图 t 象 5 得 .y 出 = : 1 明 7 x 明 + 离 3 开 6 山 . 1 脚 7 . 5 40 min 时爬的最 7 如 88 选 ,2 择 21 的 ,2 三 42 位 ,48 数 8 是 ,55 2 1 5 , 5 57 , 5 运 ,7 用 88 以 ,… 上规则依次可得到 :
高 爬了
,
爬山
600m;
和 时进行休息 分别休息了
2
如
55
选
,1
择
17
的
,7
三
17
位
,47
数
7
是
,114,414
运
,7
用
44
以
,1
上
17
规
,…
则依次可得到
(2) 8min 30min , 205, :
和
(10- 爬 8 山 )= 第 2(min) 3 到 5- 第 30=5(min 爬 ); 了 2 猜 05 想 ,10 一 0, 个 0, 各个数字是非零的三位数 运用以上规则计
(3) 30min 40min, 600-400= 算 总 : 能得到重复出现的一个数或一组 , 数.
200(m);
4.解
,
它们乘积的前两位是 与 的积
(4) 下山时 , 平均速度是 600 =30(m/min) . 即 :(1)7 它 4 们 ×7 乘 6 积 , 的后两位是 与 的 7 积 (7 即 +1) .所以 ,
60-40 56, 4 6 , 24
8.解 上午 时的温度是 这一天的最高温度是
:(1) 9 27℃, 74×76=5624,
故答案为
37℃; :5624;
这一天的温差是 从最低温度到最 写出十位数字相同 个位数字之和为 的两个两
(2) 37-23=14(℃), (2) , 10
21
A"# 3
位数即可 例如
, :56×54=3024, 8. 9.1 10.a
故答案为 答案不唯一 2 4+12
:56×54=3024( ); 25
(
则
3)
另
①
一
设
个
其
因
中
数
一
的
个
十
因
位
数
数
的
字
十
为
位
a
数
个
字
位
为
数
a
字
, 个
为
位数字
b
为b , 11.解 :(1) 8
3
a3b4;(2)1 .
所以这两个两位数可以表示为 , a b a 10- b , 12.解 :[( x +2 y )( x -2 y )+4( x - y )2]÷(- x )=( x2 -
故答案为 a b a b 10+ ,10+10- , 4 y2 +4 x2 -8 xy +4 y2)÷(- x )=(5 x2 -8 xy )÷
这两个两 :10 位 + 数表 ,10 示为 +10 a - ; b a b它们的 (- x )=-5 x +8 y , 当x =-2, y =1 时 , 原式 =-5×
② 10 + ,10 +10- , .
积为 (-2)+8×1=18
:
(10
a
+
b
)(10
a
+10-
b
)=100
a2
-10
ab
+100
a
+10
ab
-
13.解
:
原式
=
a2
-2
ab
-
b2
-
a2
+
b2
=-2
ab
,
当a
=
1
,
b2
+10
b
b 时 原式 .
2
=100
a2
+100
a
-
b2
+10
b
14.解
=-
由
1
题意
,
得 m
=1
m m m
aa b b : (3 +1)◎(3 -5)=(3 +1+3 -
= 即 1 满 00 足 ( 十 + 位 1) 数 + 字 (1 相 0 同 - ) 个 , 位数字的和为 的两位数 5)2 -(3 m +1-3 m +5)2 =(6 m -4)2 -36=36 m2 -
“ , 10 m m2 m .
相乘 将一个因数的十位数字与另一个因数的十位数 48 +16-36=36 -48 -20
字加 , 的和相乘 所得的积作为计算结果的前两位 将 15.解 : 知识生成 :( a + b )2 -4 ab =( a - b )2;
1 , , 知识迁移
两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位 得 :
以证明.
”, 正方体体积是长方体和小正方体的体积和
,
即a3
+
5.解 屏幕上的初始数字为
b3
+3
a2b
+3
ab2,
连 : 按 (1 两 ) 次按键ABC键不重 -1 复 , 按 后 屏幕上显示的 ∴( a + b )3 = a3 + b3 +3 a2b +3 ab2;
(,, ) ,
数字最大 则先按B键为 成果运用 a b ab 13
, : :(1)∵ + =7, = ,
4
-1×(-2)=2,
再按A键可得 :2+3=5; ∴( a - b )2 =7 2 -4× 1 4 3
故答案为 : B → A ; ∴( a - b )2 =36,
(2)
按A键
:-1+3=2, ∴ a - b =±6;
B :2×(-2)=-4, (2)∵| a + b -6|+( ab -7)2 =0,
C :-4÷4=-1, ∴ a + b =6, ab =7 .
A :-1+3=2,…, ∵( a + b )3 = a3 + b3 +3 a2b +3 ab2,
每按键 次循环
∴ 3 , ∴ a3 + b3 =( a + b )3 -3 a2b -3 ab2 =6 3 -3 ab ( a + b )=
∵2 按 0 了 26÷3=6 次 75 后 …… 屏 1 幕 , 上显示的数字是 期末 21 复 6- 习 3 冲 × 刺 7× (二 6= )相 90 交 . 线与平行线
∴ 2026 , 2;
6. ( 故 解 故 则 2) 答 : 答 ( 设 x 1 案 案 ) 卡 M 为 为 片 = : : 2 5 A 0 ( . 3 ; 上 ×5 的 y + 数 7 字 )× 为 2 x + , 6 卡 = 片 50 B , 上的数字为y , 1 8 11 . . 2 D . , 解 又 ∠ 2 : ∵ 5 ∵ . ∠ B 或 ∠ 4 ∠ 3 = 3 6 = 7 . B , 0 3 ∠ ° 5 , 4 9 = . B . 1 8 1 0 0 ° ° 5 ( . 1 对 B 0 顶 . 3 6 6 角 . ° 9 相 0 ° 等 7 ), . 135
(5 +7)×2+ =76, ∴∠5+∠4=110°+70°=180°,
10 x +14+ y =76, ∴ a ∥ b ( 同旁内角互补 , 两直线平行 ),
1 ∵ 0 x x + 、 y y 都 =6 是 2 1 , 至 9 这 9 个数字 , 12. ∴ 解 ∠ : 设 2= 这 ∠ 个 1 角 = 的 46 度 °( 数 两 是 直 x 线 , 平 则 行 它 , 的 内 余 错 角 角 的 相 度 等 数 ) . 是 (90°-
∴
故
x
答
=
案
6
为
, y =2, x ), 补角的度数是 (180°- x ), 根据题意得 ,3(90°- x )-
(3)
设卡片
:6
A
,2
上
;
的数字为x
,
卡片B上的数字为y
(
其 (180
.
°-
x
)=18°,
解得x
=36°
.故这个角的度数是
中 则 得 其 x 中 M M 、 y 十 = - 2 1 位 为 4 ( 数 1 = 5 x , 1 字 2 0 + x , 是 7 … + x ) , y + 9 y , 个 这 = 位 9 (1 数 个 0 x 字 数 + 是 字 y y ) ) , +14, 13. 3 解 ∴ ∵ 6° O : ∠ E ∵ A O ∠ 平 C A 分 O = ∠ C ∠ A 与 B O O C ∠ D B , = O 6 D 2° 是 , 对顶角 ,
, ,
所以由给出的M的值减去 14, 所得两位数十位上的数 ∴∠ COE = 1 2 ∠ AOC = 1 2 ×62°=31°,
字为卡片A上的数字x , 个位数上的数字为卡片B上 ∵ OF ⊥ OD ,
的数字y. COF DOF
∴∠ =∠ =90°,
EOF COE
∴∠ +∠ =90°,
期末复习冲刺 EOF COE .
∴∠ =90°-∠ =90°-31°=59°
期末复习冲刺(一)整式的乘除 14. 证明 BC DF B D
(1) :∵ ∥ ,∠ =∠ ,
1. D 2. C 3. B 4. C 5. C 6. 3 . 01×10 -6 7. 5 ∴∠ D +∠ BCD =180°,
22
3A"#
B BCD 当n 或 时 这个事件为可能发生.
∴∠ +∠ =180°, (3) =3 4 ,
AB CD
∴ ∥ , 13.解 获一等奖的概率是 10 1
∴∠ A =∠ ACD ; :(1) 10000 = 1000 ;
(2) 解 :∵∠ A +∠ B =108°, (2) 获奖的概率是10+50+500 = 7 ;
ACB 10000 125
∴∠ =72°, x
FG AC 设需要将x张无奖券改为三等奖券 则 +500
∵ ∥ , (3) , =
BGF 10000
∴ ∵ B ∠ C ∥ DF = , 72°, 1 1 0 , 解得x =500 .
EFG .
∴∠ =72° 14.解 P 白球 3 3
15.解 EAB :(1)∵ ( )= = ,
:(1)∠ ,180°; 5+3 8
如图 过点E作EF AB
(2) 1, ∥ , 它是白球的概率是3
∵ AB ∥ CD , ∴ 8 ;
∴ CD ∥ EF , (2)∵ P ( 白球 )= 3-1 = 2 ,
FEC C 5+3-1 7
∴∠ =∠ ,
AB EF 它是白球的概率是2.
∵ ∥ , ∴
∴ ∴ ∵ ∴ ∠ ∠ ∠ ∠ C B B B FE E E + C C F ∠ + = = B 8 1 ∠ E 0 8 ° B 0 F ° , E = - F B 1 ∠ 8 = 0 B 8 ° 0 , , °, 15. 2 ( ( 解 2 0 3 0 ) ) : C ( - 该 1 6 ) 组 生 2 0 0 - 的 当 0 8 ; 人 天 0- 数 在 40 = 校 = 2 体 0 2 0 0 育 7 × 人 活 40 , 动 补 % 时 全 = 条 间 80 形 低 人 统 于 , 计 A 1 图 h 组 如 的 的 图 概 人 所 率 数 示 = 是 ;
∴∠ +180°-∠ =80°,
∴∠ B -∠ C =180°-80°=100°; 2 8 0 0 0 = 2 5 ;
如图 过点E作EM AB 当天达到国家规定体育活动时间的学生有
(3) 2, ∥ , (4)
AB CD
∵ ∥ , 120 人 .
EM CD 1200× =720( )
∴ ∥ , 200
MEC DCE
∴∠ =∠ ,
CG平分 DCE
∵ ∠ ,
ECG DCG
∴∠ =∠ ,
设 ECG DCG α
∠ =∠ = ,
则 DCE α
∠ =2,
MEC α
∴∠ =2,
AB CDFH AB
∵ ∥ , ∥ ,
CD FH 期末复习冲刺(四)三角形
∴ ∥ ,
HFC DCG α 1. 2. 3. 4. 5. 6.三角形具有稳定性
∴∠ =∠ = , C A B B D
BFC 7. 8. x 9. 10.AD AE
∵∠ =36°, 2 3< <13 115° =
BFH BFC HFC α 11.解 如答图所示.
∴∠ =∠ +∠ =36°+ , :
FH AB
∵ ∥ ,
ABF BFH α
∴∠ =∠ =36°+ ,
BF平分 ABE
∵ ∠ ,
ABE ABF α α
∴∠ =2∠ =2(36°+ )=72°+2,
EM AB
∵ ∥ ,
∴∠ ABE +∠ BEM =180°, 12.解 :(1)∵ PB为 ∠ ABC的平分线 , PC为 ∠ ACB的平
∴∠ BEM =180°-∠ ABE =180°-(72°+2 α )= 分线 ,
α
108°-2,
PBC PCB 1 ABC ACB .
BEC BEM MEC α α . ∴∠ +∠ = (∠ +∠ )=65°
∴∠ =∠ +∠ =108°-2+2=108° 2
期末复习冲刺(三)概率初步 在 PBC中 PBC PCB
△ ,∠ +∠ =65°,
BPC PBC PCB .
1. 2. 3. 4. 5. 6.1 7.1 8. ∴∠ =180°-(∠ +∠ )=115°
B C D C D 30
4 2 由 可知 BPC 1 ABC
(2) (1) :∠ =180°- (∠ +
9.3 10.5 2
11. 5 解 男生 8 有 人 女生有 人. ∠ ACB ),
12.解 : 当n 24 或 , 时 这 1 个 2 事件 必然发生 ∴∠ BPC =180°- 1 (180°-∠ A )=90°+ 1 ∠ A.设
:(1) =5 6 , ; 2 2
当n 或 时 这个事件不可能发生 A α
(2) =1 2 , ; ∠ = ,
23
A"# 3
ADC x
1α α解得α ∴∠ =180°-2 ,
∴90°+ 2 =3, =36°, 则 ∠ ADE =∠ BDE = x , 则 ∠ BED =180°-30°- x =
13. ∴ 证 ∠ 明 A :∵ = A 3 B 6° = . CD , 1 ∵ 50 △ ° B - E x D , 是 “ 特征三角形 ”,
∴ AB + BC = CD + BC , 1)∠ B为特征角时 , 当 ∠ B =2∠ EDB时 , x =15°, 则
AC BD. ADC
∴ = ∠ =180°-2×15°=150°,
在 △ AEC和 △ BFD中 , A A C E = = B B D F , , 当 解 ∠ 得 B : x = = 2 1 ∠ 35 B ° E ( D 舍去 时 ) ,1 ; 50°- x =15°,
CE = DF , 2) 为特征角时 , 当 ∠ EDB =2∠ B时 , x =60°, 则
14. ( ∴ 1) △ 解 AE :∵ C △ ≌ A △ B B C F , D △ ( A SS D S E ) . 是 等腰直角三角形 , ∠ 当 A ∠ D E C D = B 1 = 80 2 ° ∠ - B 2 E × D 60 时 °= , x 60 = ° 2 , (150°- x ),
∴ AB = AC ,∠ BAD =∠ EAC =90°, AD = AE , 解得 : x =100°( 舍去 );
在 ADB和 AEC中 AD D = AB AE , EAC 3)∠ BED为特征角时 , 当 ∠ BED =2∠ B时 ,150°- x
∵ △ △ ,∠ =∠ , =60°,
AB = AC , 解得 : x =90°( 舍去 ),
∴△ ADB ≌△ AEC (SAS), 当 ∠ BED =2∠ BDE时 ,150°- x =2 x ,
∴ BD = CE ; 解得 : x =50°, 则 ∠ ADC =180°-2×50°=80°,
(2) 证明 :∵△ ADB ≌△ AEC , 综上所述 ,∠ ADC =150° 或 60° 或 80°;
∴∠ ACE =∠ ABD , ③ 设 ∠ C = α ,
而在 △ CDF中 ,∠ BFC =180°-∠ ACE -∠ CDF , ∵∠ AFE +∠ ADC =180°,∠ ADB +∠ ADC =180°,
又 ∵∠ CDF =∠ BDA , ∴∠ AFE =∠ ADB ,
∴∠ BFC =180°-∠ DBA -∠ BDA =∠ DAB =90°, ∴ EF ∥ BC ,
∴ BF ⊥ EC ; ∴∠ EDB =∠ FED ,
(3) BD = CE成立 , 且两线段所在直线互相垂直 , 即 又 ∵ DE平分 ∠ ADB ,
BF ⊥ CE.理由如下 :∵△ ABC ,△ ADE是等腰直角三 ∴∠ EDB =∠ FDE ,
角形 , ∴∠ FED =∠ FDE ,
∴ AB = AC , AD = AE ,∠ BAC =∠ EAD =90°, ∵∠ FED =∠ C ,
∵∠ BAC +∠ CAD =∠ EAD +∠ CAD , ∴∠ EDB =∠ FDE =∠ C = α ,
∴∠ BAD =∠ CAE , ∴ ED ∥ AC ,
AD = AE , ∴∠ CAD =∠ EDF = α ,
∵ 在 △ ADB和 △ AEC中 ,∠ DAB =∠ EAC , ∴ 在 Rt△ ADC中 ,∠ ADC =180°-2 α ,∠ CAD =∠ C
AB = AC , = α ,
∴△
ADB
≌△
AEC
(SAS), ∵△
ADC是
“
特征三角形
”,
∴ BD = CE ,∠ ACE =∠ DBA , ∴180°-2 α =2 α或α =2(180°-2 α ),
∴∠ FCA +∠ BFC =∠ CAB +∠ ABD , 解得 : α =45° 或α =72°,
∴∠ BFC =∠ CAB =90°, 即 ∠ C =45° 或 72° .
BF EC. 期末复习冲刺(五)生活中的轴对称
∴ ⊥
15.解 一个 特征三角形 的一个内角为 若 1. 2. 3. 4. 5. 6. 或 7.
:(1)∵ “ ” 120°, D B D A C 70° 40° 37°
特征角 为锐角 8. 9. 10.
“ “ , 3 45 36
设这个 特征角 的度数为 x 则另一个角为x 11.解 C ABC A
“ “ 2°, °, :∵∠ =∠ =2∠ ,
x x C ABC A A
∴120+2 + =180, ∴∠ +∠ +∠ =5∠ =180°,
解得x A .
:=20, ∴∠ =36°
这个 特征角 的度数为 C ABC A .
∴ “ ” 40°, ∴∠ =∠ =2∠ =72°
故答案为 . 又BD是AC边上的高
:40 ,
AD BCDE AB DBC C .
(2)①∵ ⊥ , ⊥ , ∴∠ =90°-∠ =18°
ADB DEB 12.解 BM CN.理由 由AB ACAM AN 得
∴∠ =∠ =90°, : = : = , = ,
DE平分 ADB ABC ACB AMN ANM
∵ ∠ , ∠ =∠ ,∠ =∠ ,
EDB ABC AMN ACB ANM 即 MAB
∴∠ =45°, ∴∠ -∠ =∠ -∠ , ∠
BED BDE NAC
∵∠ =2∠ , =∠ ,
BED为 特征三角形 AM AN
∴△ “ ”; = ,
设 BDE x 在 AMB和 ANC中 MAB NAC
② ∠ = , △ △ ,∠ =∠ ,
DE平分 ADB AB AC
∵ ∠ , = ,
24
3A"#
AMB ANC .
∴△ ≌△ (SAS), 35km=3500m,
BM CN. 小明从家到文具店的平均速度为
∴ = ∴ 3500÷45=
13.证明 连接BF
: , 700 .
∵ ∴ ∵ F B F F M 是 ⊥ 也 △ A 是 A B B 角 , C F 平 N 的 分 ⊥ 角 线 B 平 C . 分 , 线的交点 , 13. ( 解 2 9 ) :( 这 ( 1 m ) 一 / 上 m 天 i 午 n 最 ) 3 高 时 温 的 度 气 和 温 最 为 低 23 温度 ℃ 分 . 别是 这 3 一 7 天 ℃ 的 ,2 温 3 差 ℃ 是 .
∴ ∵ ∴ M 在 ∠ F B R A = t C △ F = N AB 3 , 0 C ∠ ° D , 中 N , F ∠ = AC ∠ B E = M 9 F 0° = , 9 ∠ 0 A ° . BC =60°, 1 ( ( 温 3 4 4 ) ) 度 3 ℃ 点 7 为 , - A 从 2 表 3 最 = 示 低 1 . 2 4 温 1 ( 度 ℃ 时 到 ) 的 ,1 最 温 5 高 - 度 3 温 为 = 度 3 1 1 2 经 ( 过 ℃ h) 了 , , 点 12 B h 表 . 示 0 时的
DAC 1 BAC 26℃
∴∠ = 2 ∠ =15°, 14.解 由三角形的面积公式可得S 1AB h h
∴ ∵ ∠ ∠ C A D CE A = = 4 9 5 0 ° ° , - ∠ ∠ B D A A C C = = 30 7 ° 5° , . ( 示 2) : 如 ( 当 1 下 h ) =2,3,4,5,6 时 , S =6,9,1 , 2, = 15 2 ,18, 用 · 表 = 格 3 表 ;
∴∠ MEF =∠ ACE +∠ BAC =45°+30°=75°, :
∴∠ MEF =∠ NDF , h /cm 2 3 4 5 6
DNF EMF
在 DNF和 EMF中 ∠ NDF =∠ MEF , S /cm 2 6 9 12 15 18
△ △ ,∠ =∠ ,
NF MF 依据 中表格要知 当高每增加 时 三角形
= , (3) (2) , 1cm ,
DNF EMF ABC的面积增加 2.
∴△ ≌△ (AAS), 3cm
FD FE. 15.解
∴ = :(1)1500;(2)4;(3)2700,14;
14.解 DE垂直平分BC 在整个上学的途中 至 小明骑车速
:∵ , (4) 12min 14min
∴ ∴ P ∠ B P = BC PC = , ∠ PCB , 度最 在 快 整 , 个 最 上 快 学 的 的 速 途 度 中 为15 1 0 4 0 - - 1 至 6 2 00 =450 小 (m 明 /m 骑 in 车 ), 速度
∵ BP平分 ∠ ABC , ∴ 最快 最快的速度为 12min 1 . 4min
∴∠
PBC
=∠
ABP
, 期末复习
,
冲刺(七)综合
450m/min
PBC PCB ABP.
∴∠ =∠ =∠ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
∵∠ A =50°,∠ ACP =28°, 8.V B h A 9. B C B 10 80°
PBC PCB ABP =60 -2
∴∠ +∠ +∠ =180°-50°-28°= 10.BD BC或 DAB CAB或 D C
1 ∴ 02 3 ° ∠ , ABP =102°, 11.解 : = (1) 原 ( 式 = ∠ 4 y2· = ( ∠ -3 y )+2 y ∠ 3 = = - ∠ 12 y ) 3 +2 y3 =
ABP . -10
y3;
15. ∴ 解 点P ∠ :(1 即 ) 如 为 图 = 所 3 所 求 4° 示 ,△ 如 A 1 图 B 1 所 C 示 1 即 点 为 Q 所 即 求 为 ;(2 所 ) 求 如图所 5 示 . , 12. ( 解 2) :( 原 2 a 式 + = b x ) 2 2 - + 6 4 xy ( a + + 9 b y ) 2 + ( a 6 x - y b - ) 9 - y ( 2 2 = a x 2b 2 2 . + a3b2)÷
;(3) , ;(4)
2 1ab a2 ab b2 a2 b2 ab a2b
=4 +4 + +4 -4 -4 -2 =
2
8
a2
-3
b2
-2
a2b
,
当a
=
1
,
b
=2
时
,
原式
=8×
2
2 2
1 2 1 .
-3×2-2× ×2=2-12-1=-11
2 2
13.解 如图
:(1) ;
点D为AC的垂直
(2)∵
期末复习冲刺(六)变量之间的关系 平分线与AB的交点
,
1. D 2. C 3. B 4. D 5. D ∴ CD = AD ,
6.y
=2
x
+4
7.y
=
x2
+4
x 8.y
=-
x2
+8
x
∴
BD
+
CD
=
BD
+
AD
=
9.y =40-5 x ,8 10. ①③④ AB =15,
11.解 通话时间与电话费 其中通话时间是自变量 BCD的周长 BD CD BC AB BC
:(1) ; , ∴△ = + + = + =15+
电话费是因变量.
(2)
设通话时间为x
,
电话费为y
,
则
8=23
.
有y =0 . 6 x , 14.解 :(1) 小正方形的边长是自变量 , 阴影部分的面积为
∴ 当x =10 时 , y =6 .需付 6 元电话费. 因变量 ;
12.解 :(1)15,2 . 5; (2) 由题意可得y =12 2 -4 x2 =144-4 x2;
(2) 由图象可得 , 文具店离体育馆 2 . 5-1 . 5=1km, (3) 当小正方形的边长由 1cm 变化到 5cm 时 , 阴影
小明在文具店停留了
65-45=20min;
部分的面积逐渐变小
,
由
140cm
2变到
44cm
2.
(3) 小明从家到体育场再到文具店的路程为 2 . 5+1= 15.解 :(1)∵ AB ⊥ OM ,
25
A"# 3
OAB 14.解 根据题意 得销售额y与销量x之间的关系式
∴∠ =90°, :(1) ,
ABO MON 为y .x .x
∴∠ =90°-∠ =30°, =(4+05)=45 ;
OAB ABO 当x 时y . .答 她应付款 元.
∴∠ =3∠ , (2) =6 ,=45×6=27 : 27
AOB不是 和谐三角形 . 15.解
∴△ “ ” :(1)60,60°;
故答案为 不是 AM FH EFH
:30°, ; (2)∵ ∥ ,∠ =90°,
ACB是 AOC的一个外角 EFH FAM
(2)∵∠ △ , ∴∠ +∠ =180°,
ACB O OAC. FAM EFH
∴∠ =∠ +∠ ∴∠ =180°-∠ =180°-90°=90°,
又 O ACB AM FH
∠ =60°,∠ =84° ∵ ∥ ,
OAC HCD AMC
∴∠ =24°, ∴∠ =∠ ,
ACO AB CD
∠ =180°-84°=96°, ∵ ∥ ,
ACO OAC BAM AMC
∴∠ =4∠ , ∴∠ =∠ ,
AOC是 和谐三角形 HCD BAM.
∴△ “ ”; ∴∠ =∠
EFC BDC ADC BDC FAB HCD FAB BAM FAM
(3)∵∠ +∠ =180°,∠ +∠ =180°, ∴∠ -∠ =∠ -∠ =∠ =
EFC ADC
∴∠ =∠ , 90°,
AD EF 无论 FAB如何变化 FAB HCD的值始终
∴ ∥ , ∴ ∠ ,∠ -∠
DEF ADE. 为定值 该定值为
∴∠ =∠ , 90°;
而 DEF B FAB HCD ° α.理由
∠ =∠ , (3)∠ -∠ =180-
B ADE. 如下
∴∠ =∠ :
DE BC 如图 过A作AN FH 交CD于N
∴ ∥ , , ∥ , ,
CDE BCD. AN FH EFH α
∴∠ =∠ ∵ ∥ ,∠ = ,
DE平分 ADC EFH FAN
∵ ∠ , ∴∠ +∠ =180°,
ADE CDE FAN EFH α
∴∠ =∠ , ∴∠ =180°-∠ =180°- ,
B BCD. AN FH
∴∠ =∠ ∵ ∥ ,
BCD是 和谐三角形 HCD ANC
∵△ “ ”, ∴∠ =∠ ,
BDC B或者 B BDC. AB CD
∴∠ =4∠ ∠ =4∠ ∵ ∥ ,
BDC BCD B BAN ANC
∵∠ +∠ +∠ =180°, ∴∠ =∠ ,
B 或者 B . HCD BAN.
∴∠ =30° ∠ =80° ∴∠ =∠
期末复习冲刺(八)综合 FAB HCD FAB BAN FAN
∴∠ -∠ =∠ -∠ =∠ =
α
1. 2. 3. 4. 5. 6.1 7.. -7 180°- ,
C D B B C 2 35×10 ∴ 无论 ∠ FAB如何变化 ,∠ FAB -∠ HCD的值始终
8.直角 9.6
5
10.
12 期末
为
复 18 习 0° 冲 - 刺
α
(
.
九)综合
1
1
1
2
.
.
(
解
1)
:[
原
( x
式
+
=
y
a
)
2
( x
· a
-
4
y
÷
)
a
+
3 =
2 y
a6
( x
÷ a
-
3
y
=
)
a
-
3.
( x -
(2
y
)3
)
x
2]
-
÷
2 y
2 y
.
=
1
8
.
. C 平 行
2.
B 9 .
3.
D
4
或
.
D
5.
C 10
6
.
.x5;2 a 7.
2
(
x2
-
y2
+2
xy
-2
y2
-
x2
+2
xy
-
y2)÷2 y
=(-4
y2
+
26cm 22cm 45
4 xy )÷2 y =-2 y +2 x , 当x =1, y =2 时 , 原式 = 11.解 :(1) 原式 =9 a2b2· 1a4b3c2 +(-3 a2b2c2)=3 a6b5
3
.
13. (
-
1
2
) 证
×
A
2
明 B
+
E :
2
∵
×
∠
1
A
=
A B B
-
E D
2
= ∠ C C B B D D , ABD 即 EBD
c
(
2
2 - ) 3 原
a2
式
b2c
=
2;
[(4 x2 +12 xy +9 y2)-(4 x2 - y2)]÷
∴
A
∠
BC.
+∠ =∠ +∠ , ∠ =
(-2
y
)=(4
x2
+12
xy
+9
y2
-4
x2
+
y2)÷(-2 y
)=
∠
E A (12
xy
+10
y2)÷(-2 y
)=-6
x
-5
y
,
在 EBD和 ABC中 E
∠
B
=
A
∠
B
, 12.解
:
原式
=(4
x2
+4
xy
+
y2
+
y2
-4
x2
-6
y
)÷2
y
=
△ △ ,
E
=
BD
,
ABC (4
xy
+2
y2
-6
y
)÷2
y
=2
x
+
y
-3,
当x
=-1,
y
=3
∠ =∠ , 时 原式 .
EBD ABC . , =-2+3-3=-2
∴△ ≌△ (ASA) 13.解 如图 EBC即为所求
解 EBD ABC :(1) ,∠ ;
(2) :∵△ ≌△ , EB与AD不一定平行.理由
BD BC BDE C (2)
∴ = ,∠ =∠ , 如下
BDE :
∵∠ =65°, 当所作的角在BC上方时
BDC BDE ①
∴∠ =∠ =65°, 平行.
CBD
∴ ∵ ∠ 点O为C = D 180 的 °- 中 6 点 5° , - B 6 D 5° = = B 5 C 0° , , ∵∠ EBC =∠ A ,
EB AD.
∴∠ OBD = 1 ∠ CBD =25° . ∴ 当所 ∥ 作的角在BC下方时EB与AD就不平行.
2 ②
26
3A"#
14.解 口袋中装有红球 个 黄球 个 白球 个 共 BF AC
:(1) 6 , 9 , 3 , ∵ ⊥ ,
AFB
个球 故P 摸到白球 3 1 ∴∠ =90°,
18 , ( )= 18 = 6 ; ∴∠ AFG =90°-30°=60° .
(2)
设需要在这个口袋中再放入x个白球
,
得3+ x
x=
14.解
:(1)
时间
(
或t
),
两车之间的距离
(
或s
)
18+
(2)900
1 解得x .经检验x 是方程的解.所以需要在 观察图象可知t 时 速度较快的甲车到达了
, =2 =2 (3) ,=12 ,
这
4
个口袋中再放入 个白球.
终点B.
15.解
:(1)
BC
=
EF. 2
∴
v甲
=t
s
=
900
=75(km/h),
理由如下 12
: 答 甲车全程的平均速度为 .
EH DH .米 : 75km/h
∵ = =25 , 15.解 如图 由于射线
ED 米 :(1) 1,
∴ =5 , OE是 AOD的 好线
AB DE. ∠ “ ”,
∴ = 当 DOE AOD
由题意可知四边形CADH为矩形 ∠ + ∠ =
, 时
CA DH .米. 180° ,
∴ = =25 AOD BOD
DF .米 ∵∠ +∠ =180°,
∵ =25 , DOE BOD
AC DF. ∴∠ =∠ =26°,
∴ = OC OD
在 ABC和 DEF中 ∵ ⊥ ,
△ △ , COD
AB DE ∴∠ =90°,
A ∠ C C A = = A B B D C F = , , ∠ F D D E E F =90°, ( ∴ 故 2) ∠ 答 ∵ C 案 O O E 为 E = : 恰 6 9 4 好 0 ; ° 平 -2 分 6° ∠ = A 6 O 4 C °, ,
∴ B △ C EF ≌△ 即BC和 (S E A F S) 的 , 长相等 ∴∠ AOE =∠ COE =∠ BOD ,
∴ = , ;
BOD 1
(2) BC ⊥ EF. ∴∠ = 3 ×(180°-90°)=30°;
理由如下 如图 延长BC EOF DOG或
: , (3)∠ =2∠
交EF于点M EOF DOG
, ∠ +∠ =45°,
EDF 理由如下
∵∠ =90°, :
DFE DEF . 如图 由于射线OE是
∴∠ +∠ =90° 2,
ABC DEF AOD的 好线
∵△ ≌△ (SAS), ∠ “ ”,
B DEF 当 AOE AOD
∴∠ =∠ , ∠ + ∠ =
B DFE 时
∴∠ +∠ =90°, 180° ,
BMF AOD BOD
∴∠ =90°, ∵∠ +∠ =180°,
EF BM. AOE BOD
∴ ⊥ ∴∠ =∠ ,
期末复习冲刺(十)综合 OF是 AOE的平分线
∵ ∠ ,
1. 2. 3. 4. 5.
D C B C D EOF 1 AOE 1 BOD
∴∠ = ∠ = ∠ ,
6.
-3
x2yz
,4
x2
-9
. 7.1
OG是 BO
2
C的平分线
2
13 ∵ ∠ ,
8.A DCE同位角相等 两直线平行 答案不唯一
∠ =∠ ; , ( ) BOG 1 BOC 1 BOD
∴∠ = ∠ = ×(90°+∠ )=45°+
9. 10. 1x 2 2
6 30-
4 1 BOD
11.解
:
原式
=
b2
-2
ab
+2
a2
+2
ab
=
b2
+2
a2.
2
∠ ,
12. 2 解 x : = 原 3 式 , 则 = 原 x3 式 - = x 4 2 x + 2 5 = x ( 2 2 x - x )2 3 = = 3 4 2 x = 2 9 . . 由 2 x -3=0, 得 ∴∠ DOG =∠ BOG -∠ BOD =45°- 1 2 ∠ BOD ,
13.解 ∵ : ∠ (1 AG ) B F F = ∥ ∠ D A E B . C 理 , 由如下 : ∴ 如 ∠ 图 E 3 O , F 由 + 于 ∠ D 射 O 线 G = OE 45° 是 ,
∴ GF ∥ BC , ∠
AOD的
“
好线
”,
当 AOE AOD
∴∠1=∠3, ∠ + ∠ =
时
∵∠1+∠2=180°, 180° ,
AOD EOD
∴∠3+∠2=180°, ∵∠ +∠ =180°,
BF DE DOE BOD
∴ ∥ ; ∴∠ =∠ ,
(2)∵∠1+∠2=180°,∠2=150°, DOG 1 BOC BOD
∴∠ = ∠ -∠
∴∠1=30°, 2
27
A"# 3
=
1
(90°+∠
BOD
)-∠
BOD 2.
(1)-
3bc
;(2)
1a3x3.
2 2 2
3.解 a b
1 BOD :∵10=5,10=3,
=45°- ∠ ,
2 ∴10 2a-b =(10 a )2 ÷10 b =5 2 ÷3= 25.
EOF 1 AOE 1 BOD 3
∠ = 2 ∠ = 2 ×(180°-2∠ ) 4. (1)2 n2 -2 n +1;(2)4 ab3 +8 a2b -12 .
BOD
=90° E - OF ∠ D , OG 5.解 :[(3 y - x )(3 y + x )-(2 x - y )2 -8 y2]÷ 1x =
∴∠ =2∠ , 2
综上所述 EOF DOG或 EOF DOG
=45° .
,∠ =2∠ ∠ +∠
(9
y2
-
x2
-4
x2
+4
xy
-
y2
-8
y2)÷ 1
2
x
=(-5
x2
+
xy 1x x y
4 )÷ =-10 +8 ,
C本 2
-2
1 整式乘法 ∵ x =(-1)0 =1, y = 1
2
=4,
1. (1)- x6;(2) b10;(3) a6;(4)3 a2;(5)-8 a6b9c3; ∴ 原式 =-10 x +8 y =-10×1+8×4=-10+32=
(6)8 a8b2 -8 a6. 22 .
2. (1)-12 x5y3;(2)-5 a6. 6.解 :(1)∵ 长方形的面积为 4 a2 -6 ab +2 a , 它的一边长
3.解 :(1) 原式 =6 a6 +9 a6 -14 a6 = a6; 为 2 a ,
(2) 原式 =6 x2 +3 xy -2 x2 +2 xy =4 x2 +5 xy. ∴(4 a2 -6 ab +2 a )÷2 a =2 a -3 b +1,
4. (1)8;(2) 2. ∴ 长方形的另一边长为 2 a -3 b +1;
5.解 :( x +1) 3 ( x - p )= x2 +(1- p ) x - p , (2) 这 L 个 =2 长 × 方 (2 形 a 的 -3 周 b 长 +1 为 +2 a a )= b 8 a - . 6 b +2,
∵( x + p 1) q ( x - p p )= x2 + 解 qx 得 - p 3, q 7. ∴ 解 :(1)∵6,7,8,9 是一组 8 平 - 衡 6 数 + , 2
∴1- = ,- =-3, =3,=-2, ∴ M =( x +6)( x +9)-( x +7)( x +8)
∴ pq =3 -2 = 1. =( x2 +9 x +6 x +54)-( x2 +8 x +7 x +56)
6.解 移 : 项 去 合 括 并 号 , , 得 得 x 9 x 2 2 - - 5 x 2 x - - x 3 2 x - + 10 6 x + = 1 9 8 - = 2 x 4 2 , + 合 x 并 + 同 9 x 类 + 项 9, , = = x ( x 2 2 + + 1 1 5 x 5 x + + 5 5 4 4 - ) x - 2 ( - x 1 2 5 + x 1 - 5 x 56 +56)
得 x 系数化为 得x . =-2,
-15 =-15, 1, =1 平衡因子M
7.解
:(
y2
+
ay
+3)(
y2
-3
y
+
b
)=
y4
-3
y3
+
by2
+
ay3
-
∴
m
=-
是
2
一
;
组平衡数
3
ay2
+
aby
+3
y2
-9
y
+3
b
=
y4
+(
a
-3)
y3
+(
b
-3
a
+
(2
M
)∵2,4
x
,,-
x
9
x
,
x m
3 ∵ ) a y 不 2 + 含 ( 有 ab y - 2 且 9 和 b ) y y3 + 项 a 3 b , . ∴ = = = ( ( ( x x 2 2 + - - 2 9 7 ) x x ( + - - 2 1 x 8 9 ) ) - - - 18 ( ( x ) 2 - + + 4 ( x m ) x 2 ( + + + m 4 x x + + ) 4 4 x m + ) 4 m )
∴
∴ a
-
=
3
3
=
, b
0
=6; 当
-3
a =
+
3
3
, b
=0
=
,
6 时 ,(-2 a )3(- a + b )· =
x2
-7
x
- m 18 x -
x2
-
mx
m -4
x
-4
m
,
=(-11- )-18-4 ,
a2 - ab + 1 2 b2 =(-6)3 ×3×(9-18+18) ∵ M是常数 ,
=-5832 . ∴-11- m =0,
8. b 解 故 )= : 答 ( x 1 案 2 ) + 根 为 ( 据 a a + 上 b 面 b ) x 的 + 计 ab 算 , , 总结规律可发现 :( x + a )( x + ( ∴ 衡 3 m ) 数 当 = . a - , b 11 , c ; , d之间满足a + d = b + c时 , 它们是一组平
(2) 根据 ( : 1 ( ) 可 + 知 ); , 原式 = x2 +( a + b ) x + ab = x2 + 证明 : 由题意可得 :
mx +7, ∴( x + a )( x + d )-( x + b )( x + c )
所以m = a + b , ab =7, =( x2 + ax + dx + ad )-( x2 + bx + cx + bc )
又因为a , b , m均为整数 , = x2 +( a + d ) x + ad - x2 -( b + c ) x - bc
所以ab =7=1×7=(-1)×(-7), =
根
[
据
( a
题
+
意
d
可
)-
知
( b +
结
c
果
)]
为
x +
常
(
数
ad - bc ) .
即 a =1,或 a =7,或 a =-1,或 a =-7, : ,
b =7 b =1 b =-7 b =-1, ∴( a + d )-( b + c )=0,
所以m = a + b =1+7=8 或m = a + b =(-1)+(-7) ∴ 故 a 当 + a d b = b c + d c 之 . 间满足a d b c时 它们是一组平
= 故 - m 8 的 , 值为 或 . 衡数. ,,, + = + ,
2 整式除法 8 -8 3 乘法公式的综合运用
1.
(1)-
x3;(2) a3;(3) x
;(4)-
yn
;(5)1;(6)
1.
1.
(1
a
)
b
m2
-
b
4
2
;
.
(2)
x2
-4
y2;(3)4 x2
-4
x
+1;(4)25
a2
-
25 40 +16
28
3A"#
2
3
.
.
(
(
1
1
)
)
5
1
x
;
2
(2
-
)1
1
0
2 x
00
+
7
2
.
0 ;(2)-24 xy.
3
a
)]÷ -
1
3
a
=[2
a2
+16
ab
+
ab
+8
b2
-(
a2
-4
ab
+
4. a 解 2 - :( 2 a ab + b + b )2 2 = = 1 1 9 1 , ② a2 ,① +2 + ab ② + 得 b2 2 a = 2 1 + 9 2 ① b2 , = ( a 30 - b , a ) 2 2 + = b 1 2 1 = , 4 b2)+(9 a2 -4 b2)]÷ - 1 3 a =(2 a2 +17 ab +8 b2 -
15,①-②
得
4
ab
=8,
ab
=2
. a2
+4
ab
-4
b2
+9
a2
-4
b2)÷
-
1a
=(10
a2
+21
ab
)÷
5.解 : 第n个式子 : n2 +[ n ( n +1)]2 +( n +1)2 =[ n ( n + 3
1)+1]2, 证明 : 因为左边 = n2 +[ n ( n +1)]2 +( n +1)2 - 1 3 a =-30 a -63 b ; 当a = 1 3 , b =- 2 1 1 时 , 原式 =
( = n n 2 2 + + n ( ) n 2 2 + + 2 n ( ) n 2 2 + + ( n n + ) 1 + ) 1 2 = = ( ( n n 2 2 + + n n )2 + + 1 2 n )2 2 , + 而 2 n 右 + 边 1= = -30× 1 3 -63× - 2 1 1 =-7 .
( n2 + n +1)2, 所以 , 左边 = 右边 , 等式成立. 6 与相交线有关的角度计算
6.解 :(1) 根据题意可知 , 方法 ①:( a - b )2; 方法 ②:( a + 1.解 :∵ OE为 ∠ BOD的平分线 ,∠ BOE =17°,
b )2 -4 ab ; ∴∠ BOD =2∠ BOE =34° .
(2) 图乙中阴影正方形的面积还可以表示为 :( a + b )2 - ∴∠ AOC =360°-∠ AOB -∠ COD -∠ BOD =360°-
4 ab , 90°-90°-34°=146° .
∴( a - b )2 =( a + b )2 -4 ab ; 2.解 :∵∠ AON =∠1=54°,∠ AOC =90°,
(3)∵ x + y =-11, xy =12, ∴∠ CON =∠ AON +∠ AOC =54°+90°=144°,
∴( x - y )2 ∵ OE平分 ∠ CON ,
=( x + y )2 -4 xy 1 CON 1 .
=(-11)2
-4×12
∴∠2=
2
∠ =
2
×144°=72°
3.解 BOD DOE BOD
=121-48 :(1)∵∠ =20°,∠ =∠ ,
. BOE
=73 ∴∠ =20°+20°=40°,
4 整式的混合运算 AOE
∴∠ =180°-40°=140°;
1.
(1)-
1a3b2;(2)54 ab6c.
(2)∵∠
DOE
=20°,∠
EOF
=
1
∠
AOE
=
1
×140°=
2 2 2
2.
(1)2
y2
+
y
-5;(2)7
a2
-4
ab
;(3)-12
x7y3;(4) xy
-1
.
70°,
3.
(1)8
x
-1;(2)3
a2
-2
a
;(3)
a2
+2
ab
-2
b2;(4)-3 x
- ∴∠
COF
=180°-20°-70°=90°
.
4.解 设 COF x
9y. : ∠ = ,
5 2 整式的化简求值 ∵ OF平分 ∠ COE ,
1 2 . .解 解 -1 : : 原 原 时 式 式 , 原 = = 式 2 4 a ( x = 2 2 - 1 + 4 . a 2 x + + 1 1 + ) a - 2 3 - ( x 1 2 - - 4 a 9 2 ) + + 4 x a 2 = - a 2 x 2, + 当 5 x a = - ∴ ∴ ∵ ∴ x ∠ ∠ ∠ +
C
C B 2
O
O O x
E
F D = + = = 5 2 1 ∠ ∠ ° ∠ B C ,
C
O 解 O
O
D E 得
F
= = x = 5 2 2 x = 1
x
° 1 ( , , 7 对 °, 顶角相等 ),
10=2 x2 +4 x +2-3 x2 +27+ x2 -2 x +5 x -10=7 x + ∴∠ BOD =2×17°=34°,
19, 当x =- 3时 , 原式 = 17. ∵ OA ⊥ OB ,
2 2 AOB
3.解
:
原式
=(
x2
+4
xy
+4
y2
-3
x2
+
xy
-3
xy
+
y2
-
∴∠
AOD
=90°
A
,
OB BOD .
5
y2)÷2 x
=(-2
x2
+2
xy
)÷2
x
=-
x
+
y
,
当x
=-2, 5.
∴
解
∠ =
E
∠
OC与
+
C
∠
OF互
=
余
90°+34°=124°
:(1)∵∠ ∠ ,
y 1时 原式 1 5. COE COF
= , =2+ = ∴∠ +∠ =90°,
2 2 2
4.解 : 原式 =(4 m2 +4 mn + n2 -4 m2 + n2 -8 n )÷2 n = ∵∠ EOC =20°,
COF
(4 mn +2 n2 -8 n )÷2 n =2 m + n -4, ∴∠ 射线OC =7 平 0° 分 , AOF
∵|2 m -1|+( n -3)2 =0, ∵ ∠ ,
AOF COF
∴2 m -1=0, n -3=0, ∴∠ =2∠ =140°,
FOB AOF
∴ m = 1 2 , n =3, ( ∴ 2) ∠ ∵∠ EO = C 18 与 0° ∠ - C ∠ OF互 = 余 4 , 0°;
COE COF
当m 1 n 时 原式 1 . ∴∠ +∠ =90°,
= ,=3 , =2× +3-4=0 EOC
2 2 ∵∠ =55°,
5.解 :(2 x +3)(2 x -3)- x (5 x +4)-( x -1)2 =4 x2 -9- ∴∠ COF =35°,
5 x2 -4 x - x2 +2 x -1=-2 x2 -2 x -10, ∵ 射线OC平分 ∠ AOF ,
∵ x2 + x -3=0, ∴∠ AOF =2∠ COF =70°,
6.
∴
∴ 解
x 原
:
2
[(
+ 式
2 a
x
= +
=
- b
3
2 )
,
( ( a
x2
+ + 8
x
b ) ) - - 1 ( 0 a = - - 2 b 2 ) × 2 3 - - (3 1 a 0 - = 2 - b 1 ) 6 (
.
- 2 b - (
∴
3)
∠
∠
F
E
O
O
B
C
=
=
18
1 2
0°
∠
-
F
∠
O
A
B
O
,
F
理
=
由
11
:
0°;
29
A"# 3
EOC与 COF互余 AOC
∵∠ ∠ , ∴∠1+∠ =90°,
COE COF
∴∠ +∠ =90°, ∵∠1=∠2,
COF EOC AOC 即 FOC
∴∠ =90°-∠ , ∴∠2+∠ =90°, ∠ =90°,
射线OC平分 AOF OF CD.
∵ ∠ , ∴ ⊥
AOF COF EOC 8 平行线的性质和判定
∴∠ =2∠ =180°-2∠ ,
FOB AOF EOC 1.解BD CF.理由
∴∠ =180°-∠ =2∠ , : ∥ :
即 EOC 1 FOB. ∵∠1=∠2,
7 与 ∠ 相交线 = 有 2 关 ∠ 的证明 ∴ AD ∥ BF ,
1 .解 BOD DOF.理由 ∴∠
D
=∠
DBF
,
:∠ =∠ : ∵∠3=∠ D ,
OE OD
∵ ⊥ , ∴∠3=∠ DBF ,
DOE
∴∠ =90°, BD CF.
∴ ∥
∴∠ EOF +∠ DOF =90°, 2.解 :∵∠1+∠2=180°,∠1+∠ FDE =180°,
AOE BOD
∠ OE平 + 分 ∠ AOF =90°, ∴∠2=∠ FDE ,
∵ ∠ , ∴ DF ∥ AB ,
AOE EOF
∴∠ =∠ , ∴∠3=∠ AEF ,
BOD DOF.
2. ∴ 解 ∠ 如图所 =∠ 示 AO G EOF. ∵∠3=∠ B ,
理 : 由 ,∠ =∠ ∴∠ AEF =∠ B ,
: EF BC
OE平分 BOD ∴ ∥ ,
∵ BOE ∠ DOE , ∴∠ AFE =∠ ACB ,
∴ O ∠ F CD = O ∠ G OE , ∵∠ AFE =50°,
∵ ⊥ , ⊥ , ACB .
∴∠ EOF +∠ DOE =90°, 3. ∴ 证 ∠ 明 :∵ AC =5 ∥ 0 E ° F ( 已知 ),
∠ AOG +∠ BOE =90°, ∴∠1+∠ FAC =180°( 两直线平行 , 同旁内角互补 ),
EOF AOG. 又 已知
3.解 ∴ : ∠ ∵ ON ⊥ = O ∠ M , ∴ ∵ ∠ F ∠ A 1 C + = ∠ ∠ 2 2 = ( 1 等 80 角 °( 的补角 ), 相等 ),
∴∠ NOM =90°, ∴ FA ∥ CD ( 内错角相等 , 两直线平行 ),
∴∠ COM +∠ CON =90°,∠ AOM +∠ BON =180°- ∴∠ FAB =∠ BDC ( 两直线平行 , 同位角相等 ) .
9 ∵ 0° O = M 90 平 °, 分 ∠ AOC , 4.证 ∴ 明 ∠4 :∵ = A ∠ D 5 ⊥ = B 90 C ° , ( E 垂 F 直 ⊥ 的 BC 定 ( 义 已 ) 知 , ),
4. ∴ ∴ 解 ∠ ∠ : O C A F O O 平 N M 分 = = ∠ ∠ ∠ A B C O O O D N M . , , 理 即 由 射 如 线 下 ON : 平分 ∠ BOC. ∴ ∴ 直 A ∠ 线 D 1 平 ∥ = 行 E ∠ F , E 内 ( ( 同 错 两 位 角 直 角 相 线 相 等 平 等 ) 行 . , , 两 同 直 位 线 角 平 相 行 等 ), ),∠2=∠3( 两
∵∠ BOC +∠2=180°,∠ BOC =70°, 又 ∵∠3=∠ E ( 已知 ),
∴ ∵ O ∠ E 2= 是 1 ∠ 80 B ° O - C 70 的 °= 平 1 分 10° 线 ; , ∴ ∴ A ∠ D 1= 平 ∠ 分 2 ∠ ( B 等 A 量 C 代 ( 角 换 平 ), 分线的定义 ) .
∴∠1=35° . 5.解 :(1)∵∠ AED =58°,
∵∠1+∠2+∠3=180°, ∴∠ DEC =180°-∠ AED =122°,
∴∠3=180°-∠1-∠2=180°-35°-110°=35° . EF平分 ∠ DEC ,
AOF
∵∠2+∠3+∠ =180°, CEF 1 DEC
AOF . ∴∠ = ∠ =61°,
∴∠ =180°-∠2-∠3=180°-110°-35°=35° 2
AOF DE BC
∴∠ =∠3=35°, ∵ ∥ ,
OF平分 AOD. C AED
∴ ∠ ∴∠ =∠ =58°,
5.解 OD平分 AOC EFC C CEF
:∵ ∠ , ∴∠ =180°-∠ -∠ =61°;
AED A
DOC 1 AOC . (2)①∵∠ =64°,∠ =62°,
∴∠ = 2 ∠ =20° ∴∠ ADE =180°-∠ A -∠ AED =54°,
∵∠ COE =70°, ∵ BD = DE ,
∴∠ DOE =90°, ∴∠ DBE =∠ DEB ,
6. ∴ 解 D O O F ⊥ O C E D . . 理由如下 ∵∠ ADE =∠ DBE +∠ DEB ,
: ⊥ : DEB 1 ADE
OE AB ∴∠ = ∠ =27°,
∵ ⊥ , 2
AOE DEC AED
∴∠ =90°, ∵∠ =180°-∠ =180°-64°=116°,
30
3A"#
EF平分 DEC AB CD
∠ , ∵ ∥ ,
KE AB CD
DEF 1 DEC 1 ∴ ∥ ∥ ,
∴∠ = 2 ∠ = 2 ×116°=58°, ∴∠ BAK =∠ AKE ,∠ DCK =∠ CKE ,
∴∠ BEF =∠ DEF -∠ DEB =58°-27°=31°; ∴∠ AKC =∠ AKE -∠ CKE =∠ BAK -∠ DCK ,
②∠ BEF = 1 2 ∠ A , 理由 : 设 ∠ AED = α ,∠ A = β, 由 ① B 知 A , P ∠ A 与 PC D = CP ∠ B 的 A 平 P - 分 ∠ 线 D 相 C 交 P 于 , 点K
∴∠
ADE
=180°-∠
A
-∠
AED
=180°-
α
-
β, ∵∠ ∠ ,
BD DE BAK DCK 1 BAP 1 DCP
∵ = , ∴∠ - ∠ = 2 ∠ - 2 ∠ =
DBE DEB
∴∠ =∠ , 1 BAP DCP 1 APC
ADE DBE DEB (∠ -∠ )= ∠ ,
∵∠ =∠ +∠ , 2 2
∴∠ DEB = 1 ∠ ADE =90°- 1 ( α + β), ∴∠ AKC = 1 ∠ APC.
2 2 2
DEC AED α
∵∠ =180°-∠ =180°- , 故答案为 AKC 1 APC.
∵ EF平分 ∠ DEC , 9 平行线间 :∠ 的直角 = 2 ∠
∴∠ DEF = 1 ∠ DEC = 1 ×(180°- α )=90°- 1α , 1 .证明 DE平分 ADCCE平分 BCD
2 2 2 :∵ ∠ , ∠ ,
ADC DCB
BEF DEF DEB 1α ∴∠ =2∠1,∠ =2∠2,
∴ ∠ = ∠ - ∠ =90°- -
2 ∵∠1+∠2=90°,
90°- 1 ( α + β) = 1β, 即 ∠ BEF = 1 ∠ A. ∴∠ ADC +∠ DCB =180°,
6. 解
2
如图 过 P
2
作PE AB 交
2
∴
AD
∥
BC
,
:(1) 1, ∥ , AD AB
AC于点E ∵ ⊥ ,
, A
AB CD ∴∠ =90°,
∵ ∥ , B A
PE AB CD ∴∠ =180°-∠ =90°,
∴ ∥ ∥ , BC AB.
APE BAP CPE DCP ∴ ⊥
∴∠ =∠ ,∠ =∠ , 2.证明 AD ABBC AB
APC APE CPE :∵ ⊥ , ⊥ ,
∴ ∠ = ∠ + ∠ = AD BC
BAP DCP ∴ ∥ ,
∠ +∠ =60°+20°=80°; ADC DCB
∴∠ +∠ =180°,
AKC 1 APC理由如下 ADC与 BCD的平分线交于点E
(2)∠ = ∠ , : ∵∠ ∠ ,
2
如图 过K作KE AB EDC 1 ADC ECD 1 DCB
2, ∥ , ∴∠ = ∠ ,∠ = ∠ ,
AB CD 2 2
∵ ∥ , EDC ECD
KE AB CD ∴∠ +∠ =90°,
∴ ∥ ∥ , E
AKE BAK CKE ∴∠ =90°,
∴ ∠ = ∠ ,∠ = DE CE.
DCK ∴ ⊥
∠ , 3.证明 AD BC
AKC AKE CKE :∵ ∥ ,
∴∠ =∠ +∠ = ABC BAD
BAK DCK ∴∠ +∠ =180°,
∠ +∠ , AE平分 BADBE平分 ABC
同理可得 APC BAP DCP ∵ ∠ , ∠ ,
,∠ =∠ +∠ ,
∵∠
BAP与
∠
DCP的平分线相交于点K
, ∴∠
ABE
=
1
2 ∠
ABC
,∠
BAE
=
1
2 ∠
BAD
,
∴∠ BAK + ∠ DCK = 1 ∠ BAP + 1 ∠ DCP = ∵∠ AEB =180°- (∠ ABE + ∠ BAE )=180°-
2 2
1 ABC BAD
1 (∠ BAP +∠ DCP )= 1 ∠ APC , 2 (∠ +∠ )=90°,
2 2 AE BE.
∴ ⊥
AKC 1 APC 4.证明 如图 过点E作EF AB 则
∴∠ = ∠ ; : , ∥ ,
2 B
如图 过P作PF ∠ =∠3,
(3)① 3, ∥ 又 B
AB ∵∠1=∠ ,
,
.
AB CD ∴∠1=∠3
∵ ∥ , AB EFAB CD
PF AB CD ∵ ∥ , ∥ ,
∴ ∥ ∥ , EF CD
BAP APF ∴ ∥ ,
∴∠ =∠ , D
DCP CPF ∴∠4=∠ ,
∠ =∠ , 又 D
APC APF ∵∠2=∠ ,
∴ ∠ = ∠ -
∠
CPF
=∠
BAP
-∠
DCP
,
∴∠2=∠4,
故 ② 答 如 案 图 3 为 , : 过 ∠ A K P 作 C K = E ∠ ∥ BA A P B - , 过 ∠ 点 DC P P 作 ; PF ∥ AB , ∵ ∴ ∠ ∠ 1 3 + + ∠ ∠ 2 4 + =9 ∠ 0° 3 , + 即 ∠ ∠ 4 B = E 1 D 80 = ° 9 , 0°,
31
A"# 3
BE ED. ABC的周长为
∴ ⊥ ∵△ 21cm,
10 三角形的角平分线、中线和高 AC .故AC的长为 .
∴ =21-6-8=7(cm) 7cm
1.解 CD是AB边上的高 11 三角形的面积
:∵ ,
BDF ABE BFC BDF
∴∠ =90°,∠ =∠ -∠ =113°-90° 1.解 :∵ S △ABC= 1AC · BE , S △ABC= 1BC · AD ,
=23°, 2 2
∵ BE平分 ∠ ABC , ∴ AC · BE = BC · AD ,
∴∠ CBF =∠ ABE =23°, ∴ BE = 40 = 20.
BCF BFC CBF . 6 3
∴∠ =180°-∠ -∠ =44° 2.解 BCD B
2.解 BAC B C :(1)∵∠1+∠ =90°,∠1=∠ ,
:∠ =180°-∠ -∠ =180°-40°-60°=80°, B BCD
AD平分 BAC ∴∠ +∠ =90°,
∵ ∠ , BDC是直角三角形 即CD AB
∴△ , ⊥ ,
∴∠
CAD
=
1
2 ∠
BAC
=40°, ∴
CD是
△
ABC的高
;
∴∠ ADC =180°-∠ C -∠ CAD =180°-60°-40°= (2)∵∠ ACB =∠ CDB =90°,
3. 8 解 0° . AD是 ABC的角平分线 BAC ∴ S △ABC= 1 2 AC · BC = 1 2 AB · CD ,
:∵ △ ,∠ =60°, AC BC AB
DAC BAD ∵ =8, =6, =10,
∴∠ =∠ =30°, AC BC
CE是 ABC的高 BCE CD · 6×8 24.
∵ △ ,∠ =40°, ∴ = AB = =
B 10 5
∴∠ =50°, 3.解 AF是 ABC的中线
ADB B BAD :(1)∵ △ ,
∴∠ =180°-∠ -∠ =180°-30°-50°= BC BF CFBF CF
. ∴ =2 =2 , = ,
100° ABF和 ACF的面积相等
4.解 AD是 ABC的高BE平分 ABC ∴△ △ ,
:∵ △ , ∠ , AFC的面积为
ABE EBD ∵△ 10,
∴∠ =∠ , ABF的面积为
BED ∴△ 10,
∵∠ =68°, AD
在 EBD中 EBD ∵ =4,
Rt△ ,∠ +68°=90°,
∴∠ EBD =22°, ∴ 1 2 × BF ×4=10,
∴∠ ABE =∠ EBD =22°, ∴ BF =5,
∴∠ ABC =44°, ∴ BC =2 BF =10;
又
∵∠
C
=70°, (2)∵
AD是
△
ABC的高
,
BAC . ADC
∴∠ =180°-70°-44°=66° ∴∠ =90°,
5.解 :∵ BD平分 ∠ ABC , CD平分 ∠ ACB , ∵∠ DAE =20°,
∴∠ DBC = 1 ∠ ABC ,∠ DCB = 1 ∠ ACB , ∴∠ AED =180°-90°-20°=70°,
2 2 C
D DBC DCB ∵∠ =30°,
∴ ∠ =180°- (∠ + ∠ )=180°- CAE AED C
∴∠ =∠ -∠ =40°,
1 ABC ACB 1 A AE是 ABC的角平分线
(∠ +∠ )=180°- (180°-∠ )=90°+ ∵ △ ,
2 2 BAC CAE
∴∠ =2∠ =80°,
1 A. B BAC C
2 ∠ ∴∠ =180°-∠ -∠ =180°-80°-30°=
6.解
∴
:
∠
∵ A E D F B ⊥
=
B
9
C
0°
,
-
∠
1
D
5°
E
=
F
7
=
5°
15 . °, 4. 7 解 0° : . (1 )∵∠ ABE =30°,∠ BAD =40°,
∵ ∴ ∠ ∠ C CA = D 35 = ° 7 , 5°-35°=40° . ( ∴ 2) ∠ ∵ B E ED 是 = AD ∠ A 的 BE 中 + 点 ∠ , BAE =30°+40°=70°;
∵ ∴ A ∠ D BA 是 C ∠ = B 2 A ∠ C CA 的 D 平 = 分 80 线 °, , ∴ ∴ S AE △BD = E D = E S , △ABE=15( 等底同高 ),
7. ∴ 解 ∠ :∵ B C = F 18 , B 0° E - 分 ∠ B 别 AC 是 - A ∠ B C , A = C 180 边 °- 上 80 的 °- 中 35 线 °= , A 6 E 5° = . 2, ∴ ∵ S AD △AB 是 D= △ 3 A 0 B , C的中线 ,
AF =3, ∴ S △ABD= S △ADC=30,
∴ AB A = BC 2 A 的 F = 周 2 长 × 为 3=6, AC =2 AE =2×2=4, ∴ S △ABC=60= 1 2 BC · AF = 1 2 ×2× BD × AF.
∵△ 15, 将BD 代入 得 AF AF .
BC . =5 , 5× =60, =12
∴ =15-6-4=5 5.解 ACB BC
8.解 AB AD ABD周长为 :(1)∵∠ =90°, =
:∵ =6cm, =5cm,△ 15cm, AC
BD 12cm, =5cm,
∴ =15-6-5=4(cm),
∵ AD是BC边上的中线 , ∴ S △ABC = 1 BC · AC =
BC 2
∴ =8cm,
32
3A"#
30(cm 2); ∠ B = n °,∠ ACB = m °,
CAB n m
(2)∵ S △ABC= 1AB · CD =30cm 2, ∴∠ =(180- - )°,
2 BAD 1 n m
∴∠ = (180- - )°,
CD 1AB 60 2
∴ =30÷ = (cm);
2 13 B n 1 n m
(3) 如图 , S △ABE= 1S △ABC= 1 ×30=15(cm 2); ∴∠3=∠ +∠1= °+ 2 (180- - )°=90°+
2 2 1n 1m
(4) 如图 ,∵ S △BCD= 1 2 BD · CD = 1 2 BC · DF , ∵ 2 P ° E - ⊥ A 2 D ° , ,
BD CD BC DF
∴ · = · , ∴∠ DPE =90°,
∴11× 6 1 0 3 =12× DF , ∴∠ E =90°-(90°+ 1n °- 1m °)= 1 ( m - n )°=
2 2 2
∴ DF =11× 6 1 0 3 × 1 1 2 = 5 1 5 3 (cm) . 1 (∠ ACB -∠ B ) .
12 三角形的内角和 13 2 全等三角形的性质
1.解 : 根 解 据 得 题 k 意 , 设三 .所 个 以 内 最 角 大 为 内 5 k 角 ,3 度 k , 数 k , 为 则 5 k k +3 k + k = 1. 解 :∵△ ABC ≌△ DEC ,
180°, . =20° 5 =5×20°= ∴∠ BAC =∠ D =85°,∠ B =∠ E =30°,
100° ACB BAC B .
2.解 :∵ D ∠ A + . ∠ D =∠ C +∠ B =102°, ∴ 又 ∠ ∵∠ BC = E 1 = 8 4 0° 0° - , ∠ -∠ =65°
∴∠ =64° ACE ACB BCE .
3.解 :∵ BA ∠ C ABC =40°,∠ A A B C C B =80 A ° C , B . 2. ∴ 解 ∠ :∵△ AB = C ∠ ≌△ AD - E ∠ , =65°-40°=25°
∴∠ =180°-∠ -∠ =60° D B .
AE平分 BAC ∴∠ =∠ =30°
∵ ∠ , ∵∠ ACB =∠ AFC +∠ CAF ,
∴∠ BAE = 1 ∠ BAC =30° . ∴∠ AFC =∠ ACB -∠ CAF =105°-15°=90°,
2 DFG AFC
CAE BAE ACB ∴∠ =∠ =90°,
∵∠ =∠ =30°,∠ =80°, D .
AEB CAE ACB ∴∠1=180°-90°-∠ =180°-90°-30°=60°
∴∠ =∠ +∠ =110°, 3.解 ADF BCE F
AD是BC边上的高 :(1)∵△ ≌△ ,∠ =28°,
∵ , E F
ADE ∴∠ =∠ =28°,
∴∠ =90°, B E
DAE AEB ADE . ∴∠1=∠ +∠ =32°+28°=60°;
∴∠ =∠ -∠ =20° ADF BCEBC
4.解 EH BE (2)∵△ ≌△ , =5cm,
:(1)∵ ⊥ , AD BC 又CD
BEH ∴ = =5cm, =1cm,
∴∠ =90°, AC AD CD .
HEG ∴ = + =6cm
∵∠ =50°, 4.解 其他对应角为 BAF和 DCE AFB和
BEG :(1) :∠ ∠ ,∠
∴∠ =40°, CED 其他对应边为AB和CD是对应边BF和DE
EG AD ∠ ; : ,
∵ ∥ , 是对应边
BFD BEG ;
∴∠ =∠ =40°; ABF CDE B
BFD BAD ABE BAD EBC (2)∵△ ≌△ ,∠ =30°,
(2)∵∠ =∠ +∠ ,∠ =∠ , D B
BFD EBC ABE ABC ∴∠ =∠ =30°,
∴∠ =∠ +∠ =∠ =40°, DCF
C ∵∠ =40°,
∵∠ =41°, EFC D DCF
BAC ABC C ∴∠ =∠ +∠ =30°+40°=70°;
∴∠ =180°-∠ -∠ =180°-40°-41°= ABF CDE
. (3)∵△ ≌△ ,
99° BF DE
5.解 B ACB ∴ = ,
:(1)∵∠ =35°,∠ =85°, BF EF DE EF
BAC ∴ - = - ,
∴∠ =60°, DF BE
AD平分 BAC ∴ = ,
∵ ∠ , BD EF
DAC ∵ =10, =2,
∴∠ =30°, DF BE
ADC ∴ = =4,
∴∠ =65°, BF BE EF .
E ∴ = + =4+2=6
∴∠ =25°; 5.解 ABD EBC
:(1)∵△ ≌△ ,
(2)∠ E = 1 2 (∠ ACB -∠ B ) . ∴ BD = BC =3cm, BE = AB =2cm,
证 ∵ A 明 D : 设 平 ∠ 分 B ∠ = B n A ° C ,∠ , ACB = m °, ( ∴ 2 D ) D E B = 与 BD AC - B 垂 E 直 =1 , 理 cm 由 ; :
ABD EBC
1 BAC ∵△ ≌△ ,
∴∠1=∠2= 2 ∠ , ∴∠ ABD =∠ EBC ,
B ACB BAC 又点ABC在一条直线上
∵∠ +∠ +∠ =180°, ,, ,
33
A"# 3
EBC 15 全等三角形的判定———
∴∠ =90°, SAS
DB AC 1.证明 AB AC点DE分别是ACAB的中点
∴ ⊥ ; :∵ = , , , ,
直线AD与直线CE垂直. AE AD
(3) ∴ = ,
理由 如图 延长CE 交AD 在 ABD和 ACE中
: , △ △ ,
于F
,
AD
=
AE
,
∵△ ABD ≌△ EBC , ∵ ∠ A =∠ A ,
∴∠ D =∠ C , AB = AC ,
∵Rt△ ABD中 ,∠ A +∠ D = ∴△ ABD ≌△ ACE (SAS) .
2.证明 AC平分 DAB
90°, :∵ ∠ ,
∴∠ A +∠ C =90°, ∴∠ DAC =∠ BAC ,
14 ∴∠ 全 A 等 F 三 C 角 =9 形 0° 的 , 即 判 C 定 E — ⊥ —— AD. 在 △ ABC和 △ ADC中 , A ∠ B B = AC AD = , ∠ DAC ,
SSS
AC AC
AB = AC , = ,
1.证明 : 在 △ ABD和 △ ACD中 , AD = AD , 3. ∴ 证 △ 明 ABC ≌ AC △ B ADC ( D S C A E S) .
BD = DC , A : C ∵ B ∠ A = CD ∠ D , CE ACD 即 ACE
ABD ACD . ∴∠ -∠ =∠ -∠ , ∠ =
∴△ ≌△ (SSS) DCB
AB DC ∠ ,
= , CA CD
2.证明 在 ABC和 DCB中 BC CB = ,
: △ △ , = , 在 ACE与 DCB中 ACE DCB
AC BD △ △ ,∠ =∠ ,
= , CE CB
ABC DCB . = ,
∴△ ≌△ (SSS) ACE DCB .
3.证明 BF DC ∴△ ≌△ (SAS)
:∵ = , 4.证明 DAE BAC
BF FC DC FC即BC DF :∵∠ =∠ ,
∴ + = + , = , DAE DAC BAC DAC 即 EAC
AB ED ∴∠ +∠ =∠ +∠ , ∠ =
= , DAB
在 ABC和 EDF中 AC EF ∠ ,
△ △ , = , AB AC
BC DF = ,
= , 在 ABD和 ACE中 DAB EAC
ABC EDF . △ △ ,∠ =∠ ,
∴△ ≌△ (SSS) AD AE
4.解 如图 连接AC则 ABC = ,
: , , △ ≌ ABD ACE .
△ 在 A △ D A C B , C 证 与 明 △ : ADC中 , 5.解 由 ∴ : 如 △ (1 下 ) : ∠ 如 B ≌ A 图 △ E 1 + , 延 ∠ F ( 长 S A A F D S D ) = 到 ∠ E 点 A G F , .理 使
AB = AD , DG = BE , 连接AG ,
AC AC
= , ∵∠ B =∠ ADC =90°,
CB = CD , ∴∠ ADG =∠ B =90°,
5.证 在 ∴ 明 △ △ A A : B 如 BC D 图 ≌ 和 , 连 △ △ A 接 B D A A C C B (S , 中 SS , ) . ∵ ∴ ∴ D △ ∠ G B A = A BE E BE ≌ = , A △ ∠ B A D D A = G G AD ( , A S , A E S = ) A , G ,
AC = BD , ∵ EF = BE + FD , DG = BE ,
AB = BA , ∴ EF = DG + FD = GF ,
BC = AD , 又 ∵ AE = AG , AF = AF ,
∴△ ABD ≌△ BAC (SSS), ∴△ AEF ≌△ AGF (SSS),
6. ∴ 解 ∠ : D 连 = 接 ∠ A C C . , 如图 , 在 △ ACE 和 ∴ ∠ D ∠ A E F A . F 故 = 答 ∠ 案 G 为 AF :∠ = BA ∠ E D + AG ∠ F + AD ∠ D = A ∠ F E = AF ∠ ; BAE +
△ ACF中 , C A E E = = C A F F , , B (2 E ) , 如 连 图 接 2 A , G 延 , A 长 F F . D到点G , 使DG =
AC = AC , ∵∠ B + ∠ ADF =180°,∠ ADG +
∴△ ACE ≌△ ACF (SSS) . ∠ ADF =180°,
∴ S △ACE= S △ACF,∠ FAC =∠ EAC. ∴∠ B =∠ ADG ,
∵ CB ⊥ AB , CD ⊥ AD , ∵ AB = AD ,
CD CB . ABE ADG
∴ = =6 ∴△ ≌△ (SAS),
BAE DAGAE AG
∴ S △ACF= S △ACE= 1AE · CB = 1 ×8×6=24 . ∴ E ∠ F BE =∠ FD D , G = FD , GFAF AF
2 2 ∵ = + = + = , = ,
∴ S四边形AECF= S △ACF+ S △ACE=24+24=48 . ∴△ AEF ≌△ AGF (SSS),
34
3A"#
EAF GAF DAG DAF BAE 17 全等三角形的判定———
∴∠ =∠ =∠ +∠ =∠ + AAS
DAF. 1.解 FG HM
∠ :∵ ∥ ,
16 全等三角形的判定——— MHN EGF
ASA ∴∠ =∠ ,
1.证明 AB DE EGF MHN
:∵ ∥ , ∠ =∠ ,
B EDF 在 EFG和 NMH中 E N
∴∠ =∠ , △ △ ,∠ =∠ ,
A F EF MN
∠ =∠ , = ,
在 ABC和 FDE中 AB DF EFG NMH
△ △ , = , ∴△ ≌△ (AAS),
B EDF EG HN
∠ =∠ , ∴ = ,
ABC FDE . EG GH HN GH
∴△ ≌△ (ASA) ∴ - = - ,
2.证明 ABC的两条高ADBE相交于点H EH GN
:∵△ , , ∴ = =1,
ADC ADB BEC GH HN GN .
∴∠ =∠ =∠ =90°, ∴ = - =3-1=2
∴∠ DAC +∠ C =90°,∠ DBH +∠ C =90°, 2.证明 :∵∠ ADE =∠ AED ,∠ ABC =∠ ACB ,
DAC DBH BAD ADE ABC AED ACB
∴∠ =∠ , ∴∠ =∠ -∠ =∠ -∠ =
∠ DBH =∠ DAC , ∠ CAE , 即 ∠ BAD =∠ CAE.
在 △ BDH和 △ ADC中 , BD = AD , ∵ BE = CD ,
BDH ADC BD BE DE CD DE CE.
∠ =∠ , ∴ = - = - =
∴△ BDH ≌△ ADC (ASA) . ∠ ABD =∠ ACE ,
3.证明
:∵
AE和BD相交于点O
,
在
△
ABD与
△
ACE中
,∠
BAD
=∠
CAE
,
∴∠ AOD =∠ BOE. BD = CE ,
在 △ AOD和 △ BOE中 ,∠ A =∠ B , ∴△ ABD ≌△ ACE (AAS) .
∴∠ BEO =∠2 . 3.证明 :∵∠ BCE =∠ ACD =90°,
∵∠1=∠2, ∴∠3+∠4=∠4+∠5,
∴∠1=∠ BEO , ∴∠3=∠5,
∴∠ AEC =∠ BED. 在 △ ACD中 ,∠ ACD =90°,
∠ A =∠ B , ∴∠2+∠ D =90°,
在 △ AEC和 △ BED中 , AE = BE , ∵∠ BAE =∠1+∠2=90°,
∠ AEC =∠ BED , ∴∠1=∠ D ,
4. ∴ 证 △ 明 A : E ∵ C AB ≌ ∥ △ D B F ED , (ASA) . 在 △ ABC和 △ DEC中 , ∠ ∠ 1 3 = = ∠ ∠5 D , ,
BC CE
∴∠ B =∠ CPD ,∠ A =∠ FDE , = ,
ABC DEC .
E CPD. ∴△ ≌△ (AAS)
∵∠ =∠ 4.证明 E是DF的中点
∴∠
E
=∠
B
,
:∵ ,
DE FE
∠ B =∠ E , ∴ = ,
在 △ ABC和 △ DEF中 , AB = ED , 在 ADE和 CFE中 ∠ A AE = D ∠ FCE CE , F
∠ A =∠ FDE , △ △ ,∠ =∠ ,
DE EF
∴△ ABC ≌△ DEF (ASA) . = ,
5.证明 : 如图 , ∴△ ADE ≌△ CFE (AAS) .
AB ACD为BC的中点
5.解
:
小颖的说法正确.理由
:
∵ = , , AD EC于点D 且BE EC于点E
∴ ∵ 分 D ∠ 线 E A , , D D B F = 分 ∠ A 别 D 是 C = ∠ 9 A 0 D ° B ,∠ , 1 ∠ = AD ∠ C 2, 的平 ∵ ∴ ∴ ∠ ∠ B A C C ⊥ E B + = ∠ ∠ A E C = E ∠ , = A 9 D 0° C , = ∠ ⊥ 9 A 0 C ° E , +∠ DA , C =90°,
BCE CAD
∴∠ =∠ ,
∴∠ ADE = 1 2 ∠ ADB =45°,∠ ADF = ∠ E =∠ ADC ,
在 BEC和 CDA中 BCE DAC
1 ADC △ △ ,∠ =∠ ,
∠ =45°, BC AC
2 = ,
ADE ADF BEC CDA .
∴∠ =∠ , ∴△ ≌△ (AAS)
18 全等三角形的判定和性质综合
∠1=∠2,
在 ADE和 ADF中 AD AD 1.解 ABC DBF ACB DFB
△ △ , = , :∵Rt△ ≌Rt△ ,∠ =∠ =90°,
ADE ADF BC BFBD BA
∠ =∠ , ∴ = , = ,
ADE ADF CD AF
∴△ ≌△ (ASA), ∴ = ,
DF DE. 在 DGC和 AGF中
∴ = △ △ ,
35
A"# 3
D A AE BF
∠ =∠ , ∴ = ;
DGC AGF 故答案为AE BF
∠ =∠ , : = ;
CD AF 证明 如图 在BE上截取
= , ② : 2,
DGC AGF BG BD 连接DG
∴△ ≌△ (AAS), = , ,
GC GF又 ACB DFB EBD BG BD
∴ = , ∠ =∠ =90°, ∵∠ =60°, = ,
CBG FBG GBD是等边三角形.
∴∠ =∠ , ∴△
GBF . 同理 ABC 也是等边三
∴∠ =(90°-28°)÷2=31° ,△
2. 证明 BD AC 角形.
(1) :∵ ⊥ ,
CDP BDA. AG CD
∴∠ =∠ ∴ = ,
CD BD DE DF
= , ∵ = ,
在 CPD与 BAD中 CDP BDA E F.
△ △ ,∠ =∠ , ∴∠ =∠
PD AD 又 DGB DBG
= , ∵∠ =∠ =60°,
CPD BAD DGE DBF
∴△ ≌△ (SAS), ∴∠ =∠ =120°,
AB CP E F
∴ = ; ∠ =∠ ,
解 ABD PCD 在 DGE与 DBF中 EGD FBD
(2) :∵Rt△ ≌Rt△ , △ △ ,∠ =∠ ,
PCD ABD DG DB
∴∠ =∠ =30°, = ,
CD BD BDC DGE DBF
∵ = ,∠ =90°, ∴△ ≌△ (AAS),
CBD GE BF
∴∠ =45°, ∴ = ,
∴∠ ABC =∠ CBD +∠ ABD =75° . ∴ AE = BF + CD ;
3. (1) 解 :∵ AB ∥ DE ,∠ E =40°, (2)① 如图 3, 在BA上裁去BG = BD , 连接DG ,
∴∠ EAB =40°, 由 (1) 知 , GE = BF , AG = CD ,
∵∠ DAB =70°, ∴ AE = EG - AG ;
∴∠ DAE =∠ DAB -∠ EAB =70°-40°=30°; ∴ AE = BF - CD ,
B DAE
∠ =∠ ,
证明 在 ADE与 BCA中 AB AE
(2) : △ △ , = ,
BAC E
∠ =∠ ,
ADE BCA
∴△ ≌△ (ASA),
AD BC.
∴ =
4. 证明 BAD CAE
(1) :∵∠ =∠ =90°,
BAC CAD EAD CAD
∴∠ +∠ =∠ +∠ ,
BAC EAD.
∴∠ =∠
AB AD
= ,
在 ABC和 ADE中 BAC DAE 如图 在BA上裁去BG BD 连接DG
△ △ ,∠ =∠ , ② 4, = , ,
AC AE 由 知GE BFAG CD
= , (1) , = , = ,
ABC ADE . AE AG EG
∴△ ≌△ (SAS) ∴ = - ;
解 ABC ADE AE CD BF.
(2) :∵△ ≌△ , ∴ = -
∴ S △ABC= S △ADE, 综上所述 , AE = BF - CD或AE = CD - BF.
∴ S四边形ABCD= S △ABC+ S △ACD= S △ADE+ S △ACD= S △ACE= 19 两次全等的证明
A B
1 2 . ∠ =∠ ,
×12=72 1.证明 在 ACO和 BDO中 OA OB
2 : △ △ , = ,
5.解 :(1)① 如图 1, ∠ AOC =∠ BOD ,
∵ BA = BC ,∠ EBD =60°, ∴△ ACO ≌△ BDO (ASA),
∴△ ABC是等边三角形 , ∴ AC = BD ,
AD AB BC DAB AO OBOE OF
∴ = = ,∠ = ∵ = , = ,
ABC AE BF
∠ =60°, ∴ = ,
EAD FBD CA DB
∴∠ =∠ =120°, = ,
DE DF 在 ACE和 BDF中 A B
∵ = , △ △ ,∠ =∠ ,
E F AE BF
∴∠ =∠ , = ,
E F ACE BDF .
∠ =∠ , ∴△ ≌△ (SAS)
在 AEC与 BCF中 EAD FBD 2.证明 如图 在AC上取AF AE 连接OF
△ △ ,∠ =∠ , : , = , ,
AD BD AD平分 BAC
= , ∵ ∠ ,
ADE BDF EAO FAO
∴△ ≌△ (AAS), ∴∠ =∠ ,
36
3A"#
在 AEO与 AFO中 AFE ABE
△ △ , ∠ =∠ ,
AE AF 在 AFE和 ABE中 FAE BAE
= , △ △ ,∠ =∠ ,
EAO FAO AE AE
∠ =∠ , = ,
AO = AO , ∴△ AFE ≌△ ABE (AAS),
∴△ AEO ≌△ AFO (SAS), ∴ FE = BE , AF = AB ,
∴ ∵ A ∠ D AO , C E E = 分 ∠ 别 A 平 OF 分 ; ∠ BAC ,∠ ACB , 在 △ DEF和 △ CEB中 , F ∠ E D = F B E E = , ∠ CBE ,
FED BEC
ECA DAC 1 ACB 1 BAC ∠ =∠ ,
∴∠ + ∠ = 2 ∠ + 2 ∠ = ∴△ DEF ≌△ CEB (ASA),
DF BC
1 ACB BAC 1 B ∴ = ,
(∠ +∠ )= (180°-∠ )=60°, AD BC AD DF AF AB.
2 2 ∴ + = + = =
则 AOC ECA DAC 20 全等三角形中的动态问题
∠ =180°-∠ -∠ =120°;
DOE AOC AOE COD AOF 1.解 ACP BPQPC PQ.
∴∠ =∠ =120°,∠ =∠ =∠ :(1)△ ≌△ , ⊥
则 COF 理由如下
=60°, ∠ =60°, :
COD COF AC ABBD AB
∴∠ =∠ , ∵ ⊥ , ⊥ ,
∠ COF =∠ COD , ∴∠ A =∠ B =90°,
∴ 在 △ FOC与 △ DOC中 , CO = CO , ∵ AP = BQ =2,
∠ FCO =∠ DCO , ∴ BP =5,
∴ ∴ F △ C F = OC DC ≌ , △ DOC (ASA), ∴ 在 B △ P A = CP AC 和 , △ BPQ中
AP BQ
∵ AC = AF + FC , A = B ,
AC AE CD. ∠ =∠ ,
3. ∴ 解 : EF = = BE + + DF .理由 : 如图 , 延长FD到点G , 使 AC A = C B P P , BPQ
DG BE.连接AG ∴△ ≌△ (SAS);
= , C BPQ
DG BE ∴∠ =∠ ,
= , C APC
在 ABE和 ADG中 B ADG ∵∠ +∠ =90°,
△ △ ,∠ =∠ , APC BPQ
AB AD ∴∠ +∠ =90°,
= , CPQ
ABE ADG ∴∠ =90°,
∴△ ≌△ (SAS), PC PQ
AE AG BAE DAG ∴ ⊥ ;
∴ = ,∠ =∠ , 若 ACP BPQ
∵ ∴ ∠ ∠ B B A A D D = = 1 2 2 ∠ 0° E , A ∠ F E , AF =60°, ( 则 解 2) 得 A ① C x = = B △ 2 P , t , = A 1 P ≌ ; = △ BQ , 可 , 得 5=7-2 t ,2 t = xt ,
∴ ∠ GAF = ∠ DAG + ∠ DAF = ② 若 △ ACP ≌△ BQP ,
∠ BAE +∠ DAF =∠ BAD -∠ EAF 则AC = BQ , AP = BP , 可得 5= xt ,2 t =7-2 t ,
EAF
=∠ , 解得x 20t 7.
EAF GAF = ,=
∴∠ =∠ , 7 4
AE = AG , 综上所述 , 当 △ ACP与 △ BPQ全等时x的值为 2
在 △ AEF和 △ GAF中 ,∠ EAF =∠ GAF , 或20.
AF AF 7
= , 2.解 t t
AEF AGF :(1)①4,(10-4);
∴△ ≌△ (SAS), 当 BPE CPQ时 BP PCBE CQ 即 t
EF FG ② △ ≌△ , = , = , 4=
∴ = , tat 解得a . 当 BPE CQP时BP
FG DG DF BE DF 10-4, =6, =48; △ ≌△ ,
∵ = + = + , CQBE PC即 tat t 解得a .综上
EF BE DF. = , = , 4= ,10-4=6, =4
∴ = + 所述 满足条件的a的值为 .或
4.证明 如图 延长BE交AP于 , 48 4;
: , 当a . 时 由题意得 .t t 解得t
点F (2)① =48 , ,48-4=30, =
, .
∵ AD ∥ BC , 3 ∴ 7 点 5, P共运动了 37 . 5×4=150(cm),
∴∠ AFE =∠ CBE , 点P与点Q在点A相遇.
∵ 的平 ∠ P 分 A 线 B 相 的 交 平 于 分 E 线 , 与 ∠ CBA ∴ ② ∴ 当 点 a P = 与 4 点 时 Q , 点 不 P 会 与 相 点 遇 Q ( 不 的 符 速 , 度 舍 相 去 ) 等 . ,
∴∠ FAE =∠ BAE ,∠ CBE = 答 : 经过 37 . 5s 点P与点Q第一次在点A相遇.
ABE 21 角平分线的性质
∠ ,
AFE ABE 1.解 在 ABC中 B C
∴∠ =∠ , : △ ,∠ =60°,∠ =30°,
37
A"# 3
BAC B C AGD B
∴∠ =180°-∠ -∠ =180°-30°-60°=90°, ∴∠ =2∠ ,
AE是 ABC的角平分线 又 AGD B GDB
∵ △ , ∵∠ =∠ +∠ ,
B GDB
BAE 1 BAC ∴∠ =∠ ,
∴ ∵ A ∠ D是 △ = AB 2 C ∠ 的高 , =45°, ( ∴ 3 B ) A E B = = D C G D = - D A C C , 则 , 证 AB 明 = : 在 BG A + F A 上 G = CD + AC ;
∴ ∴ ∠ 在 A △ D A B D = B 90 中 ° , , ∠ BAD =90°-∠ B =90°-60°=30°, 截 ∵ A 取 D AG 为 = ∠ A F C AC , 如 的 图 平 3 分 所 线 示 , ,
2. ∴ 解 足 ∵ A ∠ : 为 D 如 D 点 图 A 是 F E , ∠ , 过 = B 点 A ∠ C B D A 的 E 作 平 - D 分 F ∠ B 线 ⊥ A A , D D C E = , 垂 ⊥ 45°-30°=15° . ∴ ∵ A ∠ ∠ 在 G G G △ = A A A A D D D C = = G , ∠ ∠ 和 C C A △ A D A D C , , D中 ,
AB , DF ⊥ AC , AD = AD ,
∴ DF = DE =4, ∴△ ADG ≌△ ADC (SAS),
∵ S △ADB+ S △ADC= S △ABC, ∴ GD = CD ,∠ AGD =∠ ACD , 即 ∠ ACB =∠ FGD ,
∴ 1 ×5×4+ 1 × AC ×4=24, ∵∠ ACB =2∠ B ,
2 2 FGD B
AC . ∴∠ =2∠ ,
∴ =7 又 FGD B GDB
3.证明 如图 过点E作EF AD 垂足 ∵∠ =∠ +∠ ,
: , ⊥ , B GDB
为点F ∴∠ =∠ ,
, BG DG DC则AB BG AG CD AC.
B ∴ = = , = - = -
∴∠ =90°, 22 垂直平分线的性质
AE平分 BAD
∵ ∠ , 1.解 DE是AC的垂直平分线AE
BE EF. :∵ , =3,
∴ = AD CDAC AE
点E是BC的中点 ∴ = , =2 =6,
∴ , ABC的周长为
BE CE ∵△ 14,
∴ = , AB BC AC
CE EF. ∴ + =14- =8,
∴ = BCD的周长 BC BD CD AB BC .
C EF AD ∴△ = +( + )= + =8
∵∠ =90°, ⊥ , 2.解 A C
DE是 ADC的平分线. :∵∠ =50°,∠ =60°,
∴ ∠ ABC .
4.解 过D作DE AB 垂足为点E ∴∠ =180°-50°-60°=70°
:(1) ⊥ , , DE垂直平分AB
如图 所示 ∵ ,
1 , ABD
AD为 BAC的平分线 DC AC ∴∠ =50°,
∵ ∠ , ⊥ , DBC ABC ABD .
DE AB ∴∠ =∠ -∠ =70-50°=20°
⊥ , 3.解 BAC B C B C
DE DC :∵∠ +∠ +∠ =180°,∠ =30°,∠ =50°,
∴ = , BAC
在 ACD和 AED中 AD ∴∠ =100°,
Rt△ Rt△ , = AD为 BAC的平分线
ADDE DC ∵ ∠ ,
, = ,
∴Rt△ ACD ≌Rt△ AED (HL), ∴∠ BAD =∠ CAD = 1 2 ∠ BAC =50°,
∴ AC = AE , ∵ 点E在AB的垂直平分线上 ,
∵∠ ACB =2∠ B ,∠ ACB =∠ AED , ∴ BE = AE ,
∴ 又 ∠ ∵ A ∠ E A D E = D 2 = ∠ ∠ B B , +∠ EDB , ∴ ∴ ∠ ∠ B D A A E E = = ∠ ∠ B BA = D 30 - °, ∠ BAE =50°-30°=20° .
( ∴ ∴ 取 ∵ 2 B A ) ∠ A A E D G B B = = = 为 = D A C ∠ ∠ E C D E B = , D A + 如 D C B A C 图 C , 的 , 2 , 则 平 证 所 A 分 明 B 示 线 : = , 在 , B A E B + A 上 E 截 = CD + AC ; 4.证 ∴ ∵ ∴ ∴ A A 明 ∠ ∠ E D B A : = A D ∵ 的 D D E A 垂 E D = = 直 , ∠ ∠ 平 平 C B 分 A A 分 ∠ D D 线 B , , A 交 C A , B于点E , 交AC于点F ,
∴ ∵ ∠ 在 G △ A A D D = G ∠ 和 C △ A A D D , C中 , ∴ ∴ E ∠ D A ∥ D A E C = . ∠ CAD ,
AC = AC , 5. (1) 证明 : 如图 , 连接AC ,
∠ GAD =∠ CAD , ∵ M是CD的中点 , AM ⊥ CD ,
AD = AD , ∴ AM 是线段CD 的垂直平
∴△ ADG ≌△ ADC (SAS), 分线 ,
∴ CD = DG ,∠ AGD =∠ ACB , ∴ AC = AD ,
∵∠ ACB =2∠ B , ∵ AM ⊥ CD ,
38
3A"#
同理 C
∴∠3=∠4, ∠1=∠2, ∴∠ =36°,
C的度数为 .
1 BAD 即 BAD MAN ∴∠ 36°
( ∴ 2) ∠ 解 2 : + ∵ ∠ A 3 M = ⊥ 2 CD ∠ , AN ⊥ , BC ∠ ,∠ MA = N 2 = ∠ 70°, ; 4.解 ∴ D :( A 1) = ∵ D B C D ( 角 平 平 分 分 ∠ 线 AB 上 C 的 ,∠ 点 B 到 AD 角 = 的 9 两 0° 边 ,∠ 距 B 离 CD 相 = 等 9 ) 0° , ,
∴∠ BCD =360°-90°-90°-70°=110°, 故答案为 : 角平分线上的点到角的两边距离相等 ;
∴∠ BDC =180°-∠ DBC -∠ BCD =30°,∠ BAD = (2) 如图 1, 过点D作DE ⊥ BA交BA
2∠ MAN =140°, 延长线于E , 作DF ⊥ BC于F ,
∵ AB = AC , AD = AC , ∵ BD平分 ∠ EBF , DE ⊥ BE , DF ⊥
∴ AB = AD , BF ,
∴∠ ADB =∠ ABD =20°, ∴ DE = DF ,
23 ∴∠ 等 A 腰 D 三 C 角 = 形 ∠ A 的 D 性 B 质 +∠ BDC =50° . ∵∠ BAD +∠ C =180°,∠ BAD +
1 2 . . 4 解 时 角 解 x : , 形 : x 时 ( 设 1 的 + , ) 两 4 4 ∵ x 顶 x 内 D + 角 + E 角 x 4 度 x + 的 是 数 x = 度 A 1 为 = B 8 数 1 0 2 8 ° 0 为 的 0 ° , ° x x 垂 或 , x = , 直 4 1 2 = x 2 0 平 0 3 ° ; ° 0 当 ; 分 ° . 当 , 等 4 线 x 等 腰 , = 腰 ∠ 三 1 A 三 2 角 B 0° 角 E 形 ; 形 = 因 的 4 的 此 0 顶 ° 顶 等 角 , 角 腰 为 为 三 x ∠ ∴ 在 D ∠ ∠
E
∠ △ E
A
D D E D =
D
E A A E A E D = D A F = = 1 = 8 和 , 0 ∠ ∠ ∠ ° △ D D C , D C F , F F C C , , 中 ,
∴ AE = BE , ∴△ DEA ≌△ DFC (AAS),
∴∠ A =∠ ABE =40° ∴ DA = DC ;
∵
AB
=
AC
, (3)
如图
2,
在BC上截取BK
=
∴∠ ABC =∠ ACB , BD , 连接DK ,
∵∠ A +∠ ABC +∠ ACB =180°, ∵ AB = AC ,∠ A =100°,
∴∠ ABC = 1 2 ×(180°-40°)=70°, ∴ B ∠ D AB 平 C 分 =∠ A C B = C 40°,
ABC C ∵ ∠ ,
∴∠ =∠ =70°,
∴∠ EBC =∠ ABC -∠ ABE ∴∠ DBK = 1 2 ∠ ABC =20°,
=70°-40° ∵ BD = BK ,
( = 2 3 ) 0 ∵ °; △ ABC的周长为 41cm, BC的长为 11cm, ∴ 由 ( ∠ 2 B ) 的 KD 结 = 论 ∠ 得 B A D D K = = D 80 K ° , , 即 ∠ A +∠ BKD =180°,
∴ AB + AC =30, ∵∠ BKD =∠ C +∠ KDC ,
∴ AB = AC =15cm, ∴∠ KDC =∠ C =40°,
∵ ∴ A △ E B = CE BE 的 , 周长 = BC + BE + CE ∴ ∴ A D D K = = D CK K , = CK ,
= BC + AC ∴ BD + AD = BK + CK = BC.
24 等腰三角形与全等
=11+15
3. = 解 2 : 6 (1 (c ) m ∵ ) D . E是BC的垂直平分线 , 1. ( ∴ 1) ∠ 证 BE 明 D :∵ = D ∠ E C ⊥ F A D B = , 9 D 0 F °, ⊥ AC ,
∴
EB
=
EC
, ∵
D是BC的中点
,
∵ ∴ A △ B A = BE 4, B 的 C 周 = 长 6, = AC AB = B + C AE , + BE = AB + AE + EC = ∴ BD = CD , ∠ BED =∠ CFD ,
A ∴ B △ + A A B C E = 的 AB 周 + 长 A 为 C 1 = 0 4 ; +6=10, 在 △ BED与 △ CFD中 , B ∠ D B = = C ∠ D C , ,
(2)∵ EB = EC , ∴△ BED ≌△ CFD (AAS),
∴∠ C =∠ EBC , ∴ DE = DF ;
∵∠ AEB =∠ EBC +∠ C , (2) 解 :∵∠ BDE =40°,
∴∠ AEB =2∠ C , ∴∠ B =50°,
∵ BA = BE , ∴∠ C =50°,
∴∠ A =∠ AEB =2∠ C , ∴∠ BAC =80° .
∵ BC = CA , 2. (1) 证明 :∵ AB = AC ,
∴∠ A =∠ ABC =2∠ C , ∴∠ ABC =∠ ACB ,
∵∠
A
+∠
ABC
+∠
C
=180°,
在
△
DBE和
△
ECF中
,
C
∴5∠ =180°,
39
A"# 3
BE CF 要使一个三角形与 DCQ全等
= , ∴ △ ,
ABC ACB 则另一条直角边必须等于DQ
∠ =∠ , ,
BD CE 当点P运动到P 时 CP DQ
= , ① 1 , 1= =
DBE ECF 此时 DCQ CDP
∴△ ≌△ (SAS), 5, △ ≌△ 1,
DE EF 点P的路程为 AB BP
∴ = , ∴ : + 1=4+1
DEF是等腰三角形
∴△ ; =5,
解 如图 DBE ECF t .
(2) : ,∵△ ≌△ , ∴ =5÷2=25,
当点P运动到P 时 BP DQ 此时 CDQ
∴∠1=∠3,∠2=∠4, ② 2 , 2= =5, △ ≌
A B C ABP
∵∠ +∠ +∠ =180°, △ 2,
点P的路程为AB BP
∴∠
B
=
1
2 ×(180°-40°)=70°,
∴
∴ t =9÷2=4 . 5,
: + 2=4+5=9,
∴∠1+∠2=110°,
③
当点P运动到P
3
时
,
AP
3=
DQ
=5,
此时
△
CDQ
≌
3. ∴ ∴ ∠ ∠ 证 3 D 明 E + F ∠ = 2 A 7 = 0 B 1 ° 1 . 0 A ° C , △ ∴ A 点 B P P 3 的 , 路程为 : AB + BC + CD + DP 3=4+6+4+1=15,
(1) :∵ = , ∴ t =15÷2=7 . 5,
∴ 在 ∠ △ B BD = E ∠ 和 C , △ CEF中 , B B ∠ E D B = = C C ∠ F E C , , 5 ④ ∴ , 点 此 当 P 时 点 的 △ P C 路 运 D 程 Q 动 为 ≌ 到 : A △ P B C 4 + D 时 B P C , 4 即 + , C P D 与 + Q DP 重 4= 合 4 时 +6 , D + P 4+ 4= 5= D 1 Q 9, =
= , t ..
( ∴ ∴ 2 E ) △ D 解 B = D : 当 E EF 点 ≌ ; G △ C 是 EF DF (SA 的 S 中 ), 点时 , 则EG垂直平分DF , 25 ∴ 综 故 上 答 尺 = 所 案 规 19 述 为 作 ÷ , : 图 2 2 时 = . 5 间 9 或 t 5 4 的 . 5 值 或 可 7 以 . 5 是 或 2 . 9 5 . 5 或 . 4 . 5 或 7 . 5 或 9 . 5,
4.
理由是
:
等腰三角形底边上的高线与中线重合.
1. 解
:
如图
,∠
MON为所作.
(1)2;
如图 当点P在AB上时 CDP是等腰三
(2)① 1, ,△
角形
,
PD CP
∴ = ,
在长方形 ABCD 中 AD BC A
, = ,∠ =
B
∠ =90°,
DAP CBP
∴△ ≌△ (HL),
AP BP
∴ = ,
AP 1AB
∴ = =2,
2
∴ t = 2 =1; 2.解 : 如图 , PQ为所作.
如图2 当点P在BC上时 CDP是
② 2, ,△
等腰三角形
,
C
∵∠ =90°,
CD CP
∴ = =4,
BP CB CD
∴ = - =2,
AB BP
t + 4+2
∴
如
=
图
2
当点
=
P在
2
A
=
D
3
上
;
时 CDP是
3.解
:(1)
如图
,
点P为所作
;
③ 3, ,△ 点P为AB的垂直平分线与BC的交点
等腰三角形 (2)∵ ,
, PA PB
D ∴ = ,
∵∠ =90°, PC PA PC PB BC.
DP CD ∴ + = + =
∴ = =4,
AB CB CD DP
t + + + 4+6+4+4
∴ = =
2 2
.
=9
综上所述t 或 或 时 CDP是等
,=1 3 9 ,△
腰三角形
;
根据题意 如图 连接CQ 则AB CD A
(3) , 4, , = =4,∠ =
B C D DQ 4.解 如图 射线OC即为 AOB的平分线
∠ =∠ =∠ =90°, =5, :(1) 1, ∠ ;
40
3A"#
如图 点P即为所求. 由图知A C
(2) 2, (2) ,1(-1,3),1(-4,4);
ABC的面积为 1 1
(3)△ 3×4- ×1×3- ×1×4-
2 2
1 11.
×2×3=
2 2
3.解 如图 所示
:(1) 1 ;
5. 解 射线BD即为所求
(1) : ;
证明 A C
(2) :∵∠ =90°,∠ =30°,
如图 所示
∴∠ ABC =90°-30°=60°, (2) 2 ;
理由
BD平分 ABC :
∵ ∠ ,
NB NA AB
∵ - ≤ ,
∴∠ CBD = 1 2 ∠ ABC =30°, ∴ 当A , B , N共线时 , NB - NA的值最大.
C CBD
∴∠ =∠ =30°,
DC DB.
∴ =
6.解 连接AB 作出线段AB的垂直平分线EF
:① , ;
作出角的平分线GHGD 它们的交点C C即为所
② , ; 1,2
求作的点C 个 .
(2 )
4.解 如图 作点P关于OX的对称点A 关于OY的对称
: , ,
点B 连接AB 交OXOY于点M N 则MN两点即
, , , , ; ,
为所求.
26 轴对称的画图
1.解 如图 DBC为所作
:(1) ,△ ; 27 折叠问题
1.解 NDE是由 ADE翻折变换而成的
:∵△ △ ,
AED NED ADE NDE A N
∴∠ =∠ ,∠ =∠ ,∠ =∠ =
65°,
AED ADE NED NDE
∴∠ +∠ =∠ +∠ =180°-65°=
115°,
.
∴∠1+∠2=360°-2×115°=130°
2.解 在 ABC中 ACB A
: △ ,∠ =90°,∠ =24°,
B A .
如图 ACE的面积 1 1 ∴∠ =90°-∠ =66°
(2) ,△ =5×5- ×2×2- ×
2 2 由折叠的性质可得 BCD 1 ACB
:∠ = ∠ =45°,
1 . 2
2. 3 解 × : 5 (1 - ) 如 2 图 ×3 所 × 示 5 , = △ 8 A 1 B 1 C 1 即为所求 ; 3. ∴ 解 ∠ :(1 B ) D B' C E = ∥ ∠ D E C D ; C =180°-∠ BCD -∠ B =69° .
AB'是AB折叠后形成的
∵ ,
AB'E B D
∴∠ =∠ =∠ =90°,
B'E DC
∴ ∥ ;
由 得B'E DC
(2) (1) , ∥ ,
BEB' C
∴∠ =∠ =130°,
由折叠可知 AEB' AEB
,∠ =∠ ,
41
A"# 3
AEB 1 BEB' . 3 解得x 答 从口袋中取走了 个红球.
∴∠ = ∠ =65° , =3, : 3
2 5
4.解 由折叠可得AC CEDE AD 2.解 元 元
:(1) , = , = , :∵210 >200 ,
AC
∵ =6, P 获得购物券 1+2+4 7 P 获得 元购物
CE ∴ ( )= = ;( 100
∴ =6, 20 20
∵ ∴ B B C E = = 8 2 , , 券 )= 2 1 0 ; P ( 获得 50 元购物券 )= 2 2 0 = 1 1 0 ; P ( 获得 20
BDE的周长 DE EB BD AD BD EB 元购物券 4 1.
∴△ = + + = + + = )= =
AB EB 20 5
A + B , 3.解 :(1) SA=π(9 2 -6 2)=45π(cm 2), SB=π(6 2 -3 2)=
∵ B = D 1 E 0 的 , 周长 27π(cm 2), SC=π×3 2 =9π(cm 2);
∴△ =10+2=12;
(2)∵∠ B =37°, (2) 黄豆落在B区域的概率为 27π = 1.
CED BDE 45π+27π+9π 3
∴∠ =37°+∠ , 4.解
A CED :(1)150;
∵∠ =∠ , 等级的学生数是 人 补全条形
A BDE (2)A :150×20%=30( ),
∴∠ =37°+∠ , 统计图如下
ACB :
∵∠ =90°,
BDE
∴37°+∠ +37°=90°,
BDE
∴∠ =16°,
ADE
∴∠ =180°-16°=164°,
CDE 1 ADE .
∴∠ = ∠ =82°
2
5.解 将 BEF对折 点B落在直线EF上的点B'
:(1)∵ ∠ ,
处 得到折痕EC将 AEF对折 点A落在直线EF上
, ; ∠ ,
的点A'处 得到折痕EN.
,
1.
(3)36°;(4)
BEC B'EC 1 BEB' AEN 5
∴∠ =∠ = 2 ∠ =55°,∠ = 29 用频率估计概率
∠ A'EN = 1 ∠ AEA' = 1 ×(180°-110°)=35°, 1.解 :(1)“1 点朝上 ” 的频率为 16÷100=0 . 16,“6 点朝
2 2 上 的频率为 .
BEC AEN 故答案为 ” 13÷100=013;
∴∠ +∠ =90°, :55,35,90; 小亮的说法是错误的 因为只有当试验的次数足够
若 BEB' m 则 中 BEC AEN的值不 (2) ,
(2) ∠ = °, (1) ∠ +∠ 大时 该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近
改变 理由如下 ,
, : 小亮的说法是错误的 因为事件发生具有随机性
( , );
由 得 BEC B'EC 1 BEB' AEN 任意投掷一枚骰子 一共有 种等可能的结果 其
(1) ∠ =∠ = 2 ∠ ,∠ = ( 中 3) 不小于 一共有 种 , 情况 6 ,
A'EN 1 AEA' 4 3 ,
∠ = ∠ ,
2 所以P 朝上的点数不小于 3 1.
( 4)= =
BEC AEN 1 BEB' 1 6 2
∴ ∠ + ∠ = ∠ + (180°- 2.解 通过大量重复摸球试验后发现 摸到红球的频率
2 2 :∵ ,
∠ BEB' )=90°; 是 0 . 2, 口袋中有 5 个红球 ,
(3)∵
长方形纸片ABCD
,
假设有x个白球
,
AB CD BCD
∴ ∥ ,∠ =90°, 5 . 解得x
BCE ECB' B'CF ∴ x=02, =20,
∴∠ +∠ +∠ =90°, 5+
将 ECF对折 点E刚好落在F处 且折痕与B'C 口袋中白球约有 个.
∵ ∠ , , ∴ 20
重合 3.解 . . .
, :(1)03;(2)03;(3)18,42
BCE ECB' B'CF 4.解 甲袋中有红球 个 白球 个和黑球 个 从
∴∠ =∠ =∠ =30°, :(1) 8 、 5 12 ,
FCE
∴∠ =60°, 甲袋中摸到红球的可能性为 8 8 乙袋中有
AB CD = ;
∵ ∥ , 8+5+12 25
红球 个 白球 个和黑球 个 从乙袋中摸到红球
∴∠ BEC =∠ FCE =60°, 18 、 9 23 ,
由 (2) 得 ∠ BEC +∠ AEN =90°, 的可能性为 18 = 18 = 9 , 因为8 < 9 , 故从
AEN BEC . 18+9+23 50 25 25 25
∴∠ =90°-∠ =90°-60°=30° 中任意摸出一个球是红球 选乙袋成功的机会大
28 概率公式 , ;
从乙袋中取出 个红球后 从乙袋中摸到红球的
1.解 7 (2) 10 ,
(3)
:(
设
1)
从
0;
口
(2
袋
)
1 中 0
;
取走x个红球 , 根据题意得 : 3+ x = 可 甲 能 乙 性 两 为 袋 8 成 +9 功 8 + 的 23 机 = 会 4 不 8 0 相 = 同 1 5 故 , 因 说 为 法 2 8 不 5 正 ≠ 确 1 5 . , 所以选
10 、 ,
42
3A"#
30 函数的关系式 4.解 根据图象可知这次赛龙舟的全程是 乙
:(1) 1000m,
1.解 :(1) y与x之间的关系式为y =10 2 -4 x2 = 队先到达终点 ;
1 ( 0 2 0 ) - 当 4 x x = 2; 3cm 时 , 阴影部分的面积y =100-4×3 2 = ( 答 2) 根 甲 据 队 图 和 象 乙 可 队 知 相 v 遇 乙 时 = 1 3 乙 0 . 0 8 队 0 - - 的 2 4 . 速 0 2 0 度 = 为 6 1 0 . 0 6 =375(m/m . in),
2. 3
6
解
4
= :
(
2
c
(1 0
m
7 )
2
3 ,
)
7 解
.
;8 得 8 x . (2 = ) 1 y 2 = , 所 17 以 x + , 需 3 . 要 (3 12 ) 当 张 y 这 = 样 20 的 7 白 时 纸 ,1 . 7 x +
5.解
油
:
: , ( 根 全 1) 据 部
由
图 加
图
象 给
象
可 运
知
知 输
加
加 飞
油
完 机
飞
油
,
需
机
后 10 运
的
m 输 i
加
n 飞 .
油
机
油
增
箱 37
大
中 5m 装 / 载 m
油
i 了 n
所 3 0 以 t
3.解 :(1)∵ CD = x m, EF = y m, ( 运 2) 输飞机的耗油量为每分钟 . 小 2 时 9t 耗油 , 量为
∴ ∵ C 四 G 边 的 = 篱 形 ( y 笆 A - B x C 粗 ) G m 线 , 和 部 四 分 边 和 形 墙 D 围 E 成 FG 一块 均 菜 是 地 正方形 , 长为 32 10× 动 6 点 0× 问 0 题 . 1 中 = 的 60 数 (t 量 ) . 关 因 系 为 60 0 <6 1 9 t , , 所 10 以油料够用.
20m ( ) , 1. 解 由图象可知 当点P在BC上运动时 APD
∴2(
y
-
x
)+
x
+2
y
-2=20,
:(1) , ,△
x 的面积保持不变 则a 时 点P在AB上 则1
∴ y = 22+ ; , s , , 2 ×
4
AP
(2) 根据题意得 , 大正方形的面积为 22
4
+ x 2 , 小正方 1
∴
0 AP =
=
3
6
0
,
, 则a
=6;
形的面积为 22+ x x 2 (2) 由 (1) 知 ,6s 后点P变速 , 则点P已行的路程为
4 - , y 1=6+2( x -6)=2 x -6,
∴ 菜地面积为S = 22+ x 2 + 22+ x - x 2 = ∵ 点Q路程总长为 34cm, 第 6s 时已经走 12cm, 点Q
10 x2 -8 1 8 6 x +968 =(0 . 6 25 x 4 2 -5 . 5 x + 60 . 4 5)m 2. 2. 还 解 剩的路 根 程 据 为 题 y 意 2= 和 3 图 4- 象 12 可 - 得 5 4 点 ( x E -6 运 )= 动 5 2 的 9 - 时 5 4 间 x 为 .
4.解 由题意得 自变量是刹车时车速 因变量是刹车 :(1) , 2s,
:(1) , , 速度为 当点E停止运动时 BE
距离.故答案为 刹车时车速 刹车距离 3cm/s, , =2×3=
: ; ; 此时距离点C 故答案为
当刹车时车速为 时 刹车距离是 .故 6(cm), :8-6=2(cm), :2,3,2;
( 答 2) 案为 :10; 40km/h , 10m (2) 根据题意得y = 1
2
· BE · AD = 1
2
×3 t ×6=9 t , 即
(3) 由表格可知 , 刹车时车速每增加 10km/h, 刹车距 y =9 t , 故答案为y =9 t ;
离增加 2 . 5m, (3) 当点E停止运动后 , BD =3×2=6(cm), 所以
y与x之间的关系式为y .xx
∴ 当x 时y := . 025 ( . ≥0); △ ABE的面积为1 ×6×6=18(cm 2) .
(4) =110 ,=110×025=275, 2
.
∵275<31,
该汽车不会和前车追尾. 测试卷
∴
31 函数图象 单元测试卷(一) 整式的乘除
1.解 根据图象可知 在这个变化过程中自变量是离
:(1) , 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
家时间 因变量是离家距离 A C B D D A C A
, ;
根据图象可知小李 后到达离家最远的地方 此 9.. -5 10.a2m+2 11.27 12. 13.
(2) 2h , 123×10 16 6 -220
时离家 14.解 原式
30km; :(1) =1-4+(-8)=1-4-8=-11;
(3) 当 1< t <2 时 , 小李行进的距离为 30-10= (2) 原式 =12 a2x4 ÷4 ax -16 a3x ÷4 ax -4 ax ÷4 ax =
20(km), 用时 2-1=1(h), 所以小李在这段时间的速 3 ax3 -4 a2 -1 .
度 离 为 为 : 2 2 - 0 1 =20(km/h); 用 当 时 2< t <4 时 , 小李 所 行 以 进 小 的 李 距 在 1 1 5 6 . . ( 解 1) : 6 ( a 2 a 4 + + 2 b a ) 2 2 ; + (2 4 )1 ( a . + b )( a - b )-(2 a2b2 + a3b2)÷
30-20=10(km), 4-2=2(h),
1ab a2 ab b2 a2 b2 ab a2b
这段时间的速度为 : 30-20 =5(km/h); 2 =4 +4 + +4 -4 -4 -2 =
4-2
(4) 根据图象可知 : 小李3 h 或 4h 与家相距 20km . 8
a2
-3
b2
-2
a2b
;
当a
=
1
2 ,
b
=2
时
,
原式
=8×
2 2 2
2.解 1 2 1 1
:(1)10;
2
-3×2-2×
2
×2=8×
4
-3×4-
当x 时 每公里的单价为
(2) >2 , (14-10)÷(4-2)=2, 1 .
当x 时y x x 4× =2-12-1=-11
∴ >2 ,=10+2(-2)=2 +6; 4
当x 时y 元 17..18. .
(3) =18 ,=2×18+6=42( ), 8 5cm
答
:
这位乘客需付出租车车费
42
元. 19.解
:(1)∵(
a
-
b
)(
a
+
b
)=
a2
-
b2,
3.
(1)100;(2)2,1;(3)50
.
(
a
-
b
)(
a2
+
ab
+
b2)= a3
-
b3,
43
A"# 3
(
a
-
b
)(
a3
+
a2b
+
ab2
+
b3)= a4
-
b4, 9.
60°
10.
45
11.PC 12.
132°
13.
16°
∴(
a
-
b
)(
a2024
+
a2023b
+…+
ab2023
+
b2024)= 14.解
:
设这个角的度数为x度
,
则x
-(90-
x
)=20,
解
a2025
-
b2025; 得x
=55,
即这个角的度数为
55°,
所以这个角的补角
故答案为a2025
-
b2025; 的度数为
180°-55°=125°
.
(2)∵(
a
-
b
)(
a
+
b
)=
a2
-
b2, 15.
∠
CDE
;∠
DEF
;
两直线平行
,
内错角相等
;
两直线平
(
a
-
b
)(
a2
+
ab
+
b2)= a3
-
b3, 行
,
同位角相等
;∠
DEF
;∠
BEF
;
角平分线的定义.
(
a
-
b
)(
a3
+
a2b
+
ab2
+
b3)= a4
-
b4, 16.解
:∵∠1=∠2,
∴(
a
-
b
)(
an-1
+
an-2b
+…+
abn-2
+
bn-1)= an
-
bn
; ∴
AB
∥
CD
(
同位角相等
,
两直线平行
),
故答案为an bn 两直线平行 内错角相等 .
- ; ∴∠4=∠3=75°( , )
(3)∵(
a
-
b
)(
an-1
+
an-2b
+…+
abn-2
+
bn-1)= 17.解
:
因为
∠
FOC
=90°,∠1=40°,
AB为直线
,
所以
an bn FOC 所以
- , ∠3+∠ +∠1=180°, ∠3=180°-90°-40°
∴2 2025 +2 2024 +2 2023 +…+2 2 +2+1 =50° .因为 ∠3 与 ∠ AOD互补 , 所以 ∠ AOD =180°-
=(2-1)(2 2025 +2 2024 +2 2023 +…+2 2 +2+1) ∠3=130° .因 为 ∠ AOE = ∠ EOD , 所 以 ∠2=
2026 2026
=2 -1 1 AOD .
=2 2026 -1 . 2 ∠ =65°
20.解 :(1) 大正方形的边长为a + b , 因此面积为 ( a + b )2, 18.证明 :∵ AB ⊥ BF , CD ⊥ BF ,
中间小正方形的边长为a - b , 因此面积为 ( a - b )2, 四 ∴ AB ∥ CD.
周 4 个长方形的面积和为 4 ab , 又 ∵∠ BAF =∠ AFE ,
∵ S大 = S小 +4 S长方形, ∴ AB ∥ EF ,
∴( a + b )2 =( a - b )2 +4 ab , ∴ CD ∥ EF ,
故答案为 :( a + b )2 =( a - b )2 +4 ab ; ∴∠ DCE +∠ E =180° .
(2) 由 (1) 可得 ( x - y )2 =( x + y )2 -4 xy , 19. (1) 证明 :∵ AD ∥ BC ,
B EAD
∴( x - y )2 =( x + y )2 -4 xy =4 2 -4× 7 =9, ∴∠ E =∠ DCE ,
4 ∵∠ =∠ ,
∵ x > y , ∴ EB ∥ CD ,
∴ x - y =3, ∴∠ D =∠ EAD ,
故答案为 :3; ∴∠ B =∠ D ;
(3)∵( a + b )2 = a2 +2 ab + b2, (2) 解 :∵∠ E =47°,∠ E =∠ DCE ,
∴ a2 + b2 =( a + b )2 -2 ab , ∴∠ E =∠ DCE =47°,
∴2 ab =( a + b )2 -( a2 + b2), ∵ CE平分 ∠ BCD ,
故答案为 :( a + b )2; ∴∠ BCE =∠ DCE =47°,
拓展应用
: B E BCE .
∴∠ =180°-∠ -∠ =86°
∵(2025- m )2 +( m -2024)2 =7, 20.解 :(1)∠1=180°-60°=120°,∠2=90°;
m m 故答案为
∴2(2025- )( -2024) :120,90;
=(2025- m + m -2024)2 -[(2025- m )2 +( m -2024)2] (2)①∵ DG ∥ EF ,
DCB CBF n
=1-7 ∴∠ =∠ =°,
=-6, ∴∠ ACD =90°- n °,
∴(2025- m )( m -2024)= -6 =-3; ∴∠1=∠ A +∠ ACD =(120- n )°,
2 DG EF
设BM x则EQ BM x ∵ ∥ ,
(4) = , = = , BCG CBF n ACB
CM CE CQ CE EQ xBC BM ∴∠ =180°- ∠ =180°- °,∠ +
∴ =3, =8, = - =8- , = + BCG
CM x ∠ +∠2=360°,
=3+ , ACB BCG
∴∠2=360°- ∠ - ∠ =360°-90°-
∵ S △BCQ= 1BC · CQ = 21 , (180°- n °)=(90+ n )°;
2 2 故答案为 n n
∴(8-
x
)(3+
x
)=21,
:(120- ),(90+ );
令 8- x = a , x +3= b , ② 当 ∠2= 5 ∠1 时 ,90+ n = 5 (120- n ),
a b ab 4 4
∴ + =11, =21,
正方形ABCD和正方形COPQ的面积和 解得n 80
∴ : = ,
3
单元
a2
测
+ b
试
2 =
卷
(
(
a
二
+ b
)
)2
相
-2
交
ab
线
=
与
11
平
2 -
行
2
线
×21=121-42=79 .
∴
n的值是80
;
3
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 如图 根据题意得 FBP
B D B A B B C D (3)① 1, ∠ =15×2°=30°,
44
3A"#
AQP
∠ =15×3°=45°,
QPB FBP
∴∠ =∠ =30°-15°=15°;
故答案为
:15°;
人 答 该校
(3)72;(4)2000×(20%+15%)=700( ), :
每天课后进行体育锻炼的时间超过 分钟的学生约
② 存在BM ∥ QN , 理由如下 : 有 人. 60
如图 700
2, 20.解 1 答 指针指到 的可能性为1
QN BM :(1)1÷6= , : 1 ;
∵ ∥ , 6 6
AQN ABM
∴∠ =∠ , 小丽获胜的概率为 1 小芳获胜的概率
∴3° t =60°-2° t ,
(2) :2÷6=
3
,
解得t =12; 为 :1÷6= 1 , 1 > 1 ,
如图 6 3 6
3, 此办法不公平 若我是小芳 我不同意这个办法.
BM QN ∴ , ,
∵ ∥ , 答 若我是小芳 我不同意这个办法.
: ,
∴∠ ABM =∠ BQN , 期中测试试卷
t t
∴2°-60°=180°-3°, 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
解得t C B C B A B B A
=48,
综上所述
,
t的值为
12
9.
7
.
7×10
-6 10.
3
11.
95° 85°
12.1
4
13.
68°
或 . 14.解 原式 .
48 :(1) =-2
单元测试卷(三) 概率初步
(2)
原式
=3
a6
-
a6
+4
a6
=6
a6.
1.
D
2.
D
3.
A
4.
D
5.
A
6.
B
7.
D
8.
D
15.解
:
原式
=[(
b2
-4
a2)-( a2
-2
ab
+
b2)]÷ 1a
=
2
9.5 10. 11.1 12.1 13.甲
12 3 2 3 ( b2 -4 a2 - a2 +2 ab - b2)÷ 1a =(-5 a2 +2 ab )÷
14.解 小明的说法错误 因为买 张中奖的可能性比 2
买
:
张的中奖可能性
,
大 小华
10
的
0
说法错误 这两个事
1a
=-10
a
+4
b
,
把a
=-1,
b
=2
代入得
,
原式
=
1 , , 2
件都是随机事件 不能因为事件发生的可能性小就认 .
, -10×(-1)+4×2=18
为它是不可能事件. 16.解
:∵
OA
⊥
OB
,
AOB
15.解 3 4. ∴∠ =90°,
:(1) ;(2) BOE AOE
7 7 ∵∠ =2∠ ,
16.解 个 不对.因为摸到白球和摸到红球或黄
球
:
不
(1
是
)1
等可
;
能
(2
事
)
件. ∴∠
AOE
=90°×
1
3 =30°,
AOF
17.解 ∴∠ =180°-30°=150°,
:(1)∵40<50, OC平分 AOF
不能获得转盘的机会 ∵ ∠ ,
∴ ;
消费 元 超过 元 可以获得转盘的机会 若 AOC 1
(2) 66 , 50 , , ∴∠ =150°× 2 =75°,
获得九折优惠 , 则概率 : P (九折)= 3 9 6 0 0 ° ° = 1 4 ; 若获得八 17. ∴ 作 ∠ 图 B 略 O . D = 18 18 . 0°- . 90°-75°=15° .
40°
折优惠 , 则概率 : P (八折)= 3 6 6 0 0 ° ° = 1 6 ; 若获得七折优 19.解 :( 件 1) 由表格可得 , 数量总个数为 :14+10+18+8=
50( ),
惠 , 则概率 : P (七折)= 30° = 1. ∵“ 小发明 ” 的数量有 10 件 ,
360° 12 如果从这个班的所有作品中 随机选择一个作品进
∴ ,
18.解 :(1) P红 = 8 = 1 ; 行点评 那么正好选中 小发明 的概率是 10 1
16+8 3 , “ ” : = ;
50 5
(2) 设取走了x个白球 , 则由题意得8+ x = 5 , 解得x (2) 由题可得 ,“ 小发明 ” 的数量有 10 件 ,“ 小制作 ” 的
24 8 数量有 个
19. = 解 7,
答
:
取走了
7
个白球.
这两种
1
一
4
共有
,
:10+14=24( 件 ),
:(
将
1)
条
80
形
;3
图
0;
补
20
充
%
完
;
整如下 ∴
正好选中
“
小发明
”
的作者的概率为10
=
5.
(2) : 24 12
45
A"# 3
20.解 如 图 过 M 作 .答 C的度数是 .
:(1) 1, 80°-60°=40° :∠ 40°
ME AB 16.解 AB平分 CAD
∥ , :∵ ∠ ,
B BME CAB DAB.
∴∠ =∠ , ∴∠ =∠
AB CD ACB和 ADB都是直角
∵ ∥ , ∵∠ ∠ ,
ME CD ACB ADB
∴ ∥ , ∴∠ =∠ ,
D DME ACB ADB
∴∠ =∠ , ∠ =∠ ,
BME DME BMD 在 CAB与 DAB中 CAB DAB
∵∠ +∠ =∠ , △ △ ,∠ =∠ ,
B D BMD AB AB
∴∠ +∠ =∠ ; = ,
MNC BMN. CAB DAB .
(2)2∠ =∠ ∴△ ≌△ (AAS)
理由如下 ABC ABDBC BD.
: ∴∠ =∠ , =
如图 过M作ME AB 过 BE BE
2, ∥ , = ,
N作NF CD 在 BCE与 BDE中 ABC ABD
∥ , △ △ ,∠ =∠ ,
AB CD BC BD
∵ ∥ , = ,
AB ME NF CD BCE BDE
∴ ∥ ∥ ∥ , ∴△ ≌△ (SAS),
B C CE DE.
∴∠ =∠1,∠2=∠3,∠4=∠ , ∴ =
17.证明 AD BC
∵∠ B -∠ C = 1 ∠ BMN , :∵ ∥ ,
2 ∴∠1=∠2,
∴∠1-∠4= 1 (∠1+∠2), 又 ∵∠1+∠ DAE =180°,∠2+∠ BCF =180°,
2 DAE BCF.
∴∠ =∠
整理得 ∠4= 1 (∠1-∠2), 在 △ ADE和 △ CBF中 , AE = CF ,∠ DAE =∠ BCF ,
2
AD CB
MNC 1 1 = ,
∴∠ =∠3+∠4=∠2+ 2 ∠1- 2 ∠2= ∴△ ADE ≌△ CBF (SAS),
E F
1 1 BMN ∴∠ =∠ ,
(∠1+∠2)= ∠ , DE BF.
2 2 ∴ ∥
∴2∠
MNC
=∠
BMN
;
18.解
:
如图所示.
△
ABC就是所求作的直角三角形.
B D .
(3)∠ +∠ =35°
如图 作EM AB
3, ∥ ,
GN CDFP CD
∥ , ∥ ,
AB CD
∵ ∥ ,
AB EM GN
∴ ∥ ∥ ∥
FP CD
∥ ,
B D
∴∠ =∠1,∠2=∠3,∠4=∠5,∠6=∠ ,
∵∠ E +∠ F =2∠ G =70°, 19.解 :∵ CD ⊥ BP , AB ⊥ BP ,
∴∠ EGF =35°, ∴∠ CDP =∠ PBA =90°,
即 C CPD
∴∠3+∠4=35°, ∠2+∠5=35°, ∴∠ =90°-∠ =77°,
BEG GFD C BPA
∵∠ +∠ =∠1+∠2+∠5+∠6=70°, ∴∠ =∠ ,
即 B D . CD PB
∴∠1+∠6=35°, ∠ +∠ =35° ∵ = =2m,
单元测试卷(四) 三角形 CDP PBA
∴△ ≌△ (ASA),
1. C 2. B 3. B 4. C 5. D 6. B 7. C 8. B ∴ PD = AB ,
9. 135 10. 2 11. 1< x <5 12. SAS 13. 28 ∵ BD =8 . 5m, BP =2m,
14.解 : 设 ∠ C = α , 则 ∠ A =2 α ,∠ B =3 α , ∴ AB = PD = BD - BP =6 . 5(m),
A B C 路灯AB的高度为 . .
∵∠ +∠ +∠ =180°, ∴ 65m
∴2 α +3 α + α =180°, 20.解 :(1) 由题意得AB = AC = BC ,∠ A =∠ B =∠ C ,
∴ α =30°, ∵ BD = CE = AF ,
∴∠ C =30° . ∴ AD = BE ,
15.解 AD BC B 在 ADF和 BED中
:∵ ⊥ ,∠ =60°, △ △ ,
在 ABD中 BAD AF BD
∴ △ ,∠ =180°-90°-60°=30°, = ,
DAE A B
∵∠ =10°, ∠ =∠ ,
BAE BAD DAE AD BE
∴∠ =∠ +∠ =30°+10°=40°, = ,
AE平分 BAC ADF BED
∵ ∠ , ∴△ ≌△ (SAS),
BAC BAE 故答案为 ADF BED 答案不唯一
∴∠ =2∠ =80°, :△ ≌△ ( ),SAS;
在 ABC中 C BAC B DEF为等腰三角形
∴ △ ,∠ =180°-∠ -∠ =180°- (2)△ ,
46
3A"#
理由如下
: CAD BAD 1 BAC
∵ AB = AC , ∴∠ =∠ = 2 ∠
∴∠ B =∠ C , =14°,
∵ ∠ DEC = ∠ B + ∠ BDE = ∠ DEF + ∠ CEF , ∴∠ ADB =∠ CAD +∠ C =14°
∠ ∴ D ∠ E B F D = E ∠ = B ∠ , CEF , 18. + 解 9 : 0 ( ° 1 = )( 1 2 0 , 4 2 ° ) . , (-3,6);
在 △ BDE和 △ CEF中 , (2)△ AOB的面积 =3×4- 1 ×2×3- 1 ×2×2-
BDE CEF 2 2
∠ =∠ ,
BD CE 1 .故答案为
= , ×1×4=5 :5;
B C 2
∠ =∠ , 如图 点P即为所求.
BDE CEF
(3) ,
∴△ ≌△ (ASA),
DE EF
∴ = ,
DEF为等腰三角形
∴△ ;
AB AC
(3)∵ = ,
B ACB
∴∠ =∠ ,
AC FM
∵ ∥ ,
M ACB
∴∠ =∠ ,
B M
∴∠ =∠ ,
AB ACCM CA
∵ = , = ,
AB CM
∴ = ,
AD CE
∵ = ,
∴ AB + AD = CM + CE , 即BD = ME , 19.解 :∵ AB = AC , AE平分 ∠ BAC ,
由 (2) 可知 :∠ DEF =∠ B时 ,∠ D =∠ MEF , ∴ AE ⊥ BC ( 等腰三角形的 “ 三线合一 ”) .
∠ B =∠ M , ∵∠ ADC =125°,
在 △ DBE和 △ EMF中 , BD = EM , ∴∠ CDE =55°,
∠ D =∠ MEF , ∴∠ DCE =90°-∠ CDE =35°,
∴△ DBE ≌△ EMF (ASA), 又 ∵ CD平分 ∠ ACB ,
∴ BE = MF =4, EM = BD = AB + AD =10, BM = ∴∠ ACB =2∠ DCE =70° .
BE EM . 又 AB AC
+ =4+10=14 ∵ = ,
单元测试卷(五) 图形的轴对称 B ACB
∴∠ =∠ =70°,
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. BAC B ACB .
D A D D B C B B ∴∠ =180°-(∠ +∠ )=40°
9. 10. 11. 12. 13. 20.解 CA'DA'A'B
40 3 50° 15cm 40 :(1) ; ; ;
14.解 两个四边形关于直线l对称 AD是 BAC的平分线
:∵ , (2)∵ ∠ ,
四边形ABCD 四边形FEHG 可在AC上找到点E关于直线AD对称的对称
∴ ≌ , ∴
H C A F E B 点E'
∴∠ =∠ =90°,∠ =∠ =80°,∠ =∠ = ,
a b 作出点E' 连接PE' 则PE'
135°,=5cm,=4cm; , , =
G H E F PEPE PB PE' PB
∴∠ =360°-∠ -∠ -∠ =55°, , + = + ,
a b . 过点B作BF AC如图
∴ =5cm,=4cm ⊥ , 1,
15.解 DE垂直平分BC 由垂线段最短可知 当点BPE'
:∵ , , 、、
BE CE 三点共线 且BE'垂直AC 时
∴ = , , ,
AE BE AE EC AC PE PB有最小值 即PE PB
∴ + = + = =8, + , +
ABE的周长为 的最小值是BF的长度
∵△ 14, ,
AB AE BE 等边三角形每条边上的高
∴ + + =14, ∵
AB 相等
∴ +8=14, ,
AB . PE PB的最小值为BF AD
∴ =6 ∴ + = =5,
16.解 ABD BCE都是等腰三角形 故答案为
:∵△ ,△ , :5;
AB BDBC BE. 到BD的距离和最小的点
∴ = , = (3) 、
又 BD CD BC 在线段BD上
∵ = - , ,
AB CD BC CD BE 点A与点C关于BD对称
∴ = - = - =8-3=5(cm), ∵ ,
AE AB BE . 到CE的距离和最小的点是
∴ = - =2(cm) ∴ 、
17.解 如图AD为所作 线段BD和AE的交点
:(1) , ; ,
AD平分 BAC
(2)∵ ∠ ,
47
A"# 3
到这四个点的距离和最小的点是线段BD和AE的 从井冈山驾车返回深圳时 新能源电动汽车比燃油
∴ ∴ ,
交点 车能减排 . 千克碳排放
, 8664 ;
故连接AE交BD于点G 点G即为所求作的点 如 故答案为 . .
, , :8664
图 . 期末测试试卷
2
单元测试卷(六) 变量之间的关系
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
D C C B C D D D
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.rC
C C C B B B A B , 9. 10.8
10.y x 11.y .x 12. 13. 115°
=15 +30 =21 5 12 15
14.解y x. 11.C D或 CAB DBA或 CAD DBC或
:=30+80 ∠ =∠ ∠ =∠ ∠ =∠
15.解 由题意得 上表反映了话费和通话时间两个变 AD BC
:(1) , =
量之间的函数关系 其中通话时间是自变量 话费是 12.xy 13.
, , 4 40°
因变量 14.解 原式 .
; : =1+9-1=9
由题意得 每通话 分钟收取话费 . 元 设通话 15.解 如图 ABC即为所求.
(2) , 1 06 , :(1) ,△ 1 1 1
时间为t分钟 时收取话费y元 得y .t 如图 点P即为所求.
( ) ( ), =06, (2) ,
当t 时y . 元
∴ =10 ,=06×10=6( ),
她需要付 元电话费.
∴ 6
16.解 销售量每增加 售价就增加 .元.
:(1) 1kg, 21
当x 时y . . 元 .
(2) =15 ,=21×15=315( )
17.解 图象表示了路程与时间之间的关系 时间是自
:(1) ,
变量 路程是因变量.
,
时 时 分 时所走的路程分别是
(2)9 、10 30 、12 4km、
和 .
9km 15km
18.解 在轿车行驶的路程S 和油箱剩余油量Q
:(1) (km)
之间的关系中 轿车行驶的路程S 是自变量
(L) , (km) ,
油 程 箱 油 剩 箱 余 剩 油 余 量 油 Q 量 (L) 是因变量 ; 故答案是 : 行驶的路 (3) S △ABC=3×3- 1 2 ×2×1- 1 2 ×1×3- 1 2 ×3×2
; ;
由题意可知 开始油箱中的油为 每行驶 7.
(2) , 50L, =
油量减少 据此可得Q与S的关系式为 2
100km, 8L,
Q .S 当S 时 Q . ABC的面积为7.
38 = (L 5 由 0 ); - 故 0 答 得 08 案 Q 是 , 50,3 = 8 1 ; . 50 S 当 , Q =50-0 时 08×150= 16. ∴ 解 △ :∠ A =∠ F , 理由 : 2
(3
.
)
S
(2
解
)
得S
=50-
.
0
答
08
A
,
B两
=
地
22
之间
,2
的
2
距
=5
离
0-
为
∵∠1=52°,∠2=128°,
008 , =350 : , ∴∠1+∠2=180°,
.
19. 3 解 50km 观 察图象甲游了三个来回 乙游了两个来回. ∴ BD ∥ CE ,
:(
观
1)
察图象可得甲游了
,
游泳的速度是 ∴∠
C
=∠
ABD
,
(2) 180s, 50× ∵∠ C =∠ D ,
6÷180= 5 (m/s); ∴∠ ABD =∠ D ,
3 AC DF
在整个游泳过程中 两个图象共有 个交点 所以 ∴ ∥ ,
(3) , 5 , A F.
甲 乙两人相遇了 次. ∴∠ =∠
、 5 17.解 尺规作图如图
20.解 汽车行驶的速度为 . . :(1) :
:(1) 400÷(65-25)= 由作图可知 BE CHBF CG
, = , = ,
100(km/h),
EF HG
井冈山与深圳之间的距离 = ,
( ∴ 返 故 2) 回 答 根 途 案 据 中 为 题 在 :6 意 0 服 0 知 , 务 0 m . 区 5 = ; 逗 4 留 × 了 2 2 . 7 2 . 5 = × - 1 1 2 0 0 0 = . 8 + 0 ; 4 . n 5 00 ( = h = 2 ) 6 1 , 0 . 0 6 (k ÷ m 2 ) . , 7 ∴ ∴ ∴ △ ∠ 作 B B 图 C E 依 D F 据 ≌ = 是 △ ∠ C B S H S , S G . ( 故 SS 答 S) 案 , 为 :SSS;
A ACB
=8; (2)∵∠ =65°,∠ =75°,
故答案为 :10 . 8,8; ∴∠ B =180°-∠ A -∠ ACB =180°-65°-75°=40°,
(3) 根据题意得 : y 1=16×0 . 785 x =12 . 56 x ; y 2=10× ∵∠ BCD =∠ B ,
.x x BCD B
27 =27 ; ∴∠ =∠ =40°,
故答案为 .x x ADC B BCD .
:1256 ,27 ; ∴∠ =∠ +∠ =40°+40°=80°
当x 时y .x .
(4) =600÷100=6 ,1=1256 =1256×6= 18.解 袋子里红球的个数为 3 个
75 . 36, y 2=27 x =27×6=162, :(1) :50× 10 =15( );
∵162-75 . 36=86 . 64( 千克 ), (2) 设白球的个数为x , 根据题意得x + x -5+15=
48
3A"#
在 BDH和 CDE中
50解得x 所以摸出白球的概率 20 2 △ △ ,
, 从袋子 = 里 2 取 0, 出 个球 不是红球 = 后 50 袋 = 中 5 红 ; 球的 ∠ HBD =∠ ECD =90°,
( 个 3) 数为 个 所以 5 从袋子 ( 里剩余的 ) 球中 , 随机摸出一 BD = CD ,
10 , ∠ BDH =∠ CDE ,
球是红球的概率 = 15 = 1. ∴△ BDH ≌△ CDE (ASA),
50-5 3 BH CE . DH DE
19.解 ∴ = =202m, = ,
:(1)1500 4; AH AB BH . .
∴ = + =108+202=31(m),
(2)2700 14; ADE
当时间在 内时 速度为 ∵∠ =90°,
(3) 0~6min , :1200÷6= AD EH
∴ ⊥ ,
200(m/min), DH DE
当时间在 内时 速度为 ∵ = ,
6~8min , :(1200-600)÷ AD为线段EH的垂直平分线
当时间在 内时 速 ∴ ,
(8-6)=300(m/min), 12~14min , AE AH
度为 ∴ = =31m;
:(1500-600)÷(14-12)=450(m/min), DE AFDE AF理由如下
(3) =2 , ⊥ , :
∵450>300, 延长AF到P 使FP FA 连接
在整个上学途中 时间段小明的速度最 , = ,
∴ 12~14min BP 如图 所示
快 其速度不在安全限度内. , 2 :
, 则AP AF
20.解 D是BC的中点 =2 ,
:(1)∵ , 点F是BC的中点
BD CD ∵ ,
∴ = , BF CF
在 BDE和 CDA中 ∴ = ,
△ △ , 在 BFP和 CFA中
BD CD △ △ ,
= , BF CF
BDE CDA = ,
∠ =∠ , BFP CFA
DE AD ∠ =∠ ,
= , FP FA
BDE CDA = ,
∴△ ≌△ (SAS), BFP CFA
BE AC ∴△ ≌△ (SAS),
∴ = , P CAFBP AC
AB AC ∴∠ =∠ , = ,
∵ =6, =10, BP AC
BE AC ∴ ∥ ,
∴ = =10, ABP BAC
在 ABE中BE AB AE AB BE ∴∠ +∠ =180°,
△ , - < < + , ABD和 ACE均为等腰直角三角形
即 AE ∵△ △ ,
10-6< <10+6, BAD CAE AB ADAC AE
AE ∴∠ =∠ =90°, = , = ,
∴4< <16, BAD CAE
DE AD ∴∠ +∠ =180°,
∵ = , DAE BAC
AE AD ∴∠ +∠ =180°,
∴ =2 , ABP DAE
AD ∴∠ =∠ ,
∵4<2 <16, BP ACAC AE
中线AD的取值范围是 AD ∵ = , = ,
∴ :2< <8, BP AE
故答案为 AD . ∴ = ,
:2< <8 在 ABP和 DAE中
延长ED交AB的延长线于H 如图 所示 △ △ ,
(2) , 1 : AB AD
根据题意得AB BCEC BC = ,
: ⊥ , ⊥ , ABP DAE
HBD ECD ∠ =∠ ,
∴∠ =∠ =90°, BP AE
= ,
ABP DAE
∴△ ≌△ (SAS),
AP DE BAP ADE
∴ = ,∠ =∠ ,
AP AF
∵ =2 ,
DE AF
∴ =2 ,
BAD
∵∠ =90°,
BAP DAG
∴∠ +∠ =90°,
ADE DAG
∴∠ +∠ =90°,
AGE ADE DAG
∴∠ =180°-(∠ +∠ )=90°,
AG DE
点D是BC的中点 ∴ ⊥ ,
∵ , 即AF DE.
BD CD ⊥
∴ = ,
49
