A"# 3
AB本 5.证明 四边形ABCD是平行四边形 A
:(1)∵ ,∴∠ =
第一章 特殊平行四边形 ∠ A =∠ C ,
第1课时 菱形的性质 ∠ C 。 在 △ AED 与 △ CFD 中 , AE = CF ,
1 A ⊥ B . C ( C 1 D D )3 , 5 ∴ 是 菱 ∠ (2 B 形 ) E 1 , 0 A ∴ = B 1 A 0 ∠ = BF 9 B 0 C C = , 4 ∠ 9 0 0 A ° 。 2 = . 在 ∠ D C △ A 3 。 B . ∵ E 证 B 明 与 E : △ ⊥ ∵ C A B 四 D F 边 , B 中 形 F , ∴ △ 形 C △ F A D E 四 , D 边 则 ≌ 形 AD △ A C B = F C C D D D ( 是 。 A 菱 S 又 A 形 ∵ )。 四 ( 边 2 6 ) . 形 证 由 A 明 B ( ∠ 1 C A ) D E 知 D 是 , = △ 平 ∠ A A 行 C E B F D C 四 D ≌ 边 ,
∠ BEA =∠ BFC =90°, A , B ∴ D ABC ABD 。 CE B :( D 1)∵△ CEB ≌
∠ A =∠ C , ∴△ ABE ≌△ CBF (AAS),∴ AE △ DBE ,∴∠ CEB =∠ CBE 。∵ ∥ ABC ,∴∠ ABD =
= 边 B C 形 A F A = 。 B B C C 4 D , . D 是 菱 5 形 . C , D H 6. 4 ⊥ AB 7. , 6 ∴ 5° O A 8 = . 1 O 1 C 0° =8 9 , . O 解 B : = ∵ O 四 D B ∠ ∴ D B B C C 。 = 又 B B , ∵ ∴ D D C ∠ 。 E ∥ 又 四 B ∵ D 边 ∠ = , 形 C ∴ ∠ E B 四 B CE 边 = D 形 ∠ 。 是 C B ( B 2 C 菱 E E ) 形 D ∵ ,∴ △ 是 CE 平 7 = 行 .A B 四 C C ≌ 边 , △ ∴ E 形 C F 。 E = 又 答 ,
=6,
AC
⊥
BD
,∴
在
Rt△
AOB中
,
AB
=
OA2
+
OB2
=
∵
案不唯
=
一
,∴
8.证明 BAD的平
。
分 线交BC
⊥
于点
(
E
) :∵∠ ,
8 2 +6 2 =10,∴ AB · DH = 1AC · BD ,∴10· DH = ∴∠ BAE =∠ EAF 。∵ 四边形ABCD是平行四边形 ,
2 AD BC EAF AEB BAE AEB
A ∠ ∠ △ 1 2 B E D D C × D A A D 1 F C E 6 是 = × = 和 1 菱 2 ∠ ∠ △ 形 C , D D ∴ D C , E C D E A F , H F 。 - 中 = 是 ∵ ∠ , 9 对 E ∠ . 6 D D ∠ A 角 。 F A D D 线 , F = A 1 A C 即 D 0 = C C = . ∠ , ∠ ∠ 上 3 A C D D 两 D C E 1 E A 点 1 = , . , , 解 ∴ ∴ ∴ ∠ : D C ∠ △ ∵ A D A D 四 F = D A F E 。 D 边 C 形 - 在 ≌ , ∴ ∴ ∴ 形 由 的 纸 A 四 如 中 片 A B B 边 下 位 沿 E = ∥ 形 : 线 F 过 B ∵ E A , 边 是 D ∴ B 。 , A C 菱 E 是 ' ∴ 同 C F D 形 A 理 ∠ C ∥ 。 中 是 , B A 中 点 平 C B 9 点 D 行 , . = ∴ = 解 , 四 C A 的 ' ∠ : ∠ F 边 ( 是 C 直 1 ' , 形 ) A D ∴ 线 四 B E 。 B E 边 E , = 又 中 D ∴ 形 = ∠ ∵ 点 A C 折 ∠ D A , F D E B ∴ 叠 C C 。 C ' = ' , E , ∵ D ∴ B ∵ = E A 是 ∠ 将 是 D , ∠ 菱 D ∴ △ △ ∥ E 形 A A B 四 C B B , C 边 理 = C C , ,
1 △ 在 ∠ 是 2 A D . 等 菱 C ( D 1 边 形 F B ) 三 A 证 ( = A B 角 明 ∠ S C A 形 D N : 如 D ) , 中 , ∴ B 图 ∴ , A = ∠ 所 B A 6 D 示 E 0 = A ° B , B , = D 连 故 ∠ = C , 接 A △ 6 F 又 0 D A B ° 。 A E D , D M ∴ B = , ∠ CDF , C ∠ ∴ 是 如 形 C C ' D 菱 , 图 ' E , D ∴ E 形 , C' F C 由 = ' 。 , C C = E ( ' ( ' 1 2 E D E ) ∥ ) E , 知 连 ∴ = A , 接 C 四 C C ∵ E E C , 边 C 由 C = , ' C C 形 ' C ' ( ' 交 1 D C E ⊥ D ) D = D E = 知 C' E C C , ' E 于 C , D D ' C 点 D , F 是 = ∴ F C 菱 = = D , ∠ C , ' ∴ D 四 E 边 = 形 ∠ C D D E C C ' ' E ,
+ CN =1, DN + CN =1,∴ AM = 第12题图 EC , C'D = 1BC ,∴ E是BC中点 ,
AM DN 2
DN 在 AMB和 DNB中 M
=
AB NDB ∵
BC
=10,∴
CE
=
BC
=5,∴
EF2
+ 第9题图
, △ △ ,
A
∠
B DB
=∠ =60°, CF2
=
CE2
=25①,∵
CC'
+
DE
=14,
=
AMB DNB BM BN MBA EF CF 1 DE CC' 由 可得EF CF
∴△ ≌△ (SAS),∴ = ,∠ = ∴ + = ( + )=7②, ①② ·
NBD 又 MBA DBM NBD 2
∠ , ∵ ∠ + ∠ =60°,∴ ∠ +
∠ 形 D 。 B (2 M ) = 过 6 点 0° B , 即 作 ∠ BE MB ⊥ N M = N 6 于 0° 点 ,∴ E △ 。 B 设 M B N M 是 = B 等 N 边 = 三 MN 角 2 = 4 1 , 2 ∴ , 四 ∴ S 边 △ 形 CEF C = DC 1 2 'E EF 的 · 面 C 积 F 为 = 2 6 4 , 。 ∴ S菱形CDC'E=4 S △CEF=
第3课时 菱形的性质与判定综合
= x , 则BE = 3x , 故S △BMN= 1MN · BE = 3x2,∴ 当 1. 证明 四边形ABCD是平行四边形 AB DC
2 2 4 (1) :∵ ,∴ ∥ ,
AB DC AEM CFM BE DF AB BE
BM AD时x最小 此时x 3S 1 3 3 = ,∴∠ =∠ ,∵ = ,∴ +
⊥ , , ,min= ,min= × × CD DF 即 AE CF 在 AEM 和 CFM 中
2 2 2 4 = + , = , △ △
AME CMF
33 BMN面积的最小值为33 ∠ =∠ ,
= 。∴△ 。 AEM CFM AEM CFM 解
16 16 ∠ =∠ ,∴△ ≌△ (AAS)。(2) :
第2课时 菱形的判定 AE CF
= ,
1.证明 :∵ 在 △ ABC中 , 点D是AC的中点 ,∴ AD = DC , ∵ AE = CF , AE ∥ CF ,∴ 四边形AECF是平行四边形 , 又
∵ AF ∥ BC ,∴∠ FAD =∠ ECD ,∠ AFD =∠ CED , 在 ∵ AC ⊥ EF ,∴▱ AECF是菱形 ,∴ AE = EC = CF = AF ,
△ AFD和 △ CED 中 , A ∠ ∠ D F A A F D D CD = = ∠ ∠ C E E CD D , ,∴△ AFD ≌ ∴ 明 菱 :∵ 形 E A 为 EC 对 F 角 的 线 周 A 长 C = 的 4 A 中 F 点 = , 4 F × 为 3 边 2 B = C 12 的 2 中 。 点 , 2 ∴ . E (1 F ) = 证
△ CED (AAS),∴ AF = E C ,∴ = 四边 , 形AECF是平行四边 1 2 AB , EF ∥ AB , CF = 1 2 BC , AE = CE ,∵ AB ∥ CD ,
形 又 DE AC 即EF AC 平行四边形AECF是 CD EF AB BC CD
, ∵ ⊥ , ⊥ ,∴ ∴ ∥ ,∵ = =2 ,
菱形 2.解 四边形AFDE是菱形 理由如下 DE EF CF CD CD EF 四
。 : , :∵ ∥ ∴ = = ,∵ ∥ ,∴
ABDF AC 四边形AFDE是平行四边形 AD平 边形DEFC是平行四边形 四边
, ∥ ,∴ ,∵ ,∴
分 BAC FAD EAD DE AB EDA 形CDEF为菱形 解 如图 连
∠ ,∴∠ =∠ ,∵ ∥ ,∴∠ = 。(2) : ,
FAD EDA EAD AE DE 平行四边形 接DF与EC交于点G 四边形
∠ ,∴∠ =∠ ,∴ = ,∴ ,∵
AFDE是菱形 3. 4.AB BC 答案不唯一 CDEF为菱形 DF DF
。 A = ( ) , =6,∴ ⊥ 第2题图
1
3A"#
CEDG 1DF EG GC CD 在 CDG BD 1AC 1BD 即OC OD 四边形OCED
, = =3, = ,∵ =5, Rt△ ,∴ = 。 = 。∴
2 2 2
中 , GC = CD2 - DG2 = 5 2 -3 2 =4,∴ CE =2 GC =8, 为 形 菱 AB 形 C 。 D 是 3 矩 . D 形 4. A D D 5. B A C 6. B M 7 D . O (1) 证 N 明 B : O ∵ 四边 对
∴ 四边形CDEF的面积为 : 1CE · DF = 1 ×8×6= 角线BD的垂直平 ,∴ 分线 ∥ MN与 ,∴ A ∠ D相交 = 于 ∠ 点M 与 ,∵ BD
2 2 ,
3. 4. 5. 6. 证明 在 ADE和 相交于点O 与BC相交于点N BM DMBO DO
24。 D A C (1) : △ , ,∴ = , = ,
CDF中 四边形ABCD是平行四边形 A MOD NOB
△ ,∵ ,∴∠ = ∠ =∠ ,
C DE ABDF BC AED CFD 又 在 MDO和 NBO中 DO BO MDO
∠ ,∵ ⊥ , ⊥ ,∴∠ =∠ =90°。 △ △ , = , ∴△
DE DF ADE CDF DA DC MDO NBO
∵ = ,∴△ ≌△ (AAS),∴ = , ∠ =∠ ,
平行四边形ABCD是菱形 解 菱形ABCD NBO MD BN AD BC 四边形
∴ 。(2) :∵ , ≌△ (ASA),∴ = ,∵ ∥ ,∴
AD AB DE AB ADE A BMDN是平行四边形 BM DM 四边形BMDN是
∴ = =4,∵ ⊥ ,∴∠ =90°,∵∠ = ,∵ = ,∴
菱形 解 四边形ABCD是矩形 A 由勾
AED AE 1AB 由勾股定理 得 ;(2) :∵ ,∴∠ =90°,
60°,∴∠ =30°,∴ = 2 =2, , 股定理得 : AB2 + AM2 = BM2,∵ AB =4, AD =8,∴4 2 +
DE = AD2 - AE2 = 4 2 -2 2 =23,∴ S菱形ABCD= AB · AM2 =(8- AM )2, 解得AM =3,∴ DM =5,∴△ BMD的
DE
=4×23=83。
7.16
3
8.
(1)
证明
:∵
AD
∥
面积
=
1
×
DM
×
AB
=
1
×5×4=10。
8.12
3 2 2 5
BC DMO BNO MN是对角线BD的垂直平 9. 四边形ABCD 是矩形 DA BC B
,∴∠ =∠ 。∵ (1)∵ ,∴ ∥ ,∠ =
分线 OB ODMN BD 在 MOD和 NOB中 ADC DAE AEB 在 ABE与 DFA中
,∴ = , ⊥ 。 △ △ , ∠ ,∴∠ =∠ ,∴ △ △
DMO BNO DAE AEB
∠ =∠ , ∠ =∠ ,
MOD NOB MOD NOB OM B AFD ABE DFA AE AD
∠ =∠ ,∴△ ≌△ (AAS),∴ ∠ =∠ , ∴△ ≌△ ,∴ = ,
OD OB AB DF
= , = ,
ON OB OD 四边形BNDM是平行四边形 AD BC AE BC 连接
= ,∵ = ,∴ , ∵ = ,∴ = ;(2)
MN BD 平行四边形BNDM是菱形 解 由 DE DF AE C
∵ ⊥ ,∴ ;(2) : (1) ,∵ ⊥ ,∠ =90°,∴
DFE DCE AB DF 且
可知OB 1BD OM ON 1MN 四边形 ∠ =∠ ,∵ = ,
, = =15, = = =8, AB DC DF DC 在
2 2 = ,∴ = ,∴ Rt
BNDM是菱形 ,∴ BN = DN = DM = BM 。∵ MN ⊥ BD , DEF与 DEC中 DF = DC , 第10题图
∴∠ BON =90°,∴ BN = OB2 + ON2 = 15 2 +8 2 = △ Rt△ DE = DE ,
17,∴ 菱形BNDM 的周长 =4 BN =68。 9.证明 : ∴Rt△ DEF ≌Rt△ DEC ,∵∠ FDC =30°,∴∠ FDE =
(1)∵ BE ∥ AC , OE ∥ AB ,∴ 四边形ABEO是平行四边 ∠ CDE =30°÷2=15°,∴∠ DEF =90°-15°=75°;
形
。∵
四边形ABCD是平行四
∵△
ABE
≌△
DFA
,
AB
=4,∴
DF
=4,∵∠
FDC
=30°,
边形 ,∴ AC =2 AO ,∵ AC = ∴∠ ADF =90°-30°=60°,∴∠ DAE =90°-60°=30°,
2 AB ,∴ AO = AB ,∴ 四 边 形 ∵ DF =4,∴ AD =4×2=8,∴∠ DEF =75°, AD =8。
ABEO是菱形
;(2)
解
:∵
四边形 10.
(1)
证明
:∵
四边形ABCD是矩形
,∴
AB
∥
CD
,
ABCD是平行四边形 ,∴ AO = ∴∠ CAE = ∠ ACF ,∠ CFO = ∠ AEO 。 在 △ AOE 和
CAE ACF
1AC OB 1BD 连 ∠ =∠ ,
2 =25, = 2 =4, 第9题图 △ COF 中 , AE = CF , ∴△ AOE ≌ △ COF
接AE交BO于M 由 知 四 CFO AEO
, (1) , ∠ =∠ ,
边形ABEO是菱形 AEOB互相垂直平分 OM OE OF 解 如图 连接OB BF BE
,∴ , ,∴ = (ASA),∴ = 。(2) : , ,∵ = ,
OE OF BO EF 由 知
1BO =2,∴ AM = OA2 - OM2 = (25) 2 -2 2 =4, A = OE ,∴ CO ⊥ F 。 OA (1) OC ,
2 △ ≌ △ ,∴ = 。
∴ AE =8,∴ 四边形ABEO的面积 = 1AE · OB = 1 × ∵ 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ,
2 2 ABC BO 1AC
8×4=16。 ∴∠ =90°,∴ = 2 =
第4课时 矩形的性质 OA
,∴ ∠
BAC
= ∠
OBA
,
又 第11题图
1. 四边形ABCD是矩形 BAD ABC BEF BAC BEF
(1)∵ ,∴∠ =∠ =90°, ∵∠ =2∠ ,∴∠ =
AE平分 BAD BAE AEB OBE 在 OBE 中 BEO OBE
∵ ∠ ,∴∠ =45°,∴∠ =90°- 2∠ , Rt△ ,∠ + ∠ =90°,
BAE AEB EAC ACB CAE
∠ =45°,∵∠ =∠ +∠ ,∠ = BAC BC 1 AC AB
15°,∴∠ ACB =45°-15°=30°;(2)∵ 四边形ABCD是矩 ∴∠ =30°,∴ = 2 =3 3,∴ =
形 AO CO 1ACBO 1BDAC BD AO
AC2
-
BC2
=9。
,∴ = = , = , = ,∴ = 第5课时 矩形的判定
2 2
BO OC OBC OCB BAO BAE 1.答案不唯一 如 A 等 2.证明 BOC
= ,∴∠ =∠ =30°,∵∠ =∠ + , ∠ =90° 。 :∵∠ =
CAE AOB是等边三角形 AB OAB AOB OBA AOB为等
∠ =45°+15°=60°∴△ ,∴ = 2∠ =120°,∴∠ =∠ =60°,∴△
OB BAE AEB AB BE BE BO 边三角形 OA OB 四边形ABCD是平行四边形
,∵∠ =∠ =45°,∴ = ,∴ = , ,∴ = 。∵ ,
BOE 2.证明 OD OB OD OA OD OAD BAD
∴∠ =(180°-30°)÷2=75°。 :∵ ∥ ∴ = ,∴ = ,∴∠ =30°,∴∠ =30°
CEOC DE 四边形OCED为平行四边形 又 AC ABCD为矩形 3.证明 四边形
, ∥ ,∴ , ∵ = +60°=90°,∴▱ 。 :∵
2
A"# 3
ABCD是平行四边形 AB CDAB CD A 形ABCD是矩形 BAD
,∴ = , ∥ ,∴∠ + ,∴∠ =90°。
D M是AD的中点 AM DM 在 ABM 四边形AEPF为矩形 AP
∠ =180°,∵ ,∴ = 。 △ ∴ 。∴ =
AM DM EF 要求EF的最小值就是要求
= , 。∴
和 DCM中 AB DC ABM DCM AP的最小值 点P从B点沿着
△ , = ,∴△ ≌△ (SSS), 。∵
BM CM BD往D点移动 当AP BD时
= , ,∴ ⊥ ,
∴∠ A =∠ D ,∵∠ A +∠ D =180°,∴∠ A =∠ D =90°, AP取最小值 。 在 Rt△ BAD 中 , 第8题图
四边形ABCD是矩形 4. 5.对角线相等的平行 BAD AB AD
∴ 。 D ∵∠ =90°, =6, =8,
四 ∴ A 边 D 形 ∥ 是 B 矩 C 形 , ∴ 6 ∠ . A 证 E 明 B : = ∵ 四 ∠ E 边 B 形 C A 。 B ∵ C B D E 为 平 平 分 行 ∠ 四 A 边 B 形 C , , ∴ 1 B A D B = AD AB2 1 + A A P D2 = BD 6 2 A + P 8 2 = AB 10 · 。 AD ∵ S 6 △A × BD 8 =
AEB ABE EBC ABC · = · ,∴ = BD = =
∠ =45°,∴∠ =∠ =45°,∴∠ =90°, 2 2 10
ABCD是矩形 7.证明 在平行四边形ABCD
∴▱ 。 :∵ 24 EF的长度最小为 24 故选 9. 证明
中OB ODOA OC 又 OA OB BD AC 平 。∴ : 。 B。 (1) :
, = , = , ∵ = ,∴ = ,∴ 5 5
行四边形 ABCD 是矩形 。 8.证明 :∵ PQ ∥ BC , ∵ 四边形ABCD是菱形 ,∴ AD ∥ BC且AD = BC ,∵ BE
∴∠ DEC =∠ BCE ,∠ DFC =∠ GCF ,∵ CE平分 ∠ BCA , = CF ,∴ BC = EF ,∴ AD = EF ,∵ AD ∥ EF ,∴ 四边形
CF平分 ∠ ACG ,∴∠ BCE =∠ DCE ,∠ DCF =∠ GCF , AEFD是平行四边形 ,∵ AE ⊥ BC ,∴∠ AEF =90°,∴ 四
∴∠ DEC =∠ DCE ,∠ DFC =∠ DCF ,∴ DE = DC , DF = 边形AEFD是矩形 ;(2) 解 :∵ 四边形ABCD是菱形 , AD
DC ,∴ DE = DF ,∵ 点D是边AC的中点 ,∴ AD = CD , =10,∴ AD = AB = BC =10,∵ EC =4,∴ BE =10-4=
∴ 四边形AECF是平行四边形 ,∵∠ BCA +∠ ACG = 6。 在 Rt△ ABE中 , AE = AB2 - BE2 = 10 2 -6 2 =8,
180°,∴∠ ECF =∠ DCE +∠ DCF = 1 ×180°=90°, 在 Rt△ AEC中 , AC = AE2 + EC2 = 8 2 +4 2 =45。
2
∴
平行四边形AECF是矩形
。
9.证明
:(1)∵
F是边
∵∠
AEC
=90°,
AO
=
CO
,∴
OE
=
1AC
=25。
CD 的中点 ,∴ DF = CF 。∵ CG ∥ DE ,∴∠ DEF = 第7课时 正方形的性质 2
CGF 又 DFE CFG DEF CGF
∠ 。
DE
∵∠
CG又
=
CG
∠
DE
,∴
四
△
边形DE
≌
CG
△
是平
1.解
:∵
BD
=22,
AB2
+
AD2
=
BD2, AB
=
AD
,∴
AB
=
(AAS),∴ = , ∵ ∥ ,∴ 正方形ABCD的边长为 周长为 AB 面积为
行四边形 DE平分 ADC ADE FDE 2,∴ 2, 4 =8,
EF分别
。(
为
2)
边
∵
ABDC的
∠
中点
,∴
EF
∠
AD
=∠
ADE
。 AB2
=4。
2.解
:∵
四边形ABCD是正方形
,∴∠
BAC
∵ , , ,∴ ∥ ,∴∠ ACB AE AC ACE E
DEF DEF EDF EF DF CF =∠ =45°。∵ = ,∴ ∠ = ∠ =
=∠ ,∴ ∠ = ∠ ,∴ = = ,
∴∠ FEC = ∠ ECF ,∴ ∠ EDC + ∠ DCE = ∠ DEC 。 180°-45° =67 . 5°,∴∠ BCE =∠ ACE -∠ ACB =67 . 5°
∵ ∴ 边 ∠ ∠ 形 E D D D E E C C CG + =9 ∠ 是 0° D 矩 。 C 形 E 又 。 + ∵ ∠ 四 D 边 E 形 C D = E 1 C 80 G °, 是 ∴ 平 2 行 ∠ D 四 E 边 C 形 =1 , 8 ∴ 0° 四 , - ∴ B 45 C 2 ° D = = C 2 E D 2 C . 5 , ° ∠ 。 B CD 3. = 证 9 明 B 0° C : 。 D ∵ ∵ 四 E 边 为 D 形 B C C A E B 延 CD 长 在 线 是 B 上 正 C 的 方 F 形 点 和 , ,
第6课时 矩形的性质与判定综合 ∴∠ =90°,∴∠ = ∠ 。 △
BC
=
DC
,
1. 43 2.证明 :∵ 四边形ABCD是矩形 ,∴ OA = OC , △ DCE 中 , ∠ BCD =∠ DCE ,∴ △ BCF ≌ △ DCE
OB = OD 。∵ BE = DF ,∴ OE = OF 。 在 △ AOE和 △ COF CF = CE ,
OA = OC , (SAS),∴ DE = BF 。 4. A 5. A 6. A 7. 18
中 ,∠ AOE =∠ COF ,∴△ AOE ≌△ COF (SAS),∴ AE 8. (1) 证明 :∵ 四边形ABCD是正方形 ,∴ AB = BC ,
OE = OF , ∠ ABE = ∠ BCF =90°。 又 ∵ BE = CF ,∴△ ABE ≌
= CF 。 3. (1) 证明 :∵ E是AC的中点 ,∴ AE = EC 。 又 △ BCF (SAS),∴ AE = BF 。 (2) 证明 : 由 (1) 知 ∠ BAE
∵ DE = EF ,∴ 四边形ADCF是平行四边形 。∵ AD = =∠ CBF 。∵∠ BAE +∠ AEB =90°,∴∠ CBF +∠ AEB
BGE 即AE BF 9. 证明 四
DB A , C AE D = F EC ,∴ 四 D 边 E 形 = A 1 2 D B C C F , 是 ∴ D 矩 F 形 = BC 。 解 ∵ CA = A C B B C , = 边 9 形 0° A , B ∴ C ∠ D是正 = 方 90 形 °, ,∴ AB = ⊥ AD = 。 B C = C (1 D ) ,∠ BA :∵ D =
∴ 是等腰 = 三角 , 形 ∴ AC BC B 。(2 A ) BC : 是 ∵ 等 △ 边三 ∠ ABC =∠ ADE =90°,∴∠ ABF =90°=∠ ADE ,∵ AB
角形 ,∴△ BDC , 的 = 面积 = ,∠ △ AD = C 60° 的 ,∴ 面积 △ =△ ACF的面 ( = S A A D S) , ; ∠ (2 A ) B 解 F : = ∵ B ∠ C A = D 4 E , C , B E F = = 1 D ,∴ E A , D ∴ = △ 4 A , D D E E ≌ =3 △ , A 由 B 勾 F
积 ,∴ 矩形ADCF的面积 =△ ABC的面积 = 1 ×6× 股定理得 , AE2 = AD2 + DE2 =25,∵△ ADE ≌△ ABF
2 AF AE BAF DAE BAF
33 A = O 9 B为 3。 等边 三 4. 角 A 形 5. B C A O 6. B 7 A . ( O 1 B ) 证 OA 明 : ( ∠ S B A A S E ), = ∴ ∠ DA = E + , ∠ ∠ BAE = = 90 ∠ °, 即 ∠ , E ∴ AF ∠ =90° + ,
O ∵ B △ 。∵ 四边形ABCD是 , 平 ∴ 行 ∠ 四边形 =6 , 0 ∴ ° O = B ∠ = OD , , ∴ O = A ∴ S △AEF= 1 2 AE × AF = 1 2 AE2 =
OD OAD BAD
= ,∴∠ =30°,∴∠ =30°+60°=90°, 25 AEF 的面积为25
ABCD为矩形 解 在 ABC中 ACB ,∴ △ 。
∴▱ 。(2) : Rt△ ,∠ = 2 2
30°, AB =4,∴ BC = 3 AB =43,∴▱ ABCD的面积 = 10. D (1 F ) 证 连 明 接 : 延 A 长 G CB到 A 点 D G , 使 A B B G
8. 解析:如图 连接APEF = , ,∵ = ,
43×4=163。 B , 、 , ABG ADF ADF
∵
PE
⊥
AB
,
PF
⊥
AD
,∴∠
AEP
=∠
AFP
=90°。∵
四边 ∠ =∠ =90°,∴△ 第10题图
3
3A"#
ABG AF AG DAF BAG 四边 CAD DCG ACD CAD ADC
≌△ (SAS),∴ = ,∠ =∠ ,∵ ∴∠ = ∠ ,∵∠ + ∠ + ∠ =
形ABCD为正方形 BAD EAF ADC ACG ACD DCG
,∴∠ =90°,∵∠ =45°, 180°,∠ =90°,∴∠ = ∠ + ∠ =
BAE DAF BAG BAE ACD CAD CE CG 由 知 ADE
∴∠ +∠ =45°,∴∠ +∠ =45°= ∠ +∠ =90°,∴ ⊥ ;② ① ,△ ≌
AG AF CDG AE CG CE CG CE AE AC AB
∠ EAF , 在 △ AGE 和 △ AFE 中 , A ∠ E G = = AE AE =∠ EAF , △ = 第9 2 课 × 时 , 2 ∴ =2 特 , = 殊 故 平 答 行 , 案 ∴ 四 为 边 2。 形 + 复习 = + = = 2
∴ = B △ E A a + GE DF ≌ B , E △ ∴ A E F F E = B ( C B S E AS + A ) B D ,∴ F G 。 E (2 = ) C E 解 E F : , 设 ∵ G D E F E = = F G a B , B 则 + E B C E F 1 = . D C C 2 ,∠ . B 证 = 明 ∠ :∵ D 四 。 边 ∵ E 形 C A = BC F D C , 是 ∴ 菱 BE 形 = ,∴ DF AB 。 = 在 A △ D A , B B E C
D ( = 第 3 F 6 + 8 , - a ∴ 课 ) E 2 时 , F , ∵ 解 = 得 正 3+ a = 方 a 3 = 形 , , 2 ∵ 的 , C ∴ 判 E = D 2 定 F + = C = 2 F 6 。 2 , = ∴ EF2, = ∴ 3 3 , 2 ∵ +(6 = - a )2 + = 和 △ ADF中 , B A ∠ E B B = = = D A ∠ F D D , , ,∴△ ABE ≌△ ADF (SAS),
1 由 . A 证 折 D 明 C 叠 : 可 ∵ 四 得 D 边 F ∠ E 形 A A = B ∠ CD DF 是 E 四 矩 边 = 形 形 90 , ° A ∴ , E A F ∠ E D A = = 是 E ∠ 矩 F A 形 , D ∴ C ∠ = A A 9 E 0° = , A A ∴ C D
A
,
E
∥ ∴ B = A C
A
O
F
, = ∴ , O ∴ ∠ C ∠ E 。
A
A ∵
E
O
F
四 = = 边 ∠ ∠ F 形
A
C A
F
O B
E
。 C 。 D 又 为 ∵
3.
矩 ∠
证
A 形
明
O , E : ∴ ∵ A =
E
D ∠
F
= CO
平
B F C
分
, ,
E A ∠ F BC , D D ∴ A 四 = 是 B 边 ∠ 矩 形 形 A A , G E = ∴ F D 9 D 0 ∠ ° D , 是 A ∴ B 正方 = 形 ∠ B 。 BA = F 2 90 . ° 证 ,∵ 明 D D : A ∵ E F ,∵ 四 ⊥ A 边 F = 形 , 4 ∴ 行 . B △ 四 A 边 5 O 形 . E 解 , ≌ ∵ : △ ∵ A C D D O E F 平 ∥ ( 分 A A C S ∠ A , B D ) A F , C ∴ ∥ , A A ∴ E B ∠ , = E ∴ C A F 四 D , 边 = ∴ 形 D ∠ E F A A E = D D B F , F ∵ 。 是 D 平 F
A A ( ∴ ∠ △ ⊥ A B B C A D ∠ C C A F D A S D D E E , ) ∴ , 是 中 + ∴ 中 ∠ 正 ∠ = B A F , D E D 方 ∠ = A = 形 平 D F ∠ ∠ 9 A E 0 ; 分 B A = ° B = A B 9 , 3 , 0 F F ∠ A = ° ∵ A . F F D = = , B 9 四 B ∴ 0 C ∠ ∠ ° C 4 边 ∠ A D , C = . B D A ∴ 形 C E A E E ∠ A F ∠ 平 F , 5 B C = . 分 C ∴ B 证 D ∠ = A 明 △ D 是 + D 4 A C : 5 E 矩 B ∵ ° B ∠ F , , B 形 在 又 F , ≌ △ ∵ = ∴ A C E 在 △ 四 = B F B D F 矩 9 边 C , A B 0° 和 形 形 E F , F 7 A A ( ∥ ∵ 又 5 D B D . A C - A 四 , , B A E x 是 ∴ 边 ' , 8 ) E + B c ∴ 四 形 . C m D 8 = ∠ 边 A E , A E D 边 列 形 = E 9 A B 方 A . 上 。 D E A 5 D 程 E . 的 在 = 1 是 , D , R 可 中 ∠ 得 F 平 t F 3 设 △ 解 线 行 是 D 2 A D 析 + , ' A 四 菱 E D ∴ ( : , 5 边 E = 形 由 A ∴ - x 形 D 。 折 中 ∠ x c , F ⊥ ) , 叠 m ∴ 2 A 有 B 6 = , 的 D ▱ A C 则 . x ' A 证 性 = , D 2 A D ' , ∴ 质 2 ∠ 明 解 B E + ∠ F E , : = 得 A D 可 ∵ A ' A 是 x A E D A 得 D = B 矩 , B 2 ∴ - A = 3 ' 形 = = D A D . B 4 A 9 。 F ' E E 0 , C ° 2 = = = 即 , 。 。
6 ∠ ∠ 是 ∵ ⊥ ∴ . E E A 证 矩 △ ∠ C B C E A 明 形 B C , C A ∴ + : 。 = E C (1 ▱ 4 又 ∠ , = 是 ) 5 A F 6 ° ∵ ∵ 等 0 B B 。 ° B C 四 C 边 。 E ∴ D 边 = 三 由 = ∠ 是 9 形 ∠ C 角 ( 0 B 1 ° 菱 E A E 形 ) = B , 形 C 知 , C ∴ ∠ ∴ 。 , = D E , B E 四 ( O 9 E 2 O 是 0 边 C ) ⊥ ° ⊥ 平 ∵ , 形 A = A B 行 C △ C E B ∠ A , 四 E F ∠ A ( C = C O 三 边 , E C F ∴ = 线 E 形 是 是 O 四 , 合 , , 等 C ∴ ∴ 正 ∴ 边 一 , 边 A ∠ 方 ∴ ∠ 形 ) O 三 E , ∠ 形 B = B 即 角 A E F O 。 B E C 形 C = = D F O 。 , 5 D ( 形 ∥ ∴ 行 2 E . 1 C ) 四 , ∠ = D ( 解 ∴ c A 边 3 C m , B : D . 如 形 2 ∴ 4 D ) = c 图 , 。 = 四 ∴ m A , ∠ B B 边 , ∵ 1 C D 所 , 0 C 形 四 B = 以 . D E ( A B 边 1 S ∥ = D E ) 形 △ A C 9 证 D = 0 E B D A F ° 3 明 B , = , , 为 : 又 A ∴ C ∵ 1 2 B D ∵ 平 平 D 四 = B 是 行 行 E C E 边 平 D 四 · 四 = 形 A 边 A 边 B A B 形 B 形 = , C B ∴ , D 1 2 E B ∵ C E × 是 B D 3 = D 平 . 是 D 4 行 ⊥ C × 矩 A 四 , 3 B 形 B = 边 E , ;
M = ∴ ∴ 形 明 A ∠ ∠ ∠ : E 如 B C B D N C E A 图 A D O D O , = 作 = = 是 C 3 2 E ∠ D 0 正 ° ∠ M E 方 。 D A ⊥ 垂 A 形 O ∵ B O - C 。 足 ∠ = , A ∠ 为 9 垂 E E 7 0° D A 足 . 点 , ( D 1 = ∴ 为 ) N = 2 菱 证 点 4 ∠ 5° E 。 AD ∵ , ▱ ∴ A ∠ BC E D AD 是 = 菱 15 形 °, , = 矩 ∴ 中 2 A B , 形 C E , 由 , 由 2 = ∴ - ( A 1 B 勾 ∠ B ) E E 可 + 2 股 = = B 知 E 9 定 , 0 3 ° = 四 2 , 4 理 B - 边 , E 2 在 形 2 得 = = B R : C t E 5 C D C △ , E D B ∴ = C A 2 是 = E C , 第10题图
, ⊥ , ,
∴∠ MEN =90°,∵ 点E是正方 = AE2 + CE2 = 4 2 +(5) 2 = 21, 即AC的长为
形 ∴ E A M BC = D EN 对 , 角 ∵ 线 ∠ A D C EF 上 = 的 90 点 ° , , 第7题图 ∥ 2 B 1 C 。 , ∴ 11 ∠ . D (1 A ) E 证 = 明 : ∠ ∵ FG 四 A 边 , 形 又 A ∵ BC ∠ D F 是 AE 正方 = 形 ∠ , D ∴ A A E D ,
∴∠ DEN =∠ MEF =90°-∠ FEN ,∵∠ DNE =∠ FME ∴∠ FGA =∠ FAE ,∴ FA = FG 。∵ 点E为CD的中点 ,
=90°, 在 △ DEN 和 △ FEM 中 , E ∠ N D = N E E M = , ∠ FME , ∴ DE = CE 。 在 △ ADE和 △ GCE中 , ∠ ∠ A D D AE E = = ∠ ∠ G E C G E C , ,
D ∴ E △ F D G E 是 N 矩 ≌ 形 △ FE 矩 M 形 ( D A E S F A G ), 是 ∴ 正 EF 方 = 形 ∠ D D E E N , 解 = ∵ ∠ 四 F C E 边 E M 形 , ∴△ ADE ≌△ GCE (AAS),∴ AD = C G D , E 同 = 理 C : E △ , DEH ≌
C 形 + 中 G , ∠ , , ∴ C 理 D A D D ∠ 由 E D E E A 如 = = D = C E D 下 9 D 0 D G G = ° : , ∵ , , ∴ ∠ A ∴ 四 C D ∠ D 边 = C G D 形 D , G C D = ∴ , E ∵ F ∠ △ G ∠ A A C D D 和 D E E G 四 , ≌ 在 + 边 △ 形 ∠ △ ; A C ( C A 2 D D D B ) E E C G D = 和 : ( ① S ∠ 是 △ A A C 正 S D D ) ⊥ 方 E G , C A ( △ 为 中 2 G D C ) 平 , + E + 解 根 C 行 F D : 据 F ( 设 H 四 A 勾 , F A = ∴ 边 股 C S A 4 形 ) 定 = H + , , x x 理 ∴ = ∵ , , D , F F B 由 得 H G A F (1 A , = = = ) 又 F B F C 知 2 C ∵ G F = F A , - 。 C A ∴ H F B ∵ = C 2 四 ∥ A D + = F H H 边 B 4 G F = = 形 - , 2 x A ∴ x A , D , ∴ F 。 四 ∴ G + ( 在 A 4 边 H D F + R 形 H x t = 为 A △ , ) A G 菱 2 F A H F = G B 形 4 H = = F 2 。
= +(4- x )2, 解得x =1,∴ AF = FG =4+ x =5,∴ 菱形
4
A"# 3
AFGH的面积为FG DC 12. DE
· =5×4=20。 (1)∵ 8. x x x 4 x 4 x
BADF BC E F (1)1=6,2=-6。(2)1= ,2=- 。(3)1
⊥ , ⊥ ,∴∠ =∠ =90°, 3 3
∵∠ B =90°,∴ 四边形BFDE是矩 =9, x 2=1。(4) x 1=6, x 2=0。(5) x 1=-1, x 2=-5。
形 ∵ D , 过 A 点 平 D 分 作 ∠ E D A G C ⊥ , A ∴ C D , G 垂 = 足 DE 为 , 点 同 G 理 , x (6 2 ) = x 1 - = 2 2 。 , x 2 9 = . C - 6 1 。 0 ( . 7 C ) x 1 1 1 = . 3 A , x 2 解 = 析 - : 1 2 x 。 2 ( + 8 4 ) x x 1 - = 1 - = 6 0 , ,
B 可 F 得 DE : DG 是 = 正 DF 方 ,∴ 形 D ; E (2 = D ) F ∵ ∴ 四 四 边 边形 形 则x2 +2 x - 1 2 =0,∴ x2 +2 x = 1 2 ,∴ x2 +2 x +1 2 = 1 2
BF 点 DE C 是 为B 正 F 方 的 形 中 , 点 ∴ BE B = C BF C = F 6, 第12题图 +1 2,∴( x +1)2 = 3 2 ,∴ a =2, b =1,∴ b - a =1-2=
∵ ,∴ = =
CG =3。∵ AB2 + BC2 = AC2,∴ (6- AE )2 +3 2 = -1, 故选 A. 12. (1) x 1= 7 , x 2= 3 。(2) x 1= 1+3 ,
( AE +3)2,∴ AE =2。 2 2 2
第二章 一元二次方程
x 1-3 x 1 x 9 x x
2= 。(3)1=- ,2=- 。(4)1=-6,2
第10课时 认识一元二次方程(概念与一般形式) 2 2 2
1.
(1)4 (2)≠3 (3)-2
2.解
:(1)3
x2
-5
x
+2=0,
二 =
第
3
13
。
课时 用配方法求解一元二次方程(2)
次项系数为
3,
一次项系数为
-5,
常数项为
2。(2)4
x2
-
x 二次项系数为 一次项系数为 常数项 1. 9 3 1 1 2.x -2+ 10 x
5 -10=0, 4, -5, (1) , 。(2) , 1= ,2=
为
-10。(3)
x2
-8
x
+21=0,
二次项系数为
1,
一次项系 16 4 25 5 2
数为 -8, 常数项为 21。(4) x2 -2 x -1=0, 二次项系数为 -2- 10 。 3.x 1=- 1 , x 2=2。 4.x 1=6+52,
一次项系数为 常数项为 3.解 由题意 2 3
1 得 , ,6 x2 =36, 化为 - 一 2 般 , 式为 6 x2 - - 1 36 。 = 0。(2 : ) ( 由 1) 题意得 , x 2=6-52。 5. B 6.解 :(1) x 1=5, x 2=1。(2)∴ x 1
x = 2 0 + 。 (3 0 4 - . 1 D 3 - 5 x . ) A 2 = 6 13 . B 2, 化 7. 为 A 一 8 般 . 式 解 为 :(1 2 ) x 一 2 - 般 3 形 4 x 式 + : 1 5 x 20 2 =2+23, x 2=2-23。(3) x 1= 2+ 6 2 , x 2= 2- 6 2 。
x 二次项系数 一次项系数 常数项
( - 2 3 ) 一 = 般 0 形 , 式 :3 x2 -5= : 0 5 , , 二次项系数 :3 : , - 一 3 次 , 项系数 : : 0 0 。 , (4) x 1= x 2=3。(5) x 1=2, x 2= 3 2 。(6) x 1=1+ 2 3 3 ,
常数项 :-5。(3) 一般形式 : x2 +(2-1) x -3=0, 二次 x 2=1- 23 。 7. C 8. (1) x 1= -32+ 21 , x 2=
项系数 一次项系数 常数项 一般形 3 3
:1, :2-1, :-3。(4)
式
:2
x2
+2
x
+4=0,
二次项系数
:2,
一次项系数
:2,
常数 -32- 21
。(2)
x
1 =
1+ 73
,
x
2 =
1- 73
。
项
:4。
或一般形式
:
x2
+
x
+2=0,
二次项系数
:1,
一次项 3 12 12
系 ∴
解
a 数
得
2
a
- :1 1 , = 常 0
或
数 ,( 项 a + :2 1 。 )( a
a
9 - . 1 - ) 3 = 0 10 ,∴ . a
a
解 + :∵ 1= 一 0 次
故
或 项
a
a 系 - 数 1 为 = 0 0 , ,
2
(3) x
33
1=
。
3 2 9 , . x 解 2=
:∵
- x 5 2
※(
2
1
。
※
(4 x )
)
x
=
1=
-
1
1
2
,
+
∴
2 x2 3
+
3
2
x , x
+
2=
1
1
=
2
0
-
,
=1 -1。∵ +1≠0,∴ ≠-1, =1。 x x
11.解 设最短边长为 x 则另外两边的长为 x ∴ 1= 2=-1。
:(1) 2 , 2 +2, 第14课时 用公式法求解一元二次方程
2 x +4, 根据题意得 (2 x )2 +(2 x +2)2 =(2 x +4)2, 化为一 1. 2. x x x
般形式为x2
-2
x
-3=0。(2)
设长为x
cm,∵
长方形的 A (1)1=3+2 2,2=3-2 2。(2)1=
周 为 第1 长 一 1 为 般 课 1 形 0 时 0 式 c 为 m 一 x , 元 ∴ 2 - 二 宽 50 次 为 x 方 ( + 50 程 52 - 的 5 x = 根 )c 0 m 。 , 得x (50- x )=525, 化 二 -2 次 + 2 方程 14 x , 2 x - 2 5 = x - - 2 2 - m 2 = 1 0 4 有 。 两 个 3. 不 解 相 :∵ 等 关 的 于 实 x 数根 的 , 一 ∴ 元 Δ
1.和 2 . 3. 4. 5. 6. 7. 8. = b2 -4 ac =(-5)2 -4×(-2 m )>0, 即 25+8 m >0, 解
1 2 C A D D A C C
9. 2 . 05(1+ x )2 =4 . 36 10. -4 和 3 11.解 : 把x =6 代 得m >- 25 。∴ m的取值范围为m >- 25 。 4. B
入x2
-
mx
+2
m
=0,
得
36-6
m
+2
m
=0,
解得m
=9。
因 8 8
为m和 5 恰好是等腰三角形ABC的两边长 ,① 当腰长为 5. B 6. D 7. (1) x 1=2, x 2= 3 。(2) x 1= -1+ 13 ,
即三边长分别为 则 ABC的周长为 当腰 2 2
5, 5,5,9, △ 19;②
长
综
为
上
9
所
,
述
即三边
AB
长
C
分
的
别
周
为
长
9
为
,9,5,
或
则 △ ABC
12
的
.
周长
13
为
.
23。 x 2= -1-
2
13 。(3) x 1= -3+
2
65 , x 2= -3-
2
65 。
,△ 19 23。 B B
14. C 解析: ∵ m是一元二次方程x2 - x -3=0 的根 , (4) x 1= 2+ 22 , x 2= 2- 22 。 8. C 9. (1) 无解 。
m ∴ ) m + 2 - 7 m = - 2 3 × = 3 0 + ,∴ 7 m = 2 1 - 3 m , 故 =3 选 , C ∴2 。 m2 1 - 5 2 . m D + 7 1 = 6 2 . - ( m 6 2 - (2) x 1=2+ 3 3, x 2= 2- 3 3。 10. (1) 证明 :∵ Δ =( k
1 0
1
第 7 .
.
6
(
. 1 2
1
( 2 1 ,
)
0
x
) 课 - .
1
7 时 1
=
,0 , 1
3
. 8 用 ,
,
7
x
配 ,
2
0
=
方 ,1 法
-
。
3
求 (2
。
解 )
(
- 一
2
0
)
元
x
. 5 二
1
,
=
- 次 0 方
3 5
. 2 程
,
8
x
( , 1
2
- )
=
0 .
-
02
3 5
,0
。
. 28 ,
3
( + 等
一
k
( k
1 -
条
的 )
+
3 2
边
实
1
- )2
) 为
数 4 +
+
(
腰
根 2
2
4 k
k ,
> 。 -
- ∴
0 ( 3
x 3
2 , )
2 =
) ∴ =
-
解
0
k 无
( , k
: 2
解
当 论 +
+ 得
k 2
1
A k
)
B
k x
为 +
=
=
+
1 何
3
3
2
-
k
实
。
为 8
-
k
当
数 腰
3
+
k
,
=
时 1 方
=
2
0
,
3
程 =
的
则 k
时
总
解
A 2
,
有 - C
x 为
6
2
两 k 或
3 -
个 +
,
B
4 ∴ x
C 1 不 3
9 +
= 相 有
- 3
2. x x x x 3.x 解得x x 符合题意 当AB 为底时 则
(1)1=7,2=-9。(2)1=5,2=-7。 1=8, =0, 1=3,2=1, ; =3 ,
x
2=2。
4.x
1=4,
x
2=-1。
5.
A
6.
A
7.
C
AC
,
BC为腰
,
方程x2
-(
k
+1)
x
+2
k
-3=0
有两个相等
5
3A"#
的实数根 由 得无论k为何实数 方程总有两个不相 m 即 m x m x 解得x
, (1) , + +1=0, [( -1)-( +1)](-1)=0, 1
等的实数根 故这种情况不存在 综上所述k m m
, 。 ,=3。 x +1 原方程有两个整数根 +1
第15课时 用因式分解法求解一元二次方程 =1,2=m 。∵ ,∴m =1+
-1 -1
x 1 2
2
. . ( (
=
1 1
3
) ) x x
。
1 1
(
=
2
= 0
)
x 2 , x
1
, x 2
=
= 2
2
1 =
,
x 。
2
-
=
(2 2
4
) 。 x
。
1 ( 2 = 4 ) 3 x . ,
B
x 1 2 = = 5 5 4 1 .
C
。 , x 6 2 3 . =
C
. ( - 1 7 ) x 5 4 . 1
(1
。 =
)
x 1
1
, m ∴ 第 2 - 1 当 7 1 m 为 课 为 整 时 - 数 1 一 , ,0 ∴ 元 , m 2 二
b
, - 3 次 1 时 = 方 , 方 程 ± 程 1 的 有 根 或 两 与 ± 个 系 2
c
, 整 数 ∴ 数 的 m 根 关 = 。 系 -1,0,2,3。
=4, x 2=-4。(2) x 1= x 2= 1 。(3) x 1=0, x 2=-1。 1. (1) x 1+ x 2=-a=-2, x 1 x 2=a=1;(2) x 1+ x 2=
2
b c
(4) x 1=0, x 2= 3 。(5) x 1=-1, x 2= 2 。(6) 解 : x2 + -a=- 1 5 , x 1 x 2=a=- 3 5 。 2.解 : 将x 1=-1 代
4 x -12=0,( x + 5 6)( x -2)=0, x +6=0 3 或x -2=0, 所 入方程 设 , 方 得 1 程 + 的 2 另 + 一 m = 根 0 为 , x 即m =-3,∴ x 方程为 即 x x 2 -2 x - 则 3
以x 1=-6, x 2=2。 8. (1) x 1=1, x 2=- 2 3 。(2) x 1= m =0 的 。 值为 -3, 方程的另一根 2, 为 ∴ 3 - 。 1+ 3 2 . = 解 2 : , (1) x2 1 2= + x 3 2 2 , =
1, x 2=4。(3) x 1=3, x 2=9。(4) x 1=0, x 2=1。(5) x 1= ( x 1+ x 2)2 -2 x 1· x 2=(-6)2 -2×3=36-6=30;
( - x 2 - , x 8 2 ) = =0 - , 5 ∴ 。 x - 9 5 . = 解 0 : 或 ∵ x x 2 - - 8 13 = x 0 + , 解 40 得 = x 0, = 即 5 ( x 或 - x 5 = ) 8 · 。 4 (2 . B ) x 2 1 x 5 2 . D + x 1 6 x . 2 2 D = x 7 1 x . A 2( x 1 8 + . - x 6 2) = 9 3 .解 × : ( ∵ - x 6 1 ) , x = 2 - 是 1 关 8。 于 x
当x
=5
时
,3+4>5,
能构成三角形
;
当x
=8
时
,3+4<
的方程x2
+
bx
-3=0
的两根
,∴
x
1+
x
2=-
b
,
x
1
x
2=
不能构成三角形 因此 这个三角形的三边长为 x x xx b 解得b
8, 。 , 3,4, -3。∵ 1+ 2-31 2=4,∴- +9=4, =5。
周长为 10.解 该方程的一个根为 m m 解得
5, 3+5+4=12。 :∵ 1,∴1+ + -2=0,
第16课时 解一元二次方程综合
m
=
1
,∴
方程为x2
+
1x
-
3
=0,
解得x
1=1,
x
2=
1. x x x x 2 2 2
(1)1=7,2=-1。(2)1=1+ 3,2=1- 3。
3 该方程的另一根为 3 11. 12.
(3) x 1= 2 2 +1 , x 2= 2 2 -1 。(4) x 1=2, x 2=1。 2.解 : 1 - 3. 2 解 , : ∴ (1)∵ 方程有两个不 - 相 2 等的 。 实数根 C , ∴ Δ = 20 (2 2 k 3 +
∵
关于x的方程x2
-3
x
-
m
=0
有两个相等的实数根
, 1)2 -4×1×( k2 -2)=4 k +9>0, 解得k >- 9 , 即k的
∴ Δ =(-3)2 -4×1×(- m )=0, 解得m =- 3 。 4
4 取值范围是k 9 根据根与系数的关系得x
3.解 :(1) 根据题意 , 得Δ = b2 -4 ac =(-2)2 -4( m -2)≥ >- 4 。(2) 1+
0, 且m -2≠0,∴ m ≤3 且m ≠2。(2)∵ m ≤3 且m ≠2, x 2=-(2 k +1), x 1· x 2= k2 -2,∵ 方程的两个实数根为
∴ 可取m =1。 当m =1 时 , 原方程化为 - x2 -2 x +1=0, x 1, x 2, 且满足x 1 2 + x 2 2 =11,∴( x 1+ x 2)2 -2 x 1· x 2=
∴ x = 2 2 ± ×( 4 - + 1 4 ) , 解得x 1=-1- 2, x 2=-1+ 2。 1 ∵ 1, 关 于 - x (2 k 的 + 方 1 程 ) x 2 2 - + 2 ( ( 2 k k 2 + - 1 2 ) ) x = + 1 k 1 2 , - 解 2 得 = k 0 = 有 - 两 3 个 或 不 1 相 ,
4 3 (6 . , x ( ) x 1 2 1 ) = x = 1 - = - 7 4 。 3 8 , x ( , 4 2 x = ) 2 x = 1 1 2 = - 。 - 3 8 2 5 。 , x . ( 解 2 2 = ) : x ( 8 1 1 。 = ) 当 0 (5 m , x ) = x 2 1 1 = = 时 3 2 1 , x , 。 x 2 2 ( + 3 = 4 ) x x - 1 + 5 = 1 。 1 ( 等 ∴ 4 - . 的 方 m 解 实 程 ) : 2 x ( 数 - 1 2 4 根 ) - ( ∵ m , m 必 x 平 - 须 + 1 行 ) m k = 四 > - 0 边 1 - , = 解 形 9 4 0 得 A , 有 B m ∴ C 两 1 k D = 个 = m 是 相 - 2 3 = 菱 等 2 舍 的 形 , 去 当 , 实 ∴ , m 数 所 A = 根 B 以 2 , = k ∴ 时 A = Δ , D 1 = 方 。 ,
= ∴ x 0, = ∴ - x 2 2 + ± 4 x 3。 +4 (2 = )∵ 3 x ,∴ 2 + ( x 4 x + + 2 m )2 = = 3 0 , ,∴ ∴ Δ x + =4 2 2 = - ± 4 m 3 < , ( 程 数 2) 为 根 ∵ x A A 2 B B - , 2 的 A x D 长 +1 的 为 = 长 0 是 , 解 方 A 得 B 程 x x 1 A 2 = D - x m 2 x = m 1 + , m 即 是 - 菱 1 方 形 = 程 的 0 的 边 的 一 长 两 个 为 个 根 1 实 。
0,∴ x m >4。 6 x .解 :3( x x -2)2 = x x2 -4,3( x x -2)2 - 或 ( x + x ∴2 2 - , 2 m + m -1 2, = ∴ 0,∴ + 解得 = m = , 3 2 ,∴ AB + AD =3 , ,
2)(-2)=0,(-2)(3 -6- -2)=0,-2=0 3 AB AD 平行四边形ABCD的周长为
x 所以x x 7.解 x ∴2( + )=6,∴ 6。
-6- -2=0, 1=2,2=4。 :(1)∵ = 第18课时 应用一元二次方程(1)———几何问题
-1
是关于x的方程b
(
x2
-1)+2
ax
+
c
(
x2
+1)=0
的
根 ,∴ b [(-1)2 -1]-2 a + c [(-1)2 +1]=0,∴-2 a +2 c 1.1x (28- x )=96 2.解 : 设小路宽x m, 种草坪的部
2 = 有 ∴ ax 0 4 两 a , + 2 ∴ 个 c - a ( 相 x 4 = ( 2 c 等 c + 2 , 的 1 - ∴ ) b 实 △ = 2 数 ) A 0 = B , 根 ∴ C 0 , , ( ∴ b 是 ∴ Δ + a 等 c = 2 腰 ) - x (2 c 三 2 a 2 + ) 角 + 2 2 b - a 形 x 2 4 。 = + ( b 0 ( c 2 + , - ) c ∴ ∵ b c ) b = ( 2 c ( = x 0 - a 2 , b ∵ - 2 ) + 1 方 = b ) 0 2 + 程 , , 2 分 据 = 。 0 可 题 2 答 , 合 解 意 : 小 并 得 , 得 x 路 成 ( 1 3 宽 长 = 2- 为 为 2 2 , ( 2 x x 3 2 2 m ) = ( - 2 。 3 0 2 4 x - , 3 ) x ∵ m . ) 3 解 , = 2 宽 : 5 - 0 设 为 2 4 x A ( , 2 > 整 B 0 0 理 - 的 , x ∴ 得 长 ) x x m 度 < 2 - 的 为 16 3 x 矩 6 , x ∴ 形 m + x , , 6 根 = 则 8
∵ a =5, b =12,∴ c = a2 + b2 = 5 2 +12 2 =13。 BC的长度为 (80-4 x )m, 根据题意得 (80-4 x ) x =204,
8. 证明 当m 即m 时 原方程为 x 解得x x 则 x 或 x
(1) : -1=0, =1 , -2 +2= 1=17,2=3, 80-4 =12 80-4 =68。
解得x 当m 时 原方程有实数根 当m x 舍去 即AB BC 答 羊圈
0, =1,∴ =1 , ; -1≠ ∵68>25,∴ 2=3 , =17, =12。 :
0, 即m ≠1 时 ,∵ Δ =(-2 m )2 -4×( m -1)( m +1)=4> 的边长AB为 17m, BC为 12m。 4. C 5. (10-2 x )(7
当m 时 原方程有实数根 综上所述 无论常数 x 6.解 设长方形的宽为x 则长为
0,∴ ≠1 , 。 , -2 )=20 :(1) m, (6-
m取何值
,
方程总有实数根
。(2)
解
:∵(
m
-1)
x2
-2
mx x
)m,
根据题意得x
(6-
x
)=5,
解得x
1=5,
x
2=1,
又
∵
x
6
A"# 3
x x 舍去 当长方形的宽为 长为 x 设每个模型应降价x元 根据题意得
<6- ,∴ 1=5 ,∴ 1m, 6- (20+2 )。(2) , (40
x =5(m) 时 , 面积为 5m 2。(2) 当面积为 10m 2时 , x (6- - x )(20+2 x )=1200, 整理得x2 -30 x +200=0, 解得
x
)=10,
即x2
-6
x
+10=0,
此时Δ
=36-40<0,
故此方 x
1=10,
x
2=20,
又
∵
每个模型盈利不少于
25
元
,∴
x
=
程无实数根 这样的长方形不存在 7. 8. 答 每个模型应降价 元 7.解 设y与x的
, 。 A (130+ 10。 : 10 。 :(1)
x x 9.解 设花圃的宽AB 函数关系式为y kx b将x y 和x y
2 )(60+2 )=2×130×60 :(1) = + , =10,=280 =14,=
为x 则BC x x 故BC k b k
m, =22+2-3 =(24-3 )(m)。 =(24 分别代入关系式 10+ =280 解得 =-40
-3
x
)m。(2)
由题意得x
(24-3
x
)=45,
化简得x2
-8
x 120 ,∴
14
k
+
b
=120
, b
=680
,
解得x x 当x 时 x y与x的函数关系式为y x 设每个游
+15=0, 1=5,2=3。 =5 ,24-3 =9< ∴ =-40 +680。(2)
符合要求 当x 时 x 不符合要求 戏手办的售价定为x元 依题意 得 x x
14, ; =3 ,24-3 =15>14, , , , (-8)·(-40 +
舍去 答 花圃的宽为 解得x x 当x 时 销量y
。 : 5m。 680)=720, 1=11,2=14, =11 , =
第19课时 应用一元二次方程(2)———增长率与握手 个 当x 时 销量y
-40×11+680=240( ); =14 , =-40×
问题 个 尽快减少库存 销量越大越好
14+680=120( ),∵ ,∴ ,
1.解 设该楼盘 月到 月期间均价的月平均下降率 而 则x 每个游戏手办的售价定为
:(1) 7 9 240>120, =11,∴ 11
为x , 根据题意得 10000(1- x )2 =8100, 解得x 1=0 . 1= 元时 , 既能达到尽快减少库存的目的 , 又能使所获日销售
x . 不符合题意 舍去 答 该楼盘 月到 利润达到 元 8.解 设售价应定为x
10%,2=19( , )。 : 7 9 720 。 :(1)300。(2)
月期间均价的月平均下降率为 元 件 则每件的销售利润为 x 元 每天可卖出
10%。(2)8100×(1- / , (-2) , 500
元 按这样的月平均 x
10%)=7290( ),∵7290>7000,∴ -3 x 件 根据题意得 x
下降率 林叔叔不能在 月份买房子 2.解 设有x -10× . =(800-100 ) , (-2)(800
人参加 , 这次聚会
,
根据 1 题 0 意得 x ( x -1) 。
= 45,
解 : 得x
1=
-
.
10
x
0 x ) 0 = 1 6
.
75
又
, 整理
书
得
签
x
售
2
价
-
不
10 x
能
+
超
2
过
2 .
批
75
发
=
价
0
的
, 解得
倍
x 1=
x
2 35,2=65, ∵ 3 ,∴
舍去 x 即这次同学聚会有 人 3. . 答 售价应定为 .元 件
-9( ),2=10, 10 。 B =35。 : 35 / 。
4.解 设九 班有x名同学 则每名同学交换出x 第21课时 一元二次方程复习
: (2) , (-1)
件小礼物
,
根据题意得x
(
x
-1)=1560,
解得x
1=40,
x
2
1.解
:(1)
x2
-2
x
-8=0,(
x
-4)(
x
+2)=0,
x
-4=0
或x
=-39(
不合题意
,
舍去
)。
答
:
九
(2)
班有
40
名同学
。 +2=0,
解得x
1=4,
x
2=-2。(2)2
x2
-4
x
+1=0,2
x2
-
5.解 设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率
为x ,
:
依
(1
题
)
意得 1 . 6(1+ x )2 =2 . 5, 解得x 1=0 . 25=25%, 4
x
=-1,
x2
-2
x
=-
1
2 ,
配方得x2
-2
x
+1=-
1
2 +1,
x . 舍去 这两个月中该景区游客人数的月
平 2= 均 - 增 2 长 2 率 5( 为 ),∴ 设至少还需接待游客y万人才 即 ( x -1)2 = 1 , 开方得x -1=± 1 , 解得x 1=
25%。(2) 2 2
能保证月平均增长率不降低 依题意得 . y .
, 2125+ ≥25 2+2x 2-2 2.解 把x 代入方程 得
解得y 至少还需接待游客 万人才 ,2= 。 :(1) =1 , 1
×(1+25%), ≥1,∴ 1 2 2
能保证月平均增长率不降低 6. 7.解 设这种植物 m 所以m 方程有两个不相等
。 C : +2+ -1=0, =-2。(2)∵
每个支干长出的小分支个数是x , 依题意得 1+ x + x2 = 的实数根 ,∴ Δ >0, 即 2 2 -4( m -1)>0, 解得m <2,∴ m
43,
整理得x2
+
x
-42=0,
解得x
1=-7(
不合题意
,
舍 的取值范围为m
<2。
3.解
:
设该公司第二
、
三两个月
去 x 答 这种植物每个支干长出的小分支个数是 投放单车数量的月平均增长率为x根据题意得
),2=6。 : , 1000(1
6。 8.解 :(1) 设每轮感染中平均一个人会感染x个人 , + x )2 =1000+440, 解得x 1=0 . 2=20%, x 2=-2 . 2( 不
依题意 得 x x x 解得x x 合题意 舍去 答 该公司第二 三两个月投放单车数量
, 1+ + (1+ )=81, 1=8,2=-10 , )。 : 、
不合题意 舍去 答 每轮感染中平均一个人会感染
( 个人 , )。 : 人 答 若病毒 8 的月平均增长率为 20%。 4. (1) x 1=5, x 2= 17 。
。(2)81×(1+8)=729( ),729>720。 : 3
得 第2 不 0 到 课 有 时 效控 应 制 用 ,3 一 轮 元 感 二 染 次 后 方 , 程 被 (3 感 ) 染 —— 的 — 人 数 会 字 超 与 过 降 7 价 20 问 人 题 。 (2) x 1= 3 2 , x 2= 1 2 。 5.解 :(1)∵ 关于x的一元二次
1 为 .x x 2 + 则 ( x 十 + 位 3 上 )2 的 =6 数 5 字 2 为 .解 x : 设这个 依 两 题 位 意 数 得 个 x 位 x 上的数字 ( 方 - 程 4 x )2 2 - - 4 4 ( x m + + m 1 + ) 1 = = 1 0 6- 有 4 两 m 个 - 不 4 相 > 等 0, 的 解 实 得 根 m ,∴ < Δ 3 = 。
, (+3), , (+3)= 该方程的两个实数根为x x x x x
[10( x +3)+ x ]× 2 7 , 整理 , 得 7 x2 - x -60=0, 解得x 1 x (2 2 ) = ∵ m + 6 1 . 。 解 ∵ x 设 1 这 + x 种 2 台 =2 灯 x 的 1· 售 x 2 价 1 , , ∴ 应 2 2 定 , ( ∴ m 为 + x 1 1 + 元 )= 2 4 则 = , 4 平 解 , 均 得 1· 每 m
=3, x 2=- 2 7 0 ( 不合题意 , 舍去 ),∴10( x +3)+ x =63。 = 月 1 可 。 售 出 [600 : -10( x -40)] 个 , 根据题意得 ( x , -30)[600
答
:
这个两位数为
63。
3.解
:
设应将这种
T
恤的销售
-10(
x
-40)]=10000,
整理得x2
-130
x
+4000=0,
解
单价定为x元 则每天大约可卖出 x 件 得x x 舍去 答 这种台灯的售价应定为
, [300+20(60- )] , 1=50,2=80( )。 :
根据题意 得x x 整理得 元 7. 8. 9. 10.k 且k 11.
, (-40)[300+20(60- )]=6080, 50 。 B C A ≥-4 ≠0 -6
x2
-115
x
+3304=0,
解得x
1=56,
x
2=59。∵
鼓励大量 12.
(1000-4
x
-200)(40-2
x
)=15200
13.
(1)
x
1=
销售 x 答 应将这种 恤的销售单价定为
元 ,∴ 4. =5 5 6 . 。 解 设 : 原两位数 T 的十位数字为x 则个 5 位 6 2+2 , x 2= 2-2 。(2) x 1=6, x 2=-1。 14. (1) 证
。 A : , 2 2
数字为 (5- x ), 根据题意得 (10 x +5- x )[10(5- x )+ x ] 明 :∵ Δ =( k +2)2 -8 k = k2 +4 k +4-8 k =( k -2)2 ≥0,
=736,
整理
,
得x2
-5
x
+6=0,
解得x
1=2,
x
2=3,∴5- ∴
无论k取何值
,
方程总有实数根
。(2)
解
:∵
边长b
,
c恰
x
=3
或
2,∴
原两位数是
23
或
32。
6.解
:(1)(40-
x
),
好是这个方程x2
-(
k
+2)
x
+2
k
=0
的两个根
,∴
b
+
c
=
7
3A"#
k
+2,
bc
=2
k
,(
k
>0),∵Rt△
ABC的斜边长a
=3,∴
b2
+
共有
36
种等可能的结果
,
其点数相同的结果数为
6,
所以
c2 =3 2 =9,∴( b + c )2 -2 bc =9, 即 ( k +2)2 -2×2 k =9, 整 其点数相同的概率为6 1 7.P 衣裤同色 1
理得k 负值舍去 b c ABC的 36 = 6 。 ( )= 3
=±5( ),∴ + = 5+2,∴△ 8.解 任取两张卡片共有 种取法 它们是
周长为a b c ABC的周长 : 10 , :(1,2),(1,
为
+ +
15
=
.解
3+ 5
t
+2=5+ 5
t
。∴△
CDE
3),(1,4),(1,6),(2,3),(2,4),(2,6),(3,4),(3,6),(4,
5+5。 :(1)3cm,(4-4)cm。(2)∵△ 和为偶数的共有 种情况 故所求概率为P 4
6); 4 。 = =
的面积等于四边形ABED的面积的1 CDE的面 10
,∴△
3 2 9.解 乙恰好游玩 景点的概率为1 画
。 :(1) A 。(2)
积等于三角形ABC的面积的1 1CE CD 1 5 3
,∴ · = × 树状图为
4 2 4 :
1AC BC即1 t t 1 1 化简
· , ×3×(4-4)= × ×4×3,
2 2 4 2
得
4
t2
-4
t
+1=0,
解得t
1=
t
2=
1
,
即当t为1 时
, 共有 种等可能的结果数 其中甲 乙恰好游玩同一景点
2 2 6 , 、
△ 可 C 以 D , E 理 的 由 面 如 积 下 等 : 若 于 D 四 E 边 = 形 4c A m B , E 由 D 勾 的 股 面 定 积 理 的 得 1 3 4 2 。 = (3 (3 t ) 不 )2 的结 1 果数为 2, 所以甲 、 乙恰好游玩同一景点的概率 = 2 6
= 。
+(4-4 t )2, 整理得 25 t2 -32 t =0, 解得t 1= 32 , t 2=0( 舍 第2 3 3课时 用树状图或表格求概率(2)———是否放回
25
问题
去 当t 32时CE t 96 BC 不合题意 DE的
), =
25
, =3=
25
> , ,∴ 1.解
:
画树状图得
:
长不可以是
4cm。
第三章 概率的进一步认识
第22课时 用树状图或表格求概率(1)
1. 2.解 由题意 画出树状图如下
B : , :
由树状图可知 所有等可能情况有 种 其中两次摸出
: 12 ,
的小球标号的和等于 的占 种 所以其概率是2
4 2 , =
12
1 2. 1 根据题意画树状图如下
。 (1) ;(2) :
6 4
由图可知 小颖随机拿出一件上衣和一条裤子穿上的所
,
有等可能的结果共有 种 其中 恰好是白色上衣和白色
4 , ,
裤子的结果有 种 则恰好是白色上衣和白色裤子的概
1 ,
率为P 1 3. 解 因为 地球脉动 蓝色星球
= 。 (1) : 《 》《 》
4
冰冻星球 地球的力量 共四部纪录片 所以该校学生 共有 种等可能的结果数 其中甲组抽到 栋教学
《 》《 》 , ∵ 12 , A
楼 同时乙组抽到 栋教学楼的结果数为 甲组抽到
小明选择观看纪录片 蓝色星球 的概率是1 解 将 , C 1,∴
《 》 ;(2) :
4 栋教学楼 同时乙组抽到 栋教学楼的概率为1
地球脉动 蓝色星球 冰冻星球 地球的力量 分别记 A , C 。
《 》《 》《 》《 》 12
作 画树状图可得 3. 4.解 设甲 乙 丙 丁 人的礼物分别记为abc
A,B,C,D :
d
D
根 据题意
:
画树状
、
图
、
如下
、 4 ,,,
, :
所以 共有 种等可能的结果 其中选中同一部纪录片
, 16 , 共有 种等可能的结果 甲 乙两人抽到的都不是自己
12 , 、
的有 4 种 , 故P ( 两人选中同一部纪录片 )= 4 = 1 。 带来的礼物的结果有 7 个 ,∴ 甲 、 乙两人抽到的都不是自
16 4
己带来的礼物的概率为7
4. 5.P 1 6.解 画树状图为 。
D = : : 12
4 5.解 画树状图得
: :
8
A"# 3
共有 种等可能的结果 两次摸出的小球上数字乘积 画树状图如下
∵ 16 , :
是负数的有 种情况 两次摸出的小球上数字乘积是
6 ,∴
负数的概率为 6 3 6.解 画树状图如下
: = 。 :(1) :
16 8
共有 种等可能的结果 其中指针一次落在白色区域
16 , ,
另一次落在黑色区域的结果有 种 指针一次落在白
6 ,∴
色区域 另一次落在灰色区域的概率为6 3
, = 。
共有 种等可能的结果 其中两次取出的小球标号和为 16 8
奇数 1 的 2 结果有
8
种
,∴
两 , 次取出的小球标号和为奇数的 6.1
4
解析:画树状图如下 :
概率为8 2 由 可知 共有 种等可能的结
= ;(2) (1) , 12
12 3
果 其中两次取出的小球标号和为偶数的结果有 种
, 4 ,
两次取出的小球标号和为偶数的概率为4 1
∴ = 。
12 3
7. 列表如下
(1) : 共有
12
种等可能的结果
,
其中得到的数字与
5
能组成直
角三角形的结果有 种 得到的数字与 能组成直角
-1 -2 3 4 3 ,∴ 5
-1 (-1,-2) (-1,3) (-1,4) 三角形的概率为3 = 1 , 故答案为 : 1 。 7. (1) 解 : 根
12 4 4
-2 (-2,-1) (-2,3) (-2,4) 据题意 , 画出树状图如下 :
3 (3,-1) (3,-2) (3,4)
4 (4,-1) (4,-2) (4,3)
从上面的表格可以看出 所有可能出现的结果共有
(2) , 12
种 且每种结果出现的可能性相同 其中点xy 在第一
, , (,)
象限或第三象限的结果有 种 第二象限或第四象限的
4 ,
结果有 8 种 , 所以小红获胜的概率 = 1 4 2 = 1 3 , 小颖获胜 由图可知 , 一共有 12 种等可能的情况 , 和为 0 有 3 种情
的概率 = 8 = 2 ,∵ 1 ≠ 2 , 这个游戏不公平 。 况 ,∴ P ( 小明获胜 )= 3 = 1 ;(2) 解 : 公平 。 理由如下 :
12 3 3 3 12 4
第24课时 用树状图或表格求概率(3)———转盘问题 由 中树状图可知 一共有 种等可能的情况 和为
(1) , 12 , 1
1. 2.解 小王转动转盘 当转盘指针停止 对应盘
A :(1) , , 有 种情况 P 小华获胜 3 1 由 知P 小明
3 ,∴ ( )= = , (1) (
面数字为奇数的概率为2 1 该游戏公平 理由 12 4
= ;(2) 。
4 2 获胜 3 1 P 小华获胜 P 小明获胜 这个
如下 画树状图为 )= = ∴ ( )= ( ),∴
: : 12 4
游戏规则对双方公平
。
第25课时 用频率估计概率(1)
1. 2. . . . 3. 4. 5..
C (1)058,059 (2)06 B C 095
6.
(1)29%,34%,36%,33%,34% (2)34%
7. . . . 解 .
共有 种等可能的结果 其中两次的数字都是奇数的结 (1)06,472;(2)06;06;(3) :(1-06)×360°=
16 , 所以表示 洗衣粉 区域的扇形的圆心角约是
144°, “ ” 144°。
果数为
4,
所以小王胜的概率为
1
4
6
=
1
4
;
两次的数字都是 第26课时 用频率估计概率(2)
偶数的结果数为 4, 所以小张胜的概率为 1 4 6 = 1 4 。 因为 1. 12 2.解 : 设原来红球的个数为x个 , 则有 x 1 + 0 10 =
小王胜的概率与小张胜的概率相等 所以该游戏公平
, 。 10 解得x 估计该口袋中原有红色小球的个数
, =20。
3. 4. 5. 1 如图 将转盘分成 个圆心角 30
B B (1) 4 。(2) , 4 为 个 3.解 设鱼塘中的鱼共有x条 则30
为 的部分 20 。 : , x=
90° ,
5 解得x 经检验 x 是原分式方程
, =1200, ,=1200
200
的 解 则 鱼 塘 中 估 计 有 条 鱼
, 1200 。
. . . . . . . .
18+2+22+19+21+23+17+2+26+14
∵ =
10
答 估计这个鱼塘鱼的总产
2,∴1200×2=2400(kg)。 :
9
3A"#
量约为 4. 5. 6. 7. . .
2400kg。 B B B (1)059,06
1 2 3 4
解析:a 295 . 根据统计数据 当n很大时 摸到红
= =059; , ,
500 1 2 3 4 5
球的频率接近 . 解 盒子里有 个红球 摸到
06。(2) :∵ 18 ,
2 3 4 5 6
红球的频率接近 . 设白球的个数为x依题意 18
06。 , ,x
+18 3 4 5 6 7
. 解得x 经检验是原方程的解 答 盒子里白
=06, =12, , :
球的个数为 个 8.. 9. . . 4 5 6 7 8
12 96 (1)09,09;(2)①10000
. 棵 答 估计这种花卉成活 棵 通过游戏是恰好到达终点即两次指针所指扇形区域数字
×09=9000( ), : 9000 ;
②99000÷0 . 9-10000=100000( 棵 ), 答 : 估计还要移 之和为 7, 由表可得共有 16 种等可能的结果 , 其中和为 7
植 100000 棵 。 的结果有 2 种 ,∴ P ( 转动转盘两次能通过游戏 )= 2
第27课时 概率的进一步认识复习 16
1. B 2.解 : 由题意画树状图如下 : = 1 8 。
第四章 图形的相似
第28课时 成比例线段(1)
1. 2. 3.解 设添加的线段长度为a 根据比例
C C : cm,
的基本性质有 对应的外项是 时a
:① 3cm ,=6×9÷3=
对应的外项是 时a .
18cm;② 6cm ,=3×9÷6=45cm;
对应的外项是 时a 4.
③ 9cm ,=6×3÷9=2cm。 B
从树状图看出 所有可能出现的结果共有 个 这些结果
, 9 , 5. 6. 7.5 8. 解析: 药 药液
出现的可能性相等 标号之和等于 的结果共有 种 所 B C 20 ∵ : =1∶(1+
, 4 3 , 4
设需 消毒液x 则x
以两次摸出小球的标号之和等于 的概率是3 1 200)=1∶201,∴ “84” g, ∶4020=
4 9 = 3 。 解得x 9. AD AE AD
3.解
:∵
通过大量重复试验后发现抽到合格品的频率稳 1∶201, =20。 (1)∵BD=E
D
C
B
,
120-
AD=
定在 0 . 95,∴ 抽到合格品的概率等于 0 . 95,∴ x x +3 = 6 4 0 0 ,10 AD =720, AD =72。(2) 相等 ∵AB= 120 12 - 0 72 =
+4 EC DB EC
. 解得x 经检验x 是所列方程的根 x 48 2 40 2 10. 11.
095, =16, :=16 ,∴ = ,AC= = ,∴AB=AC C C
的值为 4. 5.解 画树状图如图所示 由 120 5 60+40 5
(1) 得 , 共 16 有 。 6 种等 B 可能的 : 结 (1 果 ) , 正好由丙将接力 ; 棒 (2 交 ) 给 12. 6∶3∶4 13. ∵D A E B =E B F C =F C D A = 2 3 ,∴ DE =
丁的结果有 种 正好由丙将接力棒交给丁的概率为
2 ,∴ 3ABEF 3BCFD 3CA DE EF FD
, = , = 。∴ + + =
2 1 2 2 2
6 = 3 。 3 AB + BC + CA = 3 ×13= 39 =19 . 5。∴△ DEF
2 2 2
的周长为 . 14.解 根据题意可知 AB a
195cm。 : , = m,
1a
AE AD
宽AD AE 1AB 1a 由 得3
=2m, = = m, AD=AB,
3 3 2
=a
2即1a2
=4∴
a2
=12,
开平方
,
得a
=23,
a
=-23
3
6.口袋中大约有 个黄色小正方体 7. 8. 舍去
11 。 A D ( )。
9.解 他从中随机抽取一个比赛项目 恰好抽中 论 第29课时 成比例线段(2)
:(1) , “
a b c
语 的概率 1 画树状图为 1.解 设 k则a kb kc k a b
” = 。 (2) : : = = = , =2,=3,=4,∵ +
4 2 3 4
c k k k 即 k k a b
+ =27,∴2 +3 +4 =27, 9 =27,=3,∴ =6,
c a bc 2. x y
=9,=12,∴ - + =6-9+12=9。 (1)=10,
z a b c 3. 4. 5.
=15,=20;(2)=6,=4,=12。 B D C
共有 种等可能的结果 其中恰好小明抽中 唐诗 且小 解析: x y x 2 x y x + y 2
12 ; “ ” ∵3 =2 ,∴ y= ,∴ y+y= y = +1
红抽中 宋词 的结果数为 小明和小红都没有抽到 三 3 3
字经 ” 的 “ 结果 ” 数为 6, 所以恰 1, 好小明抽中 “ 唐诗 ” 且小红 “ 抽 = 5 3 。 故选 C。 6. C 7.2 3 8. 3 9.解 :∵ a ∶ b ∶ c =
设a tb tc t a b c t
中 宋词 的概率 1 小明和小红都没有抽到 三字经 2∶3∶5,∴ =2,=3,=5,∵3 - + =24,∴6
“ ” = , “ ” t t 解得t a b c 10.解
12 -3+5=24, =3,∴ =6,=9,=15。 :
的概率 = 6 = 1 。 10. (1)∵ 转盘被分成 4 个大小相 ∵ 2 a a - b 3 b =-1,∴2 a -3 b =- a - b ,∴3 a =2 b ,∴a b =
12 2 +
a bc a bc a bc
等的扇形 P 指针指向 1 列表如下 3 11.5 12.解 + - - + - + +
,∴ ( 4)= 。(2) : 。 :∵ c = b = a
4 2 7
10
A"# 3
k a b c kca b c kb a b c ka a D' A A' B B' C C' D
= ,∴ + - = ,- + = ,- + + = ,∴( ∠ =60°,∴∠ =∠ ,∠ =∠ ,∠ =∠ ,∠ =
bc a bc a bc kc kb ka即a AB BC CD DA
+ - )+(- + )+(- + + )= + + , + D' 3 这两个菱形相
a bc ∠ ,A'B'=B'C'=C'D'=D'A'= ,∴
b + c = k ( a + b + c ), 当a + b + c ≠0 时 , k =a + b + c=1; 当 似 11.解 当 5 x 时 小路
+ + 。 : (100+3):100=(80+2 ):80 ,
a bc cc 内 外边缘所围成的两个矩形相似 解得x . 答 当
a bc 时a b ck + - - - 综 、 。 =12 :
+ + =0 ,+ =- ,= c = c =-2, x为 . 时 小路内 外边缘所围成的两个矩形相似
12m , 、 。
a b 第32课时 探索三角形相似的条件(1)
上可知
,
k的值为
1
或
-2。
13.解
:
设 +
3
4
=
+
2
3
= 1.解 D E BC ADE ABC AD DE
c +8 k可得a k b k c k 代入a b :∵ ∥ ,∴△ ∽△ ,∴AB=BC。
= , =3-4,=2 -3,=4 -8, +
4 c 得 k 解得k a b c ∵ AD ∶ BD =3∶1, DE =6,∴ 3 =B 6 C, 解得BC =8。
+ =12, 9-15=12, =3,∴ =5,=3,=4, 4
a c 2.证明 四边形ABCD是平行四边形 A C
则 ABC为直角三角形 14.解 b d :∵ ,∴∠ =∠ ,
△ 。 :(1)∵b=d,+ AB CD ABF E ABF CEB 3.解
∥ ,∴∠ =∠ ,∴△ ∽△ 。 :
=0,∴ a + c =0。(2)① 当a + b + c ≠0 时 , b a + c = a b + c = ∵ ED ⊥ AB ,∴∠ AD A E D =9 A 0° E =∠ A C D 。∵∠ A =∠ A ,
a ② c + 当 b a = t + = b + 2 c a ( a = + + 0 b b + 时 + c c , b ) + = c 2 = ,∴ - t a 2 , - a t + - c 2 = = - 2 b 2 , a -2 + b - = 2= - c 0; , 4 ∴ ∠ , C ∴ △ B A 6 D D . E B = E ∽ A F B △ - A C C A D B D F , = ∴ A 6 A B 。 C D = 4 A A . B C C E , 即 5 7 . 8 ∠ .证 D = 明 = 1 5 0 : ∠ ( , 1 B 解 )∵ 或 得 ∠ ∠ A A E D C = = E
∴ b a + c = a b + c = a c + b = t =-1,∴ t2 - t -2=0。 = D ∠ C D E =∠ B A =90°, D ∴ CE ∠ A 又 +∠ A B CB =9 D 0°=∠ A A C B B C +
第30课时 平行线分线段成比例 ∠ ,∴∠ =∠ , ∵∠ =∠ ,∴△ ∽
AB AC
1. DE DE EF 2. 3.AE EC 4. 5. △ CDE 。(2)∵△ ABC ∽△ CDE ,∴CD=CE。 8. D
EF DF DF A =6, =4 A A 9.证明 ABC是等边三角形 B C
6. 解析:BC AO OB OC AO 直线l :∵△ ,∴∠ =∠ =60°,
∥ l C 2 ∥ l 3,∴O ∵ A C O = = O O 2 F D ,∴ = O 2 A C O = ,∴ O O F D = =3 1 3 。 。 ∵ ∵ OD =1 1 , ∵ ∠ B ∠ A B A D D , C ∵ = C ∠ ∠ B B = + ∠ A ∠ B A B D D A E D = ,∴ 6 D 0 C ° ∠ E , A ∴ DE ∠ B + 1 A 0 ∠ D . E = DC ∠ 证 E = 明 D ∠ C B , + 又 四
AD AE ∵∠ =∠ ,∴△ ∽△ 。 (1) :∵
OF 故选 7.解 DE BC 边形ABCD是矩形 CD AB PAQ DCQ
∴ =3。 C。 :∵ ∥ ,∴BD=EC, ,∴ ∥ ,∴∠ =∠ ,
QPA QDC APQ CDQ DP AC
∴ 8 4 =E 6 C,∴ EC =3。 8. B 9.解 :∵ DE ∥ BC , EF ∥ ∠ ∴∠ AQ = D = ∠ 90°,∵ ,∴ 在 △ Rt△ AD ∽ C △ 中 , AD ;( = 2 B ) C ∵ =8, ⊥ CD = ,
AB 四边形BDEF是平行四边形 BF DE AD AB AC AD DC AC DQ 即
,∴ ,∴ = 。∵ =16,∴ =85,∴ · = · , 8×16
DB AD AB DE BC DE
∶ =1∶2,∴ ∶ =1∶3。∵ ∥ ,∴ ∶ DQ DQ 165
BC AD AB 即DE DE =85 ,∴ = 。
= ∶ =1∶3, ∶30=1∶3,∴ =10, 5
BF 故FC的长为 10.解 FE 第33课时 探索三角形相似的条件(2)
∴ =10。 20cm。 :(1)∵ ∥
CD ,∴A A C E =A A D F ,∵ DE ∥ BC ,∴A A B D =A A C E ,∴A A B D =A A D F , 1.证明 :∵B C E E = 30 = 2 ,A E E F = 36 = 2 ,∴B C E E =A E E F 。
45 3 54 3
∴
AD2
=
AF
·
AB
;(2)∵
FE
∥
CD
,∴A
A
C
E
=A
A
D
F
,
即
A
4
C=
又
B
∵
C
∠ BE
A
A
C
=∠ C
C
E
D
F ,∴△ A
B
E
C
B ∽
CD
△ FE
又
C 。
C
2.证明
C
:
3
5
, 解得 , AC = 2
3
0 ,∵ AD2 = AF · AB ,∴ AB = A A D F 2 = 5
3
2 ∵
∴△
B = C 4 D ,
∽△
= A 8 C , B
。
= 2 3 ,∴ . A 证 C 明 =
:
B
∵
C A 。 D2
=
∵ B ∠ D =
·
C ∠ D ,
,
AD BD
= 25 。 ∴CD=AD。∵∠ BDA =∠ ADC =90°,∴△ ABD ∽
3
第31课时 相似多边形 CAD BAD C DAC C
△ ,∴∠ = ∠ 。∵∠ + ∠ =90°,
1.解 :∵ 四边形ABCD ∽ 四边形EFGH ,∴∠ α =∠ C = ∴∠ DAC +∠ BAD =90°,∴∠ BAC =90°。 4. C 5. D
E 8 8 3 3 F ° ° G , - ∠ H 7 A 8° = E - ∠ H 1 E 18 = ° A 11 D = 8° 8 。 1 E ° F 在 。 四 ∵ A 边 B 四 形 即 边 A x B 形 CD AB 中 CD ,∠ ∽ β = 四 36 边 0 解 °- 形 得 6 A . E 证明 又 :∵A A B D A = 2 2 + A 4 = 1 3 , A A A D C E E = 3 3 +6 A = BC 1 3 ,∴ 7 A A . B D 解 =
,∴ ∶ = ∶ , ∶21=24∶18, AC, ∵∠ =∠ ,∴△ ∽△ 。 :
x EH 2.16 3.解 这两个矩形的角 AC
=28,∴ =28cm。
3
:
△
ACD
∽△
ABC
。
理由
:∵
AC2
=
AD
·
AB
,∴AB=
都是直角 因而对应角一定相等 小矩形的长是
, , 40-10- AD A是公共角 ACD ABC 8. 证
宽是 因为20 10 即两个矩形的 AC。∵∠ ,∴△ ∽△ 。 (1)
10=20, 20-5-5=10, 40 = 20 , 明 四边形ABCD为正方形 A D AB
对应边的比相等 因而这两个矩形相似 4. 5. :∵ ,∴∠ =∠ =90°, =
, 。 A C AD CD 设AB AD CD a E为边AD的中点
6. C 7. D 8.a =12, b =3 . 5, c =13 . 2,∠ β =96°,∠ α = = 。 = = =4,∵ AB a AE ,
1 6 A' 0 0° B 0° ' , C 。 ∴ 'D ∠ ' 9 A 是 . D = 菱 1 形 2 1 0 0 ° . , C 解 ∠ ' C :∵ = 四 12 边 0° 形 ,∠ A A D B ' C = D 60 是 °。 菱 ∵ 形 B' , 四 ∠ 边 B = 形 C = F 2 a a =3 = F 2 D , , ∴ ∴ D A A E B E = = D A D F E E 。 =2 又 a ∵ , D ∠ F A = = a , ∠ ∴ D D = E 9 = 0° 4 2 , a ∴ = △ 2 A ,D B F E
,∠ =120°,∴∠ =120°,∠ =60°,
11
3A"#
EF DE CF
DEF 解 ABE DEF 10. 证明 可设正方形的边长为a则AC a
∽△ 。(2) :∵△ ∽△ ,∴BE=AB= (1) : , = 2 ,∴AC
1 2 ,∴∠ AEB =∠ DFE ,∠ ABE =∠ DEF 。∵∠ AEB + =C A G C = 2 2 。 又 ∵∠ ACF =∠ GCA ,∴△ ACF ∽△ GCA 。
∠ ABE =90°,∴∠ BEF =90°。 又 ∵A A B E = 1 ,∠ A =90°, (2) 解 : 由 (1) 得 △ ACF ∽△ GCA ,∴∠1=∠ CAF ,∴∠1
AE EF 1 A BEF 2 ABE + 第3 ∠ 5 2 课 = 时 ∠ CA 黄 F 金 + 分 ∠2 割 =∠ ACB =45°。
∴AB=BE= ,∠ =∠ =90°,∴△ ∽
△ EBF 。 9.解 : 2 ∵ BC =8cm,∠ C =90°, AC ∶ AB =3∶ 1. A 2. (105-10) 3.解 :∵ 点C , D是线段AB的两
5, 当 ∴ AC CP = Q 6c C m B 。 A 设 则 第 CP t s C 时 Q △ 即 CP 8 Q -2 t 与 △ t CBA 解得 相 t 似 。 个黄金分割点 ,∴ AD = BC = 5 2 -1AB = 5 2 -1 ×10=
① △ ∽ ,CB=CA, = , = CD AD BC AB
8 6 55-5,∴ = + - =10 5-10-10=
12 。② 当 △ CPQ ∽△ CAB , 则 C C A P =C C B Q , 即8-2 t = t , (105-20)cm。 4. A 5. B 6. A 7. B 8. (5-1)
5 6 8 9.解 根据C为AB的黄金分割点 AC BC 得 AC
解得t 32 : , > , AB=
= 。
11
第34课时 探索三角形相似的条件(3) 5-1 因为AB 所以AC 5-1BC AB AC
。 =1, = , = - =
AB AC 2 2
1.解 不相似 理由 15 5 20 1
: 。 :∵A'B'= 27 = 9 ,A'C'= 40 = 2 , 1- 5-1 = 3-5 , 所以AC - BC = 5-1 - 3-5 = 5
B B B ' ' C C C ' ' 不 = 2 4 相 5 5 似 = 。 5 9 , 2 ∴ . A A ' 解 B B ' :△ = A B B ' B C C C '≠ 和 A A △ 'C C D ' E , F ∴ 相 △ A 似 B 。 C 理 与 由 △ A 如 ' - 矩 2 形 。 B 2 C 1 F 0 E .解 的 : 2 长 原 B 矩 C 形 为 A x B , C ∵ D 四 为 边 黄 形 金 B 矩 C 2 F 形 E 。 为 理 黄 由 2 金 如 矩 下 : 形 设 ,
下 : 由勾股定理 , 得AB =25, AC = 5, BC =5, DE =4, ∴ 宽FC为 5-1x 。∵ 四边形AEFD是正方形 ,∴ AB =
AB AC BC 2
D ∴ F △ = A 2 B , C E ∽ F △ = D 2 EF 5 。 。 ∵ 3 D . E 证明 = : D ∵ F D = , E E , F F = 分 2 别 4 是 5 △ = A 2 B 5 C , x + 5 2 -1x = 5 2 +1x , 则 A B B C = 5 x +1x = 5 2 -1 ,∴ 原矩
的三边BCCAAB的中点 EFFDDE为 ABC的 2
, , ,∴ , , △ 形ABCD为黄金矩形
EF AF 。
中位线
,∴
EF
∥
BC
,
FD
∥
AC
,
DE
∥
AB
,∴BC=AB=
第36课时 利用相似三角形测高
BF FD BD CD DE 即 EF FD DE 1. 5 解析: ∵ EB ⊥ AC , DC ⊥ AC ,∴ EB ∥ DC ,∴△ ABE
AB=AC=BC=BC=AB, BC=AC=AB, AB BE
ACD BE . AB AC
∽△ ,∴AC=CD。∵ =15m, =3m, =
DEF ABC 4. 5.32 40 6. 7.解
∴△ ∽△ 结 。 论 B A BC 3 , D 3 EF 理 90 由 AB : 10m,∴ 1 3 0 = 1 CD . 5 , 解得CD =5, 即建筑物CD的高是
(1)22, 10;(2) :△ ∽△ 。 :∵ 2.解 设旗杆高AB
= ∴D 2 A E , B BC =E = B F C 2 = 2 D A , A F C C = =2 2, 5 ∴ , D △ E AB = C 2 ∽ , E △ F D = EF 2, 。 DF 8 = .证 1 明 0, : x G 5 , m A m 交 G 。 。 F C 过 E F 于 作 E : H F H G F ( ⊥ 如 A 因 图 B 为 , ) 垂 , F 所 D 足 = 为 以
AB BC AC △ ∽△ 。 =
ABC ADE BAC .GF HF
∵AD=DE=AE,∴△ ∽ △ ,∴∠ = 15, =27+3=30, =3,
所以EH . . AG
DAE BAC DAC DAE DAC =35-15=2, =
∠ BA , D ∴∠ CAE - 9 ∠ .解 A = BC ∠ 和 OA - B相 ∠ 似 并 , x -1 . 5。 由 △ AGF ∽△ EHF , 第2题图
∴∠ =∠ 。 :△ △ , AG GF x .
且AB OA OB ABC和 OAB相似应分 得 即 -15 30 所以x . 解得x
=5, =2, =1,△ △ EH=HF, = , -15=20,
两种情况讨论 , 当 △ BCA ∽△ OAB时 ,O B B A =O B A C =A C B A , =21 . 5。 答 : 旗杆的 2 高为 21 3 . 5m。 3. B 4. 40 5. 2 . 4
6.解 根据题意得 AEB CED BAE DCE
即 1 5 = B 2 C = C 5 A , 解得AC =5, BC =25, 分别以A , B为 90°,∴ : Rt△ AEB ∽R ∠ t△ CED = , ∠ ∴C A D B = , C ∠ A E E , 即 1 A = . B 6 ∠ = 2 25 . 5 = 解
圆心
,5,25
为半径作圆
,
两圆的交点C的坐标是
(3,2);
得
:
AB
=16。
答
:
教学楼AB的高度为
16m。
7.解
:
同理当 △ ABC ∽△ OBA时 , 圆心坐标是 (4,0)。∴ 点C ∵∠ DEF = ∠ BCD =90°,∠ D = ∠ D ,∴△ DEF ∽
的坐标 或 BC DC
(4,0) (3,2)。 △ DCB ,∴EF=DE。∵ DF =50cm=0 . 5m, EF =
. AC . CD 由勾股定理求
30cm=03m, =15m, =20m,∴
BC
得DE . 20 BC AB AC
=04m,∴ .= .,∴ =15m,∴ = +
03 04
BC . . 答 树高AB为 .
=15+15=165(m), : 165m。
8. 解 由题意知AA' CD 则 MAA' MCD
(1) : ∥ , △ ∽△ 。
AA' AM .
即172 2 同理 M'BB'
∴CD=MC, CD= BC①, ,△ ∽
2+2+
12
A"# 3
BB' M'B . 的面积 ADE的面积 4. 5. 6.
M'CD 即172 1 联立 解 -△ =16。 D B A
△ ,∴CD=M'C, CD= BC②, ①② 7. 8. 9.解 三角形的对应边的比是
得BC CD . 灯高 1 CD + 的长为 . 90 270 周长 9 的 比等于 : 相 ∵ 似比 可以设一个三角 3 形 5 的 ∶
A ( 中 2) 向 : 心 解 左 投 : = , 如 影 设 2 图 可 明 , 所 得 明 离 示 应 = 点 , 由 依 5 光 点 题 1 源 6 A 意 越 , 向 , ∴ E 远 E 左 ' , x 则 = 影 m 1 . , 长 7 则 2 越 , A N 长 E E = 则 = x 明 2 , E N 5 明 E E ' 应 1 , = 6 根 由 2 m 据 点 × ; 1 周 相 形 4= 差 长 的 5 6 是 周 0 ∶ 5 长 c x 2 m , 分 c , m 得 别 , 到 则 为 5 另 1 x 0 一 0 - c 2 个 x m 三 = ,4 角 6 0 0 c 形 , m 解 的 , 。 得 ∴ 周 x 长 1 = 0 是 2 . 0 A 2 , x ∴ c 1 这 1 m . 。 两 (1 ∵ 个 )2 周 三 ∶ 长 角 5
1 . 72 依题意 △ NE'E ∽△ NDC ,∴ E C E D ' =N N C E ,∴ 1 . . 72 = 解析: ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ,∴ AB ∥ CD , AB =
516 CD AEF CDF AE EB AE AB
. ,∴△ ∽△ ,∵ ∶ =2∶3,∴ ∶
2×172 解得x . 答 明明应由点A向 AE CD 则 AEF与 CDF周长之比为
. x , :=288, : = ∶ =2∶5, △ △ 2∶
2 左 ×1 . 72+ 亮 + 亮 2+ 恰 2 好测得明明的影长是其身高的 倍 AEF CDF S △AEF AE 2 2 2
288m, 2 。 5。(2)∵△ ∽△ ,∴S △CDF= CD =
5
,
∵ S △CDF=20,∴ S △AEF= 16 ,∵ S △ADC= S △ACB=8+20=
5
四边形BEFC的面积 16 .
28,∴ =28- =248。
5
12. 证明 DE BC ADN ABM ANE
(1) :∵ ∥ ,∴△ ∽△ ,△ ∽
DN ANEN AN DN EN
AMC 又 点M
△ ,∴BM=AM,CM=AM,∴BM=CM, ∵
第37课时 相似三角形的性质(1) 是BC的中点
,∴
BM
=
CM
,∴
DN
=
EN
。(2)∵
DE
∥
1 5 5 x x . , , 8 3 A 则 E c P m = N A = D 2 9 . - x A D , ∵ E 3 四 = .解 1 边 6 : 形 - ∵ 5 P P x Q Q 。 M ∶ 又 N P ∵ N 为 P = 矩 N 5 形 ∥ ∶ , B 9 ∴ C , E ∴ , D ∴ 设 = △ P P A Q Q PN = = B ∴ C △ ,∴ DO △ E EO ∽ N △ ∽ C △ O B B O , M ∴ , C D 则 B E O O B E =O = O B E O O M N = = 2 5 2 5 , , ∵ ∵ D D E E ∥ ∥ B B C C , ,
∽△ ABC ,∴A A D E = P BC N , 即16 1 - 6 5 x = 9 4 x 8 , 解得x =2, ∴△ ADE ∽△ ABC ∴S S △ △ A A D BC E = B D C E 2 = 2 4 5 , 设S △ADE=
∴ PQ =10, PN =18,∴ S矩形PQMN= PQ · PN =10×18= 4 x ( x >0), 则S △ABC=25 x ,∵ 四边形BCED的面积为 42,
180。 4. A 5. B 6. C 7.9 2 8.解 :∵△ AOB ∽ ∴ 第 2 3 5 9 x 课 -4 时 x =4 图 2 形 , 解 的 得 位 x 似 =2,∴ S △ABC=50。
EOD AB DE OA OE DE 2ABAB 1.解 ADE与 ABC相似 DE BC ABC
△ ,∴ ∶ = ∶ 。∵ = , =9, :(1)△ △ 。∵ ∥ ,∴△
3 ADE 是位似图形 由 知 ADE
∽△ 。(2) 。 (1) :△ ∽
B A + 形 O D O , = E , ∴ ∴ 6 = ∠ , ∠ 6 F ∴ + F D D 4 D C E = E = = 1 + 0 9 2 3 0 。 ° ∠ × , D ∴ 9 F 9 = E ∠ . ( 6 F 1 = , D ) O 9 证 E E 0° 明 + = ,∴ : ∠ 2 3 ∵ C ∠ O 四 D C A E D 边 = E = 形 4 = 9 , A 0 ∴ ° ∠ B , A C D ∵ E D F C E = F 是 , O 矩 ⊥ 又 A 3 △ 相 是 . A 解 交 点 B : 于 A C 如 。 。 点 图 A ∵ 所 2 △ , . 示 ∴ B A : D △ E AD 和 E △ 和 AB △ C AB 的 C 对 是 应 位 顶 似 点 图 的 形 连 , 线 位 B 似 D 中 , C 心 E
DEC CDF DEC FDC 解
∵∠ =∠ =90°,∴△ ∽△ 。(2) :
四边形 ABCD 是矩形 DF BC DFE
∵ ,∴ ∥ ,∴∠ =
FE
ECB FDE DBC FED CEB
∠ ,∠ =∠ ,∴△ ∽△ ,∴EC=
DF
1 CE 2CF DEC FDC CE
BC= ,∴ = 。∵△ ∽△ ,∴ ·
2 3
CF
=
CD2
=12,∴
CF
=32,∴
DF
=
CF2
-
CD2
= 6,
BC AD 10.解 y DE BC
∴ = =26。 :(1)8- ;(2)∵ ∥ ,
ADE ABC DE AE 即 x 8- y y
∴△ ∽△ ,∴BC=AC,
4
=
8
,∴ =8- 第3题图 第7题图
2
第
x
3
(0
8
<
课
x
时
<4)
相
;(3
似
)
S
三
=
角
xy
形
=
的
x
性
(8
质
-
(
2
2
x
)
)=-2
x2
+8
x
。 4.
D
5.
B
6.
D
7.解
:
如图
,
连接AD
,
CF交于点O
,
则
1. 2. 解析: CD DE DE 点O即为所求 。∵ OC =3 . 6cm, OF =2 . 4cm,∴ OC ∶
(1)1∶2 (2)25 C ∵ =2 ,∴ ∶ OF ABC与 DEF的相似比为 8.
CD 四边形ABCD是平行四边形 AB =3∶2,∴△ △ 3∶2。 B
=1∶2。∵ ,∴ ∥ 解析:设点B的横坐标为x 则BC间的横坐标的长度为
CDAB CD DE AB DEF ABF , ,
, = ,∴ ∶ =1∶2,△ ∽△ , xB'C间的横坐标的长度为m ABC放
∴S S △ △A D B E F F = 1 2 2 = 1 4 , 故选 C。 3.解 :∵B A D D = 1 2 , - 大 2 到 - 原来 , 的 , 2 倍得到 △ A'B'C ,∴2(-2 +2 - 。 x ) ∵ = △ m +2, 解
∴A A B D = 1 3 。∵△ ADE ∽△ ABC ,A A B D = 1 3 ,∴△ ADE与 得 : x =- A m B 2 +6 。 故选 A :B BC 。 为 9 等 . C 腰 直 解 角 析 三 : ∵ 角 点 形 A (1 点 ,0 C ), 的 B
△ ABC的 面 积 比 为 1 。 又 △ ABC 的 面 积 为 18, ( 坐 1, 标 2) 为 ,∴ =2,∵ A' △ B'C'与 ABC位似 位似 ,∴ 比为
9 (2,1),∵△ △ , 2∶
ADE的面积为 四边形BCED的面积 ABC C'点坐标为 即C'点坐标为 故选
∴△ 2,∴ =△ 1,∴ (2×2,1×2), (4,2),
13
3A"#
10.解 如图 ABC为所作 如图 点 AB . x . . x
C。 :(1) 1,△ 1 1 1 ;(2) 2, 27- 15 27- x . 答 AB与CD间
M为所作 如图 点D为所作 CD= . ,.= . ,=18。 :
;(3) 3, 。
的距离是
27
.
45
1
2
1.
7
解 如图 点O为路灯的位
18m。 :(1) ,
置 作OA垂直地面 如图 AM 步 MP 步
;(2) , , =20 , =5 ,
MN PB . MN OA PMN PAO
= =16m,∵ ∥ ,∴△ ∽△ ,
MN PM .
即16 5 解得OA PB
∴OA=PA, OA= , =8(m),∵ ∥
5+20
PB PQ . PQ
OA QPB QAO 即16
,∴△ ∽△ ,∴OA=QA, =PQ ,
8 +25
第40课时 图形的 相似复习 解得PQ = 25 ( 步 )。
4
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7..
6 9∶16 B 4∶25 9 16∶49 64
8. 9. 10. 11. . 12. 证明 四边形
2∶3 D C 575 (1) ∵
ABCD是平行四边形 AD BCAB DC GDA
,∴ ∥ , ∥ ,∴△ ∽
GCE GCE ABE ABE GDA 解 设
△ ,△ ∽△ ,∴△ ∽△ 。(2)
CE a则BC CE aBE BC CE a 四边形
= , =2 =2, = + =3。∵
ABCD是平行四边形
D
,
F
∴
A
A
D
D
=
BC
=2
a
,
AD
∥
BC
, 第8题图 第11题图
ADF EBF AD aBE a
∴△ ∽△ ,∴BF=EB。∵ =2, =3, 第42课时 投影(2)
BD =15,∴
15
D
-
F DF= 2
3
a a, 解得DF =6。 13. (1) 解 : 1
过
. C
点 D
2.
作
D
D F
3. B
A C
4. B
交 直
5
线
. B
B E
6
于
. C
F
7
如
. (
图
1)
所
解
示
: 连
EF
接A
就
C
是
,
AB AC ABC ACB ABD ACE ∥ , , ,
∵ = ,∴∠ =∠ ,∴∠ =∠ , DE的投影 作图依据是运用了太阳光线是平行光线的性
D CAE ABD ECA 解 ABD ,
∵∠ =∠ ,∴△ ∽△ ;(2) :∵△ ∽ 质 DF AC ACB DFE 又 ABC
BD CA BD 。(2)∵ ∥ ,∴∠ =∠ , ∵∠ =
ECA AC CE AB AC AB BC
△ ,∴AB=EC,∵ =6, =4, = ,∴ DEF ABC DEF AB
6 ∠ =90°,∴△ ∽△ ,∴DE=EF,∵ =
6 解得BD 14. CF DE CFD
= , =9。 (1)∵ ⊥ ,∴∠ = BC EF . 5 4 DE
4 5m, =4m, =75m,∴DE= .,∴ =
9 A 0 D °, = ∴ CD ∠ C = D 4 F ,∠ + D ∠ A D E C = F ∠ = A 9 D 0° C 。 = ∵ 90° 在 ,∴ 正 ∠ 方 A 形 DE AB + C ∠ D A C E D 中 F , 9 于 . 3 M 75 点 m , 。 ∴ 四 8 边 .解 形 : C 过 D 点 ME D 、 A 作 C D D N N ⊥ 是 AB 矩 , 形 垂 , 7 足 ∴ 5 A 为 N N = . M 交 E E = F
ADE DCF ADE FCD CD . DN AC DM CE .
=90°,∴∠ =∠ ,∴△ ∽△ ,∴DF= =12(m), = =30(m), = =06(m),
MF EF ME . . . 依题意知EF
DE ∴ = - =16-12=04(m),∴ ,
CD,∵ AE =1, AD =4,∴ DE = 1 2 +4 2 = 17,∴D 1 F AB DFM DBN DM MF 即 0 . 6 0 . 4
∥ ,∴△ ∽△ ,DN=BN, : =BN,
30
= 17 ∴ DF = 4 17 。 故答案为 : 4 17 ;(2) 设正方形 ∴ BN =20(m),∴ AB = BN + AN =20+1 . 2=21 . 2(m),
4 17 17 答 楼高为 . 9.解 AD与BC的延长线交于点
ABCD的边长为 a 点E为AB的中点 AE a : 212m。 :
2,∵ ,∴ = , E 作DH BC于H 如图 DCH DEH
在 ADE中 由勾股定理得DE a ADE , ⊥ , ,∠ =30°,∠ =30°,
∴ Rt△ , = 5 ,∵△ ∽ 在 CDH中 DCH DH 1CD CH
AE DE a a a Rt△ ,∵∠ =30°,∴ = =2,
FCD 5 DF 25 EF 2
△ ,∴DF=CD,∴DF= 2 a,∴ = 5 ,∴ =3 DH =23, 在 Rt△ DEH中 ,∵∠ DEH =30°,∴ HE
=5 a - 25 a = 35 a ,∵ AB ∥ CD ,∴△ AEF ∽△ HDF , =3 DH =23,∴ BE = BC + CH + EH =12+43, 在
5 5
35 a Rt△ ABE中 ,∵∠ AEB =30°,∴ AB = 3BE = 3 (12+
AE EF a a 3 3
∴DH=DF,∴DH=
2
5
5
a=
3
2
,∴
DH
=
2
3
,∴
CH
= 43)=43+4,
答
:
旗杆AB的高度为
(43+4)m。
5
a a
a 2 4 CH DH
2- = ,∴ =2 。
3 3
第五章 投影与视图
第41课时 投影(1)
CD
第7题图
1. 2.解 DE AB CDE CBA
D :∵ ∥ ,∴△ ∽△ ,∴CB=
DE .
即2 16 CB BD BC CD
AB,CB= .,∴ =6,∴ = - =6-2=
48
答 小明离路灯杆AB的距离BD为 3.略
4(m)。 : 4m。
4. 5. 6. 7. 8.解 如图 点O为所作
A C D B :(1) , ;
如图 FH 为所作 9. 10.解 AB CD
(2) , 。 D :∵ ∥ ,
PAB PCD 假设CD到AB的距离为x 则
∴△ ∽△ 。 m, 第8题图 第9题图
14
A"# 3
第43课时 视图(1) 6. 解 如图所示
(1) : :
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
B B A C C C A A A
10. 11. 12. 13. 这个组合体的主视
D C C (1)10;(2)
图和俯视图如图所示
:
如图所示
(2) :
因此主视图的面积为 2×2×7=28(cm 2), 俯视图的面积
为 2×2×7=28(cm 2),(3) 在俯视图的相应位置摆放相
应数量的小正方体 使其俯视图和左视图都不变 如图所
, ,
示 所以最多可以添加 个 故答案为
, 5 , :5。
第44课时 视图(2)
1.解 : 这个几何体的三视图如下 : 7. (1) 如图所示 , 图中的左视图即为所求 ;
2.解 如图所示 即为所求
: , 。
(2) 解 : 根据俯视图和主视图可知 : a2 + a2 = h2 =20 2,
3.解
:
根据三视图可得该几何体是一个三棱柱
,
侧面积为
∴2
a2
=400,∴
a2
=200,∴
a
=102,∴
表面积为1
×
2
4 4 × . 6× 解 3=72。 (102) 2 ×2+2×102×20+20 2 =600+4002(cm 2),
(1) : 答 : 该几何体的表面积为 (600+4002)cm 2。
第45课时 投影与视图复习
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
D C B C C A D B D
10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.解 如图
D A 8 B B A :
所示
:
解
(2) :
17.解 如图 过点C作CD EF垂足为点D 由题意得
: , ⊥ , , :
EFC是直角三角形 ECF EDC CDF
△ ,∠ =90°,∴∠ =∠
E ECD ECD DCF E
=90°,∴∠ +∠ =∠ +∠ =90°,∴∠ =
(3) 解 : ∠ DCF ,∴Rt△ EDC ∽Rt△ CDF ,∴D E C D =F D D C , 即DC2 =
ED
·
FD
。
代入数据可得DC2
=64,∴
DC
=8m。
故树
的高度为
8m。
5.解 :(1) 三棱柱 ;(2) S =3×4×10=120(cm 2)。 答 : 这个
几何体的侧面积为
120cm
2。
15
3A"#
第六章 反比例函数 的解集为 x 如图 设一
:2< <3;(3) ,
第46课时 反比例函数 次函数y x 与x轴交与点
1=- +5
1. 2. 3.反比例 t 300 4.解 y与x C , 则C (5,0),∴ OC =5,∴ S △ABO=
B ±1 =v :(1)∵
k S △ACO- S △BCO= 1 ×5×3- 1 ×5
成反比例 y k 当x 时y k 2 2
,∴ =x(≠0)。∵ =3 ,=4,∴ =3
5 OAB的面积为5
×2= ,∴△ 。
反比例函数解析式为y 12 y 2 2
×4=12,∴ =x。(2)=-12。 3.
B
4.
D
5.
D
6.
(1)∵
反比例 第2题图
的图象过点B 即
5. D 6. C 7. (1) y = 1 x 200 (2) y = 2 x 4 (3) a =b 8 m (-1,-4), -4=
m 反比例函数的解
8. 3,-2 9.解 :(1) 设反比例函数的解析式为y =x k , 把 -1 ,∴ =4,∴
析式为y 4 又 点An 在函数y 4的图象上
x y 代入 得k y 2 =x, ∵ (,1) =x ,
=-1,=2 , =-2,∴ =-x。(2)-3;1;
4 n A 又 一次函数y kx b过A
∴n=1,=4,∴ (4,1) ∵ = +
2 10. 11. 2 12.
4;-4;-2;2;- 。 C - -1 k b
3 5 B 两点 即 4+ =1 解之得
13.解 :(1) 设y 1=x k , y 2= m ( x -2),∴ y =x k - m ( x - (4,1)、 (-1,-4) , - k + b =-4 ,
k
2), 将x =2, y =5; x =1, y =-1 代入解析式可得 : b =1 ,∴ 一次函数的解析式为y = x -3;(2) 由图像可
k m 知 = 当 -3 x 或x 时 一次函数的值大于反比例
5= -(2-2) , k : -1< <0 >4 ,
2 解得 =10, y 10 x 函数的值 7. 8. 9. 点AB是反比例函数
k m ∴ =x+11 - 。 B C (1)∵ ,
-1=
1
-(1-2) m , =-11, y
=x
k 图象上的点
,
AC
⊥
x轴
,
BC
⊥
y轴
,
C
(3,-4),
AB
当x 时 y
22,(2) =-1 , =-10-11-22=-43。 经过原点 AB两点关于原点对称 A B
,∴ , ,∴ (3,4),(-3,
14. y 12x BC .
(1)=x,>0;(2) =24cm。 AC BC ACB的面积 1AC
第47课时 反比例函数的图象与性质(1)———反比例函 -4),∴ =8, =6,∴Rt△ = 2 ·
数的图象 BC 1 A 将A 代入y
= ×8×6=24;(2)∵ (3,4),∴ (3,4)
1.略 2. 一 三 二 四 3. 4. 5. 6. 2
7 - 在 . 1 解 第 × : 二 6 (1 = ) 四 ( - ∵ 1 象 6 ) 函 , 限 解 数 、 得 图 m m 象 ( = 2 经 2 ) 过 ,∴ 点 、 m 解 A 的 得 (- 值 m 1 D 是 , 6 2 ) 。 , D ∴ (2 m m )∵ 的 -8 函 A 取 = 数 值 x 图 范 y B = 象 围 = = k' 4 x x 得 ; 由 ,4 图 = 象 3 k' 可 解 得 得 , 当 k' - = 3< 4 3 x , < ∴ 0 经 或 过 x A > B 3 两 时 , 点 k'x 的 > 直 x k 线y 。
、 ,∴ -8<0, <8,∴ 3
是m 8. 9. 10.解 B 在y 第49课时 反比例函数的应用(1)
<8。 B D :(1)∵ (2,-4) =
m
x 图象上 ,∴ m =-8,∴ 反比例函数的解析式为y = 1.y = 1 x 00 2. C 3.解 :(1) 由长方形面积为 3000m 2, 得
8 点A n 在y 8 图象上 n 到xy 即y 3000 当x 时y 3000
-x。∵ (-4,) =-x ,∴ =2, =3000, = x 。(2) =20 ,= =
20
A 一次函数y kx b图象经过A 故当鱼塘的宽是 时 鱼塘的长为
∴ (-4,2)。∵ = + (-4, 150, 20m , 150m。
k b k 4. 5. 6. 7.解 煤的总量 .
B -4+ =2,解得 =-1, 一次函 D C A :(1) :06×150=
2),(2,-4),∴ k b b ∴
2+ =-4, =-2。 x y y 90 由题意 得y
数的解析式为y x 设一次函数y x 90(t),∵ · =90,∴ =x。(2) , =
=- -2。(2) =- -2
的图象与y轴交于C点 , 当x =0 时 , y =-2,∴ 点C (0, . 90 .=180,∴180-150=30( 天 )。 答 : 这批煤能多
-2),∴ OC =2,∴ S △AOB= S △ACO+ S △BCO= 1 2 ×2×4+ 0 维 6 持 - 3 0 0 1 天 。 8.解 :(1) 设函数解析式为y =x k ( k ≠0),
1
2
×2×2=6。
∵
当销售单价为
120
元时
,
每日可销售
25
件
,∴25=
第48课时 反
数
比
的
例
性
函
质
数的图象与性质(2)———反比例函 k
,
解得k
=3000,
则y与x之间的函数解析式为y
=
120
1.
C
2.
(1)
解
:
将A
(2,3)
代入y
2=x
k 得
,
k
=6,∴
反比 3 x 000 。(2) 设单价应定为x元 ,∵ y ( x -80)=1400,
例函数解析式为y 2=x 6 ; 将B (3, m ) 代入y 2=x 6得 , m = ∴ 3 x 000 ·( x -80)=1400, 解得x =150, 答 : 销售单价应
2,∴ B (3,2), 将A (2,3), B (3,2) 代入y 1= ax + b得 , 定为 150 元 。 9.解 :(1) 设y =x k , 把x =3, y =20 代入
a b a
3=2+ ,解得 =-1, 一次函数解析式为y k k
a b :b ∴ 1= y 得 解得k y 60 w x y
2=3+ , =5, =x 20= , =60,∴ =x。(2) =(-2)
k 3
- x +5;(2) 由图可知 , 关于x的不等式ax + b -x>0 =( x -2)· 6 x 0 =60- 1 x 20 ,∵ w随x增大而增大 , x ≤10,
16
A"# 3
x 时 w 元 为最大值 当日销售 10. 11. 将A B 代入y kx b得
∴ =10 ,=60-12=48( ) ,∴ B (1) (0,-2),(1,0) = 1 + ,
价为 元时 最大日销售利润为 元 b
10 , 48 。 =-2 解得k b 所以一次函数的解析式
第50课时 反比例函数的应用(2) k b 1=2,=-2。
1+ =0
1.解 由题意得vt 则t 24000v
为y
=2
x
-2。
将M
(
m
,4)
代入y
=2
x
-2
中
,
得
4=2
m
-
:(1) =240×100, = v (>0)。 解得m 所以点M的坐标为 因为反比例
2。 =3。 (3,4)。
(2)3h=180min, 当t =180 时 ,180= 24 v 000 , 解得v = 函数y = k x 2的图象过点M (3,4), 得 4= k 2 。 解得k 2=
3
40 3 0 , 由反比例函数的性质知 : 当v > 40 3 0时 , t <180,∵ v 12。 所以反比例函数的解析式为y = 1 x 2 。(2) 根据题意 ,
是整数 v 故小明每分钟至少录入 个字
2. 解
,∴
设y
≥134 m ,
过点 m x
13
y
4 。 得S △AMO= 1
2
×2×3=3。 则S △OCM= 1
3
S △AMO=1。 可
(1) : =x。∵ (10,6),∴ = =10×6= 得S △AOC= S △AMO- S △OCM=3-1=2。 由OA =2 可知点C
60。∴ 当 10≤ x ≤30 时 , y与x的关系式为 : y = 6 x 0 ; 的 以 横 点C 坐标 的 为 坐 2 标 。 为 将x =2 代入 12 y . =2 x 解 -2 当 中 , 得 x y =2 时 。 所 设
(2,2)。 (1) : 1≤ ≤4 ,
(2) 将x =30℃ 代入上式中得 : y = 6 3 0 0 , y =2。∴ 温度在 y与x的函数关系式为y =x k ,∵ 点 (1,180) 在该函数图
时 电阻y 在温度达到 后 温度每
30℃ , =2(kΩ)。∵ 30℃ , 象上 k 得k y 180 当x 时y
上升 1℃, 电阻增加4 kΩ,∴ 当x ≥30 时 , y =2+ 4 ( x ,∴180= 1 , =180,∴ =x, =4 ,=
15 15 180 即该疫苗生产企业 月份的生产数量为 万
-30)= 1 4 5 x -6, 把y =6 代入y = 6 x 0 , 得x =10; 把y =6 支 4 ;( = 2 4 ) 5 设 , 技术改造完成后对应 4 的函数解析式为y = 4 a 5 x +
时代入y
=
4x
-6,
得x
=45;
答
:
当
10≤
x
≤45
时
,
电阻
b 点 在该函数图象上 4
a
+
b
=45,
15 ,∵ (4,45),(5,60) ,∴ a b
不超过 3. 4.解 设p与V的函数关系式 5+ =60,
6kΩ。 D :(1) a
k 解得 =15, 技术改造完成后对应的函数解析式为
为p =V, 将V =1, p =100 代入上式 , 解得k =1×100= b =-15, ∴
100, 所以p与V的函数关系式为p = 1 V 00 ;(2) 当V =2 y =15 x -15, 由题意得 1 x 80 ≤90, 解得 2≤ x ≤7, 经
x
时 , p =50, 即气压是 50kPa;(3) p = 1 V 00 ≤150, 解得V ≥ 检验符合题意 ,∵ x为正 1 整 5 数 - , 1 ∴ 5 x ≤ = 9 2 0 , , 3,4,5,6,7, 答 : 该
疫苗生产企业有 个月的月生产数量不超过 万支
2 , 所以气球的体积应不小于2 m 3。 5. (1) 根据题 13.解 把点A 6 a代入一次函数y x 90 得a 。
3 3 :(1) (1,) =- +4, =
意 路程为 设小汽车的行驶时间为t 行驶速度为 解得a 点A的坐标
, 400, h, -1+4, =3,∴
v
km/h,
则v关于t的函数解析式为
:
v
=
4
t
00
(
t
>0)。
为
(1,3)。
把
k
点A
(1,3)
代入反比
例函数y 得 k 反比例
设从 地匀速行驶到 地要tt 则400 解 =x, 3= ,∴
(2) A B (>0)h, t≤80,
得t
≥5。∴
他从
A
地匀速行驶到
B
地至少要
5h;
函数的解析式为y =x 3 。 联立两
(3)∵ v ≤100, 即4 t 00 ≤100, 解得t ≥4。7 点至 10 点 40 个函数关系式 得 y =- x +4, 解
y
分
达 1= B ,
是
k 地 1 3 x 。 +
2
3 20 h 6 , , . 把 ∵ 解 3 B :( ( 1
2
3 10 ) < 设 ,4 4 0 线 , ) ∴ 段 代
他
A 入 B
不
得 所
能
, k 在
在
1= 的 1 2 0 直 ,
点
∴ 线 y 4 1 的 0 =
分
解 2 x
之
析 +
前
式 20
到
为 。 得 关 于 y x x = = 3 1 轴 , 的 或 对 y x 称
,
= = 点 1 3 D , ,
y
∴ ,
=
交 点
x 3
x B
,
轴 的 于 坐 点 标 C 为 , ( 连 3, 接 1
第
) A 。
1
D
3
(2 交
题
) x 作
图
轴 点 于 B
设C , D所在双曲线的解析式为y 2= k x 2 , 把C (25,40) 代 点P , 此时PA + PB的值最小 , 连接PB , 如图所示 。
点BD关于x轴对称 点B的坐标为 点D的
∵ , , (3,1),∴
入得 , k 2=1000,∴ y 2= 1 x 000 , 当x 1=5 时 , y 1=2×5+ 坐标为 (3,-1)。 设直线AD的解析式为y = mx + n , 把
m n m
20=30, 当x 2=30 时 , y 2= 1 3 0 0 00 = 10 3 0 ,∴ y 1< y 2,∴ 第 A , D两点代入得 3 m + + n = = 3, -1, 解得 n = = 5 - , 2, ∴ 直线
注意力更集中 令y x AD的解析式为y x 令y x 中y 则
30min 。(2) 1=36,∴36=2 +20, =-2 +5。 =-2 +5 =0,
x 令y 1000 x 1000 . x 解得x 5 点P的坐标为 5
∴ 1=8, 2=36,∴36= x ,∴ 2= ≈278。 -2 +5=0, = ,∴ ,0 。
36 2 2
. . 经过适当安排 老师能在学生 期末复习冲刺一(第一章 特殊平行四边形)
∵278-8=198>19,∴ ,
注意力达到所需的状态下讲解完这道题目 1. 2. 3. 4. 5. 6. A 答案不唯
。 B C C D A ∠ =90°(
第51课时 反比例函数复习
一 7.AD 或BC 8. 9. 10.60 11. BF
) ( ) 12 4 (1) =
1. 2. 3. 4.1 5. 6. 7. 8. 9. 13
B B 6 D B -2 A D DE 答案不唯一 证明 ABCD是平行四边形
2 ( );(2) :∵ ,
17
3A"#
DC AB 又 BF DE 四边形BEDF是平行四边 解得x x 故另一个根为 13.解
∴ ∥ , ∵ = ,∴ 0, 1=-3,2=2, -3。 :(1)
形 , 又 ∵ BE ⊥ CD ,∴∠ BED =90°,∴ 平行四边形BEDF 8 (2) 设点P出发t s 时S △QPC=4cm 2, 则Q运动的时间
B B 是 = ∴ 是 1 2 C C B 矩 ∠ 平 A C 且 的 D A 形 行 , A E , 又 E 中 。 四 C D C ∵ = 边 点 = = A 1 9 B , 2 形 0 B C 1 2 ° ∴ . 。 = 。 ( B , 1 A ∴ A C 又 ∵ E ) A C 证 。 E ∵ F ⊥ , 明 , ∵ F ∴ ∥ ∠ B : C 四 A C △ 分 ∵ E E A 边 别 ( C 四 B 且 等 形 是 C = 边 A B 腰 9 A F 形 是 0 C B ° = 三 A 等 C , , C A B D ∴ 边 角 E D C ▱ 是 , D 三 形 的 ∴ A 菱 角 E 是 中 四 三 C 形 形 菱 点 边 F 线 , 。 形 , 形 是 ∴ ∴ 合 ∵ , A A A 矩 ∴ E E 一 D F A C 形 ) 是 = ∥ B F , 。 1 4 1 为 = 去 - 去 6 5 c 2 2 ( ) = . 的 t m x 或 s 0 - 小 , ) , x , 点 2 = 答 解 解 正 ) = 1 Q s : 得 方 1 5 , 点 设 5 0 离 由 : 形 t 0 Q 。 每 C 1 题 , 的 = 答 运 整 次 意 t 点 边 : 动 理 2 下 得 2 截 = 长 2 得 降 × 4 : 去 为 s x 1 2 , 的 (4 的 因 x 后 2 ( 百 - - 6 c 此 小 , S 2 7 - m 分 0 经 t ) 正 △ x , Q = 率 ) P 由 过 方 C + · 4 为 = 题 4 8 2 形 c 2 x 4 s ( m t 意 5 的 c - 点 , = m 得 根 符 边 2 0 P 2 : ) 据 合 。 , 长 ( = 8 解 离 题 题 0 4 为 A 得 1 - , 意 意 1 4 ∴ x 2 5 点 t . x 。 得 = 解 c 2 1 ) ∴ m - 5 · × : t 5 8 。 设 t 4 ( ( - 6 + = 截 舍 2 0
( △ 2 A ) B 解 E :∵ 中 A , A B E = = 8, 8 ∴ 2 - B 4 E 2 = =4 1 2 3 BC ,∴ = S菱 1 2 形A A BC B D= = 8 4 × 。 4 在 3 R = t y - 去 x ) ( 。 ) 1 2 ) = 答 根 3 : 2 : 每 据 , 次 题 解 下 意 得 降 x 得 1 20 = % 0 . 。 2= (2 2 ) 0 解 % : 设 , x y 2 每 , = 千 1 克 . 8 涨 ( 不 价 y 合 y , 题 元 : 解 5 意 ( 0 0 得 ( 舍 < 1
13. 证明 E是AC的中点 CE AE ≤8), , :6000=(10+ )(500-20 ), :
323。 (1) :∵ ,∴ = = y y 不合题意舍去 答 每千克应涨价 元
1=5,2=10( )。 : 5 。
1AC DB 1AC BD CE BD AC BD 期末复习冲刺三(第三章 概率的进一步认识)
。∵ = ,∴ = 。∵ ∥ ,∴
2 2
CE 四边形BDEC是平行四边形 DE BC 1. 2. 3. 4. 5. 6.1 7.1 8.2
∥ ,∴ ,∴ ∥ 。 B B D B B
解 四边形ADBE是菱形 理由如下 DE BC 500 3 3
(2) : , :∵ ∥ , 9.1 10. 点拨 设口袋中一共有球x个 任意摸出
∠ ABC =90°,∴ DE ⊥ AB 。∵ AE = 1AC , DB = 1AC , 6 9 : ,
BD AC BD AEBD AE 四 2 边形ADBE 2 是平行 一个白球的概率是1 , 则有方程 :x 2 = 1 , 解得x =12,
∥ ,∴ = , ∥ ,∴ 6 6
四边形 ADBE是菱形 14.证明 在正方形 所以口袋中一共有 个球 其中白球有 个 黄球有
,∴▱ 。 :(1) 12 , 2 , 1
ABCD中 BCG BC CD 在正方形GCEF中 个 所以口袋里有蓝球 个 11.
,∠ =90°, = , , , 12-2-1=9( )。 (1)33,
∠ B ∠ D C C B = E CG D = C = , 9 ∠ 0° D , C C E G ,∴ = CE △ B 。 CG 在 △ ≌ BCG △ D 和 CE △ D ( C S E AS 中 ) , 。 0 = 答 . 2 0 9 . 盒 8 29 子 8 解 , 里 故 析 红 答 : 球 由 案 的 表 为 数 格 :3 量 3 可 , 为 0 得 . 2 , 9 a 8 个 = ; 1 (2 00 ) 解 ×0 :4 . 0 33 × = 0 3 . 3 3 = , b 1 = 2 1 ( 2 个 0 9 0 8 ) 0 ,
CG = CE , 12. : 解 画树状图如下 12 。
BCG DCE DEC : :
(2)∵△ ≌△ ,∴∠1=∠2。∵∠2+∠ =
DEC BHD BH DE
90°,∴∠1+∠ =90°,∴∠ =90°,∴ ⊥ 。
15. 证明 AD BC DMO BNO MN
(1) :∵ ∥ ,∴∠ =∠ ,∵
是对角线BD的垂直平分线 OB ODMN BD 在
,∴ = , ⊥ ,
DMO BNO
∠ =∠ ,
MOD和 NOB中 MOD NOB MOD
△ △ , ∠ =∠ ,∴△ ≌ 由树状图知 共有 种等可能结果 其中小明和小红分
OD OB , 16 ,
= , 在同一个班的结果有 种 所以小明和小红分在同一个
NOB OM ON OB OD 四边形 4 ,
△ (AAS),∴ = ,∵ = ,∴
BNDM是平行四边形 ,∵ MN ⊥ BD ,∴ 平行四边形 班的概率为4 = 1 。
16 4
BNDM是菱形 ;(2) 解 : 由 (1) 可知 , OB = 1
2
BD =15, OM 13. (1) 2
3
;(2) 解 : 列表如下 :
= ON = 1MN =8, 四边形BNDM是菱形 ,∴ BN = DN 男 男 女
2
= DM = BM ,∵ MN ⊥ BD ,∴∠ BON =90°,∴ BN = 女 ( 男 , 女 ) ( 男 , 女 ) ( 女 , 女 )
OB2 + ON2 = 15 2 +8 2 =17,∴ 菱形BNDM的周长 女 男 女 男 女 女 女
BN ( , ) ( , ) ( , )
=4 =68。
期末复习冲刺二(第二章 一元二次方程) 男 男 男 男 男 女 男
( , ) ( , ) ( , )
1. 2. 3. 4. 5. 6.x x 7.
C B C B A 1=-2,2=1 -6 由表可知 共有 种等可能结果 其中抽取的两位反诈知
8. 3 9.k < 1 3 10. 100(1+ x )2 =121 11.解 : 识 的 宣 两 传 位 负 反 , 责 诈 人 知 恰 识 9 好 宣 是 传 一 负 男 责 一 人 女 恰 的 , 好 有 是 5 一 种 男 结 一 果 女 , 的 所 概 以 率 抽取 为
(1)∵ a =1, b =-4, c =-2,∴ b2 -4 ac =(-4)2 -4×1×
5
x -(-4)±26 x = 。
(-2)=24>0。∴ =
2×1
=2± 6。∴ 1=2
14.
9
解
+6,
x
2=2-6。(2)
原方程可变形为x2
+
x
-12=0,
:
即x x x 或x x
(-3)(+4)=0。∴ -3=0, +4=0。∴ 1=
3,
x
2=-4。
12.
(1)
由题意得x2
+
x
-2=0,
即
(
x
+2)
x 解得x x 由题意得 m
(-1)=0, 1=-2,2=1;(2) 4+2+
-1=0,
即m
=-5,∴
x2
+
x
-6=0,
即
(
x
+3)(
x
-2)=
18
A"# 3
共有 种等可能的结果 其中两个指针指向的数字之积
6 , 2×6 拓展 过点N 作NF DC交DC于点F 将
小于 的结果有 种 大于等于 的结果有 种 去平 =3。 : , ⊥ ,∵
3 3 , 3 3 。∴ 矩 4 形ABCD翻折 使点A落在边CD上的点E处 折痕
遥古城的概率为3 = 1 , 去云冈石窟的概率为3 = 1 。 为MN AMN , EMN AM EM AB ,
6 2 6 2 ,∴△ ≌△ ,∴ = ,∵ =12,
1 1 这个游戏公平 15. . 解析:a BC DE 1DC DC AB AD BC DE
= ,∴ 。 (1)01,16 = =8, = ,∴ = =12, = =8,
2 2 3
. . .b 20 . 列表如下 1DC 1 EC 2DC 2 设AM
1-04-05=01,= .×04=16;(2) : = = ×12=4, = = ×12=8,
05 3 3 3 3
第 人 =
x
,
则EM
=
x
,
DM
=8-
x
,∴
在
Rt△
MDE中
,
x2
=
2 男 男 男 女 (8- x )2 +4 2, 解之得 : x =5, 即有 : EM =5, DM =8-5=
第 人 1 2 3 设BN a则EF EC FC aDM 由探究可
1 3, = , = - =8- , =3,
MD DE
男 男 男 男 男 男 女 知 MDE EFN 即 3 4 解之
1 ( 1, 2)( 1, 3)( 1, ) ,△ ∽△ ,∴EF=FN : a= ,
8- 8
男 2 ( 男 2, 男 1) ( 男 2, 男 3)( 男 2, 女 ) 得 : a =2, 即 : BN =2。
男 男 男 男 男 男 女
3 ( 3, 1)( 3, 2) ( 3, )
女 女 男 女 男 女 男
( , 1)( , 2)( , 3)
共有 种等可能的结果 其中一男一女的结果共有
12 , 6
种 所以P 一男一女 6 1
, ( )= = 。
期末复习冲刺四(第四章 12 图形 2 的相似) 期末复习冲刺五(第五章 投影与视图)
1. 2. 3. 4. 5. 1. 2. 3. 4. 5. 6.远 7.三棱柱 8.中
B A C D A B A A C B
6. 7. 8. 9. 心投影 9.. 10.
100 70° 10 (-2,4) 081π 6
或 (2,-4)。 10. 0 . 48 11. (1) 11.解 : 如图 ,
解 四边形ABCD 四
83°;(2) :∵ ∽
AD BC
边形A'B'C'D'
,∴A'D'=B'C', 第5题图
x
即 9 解得x 12.证明 AB BC
= , =12。 :∵ =2, =4,
8 6
AB BD
BD B B ABD CBA
=1,∴BC=AB。∵∠ =∠ ,∴△ ∽△ 。
13.略 14. 证明 四边形ABCD是矩形 OD
(1) :∵ ,∴ = 图 是灯泡光线形成的 图 是太阳光线形成的
OB = 1 2 DB , OC = OA = 1 2 AC , DB = AC ,∴ OD = OC = 12. ① 解 : 设小明同一时刻 , 在 ② 水平地面上形成的 。 影 长为
O ∠ ∴ B O △ = B O F O B A , F , ∽ ∴ ∴ ∠ △ ∠ E E O C C B F F F 。 = ( = 2 ∠ ) O 解 ∠ D E : E C ∵ F , △ ∵ , O D B ∵ E F ∠ = ∽ O B F △ E B E , C ∴ = F ∠ , O ∠ O F D EF E = C 3 = , , x 可 视 m 以 图 , 离 可 则7 开 知 10 . 5 树 该 = 干 几 1 x 8 何 . 5 m 体 , 解 是 才 得 能 两 x 不 个 = 被 圆 2 阳 , 柱 10 光 体 - 晒 叠 2 到 = 加 8 。 在 ( m 一 1 ) 3 起 。 . 答 解 底 : : 面 他 根 直 最 据 多 三 径
BF OF ,
E 3 (1 m F ) , = 得 ∴ 2 ∠ A , F O ∴ B = C F O F = A = + ∠ E O E F F C = F = , O 3 2 ∵ C , C + 设 D O C ∥ F F A = = B 3 2 , + m ∴ 2 , m ∠ 则 E + B C 3 F F = = = 2 m ∠ 3 2 + B C 6 A F , F = 由 , 4 1 分 7 π π 别 × c 2 是 m 2 根 3 2 + 。 据 c π m 入 × 1 和 射 1 4 2 . 4 光 × 解 c 线 1 m : 已 = , 和 高 1 知 反 7 分 π O 射 别 ( A c 光 m 是 = 3 线 4 2 )。 c 与 m m 答 , 镜 O 和 : B 面 该 1 = 夹 c 工 1 m 角 . 件 , 2 相 ∴ 的 m 等 体 体 , O 可 积 积 D 为 知 是 = :
∴∠
OBF
=∠
BAF
,∵∠
OFB
=∠
BFA
,∴△
OFB
∽
12m,
OA OB
,
△ BFA ,∴B O F F =A B F F ,∴ BF2 = OF · AF ,∴(3 m )2 =3(2 m ∠ AOB =∠ COD , 故 △ ABO ∽△ CDO , 故 OC=OD, 即 O 2 C
.
12 解得OC 12×2 在 OCD中 CD
解得m 1+ 19m 1- 19 不符合题意 舍 = , = . =20m, Rt△ , =
+6), 1= ,2= ( , 12 12
3 3 OC2 - OD2 = 20 2 -12 2 =16m。 答 : 旗杆的顶端到
去 BF 1+ 19 BF的长度是 地面的距离为 15.解 上 左
),∴ =3× =1+ 19,∴ 1+ 16m。 :(1)
3
15.探究 AB BCDC BCAE DE
19。 :∵ ⊥ , ⊥ , ⊥ ,
ABC ECD AED BAE BEA
∴∠ =∠ =∠ =90°,∴∠ +∠ =
DEC BEA BAE DEC
90°,∠ + ∠ =90°,∴∠ = ∠ ,
AE
ABE ECD 应用 ABE ECD
∴△ ∽△ 。 :∵△ ∽△ ,∴ED=
增加小立方块后所组成的新的组合
BE 又 BE CD DE AE BE · ED (2)48 104 (3)3
CD, ∵ =2, =4, =6,∴ = CD = 体的主视图如下
:
19
3A"#
18x 当y 时 18x 综上 点P的
x,=2; =-9 ,-9=x,=-2。 ,
坐标是 或
(2,9) (-2,-9)。
期末复习冲刺六(第六章 反比例函数)
1. 2. 3. 4. 5. 6.y 2 7. 3
A D D A B =-x -
2
8. 9.y 200 10. 解析:过点B作BC AP于
-1 =x 4 ⊥
点C , 设P x ,x 8 ,∵ PA ⊥ x轴 。∴ AP =x 8 , BC = x , 1 与 5. 坐 解 标 :( 原 1) 点 连 重 接 合 B
,
D
∴
, O ∵ A 矩
=
形 OD AB
,∴
CD
∠
O 的 A 对 D 角
=
线
∠
O A D C A 的
,∵
中 A 点 D
∴ S △PAB= 1AP · BC = 1 ×x 8 · x =4。 故答案为 4。 平分 ∠ OAE ,∴∠ EAD =∠ OAD ,∴∠ EAD =∠ ODA ,
2 2 AF BD
∴ ∥ ;
11.解 m 3 反比例函数图象分布在第二 四
:(1) < ;(2)∵ 、
象限 ,∴2 m -3< 2 0,∴ 每个象限内y随x的增大而增大 。 (2) 连接OF ,∵ AF ∥ BD ,∴ S △AEB= S △AEO=18,∵ AF =
∵ A (-2, a ), B (-3, b ) 是该函数图象上的两点 ,-2> EF ,∴ S △AFO= S △FEO= 1S △AEO= 1S △ABE=9;
2 2
-3,∴
a
>
b
。
12.
(1)
p
=
1
S
00
;(2)
当S
=0
.
5m
2时
,
p
=
100 13.解 因为点A m 在一次函
.=200(Pa)。 :(1) (-2,)
05
数y 1x 的图象上 m 1
=- +1 ,∴ =- ×(-2)+1=2,
2 2
k
即点A 点A 在反比例函数y k
(-2,2)。∵ (-2,2) =x(
的图象上 k 反比例函数的解
≠0) ,∴ =(-2)×2=-4,∴
k
析式为y =-x 4 。(2)∵ 点B ( n ,-1) 在反比例函数y = (3) 设A ( a ,a),∵ AF = EF , 即F是AE的中点 ,∴ 点F
k k k
-x
4的图象上
,∴
n
×(-1)=-4,
解得n
=4,∴
点B的 纵坐标为
a,
将y
= a
代入y
=x
得x
=2
a
,∴
F
(2
a
,
2 2
k
坐标为
(4,-1)。
设一次函数y
=-
1x
+1
的图象与x
a),∴
点E横坐标为
2×2
a
-
a
=3
a
,
即点E
(3
a
,0),
2 2
k
轴的交点为C , 当y =0 时 ,- 1x +1=0, 解得x =2。 ∴ S △AEO= 1 ×(-3 a )×a=18,∴ k =-12。
2 2
期末复习冲刺七(综合)
∴ 点C的坐标为 (2,0),∴ S △AOB= S △AOC+ S △BOC= 1 2 ×2 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
A B A A B 15 40 253
×2+ 1 ×2×1=3。 14. (1) 解 : 把A (3,6) 代入y =x m 9. 10 10. 10 11.解 :(1)2 x2 -5 x +1=0,∵ Δ =(-5)2
2
得 : m =18,∴ y = 1 x 8 , 把B (6, a ) 代入得 : a = 18 =3。 -4×2×1=25-8=17>0,∴ x = 5± 4 17 ,∴ x 1=
6
(
∵
2
A
) 过
(3
A
,6)
作
, B
A
(
M
6,
⊥
3
x
),
轴
∴ A
于
M
M
=
,
6
过
, O
B
M =
作
3
B
, O
N
N
⊥
=
x
6,
轴
BN
于
=
N
3
,
,
5+
4
17
x
, x 2= 5-
x 4 x
17 ;(2)3 x
x
( x -1)=2-
x
2 x ,3 x (
x
x -1)
-2(1- )=0,3 (-1)+2(-1)=0,(-1)(3 +2)
∴ S △AOB= S △AMO+ S △AMB+ S △BMN- S △BNO= 1 2 ×3×6+ =0, x -1=0 或 3 x +2=0, x 1=1, x 2=- 2 。 12.证
3
∵ 1 2 C × (9 6 , × 0) (6 ,△ - P 3 O ) C + 的 1 2 面 × 积 3× 等 ( 于 6- △ 3 A ) O - B 1 2 的 × 面 6 积 × 的 3= 3 2 2 倍 7 , , 明 ∴ D : ∠ F ∵ A A C D D AC = + C ∠ D 又 BC = D B B D = C , 90 ∴ ° A ∠ 。 C A ∵ = DF D ∠ F 是 AC ∠ D C A E , D ∠ C D 同 C 的 B 理 平 = D 分 ∠ E 线 B , ,
∴ 1 ×9×| yP|=3× 27 , 解得 | yP|=9, 当y =9 时 ,9= F ∴ C ⊥ 四边 。 形FD ∵ EC是 ⊥ 平行 ,∴ 四边形 ∥ 。 ACB , ∥
2 2 ,∴ 。∵∠ =90°,
20
A"# 3
∴ 算 ▱ 经 DEC 九 F 章 是 算 矩 术 形 。 海 13 岛 . ( 算 1) 经 1 4 。( 孙 2) 子 将 算 四 经 部名 分 著 别 《 记 周髀 为 ∴ x = - b ± 2 a b2 -4 ac = 4± 6 28 = 2± 3 7 ,∴ x 1 =
》,《 》,《 》,《 》
A , B , C , D , 记恰好选中 《 九章算术 》 和 《 孙子算经 》 为事件 2+7 , x 2= 2-7 。 12.解 : 如果购买书本为 10 本 ,10
M 根据题意可以画出如下的树状图 3 3 所以该校共购买的 简爱 超过了
。 : ×25=250<352, 《 》 10
本 设该校共购买了x本 简爱 由题意得x .x
, 《 》, :[25-05(
解得x x 当x 时
-10)]=352, :1=16,2=44。 1=16 ,25-
.x 当x 时 .x
05(-10)=25-3=22, 2=44 ,25-05(-10)
x 不合题意 舍去 x
=25-17=8<20,∴ 2=44 , ,∴ =16,
答 该校共购买了 本 简爱 13. 解 一次函
由树状图可以看出 所有可能的结果有 种 并且这 : 16 《 》。 (1) :∵
种结果出现的可能性 , 相等 所有可能的结 12 果中 , 满足事 1 件 2 数图象与反比例函数图象交于点A (-3,2), B (1, a -7),
, , 设反比例函数解析式为y k k 一次函数的解析
M的结果有 种 即BDDB PM 2 1 =x(≠0),
14.证明 :(1) 2 ∵ E , M是A , D , 的 , 垂 , 直 ∴ 平 ( 分线 )= , 1 ∴ 2 E = A 6 = E 。 D , 式为y = k'x + b ( k' ≠0), 将A (-3,2) 代入y =x k ( k ≠0),
∴∠ EAD =∠ EDA 。 又 ∵ AD平分 ∠ BAC ,∴∠ CAD = 得 k 解得k y 6 将B a 代入
BAD EAD EAC CAD ADE B :2= , :=-6,∴ =-x, (1,-7)
∠ 。∵∠ =∠ +∠ ,∠ =∠ + -3
∠ ∠ ∴B B A E E A E A C D = = , A C ∴ E E ∠ ∠ , A E ∴ E A A C C E , 2 = ∠ = E ∠ B A B E C 。 · = ( C 2 E ∠ ) B 。 在 , ∵ △ ∴ D E E A △ C E = A A 和 C E △ ∽ , E ∴ △ B D A E E B 2 中 A = , , y ∴ 得 = B - (1 2 x , 6 = - - , 6 得 3 ) k , ' a 将 + - 点 b 7 A 解 = , B 得 - 的 6 1 k' 坐 , = 解 标 - 得 代 2 : 入 a y = 一 = 1 k , 次 ' ∵ x 函 1 + 数 - b 的 7 ( k' = 解 ≠ - 析 0 6 ) 式 , ,
BE CE 15. 解 B 点C在y轴上 且反 : k' b, :b ,∴
· 。 (1) :∵ (2,3), , -6= + =-4
比例函数y k -1经过BC的中点D 将点D代入 为y =-2 x -4, 当x =0 时 , y =-4,∴ C (0,-4);(2) 解 :
= x (1,3),
∵
A
(-3,2),
B
(1,-6),
C
(0,-4),∴
OC
=4,|
xA|=2,
k
反比例函数解析式得 3= -1 , 解得 : k =4, y =x 3 ; | xB|=1,∵ S △AOB= S △AOC+ S △BOC,∴ S △AOB= 1 ×4×3
1 2
当P在线段BC的上方时如图 此时 x
(2)① 1, 0< <1, 1 14. 解 根据题意 画树状图为
+ ×4×1=8。 (1) : , :
点P在反比例函数的图象上运动 设P x 3 2
∵ ,∴ ,x ,
Q 0,x 3 ,∴ S △PCQ= 1PQ · QC = 1x x 3 -3 =
2 2
3x 3 x 当P在线段BC下方运动时
- + (0< <1);② ,
2 2
此时x >1, 如图 2, 同理S △PCQ= 1 2 PQ · QC = 1 2 x · 共 红 有 球 1 的 2 占 种等 种 可能 所 的 以 结 两 果 次 数 摸 , 出 其 的 中 球 两 恰 次 好 摸 都 出 是 的 红 球 球 恰 的 好 概 都是 率
2 ,
3-x 3 = 3
2
x - 3
2
( x > 1), 综 上 S =
=
2
=
1
;(2)
解
:
根据题意得
:
n
n
+1
=
3
,
解得n
=8,
经
12 6 +4 4
3x 3 x 检验n 是原分式方程的解 故n 15. 解
- + (0< <1), :=8 , =8。 (1)2
2 2 析:BD是正方形ABCD的对角线 ABD BD
3x 3 x ∵ ,∴∠ =45°,
2
-
2
(>1)。
= 2
AB
,∵
EF
⊥
AB
,∴∠
BEF
=90°,∴∠
BFE
=
ABD BE EF BF BE DF BD
∠ =45°,∴ = ,∴ = 2 ,∴ = -
DF
BF AB BE AB BE AE
=2 - 2 = 2( - )= 2 ,∴AE=
故答案为 DF AE 理由 由 知 BF
2, :2;(2) = 2 , : (1) , =
BF BD
BEBD AB BFE ABD
2 , = 2 ,∠ =∠ =45°,∴BE=AB
由旋转知 ABE DBF ABE DBF
=2, ,∠ =∠ ,∴△ ∽△ ,
DF BD
期末复习冲刺八(综合) DF AE
∴AE=AB=2,∴ =2 。
1. B 2. B 3. D 4. A 5. D 6.x 1=5, x 2=7。 7.m <1 期末复习冲刺九(综合)
8. 4 9. 16 10.1 8 9 11.解 :(1) x ( x +4)=2 x +8, x ( x + 1. D 2. C 3. A 4. D 5. B 6.y = 2 x 0 ( x >0) 7. 12
x x x x 或x
4 0 ) , - 解 2 得 ( x + 1= 4) - = 4 0 , x ,( 2= + 2 4 ; ) (2 ( )3 - x 2 2 - )= 4 x 0, -1 + = 4 0 = , 0 ∵ a =3 - , b 2= = 8. ≥0 9.1 3 10. 22-2 11.解 :∵ x =-2 是一元二
-4, c =-1,∴ b2 -4 ac =(-4)2 -4×3×(-1)=28>0, 次方程x2 +2 x + m =0 的一个根 ,∴(-2)2 +2×(-2)+
21
3A"#
m
=0,
即m
=0,∴
一元二次方程x2
+2
x
+
m
=0
为x2
+ 1BC EF 1
2 x =0, 即x ( x +2)=0, 解得x =0 或x =-2,∴ 方程的另 2 · = 2 ×1×23=3。
一个根是x m的值为 12.解 AB BDCD
=0, 0。 :∵ ⊥ , ⊥
BDAE CE B AEC D A
, ⊥ ,∴∠ =∠ =∠ =90°,∴∠ +
AEB AEB CED A CED
∠ =90°,∠ +∠ =90°,∴∠ =∠ ,
AB BE
ABE EDC AB ED
∴△ ∽△ ,∴ED=CD。∵ =6, =12,
B 正 E 方 =5 形 ,∴ C C D D =10 CB 。 13 D . C ( A 1) 证明 B : C ∵ A 四边形 C A E BCD CE 是 13. (1) 1 3 , 1 4 解析:由图表中数据 , 小明摸取到 “3” 号
BEC ,∴ D = EC ,∠ 解 = ∠ DEB 。∵ = BEC , 小球的频率是 : 20 = 20 = 1 , 小明摸一次
∴△ ≌△ 。 (2) :∵∠ =140°,△ 16+14+20+10 60 3
≌
=7
△
0
D
°。
EC
∵
,∴
∠ D
∠
A
D
B
EC
=
=
90
∠
°
B
,
E
∴
C
∠
=
D
70
A
°
C
,∴
=
∠
∠
AE
B
F
AC
=
=
∠ B
45
E
°
C
,
小球 , 摸到 “3” 号小球的概率是 : 1
4
,(2) 画树状图如下 :
AFE 14.解 设该品
∴∠ =180°-70°-45°=65°。 :(1)
牌头盔销售量的月增长率为x , 依题意 , 得 :150(1+ x )2
解得x . x . 不合题意 舍
=216, :1=02=20%,2=-22( ,
去 答 该品牌头盔销售量的月增长率为 设
)。 : 20%。(2)
该品牌头盔的实际售价为y元 依题意 得 y
, , :(-30)[600
共有 种等可能的结果 小明摸出两个小球标号的和为
-10( y -40)]=10000, 整理 , 得 : y2 -130 y +4000=0, 的结 12 果有 种 小明摸 , 出两个小球标号的和为 的概
解得 : y 1=80( 不合题意 , 舍去 ), y 2=50, 答 : 该品牌头盔 5 4 ,∴ 5
的实际售价应定为 元 15.解 直线y x b 率为4 1 14.解 设矩形花圃BC的长为x 则
50 。 :(1)∵ =2 + = 。 : m,
经过点A b 12 3
0,∴ b =2 ( , - ∴ 1 直 ,0 线 ), A ∴ B -2 的 + 解 = 析 其宽为1 2 (46- x +3)m, 依题意列方程得 : 1 2 (46- x +
式为y =2 x +2,∴ B (0,2), 如 3) x =299, x2 -49 x +598=0, 解这个方程得 : x 1=26, x 2
图 过点C作CG x轴交y轴 x 不合题意 舍去 x
, ∥ =23。∵25<26,∴ 1=26 , ,∴ =23。
于点G AOB CGB 答 矩形花圃的长为 15. 解 延长BA交y轴
,∴△ ∽△ , : 23m。 (1) :
OA OB AB 1 CG 于H 双曲线y 4经过
∴CG=BG=BC= ,∴ ,∵ =x
2
=2
OA
=2,
BG
=2
OB
=4,
第15题图 点A
,∴
矩形AHOD的面积
∴ OG = OB + BG =6,∴ C (2,6),∵ 点C在反比例函数y 为 4,∵ 点B在双曲线y =
k
=x k 的图象上 ,∴ k =2×6=12;(2)∵ BD ∥ x轴 , 且B 4 x + 上 ,∴ 矩形HOCB的面
积为 k k
4+ ,∴4+8=4+ ,
(0,2),∴ D (6,2),∴ BD =6,∴ S △ABD= 1 2 BD · OB =6; ∴ k =8;(2) 解 : 设A m ,m 4 , 第15题图
由 知 BD EF 1BD EF 设Em
(3) (2) , =6,∵ = 2 ,∴ =3, ( , 则B 3 m ,m 4 , E 3 m , 4 m ,∴△ ABE的面积为1AB ·
3 2
m m F 6 m EF 6
2 +2)(0< <2),∴ m
+1
,2 +2 ,∴ =m
+1
BE
=
1
·2
m
·
8
m=
8
,∵ △
ABF 的面积为
4,
m m 舍 或m F 2 3 3
- =3,∴ =-2- 7( ) =-2+ 7,∴ (7+ BEF的面积为 8 4 证明 BEF的面
∴△ 4- = ;(3) :∵△
1,-2+27)。 3 3
期末复习冲刺十(综合) 积为 8 4 1 8 CF 4 CF m 点
4- = ,∴ · m· = ,∴ = ,∵
3 3 2 3 3
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1 8.2 G与点O关于点C对称 CG OC m FG CG
B A C A B 4 - 2 3 CF m AB FG A ,∴ B F = G = 四 3 边 , 形 ∴ AFG = B为 - 平
=2 ,∴ = ,∵ ∥ ,∴
9. 10.k 且k 11. x 3+1x 3-1 行四边形
9 ≤6 ≠5 (1)1= ,2= 。
2 2
x x 12. 解 证明
(2)1=-2+ 10,2=-2- 10 (1) : : C本
DE ACCE BD 四边形OCED是平行四边形
∵ ∥ , ∥ ,∴ , 1 菱形的判定和性质综合
四边形ABCD是矩形 OC OD 四边形OCED是 .
∵ ,∴ = ,∴ 1.解 E为AB的中点 且DE AB AD BD
菱形 解 AOB AB 在菱形OCED中 :(1)∵ , ⊥ ,∴ = ,
;(2) :∵∠ =60°, =2, , 四边形ABCD是菱形 AD AB BD ABC
OC CE ED DO OCD CDE均为等边三角 ∵ ,∴ = = ,∠ =
= = = ,∴△ ,△ ABD ABD是等边三角形 ABD
形 OB OD DE CD CE 如图 作EF BC交 2∠ ,∴△ ,∴∠ =60°,
,∴ = = = = =2, , ⊥ ABC AB E为AB的中点 AE
BC延长线于点F OCE ECF ∴∠ =120°;(2)∵ =2, ,∴ =
,∵∠ =60°+60°=120°,∴∠
BC CF EF EBC的面积 1AB =1, AD =2,∵ DE ⊥ AB ,∴ DE = 2 2 -1 2 = 3,
=30°, =23,∴ = 3, =1,∴△ = 2
22
A"# 3
∴ ∥ ∠ ∴ 是 S D B ∠ 菱 A C C D B 形 C A , C D ; ∴ , A = (2 ∵ 2 = 四 ) × 解 ∠ A 边 C D : 3 ∵ A 形 = C 平 四 A 2 , 边 B 分 ∴ 3 C 形 C D 。 ∠ D A D B 是 = 2 A C A B . 平 D ( D 1 , 行 是 ) , ∴ 证 ∴ 四 菱 明 ∠ 平 形 边 B : 行 , 形 O A ∵ A C 四 A , B = ∴ 边 = 4 ∥ ∠ 形 , C O ∠ B A D B D A B C A , = A C C 3 = D D , , B 边 边 ∴ ∴ D O 形 形 △ A = A , A = D ∴ B 2 O E B O C D D D D 是 = = , 是 等 A 2 ∵ O 矩 D 腰 B A 形 , 直 E 。 ∴ , 角 ∴ ∵ △ 平 三 A A ∠ C O 角 D 分 D = A 形 B 2 ∠ 是 , O B ∴ = B 等 A A ∠ , D 边 D ∴ A , 三 = D A ∴ C C D 角 E = = ∠ 形 9 , B D 0 ∵ , D ° A ∴ B , , O E D ∠ ∴ A = A = 平 = 2 D A O 4 行 O 5 D D ° 四 = , , ,
∴ AC ⊥ BD , AC =2 OA =8, BD =2 OB =6,∴∠ AOB = 60°,∴∠ ODE =∠ ADC -∠ ADO =90°-60°=30°,∵ AD
DEAD OD DE OD DOE DEO
90°,∴ AB = OA2 + OB2 = 4 2 +3 2 =5,∵ CE ⊥ AB , = , = ,∴ = ,∴∠ =∠ =
∴
S菱形ABCD= AB
·
CE
=
1AC
·
BD
,
即
5
CE
=
1
×8×
1
2
(180°- ∠ ODE )= 1
2
× (180°-30°)=75°。
2 2 2. 证明 四边形ABCD是矩形 AB CDAB
6, 解得CE = 2 5 4 , 即CE的长为2 5 4 。 3.解 :(1)∵ 四边形 CD (1 , ) ∴∠ B :∵ AE = ∠ DCF 。∵ BE ⊥ ,∴ AC , ∥ DF ⊥ , AC = ,
ABCD是菱形 , 周长为 24,∴ AB = BC = CD = AD =6, AC ∴ B ∠ E BEA DF =∠ D 解 FC 四 = 边 90 形 °, B ∴ E △ D A F B 是 E 平 ≌ 行 △ C 四 D 边 F 形 (AA 理 S) 由 ,
⊥ BD , OB = OD = 1 2 BD , OA = OC = 1 2 AC ,∠ BAO = ∴ 如下 : = ∵ BE ; ⊥ (2 A ) C , D : F ⊥ AC ,∴ BE ∥ DF , 又 ∵ BE 。 = DF ,
四边形BEDF是平行四边
1 BAD 1 AOB OB ∴
∠ = ×60°=30°,∴∠ =90°,∴ = 形 3. 证明 AC
2 2 。 (1) :∵ =9,
1 2 AB =3,∴ BD =2 OB =6;(2) 由 (1) 得BD =6, AB =6, A A B B2 = = 1 1 2 4 , 4 B , C BC = 2 1 = 5 2 , 2 ∴ 5 A , C ∴ 2 A = C 8 2 1 + ,
OB =3,∠ AOB =90°,∴ OA = AB2 - OB2 = 6 2 -3 2 AB2 = BC2,∴∠ CAB =90°。
=33,∴
AC
=2
OA
=63,∴
菱形ABCD的面积
= ∵
PG
⊥
AC
,
PH
⊥
AB
,
第3题图
AGP AHP 四
1AC BD 1 4. 证明 四 ∴∠ =∠ =90°,∴
× = ×63×6=183。 (1) :∵ 边形AGPH是矩形 解 存在 理由如下 连接AP
2 2 ;(2) : 。 : 。
边形ABCD是菱形 CB CD BE CD 垂足为点 四边形AGPH是矩形 GH AP 当AP BC时
,∴ = ,∵ ⊥ , ∵ ,∴ = 。∵ ⊥
EDF BC 垂足为点F BEC DFC 在
, ⊥ , ,∴∠ =∠ =90°, AP最短 AP AP 36 故GH长度的
BEC DFC ,∴9×12=15· ,∴ = ,
∠ =∠ , 5
C △ △ 长 D B D A , E F D ∴ C C , ∠ B ( 与 A E A A B △ S 交 G D ) 于 = , F ∴ C 点 ∠ E B G C 中 E , = C , ∵ F = C 四 B 9 ∠ 0 C , 边 C ° ∴ = , = 形 B ∵ C F ∠ D A ∠ C = B , A C D , D = E 4 ; 是 5 ( ° 2 菱 , ) ∴ ∴ 解 形 ∠ △ : , G 如 B ∴ E = A 图 C B ∠ , ≌ 延 ∥ A O ( 最 边 2 C ) 小 形 = 解 值 , O : ∴ D 四 ∵ 为 A , 边 3 ∠ O 5 6 ∴ A 形 = 。 A O O C A D C B = 4 = , C B . 1 B D ( 2 O D 1 0° ) = 是 , , 证 O O ∴ 矩 A D 明 平 形 = , : ∵ 行 ∵ O O D 四 四 A , 边 边 ∴ B = 形 A ∠ O 形 D D O A A A B , B D C ∴ C D O = D A 是 ∠ 是 = O 平 B D O 矩 D 行 B A 形 四 = = ;
AB BG AG DG 30°,∵ ,∴∠ =90°,∴ =
=45°,∴ = =1,∴ =2,∴ =2-1。
2 AB =6,∴ AD = BD2 - AB2 = 6 2 -3 2 =33,∴ BC
AD 5. 证 明
= =3 3。 (1) :
AD BC ABC BAD
∵ ∥ ,∴∠ +∠ =
ABC BAD
180°。∵∠ =90°,∴∠
BAD ABC
=90°,∴∠ = ∠ =
第4题图 ∠ ADC =90°,∴ 四边形ABCD是 第5题图
5 角 . ( 线 1) B 证 D 明 的 :∵ 垂 AD 直 ∥ 平 BC 分 , 线 ∴ , ∠ ∴ D O M B O = = O ∠ D BN , M O N ,∵ ⊥ M B N D 是 , 对 在 F 矩 。 形 A ∵ ; O ( 四 2) 边 C 解 形 O : 作 A B B O O C F D ⊥ D 是 B O C 矩 A , 形 C 垂 , 足 ∴ B 为 C D D = A A B O =2 B , O ∠ BC C D O =
∠ DMO =∠ BNO , 90°, = , = , = ,∴ = = =
△ MOD和 △ NOB中 , ∠ MOD =∠ NOB ,∴△ MOD ≌ DO ,∴ BF = FC ,∴ OF = 1CD =1。∵ DE平分 ∠ ADC ,
OD OB 2
= , ADC EDC 在 EDC中EC CD
NOB OM ON OB OD 四边形 ∠ =90°,∴∠ =45°。 Rt△ , =
△ (AAS),∴ = ,∵ = ,∴
BNDM是平行四边形 又 MN BD BNDM是菱 OEC的面积 1 EC OF 6. 证
, ∵ ⊥ ,∴▱ =2,∴△ = · · =1。 (1)
2
形 解 由 可知 OB ODOM ON 1MN 明 四边形ABED是平行四边
;(2) : (1) , = , = = =5, :∵
2 形 BE ADBE AD AD
四边形BNDM是菱形 周长为 BN DN DM ,∴ ∥ , = 。∵
∵ , 52,∴ = = DC BE DCBE DC 四
= ,∴ ∥ , = ,∴
=
BM
=
1
×52=13,∵
MN
⊥
BD
,∴∠
BON
=90°,
边形BECD是平行四边形
。∵
在
4 ABC中 AB BCAD DC
∴ OB = BN2 - ON2 = 13 2 -5 2 =12,∴ BD =2 OB = △ BD AC , = BDC , = 四 ,
∴ ⊥ ,∴∠ =90°,∴ 第6题图
24,∴
S菱形BNDM= 1BD
·
MN
=
1
×24×10=120。
边形BECD是矩形
;(2)
解
:∵
四
2 矩形的判定和 2 性质综合 2 边形BECD是矩形 ,∴∠ ACE =∠ BDC =90°。∵∠ BAC
. AB BC ABC是等边三角形 BCD
1.解 AD BCAB DC 四边形ABCD是平行四 =60°, = ,∴△ ,∴∠ =
:∵ ∥ , ∥ ,∴ ABC AC BC AB AD CD CBD
∠ =60°, = = =4。∵ = ,∴∠
23
3A"#
EAD DAG BAE DAG 在 BAE和
1 ABC 1 CD 1AC 由勾股 ∠ +∠ =90°,∴∠ =∠ , △
= ∠ = ×60°=30°,∴ = =2。 AB AD
2 2 2 = ,
定理得BD = 4 2 -2 2 =23,∴ CE = BD =23。 由勾 △ DAG中 ,∠ BAE =∠ DAG ,∴△ BAE ≌△ DAG (SAS),
3 股定 正 理 方 得 形 A 性 E 质 = 的综 AC 合 2 运 + C 用 E2 = 4 2 +(23)2 =27。 ∴ BE = DG ; A ( E 2) = 证 AG 明 , :∵△ BAE ≌△ DAG ,∴∠ GDA =
1 45 . . ° 解 ,∠ :∵ AD 四 C 边 = 形 90 A ° B 。 C ∵ D △ 为 C 正 DE 方形 为 , 等 ∴ D 边 A 三 = 角 DC 形 , , ∠ ∴ C D A E D = = ∠ ∠ G A D B A E A D , , C ∵ ∵ A ∠ B C ∥ EB CD G = D , ∠ ∴ A D ∠ E A Q B , Q E ∴ D = E ∠ ∠ D C E E Q B = ,∴ ∠ ∠ G Q C D D E A E B , = 又
DC ,∠ CDE =60°,∴ DA = DE ,∠ ADE =90°+60°= ∵ D ∠ EQ =90°,∠ Q +∠ BE G = D 90°, 解 ∴∠ QE + D
DAE DEA DAE 1 ∠ =90°,∴∠ =90°,∴ ⊥ ;(3) :∵∠
150°,∴∠ CAE =∠ ,∴∠ = 2 2. (1 解 80°-1 四 50 边 °)= 形 =60°,∴∠ CEB =60°, 又 ∵ AB = BC =3,∴E B C C =tan60°,
15°,∴∠ =45°-15°=30°。 :∵
ABCD是正方形 ,∴∠ CBF +∠ ABE =90°, AB = BC 。 ∴E 3 C=3,∴ EC =3,∴ DE =3-3。
CF BE CBF BCF BCF
∵ ⊥ ,∴∠ + ∠ =90°,∴∠ = 4 特殊四边形的综合问题(一)
ABE AEB BFC AB BC ABE .
∠ 。∵∠ =∠ =90°, = ,∴△ 1.解 连接AC 四边形
≌△ BCF (AAS),∴ AE = BF , BE = CF ,∴ AB = ABCD :( 是 1 菱 ) 形 AO ,∵ COBO
1 2 +3 2 = 10。 3.解 : 在正方形ABCD中 ,∠ ABD DOAC BD ,∴ BE = DF , B = E
ADB DAE . 在 ADE中 AED , ⊥ ,∵ = ,∴
=∠ =45°,∵∠ =675°, △ ,∠ OB DF DO FO EO
. . DAE AED AD + = + ,∴ = ,
=180°-45°-675°=675°,∴∠ =∠ ,∴ EF与AC垂直且互相平分
= DE =4。∵ 正方形的边长为 4,∴ BD =42,∴ BE = ∴ ∴ 四边形AECF是菱形 ,∴∠ AEF ,
BD - DE =42-4。∵ EF ⊥ AB ,∠ ABD =45°, =∠ CEF , 又 ∵∠ AED =45°,∴∠
AEC 菱形AECF是正方 第1题图
BEF是等腰直角三角形 EF 2BE 2 =90°,∴
∴△ ,∴ = = ×(42 形 BD BE FD EF AC
2 2 ;(2)∵ =4, =3,∴ =3,∴ =10,∴ =
4.解 四边形ABCD正方形
-4)=4-22。 :(1)∵ , 菱形ABCD的面积 1 AC BD 1
AB BC B BCD DCG 如图 取AB的 10,∴ = × · = ×10×4
∴ = ,∠ =∠ =∠ =90°, : 2 2
中点M , 点E是边BC的中点 ,∴ AM = BM = EC = BE , =20。 2. (1) 证明 :∵ CE ∥ BD , DE ∥ AC ,∴ 四边形
BME BEM AME CF平分 ODEC是平行四边形 又 菱形ABCD AC BD
∴∠ =∠ =45°,∴∠ =135°,∵ 。 ∵ ,∴ ⊥ ,
DCG DCF FCG ECF DOC 四边形ODEC 是矩形 解
∠ ,∴∠ =∠ =45°,∴∠ =180°- ∴∠ =90°,∴ ;(2) :
FCG AME ECF AEF 在 AOD中 ADO OAD OD
∠ =135°∴ ∠ = ∠ ,∵ ∠ =90°, ∵ Rt△ ,∠ =60°,∴∠ =30°,∴
AEB CEF 又 AEB MAE
∴∠ +∠ =90°, ∵∠ +∠ =90°, 1AD AO AC EC AE
∴ ∴ ∠ △ A M M AE E ≌ = △ ∠ E C C E F F ( , A 又 SA ∵ ) A ,∴ M A = E C = E E , F ∠ ; AME =∠ ECF , 3 A = B . ( 2 1 B ) F 证 = 明 DC : 3 四 , 边形 = D 3 D E , B E ∴ BF是 B = F 6 矩 D , 形 , = 理 3 由 , 如 ∴ 四 下 边 : 形 ∵ = A D B E 3 C 9 ⊥ D 。
, ⊥ ,∴∠ =∠ =90°,∵
是菱 形 AB CD DEB EDF
,∴ ∥ ,∴ ∠ + ∠ =180°,
EDF DEB BFD
∴∠ =∠ =∠
四边形DEBF是矩
=90°,∴
形 如图 连接PB 四边
;(2) , ,∵
形ABCD是菱形 AC垂直
(2) 当E为BC延长线上一点 , 画出图形如下 : 平分BD ,∴ PB = , P ∴ D , 由 (1)
知 四边形DEBF是矩形
, ,∴ 第3题图
DE FB 设PD BP
= =8, = =
x , 则PE =8- x , 在 Rt△ PEB中 , 由勾股定理得 (8- x )2
+4 2 = x2, 解得x =5,∴ DP =5。 4. (1) 证明 :∵ BC =
CDCE BD CE垂直平分BD ED EB EDB
, ⊥ ,∴ ,∴ = ,∴∠
EBD DC BE CDB EBD CDB
=∠ ,∵ ∥ ,∴∠ =∠ ,∴∠ =
EDB DB平分 CDE 解 DE垂直平分
AE EF仍然成立 理由如下 在BA延长线上截取AP ∠ ,∴ ∠ ;(2)(ⅰ) :∵
= , : AC AE EC且DE AC AED CED 又
CE 连接PE 则BP BE B BP BE ,∴ = ⊥ ,∴∠ =∠ ,
= , , = ,∵∠ =90°, = , CD CB且CE BD CE垂直平分DB DE
P 又 FCE P FCE AD ∵ = ⊥ ,∴ ,∴ =
∴∠ =45°, ∵∠ =45°,∴∠ =∠ ,∵ ∥ BE DEC BEC AED CED BEC 又
CB DAE BEA PAE DAE ,∴∠ =∠ ,∴∠ =∠ =∠ ,
,∴ ∠ = ∠ ,∵ ∠ =90°+ ∠ ,
∠ △ ∴ ∵ C E △ 四 E C A 边 F F P = 形 E 中 9 A ≌ 0 , ° B ∠ △ + C P E D ∠ C = , B F A E ∠ E ( A A F F S G C , A ∴ E 均 ) , ∠ , A 为 P ∴ P A 正 A = E E 方 C = = 形 E E ∠ , , F C ∴ ∠ E 。 A P F B A , E 5 = 在 . A = △ ( D 1 A ∠ ) , P C A 证 E E E 明 F 与 = , : 1 ∵ ∠ 腰 80 A 三 ∠ ° E = A 角 D 6 E 0 形 + D °; ∠ D + ( D E ⅱ ∠ E B ) C C 证 E 中 = D 明 , 12 ∠ : + 0 由 E ° ∠ B , ( B ∴ D ⅰ E ∠ = ) C 得 A 3 = 0 C A ° E 1 E , 8 = ∴ 0 = ° 3 ∠ , E 0° ∴ C A , C , ∠ 同 E 又 C 理 E = ∵ 可 D ∠ ∠ 得 = A A B E , 1 3 在 F C × = 等 =
AG BAD EAG BAE EAD
,∠ =∠ =90°,∵∠ +∠ =90°,
24
A"# 3
ACE ABF ABCD的周长是 AB 四边
∠ =∠ 40cm,∴ =40÷4=10(cm)。∵
30 在 ACE 与 ABF 中 CAE BAF 形ABCD为正方形 AEF为等腰直角三角形 AF
°, △ △ , ∠ =∠ , ,∴△ ,∴
AE AF EF 四边形EFBG的周长C EF BF AF
= = ,∴ =2( + )=2(
ABF ACE AC AB 又 AE AF BF 解 若要四边形BFEG是正方形 只
∴△ ≌△ (AAS),∴ = , ∵ = , + )=20cm;(3) : ,
AB AE AC AF即BE CF 需EF BF AF EFAB 当AF
∴ - = - , = 。 = 。∵ = , =10cm,∴ =5cm
5 特殊四边形的综合问题(二) 时 四边形BFEG是正方形
. , 。
1. 证明 四边形ABCD是矩形 AD BC ADC 6 正方形与旋转
(1) :∵ ,∴ ∥ ,∠ .
C EF DC 四边形FECD为平行四边 1.解 DCF是 BCE旋转得到的图形 BEC
=∠ =90°。∵ ∥ ,∴ :∵△ △ ,∴∠ =
形 DE平分 ADC ADE CDE AD DFC ECF BCE CF
。∵ ∠ ,∴∠ =∠ 。∵ ∥ ∠ =90°-30°=60°,∠ =∠ =90°, =
BC ADE DEC CDE DEC CD CE CFE FEC EFD DFC
,∴∠ =∠ ,∴∠ =∠ ,∴ = ,∴∠ =∠ =45°。∴∠ =∠ -
CE 四 边 形 FECD 是 菱 形 又 C EFC 2.解 四边形ABCD是正
,∴ 。 ∵ ∠ =90°, ∠ =60°-45°=15°。 :∵
FECD是正方形 解 四边形FECD是正方形 方形 D AD BC 在 ADE中 DE
∴▱ ;(2) :∵ , ,∴∠ =90°, = =8。 Rt△ , =
CDE ED CE CD 2ED 6,
AD
=8,∴
AE
=
AD2
+
DE2
=10。∵△
ABF可以由
∴∠ =45°。∵ =22,∴ = =
2
=22
△
ADE绕旋转中心A点
,
按顺时针方向旋转
90°
得到
,
×
2
=2,∴
BC
=
BE
+
EC
=1+2=3,∴
BD2
=
BC2
+ ∴
AE
=
AF
,∠
EAF
=90°,∴△
AEF的面积
=
1AE2
=
2 2
C E D M 2 ⊥ = B 3 C 2 + 于 2 M 2 = , E 13 N , ⊥ ∴ C B D D 于 = N 1 , 3 又 。 2.解 :(1) 如图 , 作 1 2 × B 1 A 00 E = 为 50 等 。 边 三 3. 角 证 形 明 : 由旋 EB 转 A 性质可知 BA : BN B = E BM 又 ,
∠ B 点 C E D 是 = 正 90° 方 , 形 ∴ A ∠ BC M D EN 对 = 角 9 线 0° 上 , ∵ ∵ △ ∠ MBN =60°,∴∠ N , B ∴ E ∠ =∠ M = B 6 A 0° 。 , 在 △ = ABM 。 和
∵ 的点 ,∴ EM = EN ,∵∠ DEF = EBN 中 BM M = B B A N , NBE ABM EBN
90°,∴∠ DEN =∠ MEF =90°- △ , B ∠ A BE =∠ ,∴ △ ≌ △
9 ∠ 0° F , EN 在 , △ ∵ DE ∠ N DNE 和 = △ F ∠ E F M ME 中 = , 第2题图 ( 形 SA 理 S) 由 ,∴ 如 A 下 M = EN C = B 。 E ' , 4 是 . 由 解 :(1) A 四 B 边 E 形 绕 B 点 E' B FE 按 是 顺 正 时 方 针
∠ D NE =∠ FME , 方 , 向旋转 ° : 得 ∵ 到 △ 的 CE' R B t△ AEB ° EBE'
EN = EM , ∴△ DEN ≌△ FEM (ASA),∴ EF = °AB 90 BCAE ,∴ CE ∠ ' A = E ∠ B ° =90,∠ BEF
D ( 形 + 中 2 E ∠ ) , ∠ , , ∴ D ① C ∵ E D C A D ∠ 四 E N E D E A 边 ⊥ = = = = D C C E 9 D 形 ∠ 0 G D G ° = F D , , E , , E ∠ A 理 ∴ M F C D 由 ∠ G D , = C G 如 是 D D , 下 G C 矩 ∴ = : , 形 ∵ ∵ △ ∠ D , ∠ A A ∴ E C D D F 矩 D E E G G 形 , ≌ 和 在 + D A △ ∠ E △ B A C F C C D G D D D E E G 是 = 都 和 ( 正 S ∠ 是 △ A 方 A C 正 S D D 形 ) 方 E G ; , 9 ( = ∴ 形 = + 0 2 ° E B 9 ) ( 四 , ' E 0 , E ∴ ∵ ' B ∴ 边 B B , 2 四 四 E 形 + + 边 2 边 = E = B ' ) B 形 2 E 形 C C ' E , ' E 2 ∴ B F B ' , , E E E E = ∴ ' ' ' E B F F 1 ' 是 0 E E = F = 0 正 6 , = 是 是 , ∵ 方 E ∴ 矩 正 ' B , E 形 B ' ∵ C 形 F 方 2 2 ; ∠ , 由旋转 =9 可 0 知 ,∴ BE ∠ = BE' = ,
DE = DG , A = E 如 =6 图 ,∴ 过点 = D 6 作 +2 D = H 8=
∴∠ DAE = ∠ DCG ,∵∠ ACD + ∠ CAD + ∠ ADC = AE , 垂足为 , 点H DHA ⊥ 第4题图
180°,∠ ADC =90°,∴∠ ACG = ∠ ACD + ∠ DCG = ° , AEB , D ∴ A ∠ H E = AB DAH ADH
ACD CAD CE CG 由 知 ADE 90=∠ ,∴∠ +∠ =∠ +∠ =
∠ +∠ =90°,∴ ⊥ ;② ① ,△ ≌ ° ADH BAE 又 AD AB ADH
CDG AE CG CE CG CE AE AC AB 90,∴∠ =∠ , ∵ = ,∴△ ≌
△ ,∴ = ,∴ + = + = = 2 BAE AH BE DH AE HE
故答案为 △ (AAS),∴ = =6, = =8,∴ =2,
3
=
.证
2
明
× 2=2
连
,
接GE
2
AB
。
∴
DE
=
DH2
+
HE2
= 64+4=2 17。
5.解
:
:(1) ,∵ ∥ AH AB 或相等 理由 AB AD B D
CD AEG CGE GF (1) = ( ); :∵ = ,∠ =∠ ,
,∴∠ =∠ 。∵ BM DN ABM ADN BAM
HE HEG FGE = ,∴△ ≌△ (SAS),∴∠ =
∥ HE , A ∴∠ CGF = ∠ 四 , ∠ DAN , AM = AN 。∵ AH ⊥ MN ,∠ MAN =45°,∴∠
∴ 边 ∠ 菱 A ∠ 形 形 = A 9 B 0 C ° H D 。 G = ∵ 是 ∠ 四 正 H 边 方 E 形 形 。 E , 在 ( ∴ F 2 G ) ∠ H ∵ D = 是 HAE 和 第3题 GD 图 H 中 B 9 A 0 A H ° M , = ∴ = A △ B ∠ A ( M B 或 A M 相 H ≌ 等 = △ ) 2 A 2 ;( H . 2 5° ) M 成 。 (A 立 ∵ S A 。 A M 证 ), = 明 ∴ A A : M 延 B , = 长 ∠ A C B H B = 。 至 ∠ E 故 A , 答 H 使 M 案 B = 为 E
= ∠ A H 4 A ∠ H E . H D , = = E ∴ G D H = H 证 G G 9 。 0 , 明 , ° ∴ = 又 ,∴ Rt ∠ ∠ 四 △ D G 。 边 H H H G A E 形 E = + A R ≌ 9 B t 0 ∠ C ° R △ D t D , G ∴ △ 为 H G 菱 D 正 形 = H 方 E 9 ( 0 F 形 ° H R G , L t H ∴ ) △ , A ∠ 为 ∴ B D 正 ∠ H A 方 G B H 形 C + E , 。 = ∴ 旋 ∵ ∠ B D 转 △ ∠ A N A M 9 E B 0 A 。 ° = E N 得 ∵ 4 ≌ 5 = △ A ° △ 4 B A , 5 A ∴ B ° = D E , ∠ ∴ N A E 也 D ∠ ( A S 可 B , M A B A ) S = E , M ) ∴ ( ∠ = + A 或 M D N ∠ A N 将 D = N , A △ A = ∠ E N A 4 A D , 5 = B ° ∠ N 4 且 E B 5° A 绕 A = , E M 点 即 ∠ = = A ∠ D ∠ A B 顺 = D M A A M 9 时 , A 0 N ° 针 + E , 。
B
(1) :
E
∵
F ABEG BC EFB
,∴
E
⊥
GB
, = AN ,∴△ AEM ≌△ ANM (SAS),∴ EM = MN , S △AEM
∠
∠
B =
=
9
9
0
0
°
°
。
,∴
∵ 四边 ⊥ 形BF , EG ⊥ 是矩 , 形 ∴
;
∠
(2)
解 =
:∵
∠ 正方 = 形 = S △ANM,∴ 1
2
AB × EM = 1
2
AH × MN ,∴ AB = AH 。
25
3A"#
22
x
,
在
Rt△
MNH中
,
MN
=
MH2
+
HN2
=23
x
,
MN x
23 如图 由折叠知CM AM
∴DN= x =23。(3) 2, = ,
CN AN CM CN CM AM CN AN 四边
= ,∵ = ,∴ = = = ,∴
形MCAN是菱形 作点P关于菱形对角线MN的对称
,
点P'则P'在线段AM上 当点PTQ三点共线 且
, ,∴ ,, ,
垂直CN时PT QT的值最小 此时PQ AE DC
, + , = = =
第5题图 AB AN AM BM 在 ABM中 AB
,∵ = =3, =1,∴ Rt△ , =
7
.
特殊四边形的折叠 AM2
-
BM2
=22,∴
NH
=22,
即PT
+
QT的最小
1.解 MEF是等腰三角形 理由如下 四边形ABCD 值为
:△ , :∵ 22。
是长方形 AD BC MEF EFC 长方形的
,∴ ∥ ,∴∠ =∠ ,∵
纸ABCD沿EF折叠 重合部分是 MEF MFE
, △ ,∴∠ =
EFC MEF MFE ME MF 即 MEF是
∠ ,∴∠ =∠ ,∴ = , △
等腰三角形 2.解 四边形ABCD是矩形 AB
。 :∵ ,∴ =
CD BC AD AD BC A
=8cm, = =16cm, ∥ ,∠ =90°,
EDB CBD 由折叠的性质可知 CBD
∴∠ =∠ 。∵ △ ≌
C'BD EBD CBD EBD EDB BE
△ ,∴∠ =∠ ,∴∠ =∠ ,∴
DE 设DE为x 则AE xBE x由勾股定理
= 。 , =16- , = , ,
得AB2
+
AE2
=
BE2。∴64+(16- DE )2
=
DE2。∴ DE 图
1
图
2
=10,∴ 图中阴影部分的面积 = 1 × DE × AB =40(cm 2) 8 . 中点四边形
2 1. 证明 点EF分别是四边形ABCD的边ADAB
3. 证明 在正方形ABCD中 AB CD BEC (1) :∵ , ,
(1) : , ∥ ,∴∠ =
∠ ECD , 根据翻折 , 可得 ∠ BEC =∠ GEC ,∴∠ ECD = 的中点 ,∴ EF ∥ BD , EF = 1BD , 同理 : HG ∥ BD , HG =
GEC HE HC HCE是等腰三角形 设 2
H ∠ D = x , , ∴ ∵ AB = = 4,∴ , B ∴ C △ = CD =4,∵ E为AB的 ;( 中 2) 点 , 1 2 BD ,∴ EF ∥ HG , EF = HG ,∴ 四边形EFGH是平行
∴ EB =2, 根据翻折 , GC = BC =4, EG = EB =2,∵ HC =4 四边形 。(2)∵ EF ∥ BD , AC ⊥ BD ,∴ EF ⊥ AC ,∵ 同第
+ x ,∴ HE =4+ x ,∴ HG =4+ x -2=2+ x , 在 (1) 的方法 , EH ∥ AC ,∴ EF ⊥ EH ,∴∠ FEH =90°, 由第
Rt△ HGC中 , 根据勾股定理 , 得 ( x +4)2 =4 2 +( x +2)2, (1) 有四边形EFGH是平行四边形 ,∴▱ EFGH是矩形 。
解得x HD 4. 证明 把纸片ABCD折
=1,∴ =1。 (1) :∵ EH 1ACEF 1BDAC BD EF EH
叠
,
使点B恰好落在CD边上
,∴
AE
=
AB
=10,
AE2
=
(3)∵ =
2
, =
2
, = ,∴ = 。
10 2 =100。 又 ∵ AD2 + DE2 =8 2 +6 2 =100,∴ AD2 + DE2 ∵ 四边形EFGH是平行四边形 ,∴▱ EFGH是菱形 。
=
AE2,∴△ ADE是直角三角形
,
且
∠
D
=90°。
又
∵
四 2.证明
:
连接AC
,
BD
,
如图所示
。∵
四边形ABCD是菱
边形ABCD为平行四边形 ABCD是矩形 有一个 形 AC BD EF分别是ABBC上的中点 EF
,∴▱ ( ,∴ ⊥ 。∵ , , ,∴
E B R ( 角 8 t F F - 是 △ = = x A 直 B 8 B ) F 2 角 - F = = x 的 中 x x , 2 平 , , 在 E , 由 行 C 解 R 勾 t = 四 得 △ 股 C 边 E D x 定 F 形 - C = 理 D 是 5 , 中 E 得 , 矩 , = 故 E A 形 1 C B 0 B ) 2 2 - F 。 + + 6 ( = F B 2 = C F 5 ) 4 2 解 2 ( c c = = m : m A E 设 。 ) F F , B F ( 2 2 C 3 F , ,∵ ) 即 = = 解 A B x 4 B C 2 : , 则 - + 在 = G A ∥ ∥ C A H 分 ⊥ C G 别 B , , E E D 是 F F , B = ∴ = C E H 1 2 , F C G A ⊥ D , C E ∴ , 的 H 同 四 中 , 理 边 ∴ 点 , 形 四 H , E ∴ G 边 F F ∥ 形 G G A H E ∥ C F 是 B G , H D H 平 G 。 行 是 = 又 四 矩 1 2 ∵ 边 形 A E 形 C 。 F , 。 ∥ 则 ∵ A E F C F , ,
10cm, BF =5cm,∴ AF = 10 2 +5 2 =5 5cm。
5. 证明 由折叠的性质可得 ENM DNM 即
(1) : :∠ =∠ ,
ENA ANM DNC CNM EA DC E
∠ +∠ =∠ +∠ ,∵ = ,∠
D NE ND ANE CND ENA
=∠ , = ,∴△ ≌△ ,∴∠ =
DNC ANM CNM 四边形ABCD是矩形
∠ ,∴∠ =∠ ,∵ ,
AD BC ANM CMN CMN CNM
∴ ∥ ,∴∠ =∠ ,∴∠ =∠ ,
∴ CM = CN 。(2) 解 : 如图 1, 过点N作NH ⊥ BC , 垂足为 第2题图 第3题图
点H 则四边形NHCD是矩形 HC DNNH DC
, ,∴ = , = , 3.解 四边形PNMQ为菱形 证明如下 连接AC
∵△ CMN的面积与 △ CDN的面积比为 3∶1,∴S S △ △ C C M DN N BD , : 且 (1 A ) C , BD 交于点O 。 在 。 △ AEC与 △ : DEB中 , ,
AE DE
1MC NH = ,
× MC AEC DEB AEC DEB AC
2 MC ND HC MH ∠ =∠ ,∴△ ≌△ (SAS),∴ =
= 1 2 DN × NH =ND=3,∴ =3 =3 ,∴ = D C B E = B A E B , BCCDDA的中点分别为P Q M N
HC设DN x则HC xMH x CM x CN 。∵ , , , , , , ,
2 在 Rt , △ CDN = 中 , , DC = = CN , 2 - D = N 2 2 , = ∴ 22 x = , 3 ∴ = HN = , ∴ PQ = MN = 1 2 AC , PQ ∥ MN ∥ AC ,∴ 四边形PNMQ
26
A"# 3
F是AC上两动点 分别从AC两点以相同的速度向C
为平行四边形 同理MQ 1BD MQ PQ 四边形 , , ,
, = ,∴ = ,∴ A运动 AE CF 四边形ABCD是平行四边形
PNMQ为菱形 ;(2) 由 (1) 知 2 ,△ AEC ≌△ DEB , 则 ∠ ACE ∴ OD = , O ∴ B , OA = = OC , , ∵ ∴ OA - AE = OC - CF ,∴ OE = ,
=∠ DBE 。∵∠ CAE +∠ ACE =60°,∠ CAE +∠ DBE = OF ,∴ 四边形DEBF是平行四边形 ;(2) 解 : 点E , F在
6 1 M 接 0 2 ° 0 , P ° M ,∴ 。 P 分 ∠ , P 别 4 A N O . 是 ( B , 1 线 N = ) Q 段 证 1 , 8 A Q 0 明 ° D M : - , 顺 。 B 60 D ∵ 次 °= 连 点 的 120°,∴∠ NPQ =∠ AOB = A 形 ∴ C B . D 理 . 上 t 由 = 运 E 如 动 F 下 过 = 解 : 程 1 分 2 得 中 为 c t , m 两 以 , 种 即 D 情 A , E E 当 况 , B = E : , C ① F F 到 ∵ 为 = F 四 0 顶 位 边 . 5 点 t 置 形 的 c 上 D m 四 E , F B 边 则 F 到 1 形 6 是 E 能 - 矩 0 为 位 形 . 5 矩 置 t ,
中 位线 点 , , ∴ ∴ M M P P ∥ 是 A △ B AB 且 D MP 的中 = - 上 =2 0 时 8 5 。 , A = E 故 1 = 当 2 C , 运 F 动 =0 时 . = 5 间 t 4 t c ; = m ② 4 , 则 或 0 2 . 8 5 t 时 - , 1 以 2+ D 0 , E . 5 t , , B = , 1 F 6, 为 解 顶 得 点 t
1AB 同理 NQ AB且 的四边形是矩形 4.解 B C
2
。 , ∥ 第4题图
AB OA
。
O C
:(1
当
)
t
∵ (
时
15
A
,8
M
), (21,0),
N M 分 Q P 别 = = 是 N 1 2 线 Q A 段 , B ∴ B 。 D 四 ∴ , 边 B M C P 形 ∥ 的 M N P 中 Q N 点 Q 且 ,∴ 是 P 平 N 行 是 四 △ 边 BC 形 D 。 的 又 中 点 位 P 线 , N , C O ( ∴ 当 3 A N t , M 8 = ) N 2 = , N × 1 时 是 5 3 (1 矩 , 5 = 四 , 形 6 0 边 , ) = 时 ∴ ; 形 8 故 , O A , O 答 N M A 案 M = = = N O O 为 21 C N : 是 。 ( - , 3 矩 ∴ C ,8 t 形 N ) = = ; = 2 ( 3 1 1 2 5 1 - , - 0 2 , t ) 6 , ; = 解 (2 = 1 得 ) 5 1 当 t , × ∴ = 四 3 7 点 边 = , 3 M 形 故 ,
PN 1CD 又 AB CD PN PM MPNQ =7 , ;
∴ = 。 ∵ = ,∴ = ,∴▱
2
是菱形 MN与PQ互相垂直平分 解 如图 设MN
,∴ ;(2) : ,
与PQ交于点O 由 知 MPNQ是菱形 PQ
。 (1) ,▱ 。∵ =
MN 四边形MPNQ的面积 1PQ MN
6, =10,∴ = · =
2
1 又 由 知 MN与PQ互相垂直平
2 ×6×10=30。 ∵ (1) , 存在 当t 时 四边形MNCB为菱形 理由如下
分 OP OM 且OP OM 由勾股定理得MP (3) , =5 , 。 :
,∴ =3, =5, ⊥ ,∴ 四边形MNCB是平行四边形时BM CN t t
, = ,∴15- =2,
5 = 中 . ( 点 1 O ) , 证 ∴ P E 2 明 + H : O ∵ , F M E G 2 , F 分 = , G 别 , 是 3 H 4 △ 分 , A ∴ B 别 D A 是 B , 线 △ = A 段 C 2 A M D B P 的 , A = 中 C 2 , 位 CD 线 3 , , 4 B ∴ D 。 EH 的 8 D 解 , C , 得 则 D t 四 = = O 边 5 C 形 秒 - O , O 此 A D B 时 D = C 2 N 是 1 = 矩 - 5 1 形 5 × , 2 = ∴ = 6 O 1 。 D 0 在 , = 过 A R B 点 t△ = B B 1 作 5 C , B D B D D 中 ⊥ = , O O B C C A 于 = =
∥ AD , FG ∥ AD , EH = 1AD , FG = 1AD ,∴ EH ∥ FG , BD2 + CD2 = 8 2 +6 2 =10,∴ BC = CN ,∴▱ MNCB
2 2 是菱形
EH FG 四边形EFGH是平行四边形 解 AD 。
= ,∴ 。(2) :① 10 特殊四边形中的动态问题(二)
= BC 。 理由如下 :∵ EH , HG分别是 △ ABD ,△ BCD的 1. . 解 OE OF 理由 由题意得 BAC BCA
中位线 ,∴ EH = 1 2 AD , HG = 1 2 BC 。∵ AD = BC , 45°, A : O (1 = ) PA , = ∠ AE 。 O =∠ C : FO 。 在 △ A ∠ EO和 = △ ∠ CFO中 = ,
∴ EH = HG ,∴ 平行四边形EFGH是菱形 。② AD ⊥ ∠ OEA =∠ OFC ,
BC 。 理由如下 :∵ EH , HG分别是 △ ABD ,△ BCD的中 ∠ EAO =∠ FCO ,∴△ AEO ≌△ CFO (AAS),∴ OE =
位线 ,∴ EH ∥ AD , HG ∥ BC 。∵ AD ⊥ BC ,∴ EH ⊥ HG , AO = CO ,
∠ EHG =90°,∴▱ EFGH是矩形 。 OF ( 相等 );(2) OE = OF , OE ⊥ OF 。 证明 : 连接BO ,∵ 在
9 特殊四边形中的动态问题(一) 正方形ABCD中 O为AC中点 BO COBO AC
. , ,∴ = , ⊥ ,
1.解 在矩形ABCD中 AB BC BCA ABO PF BC BCO
:(1)∵ , =8cm, =16cm, ∠ = ∠ =45°。∵ ⊥ ,∠ =45°,
BC AD AB CD 由已知可得BQ FPC PF FC 四边形ABCD是正方形
∴ = =16cm, = =8cm。 = ∴∠ =45°, = 。∵ ,
DP t AP CQ t 在矩形ABCD中 ABC PF BCPE AB PEB
= cm, = =(16- )cm。 , ∴∠ =90°。∵ ⊥ , ⊥ ,∴∠ =
B AD BC 当BQ AP时 四边形ABQP为矩 PFB 四边形PEBF是矩形 BE PF BE
∠ =90°, ∥ , = , ∠ =90°,∴ ,∴ = ,∴
形 t t得t 故当t 时 四边形ABQP为矩 FC OBE OCF OE OF BOE COF
,∴ =16- , =8, =8 , = ,∴△ ≌△ ,∴ = ,∠ =∠ 。
形 AP CQAP CQ 四边形AQCP为平行四 COF BOF BOE BOF
;(2)∵ = , ∥ ,∴ ∵∠ + ∠ =90°,∴∠ + ∠ =90°,
边形 当AQ CQ 时 四边形AQCP 为菱形 即 EOF OE OF OE OF 相等 OE
,∴ = , , ∴∠ =90°,∴ ⊥ ;(3) = ( ), ⊥
当 8 t 2 = + 6 t2 时 = , 1 四 6- 边 t 形 时 A , Q 四 CP 边形 为 A 菱 Q 形 CP 。 为 2 菱 .解 形 : , ( 解 1) 得 ∵ t 在 =6 矩 , 故 形 A O C F ( 的 垂 中 直 ) 点 。 , 理 ∴ B 由 O : 连 = C 接 O B , O BO ,∵ ⊥ 在 AC 正 , 方 ∠ 形 BC A A BC = D ∠ 中 AB , O O 为 =
ABCD中 , AB =9, AD =4,∴ CD = AB =9,∠ D =90°, 45°, F ∴ P ∠ C OCF = PF ∠ OB F E C 。∵ P 正 F 方 ⊥ 形 B A C B , C ∠ D BC 中 O = A 45 B ° C ,
∴ DE = 当 9- E 6 P = A 3,∴ A 时 E = t DE2 当 + AD P 2 E = A 3 2 + 时 4 2 =5。 ∴ =9 ∠ 0°, PF = ⊥ 4 B 5 C °, , PE ⊥ = AB , 。 ∴ ∵ ∠ PEB =∠ PFB =9 , 0° ∠ ,∴ 四
(2)① ∠ =90° ,=6;② ∠ =90° ,(6- 边形PEBF是矩形 BE PF BE FC OBE
t )2 +4 2 +5 2 =(9- t )2, 解得t = 2 3 。 综上所述 , 当t =6 △ OCF ,∴ OE = O , F ∴ ,∠ B = OE = ,∴ ∠ CO = F 。∵ ,∴ ∠ △ BOE ≌ +
EOP COF EOP EOF
或t 2时 PAE为直角三角形 3. 证明 E ∠ =90°,∴∠ + =90°,∴∠ =90°。
= ,△ 。 (1) :∵ , OE OF
3 ∴ ⊥ 。
27
3A"#
AP OA OP P 若过点B
∴ =2。∵ =5,∴ =3,∴ (-3,0)。
的直线BP与边OC交于点P 依题意可知 1 BC
, : × ×
2
PC 1 OA OC即1 PC 1 PC
= × × , ×5× = ×5×3,∴ =
5 2 5
6 OC OP 9 P 9 综上所述
。∵ =3,∴ = ,∴ 0,- 。 ,
5 5 5
点P的坐标为 或 9 5.解 点
(-3,0) 0,- 。 :(1)
5
B 如图 过C作直线CD交
2 与 形 .解 A D B E : C (1 所 D ) 在 ① , E B B 直 F C G G 线 G C 与 的 , D ∴ 位 E B E 置 C 之 C = 关 D 间 D 系 的 C 是 , 长 C B E 度 B G C = 关 G ⊥ C 系 G D 是 E ,∠ B 。 D B G 证 C C = E D 明 D = E :∵ ∠ , B ② G 正 G B C 方 E G A ( = D B ( C 3 B B 于 ,5 + = D ) C ; 3 B ( , 2 。 由 ) ) = ① 图 1 当 可 ∶3 , ( 知 C 时 O : O , C + 即 O = (5 A A + B + 3 = A + 5 D A , ) O D ∶ A )
C D = ∴ ∴ 明 E E B 9 D ∠ : 0 , G , C ∵ ° C ∠ E ∠ , ⊥ D 四 B ∴ G E D C 边 B ∠ E D + C 形 B 。 ∠ = G = A D 故 ∠ B E 答 = ∠ G C G C C D D 案 ∠ = E D E , 为 E E 9 , 0 F ∴ 。 ° : G 正 , C ∠ C , ∵ ∴ E 方 B ∴ D ∠ 是 C ∠ ; △ G ( D G 菱 2 O = B ) 形 C H ① ∠ C , = 成 ≌ D + G ∴ C 1 B 立 △ B 8 E ∠ 0 C , ° B , ② = - ∴ H 不 C 9 C △ , 0 D ° 成 B ∴ B = , = O C C 立 E G 9 9 G 0 0 , ° ° = 证 = ≌ , , O 1 3 ∶ + ② A ( ∶ 8 A ( 当 B 5 3 - D C ( - 时 A D ) A 的 , D B A , D 即 ) + 面 D , + C ( A 5 = 积 B 3 D - 是 ) - ) = A = ∶ 4 1 4 D 1 5 ( ( , C + 不 ∶ 。 ∴ O 3 3 合 设 点 + ) ,8 ∶ 题 O A D - A E (5 意 的 A + = + , D 坐 a A 3 舍 = D , + 标 去 则 3 A ) 为 ( ) = D B 8 ; ( E ) 3 = , = 4 1 5 ) ∶ 。 - 第 3 a ( 5 , 3 8 。 ) 题 + 长 由 A 图 方 题 D = 形 意
△ ∠ C E G C B G + , 不 ∴ ∠ 一 O 定 MG 是 = = 直 ∠ 角 C , E ∠ D + B ∠ O C E = M 不 E ∠ 一 =1 定 80 。 是 °- 直 ∵ ∠ ∠ 角 EC 即 G B , = 且 G 得 : 1 2 BE · BC =5, 1 2 (5- a )·3=5, a = 5 3 ,
∠ 和DE不一定垂直 ,∴ 成 ∠ 立 不成立 故答案 , 为 菱 ∴ E 3, 5 。
,∴① ,② ; : ; 3
答 不成立 成立 故答案 矩 12 利用十字相乘法解一元二次方程
(3) :① ,② , : 。 .
11 特殊四边形与坐标系 1. x x x x x
. (1)1=-1,2=-2;(2)1=-3,2=-2;(3)1=
1.解 四边形COED是矩形 CE OD 点D的坐 x x x x x
:∵ ,∴ = 。∵ -4,2=-1;(4)1=-2,2=-8;(5)1=2,2=4;
标是 (1,3),∴ OD = 1 2 +3 2 = 10,∴ CE = 10。 (6) x 1=2, x 2=6;(7) x 1=5, x 2=10;(8) x 1=12, x 2=4;
2.解
:
连接AC
,
BD相交于点
(9)
x
1=-7,
x
2=1;(10)
x
1=-12,
x
2=2;(11)
x
1=
E 四边形ABCD 是菱形 x x x x x
,∵ , -10,2=9;(12)1=-12,2=4;(13)1=5,2=-2;
AE CE BE DE AC x x x x 2. x
∴ = , = , ⊥ (14)1=3,2=-2;(15)1=5,2=-1。 (1)1=
BD 点B在x轴上 点A的
坐标
,∵
为
(-4,1),
点C的
,
坐标为 -1,
x
2=-
1
3
;(2)
x
1=-1,
x
2=-
4
5
;(3)
x
1=3,
x
2=
(0,1),∴ AC =4, BE =1,∴ EC 2 ;(4) x 1= 2 , x 2= 1 ;(5) x 1=- 5 , x 2= 3 ;(6) x 1=
1AC BD BE 第2题图 3 3 2 2 2
= 点 2 E的 = 坐 2 标 , 为 =2 = 点 2, D的坐标为 - 7 2 , x 2= 1 2 ;(7) x 1=-1, x 2= 3 2 ;(8) x 1=2, x 2=
∴ (-2,1),∴ (-2,2)。
3.解 :(1)∵ 四边形OABC是矩形 ,∴ AB = OC =6,∠ A = - 4 。
90°,∴ OB = OA2 + AB2 = 8 2 +6 2 =10,∵ BD ⊥ OD , 13 3 一元二次方程的应用———增长率问题
.
∴ DB = OB2 - OD2 = 10 2 -6 2 =8,∴ 点B的坐标为 1.解 :(1) 设此期间五花肉价格月增长率为x , 由题意得
(8,6);(2)∵ OD =6, AB =6,∴ OD = AB , 在 Rt△ OBD和 30(1+ x )2 =36 . 3 .解得x 1=0 . 1=10%, x 2=-2 . 1( 舍
OB BO 去 答 此期间五花肉价格月增长率为 根据题
BOA中 = , OBD BOA )。 : 10%;(2)
Rt△ ,OD BA ∴Rt△ ≌Rt△ (HL),
= , 意 得 99 答 她买了 五花肉
OBD BOA OE BE 设OE BE x 则DE , =3(kg)。 : 3kg 。
∴∠ =∠ ,∴ = , = = , 30×(1+10%)
=8- x , 在 Rt△ ODE中 , 由勾股定理得 6 2 +(8- x )2 = 2.解 :(1) 设每次降价的百分率为x , 根据题意 , 得 :1000
x2, 解得x = 25 , 即BE = 25 ,∴ S △EOB= 1BE · OD = 1 ( 答 1- 每 x 次 )2 降 =8 价 10 的 , 百 解 分 得 率 : x 是 1=0 . 1=10%, x 2=1 . 9( 舍去 ),
4 4 2 2 : 10%;(2)1000×10%-[1000
元 答 第一次降价金额比第
O × 限 直 A 2 , 线 4 5 = ∴ B 5 B × P , 6 ( O - = 与 B 5 7 边 4 = , 5 - O 3 。 A 3 , ) 且 交 ; 4 ( 点 2 . 于 解 ) B 点 若 : P ( 在 过 1 , ) 点 第 依 ∵ B 三 题 四 象 的 意 边形OABC为长方形 , × 二 区 = 答 1 ( 次 游 1 6 这 . 降 客 - 9 两 1 , 价 人 0 解 个 金 数 % 月 得 额 的 ) 中 x - 多 月 1 8 该 = 1 平 1 0 景 0 0 均 ] . 区 元 = 3 增 1 游 = 。 0 长 3 客 ( 0 率 3 人 % 为 . ) 数 , 解 , x x 的 2 : , = ( : 月 1 由 - ) 平 题 设 2 均 意 . 这 3 增 , ( 两 得 负 长 个 1 率 值 0 月 ( 为 , 1 中 舍 + 该 去 x ) 景 )2 ;
: 30%;
可知1 × AB × AP = 1 × OA × (2) 设 5 月份后 10 天日均接待游客是y万人 , 由题意 , 得
2 5 . y . 解得y . 月份
1897+10 ≤169×(1+30%), ≤03,∴5
OC即 1 AP 1 后 天日均接待游客最多是 . 万人 4.解 设
, ×3× = ×5×3, 10 03 。 :(1)
2 5 第4题图 进馆人次的月平均增长率为x , 则第二个月有 128(1+ x )
28
A"# 3
人次的居民进馆学习
,
第三个月有
128(1+
x )2人次的居 x2
-12
x
+35=0,
解得x
1=5,
x
2=7。
又
∵
该品牌月饼的
民进馆学习 , 依题意得 :128+128(1+ x )+128(1+ x )2 = 售价不能超过进价的 200%,∴ x ≤3×200%=6,∴ x =
608,
整理得
:4
x2
+12
x
-7=0,
解得
:
x
1=0
.
5=50%,
x
2 5。
答
:
该品牌月饼定价为
5
元时
,
该超市每天的销售利
. 不合题意 舍去 答 进馆人次的月平均增长 润为 元
=-35( , )。 : 800 。
率为 该校图书馆能全部接纳第四个月的居民 16 一元二次方程的应用———动点问题
50%。(2) .
进馆人次 , 理由如下 :128×(1+50%)3 =432( 人次 )。 1.解 : 当运动时间为t s 时 (0≤ t ≤5), AP =2 t cm, PB =
该校图书馆能全部接纳第四个月的居民 t BQ t CQ t 根据题意得
∵432<500,∴ (10-2)cm, = cm, =(8- )cm。 10
进馆人次
。 1 t 1 t t 1 t
14 一元二次方程的应用———面积问题 ×8- ×8×2- ×(10-2)× - ×10×(8- )
x 1 5 - 1 . 2 m = . 解 x 。 5 : ) , 由 ( x 60 2 2 三 = - . 条 解 1 x 0 小 : ) 5 ( = 1 ( 路 4 不 ) 9 的 (1 合 5 2 宽 0 题 - 0 度 2 , 意 x 整 均 舍 ) 理 , 为 去 ( 得 6 x ) - x , m ∴ 2 2 x , - 修 根 ) 1 。 1 建 据 0 x ( 的 2 题 + ) 小 意 5 由 2 路 , 5 题 得 的 = 意 1 0 宽 0 得 , ( 度 解 1 ( 0 1 得 为 0 2 2 = 答 经 8 2 : c 过 8 当 m , t 2 整 运 2 。 s 理 动 时 得 到 2 t . , 2 2 解 点 s - : 时 8 P 设 t 2 , , + P △ Q 1 , D 2 Q P 间 = Q 两 0 的 点 的 , 距 解 从 面 得 离 出 积 t 是 发 是 1=2 2 , t 2=6( 舍去 )。
-2 x )(6-2 x )=40, 整理得x2 -9 x +8=0, 解得 : x 1=1, 10cm, 作PH ⊥ CD , 垂足为点H , 则
x 2=8( 不符合题意 , 舍去 ),∴ 剪去的正方形边长为 1dm。 PH = AD =6cm, PQ =10cm,∵ DH
3.解 :(1) 依据题意 , BC =32- x - x - x +4=(36-3 x )m, = PA =3 t cm, CQ =2 t ,∴ HQ = CD -
故答案为 x 根据题意得x x 即 DH CQ t 由勾股定
(36-3 );(2) (36-3 )=96, - =|16-5|cm,
-3 x2 +36 x -96=0, 化简得 ( x -4)( x -8)=0, 解得x 1 理 , 得 (16-5 t )2 +6 2 =10 2, 解得t 1=
x 当x 时 x x .t . 答PQ两点从出发经
=4,2=8,∵ =4 ,36-3 =36-12=24>14,∴ 48,2=16。 :,
=4( 舍去 ),∴ x =8;(3) 设面积为W , 即W = x (36-3 x ), 过 1 . 6s 或 4 . 8s 时 , 点P , Q间的距离
0 A
当
B ,
Δ
W
C = D
=
b2
1
的
2
-
0
面 4
a
时
积
c
=
,
不
x
1
(
可 4
3
4
6
以
-
- 为
3
1
x
6 1 0 2
)
0
=
=
1
m -
2
2
0
1 。 6
, 化
< 4 0
简
. ,
得
解
方
x
:
程
(
2
1
无
-
) 设
1
解
2 x
A , B
故
+4
苗
的
0=
圃
长
是
1 2 t
1
(
0
8-
cm
2 t
。
), S
3
△A
.
BC
解
=
:
1 2
(1
×
)
4
∵
×
S
8
△P
=
CQ
16
=
, 第2题图
4 为 00 x , 解 m, 得 则 x B 1 C =1 的 0 长 , x 为 2= (5 4 0 0 - , 即 x ) A m B , 由 的 题 长 意 为 得 10 x m (50 或 - 4 x 0 ) m = ; ∴ 1 2 t (8-2 t )=16× 1 4 , 整理得t2 -4 t +4=0, 解得t =
(2) 花园的面积不能为 625m 2, 理由如下 : 设AB的长为 2。 答 : 当t =2s 时 ,△ PCQ的面积为 △ ABC面积的1 ;
x 则BC的长为 x 由题意得x x 4
m, (50- )m, (50- )=625,
解得x 1= x 2=25, 当x =25 时 , BC =50- x =50-25= (2) 不能 , 理由如下 : 当S △PCQ= 1S △ABC 时 , 1t (8-2 t )=
AB 时 BC 花园的面积不 2 2
2 1 1 3 能 销 5 5 3 . 0 ( , . 为 售 1 ∵ , 一 ) 解 6 利 3 2 2 元 得 5 润 ;3 二 = : m 每 x 2 2 2 0 次 1 天 5 。 ; = 方 ( 达 m 1 2 程 , 到 ) x 由 的 2 , = 题 应 5 用 意 , = 元 ∵ 2 — 得 5 — 让 且 — : m 顾 让 ( 利 4 < 0 客 顾 润 3 - 得 0 客 问 x 到 m 得 题 - , 实 到 2 ∴ 4 惠 实 ) , 惠 (2 ∴ 0 x 每 + = 千 2 5 x 克 , ) 答 = 应 : 1 1 △ 间 6 6 A < × 为 B 0 t 1 2 C , (0 ∴ , 面 < 整 此 t 积 理 < 方 的 4 得 程 一 ) t s 没 2 半 时 - 有 。 4 , C t 实 P + 4 数 8 = . = 根 解 (6 0 , : - , ∴ ( Δ t 1 = ) △ ) c 8 P m ( ÷ C - , 2 C Q 4 = Q )2 4 的 = - (s 面 ( 4 8 ) 积 × 。 - 1 2 不 当 t × ) 可 运 c 8 m 能 = 动 , - 是 时 依
降价 5 元 。 2.解 : 3 ( 3 1 0 ) 设 , 每个背包的售价为x , 元 , 则月 题意 , 得1 2 (6- t )(8-2 t )=8, 整理 , 得t2 -10 t +16=0,
均销量为 x 280- x - 依 2 4 题 0 × 意 2 得 0= x (680-10 x ) 个 x 。 故答案为 解 △ P 得 C t Q 1= 的 2 面 , t 积 2= 为 8 8 c ( m 不 2 合 。( 题 2) 意 当 , 运 舍 动 去 时 )。 间 答 为 : t 2 (0 s < 后 t , < 可 4 使 )s
( 整 销 68 理 量 0- 得 最 1 x 大 0 2 - 则 ) 9 。 8 x (2 + 舍 ) 2 去 352 答 =0 ( 当 , 解 该 - 得 3 这 0 x ) 种 1 (6 = 书 8 4 0 包 2 - , 销 x 10 2 售 = ) 单 5 = 6 价 3 。 为 1 欲 20 使 , 时 , CP =(6- t )cm, CQ =(8-2 t )cm, 依题意 , 得1 2 (6- t )
元时 销售
,
利
5
润
6
是
。
元
:
且销量最大 3.解 设
4
月
2
(8-2
t
)=1,
整理
,
得t2
-10
t
+23=0,
解得t
1=5-2,
t
2=
销售量 , y与销售单 3 价 12 x 0 之间的函数关 。 系 式为y :(1) kx 5+2( 不合题意 , 舍去 ); 当运动时间为t (4< t <6)s 时 , CP
= +
b ( k ≠0), 将 (28,60),(32,40) 代入y = kx + b得 =(6- t )cm, CQ =(2 t -8)cm, 依题意 , 得1 (6- t )(2 t -8)
k b k 2
28
k
+
b
=60,解得
b
=-5,
∴
月销售量y与销售单价x
=1,
整理
,
得t2
-10
t
+25=0,
解得t
3=
t
4=5。
答
:
当运
( 之 x 32 间 -2 的 + 5) 函 ( = - 数 4 5 0 x 关 , + 系 20 式 0 ) 为 = = y 7 2 0 0 = 0 , 整 , - 理 5 x 得 + x 2 2 0 - 0 6 。 5 x (2 + ) 1 依 01 题 4 意 =0 得 , 1 动 7 . 时 基 间 本 为 相 (5 似 - 三 2 角 )s 形 或 的 5 证 s 明 时 ,△ PCQ的面积等于 1cm 2。
0 解 销 . 1 得 售 × x 单 1 1 0 价 = = 2 应 6 5 是 , 0 x 0 2 2 - 6 = 1 3 万 9 ÷ 元 ( 0 不 / . 1 台 符 × 。 合 10 题 4 = 意 . 5 解 , 0 舍 0 :( 去 - 1 1 ) ) 5 0 。 0 0 0 答 - = : 4 ( 该 5 00 - 设 ( 4 备 个 ) ) 的 ÷ 。 1 = . 2 证 , 明 ∴A A : E 在 B △ = A A A B D C C 。 和 又 △ ∵ AE ∠ D A = 中 ∠ ,∵ A A A , E B ∴ = △ A 8 4 B = C 2 ∽ ,A A △ D C A = ED 6 3 。
答 该品牌月饼每个售价为 元时 每天出售 个
: 5 , 400 ; 2.证明 BAC 点M是BC的中点 AM
设该品牌月饼定价为x元 则每个月饼的销售利润为 :∵∠ =90°, ,∴ =
(2) , CM C CAM DA AM DAM
x 元 每天可售出 x . ,∴∠ =∠ 。∵ ⊥ ,∴∠ =90°,
(-3) , 500-(-4)÷01×10=(900- DAB CAM DAB C D D
x个 依题意得x x 整理得 ∴∠ =∠ ,∴∠ =∠ 。∵∠ =∠ ,
100 ) , (-3)·(900-100 )=800, DBA DAC 3.证明 AB ACD是BC的
∴△ ∽△ 。 :∵ = ,
29
3A"#
中点 AD BC ADC FAE C
BE
,∴
AC
⊥ ,
B
∴
EC
∠ =90°,
E
∴
A
∠
F
+
AF
∠
E
=90°。 AE2
-
AF2
=65,∴
DN
=
3
;(3)
解
:∵∠
B
=∠
AFE
∵ ⊥ ,∴∠ =90°,∴∠ +∠ =90°, 2
∴∠ AFE =∠ C 。∵∠ AFE =∠ BFD ,∠ FAE +∠ AFE =∠ BAD =90°,∴∠ BAM +∠ EAF =∠ EAF +∠ E =
=90 A ° F , E ∠ BFD BC + E ∠ DB 4 F .证 = 明 90°,∴∠ F A A B E D = ∠ C A B C E E , 90°,∴∠ BAM =∠ E ,∴△ ABM ∽△ EDN ,∴D A E B =D B N M ,
∴△ ∽△ 。 :(1)∵△ ∽△ ,
∴∠ BAD =∠ CAE 。∵∠ BAD +∠ BAE =∠ BAE + 即12 =D 5 N,∴ DN = 5 。
CAE DAE BAC ABD ACE 1 12
∠ ,∴∠ = ∠ ;(2)∵△ ∽ △ , 19 利用相似证明比例式和等积式
AD AB AD AE .
∴AE =AC,∴AB =AC。 而 ∠ DAE = ∠ BAC , 1.证明 :∵ 四边形ABCD为平行四边形 ,∴ AB = CD , AD
∴△ DAE ∽△ BAC 。 5.证明 :(1)∵ AF ⊥ BC , CE ⊥ = BC ,∠ B =∠ D , BE ∥ CD ,∴∠ E =∠ ECD ,∴△ DCF
AB ,∴∠ AFB =∠ CEB =90°。∵∠ B =∠ B ,∴△ BAF ∽ ∽△ BEC ,∴B D E C =B D C F 。 又 ∵ AB = CD , AD = BC ,∴B A E B
BF BA BF
△ BCE ;(2)∵△ BAF ∽△ BCE ,∴BE=BC,∴BA= DF 2.证明 AD是 ABC的平分线 BAD
=AD。 :∵ △ ,∴∠
BE
BC。∵∠ B =∠ B ,∴△ BEF ∽△ BCA 。 6.证明 : =∠ CAD ,∵ EF是AD 的垂直平分线 ,∴ AE = DE ,
(1)∵∠ ABC =∠ DBE ,∴∠1=∠2, 又 ∵∠3=∠4。 ∴∠ EAD =∠ EDA ,∵∠ EAC =∠ EAD -∠ CAD ,∠ B
ABD CBE ABD CBE AB BD =∠ ADE - ∠ BAD ,∴ ∠ CAE = ∠ B ,∴ △ BAE ∽
∴
A
△
B BC
∽△ ;(2)∵△ ∽△ ,∴BC=BE,
△
ACE
,∴C
A
E
E
=A
B
E
E
,∴
AE2
=
CE
·
BE
。
3.证明
:∵
在
又 ABC DBE ABC DBE
∴BD=BE。 ∵∠ =∠ ,∴△ ∽△ 。 ABC中 BAC AB AC B C 1
18 基本相似三角形的计算 Rt△ ,∠ =90°, = ,∴∠ =∠ =
. 2
1.解 :∵△ ABC ∽△ ACD , AD =2, BD =3,∴∠ ACD = ×(180°-∠ BAC )=45°。∵∠ DAE =45°,∴∠ ADE =
B AB AC 即5 AC 解得AC CD平分 ∠ B +∠ BAD =45°+∠ BAD ,∠ EAB =∠ DAE +∠ BAD
∠ ,AC=AD, AC= , , = 10,∵ BAD ADC EAB B C
2 =45°+∠ ,∴∠ =∠ 。∵∠ =∠ ,
ACB ACD BCD BCD B DC AB BE
B
∠
D
,∴∠
2.解
=
由
∠
题意可
,∴
知
∠
CD
=
AE
∠
C
,
D
∴
AB
=
∴△
ADC
∽△
EAB
,∴CD=AC。∵
AB
=
AC
,∴
AB2
=
=3。 : : ∥ , = ,
BE EF BF BE BE CD 4.证明 四边形
CDF BEF 1 EF · 。 :(1)∵
∴△ ∽△ ,∴CD=DF=CF。∵AB= , ABCD 是正方形 BC CD 且
3 ,∴ = ,
. BCE DCE 又 CE是公共边
=2, BF =1 . 5,∴D 2 F= 1 3 ,BC 1 - 5 1 . 5 = 1 3 ,∴ D A F E =6 A , B D C ∠ ∴△ BE = C ∠ ≌ △ DE , C , ∵ ∴∠ BEC = ,
3. 证明 AE AB AD AC DEC CE CD DEC
=6。 (1) :∵ · = · ,∴AC=AB。 ∠ 。∵ = ,∴∠ =
EDC BEC DEC BEC
∵∠
A
=∠
A
,∴△
ADE
∽△
ABC
,∴∠
B
=∠
ADE
;
∠
A
。
EF
∵∠
E
=
D
∠
C
,∠
AEF
第4题图
解 AE BE AB ADE = ∠ , ∴∠ = ∠ 。
(2) :∵ =2, =4,∴ =6。∵△ ∽ AEF FED EDC ECD FED
△ ABC ,∴A A B D =B D C E , 即 2 3 +4 = 3 BC . 5 , 解得BC =7。 ∵ ∠ E ∠ CD ;(2 + ) 连 ∠ 接BD = 。 ∠ ∵ 四边 + 形 ∠ ABCD ,∴ 是 ∠ 正方形 = ,
4. (1) 证明 :∵ 在 ▱ ABCD中 , AB ∥ CD , AD ∥ BC ,∴∠ B ∴∠ ECD = 1 ∠ BCD =45°,∠ ADB = 1 ∠ ADC =45°,
DCE ADF CED B AFE 2 2
+∠ =180°,∠ =∠ 。∵∠ =∠ , ECD ADB FED ADB 又 BFD是
AFD AFE AFD DCE ADF ∴∠ =∠ 。∴∠ =∠ 。 ∵∠
∠
∽△
DE + C
;
∠
(2)
解
:
=
∵
1 四 80 边 °, 形 ∴ A ∠ BCD为 = 平 ∠ 行四边 ,∴ 形 △
,∴
CD 公共角
,∴△
FDE
∽△
FBD
,∴D
E
F
F
=B
D
F
F
,
即DF2
=
EF
·
AF AD
ABAD BC ADF DEC 即 BF 5.证明 四边形ABCD是正方形 ABC
= , ∥ 。∵△ ∽△ ,∴CD=DE, 。 :(1)∵ ,∴∠
EF AC FEC ABC 又
=90°。∵ ⊥ ,∴∠ =90°= ∠ 。
43
=
6
DE
3
,∴
DE
=12。∵
在
Rt△
ADE中
,
AE2
=
DE2
FCE ACB CEF CBA
CF CA
又
8 ∵∠ =∠ ,∴△ ∽△ ,∴CE=CB。
-
AD2,∴ AE
=6,∴∠
ADE
=30°。
5.
(1)
证明
:∵
四边
ACF BCE CAF CBE CAF
形ABCD是正方形 AB AD B AD BC ∵∠ =∠ ,∴△ ∽△ ;(2)∵△ ∽
,∴ = ,∠ =90°, ∥ , CBE CAF CBE AF平 分 BAC
AMB EAF 又 EF AM AFE △ ,∴∠ = ∠ 。 ∵ ∠ ,
∴∠ =∠ 。 ∵ ⊥ ,∴∠ =90°, BAF CAF BAF CBE BAF
B AFE ABM EFA 解 B ∴∠ = ∠ ,∴∠ = ∠ ,∴∠ +
∴∠ =∠ ,∴△ ∽△ ;(2) :∵∠ = AFB CBE AFB 即 ABF BGA
90°, AB =12, BM =6,∴ AM = 12 2 +6 2 =65, AD = ∠ =∠ +∠ =90°, ∠ A = B ∠ AF =90°。
F 是AM 的 中 点 AF 1AM ∵∠
BAG
=∠
BAF
,∴△
ABF
∽△
AGB
,∴AG=AB,∴
AB2
12。∵ ,∴ = 2 =35。
=
AG
·
AF
。∵
在正方形ABCD中
,
AC2
=2
AB2,∴ AC2
=
∵△ ABM ∽△ EFA ,∴ B AF M = A AE M , 即 6 = 6 AE 5 ,∴ AE = 2 2 A 0 G · 利 A 用 F 相 。 似证明线段相等
35 .
15,∴ DE = AE - AD =3。∵∠ EDN =∠ EFA =90°,∠ E 1.证明 :∵ DE ∥ BC ,∴△ ADE ∽△ ABC ,△ ADM ∽
DE DN
E AEF NED EF DM AM ME
=∠ ,∴ △ ∽ △ ,∴EF=AF。∵ = △ ABN ,△ AME ∽△ ANC ,∴BN=AN=CN。∵ DM
30
A"# 3
EM BN CN 2.证明 四边形ABCD是正方 BCF EAM BAG BAG BCF
= ,∴ = 。 :∵ = ∠ 。∵∠ = ∠ ,∴∠ = ∠ 。
形 AB CDAD BCAB AD CEF BEA AGB CGF ABG CFG
,∴ ∥ , ∥ , = ,∴△ ∽△ , ∵∠ =∠ ,∴△ ∽△ 。
CF EFFN EF FN CF
EFN EAD
△ ∽△ ,∴AB=AE,AD=AE,∴AD=AB,
CF FN 3.证明 延长FE交AB于点H 四边
∴ = 。 : ,∵
形ABCD与四边形CEFG是正方形 AB BCEF
,∴ = , =
FGAB CD FGFE CD FH AB 四边形
, ∥ ∥ , ⊥ ,∴ ⊥ ,∴
BGFH 是 矩 形 FH BG
,∴ = 。
AB CD FG FMN
∵ ∥ ∥ ,∴△ ∽
MN
FBA BCM BGF
△ ,△ ∽△ ,∴AB 第3题图 第4题图
EF CM BC MN FG
=FH,FG=BG,∴BC=BG, 第3题图 4.证明 :(1)∵ AD ∥ BC , DE ∥ AB ,∴ 四边形ABED是平
FG
CM FG MN CM 行四边形 FG AD CFG CAD
BC=BG,∴BC=BC,∴ MN = 。∵ ∥ ,∴△ ∽△ ,∴AD=
C 于 M 点 。 P 4.证 BD 明 : 延 AC 长D A B B , EC EC 交 C C A F 。 同理 :A F B E =C C A F ,∴A F D G =A E B F 。∵ FG = EF ,∴ AD =
,∵ ∥ , ∥ , AB 四边形ABED是菱形 连接BD 与AE交于
四边形ABPC为平行四边形 ,∴ 。(2) ,
∴ 。 点H 如图所示 四边形ABED是菱形 EH
AB AC ABPC是菱形 , 。∵ ,∴ =
∵ = ,∴▱ ,
AB BP PC CA BD 1AEBD AE DHE 同理 AFE
∴ = = = 。∵ ∥ , ⊥ ,∴∠ =90°。 ∠ =90°,
AC 2
AC EAC EDP DHE AFE 又 AED是公共角 DHE
,∴△ ∽△ ,∴DP= ∴∠ =∠ 。 ∵∠ ,∴△
EH DE
EC
同理
NC EC AC
∽△
AFE
,∴EF=AE,∴
1AE2
=
EF
·
ED
。
EP。 :BP=EP,∴DP= 2
22 相似三角形与坐标系
B N P C 。∵ 四边形ABPC是平行四 1.解 . : 存在这样的点P 。 理由如下 :∵∠ AOB =90°, OA =
边形 ,∴∠ BAC =∠ P 。∵ AC ∥ 第4题图 8, OB =6,∴ AB =10。∵ C是线段AB的中点 ,∴ AC =
DP ACD CDP AMC PCD MA 5。① 如果点P与点B对应 , 那么 △ PAC ∽△ BAO ,∴ PA
,∴∠ =∠ ,∴△ ∽△ ,∴CA=
BA AC AO AP 25 OP OA AP 7
CP AC CP MA NC AC BP AM ∶ = ∶ ,∴ = 4 ,∴ = - = 4 ,
DP。∵ = ,∴CA=BP。∵ = ,∴ = P 7 如果点P与点O对应 那么 PAC
CN 。 ∴ 4 ,0 。② , △ ∽
21 相似三角形与四边形 △ OAB ,∴ PA ∶ OA = AC ∶ AB ,∴ PA =4,∴ OP = OA -
1 ∴ . ( . ∠ 1 C ) E 证 B 明 = :∵ ∠ A 四 B 边 E 形 , 又 AB ∵ C ∠ D E 是 AB 平 = 行四 ∠ E 边 B 形 C , ,∴ ∴ A △ B A ∥ B C E D ∽ , A 下 线 P : 段 = ∵ A 4 ∠ B , A ∴ 的 O P B 中 (4 = 点 , 9 0 0° )。 , B O C A 2 = . 8 解 , O : B A 存 B = 在 O 6 这 是 ,∴ 样 公 A 的 共 B 角 点 =1 P 0 。 。 如 理 ∵ C 图 由如 是
BEC 解 ABE BEC AB EB AB ,∴ =5,∠ 。① 1,
△ 。(2) :∵△ ∽△ ,∴EB=EC,∴ 若 PBC OBA 则需PB OB BC BA 即 PB
· CE = BE2 =2 2 =4。 2.解 :∵ 四边形ABCD是正方 △ ∽△ , ∶ = ∶ , 6 =
形 ,∴ AB = AD ,∠ B =90°, AD ∥ BC ,∴∠ AEB = 5 , 解得PB =3,∴ 点P的坐标为 (0,3)。② 如图 2, 若
FAN FN AE AFN B AFN 10
∠ 。∵ ⊥ ,∴∠ =90°,∴∠ =∠ , PB
ABE NFA BE AE 在 ABE中 AE △ PBC ∽△ ABO ,∴ PB ∶ AB = BC ∶ OB , 即 = 5 , 解
∴△ ∽△ ,∴AF=AN。 Rt△ , = 10 6
AB2 + BE2 = 12 2 +5 2 =13。∵ F是AE 的中点 , 得PB = 2 3 5 ,∴ OP = PB - OB = 7 3 ,∴ 点P的坐标为
AF 1AE . 5 13 AN . AB 7 P 或 7
∴ = =65,∴ .=AN,∴ =169。∵ 0,- 。∴ (0,3) 0,- 。
2 65 3 3
AD DN AN AD . 3.证明 在
= =12,∴ = - =49。 :(1)∵
正方形ABCD中 在等腰直角三角形EDF中 ADC
, ,∴∠
EDF AD CDDE DF ADE ADF
=∠ =90°, = , = ,∴∠ +∠
ADF CDF ADE CDF 在 ADE和
=∠ +∠ ,∴∠ =∠ 。 △
DE DF
= ,
CDF 中 ADE CDF ADE CDF
△ , ∠ =∠ ,∴ △ ≌ △
DA DC
= ,
延长BA 交ED 于点M ADE
(SAS);(2) , 。∵△ ≌
CDF EAD FCD 即 EAM MAD
△ ,∴∠ = ∠ , ∠ + ∠ =
BCD BCF MAD BCD EAM
∠ +∠ 。∵∠ =∠ =90°,∴∠
31
3A"#
3.解 点B的坐标为 OA AB OB tPA t则DF tCP
:∵ (4,2),∴ =4, =2, = , =2, =3- , =6
4 2 +2 2 =25, OP =5。 如图 , 当 △ OPC ∽△ OBA时 , -2 t ,0< t <3,∵∠ C =∠ FDE ,
B P A C =O O A C =O O B P = 1 , 即 PC = OC = 1 ,∴ PC =1, OC = ∴ 当 D C F F =D C E P 时 ,△ CFP ∽
2 2 4 2
2,∴ C 1(2,0); 当 △ BPC ∽△ BOA时 ,O P B B =B B A C =O P A C , 即 △ DFE , 即 3 t - t= 6- 2 2 t , 整理得
1 BC PC 解得BC PC AC t2 -7 t +9=0, 解 得t 1 = 第3题图
= = , =1, =2,∴ =1-1=1,
2 2 4 7- 13t 7+ 13 舍去
OP OC ,2= ( );
∴ OC C 2( 解 4, 得 1 O ); C 当 △ O . PC C ∽△ O . AB时 , 综 OA 上所 =O 述 B 点 , 即 C 4 5 坐 = 标 当 D C 2 E F =D C F P 时 ,△ C 2 FP ∽△ DEF , 即 t 2 = 6 3 - - 2 t t , 解得t 1
2
为
5 ,
或
=2
或
5,∴
.
3(25,0
4
)。
.解 点
,
A
=4( 舍去 ), t 2=3( 舍去 ), 综上所述 , t的值为7-
2
13 。
(2,0) (4,1) (25,0)。 :(1)∵ (-3, 4.解 在矩形ABCD中 AB BC
0), C (1,0),∴ AC =4, 则BC =A B C C × AC = 3 ×4=3,∴ B ∴ AC = : 1 ( 0 1 c ) m, AP =2 t cm, PC , = ∵ (10- = 2 6 t c )c m m , , CQ = = 8 t c c m m , 。
点 点D 坐 , 标 在 为 R ( t 1 △ ,3 A ) B 。 C (2 和 ) 如 Rt 图 △ , A 过 D 点 B B 中 作 ,∵ BD ∠ B ⊥ 4 A A C B = , 交 ∠ x DA 轴 B 于 , 过 ∠ A P 点 B H P C 作 = P P 9 C 0 H °, ⊥ ∠ B A C CB , 垂 = 足 ∠ 为 PC 点 H H , , ∴ 如 △ 图 PC 1 H ,∵ ∽ ∠ P △ H AC C B = ,
∴Rt△ ABC ∽Rt△ ADB ,∴ 点D为所求 。 又 C B D C =B A C C = ∴AB=AC, 则PH = 3 5 (10-2 t )cm。 根据题意 , 得
1t 3 t . 解得t t 答t的值为
4
,∴
CD
=3÷
4
=
9
,∴
OD
=
OC
+
CD
=
13
,∴
D
2
·
5
(10-2)=36, 1=2,2=3。 :
3 3 4 4 2 或 3 时 ,△ CQP的面积等于 3 . 6cm 2。(2) 如图 1, 当
13 PQC 时 PQ BC AB BC PQC
4
,0 。 ∠ =9
P
0
C
°
C
,
Q
⊥ ,∵ ⊥ ,∴△ ∽
ABC AB BC QC tPC
△ ,∴AC=BC,∵ =6, =8, = , =10-
t t
t则10-2 解得t 40 如图 当 CPQ
2, = , = ; 2, ∠ =90°
10 8 13
时 PQ AC ACB QCP B QPC
, ⊥ ,∵∠ = ∠ ,∠ = ∠ ,
CP CQ t t
CPQ CBA 即10-2 解得t
∴△ ∽△ ,∴BC=AC, = , =
8 10
25 综上所述t为40或25时 CPQ与 CAB相似
第3题图 第4题图 7 。 , 13 7 ,△ △ 。
23 相似三角形中的动态问题
.
1.解 设经过t 后 PBQ ABC 根据已知条件可
:① s △ ∽△ ,
PB BQ
得AP tBQ t PBQ ABC
: = , =2。∵△ ∽△ ,∴AB=BC,
t t
4- 2 t 设经过t 后 PBQ CBA
∴ = ,∴ =2。② s △ ∽△ ,
4 8
PB BQ t t
∵ 故 △ A △ 经 B P 过 C B 0 Q 相 . ∽ 8 似 △ s 。 C 或 B 2 A 2 . , 解 s ∴ : C 后 ∵ B A , = 点 O B = P A 6 , , B c ∴ m , 4 Q , B 8 - O 构 = = 成 8 2 4 的 c , m 三 ∴ , t ∴ 角 = A 0 形 B . 8 与 = 。 2 1 ∠ 4 . A . 解 C 利 : B 根 用 , 据 ∴ 相 题 似 △ E 三 意 C 角 D 可 形 得 ∽ 解 ∠ △ 决 E A D 投 C C B 影 = , 与 ∴ ∠ 视 A A E 图 B B D C 中 = 的 = C C 9 问 B D 0° 题 , ,∠ 即 E E C D . D = =
1c A m O /s 2 + , 点 BO Q 2 的 = 速度 6 2 是 + 1 8 2 cm = / 1 s 0 ,∴ c A m Q 。 = ∵ t c 点 m P , AP 的 = 速 (1 度 0 是 - 12 . 6 2 + . 1 2 . 1 ,∴ ED =11 . 9(m)。 答 : 灯杆ED的高为 11 1 . 9 7 m。
t APQ是直角时 APQ AOB
AP 2.解
:
如图
,
过点C作旗杆的垂线CD
,
垂足为点D
,
由题
)cm。①∠ ,△ ∽△ ,∴AO= AD .
意 得 96 解得AD 所以旗杆的高度为
AQ 即10- t t 解得t 25 舍去 AQP是 , 1 = 1 . 6 , =6, 6+2=
AB, = , = >6, 。②∠ 答 学校旗杆的高度是
6 10 4 8(m)。 : 8m。
AQ AP t t
直角时 AQP AOB 即 10- 解
,△ ∽△ ,∴AO=AB, = ,
6 10
得t 15 综上所述t 15时 APQ与 AOB相似
= 。 ,= ,△ △ 。
4 4
3.解 作EH AC 垂足为H 如图 C DE
:(1) ⊥ , , ,∵∠ =90°,
AC 四边形CDEH为矩形 CH DE EH
∥ ,∴ ,∴ = =2, =
CD
=3。
在
Rt△
AEH中
,
AH
=
AE2
-
EH2
=
5 2 -3 3 =4,∴ AC = CH + AH =2+4=6;(2) 设CF = 第2题图 第3题图
32
A"# 3
3.解 如图 过A作AH 垂直ED 垂足为点H 交线段 或
FC于
:
点G
,
由题知 FG EH
,
AFG
,
AEH
-2) (-1-3,1-3)。
, , ∥ ,∴△ ∽△ ,
FG AG
又因为AG BC HG CD GC
∴EH=AH。 = =1, = =5, =
.
HD AB . 1 15 解得HE 则ED DH
= =15,∴ =HE, =9, =
6
HE . . 答 树ED的高为 .
+ =15+9=105(m)。 : 105m。
4.解 根据题意 得 EDC EBA FHG FBA
: , △ ∽△ ,△ ∽△ ,
DC EC GH FG FG EC
DC HG
∴BA=EA,AB=AF,∵ = ,∴AF=EA,
∴ . 1 . 8 CA= . 1 . 2 AC,∴ CA =40(m),∴A 2 B= 3.解 :(1)∵ 一次函数y = x + 4 的图象经过点A ( n ,1), 点
18+20+ 12+ B m 两点 n m n m
. (-1,) ,∴ +4=1,-1+4= ,∴ =-3, =
. 12 ,∴ AB ≈68 . 7m。 答 : 塔的高度AB约为 68 . 7m。 A B 反比例函数y k 的图
12+40 3。∴ (-3,1),(-1,3)。∵ =x
5.解 设 MN x ACB MCN ABC
: = m。∵∠ =∠ ,∠ = k
MNC ACB MCN AB BC 1 . 5 象经过点A ,∴-3= ,∴ k =-3,∴ 反比例函数的解析
∠ =90°,∴△ ∽△ ,∴MN=CN,∴ x 1
式为y -3 过点A作AD OC垂足为点D 过点B
3 CN x EF NM DFE DNM =x;(2) ⊥ , ,
=CN,∴ =2 ,∵ ∥ ,∴△ ∽△ ,
作BE OC垂足为点E 如图 则AD BE 令x
EF DF ⊥ , , 1, =3, =1,
∴MN=DN,∴x 2 = 6 x, 解得x =64。 经检验x =0, 则y =4,∴ C (0,4),∴ OC =4,∴ S △OAB= S △OAC-
58+6+2
=64 是分式方程的解 。 答 : 大雁塔的高度MN为 64m。 S △OBC= 1 × OC · AD - 1 × OC · BE = 1 ×4×3- 1
25 反比例函数与一次函数的综合问题 2 2 2 2
.
1.解 将A m 代入y ×4×1=6-2=4;
:(1) ( ,2) =
4 x 得 m 则A点坐标
x(>0) ,=2,
为A 将A 代入y
(2,2), (2,2) =
kx k得 k k 解得k
- ,2 - =2, =2,
则一次函数解析式为y x
一次函数y x =2 的 -2 图 。 第1题图
(2)∵ =2 -2
象与x轴的交点为C 与y轴的交点为B
(1,0), (0,-2),
S △ABP= S △ACP+ S △BPC,∴ 1 ×2 CP + 1 ×2 CP =4, 解得
2 2
CP
=2,
则P点坐标为
(3,0),(-1,0)。
2.
(1)
解
:∵
反 图
1
图
2
比例函数y
=x
2的图象与一次函数y
=
kx
+
b的图象交
(3)
作出点B关于x轴的对称点B'
,
则B'
(-1,-3),
连
接AB'交x轴于点P 如图 由将军饮马问题模型可
于点AB 点AB的横坐标分别为 A B , , 2,
,, , 1,-2;∴ (1,2), 知 此时PA PB的值最小 设直线PB'的解析式为y
把 A B 的坐标代入y kx b得 : + 。
(-2,-1); , = + a b a
k b k ax b -3+ =1,解得 =-2, 直线PB'的
+ =2, 解得 =1, 一次函数的解析式为y = + ,∴ a b b ∴
k b b ∴ = - + =-3, =-5,
-2+ =-1, =1, 解析式为y x 令y 则 x x
x 一次函数为y x D A =-2 -5, =0, -2 -5=0,∴ =
+1。(2)∵ = +1;∴ (-1,0);∵ (1, 5 P 5 使PA PB的值最小 满足条
2),∴ S △ODA= 1 ×2×1=1;∴ S △BDP= 1S △ODA= 1 , 设 - 2 ,∴ - 2 ,0 ,∴ + ,
2 2 2 件的点P的坐标为 5 4.解 将A 代
点P的坐标为 x ,x 2 , x <0;∴ ON =- x , PN =-x 2 ; - 2 ,0 。 :(1) (2,3)
m m
当P在直线下方时 , 如图 1, 则 ; S △BDP= S梯形BMNP+ S △PDN 入双曲线y =x 得 ,3=
2
,∴ m =6,∴ 双曲线的解析式
- S △BDM= 1 2 1-x 2 (2+ x )+ 1 2 (- x -1) -x 2 - 为y =x 6 , 将y =1 代入y =x 6得 ,1=x 6 ,∴ x =6,∴ B
1 (2-1)×1= 1 ; 解得x =-2;∴ 点P (- 2,- 2)。 (6,1), 将 A (2,3)、 B (6,1) 代入y = kx + b得 ,
2 2
当P在直线AB的上方时 , 如图 2, 则 ; S △BDP= S梯形BMNP+ 2 k
k
+ b
b
=3,解得 k =- 1
2
,
∴
直线解析式为y
=-
1x
S △BDM- S △PDN= 1 1-x 2 (- x -2)+ 1 (2-1)×1 6+ =1, b =4, 2
- 1 (- x -1) - 2 x 2 = 1 ; 解得x =-1 2 - 3;∴ 点P +4;(2) 如图 , 由y =- 1 2 x +4 可知C (0,4),∵ S △ABD=
2 2
综上可得 点P的坐标为 S △CBD- S △CAD=12,∴ 1 · CD ·(6-2)=12,∴ CD =6,
(-1- 3,1- 3); : (- 2, 2
33
3A"#
m 四边形ABCD是正方形 AB BC CD AD
n的值为 或 由kx b 可得kx b ∵ ,∴ = = = ,
∴ 10 -2;(3) + -x>0 + > ADC BCD ADE BCF OE
∠ =∠ =90°,∴∠ =∠ =90°。∵
m m
根据函数图象可知 关于x的不等式kx b OF EOF OEF OFE FE
x, , + -x>0 = =52,∠ =90°,∴∠ =∠ =45°,
的解集为 :2< x <6。 =10,∴ CD = DE = CF = 10 。
3
第4题图
26 反比例函数与四边形
.
1.解 :(1)∵ 点A ( m ,-4) 是正比例函数y = 4x上的点 , (2) 如图 2, 作DG ⊥ OE , 垂足为点G 。∵ 四边形ABCD是
3 矩形 AD BC AD DEBC CF 且 CD AD
则有 4m m A A ,∴ = 。∵ = , = , 2 = ,
-4= ,∴ =-3,∴ (-3,-4)。∵ (-3, CD DE CF DE CD FC EF DE
3 ∴2 = = 。∵ + + = ,∴ =
k
-4) 是反比例函数图象上的点 ,∴-4= -3 ,∴ k =12。 2 5 EF =4。 在 Rt△ ADE中 , DG = EG = CG = 2 2DE =
反比例函数解析式为y 12 四边形OABC是菱 OG OE EG D
∴ =x;(2) 22,∴ = - =52-22=32,∴ (22,
k
形 。 证明 :∵ A (-3,-4),∴ OA = 3 2 +4 2 =5, 由题意 32)。∵ 反比例函数y =x( x >0) 图象经过点D ,∴ k =
知CB OA且CB CB OA 四边形OABC是
: ∥ =5,∴ = ,∴ 12。
平行四边形 C n在y 12上 n C 27.反比例函数中k的几何意义
,∵ (4,) =x ,∴ =3,∴ (4,3),
O C 2 = .解 : 4 ( 2 1 + ) 在 3 2 y = = 5 k , x ∴ + OC 2 = 中 O , A 令 , x ∴ = 四 0 边 得 形 y O = A 2 B , C ∴ 是 点 菱 D 形 的 。 1 1 . O 解 B :( · 1 A ) B ∵ = A ( 1 - × 2 2 , m × ) m , = ∴ 2 OB ,∴ = m 2 = , A 2 B ,∴ = 点 m A ,∴ 的 S 坐 △AO 标 B= 为
坐标为 AP OD CDO CPA 2 2
∠ COD =
(0
∠
,
C
2
A
)
P
;(
,
2
∴
)
R
∵
t△ PA
∥
C ∽R
,
t
∴
△ D
∠
OC ,∵
=
O O A C
∠
= 1
,
, (-2,2)。
把A
(-2,2)
代入y
=x
k
,
得
2= -
k
2 ,∴
k
=-4;
即 A O C C = 1 ,∴A O P D =A O C C = 1 ,∴ AP =6, 又 ∵ BD =6 2 -2 (2)∵ 当x =1 时 , y =-4; 当x =3 时 , y =- 4 3 ,∴ 当 1≤
3 3 x 时y的取值范围为 y 4 2.解 设
=4,∴ 由S △PBD= 1
2
BP · BD =4, 可得BP =2,∴ P (2,
点
≤
A
3
的坐
,
标为xy 四
-
边
4≤
形A
≤
B
-
OC
3
的
。
面 积为
:(1)
xy
m (,),∵ 3,∴
把P 分别代入y kx 与y 可得一次函
6)。 (2,6) = +2 =x k k 由 得y 3 B 且
= -1=3,∴ =4。(2) (1) :=x,∵ (0,3)
数解析式为y x 反比例函数解析式为 y 12
=2 +2, :=x。 AB y轴 点A的纵坐标为 把y 代入y 3 得
⊥ ,∴ 3, =3 =x,
3.解 设OB的解析式为y mx OB经过点D
:(1) = ,∵ (3, x 即点A的坐标为 直线l和直线y x平
=1, (1,3)。∵ =
2),
则
2=3
m
,∴
m
=
2
,∴
OB的解析式为y
=
2x
。
行
,∴
设直线l的解析式为y
=
x
+
b
,
把点A
(1,3)
代入y
3 3 x b得 b 解得b 直线l的解析式为y x
(2)∵
反比例函数y
=x
k
(
x
>0,
k
>0)
的图象经过点D = + ,
3.解
1+ =3
A
,
B是
=
双
2
曲
,
线y k 上的两点
=
AC
+2。 :(1)∵ , =x ,
(3,2),∴ k =3×2=6,∴ 反比例函数y =x 6 ,∵ 反比例函 ⊥ x轴 , BE ⊥ x轴 ,∴ S △AOC= S △BOE, 即S △AOD+ S △COD=
数图象经过点C 设Ca 6 且a 四边形 S △COD+ S四边形CDBE。∵ S △AOD=1,∴ S四边形CDBE= S △AOD=1。
,∴ ,a , >0,∵ (2)∵ D为OB的中点 ,△ COD ∽△ EOB ,∴ S △COD∶ S △BOE
OABC是平行四边形 ,∴ BC ∥ OA , S平行四边形OABC=2 S △OBC, =1∶4, S △COD∶ S四边形CDBE=1∶3,∴ S △DOC= 1 , S △BOE=
点B的纵坐标为 6 OB的解析式为y 2x 3
∴ a,∵ = ,
3 4 则k 8 4.解 矩形ABOC的面积为
, = 。 :(1)∵ 8,
∴ B a 9 ,a 6 ,∴ BC =a 9 - a ,∴ S △OBC= 1 ×a 6 × A 3 C O 3 C AB AC OB A点的坐
2 =2,∴ = =8÷2=4, = =2,∴
k
9 a 1 6 9 a 15 解得a 或 标为 点A在双曲线y 的图象上 代入得
a- ,∴2× ×a× a- = , =2 (2,4)。∵ =x ,∴
2 2
a 舍去 B 9 4.解 如图 中 k 由 知 反比例函数的解析式为y 8
=-2( ),∴ ,3 。 :(1) 1 , =8;(2) (1) : =x。
2
34
A"# 3
BD OCBF OBOC OB 又 四边形BDEF
∵ = , = , =4, =2, ∵ 代入y 8 得左边 右边 点D在反比例函数图
是矩形 BD EF BF DE OD BD OB 1) =x, = ,∴
,∴ = =4, = =2, = + = 象上 BC PB 以BCPB为边不可能构造菱形
6, 把y =2 代入y =x 8 , 得x =4, 即N点的坐标为 (4,2), 同理 。 , 以 ∵ PC , P ≠ B为 , 边 ∴ 也不可 , 能构造菱形 。 综上所述 , 点 ,
D 4.解 如图 过点A分
把x =6 代入y =x 8 , 得y = 4 , 即M的坐标为 6, 4 , 别 (8 作 ,1 A ) Q 。 y轴 : 垂 (1 足 ) 为点 1 Q , AN x
3 3 ⊥ , , ⊥
轴 垂足为点N AOB是等腰直角
EN EM 4 2 MEN的面积为 , ,∵△
∴ =6-4=2, =2- = ,∴△ 三角形 AQ AN 设点A的坐标为
3 3 ,∴ = 。
aa 点A在直线y x 上 a
1 ×2× 2 = 2 。 (, a ),∵ 解得a 则 = 点 3 A - 的 4 坐标 ,∴ 为
2
2
8 反比例
3
函数
3
中的存在性问题
=3-4, =2,
k
. 双曲线y 也经过点A
k (2,2)。∵ =x ,
1.解 把A 代入y 2 得到k 反比
:(1) (-1,2) =x, 2=-2,∴ k 由 知 A B
∴ =4;(2) (1) , (2,2),∴ (4,
例 上 函 ,∴ 数 m 的 = 解 2, 析 由 式 题 为 意 y 知 = 一 - 次 x 2 函 。 数 ∵ 的 B 解 ( m 析 , 式 - 为 1) y 在 = y - = x - +1 x 2 。 0 ∴ + ) A ( 。 2 B ∵ + 2 4 + 直 ) B 2 线 C = y 2 4 = 0 = , ( 3 4 ∴ x - A - 2 B 4 ) 2 2 与 + + B y 2 C 2 轴 + 2 = 4 的 2 A + 交 C2 ( 点 , - ∴ 为 4 △ C )2 A , = B ∴ 4 C 0 C , 是 ( A 0 C 直 , 2 - 角 = 4 2 ) 三 2 ,
1 P (2 ) A 2 ) , = ∵ B P A P B 2 (- = 时 1 1 , , 2 2 ( + n ), + B ( n 1 (2 - )2 , 2 - + ) 1 2 4 。 ) = , △ ∴ ( n A A B - B P 2 = ) 3 为 2 + 2 等 1 , A 腰 ,∴ P 三 n 2 = 角 = 2 0 形 2 。 + ,① ② ( n + 当 当 角 设 P 形 双 A , 曲 S M △ 线 A 是 BC 上 = 等 存 1 2 腰 在 A 直 B 一 × 角 点 B 三 C M = , 角 使 1 2 形 得 × 8× 32=8。(3) 假
AP = AB时 , AP2 = AB2,∴2 2 +( n +1)2 =(32)2,∴ n = △ PAM OABAP ,
-1± 14。③ 当BP = BA时 , BP2 = BA2,∴1 2 +( n - A ∴ M ∠ 。 连接 = A 9 M 0° , B = M ∠ , AP , P , M , = 如
2)2 =(32)2,∴ n =2± 17。 综上所述 , P (-1+ 14, 图 2。 由 (1) 知 , k =4,∴ 反比例
0) 或 (-1- 14,0) 或 (2+ 17,0) 或 (2- 17,0) 或 函数解析式为y =x 4 ,∴∠ OAP
m
(0,0)。 2.解 :(1)∵ 点A (-2,1) 在反比例函数y =x OA = BA ,
的图象上 ,∴ m = xy =-2×1=-2,∴ 反比例函数解析 =∠ BAM 。 在 △ AOP和 △ ABM中 , A ∠ P OAP AM =∠ BAM ,
y 式 = = 为 - - 2 y x 。 = ∴ - B - 1。 ( x 2 1 ( , 2 。 - ) 2 ∵ 如 ) 点 , 图 过 B 所 点 (1 示 A , n : ( ) ∵ - 在 2 点 y ,1 A = ), - 与 B ( x 点 2 1, C 上 - , 2 关 ∴ ) 于 n 的 y = 直 - 轴 线 2 1 为 对 4 ∴ ∴ , P △ ∠ ∴ A O A M M B OP ( M 4 是 = , 以 ≌ 1 ∠ ) 点 O , △ A B 即 A A B 为 在 + M 直 双 ∠ 角 ( 曲 A S 顶 B A 线 M 点 S 上 = ) 的 , 存 9 等 0 ∴ ° 在 腰 , ∠ ∴ 一 三 A 点 角 O 点 P M = 形 M ( = 的 4, 横 1 , ∠ ) 坐 A , B 使 标 M 为 得 ,
称A AC 当BD AC且BD AC时 △ 。
,(-2,1),∴ =4。① ∥ = , 29 反比例函数中的动点问题
四边形ABDC为平行四边形 BD 又 B .
,∴ =4。 ∵ (1,-2) 1. 解 由题意可得 点A的坐标为 点C的坐
D 当BD' AC且BD' AC时 同理 (1) : : :(10,0),
∴ (5,-2)。② ∥ = , 标为 解 解 设直线AC的解析式为y kx
D' 综上所述 点D的坐标为D 或 :(0,8);(2) :① : =
(-3,-2)。 , (5,-2) k b
D bk 将A C 代入得 10+ =0 解
(-3,-2)。 + (≠0), (10,0)、(0,8) :b ,
=8
k 4
得 =- , 直线AC的解析式为y 4x 又
: 5 ∴ =- +8,
b 5
=8,
Q n在直线AC上 n 4 又 双曲
∵ (5,) ,∴ =- ×5+8=4, ∵
5
m
线y m 过 m y 20 当
=x( ≠0) ,∴ =5×4=20,∴ =x,② 0≤
t 时OP t过点Q作QD OA 垂足为点D
第2题图 第3题图 如 ≤ 图 5 所示 , =10-2, ⊥ , ,
:
3.解 AC BCCO ABA O为AB的
:(1)∵ = , ⊥ ,(-4,0),∴
中点 即OA OB P B 将A
, = =4,∴ (4,2),(4,0)。 (-4,0)
与P 代入y kx b得一次函数解析式为y 1x
(4,2) = + , =
4
将P 代入反比例函数解析式 得m 即反
+1。 (4,2) , =8,
比例解析式为y 8 如图所示 点C B
=x。(2) ,∵ (0,1),(4,
0 边 分 ) C , 构 ∴ D 造 B 。 C 菱 ∵ = 形 P , B 当 4 ⊥ 2 四 x +1 边 轴 2 形 = , P B ( C 4 1 P , 7 2 D , ) P , 为 C ∴ = 菱 点 形 D 1 时 7 (8 , , ,1 ∴ ∴ ) P 以 。 B B 把 垂 C 点 , 直 P D C 且 (8 为 平 , S ∵ = Q 1 ( 0 5, 时 4) ,2 , 0 ∴ - Q 4 D t = =1 4 0 , , ∴ 解 S 得 = t 1 2 =2 (1 . 0 5 - ; 当 2 t 5 ) < × t 4 ≤ = 9 20 时 - , O 4 t P , 当 =
35
3A"#
2t 过点Q作QE OC垂足为点E 如图所示 只有P 在直线y
-10, ⊥ , , : (2,-2),(2,1);(2)∵ (1,-2),(2,-1)
x 上 点P落在直线y x 上的概率为2
= -3 ,∴ = -3 =
6
1 2.解 列表如下
。 :(1) :
3
1 -2 2
1 (1,1) (1,-2) (1,2)
Q QE S 1 t t 当 2 (2,1) (2,-2) (2,2)
S ∵ 重 = 合 1 ( 0 5, 时 4 O ) , P 5 , t Q ∴ - 不 25 存 = = 5 在 10 ,∴ , 综 解 上 = 得 所 : t 2 述 = (2 7 t ; - 当 1 t 0 . = )× 5 或 5 t 时 = , 5 点 - 时 P 25 与 S , O x (2 - ) 3 由 图 表 象 格 上 知 有 , 共 1 有 种 6 结 种 果 等 ,∴ 可 点 能 ( 结 x 果 , y , ) 点 在 ( 函 x , 数 y ) y 在 = 函 x 数 -3 y = 图
,△ 2.解 四 ; 边形ABCO , 是 = 矩 2 形 5 点B =7 的坐 , 标 = 为 象上的概率是1 。 3.解 :(1) 1 ;(2) 列表如下 :
10。 :(1)∵ , 6 3
OC AB 点D的坐标为 OD
(5,4),∴ = =5,∵ (-3,0),∴
CD 点Q的运动速度为 点P的运动 2 3 4 5
=3,∴ =8,∵ 2cm/s,
速度为 BP AB AP t CQ CD 3 (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)
1cm/s,∴ = - =(5- )cm, =
- DQ =(8-2 t )cm 故答案为 (5- t ),(8-2 t );(2) 如图 4 (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)
连接PM 由 可知点
1 AP , t点M , 的 (1 横 ) 坐标为 5 (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)
= 点 , P的坐标为t 由表知 , 共有 12 种等可能结果 , 其中点P ( x , y ) 在直线y
5, 点 ∴ P在反比例函 ( 数 , y 4), = x -1 上的有 3 种结果 , 所以点P ( x , y ) 在直线y = x -1
∵ =
k 上 k t 反比例函 上的概率为3 = 1 。 4.解 :(1) 列表如下 :
x ,∴ =4,∴ 12 4
t
数解析式为y 4 当x 1 -2 3
=x, =
t 第2题图 -1 (1,-1) (-2,-1) (3,-1)
时 y 4 点M的坐
5 ,= 5 ,∴ 2 (1,2) (-2,2) (3,2)
t t t
标为 5, 4
5
,∴ CM = 4
5
,∴ BM = BC - CM =4- 4
5
, 1
2
1, 1
2
-2, 1
2
3, 1
2
∵ S △POM= S矩形ABCO- S △AOP- S △BPM- S △OCM=7 . 5cm 2,
t t 1 1 1 1
1 t 1 t 4 1 4 - 1,- -2,- 3,-
∴5×4- ×4- (5- )4- - ×5× = 3 3 3 3
2 2 5 2 5
7 . 5,∴- 2t2 +10=7 . 5, 解得t =2 . 5( 负值已舍去 ); 一共有 12 种等可能的结果 , 其中点 ( x , y ) 落在第二象限
(3) 由题意 5 , 得DQ =2 t , AP = t , 点C的坐标为 (5,0),∴ 点 内的 有 2 种 ,∴ P ( 点 在 第 二 象 限 )= 1 2 2 = 1 6 ;
P的坐标为
(
t
,4),
点Q的坐标为
(2
t
-3,0),∴
PQ2
= P 点落在函数y 1图象上 3 1
( = 题 t P - 意 C 3 , ) 舍 时 2 + 去 , 4 则 ) 2 ; ( , t P 当 - C P 3 2 Q = )2 = ( + t C 4 - Q 2 5 = ) 时 2 ( t + , - ( t 4 5 2 - , ) C 3 2 Q ) + 2 2 4 + = 2 4 , ( 2 解 2 t = 得 - (2 t 8 t ) = - 2 4 ; 8 当 ( )2 不 P , 合 解 Q 3 1 (2 1 . ) . 解 概 :(1 率 ) 与 画 几 树 何 状 图 图 形 得 = : -x = 12 = 4 。
得t 13-2 13或t 13+2 13 不合题意 舍去 当
= = ( , );
3 3
PC = CQ时 ,(2 t -8)2 =( t -5)2 +4 2 解得t = 11-2 13
3
或t 11+2 13 不合题意 舍去 综上所述 存在t 共有 种等可能的结果 这三条线段能组成三角形的
= ( , ); , = ∵ 12 ,
3
有 种情况 这三条线段能组成三角形的概率为7
1 以 3 P -2 3 QC 13 E 或t 为 = 顶 11 点 - 的 2 3 四边 13 形 时 刚 , 使 好 坐 是 标 菱 平 形 面上存在点E , (2) 7 ∵ 这三条 , 线 ∴ 段能组成直角三角形的只有 :3cm,4c 12 m ; ,
3 1 0 . . 解 概 , 率 , 与 画 , 坐 树 标 状 、 图 函 如 数 下 。 5 2. c 解 m;∴ 这 搅 三 匀 条 后 线 从 段 中 能 摸 组 出 成直 个 角 盒 三 子 角 有 形的 种 概 等 率 可 为 能 1 1 2 结 。 果
:(1) : :(1) 1 3 ,
所以摸出的盒子中是 型矩形纸片的概率为1 画
A ;(2)
3
树状图如下
:
点P的所有可能是
∴ (1,-1),(1,-2),(1,1),(2,-1),
36
A"# 3
由树状图知共有 种等可能结果 其中 次摸出的盒子 这个游戏规则对双方公平 理由如下 由 可知 共
6 , 2 (2) , : (1) ,
的纸片能拼成一个新矩形的有 种结果 所以 次摸出 有 种等可能的情况 其中两个指针所指区域的数字之
4 , 2 12 ,
和为 的结果有 种 数字之和为 的结果有 种 李
的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率为4 2 2 2 , 5 2 ,∴
= 。
6 3 晓获胜的概率 2 1 王颜获胜的概率 2 1
3.解 3 画树状图如下 = 12 = 6 , = 12 = 6 ,
:(1) ;(2) : 李晓获胜的概率 王颜获胜的概率 这个游戏对双
4 ∴ = ,∴
方公平 3.解 用树状图得出所有等可能的结果如下
。 :(1) :
共有 种等可能的结果 其中以这两点及点CF为顶点
12 , ,
画四边形 所画四边形是平行四边形的结果有 种 即
, 4 , 裁判员的这种作法对甲 乙双方是公平的 理由 由
AB
,
AE
,
BA
,
EA
,∴
所画四边形是平行四边形的概率为 (2) 、 。 :
4 1 4.解 共有 种等可能结果 其中落回 树状图得 , P ( 甲获胜 )= 3 = 1 , P ( 乙获胜 )= 3 = 1 。
= 。 :(1)∵ 6 , 9 3 9 3
12 3 P 甲获胜 P 乙获胜 这种作法对甲 乙双方是
( 到 2) 圈 列 A 表 的 如 只 下 有 : 1 种情况 ,∴ 落回到圈A的概率P 1= 1 6 ; ∵ 公 区 平 域 ( 的 的 ( 。 9 ×
颗
4 9 ) . - = 解
地
9 : -
雷
( ( 1 4 ) )
C
这 =
区
6 个 8
域
( 游 ) 个 ,
中
戏 ∴ )
有
方 不 块 公 中 平 随 , 理 机 由 埋 如 藏 、 下 着
个
: ( ∵ 20
方
在 -
块
C 2
-1)=17( ) , (68-17)=51( )
1 2 3 4 5 6 中没有地雷 小南胜的概率为17 1 小语胜的概率
,∴ = ,
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 68 4
为51 3 1 3 这个游戏不公平 2
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 68 = 4 ,∵ 4 < 4 ,∴ ;(2)1 3
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 3 解析: ∵ 围着数字 2 的 8 个方块中埋藏着 2 颗地雷 ,
5
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 空白区域无地雷 ,∴ D区域中有 2 个地雷 ,∴ 选择D区域
踩到雷的概率为 围着数字 的 个方块中埋藏着
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 1;∵ 2 8 2
颗地雷 空白区域无地雷 E区域中有 个地雷 选
, ,∴ 2 ,∴
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
择E区域踩到雷的概率为2 在DEF三个黑框区
由上表可知 一共有 种等可能的结果 落回到圈A的 ;∵ ,,
有 , 36 , 最后落回 域中共藏有 颗地雷 空 3 白区域无地雷 F区域中
(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,6),∴
有
10
颗 地
(
雷 选择F区域
)
踩
,∴
到雷的概率
到圈A的概率P 6 1 :10-2-2=6( ) ,∴
2= 36 = 6 。 为6 3
32 游戏公平性问题 = 。
. 10 5
1.解 共有 种等可能结果 而摸出白球的结果有
:(1) 3 , 2 测试卷
种 P 摸出白球 2 根据题意 列表如下
,∴ ( )= ;(2) , : 单元测试卷(一) 特殊平行四边形
3
红 红 白 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
1 2 C B D A C D B A B
白 白 红 白 红 白 白 10. 11. 12. 13.120 14. 15.
1 ( 1, 1) ( 1, 2) ( 1, ) B 4 1510 13 30 25
白 白 红 白 红 白 白 16.解 四边形ABCD是菱形 AC BD AO
2 ( 2, 1) ( 2, 2) ( 2, ) :∵ , =10, =8,∴
红 红 红 红 红 红 白 1AC BO 1BD AC BDAB BC CD
( , 1) ( , 2) ( , ) = =5, = =4, ⊥ , = = =
2 2
由上表可知 共有 种等可能结果 其中颜色不相同的结 AD 在 ABO中 AOB 由勾股定理得AB
, 9 , , Rt△ ,∠ =90°, =
果有 5 种 , 颜色相同的结果有 4 种 ,∴ P ( 颜色不相同 )= AO2 + BO2 = 5 2 +4 2 = 41,∴ 周长L =4 AB =
5 , P ( 颜色相同 )= 4 ,∵ 4 < 5 ,∴ 这个游戏规则对双 4 41;∵ 菱形是轴对称图形 ,∴△ ABC ≌△ ADC ,∴ 菱
方 9 不公平 。 2.解 :( 9 1) 画树 9 状图 9 如下 : 形面积是S =2 S △ABC=2× 1 2 × AC × BO =40。 综上可得
菱形的周长为 面积为 17.证明 四边形
4 41、 40。 :∵
ABCD是矩形 AB CD BE CD 又 BD CE
,∴ ∥ ,∴ ∥ 。 ∵ ∥ ,
四边形BECD是平行四边形 CE BD 又 BD
∴ ,∴ = 。 ∵ =
CA CE CA 18.证明 四边形ABCD是菱形
,∴ = 。 :∵ ,
AB BC CD AD A C 在 ADE和 CDF
∴ = = = ,∠ =∠ , △ △
共有 种等可能的情况 其中两个指针所指区域的数字 A C
12 , 中 A ∠ D = C ∠ D , ADE CDF AE
之和为 的结果有 种 李晓获胜的概率 2 1 , = , ∴△ ≌△ (ASA),∴
2 2 ,∴ = = ; ADE CDF
12 6 ∠ =∠ ,
37
3A"#
CF AB AE BC CF 即BE BF 19.解 连 单元测试卷(二) 一元二次方程
= ,∴ - = - , = 。 :
接 图所 BE 示 , : 设 ∵ E E F F垂 与B 直 D 平 交 分 于 BD 点 , O ∴ B , 如 E 1 10 . A . 2 1 . 1 A . 3 或 . B 4 12 . C . 5. C 6 13 . C . 7. D 1 8 4 . . A 或 9. A
= 是 D 矩 E 形 , OD = O A B ,∵ 四边 AD 形AB B C C D 15. B (4 0-2 x 0 )(26 3 - x )= ≥ 86 - 4 8 16.解 ± :(1 7 ) x 2 +2 4 x -5 - = 2 0 ,
ODE ,∴∠ OB = F 90° 在 , OD ∥ E和 , x2 +2 x =5, x2 +2 x +1=5+1, 即 ( x +1)2 =6,∴ x +1=
∴∠ =∠ OD , E △ OBF 第19题图 ±6,∴ x 1=-1+ 6, x 2=-1- 6。(2)∵( x -2)2 =
△ OBF 中 , O ∠ D = OB = , ∠ , 3( x x -2),∴( 或 x x -2)2 -3( x 解 -2 得 ) x =0, 则 ( x x -2)( x - 1 5 7 ) . = 解 0,
∴△ ODE ≌△ O ∠ B D F O (A E S = A ∠ ), B ∴ O D F E , = BF =5,∴ BE = DE = ∴ ∵ 当 - a x 2 = = 1 0 时 , y 1 = 8 - 0 . 5 , 解 ∴ =0 0 , = 关 2 于 ×1 x 2 1 - = 的 a 2 一 × , 元 1 2 - = 二 a 5 次 2 。 , 方 解 程 得a m 1= :
5 DE ,∴ = A 3 B +5 = =8 B , E ∴ 2 B - D A = E2 = AB2 5 + 2 A - D 3 2 2 = = 4, 4 ∵ 2 A + D 8 2 = = A 4 E 5 + 。 3 - 程 ) x 2 中 2 , + 得 2 2 = m x 1 2 + - 。 m 9 2 = - 0 9 , = ∴ 0 m : 有 = ∵ 一 ±3 个 , 根 当 为 m 0 = , 3 ∴ 时 把 , x m = - 0 3= 代 0 入 , ( 此 原 - 方 时
20.证明 四边形ABCD是菱形 CO 1AC COD 成为一元一次方程 应舍去 m 原方程变为
:∵ ,∴ = ,∠ , ,∴ =-3,
2
DE ACDE 1AC DE CO 四边形 -6 x2 +2 x =0,∴ x =0 或x = 1 ,∴ 方程的另一根为x =
=90°。∵ ∥ , = ,∴ = ,∴ 3
2
OCED为平行四边形 。∵∠ COD =90°,∴ 四边形OCED 1 。 19.解 :(1) 根据题意得m ≠0 且Δ =3 2 -4 m ×2≥
为矩形 21. 证明 四边形ABCD是菱形 AO 3
。 (1) :∵ ,∴
= CO ,∵ 点E是AB的中点 ,∴ AE = BE ,∴ OE ∥ BC , 0, 解得m ≤ 9且m ≠0, 故m的取值范围为m ≤ 9且m
OG EF 四边形OEFG是平行四边形 EF BC 8 8
∵ ∴∠ E ∥ FG = , 9 ∴ 0°,∴ 四边形OEFG为矩形 ;(2 ,∵ ) 解 :∵ ⊥ 四边 , ≠0;(2)∵ m ≤ 9 8 且m ≠0, m为正整数 ,∴ m =1,∴ 原方
形ABCD是菱形 ,∴ AC ⊥ BD , OA = 1 2 AC = 1 2 ×6=3, 程 或x 化 + 为 2 x = 2 0 + , 3 ∴ x x + 1 2 = = - 0 1 , , 即 x 2 ( x = + - 1 2 ) 。 ( x + 20 2 . ) 解 =0 : 根 ,∴ 据 x 题 + 意 1= 得 0 :
OB = 1BD = 1 ×8=4;∴ BC = OB2 + OC2 = (13- x )2 =144, 解得 : x 1=1, x 2=25( 不符合题意 , 舍
2 2 去 答x的长度为 21.解 由题意可得 AQ
3 2 +4 2 =5, 由 (1) 可知 , 四边形 OEFG 为矩形 , tB ) P 。 t : 四边形 1 A d B m C 。 D 为矩形 : AB : AD =
, =2,∵ , =6cm, =
OGF 1OB OC 1BC OG 即 1
∴∠ =90°,∴ · = · , : ×4 DQ tAP t A 1 t
2 2 2 4cm,∴ =4- , =6-2,∠ =90°,∴ (4- )
2
×3=
1
×5
OG
,∴
OG
=
12
,∵
OE是
△
ABC的中位线
, (6-2
t
)=6,∴
t2
-7
t
+6=0,
解得
:
t
=1
或t
=6;∵0≤
t
2 5 t 不符合题意 则t 当t 时 PQD
≤3,∴ =6 , =1,∴ =1s ,△
G 2 ∴ 形 = ∴ 2 E O A . , △ A , E ( D 1 A ∠ C = ) , B G ∵ 证 是 G C 1 2 E E 明 对 ≌ B G = C : 角 ⊥ △ 如 = ∠ A 线 A 图 C G D 5 2 , E G ∴ , 1 C ∴ , , ∠ ( ∴ , S 连 △ S A ∴ A E C 接 矩 S G B ∠ 形 ) C O B B E = , F G E G 是 ∴ ∠ , G = B 等 ∵ B O = G A G 腰 四 G ∠ = · 直 边 = F O D 角 C 形 E ∠ G G 三 D = A , , A 角 B ∵ 1 ∵ 5 G 2 C 形 B A D × = E G , 4 ∴ 5 2 是 5 = = ° G A C 正 = C , A G F 6 方 = B 。 , , 8 1 2 的 售 意 0 0 0 量 = 得 = 面 40 1 0 为 : 积 ( , 元 0 3 6 解 为 4 0 0 0 ; - 得 6 ( + 2 ( 1 c x 元 2 ) 5 m 设 1 × ) - 2 = , 1 每 x 。 4 0 答 ) 斤 , = x ( : 6 2 8 “ 2 若 0 2 0 阳 = + ( . 降 5 光 斤 解 1 , 0 价 玫 ∵ ) x : , ( 2 1 瑰 ) 为 销 = ) 元 葡 了 售 根 1 , 萄 尽 利 1 据 则 0 ” 快 0 润 题 应 每 , 减 为 意 整 降 天 少 : , 理 价 ( 的 3 降 库 0 x 得 销 价 存 - : 元 x 1 售 2 , 5 2 , ∴ 利 - 元 根 - x 9 2 润 则 据 = x ) 5 销 × 是 题 + ,
∴△ BEG ≌△ FCG (SAS),∴ BG = GF ,∴ DG = GF 。 此时 30- x =25, 答 : 每斤 “ 阳光玫瑰葡萄 ” 的售价应降至
(2) 如图 2, 过点G作MN ⊥ BC于N , 交AD于M ,∵ AD 25 元 。
BC MN AD DMG FNG NCG 单元测试卷(三) 概率的进一步认识
∥ ,∴ ⊥ ,∴∠ =∠ =90°,∵ =
CNG是等腰直角三角形 CN NG DM 由 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
45°,∴△ ,∴ = = , A C C D B D B C C
知 DG GF DMG GNF
(1) : = ,∴Rt△ ≌Rt△ (HL), 10. 11.1 12.1 13.2 14. 15.1 16.红
MDG FGN MDG DGM FGN B 32
∴∠ =∠ ,∵∠ +∠ =∠ + 4 2 3 6
∠ 角 D 形 G , M ∴ = ∠ 9 F 0° D , G ∴ = ∠ 4 D 5° G , F ∵ = A 9 B 0° = , C ∴ D △ , D ∠ G B F = 是 ∠ 等 DC 腰 F 直 = 角 90° 三 , 球 2 个 , 白球 3 个 。 17. (1) 靶子 1: 1 3 ; 1 3 ; 1 3 ; 靶子 2:
BE = CF ,∴△ ABE ≌△ DCF (SAS),∴∠ CDF =∠ BAE 1 ; 1 ; 1 (2) 2 (3) 3 18.解 : 画树状图为 :
CDG ADG 2 4 4 3 4
=30°,∴∠ =45°-30°=15°,∴∠ =90°-15°=
DAG AGD
75°,∵∠ =45°,∴∠ =180°-45°-75°=60°。
共有 种等可能的结果数 其中抽出的试卷中有英语试
12 ,
卷的结果数为 所以抽出的试卷中有英语试卷的概率为
6,
6 1 19.解 2 画出树形图为
= 。 :(1) ;(2) :
12 2 5
38
A"# 3
期中测试卷
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
A B A D B C A C D
10. 11.k 且k 12.AC BD 答案不唯一
D ≤4, ≠0 = ( )
13.1 14. 3200(1- x )2 =2500 15. 8 16. (1) x 1=
共有 种等可能的结果数 其中恰好为一男一女的结果 3
20 ,
数为 所以P 主持人恰好为一男一女 12 3 1 , x 2=3。(2)( x +3)2 =2 x +6,( x +3)2 =2( x +3), 移
12, ( )= = 。 2
20.解 这个游戏对双方公平 理由如下 20 5 项得 ( x +3)2 -2( x +3)=0, 则 ( x +3)( x +1)=0,∴ x +
: , : 或x x x 17.解 a是
3=0 +1=0,∴ 1=-3,2=-1。 :∵
1 2 3 4 一元二次方程x2 + x -2=0 的根 ,∴ a2 + a -2=0, 即a2
2 2+1=3 2+2=4 2+3=5 2+4=6 =2-
a
,∴
a2
+2
a
+
b
-5=2-
a
+2
a
+
b
-5=
a
+
b
-3,
∵
a
,
b是一元二次方程x2
+
x
-2=0
的两根
,∴
a
+
b
=
3 3+1=4 3+2=5 3+3=6 3+4=7
-1,∴
a2
+2
a
+
b
-5=-1-3=-4。
18.
(1)
解
:
当k
4 4+1=5 4+2=6 4+3=7 4+4=8 =2
时
,
则方程
:
x2
-6
x
+8=0,∴(
x
-4)(
x
-2)=0,
解
从 能 表 性 中 相 可 同 以 , 而 看 两 出 数 , 和 总 为 共 奇 有 数 12 的 种 结 结 果 果 有 , 每 6 种 种 , 结 ∴ 果 P 出 ( 小 现 莉 的 赢 可 ) 2 得 不 k x ) 相 = 1 等 4 = > 4 的 0 , x 实 , 2 ∴ 数 =2 不 根 。 论 (2 k ) 1 取 证 9. 何 明 解 : 值 ∵ 设 , Δ 此 该 = 一 厂 [- 元 电 ( 二 2 冰 k 次 箱 + 方 2 的 ) 程 产 ]2 总 量 -4 有 从 ( k 两 2 + 个 月
= 6 = 1 , 因此 , 这个游戏对双方公平 。 21.解 :(1) 观 份到 月份的月平 。 均 增长率 : 为x根据题意得 4
12 2 6 , 1000(1+
察表格得 : 通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频 x )2 =1210, 解得x 1=0 . 1=10%, x 2=-2 . 1( 不合题意 ,
率稳定在 . 左右 估计从袋中摸出一个球是黑球的 舍去 答 该厂电冰箱产量从 月份到 月份的月平均
033 ,∴ )。 : 4 6
概率是 . 故答案为 . 设袋子中白球的个数为 增长率为 20. 证明 四边形ABCD是平行
033, :033;(2) 10%。 (1) :∵
x 分 下 , 式 : 根 下 方 据 : 程 题 的 意 解 , 得 ,∴ : 1 估 + 1 x 算 = 袋 0 . 中 33 白 , 解 球 得 的 x 个 = 数 2, 为 经 2 检 ;( 验 3) x 列 = 表 2 是 如 A 四 ∠ = B B A 边 E A B F 形 D ,∵ 是 , ,∴ A ∴ 平 F A ∠ 行 = D B 四 A A ∥ B E 边 B , = 形 C ∴ B ∠ , , ∵ E ∴ D A A = ∠ F E A D = , F A ∴ A , E B 又 ∠ = , B ∵ ∴ A ∠ B E 平 A E E = 行 ∥ B A ∠ 四 , F A ∵ 边 , E A ∴ 形 B E 四 , A ∴ B 平 边 B E 分 形 E F
白 白 黑 是菱形 ;(2) 解 :∵ 四边形ABEF为菱形 ,∴ AF = AB =
AG BF 又 BF BG FG AG
白 白 白 白 白 黑 白 10, ⊥ , ∵ =10,∴ = =5,∴ =
( , ) ( , ) ( , ) 10 2 -5 2 =53,∴ AE =2 AG =103,∴ 菱形ABEF的
白 白 白 白 白 黑 白
( , ) ( , ) ( , ) 面积1
×10×103=503。
黑 白 黑 白 黑 黑 黑 2
( , ) ( , ) ( , ) 21.解 画树状图如下
:(1) :
由表知共有 种等可能结果 其中他两次都摸出白球的
9 ,
结果数为 他两次都摸出白球的概率为 4
4,∴ 。
9
22.解 被随机抽取的学生人数为 .
:(1) 14÷(1-225%-
. 人 扇形统计图中
1 1 组 7 7 ” . 5 5 所 % % 对 - - 5 应 5 % % 的 - - 圆 5 5 % 心 % - 角 - 1 的 5 15 % 度 % ) 数 ) = = 4 为 0 1 ( 2 3 6 6 ° 0° , ); 故 × 答 (1 案 - 为 22 : . 4 5 0 % 人 “ - C , 由 = x 树 + 状 1 图 的 可 有 知 3 , 种 点 可 P 能 共 , 有 ∴ 9 点 种 P 等 在 可 一 能 次 结 函 果 数 。 y ( = 2 x )∵ +1 满 图 足 象 y
将 组数据重新排列为
126°;(2) C 60,60,62,64,66,69, 上的概率 = 3 = 1 。 22. (1) 证明 :∵ 四边形ABCD是
72,73,73,75,75,75,78,78, 所以这组数据的平均数为
1
1
4
正方形
,∴
A 9 B
=
B 3 C
,∠
A
=∠
C
=90°。
在
Rt△
ABE和
CBF中 AB CB BE BF ABE
×(60×2+62+64+66+69+72+73×2+75×3+78× Rt△ , = , = ,∴ Rt△ ≌
CBF AE CF 解 四边形BEHF是菱
中位数为72+73 . 众数为 街道志愿 Rt△ (HL),∴ = 。(2) :
2)=70, =725, 75;(3) 形 理由 四边形ABCD是正方形 BDF
2 。 :∵ ,∴∠ =45°,
者服务工作一共设置了三个岗位 , 分别记为 A,B,C, 画树 ∵ 四边形ABCD为正方形 ,∴∠ ADC =90°, AD = DC 。
状图如图 : 又 ∵ AE = FC ,∴ DE = DF ,∴△ DEF为等腰直角三角
形 DFE DOF 即OB EF 又 EB
,∴∠ =45°,∴∠ =90°, ⊥ , ∵
BF OE OF OE OFOB OHOB EF
= ,∴ = 。∵ = , = , ⊥ ,
四边形BEHF是菱形
∴ 。
单元测试卷(四) 图形的相似
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
A B D A D B C C B
共有 个等可能的结果 小红 小丹恰好被分配到同一岗
9 , 、 10. 11.5 12. Q PNM或 R PMN或
位进行志愿者服务的结果有 个 小红 小丹恰好被分 A ∠ =∠ ∠ =∠
3 ,∴ 、 3
配到同一岗位进行志愿者服务的概率为3 1 PM PR PN PQ 选其一代入即可 13.9
= 。 ∶ = ∶ ( )。
9 3 2
39
3A"#
EQ BC BE CQ tt t EQF是
14.O 1 15. 16.解 AB CD ABO 6,∴ = - - =8-2- =8-3,∵△
, 4 :∵ ∥ ,∴△ ∽
2 等腰直角三角形 EQ FQ t 解得t 2
AB AO AO ,∴ = ,∴8-3=6, = ;
DCO 即5 解得AO 3
△ ,∴CD=OD, = AO, =4。 FQC B FQC B PQ
10 12- (2)∵∠ =90°,∠ =90°,∴∠ =∠ ,∴ ∥
17.解 :∵ 四边形ABCD ∽ 四边形GFEH ,∴∠ C =∠ E = AB CPQ CAB PQ QC 即 PQ t PQ
F B A G B ,∴△ ∽△ ,∴AB=BC, = ,∴
120°,∠ =∠ =60°,∵∠ =∠ =70°,∠ =60°, 6 8
D A B C
∴∠ =36 四 0° 边 - 形 ∠ AB - C ∠ D - 四 ∠ 边形 =3 G 6 F 0° E - H 70°- D 6 C 0°- A 12 D 0° = 3 4 t ,∵ S △EPC= 1 2 EC · PQ ,∴ S = 1 2 (8-2 t )· 3 4 t =
= ∵ 1 D 1 C 0° = , 2 ∵ 4, HE =18, HG ∽ =21,∴ 2 1 4 8 = A 21 D ,∴ , H 解 E 得 = A H D G = , 2 - ,∴ 3 4 t 当 2 S +3 = t 3 , 当 时 S t = 的 3 值 时 为 , 2 - ;( 3 4 3 t ) 2 分 + 两 3 t 种 =3 情 , 况 解 讨 之 论 得 : : t ① 1= 如 t 图 2= 1
28,∴∠ D D M =1 A 10 B °,∠ 垂 F 足 = 为 60 点 °, A M D D = N 28。 B C 18 垂 .证 足 明 为 : 点 ∵∠ N C 中 , 点E在Q的左侧 。 当 △ EQP ∽△ ADC时 , 可得 C P D Q =
=90°, ⊥ , , ⊥ , ,
∴∠
C
=∠
ENB
=∠
DME
=90°,∴
AC
∥
DN
,∴∠
BEN
EQ
3t
t
A BEN DEM DEM A DME 即4 8-3 解得t 如图 中 点E在Q
=∠ ,∵∠ =∠ ,∴∠ =∠ ,∴△ AD, = , =2。② 2 ,
BCA 19.解 两条尺长AC和BD相 6 8
∽ 等 △ , OC = O 。 D ,∴ OA = : O 24 B m ,∵ m O 。 C ∵ ∶ OA =1∶3,∴ OD ∶ OB 的右侧 EQP ADC 可得 PQ EQ 即 3 4 t
OC OA COD AOB AOB 。∵△ ∽△ , CD=AD, =
= ∶ =1∶3,∵∠ =∠ ,∴△ ∽ 6
△ ∴ 分 C A 别 O B 为 D = A , 2 ∴ 4 ( C - m D 3 m , ∶ 2 。 A ) 、 B B 20 ( = - . O 解 1 C , : 3 ∶ (1 ) O 、 ) C A ∵ ( = - △ 2 1 A , B ∶ 1 C ) 3 , , 三 且 ∵ 个 以 CD 顶 坐 = 点 标 8 的 原 m 点 坐 m 标 为 , 3 值 t 8 - 为 8 2 , 。 解得t =4,∵0< t <4,∴ 应舍去 , 综上所述 , 则t的
位似中心 相似比为 A'B'C'三个顶点的坐标
, 2∶1,∴△
分别为A' B' C' 依次连接三个
(6,-4)、 (2,-6)、 (4,-2),
顶点可得 A'B'C'如图所示
△ , :
单元测试卷(五) 投影与视图
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
C B C A A C B C B
10. 11.中心投影 12. 13.变小 14.3
C 128π
4
15. 16.解 如图所示
-36 : 。
A 且以坐标原点为位似中心 相似比为
(2)∵ (-3,2), , 2
A' 故答案为 A' 点PQ分
∶1,∴ (6,-4), : (6,-4)(3)∵ ,
别是线段ABAC的中点 PQ是 ABC的一条中位
, ,∴ △
17.解 如图所示
线 ,∴ PQ = 1BC = 1 × 1 2 +2 2 = 5 ,∵ 相似比为 2∶ : 。
2 2 2
P'Q' PQ 故答案为 21.证明
1,∴ =2 = 5。 5。 :
AE DE AED AEB CED
(1)∵ ⊥ ,∴∠ =90°,∴∠ +∠ =
ABC BAE AEB
180°-90°=90°,∵∠ =90°,∴∠ +∠ =
BAE CED 又 ABC BCD ABE
90°,∴∠ =∠ , ∵∠ =∠ ,∴△ 18.解 如图所示
AB AE : 。
ECD ABE ECD 点E
∽△ 。(2)∵△ ∽△ ,∴EC=ED,∵
AB BE
为BC的中点 BE EC 又 ABC
,∴ = ,∴AE=ED, ∵∠ =
AB AE
∠
AED
=90°,∴△
ABE
∽△
AED
,∴AE=AD,∴
AE2
= 19.解 根据三视图可得这个几何体的名称是三棱柱
:(1) 。
AB AD 22.解 设运动时间为t t
B · E t 。 D F t : 四 (1 边 ) 形ABCD是矩形 s(0< AD <4 B ) C , 故答案为 : 三棱柱 ;(2) a =5× 3 = 53 , 则这个几何体的
∴ =2, = ,∵ ,∴ = 2 2
AB DC D D FQC QCD
=8, 四 = 边形 = C 6 D , F ∠ Q也 = 是 90° 矩 , 形 ∵∠ C = Q ∠ DFC = D ∠ QF = 体积是 5× 53 × 1 ×12=753(cm 3)。 故a的值是
90°,∴ ,∴ = , = = 2 2
40
A"# 3
k b
53 , 该几何体的体积是 753cm 3。 20.解 :(1) 中心投 入y 1= kx + b得 : - k 2 b + =-5,解得 : k =1, b =-3,
2 5+ =2,
影 AB CPPO PC OP AB ABC
;(2)∵ ⊥ , ⊥ ,∴ ∥ ,∴△ ∽ y x 反比例函数的解析式是y 10 一次函
AB BC ∴ 1= -3,∴ 2=x,
△ OPC ,∴OP=PC, 即 :O 2 P= 3 ., 解得 : OP =5(m), 数的解析式是y x 把y 代入y x
3+45 1= -3;(2)∵ =0 1= -3
∴ 路灯的高度为 5m。 21.解 :(1)162 解析:题意 得 : x =3,∴ D (3,0), OD =3,∴ S △AOC= S △DOC+ S △AOD=
得 :B A D B = 1 , 即 B 1 D 6 = 1 , 解得BD =162(m), 故答案 1 2 ×3×2+ 1 2 ×3×|-5|=10 . 5, 即 △ AOC的面积是
2 2 . 21.解 当 x 时 设直线解析式为y
为 如图 设EF AB 垂足 105。 :(1) 0≤ ≤4 , =
:162;(2) , ⊥ , kx将 代入得 k解得k 故直线解析
为点F那么在 AEF中 AFE , (4,400) 400=4, =100,
, Rt△ ,∠ 式为y x 当 x 时 设反比例函数解析式为
EF BD 物高 =100 。 4≤ ≤10 ,
= 与 9 影 0° 长 , 的比 = 是 1 = ∶ 1 2 6 ,∴ 2 E A m F F 。 = ∵ 1 , 则 y =x a , 将 (4,400) 代入得 400= a 4 , 解得a =1600, 故反
2 比例函数解析式为y 1600 因此血液中酒精浓度上升
AF 1EF 故DE FB = x 。
= 2 =82
答
(m)
落
,
在乙楼
=
上的
第21题图 阶段的函数关系式为y
=100
x
(0≤
x
≤4),
下降阶段的函
=(16-82)m。 : 数关系式为y 1600 x 当y 则
影子DE的长为 = x (4≤ ≤10)。(2) =200, 200
(16-82)m。
22 A .解 E :( A 1 B )∵ AE . ⊥ OD A , B OG ⊥ OD ,∴△ AEB ∽△ OGB , =100 x , 解得x =2, 当y =200, 则 200= 1 x 600 , 解得x =
∴OG=BO, 即1 6 . 6 4 =AB +5 , 解得AB = 5 3 m。 答 : 小方 8,∵8-2=6(h),∴ 血液中酒精浓度不低于 200μg/mL
的持续时间是 22. 解析:如图 过C
在A处时的影子AB的长为5 沿OA所在的 6h。 (1)(-5,1) ,
m。(2)∵ 作CE x轴于点E 过B作BF x轴于点F CEA
3 ⊥ , ⊥ ,∴∠
直线行走到点C时 , 人影长度增加 3m,∴ DC = 3+ =
∠
B ∠ A A F FB
=
=
90
∠
°
C
,
A
∴
B
∠
= E 9 C 0° A ,∵
=
∠
∠
E B CA AF +
,
∠ 又 CA
∵
E A = B ∠ C
=
A A E C +
,
5 3 m。 同理可得 △ DFC ∽△ DGO ,∴O F G C =D C O D , 即1 6 . . 6 4 ( ∴ - △ 8 E ,0 C ) A , C ≌ (- △ 9 FA ,3 B ), (A ∴ A A S E ) = , 1 ∴ , C C E E = = 3 A , F OA , A = E 8 = ∴ B A F F , = ∵ 3 A ,
3+ 5 3 解得AC 答 小方行走的路程 BF = 故 1 答 ∴ 案 OF 为 = OA - AF =8- 由 3=5 知 ,∴ E 点 F B的坐 设 标 C' 为 a (-5,
= , =9m。 : 1), :(-5,1);(2) (1) , =4, (,3),
AC AC 为 +5+3+ 5 3 则B' ( a +4,1),∵ 点B' , C'正好落在某反比例函数y =x k
单元测 9 试 m 卷 。 (六) 反比例函数 的图象上 ,∴3 a = a +4, 解得a =2,∴ B' (6,1),∴ t =6-
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. k 反比例函数的解析式为y 6
D D A B D C A B B (-5)=11,=6×1=6, =x。
10. 11. 12.y 20 13. x 14. 1
B 1 =x 0< <2 -
4
15.9 16.y 1xy 2 17.y 3
= , =x。 =-x
8 2 +1
18. y 6 点B不在该函数图象上 点C在该函
(1)=x。(2) ;
数图象上 19.解 由题意得 将点B 代入
y kx 。 得 : k (1) 解得k : (3 一 ,- 次 1 函 ) 数的 期末测试卷
1= +2 :-1=3 +2, :=-1,∴
m 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
解析式为y x 将点B 代入y 得 B C D B A A C B B
:1=- +2, (3,-1) 2=x :
-1 3 = m 3 , 解 由 得 题 : m 意 = 得 -3, y ∴ = 反 - 比 x 例 + 函 2, 数 解 的 得 解析 x 式 = 为 - : 1 y , 2= 或 1 1 + 0 6 2 . . x A (1 ( x ) x 1 - 1 1 2 = . ) 3 2 - = 6 0 , , x 1 ( x 2 2 = . - 1 1 2 2 。 + ( 2 1 2 x 3 ) ) . ( 3 x ( x 0 - - 2 2 1 ) 4 ) 2 = = . 3 0 4 . x , 4 x 2 - - 2 2 x 1 + 5 2, 2 . x ( 2 x 5 = 4 - 0 3 2 或 )2
-x。(2) : y =-x 3 , : y =3, x -2=0, 解得x 1= 2
3
, x 2=2。
x
=3, 经检验均符合题意 A kx
17.解
:
如图所示
。
y ,∴ (-1,3),∴ +2≤
=-1,
m
的解集为 x 或x 20.解 把A
x :-1≤ <0 ≥3。 :(1)∵
m
代入y 得 m y 10 把C
(-2,-5) 2=x, :=10,∴ 2=x,∵ (5,
n代入y 10得n C 把AC的坐标代
) 2=x :=2,∴ (5,2),∵ 、
41
3A"#
18.解 :∵ AD =4, CD =2 AD ,∴ CD =8,∵∠ ACD =∠ B , 数图象上 ,∴ N (23,1)。(3) 方法一 : S四边形OAPB= S △AOB
∠ A =∠ A ,∴△ ABC ∽△ ACD ,∴A A C D =A A B C =B C C D , 即4 6 + 小 S , 如 △AB 图 P, 3 ∵ , S 将 △ 直 AOB 线 是 AB 定值 上 , 移 ∴ m S四 个 边形 单 OA 位 PB 长 最 度 小 , 时 设 , 平 即 移 S 后 △AB 直 P 最 线
=A 6 B=B 8 C, 解得AB =9, BC =12,∴ BD = AB - AD =5。 为l 1, 以AB为底对应的高恒为直线AB与直线l 1 之间距
19.解 画树状图如下
离
,∴
当直线l
1
与反比例函数图象仅有一个交点时S
△ABP
: : 最小
,
设lAB: yAB= kx
+
b
,
将A
(3,0),
B
(0,1)
代入得
,
yAB
=-
3x
+1,
则可设直线l
1:
yl=- 3x
+
m
,
联立直线l
1
3 3
y
=-
3x
+
m
,
与反比例函数解析式 得 3
由树状图可知 共有 种等可能结果 其中两次抽到的 ,
数字之和为奇 , 数的有 12 种 所以两次抽 , 到的数字之和为 y = 2 x 3 ,
8 ,
奇数的概率为8 2 20.解 x
= 。 :(1)(170- ),(80+
12 3
x 根据题意 得 x x
2 );(2) , (170- -100)(80+2 )=6000,
整理可得x2
-30
x
+200=0,
解得x
1=10,
x
2=20。
答
:
每盒降价 元或 元可使每天销售这种牛肉的利润达
10 20
到 元 21. 解 矩形ABCD BAF
6000 。 (1) :∵ ,∴∠ =
ABE EF AD 四边形ABEF是矩形
∠ =90°。∵ ⊥ ,∴ 。
AE平分 BAD EF EB 四边形ABEF是正方 ∵ ∠ ,∴ = ,∴
形 解 AE平分 BAD DAG BAE 在
;(2) :∵ ∠ ,∴∠ =∠ 。 DAG BAE
∠ =∠
AGD和 ABE中 AGD ABE AGD
△ △ , ∠ =∠ =90°,∴△ DG BE = ABE AE AD 由 知 四边形ABEF是
≌△ (AAS),∴ = ; (1) ,
正方形 DG AB AF AG EF AD AE ;∴ = = = = =2,∴ = =
AB2 + BE2 = 2 2 +2 2 =22,∴ DF = AD - AF =22
EF AD DAG ADG FDO
-2。∵ ⊥ ,∴∠ =∠ =45°,∴∠ =
FOD OF DF 所以OE EF OF
∠ =45°,∴ = =22-2。 = -
22.解 如图 中 作
=2-(22-2)=4-22。 :(1) 1 ,
CD y轴 垂足为点D CA y轴 CD y轴 CD
⊥ , 。∵ ∥ , ⊥ ,∴
OA AC OD 四 边形OACD 是平行四边形
∥ , ∥ ,∴ 。
∵∠
AOD
=90°,∴
四边形OACD是矩形
,∴
k
=
S矩形OACD
=2 S △ABC=23,∴ 反比例函数的解析式为y = 2 x 3 。
存在 如图 中 作BD AC 垂足为点D 交反比例
(2) 。 2 , ⊥ , ,
函数图象于点N 连接CNAN ABC是等边三角
, , 。∵△
形 面积为 设CD AD m 则BD m 1 m
, 3, = = , = 3 ,∴ ×2
2
m m 或m 舍去 B
×3 = 3,∴ =1 =-1( ),∴ (0,1),
C A N BD DN AC
(3,2),(3,0),∴ (23,1),∴ = 。∵ ⊥
BN CB CNAB AN AB BC AB BC
,∴ = , = 。∵ = ,∴ = =
CN AN 四边形ABCN是菱形 N 将N
= ,∴ ,∴ (23,1),
代入y 23 经检验 点N 在反比例函
(23,1) = x , , (23,1)
42
得 3x2
- + 3
mx
-23=0,∵
两函数图象仅有一个交点
,∴
Δ
=
m2
-4
×23×
3
=0,
m
1=22,
m
2=-22(
舍
)∴
yl=- 3x
3 3
联立直线l与反比例函数解析式 得 3x
+22。 1 , - +
3
23解得x 代入反比例函数y 23得y
22= x :=6, = x ,=
P 方法二 如图 连接PBPAOP 设 2,∴ (6,2)。 : 4, , , ,
Pa , 2 a 3 。∵ S四边形OAPB= S △POB+ S △POA= 1 ×1× a +
2
2 1 ×3× 2 a 3 = 1a +a 3 = 1a - a 3 + 6, 2 2 2
当1a 3时 四边形OAPB的面积最小 解得a
∴ =a , , = 6 2
或a 舍 此时P =-6( ), (6,2)。
