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动力学中临界极值问题
【考点精练】
1.(2026山西大学附中质检)下雨时，雨滴在均匀分布的空气中下落过程中受到的阻力可以表示为 f=
1
kρd2v2，其中ρ表示空气密度，d表示雨滴直径，v表示雨滴下落的速率，k被称之为雷诺系数，其经验
8
24 6
公式为k= + +0.4，η为流体的黏滞系数，根据以上信息判断下列说法正确的是
ρvd ρvd
1+
η η
( )
A. 雨滴下落过程中做加速度减小的加速运动，直到加速度减为0
B. 雨滴下落过程中受到的阻力与雨滴速率的平方成正比
C. 雷诺系数的单位为kg/(m·s2)
D. 黏滞系数的单位为kg/(m·s)
2. 在一些大城市，应用无人机投送外卖。利用悬停无人机将质量为m的外卖以恒定的拉力F由静止竖直
向上提升高度h。已知外卖竖直向上运动时所受阻力与速度成正比，f=kv，下列说法正确的是
A. 外卖可能竖直向上做匀加速运动
B. 外卖竖直向上的最大速度为F/k
C. 外卖由静止竖直向上提升高度h的时间为2kh/(F-mg)
F+mg
D. 外卖竖直向上运动速度增大到最大速度的1/2时的加速度为
2m
3. (湘豫名校联考2025学年高三春季学期第二次模拟考试)如图，滑块P、Q的质量分别为m =5kg，m
P Q
=10kg。P与Q、Q与水平地面之间的动摩擦因数均为0.5。绳OA一端与P相连，另一端与竖直墙壁
4
相连，绳刚好伸直，绳OA与水平方向夹角为θ，tanθ= ，重力加速度g=10m/s2。现通过力传感器水
3
平作用于Q将它抽出。下列说法正确的是 ( )
1A. P受到的静摩擦力大小为15N
B. 将Q抽出力传感器的最小读数为90N
C. 当力传感器的读数为100N时，Q的加速度大小为2m/s2
D. Q对地面的摩擦力大小为75N
4. (2025年5月东北三省精准质检)实验台上有一个竖直放置的弹簧，其劲度系数为k=5N/cm。其中物
块B与弹簧紧密相连，物块A平稳置于物块B的上方。已知物块A的质量m =2kg，物块B的质量m
A B
=3kg，两物块初始时均处于静止状态。为了探究外力对物块系统运动的影响，研究人员通过一套精密
的机械装置对物块A施加一个竖直向上、大小为30N的恒力F。取g=10m/s2，在这样的实验操作下，针
对物块A和B后续的运动情况，下列说法正确的是 ( )
A. 施加恒力F瞬间，物块A对物块B的压力大小为2N
B. 分离前的过程，物块A的动量变化率变大
C. 物块A上升1cm时两物块分离
11
D. 分离时物块A的速度大小为 m/s
10
5.(2024·福建泉州模拟)如图所示，在水平面上放置着两个靠在一起、横截面为梯形的物体P和Q，θ=
37°，P和Q质量之比为7∶2，所有接触面均光滑。若把大小为F、方向向左的水平推力作用在P上，P
1
和Q恰好相对静止;若把大小为F、方向向右的水平推力作用在Q上，P和Q也恰好相对静止，sin 37°
2
F
=0.6，cos 37°=0.8，则 1 为 ( )
F
2
7 2
A. B. C. 1 D. 3
2 7
6.(2024·湖南娄底模拟)如图，光滑水平面上放置有紧靠在一起但并不黏合的A、B两个物体，A、B的质量
2分别为m =6kg，m =4kg，从t=0开始，推力F 和拉力F 分别作用于A、B上，F 、F 大小随时间变
A B A B A B
化的规律分别如图甲、乙所示，则 ( )
A. t=0时，A物体的加速度为2m/s2 B. t=1 s时，A、B开始分离
C. t=0时，A、B之间的相互作用力为3 N D. A、B开始分离时的速度为3m/s
7.(2025·山西运城高三期末)马车是古代交通运输的主要工具，如图所示为一匹马水平拉动一车货物的示
意图。木板A和B、B和车之间的接触面都水平，A、B之间的动摩擦因数为μ ，B与车之间的动摩擦因
1
数为μ ，A的质量为m，B的质量为3m，车的质量为5m，地面对车的摩擦不计，马给车的水平拉力为
2
F，A、B始终没有离开车的表面，重力加速度为g。则下列说法正确的是 ( )
A. 若μ >μ ，不管F多大，A、B都不会发生相对滑动
1 2
B. 若μ >μ ，当F=10μ mg时，B与车之间开始相对滑动
1 2 2
C. 若μ <μ ，逐渐增大F，A相对于B先滑动
1 2
D. 若μ <μ ，A、B与车都相对静止，F的最大值为8μ mg
1 2 1
3
8.(2024·湖北武汉模拟)质量为m的物块放置在水平地面上，其与地面间的动摩擦因数为 ，重力加速
3
度大小为g。现对其施加一大小为mg的外力，则物块运动的加速度最大为 ( )
3
A. 1-
3
3
3 2 3
g B. g C. g D. g
3 3
9.如图所示，一足够长的木板上表面与木块之间的动摩擦因数μ=0.75，木板与水平面成θ角，让木块从木
板的底端以初速度v =2m/s沿木板向上滑行，随着θ的改变，木块沿木板向上滑行的距离x将发生变
0
化，重力加速度g=10m/s2，x的最小值为 ( )
A. 0.12 m B. 0.14 m C. 0.16 m D. 0.2 m10. (2025·广西玉林模拟)如图所示，质量m =2kg的水平托盘B与一根竖直放置的轻弹簧焊接，托盘上放
B
一个质量m =1kg的小物块A，整个装置静止。现对小物块A施加一个竖直向上的变力F，使其从静
A
止开始以加速度a=2m/s2做匀加速直线运动，已知弹簧的劲度系数k=600 N/m，g取10m/s2。以下
结论正确的是 ( )
A. 变力F的最小值为2 N
B. 变力F的最小值为6 N
C. 小物块A与托盘B分离瞬间的速度为0.2m/s
5
D. 小物块A与托盘B分离瞬间的速度为 m/s
5
11.(2025·湖南长沙雅礼中学月考)水平面上放置一质量为m的滑块A，上方有圆形凹槽，质量为2m的圆柱
B恰好能放置在凹槽中，其截面图如图所示，圆心与二者接触的左端点连线跟竖直方向夹角θ=30°。一
质量为M的物体C通过跨过定滑轮的不可伸长的轻质细绳与A相连，细绳伸直后由静止释放C，不计
一切摩擦，A离定滑轮足够远，重力加速度为g，下列说法正确的是 ( )
3Mmg
A. 若A、B能保持相对静止，则细绳的张力大小为
M+3m
M2
B. 若A、B能保持相对静止，则A对B的作用力大小为2mg 1+
(M+3m)2
C. 当M=( 3+1)m时，B恰要从凹槽中滚出
D. 若θ=45°，则只要M足够大，B一定可以从凹槽中滚出
12.(2026河北实验中学质检)传感器是能感受规定的被测量，并将被测量按照一定的规律转换成可用信号
的器件或装置。如图所示，质量m =0.4kg的物块A静置于水平放置的力传感器(可显示A对力传感
A
器的压力大小)上，一劲度系数k=100N/m的竖直轻质弹簧下端与A相连，上端与质量m =0.2kg的
B
物块B相连，B处于静止状态。取重力加速度大小g=10m/s2，弹簧始终处于弹性限度内。
4(1)若对B施加一竖直向上的拉力，使B缓慢上升，直至力传感器的示数为零，求此过程中B的位移大小
s；
(2)若对B施加一竖直向上的拉力F，使B竖直向上做加速度大小a=0.75m/s2的匀加速直线运动，直至
力传感器的示数为零，求此运动过程所用的时间t以及拉力F的最大值F 。
max
13.(16分)(2026湖北荆州质检)如图甲所示，水平地面上有一质量为M=3kg的木板M，木板的左端上放
有一质量为m=2kg的小物块(可视为质点)，开始时两者均静止。现用一水平向左的拉力F作用在木
板上，m、M的加速度随拉力F的变化关系如图乙所示。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g=
10m/s2。求：
(1)(4分)m、M之间的动摩擦因数μ 为多大？
1
(2)(4分)木板与水平地面之间的动摩擦因数μ 为多大？
2
(3)(8分)已知木板长L=3.5m，若对M施加水平向左的恒力F=28N，要使物块与木板能分离，则恒力
F至少持续作用多长时间？
514.(2025·陕西商洛模拟)水平地面上有一质量m =3kg的长木板，木板的左端上表面有一质量m =2kg
1 2
的小物块，如图甲所示，水平向右的拉力F作用在物块上，F随时间t的变化关系如图乙所示，其中F、
1
F 分别为t 、t 时刻F的大小，木板的加速度a 随时间t的变化关系如图丙所示。已知木板与地面间的
2 1 2 1
动摩擦因数为μ =0.2，物块与木板间的动摩擦因数为μ =0.8。假设最大静摩擦力均与相应的滑动摩
1 2
擦力相等，重力加速度取g=10m/s2，物块始终未从木板上滑落，不计空气阻力。则下列说法正确的是
( )
A. F =16 N B. F =20 N
1 2
C. 木板加速度所能达到的最大值为2.5m/s2 D. 在t ~t 时间段内物块做匀加速直线运动
1 2
15.(2025·湖南岳阳一模)如图所示，矩形盒内用两根不可伸长的轻线固定一个质量为m=0.6kg的匀质小
球，a线与水平方向成37°角，b线水平。两根轻线所能承受的最大拉力都是F =15 N，已知sin 37°=
m
0.6，cos 37°=0.8，取g=10m/s2，则 ( )
A. 系统静止时，a线所受的拉力大小为12 N
B. 系统静止时，b线所受的拉力大小为8 N
C. 当系统沿竖直方向匀加速上升时，为保证轻线不被拉断，加速度最大为5m/s2
D. 当系统沿水平方向向右匀加速时，为保证轻线不被拉断，加速度最大为10m/s2
16.(2025·湖南娄底二模)如图，光滑水平面上放置有紧靠在一起但并不黏合的A、B两个物体，A、B的质量
分别为m =6kg，m =4kg，从t=0开始，推力F 和拉力F 分别作用于A、B上，F ，F 大小随时间变
A B A B A B
化的规律分别如图甲、乙所示，则 ( )
A. t=0时，A物体的加速度为2m/s2 B. t=1 s时，A、B开始分离
C. t=0时，A、B之间的相互作用力为3 N D. A、B开始分离时的速度为3m/s
17.(2025·山东烟台模拟)如图所示，一儿童玩具静止在水平地面上，一幼儿用与水平面成30°角的恒力拉着
它沿水平面运动，已知拉力F=6.5 N，玩具的质量m=1kg。经过时间t=2.0 s，玩具移动的距离x=
62 3 m，这时幼儿松开手，玩具又滑行了一段距离后停下(取g=10m/s2)。求：
(1)玩具与地面间的动摩擦因数；
(2)松开手后，玩具还能滑行多远？
(3)幼儿要拉动玩具，拉力F与水平面间的夹角为多大时最省力？
18.(2025·江苏扬州市期中)如图所示，用足够长的轻质细绳绕过两个光滑轻质滑轮将木箱与重物连接，木箱
质量M=8kg，重物质量m=2kg，木箱与地面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取g=10
m/s2。
(1)要使装置能静止，木箱与地面间的动摩擦因数需满足什么条件？
(2)若木箱与地面间的动摩擦因数μ=0.4，用F=80 N的水平拉力将木箱由静止向左拉动位移x=0.5
m时，求重物的速度大小v。
719.如图所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ=30°时，可视为质点的一小木块恰好能沿着
木板匀速下滑。若让该小木块从木板的底端以大小恒定的初速率v 沿木板向上运动，随着θ的改变，小
0
木块沿木板向上滑行的距离x将发生变化，重力加速度为g。
(1)求小木块与木板间的动摩擦因数；
(2)当θ角为何值时，小木块沿木板向上滑行的距离最小？求出此最小值。
20. (2025湖南大联考)如图所示，两个滑块A和B(均可看作质点)放在静止于水平地面上的木板C的中
点，A、B、C的质量分别为m =m、m =5m、m =4m。A、B与木板间的动摩擦因数均为μ =0.5，
A B C 1
木板与地面间的动摩擦因数为μ =0.1。某时刻突然给A、B两滑块大小均为v =3m/s的初速度向左和
2 0
向右滑动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，求：
(1)木板相对地面的运动方向(要有推导过程)；
(2)滑块B与木板相对静止时(A未滑离木板)，木板的速度大小；
(3)要使两滑块不滑离木板，木板的最小长度。
821. (2025年4月河南名校联考) 如图所示为太空探索公司猎鹰火箭助推器回收画面。火箭发射时，助推器
点火提供向上的推力，使火箭上升到40km高空时，速度达到1.2km/s，然后助推器脱落，并立即关闭发
动机，在接近地面10km处重启发动机减速并使助推器的速度在着陆时为零。火箭助推器运动过程中所
受地球引力可视为不变，等于地球表面时的重力，运动过程中，受到的阻力大小恒为助推器重力的0.2
倍，助推器推力恒定不变。
(1)助推器能上升到距离地面的最大高度；
(2)重启发动机前助推器的最大速度为多少；
(3)重启发动机产生的推力是助推器重力的多少倍。
9
