模块七
统计与概率
专题42
统计量、统计表与统计图
类型一 统计量
1.
1. 2 1. 2
2.
C 【解析】这次是第(100-82)÷(85-82)= 6(次)测试。
3.
3 ∶1 【解析】把第一组数和第二组数的总个数看作“1”,
设第一组数的总个数为x,则第二组的总个数为(1-x),即
20x+12×(1-x)= 18,解得x = 3
4 ,1- 3
4 = 1
4 ,第一组数的个
数与第二组数的个数的比是3
4 ∶1
4 = 3 ∶1。
类型二 统计表
4.
7 【解析】已经统计了15+10+5= 30(票),还剩下48-30=
18(票),小刚比小红多
15-10= 5(票),(18-5)÷2 = 6(票)
……(票),小刚至少还要得到6+1= 7(票)才能当选。
5.
解:(1)27 (2)空气质量为优的有27-15 = 12(天),占抽
取的总天数的12÷30= 2
5 ,所以365× 2
5 = 146(天)。
答:2022 年全年(共365 天) 空气质量为优的天数大约是
146 天。
类型三 条形统计图
6.
解:(1)4 在括号中填上正确的数从下往上依次为8,16,
24,32。
(2)可回收垃圾:32÷4=8(吨),其他垃圾:32-16=16(吨)。补
全统计图如下:
第6 题解图
(3)58 【解析】8+2+32+16= 58(吨)。
(4)垃圾分类的好处:实施生活垃圾分类,可以有效解决城
乡垃圾难题,改善人居环境,提高新型城镇化质量和生态
文明建设水平。(答案不唯一)
7.
解:(1)18+8+39+21+10+40= 136(人)
答:全校共有优秀学生136 人。
(2)(18+8)÷136×100%≈19. 1%
答:一、二年级优秀人数是全校优秀人数的19. 1%。
(3)(40-10)÷40×100% = 75%
答:五年级优秀学生比六年级的少75%。
类型四 折线统计图
8.
A 【解析】①由统计图易知,“ 微信支付” 的折线较为平
缓;②使用“微信支付”:3. 6+ 3. 1+ 3. 2+ 3. 2+ 3. 1+ 3. 8 =
20(万次),使用“支付宝支付”:1. 2+2. 1+2. 7+2. 1+3. 7+
2. 2= 14(万次),所以使用“支付宝支付”的总次数比使用
“微信支付”的总次数少;③由统计图易知,9 月份两者相
差最少;④7 月:3. 6+ 1. 2 = 4. 8( 万次),8 月:3. 1+ 2. 1 =
5. 2(万次),9 月:3. 2+2. 7= 5. 9(万次),10 月:3. 2+2. 1 =
5. 3(万次),11 月:3. 7+3. 1= 6. 8(万次),12 月:3. 8+2. 2 =
6(万次),所以两者次数之和最多的是11 月份。综上所
述,①②③合理。
9.
解:(1)补全统计图如下:
第9 题解图
(2)①2010 年到2020 年人口增长的数量比2000 年到2010
年之间增长的多。②1953 年全国人口普查人数是6 亿人。
(答案不唯一)
(3)根据统计图表的数据预测,2030 年第八次人口普查时
我国大概有15 亿人。(答案不唯一,合理即可)
类型五 扇形统计图
10.
D 【解析】40%+10% = 50%,所以A 选项正确;喜欢动漫
书的人数有200× 30% = 60( 人),喜欢文艺书的有200×
8% = 16(人),B 选项正确;喜欢科技书的有200× 12% =
24(人),喜欢作文书的有200×10% = 20(人),C 选项正
确;(24-16)÷16×100% = 50%,即喜欢科技书的人数比喜
欢文艺书的多50%,D 选项错误。
11.
解:(1)全校近视学生:234÷65% = 360(人)。
答:全校近视的学生共有360 人。
(2)全校学生的近视率:360÷800×100% = 45%。
答:全校学生的近视率是45%。
(3)从低年级段到高年级段,近视的人数呈上升趋势,所
以从低年级段到高年级段的学生近视越来越严重。(说
法合理即可)
类型六 统计图综合应用
12.
3 【解析】总人数:(6+ 4) ÷ 50% = 20(人),C 类女生人
数:20×25%-2= 3(人)。
13.
解: ( 1) 15%
35%
【解析】样本总量为20 ÷ 5% =
400(人),m= 60
400×100%=15%,n=1-5%-15%-45%=35%。
(2)126 【解析】360°×35% = 126°。
(3)D 等级对应的人数为:400×35% = 140(人),补全条形
统计图如下:
第13 题解图
14.
解:全班人数:10÷20% = 50(人)
第一家:50÷(7+1)= 6(组)……2(份),25×(6×7+2)=
1100(元),
第二家:25× 50÷ 120 = 10(组) ……50(元),25× 50- 20×
10= 1050(元),1100>1050,
第三家:1050÷(25×50)= 0. 84,所以第三家打了八四折。
答:第三家打了八四折。
专题43
可能性
类型一 基础概率计算
1.
B 【解析】硬币有两面,正面占总面数的1
2 ,每一面的出
现的可能性都是1
2 。
2.
C 【解析】由题可得,a 的情况有1、2、3、4、5、6、7、8、9 共9
种等可能的结果,则a 是6 的可能性是1
9 。
3.
5
6
【解析】甲、乙两人摸球得到的结果如下:(1,2),(1,
3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),
(4,1),(4,2),(4,3),共有12 种情况,乘积为奇数的只有
(1,3)和(3,1)两种,则乙获胜的概率为12-2
12 = 5
6 。
4.
7
11 【解析】根据题意可知,所有大于0 且小于100 的“本
位数”有1、2、10、11、12、20、21、22、30、31、32 共11 个,其中
有偶数2、10、12、20、22、30、32 共7 个,所以抽到偶数的可
能性为7
11。
类型二 与几何、排列组合结合
5.
D 【解析】从1~9 中任选2 个数字组成没有重复数字的
两位数,其中十位有9 种选择,个位有8 种选择,一共有9×
8 = 72(个)不同的两位数。两位数是质数时,个位只能是
1、3、7、9。个位为1 时:31、41、61、71,共4 个;个位为3 时:
13、23、43、53、73、83,共6 个;个位为7 时:17、37、47、67、
97,共5 个;个位为9 时:19、29、59、79、89,共5 个,一共有
4+6+5+5= 20(个)质数,两位数是质数的概率是20
72 = 5
18。
6.
C 【解析】四边形ABCD 是长方形,所以AD∥BC,AB∥CD,
又因为EF∥AB,所以EF∥AB∥CD,所以四边形ABFE 和四
边形DCFE 都是长方形,因为四边形ABFE 内阴影部分的
面积= 1
2 ×长方形ABFE 的面积,四边形DCFE 内阴影部分
的面积= 1
2 ×长方形DCFE 的面积,所以阴影部分的面积= 1
2
×长方形ABCD 的面积,所以飞镖落在阴影部分的概率是1
2 。
7.
89
477 【解析】54 张牌任意抽取2 张牌有C
2
54 = 54×53
2×1 = 1431
(种),抽出的2 张牌是普通牌时,和是8 时:1+7= 2+6 = 3+
5= 4+4,有:3×4×4+6 = 54(种),和是16 时:3+13 = 4+12 =
5+11= 6+ 10 = 7+ 9 = 8+ 8,有:5× 4× 4+ 6 = 86( 种),和是
24 时:11+13= 12+12,有:1×4×4+6 = 22(种),共有:54+86
+22= 162(种),当抽出的2 张牌一张是普通牌,一张是大
小王,有:52×2= 104(种),当抽出的2 张牌都是大小王,有
1 种,总共有162+ 104+ 1 = 267(种),概率为267÷ 1431 =
267
1431 = 89
477。
8.
5
16 【解析】如解图所示,端点上的数字表示小球到达该点
的方法数,小球最终掉落,共有1+5+10+10+5+1 = 32(种)
方法,落到B 点有10 种方法,因此概率是10
32 = 5
16。
第8 题解图
9.
(1) 2
3 【解析】甲可在A、B、C 三个方格中移动,当在A 或
B 中时,黑色方块构成的拼图是轴对称图形,所以可能性
为2
3 。
1
(2) 5
9
【解析】甲可在A、B、C 三个方格中移动,乙可在
D、E、F 三个方格中移动,共有3×3= 9(种)等可能的情况,
而黑色方块构成的拼图是轴对称图形的情况是甲、乙分别
在(A、D),(A、E),(B、D),(B、E),(C、F),共5 种情况,所
以可能性为5
9 。
类型三 根据可能性推测
10.
4 【解析】因为正方体有6 个面,将这个正方体任意掷一
次,红色面朝上的可能性最大,黄色和绿色的可能性相同
且最小,所以至少有3 个面涂了红色,则还剩下3 个面,
不满足黄色和绿色的可能性相同,所以有4 个面涂了红
色,黄色和绿色各只有1 个面。
11.
8 【解析】设黄球的数量为n 个,根据题意得n
n+2 = 4
5 ,解
得n= 8。
12.
4 【解析】应在袋子中放入10× 2
5 = 4(个)红球。
类型四 公平性
13.
D 【解析】1、2、3、4、5、6 中质数有2、3、5 共3 个,合数有
4、6 共2 个,则A 选项不公平;3 的倍数的有3、6 共2 个,
不是3 的倍数的有1、2、4、5 共4 个,则B 选项不公平;大
于3 的有4、5、6 共3 个,小于3 的有1、2 共2 个,则C 选
项不公平;是奇数的有1、3、5 共3 个,是偶数的有2、4、6
共3 个,则D 选项公平。
14.
解:(1)观察题图可得,转盘被均分为16 份,其中黄色占1
份,绿色占2 份,
获得50 元购物券的可能性:1÷16= 1
16
获得10 元购物券的可能性:2÷16= 2
16 = 1
8
答:小亮的妈妈获得50 元、10 元购物券的可能性分别是
1
16、1
8 。
(2)通过题图可得,参加抽奖获得的购物券为:50× 1
16+20
× 1
8 +10× 1
8 = 6. 875(元)
6. 875 元<10 元
答:直接获得10 元购物券更划算。
专题44
变量间的关系
类型一 与图象有关
1.
解:(1)120
(2)乙的速度是120÷2-20= 40(千米/ 时),m= 120÷40= 3。
答:乙的速度是40 千米/ 时,m 的值是3。
(3)相遇之前,(120-40) ÷(20+40) = 4
3 (时);相遇之后,
40÷(20+40)= 2
3 (时),2+ 2
3 = 8
3 (时)。
答:甲出发4
3 小时或8
3 小时后,甲、乙两人相距40 千米。
2.
解:(1)0. 9 【解析】18÷20= 0. 9(千米/ 分)。
(2)45
【解析】( 36 - 13. 5) ÷ 0. 9 = 25 ( 分), 20 + 25 =
45(分)。
(3)甲的步行速度为(36-13. 5-18) ÷45 = 0. 1(千米/ 分),
乙返回到学校时,甲与学校相距18+0. 1×20= 20(千米)。
答:乙返回到学校时,甲与学校相距20 千米。
3.
解:(1)由图象可知,小张30 分钟后离县城6 千米,所以两
人第一次相遇即20 分钟时小张距县城20× 6
30 = 4(千米)。
答:距县城4 千米。
(2)小张30 分钟到A 村,停留30 分钟返回在离县城1 千
米处和学生小聪相遇,用时20 分钟。返回时小张速度为
(6-1)÷(80-60)= 0. 25(千米/ 分),因为返回时小张比预
计时间晚到1 分钟,所以返回用时6÷0. 25+1 = 25(分),小
张从县城出发到返回县城所用时间是60+25= 85(分)。
答:小张从县城出发到返回县城所用时间是85 分钟。
(3)小聪的速度为(4-1) ÷(80-20)= 1
20(千米/ 分),小聪
从A 村到县城共用(6-1)÷ 1
20+[25-(80-60)] = 105(分)。
答:学生小聪从A 村到县城共用105 分钟。
4.
解:(1) 20 分钟= 1
3 小时,船逆水航行的速度是8÷ 1
3 =
24(千米/ 时),126-90= 36(分钟),36 分钟= 3
5 小时,船顺
水航行的速度是18÷ 3
5 = 30(千米/ 时),所以船在静水中
航行的速度是(24+30)÷2= 27(千米/ 时)。
答:这艘船在静水中每小时行驶27 千米。
(2)水速是(30-24) ÷2 = 3(千米/ 时),18÷24 = 0. 75(时),
90 分钟= 1. 5 小时,多花时间:1. 5-0. 75 = 0. 75(时),倒行
时间:0. 75× 24
24+3 = 2
3 (时),倒行的距离: 2
3 ×3= 2(千米)。
答:在途中发动机停止工作时,船顺着河水倒行了2 千米。
5.
解:(1)460 4. 5
(2)甲车:460÷(7+40
60)= 60(千米/ 时),
设乙车减速前的速度为k 千米/ 时,由题意可得:
4k+(7-4. 5)×(k-50)= 460,解得k= 90,
乙车减速后的速度为90-50= 40(千米/ 时)。
答:甲车的速度为60 千米/ 时,乙车减速前的速度为90 千
米/ 时,乙车减速后的速度为40 千米/ 时。
(3)设乙车出发m 小时后追上甲车,根据题意可得:
90m=(m+40
60)×60,解得m= 4
3 , 4
3 小时= 80 分钟。
答:在到达B 地之前,乙车出发80 分钟后追上甲车。
(4)460-(4+40
60)×60= 180(千米)。
答:乙车到达货站时,甲车距离B 地180 千米。
6.
5 【解析】由图可知,当运动时间为3 秒时,点P 在AB 上
运动,所以AD= 18×2÷(3×1)= 12(厘米),当面积为30 平
方厘米时, 点P 在BC 上运动, 所以AB = 30 × 2 ÷ 12 =
5(厘米)。
7.
16 2
3 【解析】动点P 在BC 上运动时,对应的时间为0 秒
到4 秒,得BC= 2×4= 8(cm),动点P 在CD 上运动时,对应
的时间为4 到6 秒,得CD = 2×(6-4)= 4(cm),动点P 在
DE 上运动时,对应的时间为6 到9 秒,得DE= 2×(9-6)=
6(cm),因为AB= 4EF,EF = AB-CD = 4EF-CD,可得EF =
1
3 CD= 4
3 (cm),动点P 在EF 上运动的时间为4
3 ÷2 = 2
3
(秒),在AF 上运动的时间就是BC 和DE 的时间和,即4+(9-
6)= 7(秒),b= 9+ 2
3 +7= 16 2
3 (秒)。
8.
解:(1)P、Q 两点相遇
(2)由函数图象得出,当两点在F 点到G 点,两点相距路程
随时间变化减慢得出此时Q 点停留1 秒,只有P 点运动,
此时纵坐标的值由75 下降到45, 故P 点运动速度为
30 cm/ s,再根据E 点到F 点s 的值由120 变为75,根据P
点速度,得出Q 点速度为(120-75)÷1-30= 15( cm/ s)。
答:P 点的运动速度为30 cm/ s, Q 点的运动速度为
15 cm/ s。
(3)如解图①所示:根据4 秒后,P 点到达D 点,只有Q 点
运动,根据运动速度为15 cm/ s,还需要运动120 - 45 =
75(cm),则运动时间为75÷15= 5(s),画出图象即可。
第8 题解图①
(4) 2
3 或5 或8
【解析】如解图②所示,当QP = PC,此时
1
2 QC=BP,即1
2 (30-15t)= 30-30t,解得t= 2
3 ,故当时间t
= 2
3 s 时,△PCQ 为等腰三角形;如解图③所示,当D,P 重
合,QP=QC 时,Q 为AB 中点,则运动时间为:(15+60+30)
÷15+1= 8(s),故当时间t = 8 s 时,△PCQ 为等腰三角形;
若PC=CQ,故90-30t = 30-15t,解得t = 4(舍去),或30t-
90= 15t-30,解得t= 4,则4+1 = 5(s)。综上所述,t = 2
3 s
或t= 5 s 或t= 8 s 时,△PCQ 为等腰三角形。
第8 题解图
9.
解:(1)0. 75 升= 750 立方厘米,750×15÷(25×30)= 15(厘
米)。
答:图②中D 表示的数是15。
(2)30×15×15= 6750(立方厘米),6750 立方厘米= 6. 75 升,B
部分中水量增加的速度为6. 75÷(30-15)= 0. 45(升/ 秒),
从B 的洞中每秒钟流出来的水为0. 75-0. 45= 0. 3(升)。
答:从B 的洞中每秒钟流出0. 3 升水。
(3)0. 45 升/ 秒= 450 毫升/ 秒,(25+ 15) × 30×(24- 15) ÷
450= 24(秒),P 表示的数是30+24 = 54,Q 表示的数是(70
-54)×450÷[(25+15)×30]+24= 30。
答:P 表示的数是54,Q 表示的数是30。
10.
(1)10 8 【解析】由图象可知,注满A 所用的时间为10
s,
再注满B 所用的时间为18-10= 8(s)。
(2)注水速度为v
cm
3 / s,则10v
25 + 8v
10 = 12,解得v= 10
,
因此注水速度为10
cm
3 / s,
容器A 的体积:10×10= 100(cm
3)
容器A 的高度hA 为100÷25= 4(cm)。
答:
A 的高度hA 为4
cm,注水的速度v 是10
cm
3 / s。
(3)容器A 和容器B 的体积和:18×10= 180(cm
3)
容器的总体积:180÷(1- 1
4 )= 240(cm
3)
容器C 的体积:240× 1
4 = 60(cm
3)
容器C 的高度:60÷5= 12(cm)
容器的总高度:12+12= 24(cm)
注满容器所需总时间:18+60÷10= 24(s)
答:注满容器所需时间是24
s,容器的高度是24
cm。
11.
解:(1)乙
甲
乙槽中圆柱形铁块高14
cm(答案不唯
一)
(2)甲水槽每分钟减少的水深:12÷6 = 2(cm),乙水槽每
分钟增加的水深:(14-2) ÷(4-0)= 3(cm),深度相同所
2
用注水时间:(12-2)÷(2+3)= 2(min)。
答:注水2 min 时,甲、乙两个水槽中的水的深度相同。
(3)注水速度: 36 × ( 19 - 14) ÷ ( 6 - 4) = 36 × 5 ÷ 2 =
90( cm
3 / min),前4 min 乙槽注水底面积:90×4÷(14-2)=
360÷12= 30(cm
2),铁块底面积:36-30 = 6(cm
2),铁块体
积:6×14= 84( cm
3)。
答:乙槽中铁块的体积是84 cm
3。
12.
解:(1)300 克所挂物体弹簧的长度是8 格。500 克所挂
物体弹簧长度是10 格,两次之间相差10-8 = 2(格),2 格
之间的差是4 厘米,所以1 格就是4÷2= 2(厘米),那么弹
簧的原长就是5×2= 10(厘米)。
答:这根弹簧原来不挂物品时的长度是10 厘米。
(2)挂上400 克物品的时候,弹簧的长度是9 格,所以弹
簧的长度是2×9= 18(厘米)。
答:挂上400 克物品时弹簧长度是18 厘米。
(3)弹簧长度增加6 厘米的时候,也就是在最初的情况上
增加了6÷2= 3(格)。每增加100 克对应的是上升1 格,
所以上升3 格对应的应该是300 克,所以挂上的物品是
300 克。
答:挂上的物品是300 克。
(4)根据300 克和500 克所挂重物弹簧的长度可以看到
所挂物品的重量每增加100 克弹簧增加2 厘米。则弹簧
增加的长度与挂上物品的重量成正比例关系。
(5)在弹簧的伸长范围内,如果挂上的物品是1 千克=
1000 克,对应的格数是1000÷100 = 10(格),那么也就是
增加了10×2= 20(厘米),弹簧长度可能为10+20 = 30(厘
米)。
答:弹簧的长度可能是30 厘米。
13.
解:设甲蜡烛燃烧时y 与x 之间的函数解析式为y=kx+b,
(k≠0),则
30=b
2k+b= 0
{
,解得
k= -15
b= 30
{
,
即甲蜡烛燃烧时y 与x 之间的函数解析式为y = - 15x+
30;设乙蜡烛燃烧时y 与x 之间的函数解析式为y = mx+
n,(m≠0),
则
2. 5m+n= 0
25=n
{
,解得
n= 25
m= -10
{
,
即乙蜡烛燃烧时y 与x 之间的函数解析式y= -10x+25;
当-10x+25-(-15x+30)= 1 时,解得x= 1. 2;
当-15x+30-(-10x+25)= 1 时,解得x= 0. 8;
当x= 2. 4 时,甲的高度为0,乙的高度是1 厘米。
所以当x= 1. 2 或x= 0. 8 或x = 2. 4 时,甲、乙两根蜡烛在
燃烧过程中的高度相差1 厘米。
答:当x= 1. 2 或x= 0. 8 或x= 2. 4 时,甲、乙两根蜡烛在燃
烧过程中的高度相差1 厘米。
一题多解由图可知,甲燃烧的速度是30÷2 = 15(厘米/
时),乙燃烧的速度是25÷2. 5 = 10(厘米/ 时)。两蜡烛都
未燃烧完甲比乙高1 厘米时,30-15x-(25-10x)= 1,解得
x= 0. 8;乙比甲高1 厘米时,25-10x-(30-15x) = 1,解得
x= 1. 2。当乙还剩1 厘米时,25-10x = 1,解得x = 2. 4,此
时甲已经燃烧完。所以x = 0. 8 或x = 1. 2 或x = 2. 4 时,
甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相差1 厘米。
14.
解:(1)1. 2 【解析】96÷80= 1. 2(元/ 千瓦时)。
(2)第二档电价为(201-96) ÷(150-80) = 1. 5(元/ 千瓦
时),96+(140-80)×1. 5= 186(元)。
答:11 月份的电费是186 元。
(3)第三档电价为(301-201) ÷(200- 150) = 2(元/ 千瓦
时),第三档用电量为(351-201) ÷2 = 75(千瓦时),150+
75= 225(千瓦时)。
答:12 月份小明家用电225 千瓦时。
15.
11 【解析】调进的速度为60÷5 = 12(吨/ 时),10 小时共
调进12×10 = 120(吨),调出的速度(60-20+12×5) ÷5 =
20(吨/ 时),20÷20= 1(时),10+1= 11(时)。
16.
解:(1)5 24 【解析】由图象可知,行驶5 小时时,油量
由12 升变为36 升,因此机动车行驶5 小时后加油,加了
36-12= 24(升)。
(2) 油箱中的油够用,理由:由图象可知,5 时加油后到
11 时油量为零,所以最多可以行驶6 小时,车速为40 千
米/ 时,共行驶40×6 = 240(千米),240>230,因此油箱中
的油够用。
类型二 与图象无关(用关系式表示)
17.
36
18.
9 【解析】将t= -25 代入t = 20-5h,得-25 = 20-5h,解得
h= 9。
19.
178. 2 【解析】(170+160)×1. 08÷2= 178. 2(cm)。
20.
解:(1)在甲家体育用品店购买的价款:
当x≤10 时,价款为40x 元;当x>10 时,价款40×10+40×
0. 8×(x-10)= 400+32x-320=(32x+80)(元)。
在乙家体育用品店购买的价款为40×0. 9x= 36x(元)。
答:在甲家体育用品店购买的价款为40x( x≤10) 元或
(32x+ 80) (x> 10) 元,在乙家体育用品店购买的价款为
36x 元。
(2)当购买18 副乒乓球拍时,因为18>10,甲家为32×18+
80= 656(元),乙家为36×18 = 648(元),648<656,所以应
该选择去乙家体育用品店购买;当购买21 副乒乓球拍
时,因为21>10,甲家为32×21+80= 752(元),乙家为36×
21= 756(元),752<756,所以应该选择去甲家体育用品店
购买。
答:当学校购买18 副乒乓球拍时应该选择去乙家体育用
品店购买,当学校购买21 副乒乓球拍时应该选择去甲家
体育用品店购买。
21.
解:(1) 由数据可知,从第一档到第二档,凳子增高了
3 cm,课桌高增高4. 8 cm,即凳子高每增高1 cm,课桌高
增高1. 6 cm,所以它们之间的变化规律用式子表示为y =
1. 6(x-37)+70= 1. 6x+10. 8。
(2)写字台高度与凳子不配套,理由:当x = 43. 5 时,y =
1. 6×43. 5+10. 8 = 80. 4,80. 4≠77,所以写字台高度与凳
子不配套。
3
