文档文本内容
顺义区 2023 届高三第一次统练
数学试卷
考生须知：
1．本试卷共5页，共两部分，第一部分共 10道小题，共40分，第二部分共 11道小题，共
110分，满分150分．考试时间120分钟．
2．在答题卡上准确填写学校、姓名、班级和教育ID号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 的展开式中的常数项为
A. B. C. 6 D. 24
4. 若等差数列 和等比数列 满足 ，则 的公差为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
的
5. 函数 大致图象是（ ）A. B.
C. D.
6. 若双曲线 的离心率为 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知 ， ，则“存在 使得 ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口． 于 年
提出蓄电池的容量 （单位： ），放电时间 （单位： ）与放电电流 （单位： ）之间关系的经
验公式： ，其中 为 常数．为测算某蓄电池的 常数 ，在电池容量不变的条件
下，当放电电流 时，放电时间 ；当放电电流 时，放电时间 ．若计算时取
，则该蓄电池的 常数 大约为（ ）
A. B. C. D.9. 在棱长为 1 的正方体 中，动点 P 在棱 上，动点 Q 在线段 上、若
，则三棱锥 的体积（ ）
A. 与 无关，与 有关 B. 与 有关，与 无关
C. 与 都有关 D. 与 都无关
的
10. 已知点A，B在圆 上，且 ，P为圆 上任意一点，则 最小值为
（ ）
A. 0 B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 函数 的定义域为______________．
12. 已知圆 ，点A、B在圆M上，且 为 的中点，则直线 的方程为
_____________．
13. 若存在 使得 ，则m可取的一个值为_____________．
14. 在 中， ， ， ，则 ___________， _____________．
15. 如果函数 满足对任意s， ，有 ，则称 为优函数．给出下列
四个结论：
① 为优函数；
②若 为优函数，则 ；
③若 为优函数，则 在 上单调递增；
④若 在 上单调递减，则 为优函数．其中，所有正确结论的序号是______________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．
16. 已知函数 的一个零点为 ．
（1）求A和函数 的最小正周期；
（2）当 时，若 恒成立，求实数m的取值范围．
17. 为调查A，B两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的
患者的康复时间，经整理得到如下数据：
只服用药物 只服用药物
康复时间
A B
7天内康复 360人 160人
8至14天康复 228人 200人
14 天内未康
12人 40人
复
假设用频率估计概率，且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立．
（1）若一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率；
（2）从样本中只服用药物A和只服用药物B的患者中各随机抽取1人，以X表示这2人中能在7天内康复
的人数，求X的分布列和数学期望：
（3）从只服用药物A的患者中随机抽取100人，用“ ”表示这100人中恰有k人在14天内未康复的
概率，其中 ．当 最大时，写出k的值．（只需写出结论）
18. 如图，在四棱锥 中，侧面 为等边三角形， ，
，E是 的中点．（1）求证：直线 ∥平面 ；
的
（2）已知，点M在棱 上，且二面角 大小为 ，再从条件①、条件②这两个条件
中选择一个作为已知，求 的值．
条件①：平面 平面 ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
19. 已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 的单调区间．
20. 已知椭圆 经过点 ，离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线 与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点．若以 为邻边的平行四
边形 的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形 的面积是定值．
的
21. 已知 为正整数数列，满足 ．记 ．定义A 伴随
数列 如下：① ；
② ，其中 ．
（1）若数列A：4，3，2，1，直接写出相应的伴随数列 ；
（2）当 时，若 ，求证： ；
（3）当 时，若 ，求证： ．
